1. 28-05-2007
Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling
-1-
Laserkøling
Eksamensprojekt i Kvantemekanik af:
Lars Vittorio Traiano Occhionero, 20052133
Lavet i samarbejde med Paw Simesen.
Under vejledning af Peter Herskind.
Vi kigger teoretisk på laserkøling, viser de optiske Bloch ligninger ved at kigge på systemets tæthedsmatrice og
anvender løsningerne dertil på at finde frem til et udtryk for kølekraften, og undersøge denne, og finde
optimeringsmuligheder.
Indledning
Et af de store moderne forskningsfelter omhandler
laserkøling. Ideen, som modtog fysiks nobelpris i 1997,
anvendes i dag i et stort antal felter, fra Bose-Einstein
kondensering til kvantecomuteren.
Ideen om at køle med laser virker også, rent logisk,
absurd, da vi fra Hollywood o.l. er vant til at se lasere
som objekter som kan tilføje store mængder energi til
små områder, og kan anvendes til at lave små præcise
incisioner til øjenoperationer, til at skære meget præcist
i industrien, og (i Hollywood) til at eksplodere ting
med. Vi ser jo ikke lasere som noget der kan køle ting
ned, tværtimod. Det vi anvender, er at laserlyset,
kvantemekanisk, også har en impuls, som vi kan bruge
til at bremse atomer med, og på den måde køle dem
ned.
I opgaven vil jeg beskæftige mig med noget af den
teori som ligger til grund for processen, og opskrive en
ligning for den kraft lasere kan virke på atomer, og se
om denne kan gøres kølende, og hvordan denne kan
optimeres.
For at gøre dette vil vi kigge på den tidsafhængige
Schrödinger ligning, opskrive løsninger til den,
anvende tæthedsmatricer, for endeligt at kunne komme
frem til kølekraften, og undersøge denne.
De optiske Bloch Ligninger
Vi ønsker at bestemme den kraft hvormed vi skal køle
vores ioner. For at finde denne, skal vi benytte nogle
bevægelsesligninger for optiske systemer, de optiske
Bloch ligninger.
Generelle overvejelser
Vi skal observere ændringer i tid, vi kigger derfor på
den tidsafhængige Schrödingers ligning:
( ) ( ), ,H r t i r t
t
δ
δ
Ψ = Ψℏ (1)
Hvor vi har, rent generelt, at bølgeligningen kan
skrives som:
( ) ( ) ( ) -i t
k, r ek
k
r t c t ω
ϕΨ = ∑ (2)
Vi kan nu indsætte [2] i [1]:
( ) ( ) ( ) -i t
k, r ek
k
H r t i c t
t
ωδ
ϕ
δ
 
Ψ =  
 
∑ℏ (3)
Vi ønsker at se på hvordan c udvikler sig med tiden.
Ved at gange med φj på begge sider og integrere op, og
definere ' 'jk j kH Hϕ ϕ≡ får vi:
( )
( ) ( )k
k
= c ' jkj i t
jk
dc t
i t H t e
dt
ω−
∑ℏ (4)

