Ottimizzazione stocastica report

Nicola Spreghini, Andrea Cappozzo Caritas: simulazione del processo di distribuzione dei viveri.
1
CARITAS: SIMULAZIONE DEL PROCESSO DI DISTRIBUZIONE DEI VIVERI Introduzione. La Caritas Italiana è l'organismo pastorale della CEI (Conferenza Episcopale Italiana, l'unione permanente dei vescovi cattolici in Italia) che si prefigge come obiettivo la promozione della carità. È nata nel 1971 per volere di Paolo VI, ad opera di Giovanni Nervo, nello spirito del rinnovamento avviato dal Concilio Vaticano II. Ha prevalente funzione pedagogica, cioè tende a far crescere nelle persone, nelle famiglie, nelle comunità, il senso cristiano di solidarietà. Per perseguire il suo impegno di formazione e informazione, la Caritas Italiana ogni anno propone un programma articolato in corsi, convegni, seminari di studio e approfondimento. Tra le numerose attività svolte da questo organismo, risulta essere molto concreta e potenzialmente attuabile anche dalle piccole sedi parrocchiali la distribuzione dei viveri alle famiglie maggiormente bisognose. In particolare, l’attività primaria della comunità presa in esame in questo lavoro è proprio la distribuzione dei viveri. Un sabato ogni quindici giorni, alcune famiglie, munite di regolare tessera certificante lo stato economico, possono recarsi all’interno del centro adibito per ricevere aiuti materiali. A queste famiglie viene distribuita una certa quantità di beni alimentari, a seconda del numero dei componenti. Tale distribuzione è differenziata in due gruppi. Si creano, così, due code diverse gestite separatamente: una per le famiglie da 1-2 componenti, l’altra per quelle da 3 o più. Al primo gruppo sono destinate borse standard già preparate contenenti beni alimentari. Il servizio si limita, perciò, al timbro della tessera personale e alla consegna della suddetta borsa. Per le famiglie più numerose, invece, alla borsa standard vengono aggiunti ulteriori beni alimentari a seconda del numero dei componenti. La durata del servizio in questo caso tende ad essere maggiore, in quanto l’aggiunta dei prodotti extra richiede più tempo, poiché essi devono essere recuperati da un magazzino adiacente.
Ogni volta che viene attuata questa distribuzione dei viveri, vengono consegnate in media 55 borse ai nuclei familiari da 1-2 componenti e 80 a quelli composti da 3 o più individui, per un totale medio di 135 borse ogni due settimane.

2
Raccolta dei dati e presentazione del problema. Alle ore 9:00 del sabato mattina inizia la distribuzione dei viveri da parte dei volontari della Caritas per entrambi i gruppi familiari. Al fine di simulare questo sistema di code mediante il software AnyLogic, sono stati raccolti i tempi di arrivo e quelli di servizio degli individui nei due differenti gruppi. In seguito vengono presentati i dati raccolti, separatamente per i due raggruppamenti. Di seguito viene riportata la tabella per i dati raccolti relativi alle famiglie con 1-2 componenti.
Tempo di arrivo Famiglie 1-2 componenti
Tempo di servizio Famiglie 1-2 componenti (secondi)
Tempo di arrivo Famiglie 1-2 componenti
Tempo di servizio Famiglie 1-2 componenti (secondi)
08:32
32,7
09:36
20,9
08:32
28,5
09:38
19,4
08:36
21,8
09:40
23,9
08:41
27
09:42
27,5
08:45
25,4
09:42
26,1
08:47
37
09:45
19,9
08:50
26.3
09:47
22,7
08:50
24,6
09:47
23,6
08:51
26,6
09:49
25,9
08:53
21,2
09:50
30.5
08:54
34,5
09:52
33,3
08:55
31
09:56
24,0
08:57
22,4
09:56
27,4
08:58
23,6
09:56
29,2
08:58
34
09:58
27,6
08:59
23,9
09:58
25,1
08:59
18,7
10:00
31,9
08:59
32,5
10:01
35,6
09:00
26,4
10:05
25,5
09:00
24,1
10:07
31,7
09:00
26,4
10:17
29,2
09:14
22,8
10:18
32,3
09:17
24,6
10:19
24,3
09:21
20,4
10:22
31,5
09:22
31,4
10:22
24,7
09:25
26,1
10:28
28,8
09:34
20,4
10:32
29,2
Tabella 1: Tempi di arrivo e di servizio per le famiglie da 1-2 componenti.

