Este documento describe las propiedades de relaciones reflexivas, irreflexivas, simétricas, asimétricas y antisimétricas. Explica que una relación reflexiva incluye cada elemento en relación consigo mismo, mientras una relación irreflexiva no incluye ningún elemento en relación consigo mismo. También define que una relación simétrica requiere que si a está en relación con b, entonces b también esté en relación con a, mientras una relación asimétrica prohíbe esto y una relación antisimétrica requ

1. Propiedades de
relaciones. Francis Mota 16-0412

2. Relación Reflexiva.
una relación R es un
conjunto F es REFLEXIVA si
(f,f) R para todas las f F,
esto es, si f R f para todas
las f  F.
Por tanto, R es reflexiva si
cada elemento f  F está
relacionado consigo mismo.
Si R es reflexiva en un
conjunto F, entonces
Dom(R)= Cod(R) = F

3. Relacion Irreflexiva.
Una relación R es un
conjunto F es irreflexiva si
f R f para todas las f  F.
Por tanto, R es irreflexiva
si ningún elemento está
relacionado consigo mismo.

4. Ejemplos

5. Es posible caracterizar una
relación reflexiva o irreflexiva por
su matriz como sigue.
La matriz de una relación reflexiva
deberá tener unos en toda su
diagonal principal.
La matriz de una relación
irreflexiva deberá tener ceros en
toda su diagonal principal

6. Otras formas
Es posible caracterizar una relación reflexiva o irreflexiva por su grafo
dirigido como sigue.
Una relación reflexiva tiene un ciclo de longitud 1 en cada vértice.
Una relación irreflexiva no tendrá ciclos de longitud 1.

7. RELACIÓN SIMÉTRICA
Una relación R en un conjunto A es SIMÉTRICA si cuando a R b,
entonces
b R a.
De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b  A con a
R b, pero b R a.

8. RELACIÓN
ASIMÉTRICA
Una relación R en un conjunto A es ASIMÉTRICA si
cuando a R b, entonces
b R a.
De esto se sigue que R no es asimétrica si se
tiene a y b  A con ambos a R b y b R a.
Sea A = {1,2,3,4} y
sea R = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1)}
R no es simétrica, ya que (1,2)  R pero
(2,1)  R.
R no es asimétrica, ya que (2,2)  R.

9. RELACIÓN
ANTISIMÉTRICA
Una relación R en un conjunto A es ANTISIMÉTRICA si cuando a R b
y b R a, entonces a=b.
Esto es, R es ANTISIMÉTRICA si cuando ab, se tiene a R b
ó b R a.
De esto se tiene que R no es antisimétrica si se tiene a y b en
A, ab, y ambas a R b y b R a.

10. Ejemplo
Sea A = {1,2,3,4} y
sea R = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1)}
R no es simétrica, ya que (1,2)  R pero
(2,1)  R.
R no es asimétrica, ya que (2,2)  R.
R es antisimétrica ya que,
a  b, (a,b)  R ó (b,a)  R.

11. Sea A = Z
sea R = {(a,b)  A x A | a<b}
Simetría: Si a<b, entonces
no es verdadero
b<a, por lo cual
R no es simétrica.
Asimetría: Si a<b, entonces
b<a (b no es menor que a), por lo
cual R es asimétrica.
Antisimétrica: a  b,
entonces a<b o b<a, por lo
cual R es antisimétrica.

12. Sea A = Z+
sea R = {(a,b)  A x A | a
divide b}
Simetría: Si a|b, no se sigue
que b|a, por lo cual R no es
simétrica.
Asimetría: Si a=b=3, por
ejemplo, entonces a R b y b R
a, por lo cual R no es asimétrica.
Antisimétrica: Si a|b y b|a,
entonces a=b,
por lo cual R es antisimétrica.