2. 28-05-2007
Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling
-2-
Vi kigger på en to-niveau atom. Vi ser således på
atomet i enten grundtilstand (så g=0) eller exciteret
tilstand (så e=1). Vi kan derfor skrive ligning [4] for de
to c’er:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
e
g
=i =c '
=i =c '
a
a
g i t
g ge
e i t
e eg
dc t
i c t H t e
dt
dc t
i c t H t e
dt
ω
ω
−
ɺℏ ℏ
ɺℏ ℏ
(5)
hvor ωa=ωge er atomets frekvens.
Vores system
Vi vil nu kigge på relation mellem lys og atomer. Det
viser sig1
at vi kan opskrive den del af Hamilton
operatoren, som fortæller om interaktionen mellem
atomer og lys som:
( )' ,H e r t rε= − ⋅ ⋅ (6)
hvor ε er det elektriske felt. Vi har defineret vores
Hamilton operator i [4] ' 'jk j kH Hϕ ϕ≡ så vi
har at for vores to-niveau atom vi har at:
( )' ,ge g eH e r t rφ ε φ= − ⋅ ⋅ (7)
Det elektriske felt for en plan bølge som rejser i z-
retning er givet ved:
( ) ( )0
ˆ, cosz t E kz tε ε ω= − ℓ (8)
hvor ωl er laserens frekvens. Vi kan omskrive på [8]
vha. Eulers formel, og udvide til alle dimensioner ved
at erstatte z med en radius vektor:
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0
1
ˆ,
2
1
ˆ
2
i ikr t i ikr t
i t i tikr ikr
r t E e e
E e e e e
ω ω
ω ω
ε ε
ε
− − −
− −
= +
= ⋅ + ⋅
ℓ ℓ
ℓ ℓ
(9)
Vi kan nu anvende end dipol approksimation. I denne
anvender vi følgende:
( ) ( )
21
1 ...... 1
2!
ikr
e ik r ik r= + ⋅ + ⋅ + ≈ (10)
Det samme gælder for negativ eksponent. Dette kan vi
tillade os, da, hvis vi kigger på kr (andet led) i vores
1
Jf. Metcalf & Straten (1.8)
eksempel har vi at
7 1
2 10k mπ λ −
= ≈ for rødt lys
og 1r Å≈ altså en atoms udstrækning. Dette giver
3
10 1kr −
≈ << og derfor kan vi negligere alle andre
led end det første.
Vi kan derfor skrive [9] om til:
( ) ( )0
1
ˆ,
2
i t i t
r t E e eω ω
ε ε −
= + ⋅ℓ ℓ
(11)
Vi kan nu indsætte [11] i [7] for at bestemme vores
Hamilton operator. Vi definerer først, som ved
Hamilton operatoren at: ge g er rϕ ϕ≡ :
( )
( ) ( )
0
0
'
1
ˆ
2
1
ˆ
2
ge
i t i t
g e
i t i t
ge
H
e E e e r
e e e E r
ω ω
ω ω
φ ε φ
ε
−
−
= − ⋅ + ⋅ ⋅
 = − + ⋅ ⋅ ⋅ 
ℓ ℓ
ℓ ℓ
(12)
For at simplificere udtrykket defineres en Rabi-
frekvens ( )ˆ o
ge ge
E
e r εΩ ≡ ⋅
ℏ
som vi kan sætte ind i
den firkantede parentes, ved at gange med en h-bar:
( )
( )
1
'
2
1
2
i t i t
ge ge
i t i t
ge ge
H e e
e e
ω ω
ω ω
−
−
= − Ω +
= − Ω + Ω
ℓ ℓ
ℓ ℓ
ℏ
ℏ
(13)
Vi kan bemærke at Rabi-frekvensen er hermitisk, da
radius-operatoren er hermitisk, så der må gælde at:
*
ge egΩ = Ω Dette kan vi anvende til at gøre formel
[13] nemmere at arbejde med senere:
( )*1
'
2
i t i t
ge ge egH e eω ω−
= − Ω + Ωℓ ℓ
ℏ (14)
Vi kan nu gætte hvad den Hermitiske operator for eg
er, da denne er dannet af de samme beregninger, hvor
Rabi-frekvensen vendes om så:
( )*1
'
2
i t i t
eg eg geH e eω ω−
= − Ω + Ωℓ ℓ
ℏ (15)
Vi har nu bestemt de to Hamilton operatorer som
figurerer i vores formel [5], som vi nu kan indsætte. Vi
starter med cg:

3. 28-05-2007
Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling
-3-
( )
( )
( ) ( )
( )
e
*
e
*
*
i =c '
1
c
2
2
2
a
a
a a
a a
i t
g ge
i ti t i t
ge eg
i t i t i t i t
e ge eg
it it
e ge eg
c H e
e e e
c e e
c e e
ω
ωω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
−
−−
− − −
− + −
 
