هذا الوثيقة تستعرض مفهوم الميكانيكا الكلاسيكية، بما في ذلك الحركة والديناميكا والاستاتيكا. يتم تقسيم الميكانيكا إلى ثلاثة مجالات رئيسية وتحديد أنواع القياسات المستخدمة في الفيزياء، بما في ذلك الكميات الاسكالية والكمية المتجهة. كما تعرض الوثيقة أمثلة وتطبيقات على الجمع بين المتجهات والعلاقة بينها.

1. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬1
‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬
»‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬«
‫ﻣﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫از‬ ‫ﭘﻴﺶ‬‫اﺑﺘﺪا‬ ،‫اراﺋﻪ‬ ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬ ‫ﻋﻠﻢ‬ ‫از‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻔﻲ‬‫ﻣﻲ‬‫دﻫﻴﻢ‬.‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﻠﻤﻲ‬‫آﻣﺪن‬ ‫ﺑﻮﺟﻮد‬ ‫ﻋﻠﻞ‬ ‫و‬ ‫اﺟﺴﺎم‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬‫ﺣﺮﻛﺎت‬ ‫آن‬.‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬
‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬،‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ ‫ﺑﺨﺶ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫اﺳﺘﺎﺗﻴﻚ‬ ‫و‬ ‫دﻳﻨﺎﻣﻴﻚ‬‫ﺷﻮد‬.
‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬:‫از‬ ‫ﺑﺨﺶ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫اﺟﺴﺎم‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬،‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺮداﺧﺘﻪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻋﺎﻣﻞ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺑﺪون‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﺎﻣﻴﺪه‬ ‫ﻧﻴﺮو‬ ،‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻋﺎﻣﻞ‬ ‫ﺷﻮد؛‬‫ﺷﻮد‬.
‫دﻳﻨﺎﻣﻴﻚ‬:‫ﻣﻲ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫وارد‬ ‫ﻧﻴﺮوﻫﺎي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اﺟﺴﺎم‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ،‫ﺑﺨﺶ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫ﮔﻴﺮﻧﺪ‬.
‫اﺳﺘﺎﺗﻴﻚ‬:‫ﻧﻴﺮ‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮ‬ ‫ﺗﺤﺖ‬ ‫اﺟﺴﺎم‬ ‫ﺗﻌﺎدل‬ ‫وﺿﻌﻴﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ،‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬ ‫از‬ ‫ﺷﺎﺧﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻧﻴﺮوﻫﺎ‬ ‫ﮔﺸﺘﺎورﻫﺎي‬ ‫و‬ ‫وﻫﺎ‬‫ﺑﺮ‬ ‫وارد‬ ‫ي‬‫آن‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻫﺎ‬‫ﭘﺮدازد‬.
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬:
‫ﻛﻤﻴﺖ‬:‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﻫﺮآﻧﭽﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻚ‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﮔﻴﺮي‬‫ﺷﻮد‬.‫ﻛﻤﻴﺖ‬‫ﻫﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫دﺳﺘﻪ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬.‫دارﻳﻢ‬ ‫ﻛﺎر‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮ‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫از‬ ‫دﺳﺘﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬ ‫در‬.
1‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ـ‬‫اﺳﻜﺎﻟ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﺮ‬)‫ﻧﺮده‬‫اي‬(:‫ﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻲ‬ ‫ﻫﺮ‬‫و‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫د‬‫ﺟﻬ‬‫اﺧﺘﺼﺎص‬ ‫ﺧﻮد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫در‬ ‫ﺘﻲ‬‫ﻧﺪﻫﺪ‬،‫اﺳﻜﺎﻟﺮ‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ‬‫ﻧﺮده‬ ‫ﻳﺎ‬‫ﺧﻮاﻧﺪه‬ ‫اي‬
‫ﻣﻲ‬‫ﺷﻮد‬.‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺗﻌﻴﻴﻦ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫دﻳﮕﺮ‬‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻫﺎ‬‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﺎﻓﻴﺴﺖ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ،‫آﻧ‬‫ﻬﺎ‬‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ‬ ‫را‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ً‫ﻼ‬‫ﻛﺎﻣ‬ ‫ﻫﺎ‬.
‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﭼﻨﺪ‬‫ﻣﺜﺎل‬‫ﻛﻤﻴ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﺖ‬‫ﻫﺎ‬‫اﺳﻜﺎﻟ‬ ‫ي‬‫ﺮ‬‫ﻣﻲ‬‫ﺟﺮم‬ ‫از‬ ‫ﺗﻮان‬‫و‬ ‫دﻣﺎ‬ ،‫اﻧﺮژي‬‫ﺑﺮد‬ ‫ﻧﺎم‬.
2‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ـ‬‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻫﺎي‬:‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻼوه‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻣﻘﺪاري‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ‬ ‫ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ‬ ‫دﻫﻴﻢ‬‫ﻧﻴﺰ‬‫ﻫﺴﺘﻴﻢ‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ﺑﺮاي‬،‫ﻓﻀﺎ‬ ‫در‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻫﻮﻳﺖ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫آن‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺑﺨﺸﺪ‬.‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫در‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻧﻜﺘﻪ‬‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪه‬ ‫از‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﺑﺮداري‬‫ﭘﻴﺮوي‬‫ﻣﻲ‬‫ﻛ‬‫ﻨ‬‫ﻨﺪ‬.‫در‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬
‫ﻃﻮﻟﺸﺎن‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺸﻬﺎي‬ ‫داراي‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎﻫﻬﺎي‬)‫ﺑﺰرﮔﻲ‬‫ﺷﺎن‬(‫ﻣﺎﻧﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺪون‬.
‫ﭼﻨﺪ‬‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬‫ﺑﺮدا‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬ ‫از‬‫از‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ‬ ‫ري‬:‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺗﻜﺎﻧﻪ‬ ،‫ﺧﻄﻲ‬ ‫ﺗﻜﺎﻧﻪ‬ ،‫ﺷﺘﺎب‬ ،‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ،‫ﻧﻴﺮو‬‫ﻧﻴﺮو‬ ‫ﮔﺸﺘﺎور‬ ‫و‬ ‫اي‬.
‫ﻣﻲ‬‫را‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﺑﻪ‬‫ﻃﺮﻳﻖ‬‫دﺳﺘﻪ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫دﻳﮕﺮي‬‫دﺳﺘﻪ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫آن‬ ‫و‬ ‫ﻛﺮد‬ ‫ﺑﻨﺪي‬‫ﺑﻨﺪي‬‫آن‬‫ﻫﺎ‬‫دو‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﮔﺮوه‬‫ﻓﺮﻋﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬ ‫و‬ ‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬.
‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬:‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬ً‫ﻻ‬‫ﻣﻌﻤﻮ‬‫ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اي‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬ ‫از‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‬ ‫ﻣﻘﺪارﺷﺎن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‬.‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫واﺳﻄﻪ‬ ‫ﺑﻲ‬ ‫و‬ ‫ﺑﻼﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ﺑﺘﻮان‬
‫ﻛﺮد‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬.‫و‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﺟﻮد‬‫ﻣﻲ‬‫ﻣﻘﺪا‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻧﻴﺰ‬ ‫ﻓﺮﻋﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ر‬‫ﻧﻤﻲ‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫ﻛﺮد‬ ‫ﺑﻴﺎن‬‫اﺳﺎس‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺗﻮان‬‫درك‬‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﻛﺮد؛‬‫از‬ ‫ﻫﺎﻳﻲ‬
‫از‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ‬ ‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬:‫زﻣﺎن‬ ،‫ﻃﻮل‬ ،‫ﺟﺮم‬.
‫ﻓﺮﻋﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬:‫ﻣﻲ‬ ‫را‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬ ‫ﺑﺮاﺳﺎس‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻛﺮده‬‫ﺑﻴﺎن‬ ‫و‬‫ﻧﻤﻮد‬.‫ﻛ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻓﺮﻋﻲ‬ ،‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‬ ‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻤﻴﺘﻲ‬‫و‬‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻲ‬
‫ﻧﺪارد‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫داﺷﺘﻪ‬ ‫دوﮔﺎﻧﻪ‬ ‫ﻫﻮﻳﺘﻲ‬.‫ﺟ‬ ‫آن‬ ‫از‬‫ﻤﻠﻪ‬‫ﻣﻲ‬‫زاوﻳﻪ‬ ‫و‬ ‫ﺧﻄﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻛﺮد‬ ‫اﺷﺎره‬ ‫ﻧﻴﺮو‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬ ‫و‬ ‫اي‬.
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬:
)‫ﻃﻮل‬(
p mv 
 
)‫زﻣﺎن‬(
×)‫ﺟﺮم‬) = (‫ﺳﺮﻋﺖ‬(×)‫ﺟﺮم‬) = (‫اﻧﺪا‬‫ﺧﻄﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫زه‬(
)‫ﻃﻮل‬(
L I  

)‫زﻣﺎن‬(
×)‫ﺟﺮم‬(×)‫ﻃﻮل‬) = (‫ﺳﺮﻋﺖ‬(×)‫ﺟﺮم‬(×)‫ﻃﻮل‬) = (‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﻧﺪازه‬‫اي‬(
F ma
 
 ) =‫ﻧﻴﺮو‬(
‫ﺷﺎﺧﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻧﻜﺘﻪ‬‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻚ‬ ‫از‬ ‫اي‬‫ﺑﺎﻳﺪ‬‫دو‬‫ﻣﻌ‬ ‫ﻃﺮف‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫ﺎدﻟﻪ‬.‫اﺑﻌﺎد‬ ً‫ﺎ‬‫اﺻﻄﻼﺣ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬
‫دوﻃﺮف‬ ‫ﺟﻤﻼت‬‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﻳﻜﺴﺎن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬.
‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎ‬ ‫اﻫﻤﻴﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫اﺧﺘﺼﺎر‬‫ﺑﺮﺧ‬‫ﺣﺎﻛﻢ‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻲ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫ﻲ‬‫ﺑﺮ‬‫آﻧﻬﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫را‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.
)‫ﻃﻮل‬(×)‫ﺟﺮم‬(
)‫زﻣﺎن‬(×)‫زﻣﺎن‬(

2. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 2
‫ﺟﻤ‬‫ـ‬‫ﻊ‬
‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫اﮔﺮ‬a

‫و‬b

‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫ﺑﺎ‬‫ﺷﻨﺪ‬‫آﻧﮕﺎه‬‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺮداري‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻣﺎﻧﻨﺪ‬c

‫ﻳﺎﻓﺖ‬،‫ﻛﻪ‬‫اﺛﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬‫وﺟﻮد‬ ‫ﻳﺎ‬‫اﺛﺮ‬ ‫ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ‬ ‫آن‬‫وﺟﻮد‬ ‫ﻳﺎ‬‫ﻫﻤﺰﻣﺎن‬‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻫﺮ‬‫اﺳﺖ‬‫و‬‫آن‬
‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫را‬‫ﺑﺮداري‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬a

‫و‬b

‫ﻣﻲ‬‫رواﺑﻂ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎﻣﻴﻢ‬‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬‫ﻧﺸ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺎن‬‫دﻫﻴﻢ‬.c a b 
 
‫زاوﻳﻪ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬a

‫و‬b

‫ﺑﺎ‬ ‫را‬‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻃﻮل‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫دﻫﻴﻢ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬c

‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫آﻳﺪ‬.
| c | | a | | b | | a || b | cos   2 2
2
  
‫ﻣﻲ‬‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺗﻮان‬c

‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﺎ‬a

‫ﻳﺎ‬ ‫و‬‫ﺑﺎ‬‫ﺑﺮدار‬b

‫را‬‫آورد‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻛﻪ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬:
| a | | c | | b |
| b | | a | | c | | a || c | cos cos ( )
| a || c |
  
      
2 2 2
2 2 2 1
2
2
     

‫دارﻳﻢ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬:    
| c | | b | | a |
| a | | b | | c | | b || c | cos cos ( )
| b || c |
  
      
2 2 2
2 2 2 1
2
2
    
 
‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫اﮔﺮ‬a

‫و‬b

‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻫﺎﻳﺸﺎن‬‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬‫ﺑﺮآﻳﻨﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬c

‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫از‬‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫ﻫﺎي‬‫دو‬‫ﺑ‬‫ﺮدار‬
‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫آﻳﺪ‬.‫دارﻳﻢ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬:
x y z
ˆ ˆ ˆb b i b j b k  

‫و‬x y z
ˆ ˆ ˆa a i a j a k  

x x y y z z| c | (a b ) (a b ) (a b )      2 2 2
x x y y z z
ˆ ˆ ˆc a b (a b )i (a b )j (a b )k       
 
‫ﻣﺜﺎل‬1:‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬

a‫و‬b

‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬‫ﻫﺎي‬


a ( , )
b ( , )



2 2
1 4
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬.‫و‬ ‫ﺑﺮآﻳﻨـﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻧﺪازه‬
‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬b

‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‬.
1(cos ( ),1 56
4
765
2(cos ( ),1 54
45
2 765
3(cos ( ),1 6
72
32

4(cos ( ),1 5
92
2 721

‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»2«‫زاوﻳﻪ‬ ‫آوردن‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫اﺑﺘﺪا‬c

‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬:
ˆ ˆ ˆ ˆc ( )i ( )j i j
| c |
     
  
2 1 2 4 3 6
9 36 45


‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺨﺶ‬ ‫دو‬ ‫داراي‬ ‫ﺗﺴﺖ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬‫ﺻﺤﻴﺢ‬‫ﻗﺴﻤﺖ‬‫ﻛﺮدن‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫از‬ ‫ﭘﻴﺶ‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻴﻢ‬ ‫را‬ ‫اول‬‫دوم‬ ‫ﻗﺴﻤﺖ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬‫ﻣﻲ‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻫﺎ‬‫ﭘﺎﺳﺦ‬
‫ﺻﺤﻴﺢ‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺗﺴﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﺮد‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫را‬)2(‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
| b | | c | | a |
cos ( )
| b || c |
  
 
  
 
2 2 2
1
2
| a | ( ) ( ) ( )
cos ( ) cos ( )
( )( )| b |


 
     
   
  
1 14 4 8 17 45 8 54
2 17 45 2 7651 16 17
‫ﺗﻔﺮﻳ‬‫ـ‬‫ﻖ‬
‫ﻧﻴﺰ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬‫ﻛﻪ‬ ‫روﺷﻲ‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺑﺮداري‬ ‫ﺟﻤﻊ‬‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫آورﻳﻢ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.‫اﻣﺎ‬‫ﺗﻔـﺎوت‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬
‫ﻛﻪ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺗﻔﺎﺿﻞ‬a

‫و‬b

‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬c a b 
 
‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬ ‫ﻧﺸﺎن‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻛـﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬
‫ﺑﺮدار‬a

‫ﺑﺎ‬ ‫را‬‫ﻗﺮﻳﻨﻪ‬‫ﺑﺮدار‬b

)‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ﺑـﺎ‬ ‫اش‬b

‫ﻳﻜـﻲ‬‫ﺑـﻮده‬‫ﺟﻬـ‬ ‫وﻟـﻲ‬‫ﺘ‬‫ﺟﻬـﺖ‬ ‫ﻋﻜـﺲ‬ ‫ﺶ‬b

‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺟﻤﻊ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﺮﺳﻴﻤﻲ‬ ‫ﻟﺤﺎظ‬ ‫از‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﮔﻔﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬‫از‬ ‫را‬‫ﺑـﺮداري‬ ‫ﻛﻨـﻴﻢ‬ ‫رﺳـﻢ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬
‫دوم‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻧﺘﻬﺎي‬ ‫ﻛﻪ‬(b)

‫اول‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻧﺘﻬﺎي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬(a)

‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺗﻔﺎﺿﻞ‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫وﺻﻞ‬‫ﺷﻮد‬.‫اﻳـﻦ‬ ‫در‬
‫از‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﻣﻮرد‬‫اﻧﺘﻬﺎي‬b

‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬‫اﻧﺘﻬﺎي‬a

‫اﺳﺖ‬.
b

a

c



b

a


c

c

a

b

b

a ( b) 


3. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬3
‫ﻣﻲ‬ ‫روﺷﻦ‬ ً‫ﻼ‬‫ﻛﺎﻣ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬‫ﺑ‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫رواﺑﻄﻲ‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﺮدار‬‫آوردﻳﻢ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻫﺎي‬b

‫ﺑﻪ‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻫﺎﻳﻲ‬
‫آوردن‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫اﻧﺪازه‬‫ﺑ‬‫ﻧﻴ‬ ‫ﺗﻔﺎﺿﻞ‬ ‫ﺮدار‬‫ﺰ‬‫ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ‬.‫ﻳﻌﻨﻲ‬:x x y y z z| c | (a b ) (a b ) (a b )     2 2 2
‫رواﺑﻂ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬b a c 
  
،a b c 
 
،c a b 
 
‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫و‬‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬b

‫و‬c

،‫ﺑﺎ‬ ‫را‬،‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬a

‫و‬b

‫ﺑﺎ‬ ‫را‬‫و‬‫زاوﻳﻪ‬
‫ﻣﻴﺎن‬a

‫و‬c

‫ﺑﺎ‬ ‫را‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬‫دﻫﻴﻢ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻃﻮﻟﻬﺎي‬ ‫داﺷﺘﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻮان‬| a |

،| b |

‫و‬| c |

‫آورد‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬.
| a | | b | | c | | c || b | cos , | c | | a | | b | | a || b | cos , | b | | a | | c | | a || c | cos
             
           2 2 2 2 2 2
2 2 2
‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺿﺮب‬
‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻫﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫ﺳﻪ‬‫از‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬:
‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﺿﺮب‬
‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫ﺑﺮدار‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬‫راﺳﺘﺎي‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻓ‬ ‫در‬ ‫ﺑﺮدار‬‫ﻀﺎ‬‫ﻧﻤﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬‫ﺑﻠﻜﻪ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫اﻳﻦ‬‫آن‬ ‫اﻧﺪازه‬‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬‫آن‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫و‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫ﻧﻴﺰ‬
‫ﻣﻲ‬‫ﺗﻮاﻧ‬‫ﺗ‬ ‫ﺪ‬‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﻐﻴﻴﺮ‬.
‫راﺳﺘﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻳﺎدآوري‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻻزم‬‫اﻣﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫در‬ ‫راﺳﺖ‬ ‫ﺧﻂ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﭼﮕﻮﻧﮕﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﺳﻮ‬‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫دﻫﻨﺪه‬‫راﺳﺖ‬ ‫ﺧﻂ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫روي‬‫اﺳﺖ‬.‫ﺑﻪ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫رﻳﺎﺿﻲ‬ ‫زﺑﺎن‬‫ﻧﻮﺷﺖ‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫ﺗﻮان‬:
A cB A || B c
| A | | c || B| A || ( B) c
   
 
    
  

  

‫داﺧﻠ‬ ‫ﺿﺮب‬‫ﻲ‬)‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﻋﺪدي‬‫اي‬(‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬:
‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺑﺮاي‬a

‫و‬b

‫ﻃﻮل‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫و‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﻫﺮ‬‫آن‬‫ﻫﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬‫ﺗﻮان‬‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬‫را‬‫ﺻﻮرﺗ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻲ‬‫ﺗﻌﺮ‬‫ﻛﺮد‬ ‫ﻳﻒ‬‫ﻛﻪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫آن‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬:
c a b | a || b | cos  0
   
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫ﺗﺮﺗ‬‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻴﺐ‬‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬‫ﻧﺪارد‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮي‬.‫دارد‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺖ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬:a b b a0 0
  
‫ر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬‫اﺑﻄﻪ‬‫ﻛﻨﻨﺪه‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬‫ي‬‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ‬ ‫آن‬‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫ﻛﻢ‬ ‫دﺳﺖ‬| a |

‫ﻳﺎ‬| b |

‫ﻳﺎ‬cos  ‫روي‬
‫دﻫﺪ‬.‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫آن‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫و‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫ﻃﻮل‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬.
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫از‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‬ ،‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫داﺷﺖ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬،‫دﺳﺘﮕﺎﻫﻬﺎ‬ ‫ﻫﻤﻪ‬ ‫در‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ي‬‫و‬ ‫ﻛﺮوي‬ ،‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬
‫اﺳﺘ‬‫ﻮاﻧﻪ‬‫اي‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫داراي‬.‫را‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺑﺎ‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫دﻫﻴﻢ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻫﺎﻳﺸﺎن‬:x x y y z zc a b a b a b a b   0

‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫ﻗﻴﺪي‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫اﮔﺮ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫ﻫﺎﻳﺸﺎن‬.‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺷﺶ‬ ‫اﺳﺎس‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺮ‬‫دﻳﮕﺮ‬‫ﻧﻤﻲ‬‫ﺗﻮاﻧﻨﺪ‬‫ﻣ‬ ‫ﻫﺮ‬‫ﻘﺪار‬
‫ﺑﺎﺷ‬ ‫داﺷﺘﻪ‬ ‫دﻟﺨﻮاﻫﻲ‬‫آزاداﻧﻪ‬ ‫را‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﭘﻨﺞ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬ ‫ﺑﻠﻜﻪ‬ ،‫ﻨﺪ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب‬‫آﻧﮕﺎه‬‫ﻧﺎﭼﺎر‬‫ﻳﻢ‬‫ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺷﺸﻢ‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫را‬ ‫ﻗﻴﺪي‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﮔﻴﺮﻳﻢ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫اي‬.
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﻮدﻣﻨﺪ‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ‬ ‫ﻗﻴﺪي‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫وﻳﮋﮔﻲ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻛﻤﻚ‬ ‫ﺑﺎ‬ ،‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬‫ﻗﻴﺪي‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬‫دﺳﺘﮕﺎ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫از‬ ‫ﺗﻌﺪادي‬ ‫ﻣﻴﺎن‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ،‫ه‬‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫را‬
‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ‬.‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ﺗﻠﻮﻳﺤﻲ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻗﻴﺪي‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫در‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫اﺷﺎره‬.x x y y z za b a b a b   
‫ﻣﺜﺎل‬2:‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻫﺎﻳﻲ‬


ˆ ˆ ˆA e e e
ˆ ˆ ˆB e e e
   

  
1 2 3
1 2 3
2 3 4
4 6
‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫اﻧﺪ‬‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬‫ﺷﻮد‬‫؟‬)iˆe‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫ﻫﺎ‬
‫واﺣﺪ‬‫دﻟﺨﻮاه‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬‫اﻧﺪ‬(
1(142(153(164(17
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»1«‫دارﻳﻢ‬ ‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC A B ( e e e ) (e e e )     1 2 3 1 2 30 2 3 4 0 4 6
 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( e ) (e e e ) ( e ) (e e e ) ( e ) (e e e )        1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 32 0 4 6 3 0 4 6 4 0 4 6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e )       1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 32 1 0 2 4 0 2 6 0 3 1 0 3 4 0 3 6 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e )   3 1 3 2 3 34 1 0 4 4 0 4 6 0
‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﭼﻮن‬،‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬‫ﻫﺮ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬‫ﺑ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺮ‬‫واﺣﺪ‬،‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ‫دﻳﮕﺮ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬‫ﻣﺎﻧ‬‫ﻨ‬‫ﺪ‬.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e )       1 1 2 2 3 32 1 0 3 4 0 4 6 0 2 12 24 14
‫ﺑﺎﺷ‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬‫ﺪ‬‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫آوردن‬‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬2‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻛﺎﻓﻲ‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﺑﺮدار‬‫ﻛ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫ﻫﺎي‬‫و‬ ‫ﻛﺮده‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺪام‬‫ﻧﺘﺎﻳﺞ‬
‫را‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.

4. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 4
‫ﺧﺎرﺟﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬)‫ﺑﺮداري‬(‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬
‫ﺿﺮب‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺑﺮاي‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬a

‫و‬b

‫ﻃﻮل‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻛﺪام‬ ‫ﻫﺮ‬‫زاوﻳﻪ‬ ‫و‬‫آﻧﻬ‬ ‫ﻣﻴﺎن‬‫ﺎ‬‫روﺑﺮو‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬‫ﺷﻮد‬:c a b 
 
| c | | a || b |sin 
 
‫ﻗﺒﻞ‬ ‫ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫ﺿﺮب‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬،‫ﺑﺮدار‬‫ي‬‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ‫اﺳﺖ‬‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬
‫ﻣﻲ‬‫آﻳﺪ‬)‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫دو‬ ‫آن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬‫ﺑﺮدار‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫در‬ ‫را‬‫ﮔﻴﺮد‬(.‫ﻃﺮﻳﻖ‬ ‫از‬ ‫آن‬ ‫ﺟﻬﺖ‬‫ﻗﺎ‬‫ﻋﺪه‬‫راﺳﺖ‬ ‫دﺳﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ‬‫ﺷﻮد‬.‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺻﻮرت‬‫راﺳﺖ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﭼﻬﺎراﻧﮕﺸﺖ‬ ‫ﻛﻪ‬
‫داده‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫اول‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫در‬ ‫را‬،‫ﻣﻲ‬ ‫ﺧﻢ‬ ‫دوم‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺟﺎروب‬ ‫را‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺟﻬﺘﻲ‬ ‫در‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.‫ﺟﻬﺖ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬‫اﻧﮕﺸﺖ‬‫ﺷﺴﺖ‬‫دﺳﺖ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫را‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫آن‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫راﺳﺖ‬‫د‬‫ﻫﺪ‬.‫اﻳﻦ‬ ‫از‬‫ﺟﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫روﺷﻦ‬‫اﮔﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬‫را‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬ ‫در‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻗﺒﻠﻲ‬ ‫آﻣﺪه‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻋﻜﺲ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫در‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬‫ﺷﻮد‬.‫دارﻳﻢ‬ ‫رﻳﺎﺿﻲ‬ ‫زﺑﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬:a b (b a)   
  
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬c

‫اﻧﺪاز‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬‫ه‬‫ﻣﺴﺎﺣﺖ‬‫ﻣﺘﻮازي‬‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻻﺿﻼﻋﻲ‬
‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ‬a

‫و‬b

‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬‫ﺷﻮد‬.‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫روﺷﻦ‬a

‫و‬b

‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺮ‬
‫ﺑﻴﺸ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ‬‫ﺘﺮﻳﻦ‬‫دارد‬ ‫را‬ ‫ﺧﻮد‬ ‫ﻣﻘﺪار‬.‫دﻳﺪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫از‬‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬:
| c | | a || b | sin (| a | sin ) | b | (| b |sin ) | a |     
     
‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬‫اﺳﺖ‬‫ﻳﻜﻲ‬ ‫ﻃﻮل‬ ‫ﻛﻪ‬)‫ﻫﺮ‬ ‫ﻳﺎ‬‫دو‬(‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬‫و‬‫ﻳﺎ‬‫اﻳﻨﻜﻪ‬‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬‫آﻧﻬﺎ‬‫ﻳﺎ‬18‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫درﺟﻪ‬.
‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫اﮔﺮ‬a

‫و‬b

‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬‫داده‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪي‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻫﺎﻳﺸﺎن‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺎي‬‫آﻣﺪه‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫از‬‫را‬ ‫دو‬ ‫آن‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﺿﺮب‬
‫ﻣﻲ‬‫دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن‬ ‫ﻃﺮﻳﻖ‬ ‫از‬ ‫ﺗﻮان‬)‫ﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اﻣﺎ‬‫ﺿ‬‫ﻻزم‬ ‫ﺮاﻳﺐ‬‫در‬‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫ﻣﺨﺘﺼ‬ ‫ﻫﺎي‬‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﺎت‬(‫آورد‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬.‫ﭘ‬‫ﺲ‬‫دارﻳﻢ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬:
x y z
x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
x y z
ˆ ˆ ˆi j kˆ ˆ ˆa a i a j a k
ˆ ˆ ˆc a a a i(a b a b ) j(a b a b ) k(a b a b )
ˆ ˆ ˆb b i b j b k
b b b



   
       
  
‫ﺳﻄﺮ‬ ‫دو‬ ‫ﺟﺎي‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫آن‬‫ﺟﺎﺑ‬‫ﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﺟﺎ‬‫ﻫﻤﺎن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬‫وﻳﮋﮔﻲ‬‫ﺷﺪ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻲ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫از‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬)‫ﻳﻌﻨـﻲ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻋﻮض‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺟﻬﺖ‬‫ﺷﻮد‬(.‫دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن‬ ‫وﻳﮋﮔﻴﻬﺎي‬ ‫از‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬‫ﺳﻄﺮ‬ ‫دو‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺑﺎﺷـﻨﺪ‬ ‫ﺑﺮاﺑـﺮ‬ ‫ﻫـﻢ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫آن‬‫ﻳـ‬‫ﺳـﻄﺮ‬ ‫ﻳـﻚ‬ ‫اﻳﻨﻜـﻪ‬ ‫ﺎ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫آن‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫دﻳﮕﺮي‬ ‫از‬ ‫ﻣﻀﺮﺑﻲ‬‫ﺷﻮد‬.‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺑﻴﻦ‬ ‫زاوﻳﻪ‬2‫ﺑﺮدار‬0‫ﻳﺎ‬180‫ﻣﻲ‬ ‫درﺟﻪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻪ‬:
yx z
x y z
aa a
a b
b b b
    


‫ﻣﺜﺎل‬3:‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫اﮔﺮ‬

A‫و‬

B‫ﻣﻮ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻟﻔﻪ‬‫ﻫﺎي‬


ˆ ˆ ˆA i j k
ˆ ˆB j k
   

 
2
2
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬A B
 
‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺳﻴﻨﻮس‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬ ‫و‬‫ﺑ‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬‫ﻴﺎﺑﻴﺪ‬‫؟‬
1(ˆ ˆ,( i j) 
2
2
5
2(ˆ ˆ,( i j k)  
15
3
7
3(ˆ ˆ ˆ,( i j k)  
7
3 2
15
4(ˆ ˆ ˆ,( i j k) 6 3 2
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»3«‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫آوردن‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻣﻲ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن‬ ‫از‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.
ˆ ˆ ˆi j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC i( ) j( ) k( ) i j k          1 1 2 1 4 1 2 3 2
2 1

 

‫دو‬ ‫آن‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺳﻴﻨﻮس‬‫از‬‫راﺑﻄﻪ‬‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫آﻳﺪ‬:
| C |
sin
| A || B|
 

 
| A |
| B| sin
| C |
   
       

   
1 1 4 6
14 14 7
4 1 5
3 156 5
9 1 4 14



‫ﮔﻴﺮي‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻣﻴﺪان‬ ‫ﻣﺒﺤﺚ‬ ‫در‬‫ﻧـﺮده‬ ‫و‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻫﺎي‬‫اي‬‫ﻣـﺸﺘﻖ‬ ‫ﻧـﻮع‬ ‫ﺳـﻪ‬ ‫ﺑـﺎ‬‫ﮔﻴـﺮي‬‫ﺧـﺎص‬ ‫ﻧـﺎﻣﻲ‬ ‫ﻛـﺪام‬ ‫ﻫـﺮ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫دارﻳـﻢ‬ ‫ﺳـﺮوﻛﺎر‬‫از‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨـﺪ‬ ‫و‬ ‫دارد‬:،‫ﮔﺮادﻳـﺎن‬
‫ﻛﺮل‬ ‫و‬ ‫دﻳﻮرژاﻧﺲ‬.

| b | sin

a


b | a | sin

b
c

a


5. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬5
‫ﮔﺮادﻳ‬‫ـ‬‫ﺎن‬
‫ﺗﻮاﺑ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫آن‬ ‫اﺛﺮ‬ ‫از‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫دارد‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﻣﻬﻤﻲ‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫وﻳﮋﮔﻴﻬﺎي‬ ‫داراي‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻼوه‬‫ﻧﺮده‬ ‫و‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻊ‬‫اي‬)‫ﻳﺎ‬‫ﻧﺮده‬ ‫و‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻬﺎي‬‫اي‬(‫ﻣـﻲ‬‫ﺗـﻮان‬
‫ﻛﻤﻴﺖ‬‫ﻫﺎي‬‫ﺑﺮدار‬‫ي‬‫و‬‫ﻧﺮده‬‫ﺟﺪﻳﺪ‬ ‫اي‬‫ﭘﺪﻳﺪ‬‫آورد‬.‫اﻳﻦ‬‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬»‫دل‬«‫ﻧﺎﻣﻴﺪه‬‫ﺷﺪه‬‫ﻧﻤﺎد‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫و‬

‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬ ‫ﻧﺸﺎن‬‫ﺷﻮد‬.‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬‫ﻣﺨﺘـﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎﻫﻬﺎي‬ ‫در‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻫﺎي‬
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ‬.‫ﻧﻤﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫روﺑﺮو‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫ﻳﺶ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬:ˆ ˆ ˆi j k
x y z
  
   
  

‫ﻣﻲ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬ ً‫ﺎ‬‫اﺻﻄﻼﺣ‬‫اﻳﻦ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬،‫ﺗ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﮔﺮﺳﻨﻪ‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮي‬‫ﻨﻬ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫ﻣﻌﻨﻲ‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ‬ ‫ﺎ‬‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫ﺑﻪ‬‫ﻧـﺮده‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ﻳﻚ‬‫ﻣﻨﺎﺳـﺒﻲ‬ ‫ﻧﺤـﻮ‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫دﻳﮕـﺮ‬ ‫اي‬
‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺣﻤﻠﻪ‬)‫ﺷﻮد‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫آن‬ ‫در‬(.‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻫﺎ‬،‫ﻳﻚ‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﻌﺪي‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫و‬ ‫دو‬ ،‫ﻳﻚ‬ ‫ي‬‫ﻣﻮﻟﻔـﻪ‬ ‫اﻳـﻦ‬ ‫از‬ ‫ﻛـﺪام‬ ‫ﻫـﺮ‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫و‬ ‫دو‬‫ﻫـﺎ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬ ‫ﺟﻬﺘﻲ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬‫ﺷﻮد‬.‫ﻃﺮﻳﻖ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬ ‫اﻳﻦ‬‫اﺛﺮ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫ﺑﺮ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻛﻨﺪ‬.
‫ﻧﺮده‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻛ‬ ‫اﺛﺮ‬ ‫اي‬‫ﻨﺪ‬‫ﻧﺎﻣﺶ‬ ‫و‬ ‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬»‫ﮔﺮادﻳﺎن‬«‫ﻧﺮده‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫آن‬‫اي‬‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.ˆ ˆ ˆi i k
x y z
  
   
  

‫ﻧﺮده‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﭼﻮن‬‫اي‬‫ﻓ‬ ‫در‬‫ﻀﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬‫ﮔﺮادﻳﺎن‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫ﻣـﻲ‬ ‫ﻣـﺸﺨﺺ‬ ‫را‬ ‫ﺟﻬﺘـﻲ‬‫ﺗﻐﻴﻴـﺮ‬ ‫ﺑﻴـﺸﺘﺮﻳﻦ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﻛﻨـﺪ‬‫ﻣـﻲ‬ ‫روي‬ ‫ﺟﻬـﺖ‬ ‫آن‬ ‫در‬‫دﻫـﺪ‬.
‫ﻳﻌﻨﻲ‬

‫ﻧﺮده‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات‬ ‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬‫اي‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫در‬ ‫را‬‫ﻛﻨﺪ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬4:‫ﻣﻌﺮف‬ ‫ﺑﺮدار‬‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات‬ ‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬xy z  2
2‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬‫ي‬r‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﺑﻪ‬( , , )1 2 1‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ؟‬ ‫را‬
1(
ˆ ˆ ˆ(i j k) 
3
2(
ˆ ˆ ˆ(i j k) 
3
3(
ˆ ˆ ˆ(i j k) 
2
4(
ˆ ˆ ˆ(i j k) 
3
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»2«‫ﮔﺮادﻳﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬r‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫آﻳﺪ‬:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( i j k)( xy z) i ( xy z) j ( xy z) k ( xy z) i( y z) j( xyz) k( xy )
x y z x y z
      
         
     
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4 2
r
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi( ( ) ( )) j( ( )( )( )) k( ( )( ) ) i j k (i j k)

         2 2
2 2 1 4 1 2 1 2 1 2 8 8 8 8
‫ﻓ‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫آوردن‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫و‬‫ﻀﺎ‬‫ﺣﺎﺻﻞ‬‫را‬‫ﺗﻘﺴﻴ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻃﻮل‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻢ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.
r
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(i j k) (i j k)
| |
    
 
 
8
3 64 3


‫دﻳﻮرژاﻧﺲ‬
‫ﻧﻮﻋﻲ‬‫دﻳﮕﺮ‬‫ﻛﻪ‬‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬

‫اﺛﺮ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫اﺳـﺖ‬ ‫ﻋـﺪد‬ ‫ﻳـﻚ‬ ‫آن‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮد‬.‫دﻳﮕـﺮ‬ ‫ﻋﺒـﺎرت‬ ‫ﺑـﻪ‬‫ﻫﻤـﺎن‬‫داﺧﻠـﻲ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠـﻀﺮب‬
‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬

‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫اﺳﺖ‬ ‫اﺳﻜﺎﻟﺮ‬ ‫ﻛﻤﻴﺘﻲ‬ ‫ﻛﻪ‬:
yx z
x y z
AA Aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA ( i j k) (A i A j A k)
x y z x y z
    
        
     
0 0
‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫و‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﻃﺮﻳﻖ‬ ‫از‬ ‫دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻠﻲ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎت‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫آﻧﺠﺎ‬ ‫از‬‫ﻣﻲ‬ ‫روﺷﻦ‬ ‫آﻳﺪ‬‫ﻧﺘﻴﺠـﻪ‬ ‫اﻳـﻦ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﺷـﻮد‬‫ﻣـﺴﺘﻘﻞ‬‫از‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬‫دﻫﻴﻢ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫آن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺪﻳﻬﻲ‬.‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺷﺎره‬ ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬ ‫در‬‫ﻫﺎ‬V0
 
‫ﻫﻤـﺎن‬ ‫را‬‫ﻗـﺪرت‬
‫ﺷﺎره‬ ‫ﻣﻮﻟﺪ‬ ‫ﭼﺸﻤﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬‫ﮔﻴﺮﻧﺪ‬.‫ﭼﺸﻤﻪ‬ ‫ﻗﺪرت‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺑﺰرﮔﺘﺮي‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫داراي‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫اي‬‫ﻣﻲ‬ ‫اﻳﺠﺎد‬ ‫را‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻣﻴﺪان‬ ‫ﻛﻪ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻴﺸﺘﺮ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬.
‫ﻧﻜﺘﻪ‬1:‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫دﻳﻮرژاﻧﺲ‬ ‫آوردن‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻫﺎي‬‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬‫ﻛﺮد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮔﺮادﻳﺎن‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺶ‬ ‫از‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬5:‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻣﻴﺪان‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫اﮔﺮ‬

ˆ ˆ ˆA (xi ycj czk)  2 3‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫از‬ ‫ﻣﻘﺎدﻳﺮي‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ازاء‬c‫ﭼـﺎه‬ ‫ﻳـﺎ‬ ‫ﭼـﺸﻤﻪ‬ ‫داراي‬ ‫ﻣﻴـﺪان‬ ‫اﻳـﻦ‬
‫ﻧ‬‫ﺑﻮد‬ ‫ﺨﻮاﻫﺪ‬‫؟‬
1(c


1
5
2(c  3(c 
1
5
4(c 
2
5
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»1«‫دﻳﻮرژاﻧﺲ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﭼﺎه‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﭼﺸﻤﻪ‬ ‫ﻧﺪاﺷﺘﻦ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫داﺷﺘﻦ‬‫ﺑﺴﺘﮕﻲ‬‫دا‬‫رد‬.‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫و‬ ‫دارﻳﻢ‬ ‫ﭼﺸﻤﻪ‬ ‫ﺑﻮد‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺑﻮد‬‫ﭼـﺎه‬‫ﺧـﻮاﻫﻴﻢ‬
‫داﺷﺖ‬.‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬A

 0‫اﺳﺖ‬ ‫ﭼﺎه‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﭼﺸﻤﻪ‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﻋﺪم‬ ‫ﻣﻌﻨﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA ( i j k) (xi ycj czk) (x) ( yc) ( zc) c c c
x y z x y z
      
               
     
1
0 0 2 3 2 3 1 2 3
5

 

6. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 6
‫ﻛ‬‫ـ‬‫ﺮل‬
‫ﻛﺎرﺑﺮد‬‫دﻳﮕﺮ‬‫دل‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬‫ﻣﻲ‬ ‫آن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬‫اﺛﺮ‬ ‫از‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻛﺮدن‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮ‬،‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﺑﺮداري‬‫آو‬‫رد‬‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫دارد‬ ‫ﻧـﺎم‬ ‫ﻛـﺮل‬ ‫و‬ ‫ﺑﺎﺷـﺪ‬.
‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫روﺷﻦ‬‫ﻣﻲ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺧﺎﺻﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻛﺮل‬ ‫ﻫﺎي‬‫دﻫﻴﻢ‬،‫دارد‬ ‫ﺑﺴﺘﮕﻲ‬.‫در‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫دﻳﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫آﻳﻨﺪه‬ ‫در‬
‫دﺳﺘﮕ‬‫ﺎه‬‫ﭼﮕﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻛﺮل‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺶ‬ ،‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻫﺎي‬‫اﺳﺖ‬.‫دﻳ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﮕﺮ‬‫در‬ ‫ﻛﺮل‬ ‫آوردن‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫ﻫـﺎي‬‫ﻣﻨﺤﻨـﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘـﺼﺎت‬‫از‬ ‫ﺑﺎﻳـﺪ‬ ‫اﻟﺨـﻂ‬
‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻣﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫ﺿﺮاﻳﺐ‬‫ﻛﺮد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻫﺎ‬.
y yz x z x
x y z
ˆ ˆ ˆi j k
A AA A A Aˆ ˆ ˆA ( )i ( )j ( )k
x y z y z z x x y
A A A
       
       
        

‫ﺗ‬ ‫اراﺋﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻌﺒﻴ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻛﺮل‬ ‫از‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ‬ ‫ﺮي‬‫ﮔﻔﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﺑﺮدار‬A

‫ﻣﻲ‬ ‫را‬ ‫ﻣﻄﻠﺐ‬ ‫اﻳﻦ‬‫آﻳﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫رﺳﺎﻧﺪ‬‫اﻳ‬‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻣﻴﺪان‬ ‫ﻦ‬،‫ﻓﻀﺎ‬ ‫در‬‫دور‬ ‫ﺑـﺴﺘﻪ‬ ‫ﻣـﺴﻴﺮ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫روي‬
‫ﻣﻲ‬‫ﺧﻴﺮ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫زﻧﺪ‬.‫ﺑﺮدار‬ ‫ﭘﻴﺪاﻳﺶ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫آﻧﭽﻪ‬ ‫آﻳﺎ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬A

‫ﻣﻲ‬‫ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﻣﻴﺪان‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺪﻳﺪ‬ ‫اي‬‫ﺧﻴﺮ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﺑﺰﻧﺪ‬ ‫دور‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫آورد‬.‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬،‫ﻛـﻪ‬ ‫آﺑﻲ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﻴﭻ‬ ‫ﭼﺮﺧﺸﻲ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺣﻔﺮه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻃﺮﻳﻖ‬ ‫از‬‫ﺧﻮرد‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﺨﻠﻴﻪ‬ ‫و‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﭼﺎه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫دﻫﻨﺪه‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
‫ﻛﺮل‬ ‫ﻣﻌﺮف‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ‬ ،‫ﺑﺎﺷﻴﻢ‬ ‫داﺷﺘﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬:
y x
A A
x y
 

 
،z xA A
x z
 

 
،
yz
AA
y z


 
‫دﻳـ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳـﻒ‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻧـﺮده‬ ‫ﺿـﺮب‬ ‫ﻃـﻮر‬ ‫ﻫﻤـﻴﻦ‬ ‫و‬ ‫ﻛـﺮل‬ ‫و‬ ‫ﻮرژاﻧﺲ‬‫اﺳـﻜﺎﻟﺮ‬ ‫ﮔﺎﻧـﻪ‬ ‫ﺳـﻪ‬ ‫اي‬
B (B A)  
 
‫ﻣﻲ‬ ،‫اﺳـﺖ‬ ‫ﺻـﻔﺮ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻛﺮل‬ ‫دﻳﻮرژاﻧﺲ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻴﻨﻴﻢ‬.‫ﺳـﻄﺮ‬ ‫دو‬ ‫ﭼـﻮن‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﭘﺲ‬ ،‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن‬‫ﺷﻮد‬.
x y z
x y z
( A)
x y z
A A A
  
  
  
   
  
0
 

‫ﻧﻜﺘﻪ‬:‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻻزم‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬

‫ﻛﻤﻴﺘﻲ‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬‫از‬ ‫و‬‫ﻧﻮﻋﻲ‬ ‫ﻫﺮ‬‫اﺛﺮ‬‫ﻧﻤﻲ‬‫ﻛﻨﺪ‬.‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬( A) 0
 
‫اﺳـﺖ‬ ‫ﻧـﺸﺪه‬ ‫ﺗﻌﺮﻳـﻒ‬
‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬ ‫ﭼﻮن‬‫ﻛﺮل‬( )

‫ﺗﻨﻬﺎ‬‫اﺛﺮ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﺑ‬ ‫آن‬ ‫اﺛﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫و‬ ‫ﮔﻴﺮد‬‫ﺮ‬‫ﻳـﻚ‬‫ﻧـﺮده‬ ‫ﻛﻤﻴـﺖ‬‫اي‬‫ﺗﻌﺮﻳـﻒ‬‫اﺳـﺖ‬ ‫ﻧـﺸﺪه‬
‫ﻧﺮده‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫دﻳﻮرژاﻧﺲ‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬‫ﻋﻤ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﺸﺪه‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اي‬‫ﻠ‬‫ﮕﺮ‬.( )

‫ﻧﻤﻲ‬‫ﻧﺮده‬ ‫ﻣﻴﺪان‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬‫ﻛﻨﺪ‬ ‫اﺛﺮ‬ ‫اي‬.
‫ﻣﺜﺎل‬6:‫ﻣﻴﺪان‬ ‫ﺷﺮاﻳﻄﻲ‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ﺗﺤﺖ‬‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﭼﺮﺧﺸﻲ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬

ˆ ˆ ˆA cyi xj czk  3 2 2
1(c 
2
3
2(c 
3
2
3(c 
1
4
4(c 
1
5
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»1«‫ﻳﻚ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﻴﺪان‬‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭼﺮﺧﺸﻲ‬‫ﺻﻔﺮ‬ ‫آن‬ ‫ﻛﺮل‬‫ﺧﻮاﻫﺪ‬‫ﺷﺪ‬‫ﺻﻮرت‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫دارﻳﻢ‬:
ˆ ˆ ˆi j k
ˆ ˆ ˆ ˆA i( ( cz) ( x)) j( ( cy) ( cz)) k( ( x) ( cy)) ( c)k
x y z y z z x x y
cy x cz

 
        
           
        
2 2 3 2 2 3 2 3
3 2 2
‫آن‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺷﺪن‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﺑﺎﻳﺪ‬c 2 3 ‫ﺷﻮد‬‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫در‬ ‫؛‬c 
2
3
.
‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬
‫ﺷﺘﺎ‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﻛﻨﻮن‬‫در‬ ‫ب‬‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫ﻫﺎي‬‫ﻣﻲ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬‫ﭘﺮدازﻳﻢ‬.ً‫ﻻ‬‫ﻣﻌﻤﻮ‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﺳﻪ‬‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬‫ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫در‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ‬‫از‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﮔﻴﺮﻧﺪ‬‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫ﺻﻔﺤﻪ‬،‫اي‬‫اﺳﺘﻮاﻧﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫و‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫اي‬
‫وﻳﮋﮔﻲ‬ ‫ﻛﻪ‬‫اﻳﻦ‬ ‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻫﺎي‬‫دﺳ‬‫ﺘﮕﺎه‬‫ﻫﺎ‬‫را‬‫اﺧﺘﺼﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬‫داد‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ‬.
‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫آﻏﺎز‬ ‫در‬.‫اﮔﺮ‬r(t)

‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﻌﺮف‬‫ﻣﻮ‬‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻗﻌﻴﺖ‬‫اي‬‫از‬‫در‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬
‫زﻣﺎن‬t‫در‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫ﻓﻀﺎ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻴﻨﻴﻢ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺎي‬r

‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫دﭼﺎر‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫ﻳﻜ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‬‫ﻪ‬‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫در‬‫ﻫﺎي‬
‫اوﻟﻴﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ‬‫دارﻳﻢ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ‬:ˆ ˆ ˆr(t) x(t)i y(t)j z(t)k  


7. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬7
ˆ ˆ ˆdr(t) dx(t) di dy(t) dj dz(t) dk dx(t) dy(t) dz(t)ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV(t) ( i x(t) ) ( j y(t) ) ( k z(t) ) i j k
dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
         

x y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆxi yj zk V i V j V k       
‫اﺳﺖ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﻧﺸﺎﻧﮕﺮ‬ ‫ﺣﺮوف‬ ‫ﺑﺎﻻي‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬.‫ﺑﺮاي‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺷﺘﺎب‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻋﻤﻞ‬‫و‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬‫زﻳﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣﻲ‬‫رﺳﻴﻢ‬:
x y z
dV(t) dx dy dzˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa i j k xi yj zk a i a j a k
dt dt dt dt

  
           
‫ﻣﻲ‬‫ﺗﻮان‬‫ﻣﻜﺎ‬ ‫و‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ،‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫آﺷﻨﺎي‬ ‫رواﺑﻂ‬‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬ ‫دارﻳﻢ‬ ‫ﻳﺎد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﻲ‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻚ‬ ‫از‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫را‬ ‫ن‬‫ﻧﻴﺰ‬‫ﺑﺮد‬ ‫ﺑﻜﺎر‬.‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫اﻣﺎ‬‫ﺗﻮﺟﻪ‬‫ﺑـﺮاي‬ ‫ﺗﻨﻬـﺎ‬ ‫رواﺑـﻂ‬ ‫آن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫داﺷﺖ‬
‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻲ‬‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﺑ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬‫ﺎﺷﺪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻛﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬‫ر‬‫وﻧﺪ‬.‫وﻟﻲ‬‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﻣﺒﺎﺣﺚ‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬‫ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ‬ ‫و‬ ‫ﺗﺮ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺗﺮي‬‫ﺷـﻮﻧﺪ‬‫اﺳـﺖ‬ ‫ﻣﻤﻜـﻦ‬‫ﺛﺎﺑـﺖ‬ ‫ﺷـﺘﺎب‬ ‫ﺣﺮﻛﺘـﻲ‬ ‫در‬
‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‬.‫ﻧﻤ‬ ‫ﻫﻤﻴﺸﻪ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬‫ﻲ‬‫آن‬ ‫از‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻫﺎ‬‫ﻛﺮد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬.
‫ﻣﺜﺎل‬7:‫ذره‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﮔﺮ‬‫اي‬‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬
 ˆ ˆ ˆr ( t )i ( t t)j ( t )k    2 6
2 2 3 5 2‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‬ ‫آﻧﺮا‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺮدار‬ ،‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫؟‬
1(ˆ ˆj t k 3
2 62(ˆ ˆi j8 43(ˆ ˆj t k 4
6 54(ˆ ˆj t k 4
6 6
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»4«‫اﻧﺠﺎم‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﺎري‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬‫دﻫﻴﻢ‬،‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫از‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺎي‬r

‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.ˆ ˆ ˆv r(t) i ( t )j t k     5
2 6 5 12


ˆ ˆa r(t) j t k   4
6 6

 
‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫اي‬
‫ﺗﻌﺮ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻳﻒ‬‫آن‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫و‬ ‫ﺷﺪه‬‫ﺑﺎ‬rˆe‫و‬ˆe‫ﻧﺸﺎن‬‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬‫ﺷـﻮﻧﺪ‬.‫ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ‬،‫ﻣﻮﻗﻌﻴـﺖ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫را‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬‫ﻣﺨﺘﺼﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻮان‬r‫و‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬rˆr re

‫ﻣ‬‫ﻛﺮد‬ ‫ﺸﺨﺺ‬.‫ﺷﺎﻳﺪ‬‫اﻳﻦ‬‫ﻛـﻪ‬ ‫آﻳـﺪ‬ ‫ﭘﻴﺶ‬ ‫ﺳﻮال‬
‫ﭼﺮا‬r

‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬rˆr re

‫ﺑﻴﺎن‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ﻣﻲ‬‫ﺷﻮد‬‫در‬ ‫دﻛـﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘـﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ‬ ‫و‬
‫ﻧ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬‫ﻤﻲ‬‫ﺷﻮد‬.‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻋﻠﺖ‬‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫ﻫﺎي‬‫ﻣﺨﺘـﺼﺎت‬‫ﻏﻴـ‬‫دﻛـﺎرﺗﻲ‬ ‫ﺮ‬‫دﺳـﺘﮕﺎه‬ ‫ﺑـﺮﺧﻼف‬
‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫در‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ،‫دﻛﺎرﺗﻲ‬‫ﻣﻮردﻧﻈﺮ‬‫ﻓـ‬ ‫در‬‫ﻀﺎ‬‫ﻣـﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴـﺮ‬‫ﺑـﺮدار‬ ‫اﻳﻨﺠـﺎ‬ ‫در‬ ‫ﻳﻌﻨـﻲ‬ ‫ﻛﻨﻨـﺪ‬
‫واﺣﺪ‬rˆe‫ﻳﻚ‬ ‫ﻃﻮل‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻛﻪ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬‫ﺑﺮاي‬‫ﻣﺨ‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫دو‬‫ﺘﻠﻒ‬‫داد‬ ‫ﺧﻮاﻫـﺪ‬ ‫ﻧـﺸﺎن‬ ‫را‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫دو‬ ،
‫ﭘﺲ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ‬r

‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬rˆr re ( ) 

‫اﺳﺖ‬ ‫ﻛﺎﻣﻠﺘﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫دﻫﻴﻢ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬.
‫ﭼﻮن‬ ‫اﻛﻨﻮن‬rˆe‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫در‬‫ﻛﻨﺪ‬)‫ﻛﻪ‬ ‫دﻟﻴﻞ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬‫ﻛﻨﺪ‬(‫ﻣﺸﺘﻖ‬‫ﭘﻴﭽﻴﺪه‬ ‫ﻛﻤﻲ‬ ‫آن‬ ‫از‬ ‫ﮔﻴﺮي‬‫ﺗ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺮ‬.
r r r
r r r r
ˆ ˆ ˆde ( ) de dedr dr d
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV ( )e ( ) r( ) re r re r re r e
dt dt dt d dt d

 
           
 

   
‫از‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬‫راﺑﻄﻪ‬rˆde
ˆe
d


‫ﻛﺮده‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬‫اﻳﻢ‬.‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺷﺪن‬ ‫ﻇﺎﻫﺮ‬ ‫ﺷﺮوع‬ˆe‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫از‬r‫راﺳـﺘﺎي‬ ‫ﺑـﺮ‬ ‫ﻋﻤـﻮد‬ ‫راﺳـﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬
‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬‫اﺳﺖ‬.‫ﻣﻲ‬‫ﺷ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﺘﺎب‬‫ﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬r
ˆde
ˆe
d
  

‫آورد‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬:
r
r r r r
ˆˆ dededV d(r) d
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa e r( ) (r )e r re r e r e r e (r r )e ( r r )e
dt dt dt dt dt

                       2 2
2 2

            
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪه‬‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬،‫ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﻲ‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﻚ‬ ‫ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬‫ﺷﺘﺎب‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬‫ﻧﻴﺴﺖ‬‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫و‬r،r،r،‫و‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫دﭼﺎر‬‫ﺷﻮد‬.
‫ﻣﺜﺎ‬‫ل‬8:‫ﺻﻔﺤ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻪ‬‫ذره‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫اي‬‫اي‬‫زﻣﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬r ( t ) R
t
 

 
2
3
2
2
‫ﺑﺎﺷ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫ﻨ‬‫ﺪ‬،‫آﻧﮕـ‬‫ﻣﺆﻟﻔـﻪ‬ ‫ﺎه‬‫ﺷـﺘﺎب‬ ‫ﺷـﻌﺎﻋﻲ‬
‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‬ ‫را‬‫؟‬
1(R t t  2
4 122(R ( t )  2
2 1 63(R ( t ) 6
4 724(R ( t )  6
6 5
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»3«‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫رواﺑﻄﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﺷﺘﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫آوردﻳﻢ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ب‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.‫ﺳﺎده‬ ‫راه‬‫ﺑـﻪ‬ ‫را‬ ‫رواﺑـﻂ‬ ‫اﻳـﻦ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫اﺳـﺖ‬ ‫اﻳـﻦ‬ ‫ﺗﺮ‬
‫ﺑﺴﭙﺎرﻳﻢ‬ ‫ﺧﺎﻃﺮ‬)‫ﻣﺨ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ‬‫ﭼﻮن‬ ‫دﻫﻴﻢ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬ ‫را‬ ‫ﻛﺎر‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫ﺘﺼﺎت‬‫رواﺑﻂ‬‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﺷـﺘﺎ‬‫اﺳـﺘﻮاﻧﻪ‬ ‫و‬ ‫ﻛـﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒـﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘـﺼﺎت‬ ‫در‬ ‫ب‬‫اي‬
‫ﭘﻴﭽﻴﺪه‬‫ﺗﺮ‬‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬(.
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬:ra r r R ( t R )( t ) ( t )R      2 2 2 2 6
4 2 6 4 72  

ˆe
rˆe

r

8. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 8
‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬
‫ﻣﻲ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻳﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺗﻌﻤﻴﻢ‬‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫ﺑ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫در‬ ‫اي‬‫آورد‬ ‫ﺣﺴﺎب‬ ‫ﻪ‬.‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬
rˆr re ( , )  

‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺶ‬‫ﺷﻮد‬.
‫ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬‫و‬‫اﻳﻦ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫واﺑﺴﺘﻪ‬‫ﺑﺮدار‬‫ﻧﺸ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫از‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬‫داد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺎن‬.
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻴﻨﻴﻢ‬‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺳﻪ‬rˆe،ˆe‫و‬ˆe‫دﺳـﺘﮕﺎه‬ ‫ﻳـﻚ‬ ‫ﺗﺸﻜﻴﻞ‬ ‫و‬ ‫ﻋﻤﻮدﻧﺪ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺮ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫راﺳﺘﮕﺮد‬‫دﻫﻨﺪ‬.‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫راﺳﺖ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫اﻧﮕﺸﺖ‬ ‫ﭼﻬﺎر‬ ‫اﮔﺮ‬rˆe‫ﺑﻪ‬ ‫و‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار‬
‫ﺳﻮي‬ˆe‫ﺷﺴ‬ ‫اﻧﮕﺸﺖ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﺧﻤﻴﺪه‬‫راﺳﺖ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺖ‬،‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ˆe‫داد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫را‬.
‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺎي‬r

‫دارﻳﻢ‬ ‫ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫را‬.
r x y z
x rsin cos
x y
y rsin sin tan ( )
z
z rcos
y
tan ( )
x


   

   
 
      
   
 

2 2 2
2 2
1
1
‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬rˆe،ˆe‫و‬ˆe‫راﺳﺘﺎ‬ ‫در‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻫﺎ‬‫اﻓﺰاﻳﺶ‬ ‫ي‬r،‫و‬‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار‬‫اﻧﺪ‬.‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬‫ﺟﻬ‬‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ﺖ‬‫ﺟﻬﺘـ‬ ‫ﺑـﺎ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫از‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬‫ﺸﺎن‬‫در‬
‫ﻧﻘﻄﻪ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫اي‬.‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫از‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﺑﺘﻮان‬ ‫آﻧﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﭘﺲ‬‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬‫از‬ ‫اي‬‫ﺑﻪ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ﻛﺮد‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬
‫ﻣﻲ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬‫ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‬:
r
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆe sin cos i sin sin j cos k , e cos cos i cos sin j sin k , e sin i cos j                     
‫ﻧﻴﺴﺖ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻛﺮدن‬ ‫ﺣﻔﻆ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﻴﺎزي‬،‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﻠﻜﻪ‬‫ﺿﺮورت‬‫ﻣﻲ‬‫آورد‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﻗﺖ‬ ‫ﻛﻤﻲ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫ﺗﻮان‬.‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫از‬‫اﮔـﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬(t)  ‫و‬
(t)  ‫ﺧﻮاﻫ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﻳﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬‫ﻨ‬‫ﻣﺒﺪاء‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‬ ‫ﻣﻄﻠﺐ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫و‬ ‫ﻛﺮد‬ ‫ﺪ‬)‫ﻳﻌﻨﻲ‬r(‫اﺳﺖ‬.‫ﻳﻌﻨـﻲ‬‫ﺗﻐﻴﻴـﺮ‬r
‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬‫ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ‬ ‫ﺻﻮرت‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻇﺎﻫﺮ‬‫ﺷﻮد‬.‫ﻣﻲ‬ ‫را‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺬﺷﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬‫ﻧﺘـﺎﻳﺞ‬ ‫ﻧﻮﺷﺖ؛‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫دوﺗﺎي‬ ‫از‬ ‫ﺧﻄﻲ‬ ‫ﺗﺮﻛﻴﺒﻲ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮان‬
‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫از‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬‫از‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﮔﻴﺮي‬rˆr r(t)e ( (t) , (t))  

‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫آﻳ‬‫ﻨ‬‫ﺪ‬:
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬rˆde
ˆ ˆe sin e
dt

     .
r r r
dr
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV re r e r sin e V e rV e rsin V e
dt
               

 
r
dV
ˆ ˆ ˆa (r r r sin )e (r r r sin cos )e (r sin r sin r cos )e
dt
                        2 2 2 2
2 2 2

           
‫آﺷﻜﺎر‬‫اﮔﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬     ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫ﻫﺎﻳﺸﺎن‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫اي‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬.‫ﻛـﻪ‬ ‫اﺳـﺖ‬ ‫ﺑﻬﺘـﺮ‬ ‫اﻳﻨﺠـﺎ‬ ‫در‬‫ﺗﻨﻬـﺎ‬
‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬‫ﺧﺎﻃ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﺑﺴﭙﺎرﻳﻢ‬ ‫ﺮ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬9:‫ﺗﺎﺑﻌﻲ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻧﺮده‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫اي‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬r sin e 
  3 2
4،‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫ﻣﻴﺪان‬ ‫آﻧﮕﺎه‬‫ﺑﺮداري‬‫ﻣ‬‫ﮔﺮادﻳـﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺮﺑﻮط‬
‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺷﻮد؟‬
1(rˆ ˆ ˆr sin e e r cos e e r e e  
    2 2 2 2 2 2
12 4 82(rˆ ˆ ˆr sin e e r cos e r e
    2 2 2 2
1 6 8
3(rˆ ˆ ˆrcose r cos e e r e e 
   2 2 2 2
12 1 2 4(rˆ ˆ ˆrcos e e rsin e r e e 
     2 2
8 6 2
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»1«‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫ﮔﺮادﻳﺎن‬ ‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬‫ﺻـﻮرت‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬rˆ ˆ ˆe e e
r r rsin
 
  
   
   
1 1
‫ﻣـﻲ‬ ‫داده‬ ‫ﻧﻤـﺎﻳﺶ‬‫ﺷـﻮ‬‫د‬.
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬

‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬:
r rˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(e e e )( r sin e ) r sin e e r cos e e r e e
r r rsin
   
   
  
         
   
3 2 2 2 2 2 2 21 1
4 12 4 8

‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻻزم‬‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻣﻴﺪان‬ ‫از‬ ‫ﻣﻨﻈﻮر‬‫ﻧﺮده‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﮔﺮادﻳﺎن‬‫ﻧﺮده‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫آن‬ ‫ﮔﺮادﻳﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ،‫اي‬‫اي‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫از‬ ‫ﺗﺎﺑﻌﻲ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
ˆe
ˆe
rˆe


y
oV

x

9. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬9
‫ﻣ‬‫ﺜﺎ‬‫ل‬10:‫ذره‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﻪ‬ ‫ﺳﻪ‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫اي‬
r r ( t )
t
t
  

 

 
2
2 1
3
2
‫ﺷـﺪه‬ ‫داده‬‫اﻧـﺪ‬.‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑـﻮط‬ ‫ﻣﻮﻟﻔـﻪ‬‫ﺳـﺮ‬‫زاوﻳـﻪ‬ ‫ﻋﺖ‬‫اي‬‫در‬
‫راﺳﺘﺎي‬ˆe‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‬ ‫را‬‫؟‬
1(t2(trcos23(trsin44(t4
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»4«‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫داراي‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬‫ﻧﻴـﺴﺖ‬ ‫ﭼﻨـﻴﻦ‬ ‫اﻳـﻦ‬ ً‫ﺎ‬‫ﻟﺰوﻣ‬ ‫اي‬.‫ﻫﻤـﺎن‬‫ﮔﻮﻧـﻪ‬‫رواﺑـﻂ‬ ‫ﺻـﻮرت‬ ‫از‬ ‫ﻛـﻪ‬
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ˆ(V) rsin V e   

.‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬V‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﭘﺎراﻣﺘﺮ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫اي‬‫اﺳﺖ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬.‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫در‬V t    4
‫ﻣﺜﺎل‬11:‫دﻳ‬‫ﺑﺮداري‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻮرژاﻧﺲ‬

rˆ ˆV (r e r e sin e )
  2 2 3
‫ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫را‬‫؟‬
1(r re sin
 3
2 22(r re cos
 3
3 3
3(r re sin
 3
3 34(r re 
 3
4 3
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»4«‫ﻋﻤﻠﮕﺮ‬ ‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬‫دﻳﻮرژاﻧ‬‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫ﺲ‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻫﺎي‬‫اﺳﺖ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬:
V [ (V h h ) (V h h ) (V h h )]
h h h q q q
  
    
  
1 2 3 2 1 3 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1 
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ih‫ﻋﺎﻣﻞ‬ ‫ﻫﺎ‬‫ﻣﻘﻴﺎس‬ ‫ﻫﺎي‬‫دﺳﺘﮕﺎه‬،‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬i
q‫و‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻫﺎ‬iV‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬ ‫ﻫﺎ‬‫ﻫﺎي‬‫ﺑﺮدار‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫ت‬‫ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ‬‫اﻧﺪ‬.‫در‬ ‫اﻳﻨﻜـﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬
‫دارﻳﻢ‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬
h
h r
h rsin



  
1
2
3
1
‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﻳﻮرژاﻧﺲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﺮاي‬‫آورﻳﻢ‬.
V [ (r sin ) (r e sin )] r re
rr sin
  
      
 
4 3 3 3
2
1
4 3
 
‫ﻣﺜﺎل‬12:‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻣﻴﺪان‬ ‫ﻛﺮل‬

rˆ ˆA (r e r e e )
 3 3 2
3‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫را‬‫ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬‫؟‬
1(rˆ ˆr e (tan e e )
 3 2
3 62(ˆ ˆr e (tan e e )
  2 2
4 23(rˆ ˆre (cot e e )
 2
3 34(rˆ ˆre (cot e e )
 2
3 3
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»3«‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﺻﻮرت‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻛﺮل‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬‫دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫زﻳﺮ‬،‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﺷـﻮد‬ih‫ﻫـﺎ‬‫ﻋﺎﻣـﻞ‬‫ﻣﻘﻴـﺎس‬ ‫ﻫـﺎي‬
،‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬iq‫و‬ ‫ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬iV‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬ ‫ﻫﺎ‬‫در‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺧﻮاﺳﺘﻪ‬‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬.
ˆ ˆ ˆe h e h e h
V
h h h q q q
h V h V h V
  
 
  
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 
‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻋﺎﻣﻞ‬‫ﺻﻮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻘﻴﺎس‬ ‫ﻫﺎي‬‫رت‬
h
h r
h rsin



  
1
2
3
1
‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬‫ﭘﺲ‬:
r
r
ˆ ˆ ˆe re rsin e
ˆ ˆA [e ( ( r e sin )) re ( ( r e sin ))]
r rr sin r sin
r r e sin
 
 



    
      
     

3 2 3 2
2 2
3 3 2
1 1
3 3
3


r rˆ ˆ ˆ ˆ[ r e cos e r e sin e ] re cot e re e
r sin
   
       

3 2 3 2 2 2
2
1
3 9 3 9
‫ﺷﺒﺎﻫﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﺗﺴﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫زﻳﺎد‬‫ﻫﺎي‬3‫و‬4‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫داﺷﺖ‬ ‫دﻗﺖ‬4‫دﻟﻴﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬‫وﺟﻮد‬ˆe‫اﺳﺖ‬ ‫ﻏﻠﻂ‬.

10. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 10
‫اﺳﺘﻮاﻧﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫اي‬
‫ﻧﻴﺰ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺒﻴﻪ‬ ‫ﺗﺎﺣﺪودي‬‫ﺷﻮد‬.‫ﻣﻲ‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬‫ﺗﻮان‬‫را‬ ‫آن‬‫ﺷﻜﻞ‬‫ﭘﻴـﺸﺮﻓﺘﻪ‬
‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫داﻧﺴﺖ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫در‬ ‫اي‬.
‫ﭘﺎراﻣﺘﺮ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫ﺣﺬف‬‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻣﻲ‬ ‫اي‬‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫رﺳﻴﻢ‬‫اﮔﺮ‬‫ﺑﻌﺪ‬z‫ﻣﻲ‬ ‫اﺗﻔﺎﻗﻲ‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﺣﺬف‬‫اﻓﺘﺪ‬.
‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ˆe،ˆe‫و‬zˆe‫ﻣـﻲ‬ ‫راﺳـﺘﮕﺮد‬ ‫ﻣﺨﺘـﺼﺎت‬ ‫دﺳـﺘﮕﺎه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺗﺸﻜﻴﻞ‬‫دﻫ‬‫ﻨـﺪ‬
‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫اﻧ‬ ‫ﭼﻬﺎر‬ ‫اﮔﺮ‬‫راﺳﺖ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﮕﺸﺖ‬‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬ˆe‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار‬‫ﺳـﻮي‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫و‬ˆe‫ﺷـﻮ‬ ‫ﺧـﻢ‬‫ﻧ‬‫آﻧﮕـﺎه‬ ‫ﺪ‬
‫ﺷ‬ ‫اﻧﮕﺸﺖ‬‫ﺴ‬‫ﺟﻬﺖ‬ ،‫راﺳﺖ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺖ‬zˆe‫داد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫را‬.ˆe،ˆe‫و‬zˆe‫راﺳﺘﺎﻫﺎي‬ ‫در‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬‫اﻓﺰاﻳﺶ‬،‫و‬
z‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬.‫ﺻـﻮرت‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬zˆ ˆr e ze  

‫ﻣـﻲ‬ ‫ﻣـﺸﺨﺺ‬‫ﺷـﻮد‬.‫اﻳـﻦ‬
‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺟﺎي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﺑﺮﺧﻼف‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬r

‫واﺣـﺪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫را‬zˆe
‫و‬ˆe‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬‫ﻛﻨﺪ‬.‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ˆ ˆe e ( )  ‫اﮔﺮ‬‫ﻛﻨـﺪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺬﺷﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ˆe‫ﺗﻐﻴ‬ ‫ﻧﻴـﺰ‬‫ﻛـﺮد‬ ‫ﺧﻮاﻫـﺪ‬ ‫ﻴـﺮ‬
‫اﻣﺎ‬zˆe‫دﻟﻴﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣـﻲ‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ‬ ‫ﻫﻤﻴﺸﮕﻲ‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺪون‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﻧﺪارد‬ ‫ﺑﺴﺘﮕﻲ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬‫ﻣﺎﻧـﺪ‬.‫اﮔـﺮ‬
‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺎي‬‫را‬‫اﺳﺘﻮاﻧﻪ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫اي‬‫ﻫﺎ‬‫ﻳﺶ‬‫ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬:
x y
x cos
y y x
y sin tan ( ) sin ( ) cos ( )
x x y x yz z
z z
  
  
  

        
    

2 2
1 1 1
2 2 2 2
‫اﺳﺘﻮاﻧﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬‫دارﻳﻢ‬ ‫ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫را‬ ‫اي‬:
z
ˆ ˆˆe cos i sin j
ˆ ˆˆe sin i cos j
ˆˆe k


    


    


‫اﮔﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫روﺷﻦ‬ ً‫ﻼ‬‫ﻛﺎﻣ‬‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ˆe‫و‬ˆe‫ﺧﻼف‬ ‫ﺑﺮ‬zˆe‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬‫ﻛﻨﻨﺪ‬.‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫ﻣﺒﺪاء‬ ‫از‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮي‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫اﻳﻦ‬‫از‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫و‬ ‫داﺷﺖ‬ ‫ﻧﺨﻮاﻫﺪ‬
‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫را‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮش‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫ﻣﺒﺪاء‬‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬‫دﻫﺪ‬.‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬:ˆˆr(t) (t)e ( (t)) z(t)k   

‫ﻣﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫از‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﭘﺲ‬‫رﺳﻴﻢ‬.‫اﺛﺒﺎت‬ ‫ﺑﺪون‬ ‫را‬ ‫آﻧﻬﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬‫ﻧﻤﺎﻳﻴﻢ‬:
z z z
dr
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV e e ze V e V e V e
dt
              

 
z
dV
ˆ ˆ ˆa ( )e ( )e ze
dt
         2
2

     
‫اﮔﺮ‬z z   ‫آﻧﮕ‬‫ﺎه‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻫﺎي‬‫د‬ ‫ﻫﺎﻳﺸﺎن‬‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ر‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫اي‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬13:‫دﻛﺎ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫اﮔﺮ‬‫ر‬‫ذره‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﺗﻲ‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اي‬
x A(t )
y A( t )
z A(t )
  

 


2
2
2 1‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ،‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻫﺎي‬‫در‬ ‫را‬ ‫ﺑـﺮدار‬ ‫اﻳـﻦ‬‫دﺳـﺘﮕﺎه‬
‫اﺳﺘﻮاﻧﻪ‬‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫اي‬‫؟‬)‫ﺛﺎﺑﺖ‬A (
1(z At ، ، t t     2
3
t
z At ، tan ( ) ، A t t
t
 
      

2 1 22 1
5 8 5
2
2(
3(
t
z At ، tan ( ) ، A t
t
 
     1 2 22 1
5 54(z At ، tan (t) ، A t t
      3 1 2
2 8 2
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»2«‫اﺳ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻣﻴﺎن‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫از‬ ‫ﺘﻔﺎده‬‫اﺳﺘﻮاﻧﻪ‬ ‫و‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫دارﻳﻢ‬ ‫اي‬:
y t
x y A (t ) ( t ) A t t , tan ( ) tan ( )
x t
  
            

2 2 2 2 2 1 1 2 1
2 2 1 5 8 5
2
z At 2
ˆe
zˆe
ˆe
y

x
z

11. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬11
‫ﺑﻌﺪي‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬
‫ﻋﻮاﻣﻞ‬ ‫و‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫در‬‫آن‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻣﺆﺛﺮ‬‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎ‬ ‫ﻫﻤﻪ‬ ،‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬‫ﻛﻤﻴﺖ‬‫ﻧﺮده‬ ‫ﻫﺎي‬‫اي‬‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬‫ﻧـﺮده‬ ‫ﻣﻌـﺎدﻻت‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﺑـﺮداري‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻫﻤﻪ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‬‫اي‬
‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬‫ﻳﺎﺑﻨﺪ‬.‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻧﻴﻢ‬ ‫و‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎ‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻧﻴﻤﻲ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﺎدرﺳﺖ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫اﺳﻜﺎ‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬‫ﺷﻮد‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﻟﺮﻫﺎ‬.
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫اﺑﺘﺪا‬ ‫در‬‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﺗﻌﺪادي‬‫ﻣﻔﻴﺪﻧﺪ‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻓﻬﻢ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫را‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻛﻠﻲ‬.
‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬:‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮداري‬،‫ﻣﻲ‬ ‫وﺻﻞ‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﺤﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﻣﺒﺪاء‬‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫از‬ ‫ﺗﺎﺑﻌﻲ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬ ‫ﻛﻨﺪ‬r r(t)
 
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬‫ﺷﻮد‬.
‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬:‫ﺗ‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟـﻪ‬ ‫ﺑـﺎ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﮔﻮﻳﻨﺪ‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫را‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬‫ﻌﺮﻳـﻒ‬
‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺗﻔﺎﺿﻞ‬:
(t t ) r r(t) r(t )    
  
‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ﻧﺸﺎن‬‫دﻫﻨﺪه‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬t‫و‬t‫اﺳ‬‫ﺖ‬.‫ﻧﺰدﻳﻚ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫دو‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻫﺮﭼﻪ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‬‫اي‬‫ﻣﻲ‬‫ﻛﻪ‬ ‫ﮔﺮاﻳﺪ‬
‫را‬ ‫آن‬‫ﺑﺎ‬dr

‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬‫دﻫﻨﺪ‬.‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬dr

‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺮ‬.
‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬:‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﺑﺎزه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﺷﻮد‬.‫ا‬ ‫ﺑﻪ‬‫ذر‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﻳﻦ‬‫زﻣـﺎن‬ ‫ﻣﺪت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﺑﺎزه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ه‬
‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻻزم‬‫آن‬ ‫اﻧﺠﺎم‬‫ﻧﺎﻣﻴﺪه‬ ‫ذره‬ ‫آن‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﺷﺪ‬‫ه‬‫ﻧﻤﺎد‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫و‬V

‫داده‬ ‫ﻧﺸﺎن‬‫ﻣﻲ‬‫ﺷﻮ‬‫د‬.
r r(t) r(t )
V
t t t
 
 
 


  
‫ﺑ‬ ‫ﻧﺨﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻛﺎر‬ ‫در‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﻧﺰدﻳﻚ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫دو‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻮد‬‫داﺷـﺖ‬ ‫ﺧـﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫اي‬.‫اﮔـﺮ‬ ‫ﮔﻔﺘـﻴﻢ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﻫﻤـﺎﻧﻄﻮر‬t t ‫آﻧﮕـﺎه‬
r dr 
 
.‫اﮔﺮ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬t t‫آﻧﮕﺎه‬V V(t)
 
‫ﭘﺲ‬dr V(t)

‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫؛‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﺑ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫اي‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﺮ‬.
t t
r(t) r(t ) dr
V(t) lim V lim
t t dt


  


  

‫ﭘﺲ‬
dr
V(t)
dt


‫و‬‫ﺿﺮﻳﺐ‬‫ﺗ‬‫ﻨﺎﺳﺐ‬
dt
1
‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬14:‫ذره‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬‫اي‬‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬r ( t t) 2
2‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬‫ﺷﻮد‬.‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫زﻣﺎن‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ذره‬ ‫اي‬t s 2‫ﻣﻴﺎن‬ ‫آﻧﺮا‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬
‫ﻟﺤﻈﺎت‬t s 2‫و‬t s 5‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‬‫؟‬
1(،
46
8
3
2(،
45
1
3
3(،
45
9
3
4(،
5
9
3

‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»3«‫ﺗﻮﺟ‬ ‫ﺑﺎ‬‫و‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻪ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫دارﻳﻢ‬ ‫اي‬:t
dr m
V ( t ) V | ( )
dt s
      24 1 4 2 1 9
r( ) r( ) [ ( ) ] [ ( ) ] m
V
s
   
  

2 2
5 2 2 5 5 2 2 2 45
5 2 3 3
‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬:‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫را‬ ‫ذره‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫از‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬t‫و‬t‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬‫ﻛﻨﺪ‬.‫ﻳﻌﻨـﻲ‬
‫ﺗﻐ‬ ‫ﻛﻠﻲ‬ ‫وﺿﻌﻴﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫را‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻴﻴﺮ‬t‫و‬t‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬:
V(t) V(t )
a
t t





 

‫ﺑﺪﺳﺖ‬‫ﻣﻲ‬‫دﻫﺪ‬.‫اﮔـﺮ‬t t 
‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫اي‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﻛﻮﭼﻚ‬ ‫ﺑﻴﻨﻬﺎﻳﺖ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﺑﺎزه‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ﻣﻲ‬‫ﮔﺮدد‬‫ﻳﻌﻨﻲ‬a dv
 
‫ﻧﻤـﻲ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬ ‫اﻣﺎ‬‫ﺗـﻮان‬
‫ﭼﻮن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﮔﺮﻓﺖ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬V dr
 
‫و‬a dv
 
‫ﭘﺲ‬a dr
 
.‫داﻳﺮه‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫اي‬dr

‫ﺑـﺮ‬ ‫ﻣﻤـﺎس‬
‫ﻣﺴﻴﺮ‬‫اﺳﺖ‬‫اﻣﺎ‬‫ﺷﺘﺎب‬‫د‬‫و‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫ر‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ﻃﺮف‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ً‫ﺎ‬‫ﻟﺰوﻣ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫و‬‫راﺳـﺘﺎ‬ ‫ﻳـﻚ‬ ‫در‬ ‫ﻣﻜـﺎن‬ ‫ﺗﻐﻴﻴـﺮ‬
‫ﻧﻴﺴﺖ‬،ً‫ﺎ‬‫ﺣﺘﻤ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﻣﺎ‬‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻣﻮازي‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬.
‫ﻣﻲ‬‫اﺛﺮ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﮔﻔﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻧﻴﺮوﻫﺎي‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺑﻴﺮوﻧﻲ‬.‫ذره‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫داﺷﺘﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬‫در‬‫زﻣﺎﻧ‬‫ﻲ‬‫ﻧﻤﻲ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬‫آﻧـﺮا‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬
‫د‬‫ر‬‫ﻟ‬ ‫ﻫﻤﻪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﺑﻠﻜﻪ‬ ‫آورد‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﮔﺬﺷﺘﻪ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫آﻳﻨﺪه‬ ‫ﺤﻈﺎت‬.‫اﻣﺎ‬‫ﭼﻨﺎﻧﭽـﻪ‬‫ﻟﺤﻈـﻪ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ذره‬ ‫ﻳـﻚ‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬‫ﻣـﻲ‬ ‫ﺑـﺪاﻧﻴﻢ‬ ‫ﺧـﺎص‬ ‫اي‬‫ﺗـﻮاﻧ‬‫ﻴﻢ‬
‫در‬ ‫آﻧﺮا‬ ‫ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﻗﺒﻞ‬ ‫اي‬‫آن‬ ‫از‬‫آورﻳﻢ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬.
t t t t
V(t) V(t ) dV
a lim a lim
t t dt 

  
 


  

‫ﭘﺲ‬a

‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ‬dV

‫اﺳﺖ‬‫ﻧﻪ‬V

.
dr

r

r(t )

r(t)

V(t)

V(t )

dr

V(t)

a


12. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 12
‫ﻣﺜﺎل‬15:‫ذره‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫اي‬ˆ ˆV ( t )i ( t )j   2
2 2 3

‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬‫ﺷﻮد‬.‫ﺑـﻴ‬ ‫آن‬ ‫ﻣﺘﻮﺳـﻂ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﻟﺤﻈـﺎت‬ ‫ﻦ‬t s 1‫و‬t s 3‫و‬
‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬‫آن‬ ‫اي‬‫در‬t s 2‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪاز‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬:
1(ˆ ˆ ˆ ˆi j ، i j 2 12 2 122(ˆ ˆ ˆ ˆi j ، i j 5 6 33(ˆ ˆ ˆj ، i j64(ˆ ˆi ، j4 2
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»1«‫دارﻳﻢ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻛﻨﻨﺪه‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫از‬:
ˆ ˆa i j  2 12
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[( ( ) )i ( ( ) )j] [( ( ) )i ( ( ) )j] ( i j) ( i j)       
 
2 2
2 3 2 3 3 2 1 2 3 1 8 27 4 3
2 2
V( ) V( )
a
 
 


3 1
3 1
‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫از‬ ‫اي‬‫آﻳﺪ‬:t
dV ˆ ˆ ˆ ˆa i tj a | i j
dt


     22 6 2 12
‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻻزم‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫ﺧﺎص‬a a
 
‫وﻟﻲ‬‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻫﻤﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻫﺎ‬‫اﻳﻦ‬‫ﻧﻴﺴﺖ‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ‬.‫ﺛ‬ ‫ﺑﺎﺷﺘﺎب‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﭼﻮن‬‫ﻧﻤﻲ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬ ‫ﺎﺑﺖ‬‫ﮔﻴﺮد‬.
‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬:‫ﺑﺪون‬ ‫را‬ ‫ذره‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫اﮔﺮ‬‫اﻧﺘﺨﺎ‬ ‫ﺧﺎص‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬‫ب‬‫ﺷﺪه‬،‫ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬‫و‬‫ﻃﻮل‬‫ﺑﺨﺸﻲ‬‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫از‬‫ﻧﻘﻄـﻪ‬‫را‬‫ﻧﻤـﺎﻳﻴﻢ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬ ‫آن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬‫ﺷﻮد‬.
‫ﺗﻨﺪي‬ ‫اﺻﻄﻼح‬‫ذره‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻄﻠﺐ‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬،‫ﻣﺴﺎﻓﺘﻲ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫ﻛﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﺑﺎزه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻃﻲ‬ ‫ذره‬‫اﺳﺖ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎﺑﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫از‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫و‬ ‫ﭘﻴﻤﺎﻳﺪ‬.
‫ا‬‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﻴﺎز‬ ً‫ﺎ‬‫ﻟﺰوﻣ‬ ‫ذره‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﻣﺎ‬‫ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬‫ﻲ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫آن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫را‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫دارد‬.‫ﻛﻪ‬ ‫آﻧﺠﺎ‬ ‫از‬‫اﺳـﺖ‬ ‫ﻣﻤﻜـﻦ‬‫ﻣـﺴﻴﺮ‬
‫ﻗ‬ ‫را‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫ﻣﺪﺗﻲ‬ ‫از‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫ذره‬‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﻄﻊ‬‫دو‬ ‫در‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻟﺬا‬‫زﻣﺎن‬‫ﺻـﻔﺮ‬ ‫ذره‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫و‬ ‫ﺷﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻨﺪ‬ ‫واﻗﻊ‬ ‫ﻣﺒﺪاء‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت‬
‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬.‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﺻﻄﻼح‬‫و‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اي‬‫ﺷﻮ‬‫ﻧ‬‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬ ‫ﻧﻪ‬ ‫ﺪ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬16:‫داﻳﺮه‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫اي‬
x rcos( t)
y rsin( t)
 

 
2
2
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬‫آن‬ ‫ﻣﺘﻮﺳـﻂ‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ذره‬ ‫ﺗﻨـﺪي‬ ،‫ﺷﻮد‬‫ﻃـﻲ‬s1‫ﺑـﻪ‬‫ﺗﺮﺗﻴـﺐ‬
‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪاز‬:
1(، r1 42(، r23(، r44(، r1 2
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»2«‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫اي‬‫ذر‬‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ه‬  2‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ذره‬ ‫ﺗﻨﺪي‬ ‫اﺳﺖ‬V r  ‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ‬‫دارﻳﻢ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮد‬V r  2‫ذره‬ ‫اﻣﺎ‬‫در‬3‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬‫ﺳـﻪ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻛﺎﻣﻞ‬ ‫دور‬‫زﻧﺪ‬‫ﭼﻮن‬T
 
  
 
2 2
1
2
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫و‬‫ﺷﻮد‬:
r( ) r( ) r r
V
 
  
1
1 1
  

‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬
‫از‬‫آﻧﺠﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫را‬ ‫ذره‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺑﻴﺮوﻧﻲ‬ ‫ﻋﻮاﻣﻞ‬ ‫اﺛﺮ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﭘﺲ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬‫ﻛﺮد‬ ‫ﻧﺨﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫آن‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫دور‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﻴﺮوﻧﻲ‬ ‫اﺛﺮات‬ ‫از‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬.‫ﻳﻌﻨـﻲ‬:a 

‫و‬
r V t

  ‫آﻧﮕﺎه‬‫ﻣﻲ‬‫ﻣﻌﺎ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫دﻻت‬‫ﻧﻮﺷﺖ‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺻﻮرت‬:
x
y
z
x x V t
y y V t
z z V t
  

 

 



‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫ﺣﺎﻟﺖ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اي‬.
‫ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬
‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات‬،‫زﻣﺎن‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫دو‬.‫ﻣﻮارد‬ ‫ﺑﺮﺧﻲ‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬ ‫اﺗﻔﺎق‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﻲ‬ ‫آﻫﻨﮓ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﺛﺎﻧﻴـﻪ‬ ‫ﻫـﺮ‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫آزاد‬ ‫ﺳـﻘﻮط‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫اﻓﺘﺪ‬
m
/
s
9 8‫ﺑـﺮ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫اﻓﺰوده‬ ‫ﺳﻘﻮط‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﻦ‬ ‫ﺳﻤﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫آن‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮد‬.‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻣﻮارد‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫آﻫﻨﮓ‬‫ﻣﺎﻧﻨـﺪ‬ ‫ﻛﻨـﺪ‬
‫داﻳﺮه‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫اﺳﺖ‬ ‫دوران‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬‫آن‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮ‬ ‫و‬‫ﺷﺘﺎب‬‫و‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ذره‬‫ﺑﺰرﮔﻲ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫از‬ ‫ﺑﻮدن‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺟﻮد‬‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﻟﺤﺎظ‬ ‫از‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬‫ﻛﻨﺪ‬.‫ﭼﻮن‬،‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات‬V

‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ﻳﻚ‬ ،،‫ﺗﻐﻴﻴـﺮ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫آن‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫در‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫آن‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫در‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬‫ﺷـﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫـﺪ‬ ‫ﺑـﺮدار‬.‫ﺑـﻪ‬
‫اول‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫آﻫﻨﮓ‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ،‫دوم‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﺳﺖ‬‫ﺷﻮد‬.
‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ،‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اي‬)‫ﻓﺮض‬ ‫ﺑﺎ‬t  (
V(t) V(t ) V(t) V( )
a V(t) at V( )
t t t
 
    





‫ﻣﻮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻟﻔﻪ‬‫اي‬‫در‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣﻲ‬‫آﻳﺪ‬:
x x x y y y z z zV (t) a t V ( ) , V (t) a t V ( ) , V (t) a t V ( )       

13. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬13
‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ،‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬‫ﻧﻴـﺴﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑـﺮ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اي‬‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻴﻜـﻪ‬ ‫ﺗﻨﻬـﺎ‬a 

‫روي‬ ‫ﺣﺎﻟـﺖ‬ ‫اﻳـﻦ‬ ‫ﺑﺎﺷـﺪ‬
‫ﻣﻲ‬‫دﻫﺪ‬.‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﭼﻮن‬‫ﺑﻪ‬ ‫واﺑﺴﺘﻪ‬ ،‫اي‬‫ﻣﺸﺘﻖ‬‫ﮔﻴﺮي‬‫اﺳﺖ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﻋﻜﺲ‬ ‫ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﺑﺮ‬ ‫را‬ ‫ﮔﻴﺮي‬‫و‬ ‫ﺑﺮد‬ ‫ﻛﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آن‬ ‫اي‬x‫دﺳـﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫را‬
‫آورد‬‫؛‬‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫در‬:
x x x x
x x x x x
x x
V (t) V ( ) V (t) V ( )
x(t) x V ( )( ) a ( ) V (t) V ( ) a (x(t) x )
a a
 
 
 
 
      2 2 21
2
2
‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫اي‬‫اي‬‫ﻟﺤﻈﺎت‬ ‫در‬‫واﻧ‬ ‫اﺑﺘﺪاﻳﻲ‬‫ﺘﻬ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺎﻳﻲ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻧﻤﺎﻳﻴﻢ‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﺗﻮاﻧﻴﻢ‬:
x x
x x x x
x x x
( a t V t)
(x x ) V V V V
V a t V ( )t V
t t t

  
      

21
1 12
2 2 2

  
 

‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫راﺑﻄﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫دو‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﺳﺮﻋﺘﻬﺎي‬ ‫ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ،‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻧﻮﺷﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬:
x x
x
V V
x x V t x ( )t

   
2

 
‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﭘﺲ‬‫ﺑﻌﺪي‬ ‫ﻳﻚ‬‫ﻛﻤﻴﺖ‬ ‫ﭼﻬﺎر‬ ‫از‬ ‫اﮔﺮ‬V،V،a‫و‬x‫ﺳﻪ‬‫ﻛﻤﻴﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬‫ﭼﻬﺎر‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﻣﻲ‬‫آورد‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫راﺣﺘﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬.
‫ﻣﺜﺎل‬17:‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ذره‬ ‫اي‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫اي‬V(t) t 2
6 3،‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬‫داد‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫آن‬‫ه‬‫ﻣﻲ‬‫ﺷﻮد‬‫؟‬
1(V t 6 32(V t 6 33(V t 2
3 34(V t 2
3 3
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»4«‫دادن‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫از‬t  ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬
m
V ( )
s
 3‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫آﻳﺪ‬.‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﻣﺎ‬‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ‬:
V(t) V t
V t
  
   
2
26 3 3
3 3
2 2

‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺗﻨﺪ‬ ‫ﻫﺎي‬
‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫اﮔﺮ‬V

‫و‬a

‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺗﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﺳﻮ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫راﺳﺘﺎ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬‫و‬‫اﮔﺮ‬V

