期权

第九章期权定价模型

第一节期权简介

期权的概念

期权（ Option ），又称选择权：
是一种权利合约，给予其持有者在约定的时间，或在此
时间之前的任何时刻，按约定的价格买入或卖出一定数
量某种资产的权利

基础资产（ Underlying Asset ）：期权合约中的资产

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期权的履行价或执行价（ Exercise Price 或 Striking
Price ）：在期权合约中所规定买入或卖出基础资产的价格

期权的到期日（ Maturing Date ）：期权的最后有效日

期权费（ Option Premium ）或期权的价格或期权权利金
：
期权的买卖双方购买或出售期权合约的价格



期权交易的特点

标的物是一种权利

期权购买方在交付期权费后便获得了履行合约与否的
权利

期权的购买方只付出有限风险，获得无限收益，期权的
出售方可能承担无限的亏损，获得有限的收益（期权费）




期权的分类

看涨期权（买入期权）
按购买者
权利划分看跌期权（卖出期权）
外汇期权
双重期权
利率期权
美式期权按交易品
按交割时股票期权
种划分
间划分欧式期权
股票指数期权




看涨期权
是指期权的购买者享有在规定的有效期限内按某
一具体的履约价格买进某一特定数量的相关金融
资产的权利，但不负有必须买进的义务。看涨期
权又称为买入期权。
买入期权
看跌期权
是指期权的购买者享有在规定的有效期限内按某
一具体的履约价格卖出某一特定数量的相关金融
资产的权利，但不负有必须卖出的义务。看跌期
权又称为卖出期权。
卖出期权



双重期权

是指期权的购买者既享有在规定的有效期限内按某
一具体的履约价格买进某一特定数量的相关金融资
产的权利，又享有在规定的有效期限内按某一具体
的履约价格卖出某一特定数量的相关金融资产的权
利。这种期权实为在同一价格水平上，看涨期权和
看跌期权的综合运用。




欧式期权

指期权合约的购买方在合约到期日才能决定是
否履约的期权。
美式期权

指期权合约的购买方在合约的有效期内的任何
一个时间都能决定是否履约的期权。




外汇期权

又称货币期权。是指外汇交易双方根据标准化合约，买
方买入在一定期限内可以按协定汇率向卖方购入或卖出
一定数量外汇或外汇期货合约的权利，卖方收取期权费
，并有义务应买方要求卖出或买入该笔外汇或外汇期货
合约。期权的购买方可以在到期时不进行外汇或外汇期
货合约的买卖，这时他损失的只是支付的期权费。




利率期权

是指期权的购买者支付期权费，从而获得在一定期限内
按约定价格出售或购买一定数量有息资产的权利。利率
期权的标的物包括：存款或贷款、债券及其利率期货，
其中利率期货占有相当大的比重。

股票期权

是指买方支付权利金后，便有权在一定期限内按协定价
格购买或出售特定数额的股票的权利。



股票指数期权

是指以股票指数为期权合约标的物的一种选择权，买方
有权在一定期限内按履约价格向卖方购买或出售特定的
股票指数期货合约。由于股票指数期货合约的价格以点
数表示，所以股票指数期权的价格也是以点数表示的，
它与股票期权的价格直接以货币表示明显不同。



第二节期权中的风险锁定

期权与期货合同双方交付的比较

期货合同双方交付的特点
最终支付
多头

空头

市场价格结算价格
期货合同双方的交付具有“直线”的性质



期权与期货合同双方交付的比较
期权合同双方交付的特点
最终支付

多头

空头

市场价格结算价格




期权交易的盈亏
期权的价值
 内在价值（ Intrinsic value ）：
当期权立即行使时的正净值
价内（ In the Money ）或实值状态：具有内在价值的
期权
价外（ Out of the Money ）或虚值状态：暂时没有内在
价值的期权
平价（ At the Money ）或两平状态：交割价格和当前
基础资产的市场价格一致




看涨期权和看跌期权的价值关系
看涨期权看跌期权
S<X 价外价内
S=X 平价平价
S>X 价内价外
S 为基础资产的市场价格， X 为履
约价
看涨期权的内在价值为： c=max （ 0 ， S-X ）
看跌期权的内在价值为： p=max （ 0 ， X-S ）