= − Ω + Ω 
 
= − Ω + Ω
= − Ω + Ω
ℓ ℓ
ℓ ℓ
ℓ ℓ
ɺℏ
ℏ
ℏ
ℏ
(16)
For at simplificere ligningerne indfører vi detuningen,
som udtrykker forskellen mellem de to frekvenser:
aδ ω ω≡ − ℓ :
( ) ( )
( )
( )
( )
*
2 *
i
=
2
2
a
g
it it
e ge eg
i t i t
e ge eg
c
c e e
c e e
ω ω ω ω δ
ω δ δ
− + + − −
− + −
− Ω + Ω
= − Ω + Ω
ℓ ℓ ℓ
ℓ
ɺℏ
ℏ
ℏ
(17)
Vi kan igen rent symmetrisk finde det tilsvarende
udtryk for ce:
( )
( )
( )
*
2*
i =
2
2
ai ti t i t
e g eg ge
i ti t
g eg ge
c c e e e
c e e
ωω ω
ω δδ
−
+−
− Ω + Ω
= − Ω + Ω
ℓ ℓ
ℓ
ℏ
ɺℏ
ℏ
(18)
For at kunne simplificere udtrykkene yderligere, vha.
endnu en approksimation, skifter vi koordinatsystem
for vores system til en roterende system, ved at
overføre vores c’er således der gælder at:
'
' '
g g
i t i t
e e e e
c c
c c e c c eδ δ−
=
= ⇒ =
(19)
Vi finder således vores formler [17] til:
( )
( )
2 *
2 *
i =
2
i '= '
2
i t i t
g ge eg e
i t
g ge eg e
c e c e
c e c
ω δ
ω
− −
−
− Ω + Ω ⇒
− Ω + Ω
ℓ
ℓ
ℏ
ɺℏ
ℏ
ɺℏ
(20)
og tilsvarende med formel [18]:
( )
'
i =i i ' '
i ' '
i t
i t i te
e e e
i t i t
e e
dc e
c c e i c e
dt
c e c e
δ
δ δ
δ δ
δ
δ
= +
= −
ɺ ɺℏ ℏ ℏ
ɺℏ ℏ
(21)
og vi kan også skrive dette som:
( )2*
i = '
2
i t i t
e eg ge gc e c eω δ−
− Ω + Ω ℓ
ℏ
ɺℏ (22)
sætter vi [22] og [21] lig hinanden får vi:
( )
( )
( )
2*
2*
2*
i ' '
'
2
i ' '
'
2
i ' ' '
2
i t i t
e e
i t i t
eg ge g
e e
i t
eg ge g
i t
e e eg ge g
c e c e
e c e
c c
e c
c c e c
δ δ
ω δ
ω
ω
δ
δ
δ
−
−
= − Ω + Ω ⇒
−
= − Ω + Ω ⇒
= − Ω + Ω
ℓ
ℓ
ℓ
ɺℏ ℏ
ℏ
ɺℏ ℏ
ℏ
ℏ
ɺℏ ℏ
(23)
Vi kan nu benytte os af Rotating Wave
Approksimation. I denne negligerer vi alle led hvori
der indgår 2ωl. Dette gør vi da disse roterer meget
hurtigere end resten af vores tidsskalaer, og midler
derfor til 0 for de tidsrum hvori vi kan måle. Vi ser at
vi kun får Ωeg led tilbage, så vi kan passende definere
egΩ ≡ Ω Vi får således ligning [20]
*
*
*
i '= '
2
1
'= '
2
'= '
2
g eg e
g e
g e
c c
c c
i
i
c c
− Ω ⇒
− Ω ⇒
Ω
ℏ
ɺℏ
ɺ
ɺ
(24)
og [23]:
i ' ' '
2
' ' '
2
e e eg g
e g e
c c c
i
c c i c
δ
δ
= − Ω ⇒
= Ω −
ℏ
ɺℏ ℏ
ɺ
(25)
Tæthedsmatricen
Vi tager nu et lille sidespring. Hvad vi ønsker at
bestemme er nogle ligninger som udtrykker hvordan
populationen i vores atomers niveau varierer med
tiden. For at gøre dette kan det være fordelagtig at
definere en densitetsmatrix således at:
*
ij i jc cρ =
En sådan matrix kan generelt anvendes til at gøre
mange opgaver simplere. Kigger vi nærmere på den
viser det sig at vi kan udtrykke forventningsværdien for