3
Per determinare la distribuzione probabilistica che verosimilmente potrebbe aver generato
i valori dei tempi di servizio, è stata eseguita una suddivisione in classi di frequenze
assolute, visibile di seguito sottoforma di istogramma.
Figura 1:
Istogramma dei tempi di servizio in secondi suddivisi in classi di frequenze assolute, per le famiglie da 1-2 componenti.
La distribuzione ipotizzata in questo caso è una triangolare di parametri a=19, b=27 e
c=37. I parametri rappresentano rispettivamente il valore minimo, il valore più probabile e il
valore massimo assunti dai dati osservati. Per l’implementazione tramite il software
AnyLogic è stato utilizzato il “minuto” come unità di misura. I parametri corrispondenti della
distribuzione triangolare risultano quindi essere a=0.32, b=0.45 e c=0.62.
Di seguito, in Tabella 2, vengono riportati i dati raccolti relativi alle famiglie con 3+
componenti.
La distribuzione per questi tempi di servizio, caratterizzati da una maggiore variabilità
(Figura 2), viene ipotizzata Normale di parametri   44.5s (0.74 min) e  13s (0.22
min).
Al fine di rendere plausibile questa assunzione, è stato eseguito un test formale di
Shapiro-Wilk per la verifica della normalità della distribuzione dei dati. Tale test rifiuta
l’ipotesi nulla ad un livello del 5%. Tuttavia in questa distribuzione campionaria è presente
un valore anomalo (98.7), ripetendo quindi il test eliminando questo outlier, viene accettata
l’ipotesi di normalità ad un qualunque livello di significatività (p-value = 0.6336).

4
Tempo di arrivo Famiglie 3+ componenti
Tempo servizio Famiglie 3+ componenti (secondi)
Tempo di arrivo Famiglie 3+ componenti
Tempo servizio Famiglie 3+ componenti (secondi)
08:32
55,7
09:33
37,3
08:33
42,3
09:34
38
08:35
39,9
09:36
50,4
08:39
44,3
09:37
28,2
08:42
39,5
09:39
38,1
08:43
32,4
09:42
46,3
08:46
34,3
09:43
53,8
08:48
33,3
09:43
54,7
08:50
23,8
09:44
42,3
08:50
40,8
09:44
47,6
08:51
44
09:45
43,4
08:53
67,9
09:46
51,7
08:55
78,6
09:48
16,1
08:57
51,2
09:49
34,6
08:58
30,1
09:49
22,3
08:58
41
09:52
19,7
08:59
47,7
09:55
38,7
08:59
30,7
10:01
62,7
09:00
48,1
10:03
57,4
09:00
64,2
10:09
29,3
09:00
25,2
10:10
26,9
09:02
36,5
10:14
46,5
09:04
33
10:19
58,8
09:07
45,4
10:22
55,8
09:07
37,7
10:23
55,0
09:07
37,7
10:24
47,4
09:08
46
10:26
44,9
09:10
37,5
10:26
46,0
09:12
39,5
10:27
43,9
09:14
45
10:28
44,3
09:14
59,6
10:34
39,3
09:16
98,7
10:35
22,7
09:17
38,9
10:37
53,2
09:19
38,7
10:41
44,5
09:21
43,4
10:44
52,8
09:22
46,2
10:47
51,7
09:22
32,4
10:47
57,6
09:27
43,1
10:51
35,8
09:28
44,09
10:55
43,1
09:29
69,2
10:55
38,7
09:29
51,6
10:58
46,4
09:30
37,2
10:59
59,7
09:32
40,5
Tabella 2: Tempi di arrivo e di servizio per le famiglie da 3+ componenti.