期权的盈亏
看涨期权的盈亏

+ 签发一个
看涨期权
期权费

利润
X 标的资产价格
期权费 S
购买一个
-
看涨期权




看跌期权的盈亏
签发一个
+ 看跌期权

利润
X 标的资产价格
S
-
购买一个
看跌期权



第三节期权定价——二叉树方法

 单步二叉树模型

t t+ ∆t t t+ ∆t

us Cu
s c
ds Cd
基础资产的价格在时间 t 为 S ，它可能在时间 ∆t
t+ 上升至 uS 或下降至 dS ，则相应的看涨期
权的价格也相应地上升到或下降到， C 未
Cu Cd
知，为看涨期权在到期日前的一段时期的价值




对于一个无红利支付的股票的看涨期权的一般情况，可构造
一无套利资产组合，即以价格 C 卖出一个看涨期权同时以价
格 S 买入 h 股股票：

初始上升下降
股票价值 Sh uSh dSh
期权价值 C Cu Cd
组合的总价值 Sh-C uSh-C u dSh-C d

Cu − C d
h=
uS − dS




组合的初始价值必然等于组合到期日以无风险利率贴现的
现值：
Sh − C ( uSh − Cu ) e − r T ( dSh − Cd ) e − r T
f f

将 h 代入： = [ qC u + (1 − q ) C d ] e
−r T
C f

rf T
e−d
其中 q=
u−d
 两步二叉树模型
多期二叉树所采用的是倒退分析方式，即从二叉树的最
右边开始，分枝进行定价，直到二叉树起点的那一枝



设初始股票价格依然为 100，在两步二叉树图的每个

单步二叉树图中，股票上升 20%或下降 10%

（u=1.2，d=0.9），且每个单步的期限为 1 年，

无风险年利率为 10%，期权的执行价格为 100。




图中，先分别考虑 t+1 至 t+2 期的两个单期模型，

或者说先利用单步二叉树定价模型（9.3.5）（9.3.4）
、

式求出 C u 1 、 C d 1 的值

e 0.1 −0.9
q= =0.6839
1.2 −0.9

C u 1 =[0.6839*44+（1-0.6839）*8]* e −0.1 =29.52

C d 1 =[0.6839*8+（1-0.6839）*0]* e −0.1 = 4.95



然后再直接利用（9.3.4）式计算 t 至 t+1 期的单期期权价格，即

C=[0.6839*29.52+（1-0.6839）*4.95]* e − 0.1 =19.68

c=19.68 就是两期看涨期权的期权价格或期权费。




 二叉树的进一步讨论

二叉树模型的另一种表达
利用股票与无风险债券的适当组合来复制。由
于是对买权价值变动的一种完全复制，故复制
组合的成本就是期权的价值。单期买入期权的
复制组合由以下方式生成：
买入 h 股股票
借入本金为 B 的无风险资金（卖空无风险债券）




初始上升下降

股票价值 Sh uSh dSh
无风险债 rf T rf T
券的价值
B Be Be
期权价值 C Cu Cd

C = Sh − ( uSh − C u ) e uSh − C u = dSh − C d
− rf T

dC u − uC d − r f T Cu − C d Cu − C d
B= e h= =
u−d uS − dS S (u − d )



保值匹配率

期权的保值匹配率是指，当基础资产的价格变化一个
单位时，期权价值变化的单位数。
∂C
依此定义，可得期权保值匹配率为 h=
∂S
所以保值匹配率就是无套利资产组合或复制组合中股
票多头的购买量



第四节风险中性下的二叉树定价

所谓风险中性（ risk-neutral ）：投资者对风险大小无
所谓，且对所有资产所要求的预期收益率相同，不要求风
险补偿，即预期收益率都是无风险利率。
考察期权的二叉树定价模型
C = [ qC u + (1 − q ) C d ] e
− rf T

如果将变量 q 视为股票价格上升的概率，（ 1-q ）则可
视为股票价格下降的概率，则期权价值就是期权预期收
益率用无风险利率贴现的现值
n
 
n 期的一般定价公式为C = e ∑  n! q j (1 − q) n − j Cu d
−r T f
j (n− j )
j = 0  j!( n − j )!