4. 28-05-2007
Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling
-4-
enhver operator som trace af produktet mellem
densitetsmatricen og operatoren, og vi kan se at trace at
densitetsmatricen i sig selv giver vores normaliserings
betingelser, og skal dermed være 12
. For vores to-
niveau atom kan vi skrive densitetsmatricen således op:
* *
* *
gg ge g g g e
eg ee e g e e
c c c c
c c c c
ρ ρ
ρ
ρ ρ
  
= =     
   
(26)
Opskrivning af Bloch ligningerne
Vi kan se at vi kan betragte diagonalelementerne som
populationen af de to niveauer. Det passer endda også
at trace, altså den samlede population er 1. Vi vil
anvende densitetsmatricen til opskrivning af Bloch
ligningerne, som er de tidsafledte af de fire indgange i
densitetsmatricen.
Vi starter med at opskrive densitetsmatricen i vores
roterende koordinatsystem:
* *
* *
* *
* *
* *
* *
' ' ' '
' ' ' '
gg ge g g g e
eg ee e g e e
i t
g g g e
i t i t i t
e g e e
i t
g g g e
i t
e g e e
c c c c
c c c c
c c c c e
c e c c e c e
c c c c e
c c e c c
δ
δ δ δ
δ
δ
ρ ρ
ρ
ρ ρ
− −
−
  
= =     
   
 ⋅
=   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
 ⋅
=   ⋅ 
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
(27)
Vi kan nu bestemme vores optiske Bloch ligninger i
vores roterende koordinat system. Vi anvender at:
*
* * ji
i j j i
dcdcd d
c c c c
dt dt dt dt
ρ
= = + ⋅ (28)
Vi starter fra indgang 1,1. Vi indsætter ligningerne [24]
og [25]
( )
* *
*
* * *
* * *
*
' ' ' '
' ' ' '
2 2
' ' ' '
2 2
2
gg g g g g
e g g e
e g g e
eg ge
c c c c
i i
c c c c
i i
c c c c
i
ρ
ρ ρ
= +
 
= Ω + Ω 
 
= Ω − Ω
= Ω − Ω
ɺɶ ɺ ɺ
ɶ ɶ
(29)
2 2
Jf. Metcalf & Straten kap. 2
Vi fortsætter, for at bevare symmetrien, til indgang 2,2:
( )
* *
*
*
* *
* * *
* * *
*
' ' ' '
' ' '
2
' ' '
2
' ' ' '
2
' ' ' '
2
' ' ' '
2 2
2
ee e e e e
g e e
e g e
g e e e
e g e e
g e e g
ge eg
c c c c
i
c i c c
i
c c i c
i
c c i c c
i
c c i c c
i i
c c c c
i
ρ
δ
δ
δ
δ
ρ ρ
= +
 
= Ω − 
 
 
+ Ω − 
 
= Ω −
− Ω +
= Ω − Ω
= Ω − Ω
ɺɶ ɺ ɺ
ɶ ɶ
(30)
Vi finder nu for indgang 1,2:
( )
* *
*
* *
* * * *
* *
*
' ' ' '
' ' ' ' '
2 2
' ' ' '
2 2
2 2
2
ge g e g e
e e g g e
ee g g g e
ee gg ge
ge ee gg
c c c c
i i
c c c c i c
i i
c c i c c
i i
i
i
i
ρ
δ
ρ δ
ρ ρ δρ
δρ ρ ρ
= +
 
= Ω + Ω − 
 
= Ω − Ω +
= Ω − Ω +
= + Ω −
ɺɶ ɺ ɺ
ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ
(31)
og endeligt for indgang 2,2:
( )
* *
*
* *
* * *
' ' ' '
' ' ' ' '
2 2
' ' ' ' ' '
2 2
2
eg e g e g
g e g e e
g g e g e e
eg gg ee
c c c c
i i
c i c c c c
i i
c c i c c c c
i
i
ρ
δ
δ
δρ ρ ρ
= +
   
= Ω − + Ω   
   
= Ω − − Ω
= − + Ω −
ɺɶ ɺ ɺ
ɶ
(32)
Noter at vi i de sidste to udtryk erstatter ii iiρ ρ=ɶ i
henhold til matricen skrevet op i [27].