‫و‬a

‫ﺷـﻮﻧﺪه‬ ‫ﻛﻨـﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛـﺖ‬ ‫ﺑﺎﺷـﻨﺪ‬ ‫ﻣﺨﺎﻟﻒ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫راﺳﺘﺎ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬
‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬.‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺟﺴﻤﻲ‬ ‫وﻗﺘﻲ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫و‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ،‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫اول‬ ‫ﻧﻴﻤﻪ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬‫ﺷﺘﺎب‬‫ﭘـﺎﻳﻴﻦ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬
‫و‬‫ﻋ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫دوم‬ ‫ﻧﻴﻤﻪ‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻼﻣﺖ‬،‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺗﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫اﺳﺖ‬.
‫در‬ ‫ﺑﻠﻜﻪ‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ‬ ‫ﺧﺎﺻﻲ‬ ‫ﻣﻌﻨﻲ‬ ‫داراي‬ ‫ﺗﻨﻬﺎﻳﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ‬‫ﻔﻬﻮم‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﻴﺪا‬‫ﻛﻨﺪ‬.
‫ﻧﻤﻮدارﻫﺎ‬
‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻧﺴﺒﻲ‬ ‫وﺿﻌﻴﺘﻬﺎي‬ ‫اﻛﻨﻮن‬،‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﺮﺳﻴﻢ‬ ‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫روي‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫را‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫و‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.
‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬:‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺟﺴﻤﻲ‬x-t)‫ﻣﻜﺎن‬‫ـ‬‫زﻣﺎن‬(‫آن‬‫ﺻـﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬‫ت‬‫ﺧـﻂ‬ ‫ﻳـﻚ‬
‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫راﺳﺖ‬.‫ﭼﻮن‬‫ﻣﺸﺘ‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﻖ‬‫ﺷﻮد‬،‫ﺷـﻴﺐ‬ ‫دﻫﻨـﺪه‬ ‫ﻧـﺸﺎن‬
‫ﻧﻤﻮدار‬x‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬t‫اﺳﺖ‬.‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﺷﻴﺐ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﭘﺲ‬‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﺑﻮده‬‫ﺑ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫و‬،‫ﺎﺷﺪ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬
‫ا‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬‫ﺳﺖ‬.
xx x V t 
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬xV tan .
‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻫﺎ‬‫ذراﺗﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺎت‬ ‫ﻣﻌﺮف‬‫ﻗـﺮار‬ ‫ﻣﺒـﺪاء‬ ‫از‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻲ‬ ‫ﻓﻮاﺻﻞ‬ ‫در‬ ‫اﺑﺘﺪا‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﻧﺪ‬‫داﺷـﺘﻪ‬‫ﺟﻬـﺎت‬ ‫در‬ ‫و‬
‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬x‫ﺑﺎ‬ ‫ﻫﺎ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬‫ﻧﻤﻮده‬‫اﻧﺪ‬.
‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬:‫ذره‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺣﺮﻛﺘﻲ‬ ‫در‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬‫ـ‬‫زﻣﺎن‬‫آن‬‫ﺧ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫راﺳﺖ‬ ‫ﻄﻲ‬
‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷ‬‫ﺪ‬.‫ذراﺗﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺎت‬ ‫ﻣﻌﺮف‬ ‫ﻧﻤﻮدارﻫﺎ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺷﺘﺎﺑﻬﺎي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺘﻬﺎي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﻧﺪ‬‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬
‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺮوع‬‫ﻛﺮده‬‫اﻧﺪ‬.‫ﻛﻪ‬ ‫آﻧﺠﺎ‬ ‫از‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﺑﺎﺷ‬‫ﺪ‬،‫ﺷﻴﺐ‬‫ﺑﺮﺣـﺴﺐ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻧﻤﻮدار‬
‫زﻣﺎن‬،‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬‫دﻫﺪ‬.
x xV V at 
xa tan 
‫ﺷﻤﺎره‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻧﻤﻮداري‬ ‫اﮔﺮ‬1‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬‫را‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﮔﻴﺮﻳﻢ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬‫اﺑﺘﺪا‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻴﻨﻴﻢ‬xV  ‫و‬‫ذ‬‫ﺣﺮﻛـﺖ‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫آﻏﺎز‬ ‫در‬ ‫ره‬‫ﻣﺤـﻮر‬ ‫ﻣﻨﻔـﻲ‬ ‫ﺟﻬـﺖ‬ ‫در‬x
‫اﺳﺖ‬)‫ﻣﻄﻠ‬ ‫اﻳﻦ‬‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻧﺒﺎﻳﺪ‬ ‫را‬ ‫ﺐ‬‫ﺟﻬﺖ‬ ‫در‬ ‫ﻣﺒﺪاء‬ ‫از‬ ‫ﺷﺪن‬ ‫دور‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﻛﻪ‬x‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﮔﺮﻓﺖ‬ ‫ﻳﻜﻲ‬،‫ﻧـﺪارد‬ ‫ﺑـﺴﺘﮕﻲ‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﻜـﺎن‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬.(‫در‬
0xV 0
0xV 0
0xV 0

1t
xa 0
xa 0
t
xV
1
2
0x 0
0x 0
0x 0

xV 0
xV 0
t
x

14. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 14
‫زﻣﺎن‬t t   1‫ﻣﺜ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ﺒﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺷﺪن‬ ‫ﻛﻢ‬‫ﻟﺤﻈـﻪ‬ ‫در‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬t t 1‫ﺻـﻔﺮ‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬
‫ﻣﻲ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺘﻮﻗﻒ‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﺷﻮد‬.‫از‬ ‫ﭘﺲ‬t t 1‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺟﺴﻢ‬‫ﭼﻮن‬ ‫و‬ ‫ﻛﻨﺪ‬xa‫و‬xV‫ﻫﻢ‬‫ﻋﻼﻣﺘﻨﺪ‬‫اﺳـﺖ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺗﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬.‫ﺑـﻪ‬
‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬‫ﺳﻮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آﻏﺎز‬ ‫در‬ ‫ذره‬‫ي‬x‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﻛﺮده‬،‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺘﻮﻗﻒ‬ ‫ﺳﭙﺲ‬x‫ﻫﺎي‬‫ﻣﺜﺒﺖ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫ﺣﺮﻛﺘﺶ‬‫ﻳﺎﺑﻨﺪه‬ ‫اﻓﺰاﻳﺶ‬‫اداﻣﻪ‬‫اﺳﺖ‬ ‫داده‬.
‫ﺷﻤﺎره‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻧﻤﻮداري‬ ‫در‬2‫زﻣﺎن‬ ‫در‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬t  ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫داراي‬ ‫ذره‬،‫و‬‫ﺣﺎل‬ ‫در‬‫ﺣ‬‫ﺮ‬‫ﻛﺖ‬‫ﺳـﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬x‫ﻣﺜﺒـﺖ‬ ‫ﻫـﺎي‬‫ﻣـﻲ‬‫ﺑﺎﺷـﺪ‬.‫ﺑـﺎزه‬ ‫در‬
‫ز‬‫ﻣﺎﻧﻲ‬t t  1،xa  ‫و‬xV  ،‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬.‫ﻣﻲ‬ ‫ﻛﻢ‬ ‫ذره‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﺪرﻳﺞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬‫در‬ ‫اﻳﻨﻜـﻪ‬ ‫ﺗـﺎ‬ ‫ﺷﻮد‬t t 1‫ﻣـﻲ‬ ‫ﻣﺘﻮﻗـﻒ‬‫ﺷـﻮد‬.‫از‬ ‫ﭘـﺲ‬
‫زﻣﺎن‬t t 1‫ﭼﻮن‬xa‫و‬xV‫ﻋﻼﻣﺘ‬ ‫ﻫﻢ‬‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺗﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻨﺪ‬‫ﺑﻮده‬‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬x‫ﻣﻲ‬ ‫اﻓﺰاﻳﺶ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﻛﻨﺪ‬.
‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﻧﻤﻮدار‬‫ـ‬‫ﺑﺮاي‬ ‫زﻣﺎن‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎﺑﺪار‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻳﻚ‬‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺷﻴﺐ‬‫ﻣﻜﺎن‬‫ـ‬‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫زﻣﺎن‬
‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬‫دﻫﺪ‬‫؛‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬ ‫ﭘﺲ‬t  ‫ﻋﺒﺎرت‬xV tan  ‫ﻟﺤﻈـﻪ‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫اي‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮﻗﺮار‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬‫ﺑﻌﺪي‬ ‫ﻟﺤﻈﺎت‬ ‫در‬x xV V (t)  ‫و‬xV tan .‫ﺣﺎ‬ ‫در‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﺷﻴﺐ‬ ‫ﭼﻮن‬‫اﻓﺰاﻳﺶ‬ ‫ل‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺗﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﺳﺖ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫در‬ ‫ﺟﺴﻢ‬‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬‫ﭼﻮن‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫از‬ ‫ﺑﺰرﮔﺘﺮ‬xV tan    .
‫ﺗﺪرﻳﺞ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻛﺎﻫﺶ‬ ‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺷﻴﺐ‬‫ﻣﻲ‬‫ﻳﺎﺑﺪ‬‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺎ‬‫ﺑﺮ‬‫ﺳﺪ‬.
xV (t ) tan 1 1  
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﭘﺲ‬.
‫ﻣﻮرد‬ ‫در‬‫ﻧﻤﻮدار‬‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬‫ﺻﻔﺮاﺳﺖ‬ ‫از‬ ‫ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﭼﻮن‬tan  .‫ﻣﻲ‬ ‫ﻛﻢ‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺗﺪرﻳﺞ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺷـﻮد‬
‫ﺟﺎﻳﻴﻜﻪ‬ ‫ﺗﺎ‬xV tan   1‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﭼﻮن‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻛﺎﻫﺶ‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬
‫ﭘﺲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﺷﻴﺐ‬xV  ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬xa  ‫ﻛﻨﺪﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﭘﺲ‬‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫اﺑﺘﺪا‬ ‫در‬ ‫ﻧﻴﺰ‬xV tan    ‫و‬‫اﺳـﺖ‬ ‫اﻓﺰاﻳﺶ‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺗﺪرﻳﺞ‬ ‫ﺑﻪ‬‫اﻣـﺎ‬‫ﻋﻼﻣـﺖ‬ ‫ﺑـﺎ‬
‫ﻣﻨﻔﻲ‬،‫ﺳﺮاﻧﺠﺎم‬ ‫ﺗﺎ‬‫ﺑﻪ‬

2
‫ﻧﺰدﻳﻚ؛‬‫ﻣﻲ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺗﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫و‬ ‫اﻓﺰاﻳﺶ‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫ﺑﺘﺪرﻳﺞ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫ﺷﻮد‬
‫ﭼﻮن‬ ‫و‬xV‫ﭘﺲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬xa‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬.
‫ﺑ‬‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﺮدن‬ ‫ﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻠﻲ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﻪ‬‫ـ‬‫ﻣﻲ‬ ‫زﻣﺎن‬‫ﻛﺮد‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫آﻧﺮا‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻲ‬ ‫ﺗﻘﻌﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻮان‬‫؛‬‫ﻛﻪ‬ ‫آﻧﺠﺎ‬ ‫از‬‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫دوم‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬
‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬،‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺗﻘﻌﺮ‬ ‫ﺳﻮم‬ ‫و‬ ‫اول‬ ‫ﻧﻤﻮدارﻫﺎي‬ ‫در‬‫ﺳﻤﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬x‫ﭘﺲ‬ ‫اﺳﺖ‬xa  ‫ﻧﻤـﻮدار‬ ‫ﺗﻘﻌﺮ‬ ‫ﭼﻬﺎرم‬ ‫و‬ ‫دوم‬ ‫ﻧﻤﻮدارﻫﺎي‬ ‫در‬‫ﺳـﻤﺖ‬ ‫ﺑـﻪ‬x‫ﺑـﻮده‬‫و‬xa  
‫اﺳﺖ‬.‫ﺷﺘ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻲ‬ ‫در‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫آوردن‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺎب‬‫اﻧﺘﮕﺮاﻟﮕﻴﺮي‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫دارﻳﻢ‬ ‫و‬ ‫ﻛﺮد‬:
‫ﺑ‬‫دارﻳﻢ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺮاي‬:
t
xx x V (t)dt  
;
t
x x x x xa a (t) V (t) V a (t)dt    

‫ﻣﺜﺎل‬18:‫ذره‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫اي‬a t 2 1‫ذره‬ ‫و‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻛﺮده‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫ﻣﺒﺪاء‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫ﺳﻜﻮن‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫از‬‫ﺑﺮ‬ ‫آﻧﺮا‬ ‫ﻣﻜﺎن‬
‫آورﻳﺪ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ‬‫؟‬
1(
t
t
3
2
2(
t
t
3
2
3(
t t

3 2
3 2
4(
t t

3 2
2 2
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»3«‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫آن‬ ‫روي‬ ‫از‬ ‫ﺳﭙﺲ‬ ‫و‬ ‫آورده‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫را‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﺑﺘﺪا‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.
t t t t
t t t
V(t) V a(t)dt ( t )dt (t t) | t t x(t) x V(t)dt (t t)dt                   
3 2
2 2 2
2 1
3 2   
   
0
1t
t
1 0 
x
0 
1t
t
x
0
t
x
1t
‫و‬
0 0 
1t t
1
x
1 0 

15. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬15
‫آزاد‬ ‫ﺳﻘﻮط‬
‫ﭘﺎﻳ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫و‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫آزاد‬ ‫ﺳﻘﻮط‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬‫ﻴﻦ‬‫اﺳﺖ‬.‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﭘﺲ‬y‫ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬‫ﺻـﻮرت‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﺷـﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬
‫روﺑﺮو‬‫ﻣﻲ‬ ‫در‬‫آﻳ‬‫ﻨ‬‫ﺪ‬:y y yy y V t gt V V g(y y )      2 2 21
2
2
   
‫ﻛﻪ‬ ‫ﺟﺴﻤﻲ‬ ‫اوج‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫و‬ ‫اوج‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬‫ﻋﻤﻮدي‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬V‫از‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫ﻋﻤﻮدي‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬:
V
g
 ‫اوج‬ ‫زﻣﺎن‬‫؛‬
V
g

2
2
‫اوج‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬
‫ﻫ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻻزم‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬‫ﺮﮔﺎه‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺟﺴﻢ‬y
V  ‫ﻣﻲ‬ ‫رﻫﺎ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻴﻜﻪ‬ ،‫ﭘـﺎﻳ‬ ‫ﺳـﻮي‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬‫ﻴﻦ‬‫ﺳـﻘﻮط‬
‫ﻛﻨﺪ‬yV  ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ‬ ‫و‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﻦ‬‫اﻧﺪازﻳﻢ‬yV  ‫اﺳﺖ‬.
‫ﻧﻜﺘﻪ‬2:
1‫ـ‬‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫دو‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻛﻨﻨﺪ‬‫ﺑﻪ‬ ‫ﻳﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻫﻢ‬‫رﺳﻨﺪ‬‫آ‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻧﻜﻪ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫آن‬ ‫در‬‫ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫دو‬ ‫ﻫﺮ‬‫ﻣـﻲ‬ ‫اﻣـﺎ‬ ‫دﻫـﻴﻢ‬‫ﺗﻮاﻧﻨـﺪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوﺗﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺘﻬﺎي‬ ‫داراي‬.
2‫ـ‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬)‫ﻫﻮا‬ ‫ﻣﻘﺎوﻣﺖ‬ ‫ﺑﺪون‬(‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬n‫روﺑﺮو‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ام‬‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬:x xa a , V V , t n  
x(n) V a( n )  
1
2 1
2

3‫ـ‬‫ﻧﺎ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻫﺮﮔﺎه‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫اﺑﺘﺪاﻳﻲ‬ ‫ﺷﺮاﻳﻂ‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫اﻧﺘﻬﺎﻳﻲ‬ ‫ﺷﺮاﻳﻂ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﺎت‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫از‬ ‫ﺷﻲ‬.
4‫ـ‬‫آزاد‬ ‫ﺳﻘﻮط‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬)‫ﻣﻘﺎوﻣﺖ‬ ‫ﺑﺪون‬‫ﻫﻮا‬(‫زﻣﺎن‬‫د‬ ‫ﻳﻜﺴﺎن‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﭘﻴﻤﻮدن‬ ‫در‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻃﻲ‬‫ﻳﻜﺴﺎن‬ ً‫ﻼ‬‫ﻛﺎﻣ‬ ‫ﺑﺮﮔﺸﺖ‬ ‫و‬ ‫رﻓﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ر‬‫اﺳﺖ‬.
5‫ـ‬‫ارﺗﻔ‬ ‫از‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫آزاد‬ ‫ﺳﻘﻮط‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﺎع‬h‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫از‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ،‫آﻳﺪ‬.
V V gy V gh V gh        2 2 2
2 2 2 
‫ﻣﺜﺎل‬19:‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﻠﻨﺪ‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫از‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺳﻨﮕﻲ‬
m
s
2‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺧﻮد‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﭼﻨﺪم‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬m37‫ﻛﻨﺪ؟‬ ‫ﻃﻲ‬ ‫را‬
1(‫دوم‬2(‫ﺳﻮم‬3(‫ﭼﻬﺎرم‬4(‫ﭘﻨﺠﻢ‬
‫ـﺦ‬‫ﭘﺎﺳـ‬:‫ﮔﺰﻳﻨــﻪ‬»3«‫ﻣــﺴﺎﻓﺖ‬‫ﺛﺎﻧﻴــﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺷــﺪه‬ ‫ﭘﻴﻤــﻮده‬n‫ﺗﻮﺟــﻪ‬ ‫ﺑــﺎ‬ ‫ام‬‫اﻳﻨﻜــﻪ‬ ‫ﺑــﻪ‬‫ﺣﺎﻟــﺖ‬ ‫اﻳــﻦ‬ ‫در‬
m
V
s
  2‫و‬
m
a
s
  2
1‫راﺑﻄــﻪ‬ ‫از‬ ‫اﺳــﺖ‬
x(n) ( n )  2 5 2 1‫ﺑﺪﺳﺖ‬‫ﻣﻲ‬‫آﻳﺪ‬:‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬:( n ) n    37 2 5 2 1 4
‫ﺑﻌﺪي‬ ‫دو‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬)‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬=‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫اي‬(
‫ﻣﻲ‬ ‫را‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮان‬‫اي‬‫ﺟﺪا‬‫راﺳﺘﺎﻫﺎي‬ ‫در‬ ‫ﺣﺮﻛﺎت‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﺮد‬x‫و‬yً‫ﻼ‬‫ﻛﺎﻣ‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺟﺎذﺑﻪ‬ ‫ﺣﻀﻮر‬ ‫در‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫از‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‬‫زﻣﻴﻦ‬‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬x
‫ﻛﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﻲ‬ ‫در‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺪون‬‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬y‫ﻣﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎﺑﺪار‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫دارﻳﻢ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺷﺮاﻳﻂ‬ ‫ﺑﺮاي‬:
x
y
V V cosx
r V
V V siny
  
  
   
  
 
  


x x
y y
x x V cos ta V V cos
a V r
a g V V sin gt y y V sin t gt
       
    
           
21
2
  
  
     

‫ﭘﺮﺗﺎﺑ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺑﺘﻮان‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻪ‬‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﻛﺮد‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫را‬t‫ﺣﺬف‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دو‬ ‫از‬‫ﺷﻮد‬:
gx
y y x tan
V cos
   

2
2 2
2
 
 
tt
y
x
0
0
0
x
y





‫ﺑﺮد‬

16. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 16
‫ﻣﺜﺎل‬20:‫ذره‬‫ا‬‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ي‬
m
V
s
 2‫ﺗﺤﺖ‬‫زاوﻳﻪ‬
45‫اﻓﻖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬ ‫آﻧﺮا‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬‫ﭘﺮﺗـﺎب‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫از‬ ‫آن‬ ‫اﻓﻘﻲ‬
‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬m2‫ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫اﺳﺖ‬‫؟‬
1(/1 92(/2 13(44(5
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»1«‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻛﻤﻚ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬:
( )( )
y tan( ) / m
( ) cos ( )

      

2
2 2
1 2 4 399
2 2 1 9
4 4 22 2
4
 
 
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫رﺳﻴﺪن‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫و‬ ‫اوج‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫آوردن‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬:
V sin
g

  
‫اوج‬yV V sin gt t       
V sinV sin V sin V sin
y V sin ( ) g( ) h
g g g g
      
 
  
      
2 22 2
21
2 2 2
V sin V sin
V cos ( )
g g
 
   
2
2
2
   
 ‫اوج‬x‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬x‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬‫ﻫﻤﺎن‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ،.
V sin
g
 

2
2
‫اوج‬R x 2)‫ﭘﺮﺗﺎﺑ‬ ‫ﺑﺮد‬‫ﻪ‬(
‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﻃﺒﻖ‬‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﻫﺎي‬

 
4
‫ﻧﻤﻮدار‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫از‬y‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬x‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬

 
6
‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬21:‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫اوج‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻛ‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫را‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫آن‬ ‫ﺑﺮد‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫اي‬‫ﻨﻴﺪ‬‫؟‬
1(sin ( )
  1 1
2
2(sin ( )
  1 2
2
3(sin ( )
  1 2
5
4(sin ( )
  1 3
5

‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»3«‫از‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ‬ ‫اوج‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫و‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫رواﺑﻂ‬:
v sin
g
 

2 2
2
‫اوج‬y
v sin
R
g


2
2 
v sin v sin
( ) sin cos sin
g g
   
  
 
      
2 2 2
22
2‫اوج‬R y 2
cos sin sin cos sin           2 2 2
2 1
5
    
‫ﻧﻜﺘﻪ‬3:
1‫ـ‬‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻮازي‬ ‫ﺧﻄﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬y‫ﻣﻲ‬ ‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻫﺎ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎرن‬ ‫ﮔﺬرد‬.
‫دارﻳﻢ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬:t t t t  2 1 4 3
V(t ) V(t )1 4
 
V(t ) V(t )2 3
 
2‫ـ‬‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫اﮔﺮ‬‫را‬‫ﺑﺪاﻧﻴﻢ‬‫ﻣﺤﻞ‬ ‫ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫و‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻛﺎﻓﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎﺑﻴﻢ‬ ‫را‬ ‫ﺷﻴﺒﺪار‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻳﻚ‬ ً‫ﻼ‬‫ﻣﺜ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﺧﺎص‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬y‫ﺑﺮاﺑـﺮ‬ ‫را‬ ‫دو‬ ‫آن‬‫ﺑـﺎ‬
‫دﻫﻴﻢ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﻫﻢ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬22:‫دو‬‫ﮔﻠ‬‫ﺗﻮپ‬ ‫ﻮﻟﻪ‬‫دو‬ ‫از‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺷﻠﻴﻚ‬‫ﺗﻮﭘﻲ‬‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬km1‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫از‬‫ﮔﻠﻮﻟـﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜـﻲ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﺣﺮﻛﺘﻨﺪ‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﻧﺪ‬‫ﻫـﺎ‬
‫ﺑﺎﺷﻴﻢ‬ ‫داﺷﺘﻪ‬



m
v
s



 

1
6
‫دوم‬ ‫ﮔﻠﻮﻟﻪ‬‫ﺗﺤﺖ‬‫زاوﻳﻪ‬

3
‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﺷ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫اي‬‫ﺑ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻴﺎﻧﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﻮد‬‫ﺮﺳﻨﺪ؟‬
1(
( ) 
 
2
5 1
2 2 3
2(
( ) 
 
2
16 5
1 2 3
3(

2
1 2


4(
( ) 

6 5 2
1 2 3
1t
2t 3t
4t
t t
‫ﺗﻮﺿﻴﺢ‬:

17. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬17
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»4«‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﺷﻜﻞ‬‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬‫از‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬:
‫دﻫﻴﻢ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎوي‬ ‫را‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬.
( )( ) ( )( )
tan( ) tan( )
( ) cos ( ) (V ) cos ( )
   
 

 
  
 
2 2
2 2 2 2
1 5 1 5
5 5
6 32 1 2
6 3
‫ﻛﻪ‬ ‫آﻧﺠﺎ‬ ‫از‬2‫ﻣﻲ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻴﺎﻧﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺟﺴﻢ‬‫آن‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫و‬ ‫رﺳﻨﺪ‬‫ﻫﺎ‬m1‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫اﺳﺖ‬x x 1 2 5‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﺮ‬.
( ) ( )
V
V ( )


  
    
2
3 1 5 5 6 5
3
13 3 1 2 3
4
3‫ـ‬‫ﭘﺮﺗﺎﺑ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ،‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫در‬‫ﻲ‬‫ﮔﻔـﺖ‬ ‫ﺗـﻮان‬ ‫ﻣﻲ‬:‫ﻣﻜـﺎن‬ ‫ﺑـﺮدار‬r(t)

‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺒﺪاء‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮداري‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺟﺴﻢ‬‫ﻣﻜﺎن‬‫ﻣﻲ‬ ‫وﺻﻞ‬ ‫ﺟﺴﻢ‬‫ﻫـﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑـﺮدار‬ ‫ﻛﻨﺪ‬
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬.‫و‬ ‫اﺳـﺖ‬ ‫اﻓﻘـﻲ‬ ‫ﻣﻮﻟﻔـﻪ‬ ‫داراي‬ ‫ﺗﻨﻬـﺎ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ،‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬
‫ﻧﺪارد‬ ‫ﻋﻤﻮدي‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬.
‫ﺑﺮ‬‫اي‬‫اﻓﻖ‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫و‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬،،‫ﻣﻲ‬‫ﮔﻔﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬:
‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫از‬ ‫ﭘﻴﺶ‬  ‫آن‬ ‫از‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫و‬< .‫اﻓﻖ‬ ‫ﺧﻂ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬،‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫و‬ ،‫ﻣﻜﺎن‬‫و‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬،‫ﻣﻲ‬‫ﻧﻮﺷﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬
| |
| |
      
    
      


