數學 方程式

1. 出 處
http://www.smhs.kh.edu.tw/style/front001/bexfront.php?sid=302358
610&page=2
方程式的發展史
♦一 次 與 二 次 方 程 式
從 代 數 學 的 發 展 來 看 ， 其 早 期 的 歷 史 幾 乎 是 方 程 式 理 論 的 發 展
史，儘 管 在 四 千 多 年 前，人 們 還 沒 有 關 於 方 程 式 的 概 念，但 是 可 以 用
方 程 式 來 解 的 應 用 問 題 就 已 經 出 現 了 。 《 埃 及 草 卷 》 中 《 林 特 草 卷 》
和 《 莫 斯 科 草 卷 》 便 記 載 了 人 類 最 早 的 數 學 成 就 。
與 古 埃 及 人 一 樣 ， 生 活 在 底 格 里 斯 河 和 幼 發 拉 底 河 流 域 的 古 代
巴 比 倫 人，也 在 四 千 多 年 前 創 造 了 他 們 自 己 的 一 種 解 應 用 問 題 的 方 法 ，
根 據 O. Neugebauer 的 說 法 ， 巴 比 倫 人 在 西 元 前 1600 ~ 1800 就 已 經
有 了 專 門 求 矩 形 邊 長 的 公 式，此 公 式 相 當 於 一 元 二 次 方 程 式 x 2
- ax +
b = 0 的 求 根 公 式，其 中 a 為 矩 形 周 長 的 一 半，b 為 矩 形 的 面 積。只 是
這 種 說 法 仍 存 有 不 少 爭 議 ， 然 而 在 西 元 1050 年 前 後 ， 中 國 數 學 家 賈
讓 創 造 了 一 種 解 此 類 問 題 的 方 法 「 增 乘 開 方 術 」 則 是 無 疑 的 ， 西 元
1247 年 ， 南 宋 的 秦 九 韶 ( 1202 ~ 1261 )更 進 一 步 推 廣 賈 讓 的 方 法 ， 可
求 得 任 意 方 程 式 的 近 似 根 。
在 方 程 式 發 展 的 另 一 道 路 上 ， 希 臘 數 學 家 也 積 極 地 推 進 著 方 程
式 理 論，其 中 最 傑 出 的 貢 獻 者 就 是 丟 番 圖 ( Diophantus，約 246 ~ 330 )，
他 是 世 界 數 學 史 上 第 一 個 較 有 系 統 的 引 用 一 套 編 寫 符 號，突 破 傳 統 的
「 文 字 代 數 」使 方 程 式 能 透 過 縮 寫 與 符 號 被 簡 單 地 表 示 出 來。西 元 二
世 紀 ， 希 臘 數 學 家 海 倫 就 利 用 配 方 的 方 法 解 出 了 形 如 ax 2
+ bx = c 的

2. 二 次 方 程 式，不 過 真 正 使 二 次 方 程 式 的 公 式 解 法 有 較 大 發 展 的 還 是 後
來 的 印 度 數 學 家。西 元 七 世 紀，印 度 數 學 家 婆 羅 摩 及 多 ( Brahmagupta，
約 598 ~ 670 )給 出 了 形 如 ax 2
= c , ax 2
= bx 以 及 ax 2
+ bx = c 等 二 次
方 程 式 的 求 根 公 式。西 元 十 二 世 紀，印 度 數 學 家 拜 斯 伽 羅 ( Bhaskara，
1114 ~ 1185 )則 對 一 次 和 二 次 方 程 式 有 了 更 詳 盡 的 討 論 ， 並 做 了 很 大
的 推 進 ：
「 一 是 把 婆 羅 摩 及 多 的 公 式 給 出 了 完 整 而 又 清 楚 的 表 述。二 是 把 三 種
形 式 的 方 程 式 給 予 一 個 統 一 的 求 根 公 式。三 是 確 認 二 次 方 程 式 有 兩 個
根，承 認 負 根 的 存 在。」儘 管 拜 斯 伽 羅 在 實 際 的 計 算 中 還 是 把 負 根 捨
棄 不 取，不 過 這 一 重 要 的 跨 步 對 後 來 的 數 學 影 響 深 遠，且 對 認 識 n 個
根 也 頗 具 啟 發 。
此 外 ， 在 方 程 式 的 發 展 史 上 ， 阿 拉 伯 人 也 扮 演 了 重 要 的 角 色 ，
他 們 繼 承 了 希 臘 和 印 度 所 開 創 的 許 多 成 果，當 然 阿 拉 伯 人 也 有 自 己 的
創 造，像 方 程 式 的「 根 」及「 代 數 」等 名 稱。 西 元 820 年，阿 拉 伯 數
學 家 阿 爾 • 花 拉 子 米 ( Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，780 ~ 850 )
根 據 印 度 數 學 家 婆 羅 摩 及 多 和 希 臘 數 學 家 丟 番 圖 的 著 作 寫 了 一 本
《 aldschebr , Walmukabala 》 的 書 ， 介 紹 解 方 程 式 的 方 法 ， 其 中 首
創 了 相 當 於 現 今 的 「 移 項 」 和 「 合 併 同 類 項 」 的 方 法 。 此 書 於 西 元
1140 年 左 右 被 羅 伯 特 ( Robert )譯 成 拉 丁 文 《 ilm al-jabr Wa
lmuquabalah 》 ， 隨 著 時 代 的 演 進 “ algebra ”這 詞 就 成 了 拉 丁 文 的 代
數 學 名 詞 。 在 中 國 值 到 西 元 1859 年 ， 才 由 晚 清 數 學 家 李 善 蘭 將
“ algebra ”譯 成 為 「 代 數 」 。