5. 28-05-2007
Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling
-5-
Spontan emission
Vi har nu udtryk for populationernes udvikling over
tid, men der mangler et element, spontan emission, som
vi endnu ikke har taget hensyn til i vores udregninger.
Vi betragter henfaldsraten γ. Der kan ikke henfalde
noget fra grundtilstand som ligning [29] udtrykker.
Men vi har en forøgelse i population fra den exciterede
tilstand. Henfaldet fra den exciterede tilstand må være
dens tæthedsfunktion gange henfaldsraten, og for [29]
positiv da denne svarer til en tilvækst, så vi har:
( )*
2
gg ee eg ge
i
ρ γρ ρ ρ= + Ω − Ωɺɶ ɶ ɶ (33)
For den exciterede tilstand må det være lige omvendt.
Her kan der ikke falde nogle tilstande til, og der kan
kun ske et tab på det samme som før, så vi har:
( )*
2
ee ee ge eg
i
ρ γρ ρ ρ= − + Ω − Ωɺɶ ɶ ɶ (34)
For de næste to vil vi betragte spontan emission for eg
som sker med den konstante henfaldsrate γ/23
og får
således:
( )
( )
*
*
2 2
2 2
ge ge ee gg ge
ge ee gg
i
i
i
i
γ
ρ δρ ρ ρ ρ
γ
δ ρ ρ ρ
= + Ω − −
 
= − − + Ω − 
 
ɺɶ ɶ ɶ
ɶ
(35)
og tilsvarende:
( )2 2
eg eg gg ee
i
i
γ
ρ δ ρ ρ ρ
 
= − + + Ω − 
 
ɺɶ ɶ (36)
Vi har hermed udledt de optiske Bloch ligninger. Vi
skal nu løse disse ligninger og anvende dem for at
finde kølekraften for vores laserkøling.
3
jf. Metcalf & Straten (2.20)
Løsning af Bloch ligningerne
Vi ser på løsningen for ligningerne for steady state. Vi
ser på forskellen i population: gg eeϖ ρ ρ≡ − . Denne
kan vi anvende til at gøre nogle formler nemmere. Vi
ser på differentialet:
( )
( )
( )
*
*
* *
*
2
2
2
2 2
2 2
2
gg ee
ee eg ge
ee ge eg
eg eg
ee
ge ge
ee eg ge
i
i
i i
i i
i
ϖ ρ ρ
γρ ρ ρ
γρ ρ ρ
ρ ρ
γρ
ρ ρ
γρ ρ ρ
= −
= + Ω − Ω
+ − Ω − Ω
Ω Ω
= + +
Ω Ω
− −
= + Ω − Ω
ɺ ɺɺ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
(37)
Vi kigger lidt nærmere på ϖ , samt vi ved at sporet for
tæthedsmatricen er 1, da det er vores
normaliseringsbetingelse, (man kan også tænke det at
summen af atomerne i grund- og i exciteret tilstand er
1, da de skal være i en af tilsandende). Vi trækker to
ligninger fra hinanden:
1
1 0 2
gg ee
gg ee
ee
ρ ρ
ϖ ρ ρ
ϖ ρ
= +
≡ −
− = +
(38)
Dette kan vi nu indsætte i [37], og anvender at
*
ge egρ ρ=ɶ ɶ :
( ) ( )
( )
( )
*
*
* *
1 eg ge
eg ge
eg eg
i
i
i
ϖ γ ϖ ρ ρ
γϖ ρ ρ γ
γϖ ρ ρ γ
= − + Ω − Ω
= − + Ω − Ω +
= − − Ω − Ω +
ɶ ɶɺ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
(39)
Vi kan se at ligning [36] nu kan omskrives
2 2
eg eg
i
i
γ
ρ δ ρ ϖ
 