‫دارﻳﻢ‬ ‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬ ‫و‬:,     
4‫ـ‬‫ارﺗﻔﺎﻋﻲ‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫اﻓﻖ‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرﺗﻴﻜﻪ‬ ‫در‬،‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﺧﺎص‬‫ﻛﻪ‬ ‫دﻟﻴﻞ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬  ‫ﻣﻲ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻋﻤﻮدي‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﭘﺲ‬‫ﺷﻮد‬.
h
y h V sin t gt t
g
       21 2
2
 
h
V cos t V t V
g
   
2
   ‫ﺑﺮد‬X
‫ﻣﺜﺎل‬23:‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻫﻮاﭘﻴﻤﺎﻳﻲ‬
m
s
2‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫در‬m2‫ﻣﻲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﭘﺮواز‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫از‬‫ﮔﻮﻧـﻪ‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﻳـﻚ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺑـﺴﺘﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬‫ﭘﺮﺗـﺎب‬ ‫اي‬
‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬m8‫ﻫﻢ‬ ‫از‬‫ﺑﻪ‬‫ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫زﻣﻴﻦ‬.‫ﺑـﺴﺘﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜـﻲ‬ ‫اﮔﺮ‬‫آن‬ ‫ﻣﺨـﺎﻟﻒ‬ ‫راﺳـﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫ﺳـﺮﻋﺘﻲ‬ ‫ﭼـﻪ‬ ‫ﺑـﺎ‬ ‫ﺑﺎﻳـﺪ‬ ‫را‬ ‫دوم‬ ‫ﺑـﺴﺘﻪ‬ ‫ﻛﻨـﻴﻢ‬ ‫رﻫـﺎ‬ ‫را‬ ‫ﻫـﺎ‬
‫ﻛﻨﻴﻢ؟‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬
1(12(23(3 4(4
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»4«‫ﺑﺴﺘﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫رﻫﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻛﻨﺪ‬.
‫ﻣﺘﺮ‬
h
x V
g


   

   
2 4
2 2 4 4
1
‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دوم‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬4‫ﻋﻘﺐ‬ ‫ﻣﺘﺮ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫آﻧﺮا‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﺑﻴﺎﻓﺘﺪ‬ ‫ﺗﺮ‬V V 2 ‫ﻳ‬‫ﻌﻨﻲ‬
m
s
4‫ﻛﻨـﻴﻢ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﻋﻘﺐ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬.‫ﺳـﺮﻋﺘ‬ ‫ﻣﺠﻤـﻮع‬ ‫در‬‫ﻲ‬
‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﺣﻴﻦ‬2‫اﺳﺖ‬ ‫ﭘﺮواز‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﺧﻼف‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻣﺘﺮ‬.‫دارد‬ ‫ارﺗﺒﺎط‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﻧﺴﺒﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺣﺪودي‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ‬.
‫دوراﻧ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﻲ‬
‫ﺑﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺘﻲ‬‫ﻣﺴ‬‫داﻳﺮه‬ ‫ﻴﺮي‬‫ﺷﻜﻞ‬ ‫اي‬‫ﻣﻲ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬‫دارد‬ ‫ﻧﺎم‬ ‫دوراﻧﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﮔﻴﺮد‬.‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬‫ﺑﺮ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫ﺷﻌﺎع‬‫ﺷـﺘﺎﺑﻲ‬ ‫ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ‫داﻳﺮه‬‫ﻛـﻪ‬‫از‬ ‫ﻧﺎﺷـﻲ‬
‫دارد‬ ‫ﻧﺎم‬ ‫ﻣﺮﻛﺰﮔﺮا‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬.‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫از‬ ‫ﻧﺎﺷﻲ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎﺑﻲ‬)‫وﺟﻮد‬ ‫درﺻﻮرت‬(‫ﻣﻤﺎﺳ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﻲ‬‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫اﻧـﺪازه‬ ‫اﮔﺮ‬
‫دوراﻧﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﻳﻨﺼﻮرت‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫در‬ ‫ﮔﻮﻳﻨﺪ‬ ‫ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫دوراﻧﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫آﻧﺮا‬ ‫ﻧﻜﻨﺪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫دوراﻧﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬،‫دارد‬ ‫ﻧﺎم‬ ‫ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬.
x
y
r(t)

t
**
**
*
‫ﺑﺮد‬
‫ﺑﻌﺪ‬‫اوج‬ ‫از‬
‫اوج‬ ‫از‬ ‫ﻗﺒﻞ‬


V

x
y


V

V
  
x
h
‫ﺑﺮد‬
y
O
oV


18. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 18
r r r r
V
ˆ ˆa a e e
r

   
2
‫ﻣﺮﻛﺰﮔﺮا‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫دارد‬ ‫ﻧﺎم‬.‫ﺷﺪ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﻫﻤﺎن‬rˆe‫ﺷـﻌﺎع‬ ‫اﻓـﺰاﻳﺶ‬ ‫راﺳـﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫واﺣـﺪ‬ ‫ﺑـﺮدار‬
‫اﮔ‬ ‫اﺳﺖ‬‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺮ‬:
t
dv
a v
dt
 ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﻣﻤﺎﺳﻲ‬r
v
a
r

2
‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬
a‫داﻳﺮه‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻫﻤﺎن‬‫اﺳﺖ‬ ‫اي‬.
‫ﺑﺎ‬‫آﻧﻜﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬‫دو‬‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫ﻋﻤﻮدﻧﺪ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻤﺎﺳﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬:tra a a 2 2
‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬،،‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﺷﻜﻠﻬﺎي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫آﻳﺪ‬:
r t
t r
r
a a
tan cos ( )
a a a
 
  

1 1
2 2
‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﺗﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ه‬V‫ﺑﺎ‬ta‫ﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﻫﻢ‬V‫ﺟﻬﺖ‬ ‫ﺧﻼف‬ ‫در‬ta‫اﺳﺖ‬.
‫ﻧﺴﺒﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬
‫ﭼﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮﺑﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫را‬ ‫ذره‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫اﮔﺮ‬‫اﺳـﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫دﻳﮕﺮي‬ ‫ﭼﻮب‬
‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎﺑﻬﺎﻳﻲ‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺘﻬﺎ‬‫در‬‫اﻧﺪا‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮب‬ ‫دو‬‫زه‬‫ﮔﻴﺮي‬‫ﻣﻲ‬‫ﺷﻮ‬‫ﻧ‬‫ﺪ‬‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻨﺪ‬ ‫ﺗﻔﺎوت‬.
r r ' r
  
 
r

‫ﺑﺮدار‬‫ي‬‫اﺳﺖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫وﺻﻞ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫دو‬ ‫ﻣﺒﺪاء‬ ‫ﻛﻪ‬‫ﻛﻨﺪ‬.‫و‬V

‫دﻳﮕـﺮي‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻧـﺴﺒﺖ‬ ‫دار‬ ‫ﭘﺮاﻳﻢ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬
‫اﺳﺖ‬.‫دارﻳﻢ‬ ‫ﺑﻌﺪي‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫در‬.
p p
p p
p p
x x V t
v v V
a a


   

  

 
‫ﺑﻨ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺎﺑﺮاﻳﻦ‬‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﮔﻔﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬)‫ﺳﺮﻋﺖ‬(‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬)‫ﺳﺮﻋﺖ‬(‫ﻣﻜـﺎن‬ ‫اﺿﺎﻓﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬)‫ﺳـﺮﻋﺖ‬(‫ﻧـﺴﺒﺖ‬ ‫دﺳـﺘﮕﺎه‬ ‫دو‬‫ﺑـﻪ‬
‫ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ‬.‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﻮﻛﻮل‬ ‫ﭘﻨﺠﻢ‬ ‫ﻓﺼﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دارﻧﺪ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻫﺎﻳﻲ‬‫ﺷﻮد‬.
‫ﻣﺜﺎل‬24:‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻲ‬4‫ﻣﻲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻣﺘﺮي‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬
m
s
4‫ﻛﻨﺪ‬ ‫ﻛﻢ‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬.‫آ‬ ‫ﻓﺮود‬ ‫ﺣﻴﻦ‬ ‫در‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻣﺪن‬‫ﺑـﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﻦ‬‫ﺑـ‬ ‫دي‬‫ﺎ‬
‫ﺳﺮﻋﺖ‬
m
s
2‫ﻧﺸﺴﺖ؟‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫از‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫ﺑﺎﻟﻦ‬ ‫ﺑﻮزد‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﺳﻮي‬ ‫ﺑﻪ‬
1(1‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬2(2‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬3(3‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬4(‫ﻧﺸﺴﺖ‬ ‫ﻧﺨﻮاﻫﺪ‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬
‫ﭘﺎﺳﺦ‬:‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬»2«‫ﻫﻮا‬ ‫ﺟﺮﻳﺎن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﺑﺎﻟﻦ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻫﺴﺘﻴﻢ‬ ‫روﺑﺮو‬ ‫ﻧﺴﺒﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ‬ ‫در‬(V)‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
m
s
4‫ﻫ‬ ‫ﺟﺮﻳﺎن‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻮا‬
‫زﻣﻴﻨﻲ‬ ‫ﻧﺎﻇﺮ‬
m
(u)
s
2‫از‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫زﻣﻴﻨﻲ‬ ‫ﻧﺎﻇﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﺑﺎﻟﻦ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫اﺳﺖ؛‬V V u  
  V'
V u V
u

 


 

‫ﺳﻘﻮط‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫از‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬‫آزاد‬‫ﻧﻤﻲ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬‫ﺑ‬ ‫ﺳﻘﻮط‬‫ﻛﺮده‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫را‬ ‫ﺎﻟﻦ‬‫اﻳﻢ‬.
m h m
V t s
ms V
s

        

4
4 2 2 2
2
V
ra
r
ta
ra
v
a
‫ﺗﻨﺪﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬
r
 
r
P
y
x
v
0r

x
y
y
px
V
x
x
px
y
ta
ra
v
a 
‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﻛ‬‫ﻨﺪﺷﻮﻧﺪه‬

19. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬19
‫ﺗﺴﺖ‬‫ﻃﺒﻘﻪ‬ ‫ﻫﺎي‬‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺑﻨﺪي‬
1‫ـ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺗﺮﻧﻲ‬ ‫راﻧﻨﺪه‬V1‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬ ،‫ﻛﻨﺪ‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫دﻳﺪ‬ ‫را‬ ‫ﺑﺎري‬ ‫ﺗﺮﻧﻲ‬ ‫ﺧﻮد‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫در‬ ‫اي‬(V V )V2 1 2‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫در‬ ‫و‬d‫ﺗﺮن‬ ‫از‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﮔﺮﻓﺖ‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ‬ ‫و‬ ‫ﻛﻨﺪ‬a‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺪ‬ ‫ﺗﺮﻣﺰ‬‫ﻧﻜﻨﺪ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﺗﺮن‬.‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬‫زﻣـﺎن‬ ،‫ﻛـﺮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺗﺼﺎدف‬ ‫ﺑﺎري‬ ‫ﺗﺮن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﺪ‬ ‫ﻣﺘﻮﺟﻪ‬
‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﺗﺮن‬ ‫دو‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻻزم‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬76(
1(
V V (V V) ad
a
   2
1 2 1 2 22(
V V
a
1 2
3(
(V V ) ad
a
 2
1 2 2
4(
V V (V V ) ad
a
   2
1 2 1 2 2
2‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬ ‫ـ‬‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫دو‬ ‫اي‬‫اوج‬‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫آن‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺗﺎﻧﮋاﻧﺖ‬ ،‫اﺳﺖ‬ ‫آن‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬77(
1(
1
3
2(13(34(2
3‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ـ‬‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻣﻄﺎﺑﻖ‬ ‫را‬ ‫اي‬‫ﻛﺮده‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬‫اﻳﻢ‬.‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬AT‫و‬BT‫ﭘﺮﺗﺎﺑ‬ ‫ﻋﺒﻮر‬ ‫زﻣﺎن‬‫ﻪ‬،‫ﮔﺮاﻧﺸﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ،‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫اﻓﻘﻲ‬ ‫ﺧﻄﻮط‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫دو‬ ‫از‬g
‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬77(
1(
A B
h
T T2 2
8
2(
A B
h
T T2 2
8
3(
A B
h
T T2 2
2
4(
A B
h
T T2 2
2
4‫ﻳﻚ‬ ‫ﺟﻨﺒﺸﻲ‬ ‫اﻧﺮژي‬ ‫ـ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫ﺟﻨﺒﺸﻲ‬ ‫اﻧﺮژي‬ ‫ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫اوﺟﺶ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬.‫اﻳـﻦ‬ ‫ﭘﺮﺗـﺎب‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﻫﻮا‬ ‫ﻣﻘﺎوﻣﺖ‬ ‫ﺑﻮدن‬ ‫ﻧﺎﭼﻴﺰ‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫ﺑﺎ‬
‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬78(
1(3‫درﺟﻪ‬2(45‫درﺟﻪ‬3(6‫درﺟﻪ‬4(tg1
4
5‫ذ‬ ‫ـ‬‫ره‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺗﻨﺪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اي‬V‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬xy‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻃﻮري‬‫ﻣﺆﻟﻔـﻪ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﻛﻨـﺪ‬‫ﺻـﻮرت‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘـﺼﺎت‬ ‫دﺳـﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫ﻫـﺎي‬rV Vsin


2
‫و‬V Vcos


2
‫اﺳﺖ‬.‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬79(
1(‫ﺛﺎﺑﺖ‬rcos

2
2
2(‫ﺛ‬‫ﺎﺑﺖ‬rcos


2
3(‫ﺛﺎﺑﺖ‬rsin

2
2
4(‫ﺛﺎﺑﺖ‬rsin


2
6‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺗﻨﺪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫واﮔﻨﻲ‬ ‫روي‬ ‫از‬ ‫ـ‬V
2
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻲ‬ ‫درﺟﺎده‬.‫ﮔﻠﻮﻟﻪ‬‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اي‬V‫زاوﻳﻪ‬ ‫و‬‫واﮔـﻦ‬ ‫در‬ ‫ﺳـﺎﻛﻦ‬ ‫ﻧـﺎﻇﺮ‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬‫ﺷﻮد‬.‫زاوﻳﻪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ؟‬ ‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬ ‫ﮔﻠﻮﻟﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬ ،‫زﻣﻴﻦ‬ ‫روي‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺳﺎﻛﻦ‬ ‫ﻧﺎﻇﺮ‬ ‫دﻳﺪ‬ ‫از‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭼﻘﺪر‬)‫اﺳﺖ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫واﮔﻦ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬(.)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬80(
1(
  452(tg 
1
2

3(sin cos   
1
2
 4(cos sin   
1
2
 
7‫ذره‬ ‫ـ‬‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬ ‫اي‬xy‫آن‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬x ay ‫و‬y bx c   ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬a‫و‬b‫و‬c‫ﻣﺜﺒﺘﻨﺪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫اﻋﺪاد‬.‫ﻟﺤﻈـﻪ‬ ‫در‬ ‫اﮔـﺮ‬t  
‫ذره‬‫دﻟﺨﻮاه‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫از‬ ‫ﻛﺪاﻣﻴﻚ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺳﻜﻮن‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻣﺒﺪأ‬ ‫در‬t  ‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﺑﺮﻗﺮار‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬80(
1(
b ab
( x) y
c c
  2 2
2
1 1 2(
b
b x y c
a
 2 2 2 2 3(
ab ab
( y) x
c c
  
3
2 2
2
1 14(
c
abx a y
b
 
2
2 2 2
2
8‫دﻳ‬ ‫از‬ ‫ـ‬‫ﺷﺎر‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬ ‫ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻨﻈﻢ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎران‬ ،‫زﻣﻴﻦ‬ ‫روي‬ ‫ﺳﺎﻛﻦ‬ ‫ﻧﺎﻇﺮ‬ ‫ﺪ‬B‫ﻣـﻲ‬ ‫ﺳـﻄﺢ‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫از‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻴﻠﻮﮔﺮم‬‫ﺑـﺎرد‬.‫ﺳـﺮﻋﺖ‬
‫ﻗﻄﺮه‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﻧﺎﻇﺮ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﺑﺎران‬ ‫ﻫﺎي‬

V‫اﺳﺖ‬.‫ﻣﺴﺎﺣﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﺑﺎزي‬ ‫واﮔﻦ‬A‫ﺟﺎده‬ ‫در‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اﻓﻘﻲ‬ ‫اي‬

u‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬.‫ﻻزم‬ ‫اﻓﻘـﻲ‬ ‫ﻧﻴﺮوي‬
‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﭼﻘﺪر‬ ‫واﮔﻦ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻧﮕﻬﺪاﺷﺘﻦ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺑﺮاي‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬80(
1(BA u V2 22(BAu
3(
BAV u
| u V |2 2


4(
BAV u
u V2 2


AT
BT
B
A
t
‫ارﺗﻔﺎع‬
V
V
2

u
V

20. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 20
9‫رودﺧﺎﻧﻪ‬ ‫در‬ ‫آب‬ ‫ـ‬‫ا‬‫ﻋﺮض‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ي‬D‫ﺗﻨﺪي‬ ‫ﺑﺎ‬u‫دارد‬ ‫ﺟﺮﻳﺎن‬.‫ﻗﺎﻳﻖ‬‫ﺗﻨﺪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫راﻧﻲ‬V‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺰﻧﺪ‬ ‫ﭘﺎرو‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬.‫ﻗﺎﻳﻖ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺎرو‬ ‫ﭼﻨﺎن‬ ‫رودﺧﺎﻧﻪ‬ ‫ﺳﺎﺣﻞ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫از‬ ‫ران‬‫ﻛﻪ‬ ‫زﻧﺪ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎز‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دوﺑﺎره‬ ‫و‬ ‫ﺑﺮﺳﺪ‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺳﺎﺣﻞ‬ ‫در‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫روﺑﺮوي‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫درﺳﺖ‬‫ﮔﺮدد‬.‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺮﮔﺸﺘﻲ‬ ‫و‬ ‫رﻓﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫زﻣﺎن‬(V u)
)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬81(
1(
D
V
2
2(
D
V u2 2
2
3(
Du
V r2 2
2
4(D( )
V u V u

 2 2 2 2
1 1
10‫ـ‬‫ﺻﻔﺤﺔ‬ ‫روي‬ ‫اي‬ ‫ذره‬xy‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻃﻮري‬‫ﻣﻌﺎدﻟـﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫آن‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬
x(t) R( t sin t)
y(t) R( cos t)
   

   1
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛـﻪ‬R‫و‬‫ﻣﻘـﺎدﻳﺮي‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻴﺎن‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬‫زاوﻳﺔ‬ ،‫ﺷﻮد‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﻴﻦ‬t s 4‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬82(
1(

3
2(

2
3(4(2
11‫ـ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ˆ ˆ ˆA i j k  

2 3‫و‬

ˆ ˆB j k  3 2‫ﻋﻤﻮد‬ ‫ﺑﺮدار‬ ،‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‬‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻣﺸﺘﺮك‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﺑﺮ‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬83(
1(ˆ ˆ ˆi j k  3 4 62(ˆ ˆ ˆi j k 2 3 53(ˆ ˆ ˆi j k 3 4 64(ˆ ˆ ˆ(i j k)  3 4 2
12‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫در‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬ ‫اي‬ ‫ذره‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ـ‬at
r ke‫و‬bt ‫اﺳﺖ‬.‫از‬ ‫ﻧﺴﺒﺘﻲ‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ازاي‬ ‫ﺑﻪ‬
b
a
‫ذره‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﻴﻦ‬ ‫زاوﻳﻪ‬
‫ﻫﻤﻮاره‬6 
‫اﺳﺖ؟‬)a‫و‬b‫و‬k‫ﺛﺎﺑﺖ‬‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﻫﺎي‬(.)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬83(
1(
1
2
2(33(k34(k2
13‫ذره‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ـ‬‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫در‬ ،‫دارد‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﻣﺮﻛﺰي‬ ‫ﻧﻴﺮوي‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮ‬ ‫ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬ ‫اي‬r A ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬A‫اﺳـﺖ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﻲ‬ ‫ﻋﺪد‬.‫ﺑـﺎ‬
‫راﺑﻄﺔ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬
d u m
u F( )
ud L u
  

2
2 2 2
1
‫ﭘﺘﺎﻧﺴ‬ ‫اﻧﺮژي‬‫از‬ ‫ﺗﺎﺑﻌﻲ‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ذره‬ ‫ﻴﻞ‬r‫اﺳﺖ؟‬L‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﻣﻤﻨﺘﻮم‬‫اﺳﺖ‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﺪاري‬ ‫اي‬.)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬83(
1(
r3
1
2(
r2
1
3(r3
4(r4
14‫ـ‬‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫در‬ ‫ﻋﺴﻠﻲ‬ ‫زﻧﺒﻮر‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ct ‫و‬kt
r be‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬c،b‫و‬k‫ﻫـﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻣﺜﺒﺘﻲ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫اﻋﺪاد‬.‫ﻟﺤﻈـﻪ‬ ‫در‬t
‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫زاوﻳﻪ‬‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫اي‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬84(
1(
k
cos [ ]
(k c )


2
1
2 2
2(
kt
ke
cos [ ]
(k c )


1
1
2 2 2
3(
k
cos [ ]
(k c )


1
1
2 2 2
4(
kt
ke
cos [ ]
(k c )



1
2 2
15‫ـ‬‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫دو‬A‫و‬B‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫در‬ ‫ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ‬ ‫ﺳﻤﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺧﻂ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫روي‬‫اﻧﺪ‬.‫ﻣ‬ ‫ﺗﻨـﺪي‬‫ﺘ‬‫ﺤـﺮك‬A،
m
s
16‫ﻣ‬ ‫ﺗﻨـﺪي‬ ‫و‬‫ﺘ‬‫ﺤـﺮك‬B،
m
s
8‫اﺳـﺖ‬.
‫ﻟﺤﻈﻪ‬‫ﻫﻢ‬ ‫از‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫دو‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬m45‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﺮﻣﺰ‬ ‫دو‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫اﺳﺖ‬‫ﻛﻨﻨﺪ‬.‫ﻣﺘﺤﺮك‬A‫ﺛﺎﺑ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﺖ‬
m
s2
2‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫و‬B‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬
m
s2
4‫ﺗﺮﻣﺰ‬‫ﻣﻲ‬‫از‬ ‫ﭘـﺲ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫دو‬ ،‫ﺗﺮﻣﺰ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫از‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬‫ﻣ‬ ‫ﺗﻨﺪي‬ ‫و‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ‬‫ﺘ‬‫ﺤﺮك‬B‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ً‫ﺎ‬‫ﺗﻘﺮﻳﺒ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬86(
1(s8/2‫ﺻﻔﺮ‬ ‫و‬2(s2/13‫ﺻﻔﺮ‬ ‫و‬
3(s3‫و‬
m
s
44(s5‫و‬
m
s
12
16‫ـ‬‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬‫ﺗﭙﻪ‬ ‫ﺑﺎﻻي‬ ‫از‬ ‫اي‬‫ﻣ‬ ‫اي‬،‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻄﺎﺑﻖ‬‫ﻋﻤﻮد‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﺗﭙﻪ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﺑﺮ‬.‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﻧﺪازه‬V‫ﭼﻨﺪ‬
m
s
‫اﺳﺖ؟‬)‫ﭼﺸﻢ‬ ‫ﻫﻮا‬ ‫ﻣﻘﺎوﻣﺖ‬ ‫از‬‫ﭘﻮﺷﻲ‬
‫و‬ ‫ﺷﻮد‬
m
g , AB m , sin
s
   
2
3
1 75
5
()‫ﺳﺮاﺳﺮي‬86(
1(
5 5
2
2(1
3(15
4(2
A B
A
B
V


21. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬21
17‫ـ‬ˆn1‫و‬ˆn2‫ﻳﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﻧﺪ‬‫ﻣﻲ‬‫ﺳﺎزﻧﺪ‬.‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫دو‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دو‬ ‫و‬ ‫ﻳﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﻛﺪام‬‫ﻛﻨﺪ؟‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬87(
1(
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n n
ˆ, , n
sin sin
 
