Semiconductor Fundamentals 3.3. carrier concentration

1. Semiconductor Fundamentals
9. Carrier Concentration

2. 1. Equilibrium Electron Concentration
캐리어 농도 = 캐리어 분포의 적분
( )
n = n dE
∫EC
Etop
E
= dη
π ℏ
2 3
(m kT)
2 n
∗ 3/2
∫0
∞
1+exp(η−η )
c
η
η = , η =
kT
E−EC
c kT
E −E
F C
= N F (η ) =
C π
2
1/2 c N F (η ) ≃
C 1/2 c N exp[η ]
C c

3. 1. Equilibrium Electron Concentration
Fermi-Dirac integral of order 1/2
와 의 표현 차이에 주의
Effective Density of Conduction Band States :
F (η) =
1/2 F (η ) ≃
π
2
1/2 c exp[η ]
c
F F
N =
C 2( )
2πℏ2
m kT
n
∗
3/2

4. 1. Equilibrium Electron Concentration
hole
( )
effective density of states :
p = p(E)dE =
∫Ebottom
EV
g (E)(1 −
∫Ebottom
EV
V f(E))dE
η =
V kT
E −E
V F
= N F (η ) ≃
V π
2
1/2 v N V exp[η ]
F v
N ≡
V 2( )
2πℏ2
m kT
p
∗
3/2
∴ p ≃ N F (η )
V π
2
1/2 V

5. 1. Equilibrium Electron Concentration
Boltzmann Approx. ( ) + non-degenerate semiconductor 가정
= 전자의 질량
E ≤
F E −
C 3kT
n ≃ N exp[η ] =
C C 2.508 × 10 [ ] exp[η ]
19
300m0
m T
n
∗
3/2
C
p ≃ N exp[η ] =
V V 2.508 × 10 [ ] exp[η ]
19
300m0
m T
p
∗
3/2
V
m0 (9.1 × 10 kg)
−31

6. 1. Equilibrium Electron Concentration
진성 캐리어 농도
진성 캐리어의 fermi level
진성 캐리어의 전자/정공 농도
두 값이 동일하므로
Ei
E =
F Ei
n = n(E = E ), p =
i p(E = E )
i
n =
i
2 pn = N N exp[−(E −
C V C E )/kT] =
V N N exp(−E /kT)
C V G
∴ n =
i exp(−E /2kT) =
N N
C V G 2.508 ×
10 [ ] [ ] exp(−E /2kT)
19
m0
2
m m
n
∗
p
∗
3/4
300
T2
3/2
G

7. 1. Equilibrium Electron Concentration
진성 페르미 레벨
진성 캐리어는 Conduction / Valance Band의 유효상태밀도가 동일
=
NC
NV
exp[(E − E + E − E )/kT] =
i C i V exp[2E − (E + E )/kT]
i C V
∴ E =
i +
2
E +E
C V
ln
2
kT
NC
NV
E −
C E =
i −
2
E −E
C V
ln
2
kT
NC
NV
E −
i E =
V E −
G (E −
C E )
i

8. 1. Equilibrium Electron Concentration
Conduction Band/Valance Band 유효상태밀도가 동일 ( )
진성 페르미 레벨은 두 밴드 중간에 위치
Conduction Band 유효상태밀도가 Valance Band보다 큼 ( )
Conduction Band의 전자 점유확률 감소
진성 페르미레벨은 Valance Band쪽으로
Conduction Band 유효상태밀도가 Valance Band보다 작음 ( )
Conduction Band의 전자 점유확률 증가
진성 페르미레벨은 Conduction Band쪽으로
N =
C NV
N >
C NV
N <
C NV

9. 2. Temparature Dependence of parameter
n =
i exp(−E /2kT) =
N N
C V G 2.508 ×
10 [ ] [ ] exp(−E /2kT)
19
m0
2
m m
n
∗
p
∗
3/4
300
T2
3/2
G
∴ n ∝
i T3/2
=
m0
mn
∗
1.028 + 6.11 × 10 T −
−4 3.09 × 10 T
−7 2
=
m0
mp
∗
0.61 + 7.83 × 10 T −
−4 4.46 × 10 T
−7 2
m , m ∝
n
∗
p
∗ T2

10. 2. Temparature Dependence of parameter
for Si
T가 250K 이상인 경우 근사치로
another formula : 온도 T가 200~500K 사이일 경우
300K에서
E (T) =
G E (0) −
G T+β
αT2
E (T) ∝
G T2
E (0) =
G 1.17eV , α = 4.73 × 10 , β =
−4
636°K
E (T) =
G 1.206 − 2.73 × 10 T(eV )
−4
n =
i 5.71 × 10 exp(−6733/T)
19
300
T 2.365
n ≃
i 1.02 × 10 [1/cm ]
10 3