5
Figura 2:
Istogramma dei tempi di servizio in secondi suddivisi in classi di frequenze assolute, per le famiglie da 3+ componenti.
Per quanto riguarda i tempi di interarrivo, si è ipotizzato che si distribuiscano
esponenzialmente con tasso di arrivo differenti a seconda dei due gruppi.
Per quanto riguarda le famiglie composte da 1-2 componenti, sopraggiungono nella coda
54 individui e il tempo di arrivo totale misurato è di 2 ore (120 minuti). Il tempo medio di
interarrivo viene calcolato dividendo il tempo totale di arrivo per il numero totale delle
persone:
2.22min
54
120min
_ 1 2    arrivi
tempo medio .
Questo vuol dire che il tasso medio di arrivo, che è l’inverso del precedente tempo medio
calcolato, è 0.45 /min 1 2  arrivi   .
Per le famiglie composte da 3+ componenti, invece, il numero totale di arrivi registrato
nella coda è pari a 85, in un intervallo di tempo di 2 ore e 27 minuti (147 minuti).
Analogamente a quanto eseguito in precedenza per l’altro gruppo,
1.73min
85
147min
_ 3    arrivi
tempo medio ,
con tasso di arrivo 0.58 /min 3  arrivi   .
Utilizzando la notazione di Kendall, le code prese in analisi in questo studio sono del tipo
M/G/1, con capacità infinita.

6
Data
N° borse consegnate
N° persone aiutate
N° borse consegnate e componenti della famiglia
1 pers.
2 pers.
3 pers.
4 pers.
5 pers.
6 pers.
7 pers.
8 pers. Totale 1-2 Totale 3+
21/07/2012
130
344
55
15
21
20
11
6
1
1 70 60
15/09/2012
110
322
33
18
18
18
14
7
2
0 51 59
06/10/2012
131
394
28
28
24
26
15
7
3
0 56 75
20/10/2012
141
440
35
23
23
26
23
7
4
0 58 83
03/11/2012
153
477
38
29
22
29
19
9
7
0 67 86
17/11/2012
143
486
24
28
24
28
21
10
8
0 52 91
15/12/2012
147
455
32
32
26
24
17
10
6
0 64 83
01/12/2012
154
504
29
31
25
34
21
9
5
0 60 94
05/01/2013
116
392
16
25
21
29
11
8
6
0 41 75
19/01/2013
159
542
28
25
29
37
20
11
9
0 53 106
03/02/2013
152
488
43
13
24
37
19
9
7
0 56 96
16/02/2013
154
480
40
28
23
27
19
9
8
0 68 86
02/03/2013
143
454
30
29
26
27
15
9
7
0 59 84
16/03/2013
143
459
28
29
27
30
15
4
10
0 57 86
06/04/2013
98
322
20
21
13
19
14
4
7
0 41 57
20/04/2013
123
403
26
22
18
28
16
6
7
0 48 75
04/05/2013
135
444
28
25
19
31
17
7
6
2 53 82
17/05/2013
120
414
18
20
27
31
10
4
8
2 38 82
01/06/2013
125
430
17
23
24
30
17
9
4
1 40 85
15/06/2013
139
442
28
26
26
31
15
7
5
1 54 85
Media 1-2:
Media 3+:
54,3
81,5
Tabella 3: Numero di borse consegnate per famiglia da Luglio 2012 a Giugno 2013. Implementazione del modello concettuale con AnyLogic. Il fenomeno reale sopra descritto è adatto ad essere implementato utilizzando il software AnyLogic, tramite l'utilizzo della simulazione ad eventi discreti. Ai fini della simulazione, utilizzando i dati presenti in Tabella 3, si ipotizza che il numero di arrivi sia deterministico e fissato pari a 55 per il gruppo delle famiglie con 1-2 componenti e pari a 80 per quello composto da famiglie 3+. Tale approssimazione non influenza i risultati ottenuti, poiché mediamente rispecchia la situazione reale. Si è osservato che le persone, indistintamente per ciascuno dei due gruppi, iniziano ad arrivare nel sistema alle ore 08:32, mentre il servizio di distribuzione dei viveri comincia alle ore 09:00. Si registra così per la prima mezz’ora soltanto un accumulo di individui nelle due code, a seconda del gruppo di riferimento, senza che essi possano essere processati.