 
1 1 2 2 1 2
12(
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n n
ˆ, , n
sinsin
 

1 1 2 2 1 2
12
3(
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n n
ˆ, , n
sin sin
 
 
1 1 2 2 2 1
24(
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n n
ˆ, , n
sinsin
 

1 1 2 2 2 1
22
18‫ـ‬‫ﮔﻠﻮﻟﻪ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اي‬v‫ﺗﭙﻪ‬ ‫روي‬ ‫از‬ ‫ﺗﭙﻪ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬‫اﻓﻖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫آن‬ ‫ﺷﻴﺐ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬
6‫ﻣﻲ‬ ‫ﺷﻠﻴﻚ‬ ‫اﺳﺖ‬‫ﺷﻮد‬.،‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬R‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ،
‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬:)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬87(
1(
v
g
2
4 2(
v
g
2
4 3 
3(
v
g
2
2 3 4(
v
g
2
4 3
3

19‫ـ‬‫ﺷ‬ ‫داده‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ،‫زﻳﺮ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫در‬ ‫ﺪه‬m2‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬y at 21
2
‫اﺳﺖ‬.‫ﭘﺎﻳﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫رو‬ ‫ﺷﺘﺎب‬m1‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬:
)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬87(
1(a2
2(a4
3(a6
4(a8
20‫ـ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺮﮔﺎه‬

ˆ ˆ ˆV (x y az)i (bx y z)j ( x cy z)k        2 3 4 2‫ﻣﻲ‬ ،‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭼﺮﺧﺸﻲ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬‫ﺗـﺎﺑﻊ‬ ‫ﻳـﻚ‬ ‫ﮔﺮادﻳـﺎن‬ ‫ﺻـﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫ﺗﻮان‬
‫ﻧﺮده‬‫ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫اي‬‫ﻧﻮﺷﺖ‬
 
V  ،‫ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ‬‫از‬:)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬87(
1(
x y
z xy yz xz    
2 2
23
2 4
2 2
2(x y z xy xz yz    2 2 2
3 2 4
3(
x y
z xy xy yz    
2 2
23
2 2
2 2
4(
x y
z xy xz yz    
2 2
23
2 4
2 2
21‫ـ‬‫ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﻛﻨﺴﺮواﺗﻴﻮ‬ ‫ﻧﻴﺮوي‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫را‬ ‫ﭘﺘﺎﻧﺴﻴﻞ‬ ‫اﻧﺮژي‬.)‫آزاد‬87(
1(V 
2(ˆˆV cos a sin k      3 2
3
3(‫ﻧﻤﻲ‬‫ﻛﺮد‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﭘﺘﺎﻧﺴﻴﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺗﻮان‬.
4(ˆv a sin k  3z
F a cos
F a sin
F az


   


  



2
2
2
2
22‫ـ‬‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬ˆ ˆi j‫و‬ˆ ˆj k‫ﻳﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ،‫دارﻧﺪ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫آن‬ ‫در‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‬ ‫اي‬ˆ ˆ ˆi j k ‫ﺑﺎﺷﺪ؟‬ ‫ﻋﻤﻮد‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬88(
1(ˆ ˆ(i k)
1
2
2(ˆ ˆ(j k)
1
2
3(ˆ ˆ ˆ(i j k) 
1
2
6
4(ˆ ˆ ˆ(i j k) 
1
2
6
23‫ـ‬‫ذره‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺴﻴﺮي‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫روي‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫اي‬v‫ﻣﻲ‬ ‫ﻃﻲ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه‬ ،‫ﻛﻨﺪ‬v1‫ﻧﺼﻒ‬ ‫در‬ ‫و‬
‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬v2‫ﻣﻲ‬ ‫ﻃﻲ‬‫ﻛﻨﺪ‬.‫ﻛﺪاﻣﺴﺖ؟‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬88(
1(
v v v 1 2
3
2(
v (v v )
v v v

 
1 2
1 2


3(
v (v v )
v v v

 
1 2
1 2
2
2


4(
v (v v v )
v v v
 
 
1 2
1 2
2
2
 

24‫ـ‬‫ذره‬‫ﺗﻨﺪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اي‬v‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬‫ي‬xy‫داﻳﺮه‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫روي‬‫ﺷﻌﺎع‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اي‬R‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻣﺒﺪأ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬‫ﻛﻨﺪ‬.‫ﻛﺪام‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻚ‬‫در‬ ‫زﻳـﺮ‬ ‫ﻫﺎي‬
‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫ذره‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﻮرد‬)x y(a , a )،x y(v , v )‫و‬(x , y)‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ،‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻫﺎي‬‫دﻟﺨﻮاه‬ ‫ي‬t‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬(.
)‫ﺳﺮاﺳﺮي‬88(
1(
x y y x
y
v a v a
v x[ ]
v

2
2(
x y y x
y
v a v a
v x[ ]
v

2
3(
x y y x
x
v a v a
v y[ ]
v

2
4(
x y y x
x
v a v a
v y[ ]
v

2
1ˆn 2ˆn

60
R
y 1m2m

22. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 22
‫ﭘﺎﺳﺨﻨﺎﻣﻪ‬‫ﺗﺴﺖ‬‫ﻃﺒﻘﻪ‬ ‫ﻫﺎي‬‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺑﻨﺪي‬
1‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»4«‫اول‬ ‫ﺗﺮن‬ ‫روي‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫ﻣﺒﺪأ‬ ‫و‬ ‫ﺗﺮن‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺟﻬﺖ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬)‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬V1(‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬‫ﺗﺮﻣﺰ‬ ‫ي‬،‫ﻣﻲ‬ ‫ﻗﺮار‬‫دﻫﻴﻢ‬.‫ﻣﻜـﺎن‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫ﺗﺮن‬ ‫دو‬‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫از‬ ‫ﻗﺒﻞ‬ ‫ﻧﺴﺒﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮد‬V V1 2‫آن‬ ‫ﻧﺴﺒﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻟﺬا‬ ‫ﻧﺪارد‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫دوﻣﻲ‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫از‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫و‬‫ﻧﻴﺰ‬ ‫ﻫﺎ‬a‫اﺳﺖ‬.
‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺲ‬‫ﺳﺮﻋ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻻزم‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﺖ‬V‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬a‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬d‫ﺑﭙﻴﻤﺎﻳﺪ‬‫ﻛﺮد‬ ‫ﺣﺴﺎب‬ ‫را‬.
y at V t d at Vt at (V V )t         2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
‫ﻛﻨﺪﺷﻮﻧﺪه‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫اﺳﺖ‬.‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬.
(V V ) (V V ) ad
at (V V )t d t
a
   
     
2
1 2 1 22
1 2
21
2

‫اﮔﺮ‬d  ‫در‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬t  ‫رخ‬‫ﻣﻲ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻗﺒﻮل‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫دﻫﺪ‬.
2‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»4«‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫راﺣﺘﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬ ‫و‬ ‫اوج‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬.
:‫ﭘﺮﺗﺎ‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫زاوﻳﻪ‬‫ﺑ‬‫ﻪ‬
V sin V sin V sin
h R h
g g g
  
   
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
  ‫اوج‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬‫و‬
V sin
R
g


2
2‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬
sin sin sin cos sin tg           2 2
2 2 2
3‫ﮔﺰﻳﻨ‬ ‫ـ‬‫ﻪ‬»2«‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫ﺟﻮاب‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬‫آﻳﺪ‬.
A A A A A Ay gt V sin t y V sin t gt          2 21 1
2 2
‫را‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫دوم‬ ‫درﺟﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬t‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﻞ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﺟﻮاب‬ ‫دو‬‫آﻳﺪ‬:
B BT V sin gy
g
  2 22
2;
A
A
A A A A
A
A
V sin V sin gy
t
g
T t t V sin gy
g
V sin V sin gy
t
g
 

 
   
 

     
    


2 2
1
2 2
1 2
2 2
2
2
2
2
2
‫ﺑﺮاي‬BT‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬‫ﺗﻮ‬‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫در‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺗﻜﺮار‬ ‫را‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫اﻧﻴﻢ‬:
h
A B A B B A A B
A B
h h
T T [V sin gy V sin gy ] ( g)(y y ) T T g
gg g T T
 

             

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 4 8 8
2 2 2
4‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»3«‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫آن‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﻫﻤﻴﺸﻪ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﭼﻮن‬‫ﻓﻘﻂ‬‫دارد‬ ‫اﻓﻘﻲ‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬.
ˆ ˆV V cos i V cos i    1  

‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬
ˆ ˆV V cos i V sin j   2  

‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬
‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫دو‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫ﺟﻨﺒﺸﻲ‬ ‫اﻧﺮژي‬ ‫ﻣﻘﺎدﻳﺮ‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬)‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬T2‫اوج‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫و‬T1(‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬:T mV 2
2 2
1
2
;T mV 2
1 1
1
2
V VT
T [ mV ] mV cos [ mV ] mV cos cos
  
 
            
2 2
22 2 2 2 2 2 22
1 2
1 1 1 1 1 1 1
4 4 2 2 4 2 2 4 3
5‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»1«‫ﻣﻲ‬‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫در‬ ‫داﻧﻴﻢ‬‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻪ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﺷﻮد‬:
)1(r
r vsin
r V , r V
r vcos

 




    
  

2
2
( )dr d dr dr dr
r rr r rvsin (vcos )
d dt d d d
  
  
       
   
1
2 2
‫درﺟﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺣﻞ‬2‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬t
By
Ay h BT
AT
‫ﺳﺆال‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﻃﺒﻖ‬
‫ﻃ‬‫ﺿﺮﺑﺪر‬ ‫را‬ ‫ﺮﻓﻴﻦ‬r‫ﻣﻲ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.

23. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬23
cosrdr dr r
rtg tg d lncos ln r (ln ) ln
rd r rcos   

  
          
   22 2
2 2 2
2
‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬
ln x ln x
cos cos cos
r r
ln( ) ln ln rcos r cos
r rcos coscos
 
 

       
  
2
2 2 2
2 1 2 2
2 22
2 2 2
2 2
2 22
 


  
‫ﻣﻮرد‬ ‫در‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ‬‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬‫اﻧﺘﮕﺮال‬tg d

 2
:
cos u
sin du
sin
du
d ln u lncos
ucos



 


     
 2
1
2 2
2 2 2 2
2
2
6‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»3«‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫از‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻫﺎي‬‫آﻳﻨﺪ‬)‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫اﻓﻘـﻲ‬ ‫ﻣﺆﻟﻔـﺔ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﻟﺬا‬ ‫دارد‬ ‫اﻓﻘﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫واﮔﻦ‬ ‫ﭼﻮن‬
‫ﭘﺮﺗﺎﺑ‬‫ﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮ‬ ‫ﺗﺤﺖ‬‫ﻧﺨﻮرده‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬ ‫و‬ ‫ﮔﻴﺮد‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ‬‫ﻣﺎﻧﺪ‬.(
yx
x
y
V
VV V cos sin
tg
V cosV V sin

   

  

   
   
   
2
1
2
‫زاوﻳﻪ‬‫اﺳﺖ‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺳﺎﻛﻦ‬ ‫ﻧﺎﻇﺮ‬ ‫دﻳﺪ‬ ‫از‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ،‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ي‬.
‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮد‬
V sin
R
g
 

2
2
2
‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬ ‫وﻗﺘﻲ‬sin  2 1‫ﻳﻌﻨﻲ‬

 
4
‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫ﺟﺎي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫در‬ ‫ﭘﺲ‬

 
4
‫ﻗﺮا‬‫ﻣﻲ‬ ‫ر‬‫دﻫﻴﻢ‬.
sin
tg sin cos
cos
 
      
 
1
1
1 4 2
2

 

7‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»1«‫رﻳﺎﺿ‬ ‫ﺳﺆال‬ ً‫ﺎ‬‫ﺻﺮﻓ‬ ‫ﺳﺆال‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻴ‬‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻌﻨﻲ‬ ‫ﺑﺪﻳﻦ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺎﺗﻲ‬‫ﻓﻘﻂ‬‫ﻣﻜـﺎن‬ ‫و‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫ﺳـﺆال‬ ‫ﺻـﻮرت‬ ‫در‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫رﻳﺎﺿﻲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‬
‫ازاي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫اوﻟﻴﻪ‬t  ‫دارﻳﻢ‬:x y x y        
x
dy
x ay dx a ydt x a
dt


         
y
dt

 ay x ay (I)  
x
dx
y ( bx c) dy ( bx c)dt b
dt
             dt
x t
c dt y bx ct (II)
 
     
abu aby c
y u
(I),(II) y b(ay) c y bay c u abu
 
   
 

          ‫اﺻﻠ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫و‬‫ﻲ‬
u ab 
c
y u cos( abt )
ab
    uu u cos( t )    
y abu sin( abt ) , y( ) abu sin
c c
y( ) u u
ab ab
 
 
     
  
           
      
(I)c c bx
y ( cos abt) x ( cos abt) cos abt ( )
ab b c

        2 2
1 1 1
c c aby
y sin abt y sin abt sin abt
abab c

     
2 2
2 2 2
2
bx aby
cos abt sin abt ( )
c c
 
     
2
2 2 2
2
1 1 1

24. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 24
8‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»2«‫ﻣﻲ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﺟﺮم‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻧﻴﻮﺗﻦ‬ ‫دوم‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن‬ ‫راﺑﻄﻪ‬‫ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‬)‫اﻓﻘﻲ‬ ‫راﺳﺘﺎي‬ ‫در‬(x
x x
x(Ext) rel V
dv dvdm
F m V u
dt dt dt
     
dm
B.A BAcos
dt
  
 
‫ﺷﺎر‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
Acos‫واﮔﻦ‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫ﻧﺎﻇﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﻄﺤﻲ‬‫ﺑﻴﻨﺪ‬ ‫ﻣﻲ‬.
rel
u u
cos , V u V
x V u


    

2 2
2 2
x(Ext)
dm Au BAu
B F V u BAu
dt V u V u

 
      
 
2 2
2 2 2 2
9‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»2«
u‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫آب‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬V‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻗﺎﻳﻘﺮان‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬
V‫آب‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻗﺎﻳﻘﺮان‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬
‫ﺟﻬﺖ‬ ‫در‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﻗﺎﻳﻘﺮان‬V‫ﺑ‬ ‫را‬ ‫ﻗﺎﻳﻖ‬‫ﺮ‬‫ﺗﺎ‬ ‫اﻧﺪ‬‫ﺑﺮآﻳﻨﺪ‬‫ﺑﺎ‬ ‫آن‬u)‫ﺳ‬‫آب‬ ‫ﺟﺮﻳﺎن‬ ‫ﺮﻋﺖ‬(‫ﺑﺮاﺑﺮ‬V‫ﺑﺮﺳﺪ‬ ‫ﺧﻮدش‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺘﻮاﻧﺪ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮد‬.
V u V V V u V V u         2 2 2 2 2 2
  
D
V u

2 2
2
‫ﺑﺮﮔﺸﺖ‬ ‫و‬ ‫رﻓﺖ‬ ‫ﻛﻞ‬
D D
t t
V V u
 
 2 2
‫رﻓﺘ‬ ‫زﻣﺎن‬‫ﻦ‬‫رودﺧﺎﻧﻪ‬ ‫در‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻠﺶ‬ ‫ﺳﺎﺣﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫از‬
10‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»4«
x x x
y y
x(t) R( t sin t) V x(t) R ( cos t) a V R sin t
y(t) R( cos t) V y(t) R sin t a V R cos t


               

            
2
2
1
1
y
x
t t t
sin cos cosV R sin t t t
tg cot tg( )
t tV R ( cos t) sin sin
  
    
       
   
1
2
2
2 2 2
1 2 2 22
2 2
‫اﻓﻘﻲ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫زاوﻳﻪ‬
y
x
a R cos t
tg cot t tg( t)
a R sin t
  
       
 
2
2 2 2
‫اﻓﻘﻲ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫زاوﻳﻪ‬
t st t
t
   
             
4
1 2 2
2 2 2 2
‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﻴﻦ‬ ‫زاوﻳﻪ‬
11‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»3«‫ﻣﻲ‬‫ﺑ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ،‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺧﺎرﺟﻲ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫داﻧﻴﻢ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﻣﺸﺘﺮك‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﺮ‬.
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫از‬ ‫ﺿﺮﻳﺐ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬B

‫و‬A

‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
i j k
ˆ ˆ ˆA B i j k      

2 3 1 3 4 6
3 2
 

ˆ ˆ ˆB A (A B) i j k      3 4 6
  
12‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»2«‫ﻣﻲ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫راﺣﺘﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬‫دﺳ‬ ‫در‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬‫اﺳﺖ‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺴﻄﺢ‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﺘﮕﺎه‬:
at at at
r ke r kae r ka e      2
;r rˆ ˆ ˆV re r e ,a (r r )e (r r )e
                2
2
at at at at
r rˆ ˆ ˆ ˆV (kae )e kbe e , a ke (a b )e ( kae b)e     2 2
2

,bt b         
at atV a
cos , | V | ke (a b ) , | a | ke [(a b ) a b ]
| V || a |

      
1 1
2 2 2 2 2 2 22 24
 
cos   
1
6 6
2

 ,at at
V.a k ae (a b ) k ab e  2 2 2 2 2 2 2
2
 


u
V
‫ﺑﺎران‬ ‫ﻗﻄﺮه‬
x
V
u
v

25. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬25
k

2
1
2
at
a e2
((a b ) b )
k
 2 2 2
2
2
at
e2
a(a b )
(a b ) ((a b ) a b ) (a b ) (a b a b a b )


      
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 22 2 2 24 2 4
a(a b ) a a b
a a b a b
aa b
((a b ) ) (a b )

          

 
1
2 2 22
2 2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2 22 2
1
4 3 3
4
13‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»2«‫ﻣﻲ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻣﺮﻛﺰي‬ ‫ﻧﻴﺮوي‬ ‫ﺣﻀﻮر‬ ‫در‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻓﺮﻣﻮل‬ ‫از‬‫ﻧﻤﺎﻳﻴﻢ‬:
d u m du d u
u F( ) , u , ,
u r A d Ad L u d

      
 
2 2
2 2 2 2
1 1 1

mA L L L L
F( ) F V F(r)dr V dr
A uL mA mr mr mr

              

 
2 2 2 2 2
3
2 2 3 3 3 2
1

14‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»3«‫اﻧﺘﻬﺎي‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺒﻴﻪ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬‫ﻛﺘﺎب‬ ‫ﻓﺼﻞ‬»‫ﻓﺎﻟﺰ‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻠﻲ‬ ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬«‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
kt
rˆr be e

kt kt kt
r rˆ ˆ ˆ ˆV re r e c r bke V bke e cbe e
 
           
‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺑﻴﻦ‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻦ‬ ‫ﺑﺮاي‬V

‫و‬r

‫ﻣﻲ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫داﺧﻠﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫از‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬:
kt
kt
r.V b ke k k
cos cos ( )
| r || V | b e k c k c
(k c )

      
 

2 2
1
12 2 2 2 2 2
2 2 2


15‫ﮔﺰ‬ ‫ـ‬‫ﻳﻨﻪ‬»1«‫ﻧﻤﻲ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫راه‬ ‫از‬ ‫ﺗﻮان‬‫دارﻳﻢ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺣﺴﺎب‬ ‫را‬ ‫ﻗﻄﺎرﻫﺎ‬ ‫از‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﺗﻮﻗﻒ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫زﻳﺮا‬ ‫ﻛﺮد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫دو‬ ‫ﻧﺴﺒﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺣﻞ‬:
A B
A B
A B
V V
t S ; t S
a a
      
16 8
8 2
2 4
‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪه‬‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬A‫در‬t  8‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺘﻮﻗﻒ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫ﺷﻮد‬B‫در‬t  2‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﻪ؛‬B‫ﻣﺘﺤـﺮك‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﻲ‬ ‫در‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺘﻮﻗﻒ‬A‫ﺣـﺎل‬ ‫در‬ ‫ﻫﻤﭽﻨـﺎن‬
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬.‫ﻧﻤﻲ‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫دارﻳﻢ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻓﺎز‬ ‫در‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫ﭘﺲ‬‫ﻛﺮد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻧﺴﺒﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫از‬ ‫ﺗﻮان‬.‫ﻧﺎدرﺳﺖ‬ ‫ﺟﻮاب‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫در‬3‫ﻣﻲ‬‫رﺳﺎﻧﺪ‬.
‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬A‫ﭼ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﻪ‬ ‫دو‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻃﻲ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺘﻲ‬ ‫ﻪ‬‫ﻛﻨﺪ‬:
Ax at V t m             2 21 1
2 2 16 2 4 32 28
2 2

‫ﺑﺎﻗﻲ‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬ ‫ﭘﺲ‬‫ﺗﻮﻗﻒ‬ ‫از‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻣﺎﻧﺪه‬B‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬:m 45 28 17
‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬17‫ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﻣﺘﺮ‬A‫ﻣﻲ‬ ‫ﻃﻲ‬ ‫ﻣﺪﺗﻲ‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫در‬‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﺷﻮد‬B‫ﺑﺮﺳﺪ‬.‫ﺑﺎﻳـﺪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺟﺎﻳﮕﺬاري‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬AV‫را‬‫ﻃـﻲ‬ ‫از‬ ‫ﭘـﺲ‬
28‫ﻣﺘﺮ‬‫ﻃﻲ‬ ‫از‬ ‫ﭘﺲ‬28‫ﻣﺘﺮ‬‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬:
AV V a x V ( a x V ) ( ) V                 
1 1
2 2 2 2 22 2 2 2 28 16 12
‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﺟﺎﻳﮕﺬاري‬ ‫ﺑﺎ‬m17‫روﺑﺮو‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫در‬t / S 2 8‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫آﻳﺪ‬:A
at V t  21
17
2
16‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»4«‫ﺷﻴﺒﺪار‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫روي‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫اﺻﻞ‬ ‫در‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﺗﺼﻮﻳﺮ‬ ‫را‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﻟﺬا‬ ‫ﻛﻨﺪ‬.
gx
y xtg
v cos
x ABcos
y ABsin
  

 
 
2
2 2
2 


‫دو‬ ‫ﺗﻮان‬
y
v
x




26. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 26
g(ABcos ) g
ABsin (ABcos )tg( ) sin cos cotg ABcotg
vv cos ( )
 
              

 
2
2
22 22 22
2

m
( ) v v ( )
sv
 


          2 2
2
3 4 4 1 4
75 25 16 2
5 5 3 32
17‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»1«‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫و‬ ‫ﻳﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﭼﻮن‬‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﺑﺎﻳﺴﺖ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺟﻔﺖ‬ ‫ﺟﻔﺖ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫اي‬‫اﻣﺎ‬)‫وﻟﻲ‬(‫ﮔﺰﻳﻨ‬‫ﻪ‬3‫و‬4‫ﻧﺪارد‬ ‫را‬ ‫ﺷﺮط‬ ‫اﻳﻦ‬.
‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬3:‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﻳﺴﺖ‬n2‫ﺑ‬‫ﺮ‬
ˆ ˆ ˆn (n .n ) n
sin


1 1 2 2‫وﻟﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n (n .n ) cos
ˆn
sin sin sin
   
   
  
2 2
1 1 2 2 2 1
2
1 1

‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫و‬4‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫وﺿﻊ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n (n .n ) cos
ˆn
sin sin sin
   
   
  
2 2
1 1 2 2 2 1
2 2 2 2
1 1

‫ﺧﺎﺻﻴﺖ‬ ‫از‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻳﻜﻲ‬‫اﺳ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻳﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﻳﻚ‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫داراي‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺖ‬)‫واﺣﺪ‬(‫ﺑﺮدارﻳﻜﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬n‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﻳﺴﺖ‬ˆ ˆn.n 1‫ﮔﺰﻳ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬‫ﻨـﻪ‬1‫و‬2‫را‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﭼﻚ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ‬‫ﻛﻨﻴﻢ‬.
‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬2‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫ﺳﻮم‬ ‫ﺑﺮدار‬‫آﻳﺪ‬:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n (n .n ) n (n .n ) (n .n ) (n .n ) cos sin
sin sin sin sin sin sin
       
