畢氏定理的說明

1. 勾股定理的證明勾股定理的證明
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設計團隊：林修嫻
林靜宜
陳孟良

2. 勾股定理勾股定理的名稱來源的名稱來源
他是公元前五六世紀時的古希臘數學家。據說畢
達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，
因此又稱「百牛定理」。
不過對畢氏發現畢氏定理，歷史上其實並無確實
的記載。在希臘最早而嚴格的證明是在歐幾里得
（ Euclid ，約公元前 330-275 年）所編寫的《幾何原
本》（ Elements ）中 。
勾股弦定理或勾股定理，又稱畢達
哥拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾
何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥
拉斯（ Pythagoras ，約公元前 580-550
年）所證明。

3. 勾股定理又稱「商高定理」、「陳子定理」勾股定理又稱「商高定理」、「陳子定理」
後來決定不用人名而稱為 " 勾股弦定理 " ，最後
確定叫 " 勾股定理 " ，因為有勾股就必有弦，故弦字
可以省略
中國以前也叫〝畢達哥拉斯定理“。
《周髀算經》記載了勾股弦定理的公式
與證明。
50 年代初，曾展開關於這個定理命
名問題的討論。有人主張叫做「商高定
理」，理由是中國在商高時代 ( 約公元前
1100 年 ) 已經知道「勾三股四弦五」的
關係早於畢達哥拉斯時代，也有人認為
3:4:5 的關係，僅僅是特例，到陳子才提
出了普遍的定理，故應稱為 " 陳子定理“

4. 什麼是勾股弦定理什麼是勾股弦定理
直角三角形兩直角邊（即「勾」、「股」）邊長平方
和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。
也就是說，設直角三角形兩直角邊
為 a 和 b ，斜邊為 c ，
那麼 a2
+ b2
= c2
只要知道直角三角形的任意兩條邊，便可計算出第三條邊。
勾股弦定理現約有 400 種證明方法，是數學定理中證
明方法最多的定理之一。

5. 利用面積來證明勾股定理：利用面積來證明勾股定理：
a
b
a
b
丙
c
c
cca
b
a
b
a
b
甲
a
a
乙
b
b
a
b
a
b
a
b
甲
a
a
乙
b
b
a
b
丙
c
c
cca
b
兩粗線框所圍面積相等，再扣除一個直角三角形
甲面積＋乙面積＝丙面積
222
cba =+

6. 九章算術的證法：九章算術的證法：
魏晉時期平民
數學家劉徽在九章
算術注 (A.D.263
年 ) 提及：
「勾自乘為朱方，股
自乘為青方，令出
入相輔，各從其類
，因就其餘不移動
也，合成弦方之冪
青入
青
朱
青
出
青出
青
入
朱
入
朱
出

7. 伯里加伯里加 (Perigal)(Perigal) 的拼圖遊戲的拼圖遊戲
把其中一股當邊
長的正方形切成
PGRL 四塊多邊形，
經過移動後再加上另
一股當邊長的正方形
H 就可以拼成斜邊的
大正方形
P
G
R
L
H

8. 佳菲爾德佳菲爾德 (Garfied)(Garfied) 的證明的證明
以下證明勾股定理的方式，
是由美國第２０任總統佳菲
爾德 (Garfied,1831~1881) 提
出的。
據說，他有次喝咖 時，對啡
著壁爐發呆，突然靈感一來
，就發現了此方法可以證明
勾股定理，而且還發表在《
新英格蘭教育雜誌》上。

9. 勾股定理勾股定理
a
b
a
b
c
c
兩個全等的黃色直角三角形面積＝ abab =⋅
2
1
2
藍色等腰直角三角形面積＝
2
2
1
c
梯形面積＝
2
)(
2
1
ba +
梯形面積＝藍色等腰直角三角形面積＋兩個全等的黃色三角形面積
=+ 2
)(
2
1
ba +2
2
1
c ab
=+ 2
)( ba +2
c ab2
=++ 22
2 baba +2
c ab2
222
cba =+

10. 勾股定理勾股定理
a
b
a
b
c
c
兩個全等的黃色直角三角形面積＝ abab =⋅
2
1
2
藍色等腰直角三角形面積＝
2
2
1
c
梯形面積＝
2
)(
2
1
ba +
梯形面積＝藍色等腰直角三角形面積＋兩個全等的黃色三角形面積
=+ 2
)(
2
1
ba +2
2
1
c ab
=+ 2
)( ba +2
c ab2
=++ 22
2 baba +2
c ab2
222
cba =+