第五节随机游走模型及布朗运动 *

随机过程及布朗运动

随机过程（ stochastic process ）

随机过程的概念

设 E 是随机试验， ={ } 是它的样本空间， T 是一个
Ω ω
∈
参数集。若对于每一个 t T ，都有随机变量 X(t, ) Ω ∈ω
ω ，
与之对应，则称依赖于 t 的随机变量 X(t, ω 为随机过程
)
，或称为随机函数。




随机过程（ stochastic process ）

随机过程的分类
按照参数集（时间）可分为离散时间随机过程和连
续时间随机过程
按照变量取值可分为离散变量随机过程和连续变
量随机过程
按照过程的概率结构分类，有独立随机过程、独立
增量随机过程、马尔可夫过程和平稳随机过程等




维纳过程（ wiener process ）（布朗运动 Brownian motion ）

维纳过程的概念
∈ ∝
如果随机过程 {X(t), t T=[0 ， ]} 满足：
X(0)=0
X(t) 是齐次的独立增量过
程 σ2
对于每一个 t>0 ，有 X(t)~N(0, t)
则称随机过程 X(t) 为维纳过程或布朗运动过程




维纳过程的马氏性
所谓马氏性是指，随机过程在时刻状态 t n −1 已知的条件
下，它在（ n > t n ）所处的状态仅与时刻的状态有
t t n −1 t n −1
关，而与过程在时刻以前的状态无关。 t n −1
随机微分及 ITO 定理
随机微分等式 dX ( t ) = a( X (t ), t )dt + b( X ( t ) , t ) dWt
W表示在无穷小时间间隔 dt
t 的不可测事件
b( X (t ),和 a (分别是漂移率和扩散因子
t) X (t ), t )




ITO 定理

设函数 F ( X t , t ) 。其中 X t = (t ) ，且X t 为一随机过程，
X
并有随机微分 dX (t ) = a dt + σ dW t≥0
t t t

X (t具有漂移率 at
) 和波动参数，t σ
且 at= a( X (， t ) =σ t σ ( X (t ), t )
t ),
F ( X t , t ) 则函数遵循如下过程漂移率
 ∂F ∂F 1 ∂ 2 F 2  ∂F
dFt =  at + + σ t  dt + σ t dWt
 ∂X t ∂t 2 ∂X t2  ∂X t




股票价格的行为过程
股票价格变动的 ITO 过程
设 µ为股票的期望收益率， σ 2
为股票收益率变动的方差率
µS
，则股票价格的瞬时期望漂移率为、瞬时方差率为
σ 2 ITO 表达式为
，其 S2
dS
= µdt + σdWt
dS = µSdt + σSdWt 或
S
因此，在时间 ∆t内，股票价格的变动率服从均值为 µ∆t
，标准差为∆t σ 的正态分布，即 S
∆
S
(
~ N µ∆t , σ ∆t
2
)



股票价格收益率遵循维纳过程（假设股票价格服从对数
正态分布，即股票价格的自然对数服从正态分布）：
 σ2
dF =  µ −
 dt + σdWt
 2 

 σ2
由此可知，时间 ∆内 F 的变化服从均值为
t  µ − ，标准
  ∆t
2 
 
差为的正态分布
σ ∆t

  σ2 
ln S T ~ N  ln S 0 +  µ −
  ∆t , σ 2 ∆t 

  2 





第六节布莱克—斯科尔斯（ Black—
Scholes ）模型 *

布莱克—斯科尔斯（ Black—Scholes ）模型的假设条件
资产的收益率服从正态分布
基础资产可以自由买卖，并可分割成若干部分
基础资产可以卖空
基础资产在到期日前不支付股息及其他收入
以同样无风险利率可以进行借、贷，且连续发生
期权为欧式期权，到期日前不可行使
没有税收、交易成本和保证金要求
基础资产价格连续
基础资产价格和利率的变化在期权有效期内保持一贯


Scholes ）模型 *

看涨期权的布莱克—斯科尔斯（ Black—Scholes ）模型
Black—Scholes 微分方程
∂C ∂C 1 ∂ 2 C 2 2
+ rf S + σ S = rf C
∂t ∂S 2 ∂S 2

该方程可以有许多解，它的解取决于衍生证券的边界条件
在这里欧式看涨期权关键的边界条件是到期日的价值为：
C=max(S-X ， 0) ；它的以无风险利率为贴现因子的现值为
− r ∆t
： C= f
e max(S-X ， 0)


Scholes ）模型 *

风险中性的讨论
方程中不包含风险偏好相关变量，即风险偏好将不会对
方程的解产生影响，因此，在决定 c 的模型中，便可以
提出一个简单的假设，即所有投资者都是风险中性的
。而在一个所有投资者都是风险中性的世界里，证券的
rf
预期收益率均为无风险利率。
− r f ∆t
所以欧式看涨期权现在价值为 C= e max(S-X ， 0)
  σ2 
并且在风险中性的世界里 µ =，f
r ln ST ~ N  ln S 0 +  r f −
  ∆t , σ 2 ∆ t 