= − + + Ω 
 
ɺɶ ɶ (40)
Vi anvender nu vores antagelse om steady state, altså at
der er lige så meget der bliver exciteret som kommer
tilbage i grundtilstanden så 0ϖ =ɺ , samt at de ikke-
diagonale elementer i tæthedsmatricens tidsafledte er 0,

6. 28-05-2007
Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling
-6-
altså at: 0eg geρ ρ= =ɺ ɺɶ ɶ . Vi starter med at isolere egρɶ
fra ligning [40]:
( )
0
2 2
2 2
2 2
eg eg
eg
eg
i
i
i
i
i
i
γ
ρ δ ρ ϖ
γ
δ ρ ϖ
ρ ϖ
γ δ
 
= − + + Ω = ⇒ 
 
 
+ = Ω ⇒ 
 
Ω
=
+
ɺɶ ɶ
ɶ
ɶ
(41)
Dette kan vi nu indsætte i ligning [39] og anvende
steady state:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
* *
*
*
*
*
2
2
2
2 2
2 2
0
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
1
1 2
1
1
eg egi
i i
i
i i
i i
i
i i
i
i
i
i
i
s
ϖ γϖ ρ ρ γ
γϖ γ
ϖ ϖ
γ δ γ δ
γϖ γ
ϖ ϖ
γ δ γ δ
γϖ ϖ
γ δ
ϖ γ
γ δ
γ δ
ϖ
γ δ
γ δ
= − − Ω −Ω + =
= − +
 Ω Ω
− −Ω −Ω  − + 
= − +
 Ω Ω
− −Ω −Ω  − + 
Ω
= − −
−
Ω
− + ⇒
+
⋅ −
=
− + Ω
=
+ Ω −
=
+
ɶ ɶɺ
(42)
For at reducere kan vi nu indføres en
mætningsparameter s:4
( )
2 2
0
2 2 2 2
2
4 1 22
s
s
i δ γ δ γγ δ
Ω Ω
≡ = ≡
+ +−
(43)
4
jf. Metcalf & Straten afsn. (2.4)
hvor s0 beskriver resonans mætningsparameteret givet
ved [ ]
2 2
0 2 ss I Iγ= Ω = , hvor Is er
mætningsintesiteten.
Vi kan nu anvende dette til at finde et udtryk for egρɶ
som er lidt pænere end [41]:
( )( )2 2 1
eg
i
i s
ρ
γ δ
Ω
=
+ +
ɶ (44)
Så nu har vi løst en af vores Bloch ligninger. Vi kan
bruge denne løsning til at bestemme eeρ , som er den
vi skal anvende for at bestemme kølekraften. Vi
anvender det vi har fundet i ligning [38]:
( )
1 0 2
1
1
2
ee
ee
ϖ ρ
ρ ϖ
− = + ⇒
= −
(45)
Vi kan nu indsætte [42] i [45]:
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
1
2 1 2 2 1
1 1
2 1 2 1
ee
s s
s s
s s
ρ
 
= − = − 
+ + 
+ −
= =
+ +
(46)
Dette kan vi skrive om vha.
resonansmætningsparameteren givet ved [43]:
( )
( )( )
( )
2
0
2
0
0
2
0
1 2
2 1 1 2
2
1 2
ee
s
s
s
s
δ γ
ρ
δ γ
δ γ
+
=
+ +
=
+ +
(47)