11. 3. Mass-Action Law
n & p for non-degenerate semiconductor
위 두 식에서 유도 : 평형 상태의 반도체는 의 식을 만족한다.
Equilibrium(평형)
반도체 캐리어의 생성-재결합 비율이 동등하여
외부에서 볼 때 변화가 없는 것과 같은 상태를 유지하는 것
generation rate g = recombination rate r
g :
r :
equilibrium :
n = N exp[(E −
C F E )/kT] =
C n exp[(E −
i F E )/kT]
i
p = N exp[(E −
V V E )/kT] =
F n exp[(E −
i i E )/kT]
F
np = ni
2
0 + E → e + h
0 + E ← e + h
0 + E ⇔ e + h

12. 3. Mass-Action Law
mass-action law
반응의 방향과 속도는 전자와 정공의 질량에 의해 결정
의 크기가 속도, 부호가 방향
자연 상태의 반응은 평형 상태로 돌아가고자 하는 특성을 갖고 있다
generation equilibrium recombination
( - ) 0 ( + )
carrier deficiency carrier excess
np − ni
2
np − ni
2

13. 3. Mass-Action Law
평형 상태의 유지
i. 진성 반도체 상태 :
ii. ex) donor 도핑에 의한 이온화 : (p는 변화 x)
iii. , r > g인 상태로 인해 전자-정공이 recombination
iv. 인 평형 상태가 됨
반도체가 non-degenerate한 상태일 때만 의 평형상태가 성립
degenerate한 경우 로 mass-action law가 적용됨
n =
0 n , p =
i 0 n , n p =
i 0 0 ni
2
n(t = 0) = n +
i N >
D
+
n0
n(0)p(0) − n >
i
2 0
n > n >
i p, np − n =
i
2 0
np = ni
2
np < ni
2

14. 4. Charge Neutrality Condition
( - ) 전하의 source : 전자, 이온화된 acceptor( )
( + ) 전하의 source : 정공, 이온화된 donor( )
Charge Neutrality Condition
i. 일반적인 경우 전하밀도
전하량 보존 :
ii. 균일하게 도핑된 반도체 : 는 일정(constant)
전하량 보존 :
iii. 균일하게 도핑된 반도체에서 모든 dopant가 이온화된 경우
전하량 보존 :
A−
D+
ρ = q(p + N −
D
+
n − N )
A
−
ρ(x, y, z)dV =
∫V
0
N , N
D A
p + N −
D
+
n − N =
A
−
0
p + N −
D n − N =
A 0

15. 4. Charge Neutrality Condition
반도체가 중성(Charge-Neutral) 상태로 돌아가기 위한 시간
전도 전류
전하량 보존 :
(by gauss' law)
,
: charge-neutral state에 도달하는 시간
도전율 , 일 때
즉 반도체는 전하가 변한 뒤 곧바로 charge-neutral state로 돌아온다.
J = σE
∇ ⋅ J = − ∂t
∂ρ
∇ ⋅ J = ∇ ⋅ (σE) = ∇ ⋅
ϵ
σ
D = ρ
ϵ
σ
∴ +
dt
dρ
ρ =
ϵ
σ
0 ρ(t) = ρ(0)exp[−t/(ϵ/σ)]
ϵ/σ
σ = 1℧ ⋅ cm−1 ϵ ≃
si 8.854 × 10 F/m
−12
ϵ/σ ≃ 1.04ps

16. 4. Charge Neutrality Condition
균일하게 도핑된 반도체의 n, p농도
n & p for non-degenerate semiconductor
mass-action law :
charge neutrality :
위 4개 식을 조합하여
이 식은 Majority Carrier에 대해서만 유효
minority carrier는 식으로 계산
n = N exp[(E −
C F E )/kT] =
C n exp[(E −
i F E )/kT]
i
p = N exp[(E −
V V E )/kT] =
F n exp[(E −
i i E )/kT]
F
np = ni
2
p + N −
D
+
n − N =
A
−
0
n ≃ 0.5[N −
D
+
N +
A
−
(N − N ) + 4n
D
+
A
− 2
i
2
p ≃ 0.5[N −
A
−
N +
D
+
(N − N ) + 4n
D
+
A
− 2
i
2
np = ni
2