1. 圖 4
主題二 : Archimedean π
Let π be the arc length of semicircle with radius 1 (圖 1)
我們的目的是利用 Vpython 來計算π 的值
我們首先證明 , 給任兩個 convex E1 , E2
假設 E1 包住 E2 , 則 E1 的邊長和會大於 E2 的邊長和
給一例子
我們將圖 2 沿著 L1 線切割得到圖 3
我們知道 E1 的邊長和 > E3 的邊長和
我們再將圖 3 沿著 L2 線切割得到圖 4
相同 E1 的邊長和 > E3 的邊長和 > E4 的邊
長和
依此類推 , 我們可得知 E1 的邊長和會大於 E2 的邊長和
圖 1
圖 2
圖 3

2. 由上面的推論就可得知圖 5 的正方形邊
長會大於圓的圓周長也就是 4 > π
我們將圖 6 的三角形分割成圖 7
由角平分限定理可得
k1=k0 / (sqrt(k0*k0+1)+1)
則以 2*k1 為邊長所形成的正八邊形也會把
圓給剛好包住 (圖 8)
就可得到 4=4*k0 > 8*k1 > π
相同我們再將圖 9 得三角形分割成圖 10
由角平分限定理可得
k2=k1 / (sqrt(k1*k1+1)+1)
則以 2*k2 為邊長所形成
的正 16 邊形也會把圓給
剛好包住 (圖 11)
連續以上步驟所形成的以
圖 5
圖 6
圖 7
圖 8
圖 9
圖 10
圖 11

3. 2*kn 為邊長所形成的正 8*n 邊形也會把圓給剛好包住
則 (2*2*…….*2)*kn > π
n+2 個
當 n 很大時 , 所形成的正 8*n 邊形 , 就會非常接近圓 , 則
其邊長和的一半也就會非常接近π
則我們要如何以 Vpython 來寫出程式呢 ?
我們要設計出一個可以讓使用者按一下得
………… …………
首先我們先利用圖 5 中的 a1, 讓 a1 以原點為軸
旋轉負 90 度可得 a1--1, 相同 a1--1 以原點為軸旋
轉負 90 度可得 a1--2, a1--2 以原點為軸旋轉負 90
度可得 a1--3
再來我們利用圖 8 中的 a2, 讓 a2 以原點為軸
旋轉負 45 度可得 a2--1, 相同 a2--1 以原點為
軸旋轉負 45 度可得 a2--2, 依此類推得 a2—3 ,
a2--4 , a2—5 , a2--6 , a2--7
重複上面的動作讓 am 以原點為軸旋轉負(180/(2 的 m 次方))
按一下 按一下 按一下
正八邊形 正 16 邊形

4. 度可得 an--1, 相同an--1以原點為軸旋轉負(180/(2 的m次方))
度可得 an--2 , 想同 an--3, an--4, an--5, an—6………
所以根據上面所得的結果 , 我們現在只要定義一個旋轉函
數 , 就能依上面所說的想法寫出程式了
我們知道 A = 是一旋轉矩陣
亦即讓
得到的 (x2 , y2) 是 (x , y) 以原點(0 , 0) 為
軸旋轉θ角 (圖 12)
但我們現在想做一個讓 (x , y) 可以 以任何
一點 (a , b) 為軸旋轉得到 (x2 , y2 ) 的函數
, 因為我們在下一主題也會用到此函數(圖
13)
所以我們就用 (x , y) 向量減掉 (a , b) 向量 , 得到 (x-a,y-b)
向量 , 再讓 (x-a,y-b) 以原點為軸旋轉θ角得到 (x3 , y3)
圖 12
圖 13

5. 亦即
再讓 (x3 , y3) 向量加上之前減掉的 (a , b) 向量 , 就可得
到我們所要的 (x2 , y2)
所以綜合以上所說的 , 就可以定義出一個旋轉函數 r ,如下
def r( v , u ,θ) ：
v=vector(v)
u=vector(u)
w=v-u
w=vector(w.x*cos(θ)-w.y*sin(θ),w.x*sin(θ)+w.y*cos(θ))
w=w+u
return (w.x,w.y)
v : 所要旋轉的那一點
u : v 這一點所要旋轉的軸心
θ :所要旋轉的角度
則我們就可以依上面所說的完成程式了