7. 28-05-2007
Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling
-7-
Kølekraften
Vi har nu lavet al baggrunden for at kunne bestemme
kølekraften. Vi ser på kølekraften ret klassisk som den
enkelte fotons impuls gange med antal absorptioner,
altså:
foton p eeF p kγ γρ= ⋅ = ⋅ℏ (48)
Vi ser at vi betragter antallet af absorption ved at se på
henfaldsraten gange populationen i det exciterede
tilstand. Dette kan vi gøre, da vi ved at i steady state er
ekscitationsraten lige så stor som henfaldsraten, og vi
har dermed det antal atomer som vil lade sig påvirke af
fotonerne. Denne kan vi finde ved at indsætte i ligning
[47]:
( )
0
2
0
2
1 2
p
s
s
γ
γ
δ γ
=
+ +
(49)
For at bestemme kraften kan vi nu indsætte [49] i [48]:
( )
0
2
0
2
1 2
s
F k
s
γ
δ γ
= ⋅
+ +
ℏ (50)
Doppler effekten
Vi vil nu se lidt nærmere på effekterne for detuning.
Detuningen er det som giver forskellen i laser- og
ekscitationsfrekvensen. Vi kan altså redigere i denne
parameter til at tage hensyn til doppler kølingen. Vi ser
på denne situation:
Figur 1 Skematisk tegning af system
Vi har et to-niveau atom som bliver påvirket fra laser
fra to sider. Da atomet bevæger sig imod den ene foton,
og væk fra den anden vil vi opleve en dopplereffekt, så
fra atomets synsvinkel, vil den bagerste foton se
rødforskudt, mens den foran vil være blåforskudt.
Denne effekt skal altså tages i betragtning når man
laserkøler. Vi har altså reelt set to komposanter for
kraften, en for hver side af systemet.
Ud fra doppler effekten, kan vi betragte atomets
ekscitationsfrekvens i forhold til laserfrekvenserne som
' 1 a
a a a
a a
vv
c c
kc v
kv
c
ω
ω ω ω
ω ω
⋅ 
= ± = ± 
 
⋅
= ± = ±
(51)
Indsættes dette i vores udtryk for detuning, kan vi se at
vi kan tage hensyn til doppler effekten ved at lave
følgende transformation:
' 'a a kv kvδ ω ω ω ω δ= − = − ± = ±ℓ ℓ (52)
Dette indsættes i formel [50] for at få et udtryk for
kraften, hvor vi tager hensyn til doppler effekten:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0
2
0
0
22
0
0
2 2 2 2
0
0
2 2 2 2 2
0
1
2 2 2 2
0
2 2
0 0
2
1 2
2
1 4
2
1 4 2
2
1 2 4 8
4 82
1
1 2 1 2
k s
F
s kv
k s
s kv
k s
s k v kv
k s
s k v kv
k v kvk s
s s
γ
δ γ
γ
γ δ
γ
γ δ δ
γ
δ γ γ δ γ
γ δ γγ
δ γ δ γ
−
⋅
=
+ + ±
⋅
=
+ + ⋅ ±
⋅
=
+ + + ±
⋅
=
+ + + ±
   ±⋅
  = ⋅ +
   + + + +   
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
(53)
Inden laserkølingen vil man starte med at fange de
ioner man vil køle, i en elektromagnetisk fælde, som
f.eks. en Pauli fælde, og denne vil allerede køle ionerne
til en vis grænse. Vi skal altså køle ioner, hvis
hastighed i forvejen er omkring 0. Vi kan bruge dette
til at rækkeudvikle den anden parentes, og da vi i
tælleren har led af v, som altså er meget meget små,
kan vi nøjes med at anvende andet led. Den
rækkeudvikling vi anvender, er altså at:
( )
1
1 1x x
−
+ = − (54)
som gælder for små x. Vi anvender rækkeudviklingen,
samt vi negligerer leddet med v2
, da denne bliver meget
lille:
ωlωl
v
ωA

8. 28-05-2007
Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling
-8-
( )
( )2 2 2
0
2
0
42
1
1 2
k vk s
F
s
γγ
δ γ
 ⋅
 = ⋅
 + + 
ℏ
∓
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
2
0
2
0
2 22
0 0
2
0
2 22
0 0
8
1 2
2 4
1 2 1 2
2 4
1 2 1 2
kv
s
k s k v
s s
k s k
v
s s
δ γ
δ γ
γ δ
γδ γ δ γ
γ δ
δ γ γ δ γ
  +
  