    
     
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 4 4 4 2
1 1 1
‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫واﺣﺪاﺳﺖ‬ ‫ﻣﺨﺎﻟﻒ‬ ‫ﻛﻪ‬2‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻏﻠﻂ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬1‫ﻣﻲ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ‬ ‫ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫از‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫ﻛـﺪام‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﺷـﺪه‬ ‫ﻣﻄـﺮح‬ ‫ﺳﺆال‬ ‫در‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫دﻫﻴﻢ‬
‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬‫ﺳﻪ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫را‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫ﻳﻜﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫راه‬ ‫ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ‬ ‫دﻫﺪ‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫ﻫﺎ‬.
18‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»2«‫ﺳﺆال‬ ‫اﻳﻨﮕﻮﻧﻪ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ً‫ﻻ‬‫ﻣﻌﻤﻮ‬‫ﺳ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫روي‬ ‫را‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻫﺎﻳﻲ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﺷﻴﺒﺪار‬ ‫ﻄﺢ‬‫ﺟﺎي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻛﺎﻓﻲ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬y,x‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫اﺻﻠﻲ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫از‬
y,x‫ﻧﻘﻄﻪ‬‫دﻫﻴﻢ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫را‬ ‫ﺷﻴﺒﺪار‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫روي‬ ‫اي‬.
‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻃﺒﻖ‬:
gx
y xtag
v cos
  

2
2
2 
  
   
2 3 6
v
R
g
 
2
4 3x R cos
y Rsin




 

 
6
6
gR cos
Rsin R cos tan
v cos

  



  

  
2 2
2 2
6
6 6 3
2 3
19‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»4«‫ﻳﻚ‬ ‫و‬ ‫ﺑﺎﺷﻴﻢ‬ ‫داﺷﺘﻪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻗﺮﻗﺮه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻗﺮﻗﺮه‬‫ﻣﺘﺤﺮك‬،‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﻗﺮﻗﺮه‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺘﻲ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻃﻲ‬‫ﻛﻨﺪ‬‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫دو‬‫اﻳﻨﺠـﺎ‬ ‫در‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻗﺮﻗﺮه‬4
‫ﻛﻪ‬ ‫دارﻳﻢ‬ ‫ﻗﺮﻗﺮه‬3‫آن‬ ‫ﺗﺎي‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﻫﺎ‬(A ,A ,A) ‫آن‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺘﺼﻞ‬ ‫ﺟﺮم‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﭼﻮن‬‫ﻫﺎ‬)‫ﻗﺮﻗﺮه‬A(a‫ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬ ‫ازاي‬ ‫ﺑﻪ‬y‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻃﺒﻖ‬‫ﮔ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﺟﺮم‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻔﺖ‬m2‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺑﻪ‬y‫ﺑﻴﺎﻳﺪ‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﻦ‬.‫ﻗﺮﻗﺮه‬A‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺑﻪ‬y2‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﻋﺚ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫و‬ ‫رود‬
‫ﻗﺮﻗﺮه‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬A‫اﻧﺪازه‬ ‫ﺑﻪ‬y2 2‫ﺟﺎﺑﻪ‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫ﻗﺮﻗﺮه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫و‬ ‫رود‬ ‫ﺑﺎﻻ‬‫ﺟﺎﺑـﻪ‬ ‫ﺑﺮاﺑـﺮ‬ ‫دو‬ ‫ﺧـﻮدش‬ ‫ﺟﺎﻳﻲ‬‫ﺟـﺎﻳﻲ‬
‫ﺟﺎﺑﻪ‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫آن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺘﺼﻞ‬ ‫ﺟﺮم‬‫ﺟﺮم‬ ‫ﺟﺎﻳﻲ‬m1،y 2 2 2‫ﻣﻲ‬‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬y8‫ﺟﺎﺑـﻪ‬ ‫ﺑـﻴﻦ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫آﻧﺠﺎ‬ ‫از‬‫ﺷـﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺟـﺎﻳﻲ‬
‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﻃﺒﻖ‬y at 21
2
‫ﻣﻲ‬ ‫دارد‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫راﺑﻄﻪ‬‫ﺟﺮم‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﮔﻔﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬m1‫ﻧﻴﺰ‬a8‫ﻣﻲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
‫ﺷﻴﺒﺪار‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫روي‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﻦ‬ ‫ﺳﻤﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎﺑﻪ‬ ‫ﭼﻮن‬‫ﻛﻨﺪ‬y‫ﻣﻲ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﻣﻨﻔﻲ‬ ‫را‬‫دﻫﻴﻢ‬.
A
2m 1m
A
A
A




60
60
R
60


27. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬27
20‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»4«‫راه‬ ‫ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬‫ﺣﻞ‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﭼﻚ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺳﺆال‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻫﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺻﺪق‬ ‫ﻣﺴﺄﻟﻪ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‬ ‫ﺷﺮاﻳﻂ‬ ‫در‬ ‫ﻫﺎ‬‫ﻛﻨﺪ‬.
V  
 
x y z
ˆ ˆ ˆV i j k V , V , V
x y z x y z
     
      
     

z y xV ,V ,V‫دارﻳﻢ‬ ‫ﺳﺆال‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫از‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫را‬.‫ﻫﺮ‬ ‫در‬4‫ﻣﻲ‬ ‫دﻗﺖ‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬‫ﻛﺪام‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬‫ﻳﻚ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮآورده‬ ‫را‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﺷﺮاﻳﻂ‬‫ﻛﻨﻨﺪ‬.
‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫در‬4:x y zx y z V ; y x z V ; z y x V
x y z
  
            
  
2 4 3 2 2 4
‫ﺿﻤﻨﻲ‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬c,b,a‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬4‫و‬2‫و‬1-‫ﻣـﻲ‬ ‫دﺳـﺖ‬ ‫ﺑـﻪ‬‫ﻣـﻲ‬ ‫ﻫـﻢ‬ ‫ﻣـﻮرد‬ ‫اﻳـﻦ‬ ‫ﻧﻮﺷـﺘﻦ‬ ‫از‬ ‫ﻗﺒـﻞ‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫اﺳـﺖ‬ ‫ذﻛـﺮ‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻻزم‬ ‫آﻳﻨـﺪ‬‫ﮔـﺮﻓﺘﻦ‬ ‫ﻧﻈـﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺑـﺎ‬ ‫ﺗـﻮان‬
V
 
 ‫ﺿﺮاﻳﺐ‬c,b,a‫وﻗﺖ‬ ‫ﻛﻤﻲ‬ ‫ﻛﺎر‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻳﺎﻓﺖ‬ ‫را‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﮔﻴﺮ‬.
21‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»3«‫آﻧﻜﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬i
i
v
F
x

 

‫ﭘﺲ‬i iv r Fdx ‫ﮔﺰﻳﻨـﻪ‬ ‫ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫ﺑـﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫـﺪ‬ ‫ﭘﺘﺎﻧـﺴﻴﻞ‬ ‫اﻧـﺮژي‬ ‫داراي‬ ً‫ﺎ‬‫ﺣﺘﻤـ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﭘﺎﻳﺴﺘﺎر‬ ‫ﻧﻴﺮو‬ ‫ﭼﻮن‬1
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﺎدرﺳﺖ‬.‫ﻧﺮده‬ ‫ﺗﺎﺑﻌﻲ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ً‫ﺎ‬‫ﻟﺰوﻣ‬ ‫اﻧﺮژي‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫اﻣﺎ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫اي‬.‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﺑﺪﻳﻦ‬‫ﻫﺎي‬2‫و‬4‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎدرﺳﺘﻨﺪ‬»3«‫ﻣﻲ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
22‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»1«‫ﺑﺮ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫ﮔﺬرﻧﺪه‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫اﺑﺘﺪا‬ ‫ﺳﺆال‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫اي‬ˆ ˆ ˆ ˆi j , j k ‫را‬‫ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ‬.
‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دو‬ ‫ﺧﺎرﺟﻲ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫از‬ ‫ﻧﺮﻣﺎل‬ ‫ﺑﺮدار‬ ،‫ﻧﺮﻣﺎل‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﻴﺎز‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻦ‬ ‫ﺑﺮاي‬‫آﻳﺪ‬.‫ﺧـﺎرﺟﻲ‬ ‫ﺿـﺮب‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﭼﻮن‬
‫ﺑﺮد‬ ‫دو‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬‫اﺳﺖ‬ ‫ار‬.
ˆ ˆ ˆi j k
ˆ ˆ ˆˆn i j k n , n , n

        1 2 31 1 1 1 1
1 1
n (x x ) n (y y ) n (z z )        1 2 3‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎي‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬
x
y
z



‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬‫را‬ ‫دوم‬ ‫ﺑﺮدار‬ ً‫ﻼ‬‫ﻣﺜ‬ ‫ﮔﻴﺮﻳﻢ‬
1
1

‫ﻣﻲ‬ ‫روﺑﺮو‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﭘﺲ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.x y z   
‫از‬ ‫ﮔﺬرﻧﺪه‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ˆ ˆi j،ˆ ˆj k‫ﻧﺸﺎن‬ ‫راﺣﺘﻲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫دﻫﻨﺪه‬‫ﺳﺆال‬ ‫ﺿﺮورت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬‫ﻳﻌﻨـﻲ‬ ‫ﻧﺪارد‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬
‫ﻧﻤﻲ‬ ‫ﺻﺪق‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫در‬‫ﻛﻨﺪ‬( ) ( ) ( )  1 1 1 .
‫در‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺑﻴﻦ‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﻫﺎ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﻪ‬ ً‫ﺎ‬‫ﺛﺎﻧﻴ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫در‬ ً‫ﻻ‬‫او‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺟﻮاب‬ ‫اي‬ˆ ˆ ˆi j k ‫آن‬ ‫داﺧﻠـﻲ‬ ‫ﺿـﺮب‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬‫ﺑـﻴﻦ‬ ‫در‬ ‫ﻛـﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷـﺪ‬ ‫ﺻـﻔﺮ‬ ‫ﻫـﺎ‬
‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﻫﺎ‬1‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺮاﻳﻄﻲ‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫واﺟﺪ‬.
23‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»3«‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫اﮔﺮ‬x‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫دﻫﻴﻢ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬
x
2
‫ﻣﻲ‬‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫ﺷﻮد‬
x
V t 
2
.‫اﺳـﺖ‬ ‫رﻓﺘـﻪ‬ ‫ﭘـﻴﺶ‬ ‫ﺳـﺮﻋﺖ‬ ‫دو‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺘﺤﺮك‬ ‫را‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫دﻳﮕﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬
‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﻧﺼﻒ‬)t‫ﻣﻲ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫دوم‬ ‫ﻧﻴﻤﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫را‬‫ﮔﻴﺮﻳﻢ‬(
t
2
‫را‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬V1‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫دﻳﮕﺮش‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫و‬
t
2
‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫را‬V2‫اﺳﺖ‬ ‫ﻛﺮده‬ ‫ﻃﻲ‬.
‫راﺑﻄﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ‬
x x
V
t t



1 2

‫ﻣﻲ‬ ‫دﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬‫آﻳﺪ‬‫و‬
x t t
V V
 
 1 2
2 2 2
.
x x
V V V
V (V V )x x x
t , t V
V V V V V V


    
  
1 2
1 2
1 2 1 22
2
2 2


 

24‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ـ‬»2«‫ﻣﻲ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫دﻛﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫داﻧﻴﻢ‬) :‫درﺻﻔﺤﻪ‬xy(
x y
x y
ˆ ˆr xi yj
ˆ ˆV V i V j
ˆ ˆa a i a j
  


 

 



‫اﮔﺮ‬rV , V‫ﻣﺆﻟﻔﻪ‬ ‫را‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﮔﻔ‬ ‫ﺗﻮان‬‫ﺖ‬:
r r
ˆ ˆ ˆ ˆr R cos i Rsin j V (V cos RV sin )i (V sin RV cos )j             


28. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 28
‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫داﻳﺮه‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫روي‬ ‫ذره‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫از‬‫ﻣﻲ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﻌﺎع‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫ﻛﻪ‬ ‫ﮔﻔﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬r rV ,V‫ﭘﺲ‬ ‫ﺻﻔﺮﻧﺪ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬)‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬V‫دارد‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﻣﻤﺎﺳﻲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬(
ˆ ˆV ( RV sin i (RV cos )j     

‫ﻣﻲ‬‫ﻛﻪ‬ ‫داﻧﻴﻢ‬:V .
ˆ ˆa [( R)(V sin V cos i R(V cos V sin )j]           2 2  ‫ﺷﺘﺎب‬
ˆ ˆa [ RV sin RV cos i [RV cos RV sin ]j           2 2  
‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫در‬ ‫اﻳﻨﻜﻪ‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ‬‫ﭼﻮن‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﻋﺒﺎرات‬ ‫از‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﮔﻴﺮي‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻛﻨﺪ‬‫زﻧﺠﻴﺮه‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫از‬ ‫ﺑﺎﻳﺴﺖ‬‫ﺷﻮد‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫اي‬،ً‫ﻼ‬‫ﻣﺜ‬:
dVd dsin d dsin
(V sin ) ( )sin V V sin V V sin V cos
dt dt dt dt d

     
  
           

2 
‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫در‬ ‫دارد‬ ‫ﺧﻼﻗﻴﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﻴﺎز‬ ‫ﺳﺆال‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺣﻞ‬2‫و‬4‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺧﺎرﺟﻲ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب‬ ‫از‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﻄﺮح‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻲ‬ ‫ﻛﺴﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫در‬a,V

‫را‬ ‫ﻛﺎر‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫ﻧﻴﺰ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬‫دﻫﻴﻢ‬.
‫ﺟﺒﺮي‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‬ ‫از‬ ‫ﭘﺲ‬V a R V (I) , V R V   2 3 2 2 2 
‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬:x y x yV a V a a V (II)  
 
‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻃﺒﻖ‬ ‫ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫از‬)‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺷﻌﺎع‬ ‫ﺑﺎ‬(ˆ ˆV RV sin i RV cos j     

‫ﭼﻮن‬ ‫و‬R cos‫ﻫﻤﺎن‬x‫و‬ ‫اﺳﺖ‬RV cos ‫ﻫﻤﺎن‬yV‫ﻟﺬا‬ ‫اﺳﺖ‬:yV V x (III)
y x y y x
x y x y
y
V V V a V a
(I),(II),(III) V a V a a V V x( )
x V

      
2
2 

29. ‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬‫ﻛﻼﺳﻴﻚ‬29
‫آ‬‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬ ‫زﻣﻮن‬
1‫ـ‬‫ﺑﻴﺸﺘﺮ‬ ‫دﻫﻨﺪه‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﻛﺪام‬‫ﻳﻦ‬‫ﻧﺮده‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺟﻬﺘﻲ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات‬‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫در‬ ‫اي‬
1(‫دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ‬2(‫دﻳﻮرژاﻧﺲ‬3(‫ﻛﺮل‬4(‫ﮔﺮادﻳﺎن‬
2‫ـ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻛﺮوي‬ ‫ﻗﻄﺒﻲ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ˆe‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫از‬.........‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﻤﻮد‬ ‫ﻓﻀﺎ‬ ‫از‬ ‫دﻳﮕﺮي‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬.
1(ˆe2(rˆe3(ˆe4(‫ﻫﻴﭽﻜﺪام‬
3‫ـ‬‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫داﻧﺶ‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺧﺎص‬ ‫اي‬‫ﺗﻮان‬.........‫ﻛﺮ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻟﺤﻈﺎت‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫آن‬‫د‬.
1(‫ﻣﻜﺎن‬2(‫ﺳﺮﻋﺖ‬3(‫ﺷﺘﺎب‬4(‫ﺟﻨﺒﺸﻲ‬ ‫اﻧﺮژي‬
4‫ـ‬‫داﻧﺴﺘﻦ‬ ‫ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ‬ ‫آﻳﻨﺪه‬ ‫در‬ ‫ذره‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫داﻧﺴﺘﻦ‬ ‫ﺑﺮاي‬........‫ﻣﻲ‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫آن‬‫ﺑﺎﺷﻴﻢ‬.
1(‫ﻣﻜﺎن‬2(‫ﺳﺮﻋﺖ‬3(‫ﺷﺘﺎب‬4(‫ﻫﻴﭽﻜﺪام‬
5‫ـ‬‫ذره‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اي‬
dv
m bv
dt
 ‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫آﻧﮕﺎه‬‫ﻛ‬ ‫ﺳﻨﮕﻴﻦ‬ ‫ﺑﺴﻴﺎر‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫اوﻟﻴـﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫داراي‬ ‫ﻪ‬v‫ﻣـﻲ‬‫ازاي‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷـﺪ‬
‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻃﻮﻻﻧﻲ‬ ‫زﻣﺎﻧﻬﺎي‬‫ﺷﻮد؟‬
1(V2(
V
2

3(
t
b
mV e

4(
bt
mV e

2

6‫ـ‬‫ﮔﻠﻮﻟﻪ‬‫اوﻟ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اي‬‫ﻋﻤﻮدي‬ ‫ﻴﻪ‬V‫درﻳﺎﭼﻪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﺑﺮ‬‫ﺳﻘﻮط‬‫ﻣﻲ‬‫ﻛﻨﺪ‬.‫ﻣﻲ‬ ‫وارد‬ ‫ﮔﻠﻮﻟﻪ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫آب‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻘﺎوﻣﻲ‬ ‫ﻧﻴﺮوي‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺑـﺎ‬ ‫ﻛﻨـﺪ‬

bV‫ﺷـﻮد‬ ‫داده‬
‫ﮔﻠﻮﻟﻪ‬‫ﭘﺲ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﻣﺎﻧﻲ‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫از‬V
2
‫ﻣﻲ‬‫رﺳﺪ؟‬
b
( )
m
 
1(
V
Ln
V
 
  
  
  
 
1
1
2


2(
V
Ln
V
 
  
 
   
 
11
1
2


3(
V
d
Ln
V
 
 
 
    
 
1
1 2
1


4(
V
Ln
V
 
  
  
   
 
1
2
1


7‫ـ‬‫ذره‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﭘﺘﺎﻧﺴﻴﻞ‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮ‬ ‫ﺗﺤﺖ‬ ‫اي‬x x
V(x) e e 2
2‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻌﺎدل‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫و‬ ‫ﺗﻌﺎدل‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬‫؟‬
1(x  2‫ﭘﺎﻳﺪار‬ ،2(x  2‫ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار‬3(x 1‫ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار‬ ،4(x 1‫ﭘﺎﻳﺪار‬ ،
8‫ـ‬‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫در‬ ‫ﭘﺘﺎﻧﺴﻴﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫دوم‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺑﻮد؟‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫اي‬
1(‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﭘﺎﻳﺪار‬ ‫ﺗﻌﺎدل‬.2(‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار‬ ‫ﺗﻌﺎدل‬.
3(‫ﺑﻲ‬ ‫ﺗﻌﺎدل‬‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺗﻔﺎوت‬.4(‫ﻧﻤﻲ‬‫ﻛﺮد‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫اﻇﻬﺎر‬ ‫ﺗﻮان‬.
9‫ـ‬‫ﺛﺎﺑﺘﻬﺎي‬ ‫از‬ ‫ﻣﻘﺎدﻳﺮي‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ازاي‬ ‫ﺑﻪ‬a‫و‬b‫ﻧﻴﺮوي‬ ،

ˆ ˆF (a ) e (b )e    2 2
‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﭘﺎﻳﺴﺘﺎر‬
1(
b
a 
2
2(
a
b 
2
3(a b4(b a 
10‫ـ‬‫ﺷﻜﻞ‬ ‫از‬ ‫ﻛﺪاﻣﻴﻚ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺷﻴﺒﺪار‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻃﺮف‬ ‫از‬ ‫وارد‬ ‫ﻧﻴﺮوي‬ ‫دﻫﻨﺪه‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫زﻳﺮ‬ ‫ﻫﺎي‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻟﻐﺰد‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.
1(2(3(4(
11‫ـ‬‫ذره‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﮔﺮ‬‫دﺳﺘﮕﺎه‬ ‫در‬ ‫اي‬‫دﻛﺎر‬‫ﺗ‬‫ﺑﺎ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻲ‬
 ˆ ˆr ( t )i (t t)k   2
2 1 2‫ذره‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻣﻜﺎن‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﻴﺎن‬ ‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬
‫در‬t s 2‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬
1(2(

6
3(sin ( )1 3
5 2
4(cos ( )1 3
5 2
R
R
R
R

30. ‫اول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬:‫ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ‬ ‫ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻚ‬ 30
12‫ـ‬‫ذره‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺮدار‬‫ﺟﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اي‬kg2‫ﺑﺎ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ˆ ˆV (t )i t j   2
2 3

‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬.‫ﻟﺤﻈـﺎت‬ ‫ﺑـﻴﻦ‬ ‫آن‬ ‫ﻣﺘﻮﺳـﻂ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬t s 1‫و‬t s 3‫و‬
‫در‬ ‫آن‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫وارد‬ ‫ﻧﻴﺮوي‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬t s 2‫ﺑ‬‫از‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﻪ‬:
1(ˆ ˆ/ , i j 24 8 122(ˆ ˆ/ , i j24 8 123(ˆ ˆ, i j2 4 124(ˆ ˆ, i j2 3 3
13‫ـ‬‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻫﻮاﭘﻴﻤﺎﻳﻲ‬
m
s
3‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫در‬m2‫اﺳ‬ ‫ﭘﺮواز‬ ‫ﺣﺎل‬ ‫در‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫از‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﺖ‬‫ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫دو‬ ‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫اي‬
‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬m12‫ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫زﻣﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫از‬.‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫از‬ ‫ﻳﻜﻲ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﻛﻨﻴﻢ؟‬ ‫ﭘﺮﺗﺎب‬ ‫ﺳﻮ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫ﺳﺮﻋﺘﻲ‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫را‬ ‫دوم‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫رﻫﺎ‬ ‫را‬ ‫ﻫﺎ‬
1(
m
s
9‫ﻋﻘﺐ‬ ،2(
m
s
9‫ﭘﺎﻳﻴﻦ‬ ،3(
m
s
6‫ﻋﻘﺐ‬ ،4(
m
s
6‫ﺟﻠﻮ‬ ،
14‫ـ‬‫ﻣﻲ‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌﺖ‬ ‫ﺧﻮد‬ ‫ﻛﻨﺪوي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺎرﭘﻴﭻ‬ ‫ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻋﺴﻞ‬ ‫زﻧﺒﻮر‬ ‫ﻳﻚ‬‫ﭼﻨﺎن‬ ،‫ﻛﻨﺪ‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫آﻫﻨﮓ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫آن‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬r b ct ‫ﺣﺎﻟﻲ‬ ‫در‬ ‫ﻳﺎﺑﺪ‬ ‫ﻛﺎﻫﺶ‬‫ﻛﻪ‬
‫زاوﻳﻪ‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬‫اي‬‫آﻫﻨﮓ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫آن‬ kt ‫ﻣﻲ‬ ‫ﻓﺰوﻧﻲ‬‫آورﻳﺪ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫از‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﺑﺰرﮔﻲ‬ ،‫ﮔﻴﺮد‬.k,c,b)‫ﺛﺎﺑﺖ‬‫اﻧﺪ‬(
1(v (c k ) 
1
2 2 22(v (c k t ) 
1
2 2 2 2
3(v (c k(b ct )  
1
2 2 24(v (c k t (b ct) )  
1
2 2 2 2 2
15‫ـ‬‫ذره‬ ‫ﻣﻤﺎﺳﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﺷﺘﺎب‬‫ﺑﺎ‬ ‫آن‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫اي‬
t
z t , y , x t  
2
2
‫ﺑﻪ‬ ،‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﻲ‬ ‫داده‬‫؟‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ‬
1(t 2
22(
t t
,
t t
( t )



2
12 4
2 2
2
2
2
4
3(
t
, t
t


2
2
2
2
4(
t
,
t t 2 2
2
2 2