3. ♦三 次 與 四 次 方 程 式
十 二 世 紀 ， 歐 洲 人 進 入 阿 拉 伯 ， 他 們 從 阿 拉 伯 這 一 窗 口 看 到
了 中 國，希 臘 和 印 度 數 學 的 輝 煌 成 就，自 然 也 吸 收 了 這 些 成 果，並 從
十 五 世 紀 末 開 始 了 他 們 自 己 的 獨 立 研 究，其 中 解 三 次 方 程 式、四 次 方
程 式 便 是 他 們 早 期 的 一 個 研 究 課 題 。 首 先 義 大 利 波 羅 那 大 學 的 教 授
費 洛 ( Scipione del Ferro， 1465 ~ 1526 )發 現 了 形 如 x 3
+ ax = b 的 三
次 方 程 式 的 公 式 解 法 ， 不 過 費 洛 並 沒 有 發 表 這 項 成 就 (當 時 的 風 氣 ，
常 把 發 現 或 發 明 保 留 ， 好 作 為 日 後 與 別 人 競 賽 的 資 本 )， 他 只 把 解 法
告 訴 他 的 學 生 菲 歐 ( Antonio Maria Fior )， 結 果 卻 引 發 一 場 數 學 史 上
著 名 的 雙 人 競 賽。由 於 菲 歐 自 信，除 了 費 洛 和 他 之 外，不 會 有 第 三 個
人 能 解 三 次 方 程 式 ， 然 而 卻 有 一 個 外 號 叫 塔 爾 塔 里 亞 ( Tartaglia， 義
大 利 語 「 口 吃 者 」 )的 人 ， 宣 稱 他 能 解 三 次 方 程 式 ， 於 是 菲 歐 便 向 塔
爾 塔 里 亞 提 出 挑 戰，雙 方 約 定 從 1535 年 2 月 22 日 起 30 天 之 內 解 30
個 三 次 方 程 式 ， 結 果 塔 爾 塔 里 亞 大 約 只 花 了 兩 個 小 時 就 把 30 道 題 解
完，獲 得 壓 倒 性 的 勝 利。在 這 著 名 的 雙 人 賽 後，義 大 利 米 蘭 大 學 醫 學
教 授 卡 當 諾 ( Girolamo Cardano，1501 ~ 1576 )也 很 想 學 會 三 次 方 程 式
的 解 法，就 在 卡 當 諾 的 引 誘、懇 求 與 真 誠 的 保 證 下，塔 爾 塔 里 亞 終 於
用 隱 晦 的 方 式 將 三 次 方 程 式 的 解 法 告 訴 了 卡 當 諾，然 而 卡 當 諾 卻 失 信
了 ， 他 在 1545 年 出 版 的 《 大 法 》 ( Ars Magna )一 書 中 公 開 了 此 項 秘
密，這 當 然 引 起 塔 爾 塔 里 亞 極 大 的 憤 怒，於 是 又 有 了 一 場 著 名 的 米 蘭
大 教 堂 辯 論 會 。
這 場 辯 論 會 ， 辯 論 的 雙 方 一 個 是 塔 爾 塔 里 亞 ， 另 一 個 則 是 卡 當
諾 的 學 生 費 拉 里 ( Lodovico Ferrari， 1552 ~ 1565 )， 一 開 始 塔 爾 塔 里
亞 敘 述 他 受 騙 的 經 過，也 得 到 米 蘭 市 大 教 堂 成 千 聽 眾 們 的 同 情，紛 紛