  2 





Scholes ）模型 *

看涨期权的 Black—Scholes 定价公
式 X
C = N ( d1 ) S 0 − r f ∆t
N(d2 )
e

ln(S 0 / X ) + (r f + 0.5σ 2 )∆t
其中： d1 =
σ ∆t
ln( S 0 / X ) + (rf − 0.5σ 2 )∆t
d2 = = d1 − σ∆t
σ ∆t


Scholes ）模型 *

其中：S 0为标的资产当前的市场价格； X 为期权的执行
价格；r f为无风险连续年复利； ∆t
为离期满日的时间，以
σ
占一年的几分之几表示；为标的资产的风险，以连续
计算的年回报率的标准差来测度； N （ d 1 N （d）
）和 2

分别表示在标准正态分布中（期望为 0 、方差为 1 的正
d1 d
态分布），出现结果小于和 2 的累计概率。


Scholes ）模型 *

与二项式定价模型的比较
X
C = N ( d1 ) S 0 − r f ∆t
N(d2 )
e

相当于二项式中的 h B
保值匹配率投资者应借入的无风
险资产的数额


Scholes ）模型 *

静态分析

标的资产当前的市场价格 S 0 越高，看涨期权的价值也越高；
期权的执行价格 X 越高，看涨期权的价值越低；
离期满日的时间∆t 越长，看涨期权的价值也越高；
无风险连续年复利越高 r f ，看涨期权的价值也越高；
标的资产的风险σ 越大，看涨期权的价值也越高。


Scholes ）模型 *

看跌期权的布莱克—斯科尔斯（ Black—Scholes ）模型

看涨—看跌平价

看涨—看跌平价关系，可以通过构筑以下投资组合来得到说明：
（ 1 ）卖出看涨期权，到期日为 t ，期权执行价格为 X ； ∆
（ 2 ）买入与看涨期权到期日与执行价格相同的看跌期权；
（ 3 ）买入基础资产；
− rf ∆ t
（ 4 ）借入与期权执行价格现值相等（ Xe ）的一笔无风险资
X
。 p = r f ∆t N ( − d 2 ) − N ( − d 2 ) S 0
e

Scholes ）模型 *

静态分析

标的资产当前的市场价格 S 0 越高，看跌期权的价值就越低；
期权的执行价格 X 越高，看跌期权的价值越高；
离期满日的时间 ∆t 越长，看跌期权的价值也越高；
无风险连续年复利 r f 越高，看跌期权的价值也越低；
标的资产的风险
σ 越大，看跌期权的价值也越高。



第七节风险中性的期权定价公式

买权定价公式的数学推导
由期权的基本特征知，期权（买权或看涨期权）的价值
{ }
~ ~
为： max S (T ) − X ,0 S (T ) 为标的资产在时
。其中， T
X
即到期日的预期市场价值，为期权合约中的执行价。

在风险中性的世界里，买权价格应为
~
max S (T ) − X ,0 { } 期望值
的现值，即
c ( s (t ), t ) = e {
−r f (T −t )
[ ~
E max S (T ) − X ,0 ]}




令
~
[ ] ~
f S (T ) 为 S (T ) 的密度函数，则：

[S (T ) − ]f [S (T )] S (T )
∞
~ ~ ~
∫
− (T −
rf t)
c( s(t ), t ) =e X d （9.7.1）
X

~
 (T ) 
ln 
S
 [
~ N u (T − σ T −
t ), 2 ( t ) ]
 s (t ) 

其中， µ为标的资产收益率的期望值。
~
 (T ) 
S
ln   u (T −
− t)
 s(t ) 
令Z = （9.7.2）
σT − t



则有， Z ~ N (0,1) ，

~
S (T ) = )e Zσ −u (T −
s (t T t+ t)
（9.7.3）

又由对数正态分布密度函数的具体表达式知

[ ]  
2
~ 1  1 ~ __
 
f S (T ) = −
exp  2 µ t ) ln
ln S (T ) −T −−s (t ) 
( 
 σ −
~
S (T ) 2π −
(T t )σ  2 (T t )   


~
[ ]
∴(T ) =
f S 1 z2
exp(− )
s(t )e Zσ −u (T −
T t + t)
2π −
(T t )σ 2

Z2
−

[ ] e 2
~ ~
∴(T ) dS (T )
f S = dX （9.7.5）
2π



将（9.7.5）式代入（9.7.1）式得
Z2 Z2
∞ − ∞ −
Zσ T −t +( u −r f )(T −t ) e 2
e 2

c ( s (t ), t ) = ∫s (t )e ∫
−r f (T − )
t
dZ − Xe dZ （9.7.6）
−d 2π −d 2π

当 Z → 时， w →− ，代入（9.7.6）式右边第一项得
∞ ∞
Z2
∞ −
Zσ T − +( u −r f )(T − ) e 2

∫s(t )e
t t
dZ
−d 2π
w2
1 2 d+σ T −t −
σ (T −t ) +( u −r f )(T −t ) e 2
= s (t )e 2
∫
−∞ 2π
dw （9.7.7）