  + +  
  
 
 ⋅   
 =    + +   + + 
 
 
 ⋅  
 =   + +  + + 
 
ℏ ℏ
∓
ℏ ℏ
∓
(55)
Lad os kigge på leddene nu. Led som g,
hendfaldsraten, er givet ud fra de atomer vi vil køle, og
kan altså kun ændres ved at ændre atomerne. Det er
altså ikke en størrelse som er variabel i et givent
forsøg. Af de andre kan vi se at k er givet ud fra
laserens bølgelængde, detuningen har i høj grad noget
at gøre med både laser og atomer, og
resonansmætningsparameteren er bestemt af laserens
intensitet. Men når vi har valgt laserlys, og atomer, ser
vi at kraften kan skrives som en
gnidningskraft, F vβ= − hvor β’s fortegn netop er
omvendt hastigheden, når denne regnes med fortegn.
Grafisk undersøgelse af kraften
Vi vil nu kigge på kraften grafisk. Vi plotter
koefficienten for kraften, som funktion af detuningen.
Dette gør vi da det i stor stil er koefficienten som
bestemmer kraften, og som funktion af detuningen, for
forskellige værdier af s0. På denne måde kan vi
undersøge for hvilke laserintensiteter, som er bestemt
af s0, der opnås størst køling, og om hvor præcis
detuningen skal være før man opnår en kraft, altså hvor
tæt laserfrekvensen og ekscitationsfrekvensen skal
være før vi kan køle ionerne. Vi plotter kraften positiv,
og i enheder så alle konstanter = 1.
Figur 2 Friktion som funktion af detuning
Vi ser at, modsat hvad man kunne forvente, hjælper det
ikke at finde laseren med den største intensitet til at
køle bedst. Vi ser at vi opnår den største køling for
s0=1. Men vi observerer samtidig også at jo højere
kølekraft vi opnår, jo mere nøjagtig skal detuningen
være. Hvis vi vil nøjes med mindre kølekraft, ser vi at
vi får en udbredelse af kurven, som indikerer at vi kan
køle for et større antal forskellige detuning. Vi kan
forestille os at, når vi ser på doppler forskydningen, så
vil ionerne have en fordeling af hastigheder, som giver
en fordeling af detuning. Vi kan altså køle flere ioner,
hvis vi til gengæld opgiver at have en meget høj
kølekraft.
Nu har vi sat vores hastigheder til noget bestemt, men
når vi køler vil ionernes hastighed mindskes, og de vil
skrifte i detuning, vi skal derfor overveje at enten have
en laser, med s0=1 hvor man kan skifte i frekvens, eller
have en større s0 så den stadig kan køle ioner selv om
deres detuning skifter. Da laser pr. definition er
tilnærmelsesvist, monokromatiske, er denne sidste
mulighed praktisk at foretrække.
Dette dopplerskift giver en nedre grænse for, hvor langt
nede i temperatur vi kan komme, kaldet
dopplergrænsen, på 300mK. Ønsker man yderligere
køling skal have andre metoder i brug, så som
evaporation, hvor man lader de mest energirige atomer
slippe ude af potentialet, og beholder kun de koldeste.5
Vi kan altså se at det kan være en fordel at køle et stort
antal ioner hvis man ønsker at køle dem yderligere ned
via evaporation, da man skal eliminere store mængder
ioner.
Konklusion
Vi har fundet et udtryk for kraften ved laserkøling, og
vist at man kan betragte denne som en friktionskraft, da
denne afhænger lineært af hastigheden på ionerne. Vi
har endvidere set at laserkølingen er en balance mellem
hvor stor kraft man ønsker at laserkøle med, og hvor
mange ioner man ønsker at laserkøle, da en stor kraft,
medfører en lille forskel mellem laserens frekvens og
ionernes ekscitationsfrekvens.
I praksis vil det altså kunne betale sig at have en lavere
kølekraft til fordel for en større sandsynlighed for at
køle en ion.
Litteraturhenvisning
Metcalf & Straten, kap. 1, 2 og 5
Griffiths ”Introduction to Quantum Mechanics, kap 9
5
Jf. Metcalf & Straten Figur 5.1