Semiconductor Fundamentals 3.4.

Semiconductor Fundamentals
10. Carrier Concentration

1. Equilibrium Carrier Concentration
상태밀도와 에너지의 관계

유효상태밀도
(Fully ionized) (partial ionized)
유효상태밀도
(Full-ionized) (Partial Ionized)
N =
C n exp[(E −
i C E )/kT]
i
E −
C E =
i kTln(N /n )
C i
E −
F E ≃
i kTln(n/n )
i ≃ kTln(N /n )
D i
E −
F E =
C (E −
F E ) −
i (E −
c E ) =
i η kT
C
η =
C (E −
F E )/kT
C
N =
V n exp[(E −
i i E )/kT]
V
E −
i E =
V kTln(N /n )
V i
E −
F E ≃
i kT(n /p)
i ≃ kT(n /N )
i A
E −
V E =
F (E −
V E ) −
F (E −
F E ) =
i η kT
V

Ionization Energy :
E =
AI (E −
A E ) −
i (E −
V E ) =
i E −
A EV
E =
DI (E −
C E ) −
i (E −
D E ) =
i E −
C ED
n =
i exp[−E /2kT]
N N
C V G
E =
G E −
C E =
V (E −
C E ) +
i (E −
i E ) =
v kTln(N N /n )
C V i
2

2. Charge Neutrality Condition
Ionization Efficiency : 이온화된 dopant / 총 dopant 비율
exp에 4배가 된 이유
이온화 시 가 생성하는 정공은 light/heavy hole로 나뉨
두 hole band에서 각각 전자 spin(up/down)이 발생하므로
페르미 준위의 경우의 수는 총 4가지가 됨
이로 인해 점유확률은 1/4(exp가 4배)가 됨
=
NA
NA
−
f(E = E ) =
A ( 1 + 4exp[(E −
A E )/kT] )
F
−1
EA

light/heavy hole에 대해서
에서 effective mass
kronig-penney model에서
E-k 기울기가 변화하면 유효질량 역시 변하게 됨을 알 수 있음
k = /ℏ
2mE m =
∗
2E
ℏ k
2 2

light/heavy hole의 level 변화는 dopant level에 전자(정공)이 채워질 확률
Donor level에서의 이온화된 전자 spin이 up/down으로 나뉘므로 점유확률은
1/2(exp가 2배)가 됨
=
ND
ND
+
1 − f(E = E ) =
D ( 1 + 2exp[(E −
F E )/kT] )
D
−1

Charge neutrality condition : 을 Fermi level의 식에 대해
정리
온도 T, 상태밀도 , Energy Gap , 도펀트 준위 를 갖고 Fermi
Level 계산
이를 이용하여 Carrier Concentration n, p를 계산 가능
,
N +
D
+
p − N −
A
−
n = 0
N ( 1 +
D 2exp[(E −
F E )/kT] )
D
−1
+N F [(E −
V 1/2 V E )/kT]
V
−N ( 1 +
A 4exp[(E −
A E )/kT] )
F
−1
−N F [(E −
C 1/2 F E )/kT] =
C 0
N , N
C V EG E , E
A D
EF
n = N F (η )
C 1/2 C h = N F (η )
V 1/2 V

Approxmiation : nondegenerate ( ), full ionization, uniform doping
N-type doping 가정
(n에 대해 식 정리)
Undercompensation : 의 경우
- p-type
dopant의 농도가 보다 높은 상태에서, 원래 도핑된 dopant보다 반대
dopant의 농도가 높아지는 경우 compensation(보상) 현상이 발생한다.
np = ni
2
N +
D p − N −
A n = 0, p = n /n
i
2
N +
i
2
(N −
D N )n −
A n =
2
0
∴ n = +
2
N −N
D A
( ) + n
2
N −N
D A 2
i
2
N −
A N >
D > Ni
p ≃ N −
A N , n ≃
D n /(N −
i
2
A N )
D
ni

캐리어 농도 계산
ex.
가 3kT보다 크므로 Boltzmann Approximation이 적절
전자 n이 이온화 Donor 보다 작으므로, full-ionization 가정은 부적절
이 경우 위의 의 식은 이용할 수 없다.
T = 300k, N =
C 3.23 × 10 cm , N =
19 −3
V 1.8 × 10 cm
19 −3
E =
G 1.12eV , n =
i 8.67 × 10 cm , N =
9 −3
D 10 cm
18 −3
kT ≃ 0.0259eV
E −
C E =
i kTln(N /N ) ≃
C i 0.57eV
E −
F E =
i kTln(N /N ) ≃
D i 0.48eV
E −
C E =
F (E −
C E ) −
i (E −
F E ) =
i 0.57 − 0.48 = 0.09eV
E −
C EF
n = n exp[(E −
i F E )/kT] ≃
i 7.9 × 1017
ND
n = +
2
N −N
D A
( ) + n
2
N −N
D A 2
i
2

3. Temperature dependance of Carrier Concentration
Freeze out
온도는 거의 0K, donor/acceptor 이온화가 없음
Fermi level은 dopant level과 conduction/valance level 사이에 위치
Ionization
낮은 온도(~100K)
부분적인 이온화
Fermi Level은 dopant level에 가깝게 위치

3. Temperature dependance of Carrier Concentration
Extrinsic
상온, 거의 대부분이 이온화
불순물이 반도체 속성 결정(외인성) : 반도체 제품이 동작하는 환경
Fermi Level :
Intrinsic
고온, 도핑 농도보다 intrinsic carrier 농도가 더 많아짐(
)
Fermi Level은 intrinsic level에 가깝게 됨(진성 반도체)
n ≃ N ≃
D
+
ND
E <
F E (n), E >
D F E (p)
A
n ≃ p ≃ n >
i
N , N
D A

4. compenstation
1. N-type 반도체에 acceptor 도핑( )
valance band 근처에 Acceptor level 형성
occupation probability가 더 크기 때문에 전자가 acceptor level로 이동
n-type doping이 감소하는 효과 : undercompensation
2. donor/acceptor를 완전히 같은 비율로 도핑했음을 가정
진성 반도체와 같은 상태 : exact compensation
3. acceptor가 donor 도핑을 초과 ( )
donor 대부분이 acceptor level로 이동하고, 남은 영역에서 정공 생성
type-conversion 발생(over compensation)
전자 농도는 donor-acceptor의 도핑 농도 차에 비례하는 함수
N >
D > NA
N >
A > ND
n = +
2
N −N
D A
( ) + n
2
N −N
D A 2
i
2

5. Degenerate Semiconductor
도핑 농도가 매우 높아지는 경우 (ex. donor)
도핑에 의해 발생하는 donor Band의 두께가 점점 두꺼워지다가 conductor
band와 중첩
이로 인해 energy gap이 감소하는 것과 같은 형태가 됨(tail state)
좁아진 energy gap에 의해 도체와 같이 반응

Semiconductor Fundamentals 3.4.

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