4. 指 責 卡 當 諾 的 剽 竊 行 為，不 過 年 輕 雄 辯 的 費 拉 里 很 快 地 就 把 聽 眾 們 的
情 感 給 扭 轉 了 過 來。費 拉 里 舉 了 兩 件 事 請 聽 眾 們 注 意：「 一 是 卡 當 諾
從 塔 爾 塔 里 亞 那 裡 得 到 的 是 一 種 語 意 晦 澀 難 懂 的 詞 句，誰 能 否 認，能
從 這 晦 澀 難 懂 的 語 句 中 看 出 真 理 的 人，不 也 是 這 一 發 現 的 創 造 者 呢 ？
二 是 卡 當 諾 在 他 的 書 中 已 經 明 確 地 把 發 現 三 次 方 程 式 解 法 的 榮 譽 歸
於 塔 爾 塔 里 亞 」，這 兩 項 事 實 的 確 安 撫 了 教 堂 內 聽 眾 們 的 情 緒，也 讓
卡 當 諾 獲 得 了 人 們 的 諒 解。事 實 上，《 大 法 》一 書 也 載 錄 了 費 拉 里 的
四 次 方 程 式 的 公 式 解 法。費 拉 里 應 用 解 三 次 方 程 式 時，會 先 把 三 次 方
程 式 歸 結 為 二 次 方 程 式，再 利 用 二 次 方 程 式 求 根 的 概 念，順 利 地 將 四
次 方 程 式 歸 結 為 三 次 方 程 式，於 是 費 拉 里 就 成 功 地 解 決 了 四 次 方 程 式
的 公 式 解 法。此 外，《 大 法 》一 書 也 首 先 引 進 複 數 根 的 概 念，不 過 數
學 家 們 仍 抱 著 排 斥 的 態 度，直 到 十 八 世 紀 瑞 士 數 學 家 尤 拉 ( L. Euler，
1707 ~ 1783 )才 正 式 將 定 為 虛 數 i ( imaginary )。
♦五 次 以 上 方 程 式
費 拉 里 成 功 地 解 決 四 次 方 程 式 的 公 式 解 法 後 ， 的 確 給 了 歐 洲 數
學 家 們 極 大 的 鼓 舞，他 們 也 積 極 地 尋 求 五 次 以 上 方 程 式 的 求 根 公 式 ，
不 過 卻 一 直 無 法 成 功 ， 儘 管 如 此 ， 西 元 1770 ~ 1771 年 法 國 數 學 家
Joseph Louis Lagrange 歸 納 出 了 一 般 性 的 「 Lagrange 預 解 式 」 模 式 ，
為 研 究 方 程 式 根 式 解 的 領 域 打 開 一 條 新 的 道 路 。 德 國 數 學 家 高 斯
( Carl Friedrich Gauss， 1777 ~ 1855 )也 於 1799 年 證 明 了 根 的 存 在 性
問 題「 代 數 基 本 定 理：每 一 個 複 係 數 n 次 方 程 式，至 少有 一 個 複數 根」。
沿 著 「 Lagrange 預 解 式 」 所 開 闢 的 道 路 ， 挪 威 的 年 輕 數 學 家 阿 貝 爾
( Niels Henrik Abel， 1802 ~ 1829， 著 有 《 代 數 方 程 理 論 》 和 《 橢 圓

5. 函 數 論 》)終 於 在 1826 年 解 決 了 這 個 問 題。阿 貝 爾 得 出 的 結 論 是：「 一
般 的 五 次 方 程 式 沒 有 根 式 解，且 五 次 以 上 的 一 般 方 程 式 其 討 論 的 方 法
與 五 次 類 似 」。而 所 謂 的 沒 有 根 式 解，是 指 無 法 用 其 係 數，經 過 加 減
乘 除 及 開 方 等 運 算 來 得 出 它 的 解 。 1832 年 法 國 的 年 輕 數 學 家 伽 羅 瓦
( Evariste Galois， 1811 ~ 1832 )則 是 提 出 「 群 論 」 的 概 念 ， 更 能 洞 見
方 程 式 求 解 的 本 質。1858 年 法 國 數 學 家 Charles Hermite( 1822 ~ 1901 )
證 明：「 五 次 方 程 式 的 根 是 可 以 用 其 係 數，經 過 加 減 乘 除 開 方 和 橢 圓
函 數 的 組 合 表 示 出 來 」。1880 年 法 國 數 學 家 Henri Poincare 發 現：「 n
次 一 般 方 程 式 的 根 式 可 以 用 其 係 數，經 過 加 減 乘 除 開 方 和 Fuchs 函 數
的 組 合 表 示 出 來 」 。 而 這 其 實 又 是 黎 曼 面 理 論 的 均 勻 化 問 題
( uniformization problem )的 應 用 。