对（9.7.6）式中的第二项，令 Z = − w ，则 dZ = −dw

当 Z = −d 时， w = d

当 Z → ∞ 时， w → −∞ ，则有

Z2 w2 w2
∞ − −∞ − d −
e 2
e 2
e 2

∫ 2π
dZ = ∫ 2π
( −dw) = ∫
−∞ 2π
dw （9.7.8）
−d d

再将（9.7.8）式、 9.7.7）式代入（9.7.6）式得：
（




c( s (t ), t )
w2 w2
1 d +σ T −t − d −
( u −r f + σ 2 )(T −t ) e 2
e 2

∫ ∫
−r f (T −t )
= s (t )e 2
dw − Xe dw （9.7.9）
−∞ 2π −∞ 2π

令 d 2 = d ， d 1 = d +σ T − t = d 2 +σ T − t ，即有期权定价公式

−r f (T −t )
c = s (t ) N (d1 ) − Xe N (d 2 ) （9. 7.11）

比较（9. 7.11）与（9. 6. 11）式，不难发现两者是完全一样的。




的统计意义
 N (d 2 )
~
P ( S (T ) > X ) =  = P ( w < d 2 ) = N (d 2 )
N (d 2为标的资产到期时的价格大于执行价的累积概率
)
，或标准正态分布下随机变量小于 d 的累积概率。
2

1
对 u = rf − σ 2
的解释
2 ~
~ S (T )
S (T ) E{ln[ ]} = u (T − t )
ln[ ] ~ N (u (T − t ), σ 2 (T − t ))
s (t ) s (t )




1 2
σ (T − t )
将 E ( e Zσ T −t
代入得
)=e 2

1 2 1
~ σ (T − t ) u (T − t ) + σ 2 (T − t )
E ( S (T )) = s(t )e u (T − t ) E (e Zσ
) = s(t )e e T −t u (T − t ) 2
= s(t )e 2

~ (T − t )
又由风险中性假设，有 E[ S (T )] = s (t )e
r f

1
r f (T − t ) u (T − t ) + σ 2 ( T − t )
e =e 2
1
两边取对数得 r f (T − t ) = u (T − t ) + σ 2 (T − t )
2
1 2
∴u = r f − σ
2



第八节相关变量对期权价值的影响

标的资产现价变动对期权价值的影响

2
d
1 −2 1

 N ' (d1 ) = e
 2π

由
2
d
 N ' (d ) = 1 −2 2

e


2
2π
∂c
可得 = N (d1 )
∂S



只要 1 ≠ 0 ，则 (d1 ) > 0 。说明 C 与 S
d N
是正向变动关系，即基础资产的当前价格越高，
看涨期权的价值就越大；基础资产的当前价格越
低，看涨期权的价值就越小。



执行价格变动对期权价值的影响
∂C − r f ∆t
= − N ( d 2 )e
∂X
− r f ∆t ∂C
只要 0 e
d 2 ≠ ，则 N (d 2 ) > 0。显然， >0 ，因此X
∂
<0 ，说明 C 与 X 之间呈反向变动关系，即期权的执行价
格越高，看涨期权本身的价值就越低；反之，期权的执行
价格越低，看涨期权本身的价值就越高。




期权有效期变动对期权价值的影响

∂C − rf ∆ t −
1
= Xe [ r f N (d 2 ) + 1 σ (∆ t ) 2
N ' (d 2 ) ] >0
∂∆t 2

看涨期权的现值与到期时间的长短呈正方向变动关系，到
期时间越长的期权，其本身的价值也就越大，反之，则越
小。换个角度说则是，对同一看涨期权，离到期日愈远，
期权价值愈大，距到期日愈近，期权价值愈小。




标的资产现货风险变动对期权价值的影响
∂C = Xe − r ∆t N ' (d )
f
2 ∆t > 0
∂σ
基础资产的风险越大，其看涨期权的价值就越高；反
之，则越低
无风险利率变动对期权价值的影响
∂C − r f ∆t
∂rf
= Xe ∆tN (d 2 ) > 0
无风险利率与看涨期权的价值呈正方向变动关系，即无
风险利率越高，期权的价值越大；反之，越小。

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