7
Nella Figura 3 è visibile un esempio di tale situazione. Si è bloccata la simulazione esattamente a 0.5 min prima dell’apertura del processo. Si nota che nella coda del gruppo da 1-2 componenti sono presenti 15 persone, mentre nel gruppo da 3+ componenti 19. Figura 3: Situazione delle due code poco prima dell’apertura del servizio. All’apertura del servizio alle ore 09:00 le persone inizieranno ad essere processate nelle due linee. Nella Figura 4 è possibile vedere la situazione finale al termine della simulazione: degna di nota risulta essere la differenza dei tempi di fine servizio delle due code. Come era facilmente prevedibile, il gruppo delle famiglie da 3+ componenti impiega circa 47 minuti in più ad essere processato totalmente rispetto all’altro (tali risultati sono confermati anche da ulteriori simulazioni).
Figura 4: Situazione delle due code al tempo di esaurimento del servizio.

8
Analizzando nei dettagli la situazione nella coda formata da famiglie da 1-2 componenti, si nota che in media ci sono 2 persone all’interno della stessa. Il valore minimo 0 indica che almeno un individuo verrà processato senza dover spendere del tempo in attesa. Infine, il valore massimo è necessariamente raggiunto in corrispondenza del momento in cui viene aperto il servizio. Infatti, come si è visto da varie simulazioni, alle ore 09:00 ci sarà un accumulo notevole di persone in attesa di essere processate. Figura 5: Range e valore medio della numerosità della coda per le famiglie da 1-2 componenti. Osservando i tempi di attesa e il tempo totale trascorso nel sistema (Figura 6), si nota che circa il 70% degli individui trascorre un tempo quasi pari a zero in coda e, in generale, all’interno del sistema stesso. Il sistema sembrerebbe essere quindi molto efficiente nel processare le famiglie con 1-2 componenti. Figura 6: Istogrammi dei tempi di attesa e tempi totali nel sistema per le famiglie da 1-2 componenti.

9
Passando ad analizzare la situazione nel gruppo delle famiglie da 3+ componenti, è visibile anche in questo caso che il valore minimo della coda è pari a zero. Analogamente al caso precedente, i valori massimi sono registrati in corrispondenza del momento di apertura del sistema; tuttavia in questo caso essi risultano essere sistematicamente più elevati. Stessa cosa può essere affermata per quanto riguarda il valore medio (Figura 7). Figura 7: Range e valore medio della numerosità della coda per le famiglie da 3+ componenti. Esaminando i tempi di attesa e quelli trascorsi nel sistema (Figura 8), anche in questo caso si nota che la maggior parte degli individui (poco più del 40%) non dovranno attendere del tempo in attesa di essere serviti. Tuttavia a differenza del caso precedente, i tempi trascorsi nel sistema per le famiglie da 3+ componenti risultano essere più elevati e con variabilità maggiore. Figura 8: Istogrammi dei tempi di attesa e tempi totali nel sistema per le famiglie da 3+ componenti.

10
Osservando il confronto tra i tassi di utilizzo dei serventi nelle due differenti code, si nota che il tasso di utilizzo per le famiglie da 3+ componenti risulta maggiore di quello per le famiglie da 1-2 (Figura 9). È interessante notare che tali tassi non sono calcolati al netto della mezz’ora iniziale, durante la quale si verificano soltanto accumuli nelle code, senza possibilità di servizio degli individui. Figura 9: Confronto dei tassi di utilizzo dei serventi dei due gruppi. In seguito all’osservazione e alla simulazione più volte ripetuta del fenomeno, risulta evidente che la coda per i nuclei familiari di 1-2 componenti si esaurisce molto prima rispetto a quella in cui vengono serviti i nuclei con maggior numero di componenti. Ciò comporta un elevato “idle time” per i serventi della coda da 1-2 componenti. Infatti, quando gli operatori di questo gruppo terminano la loro mansione, gli addetti alla distribuzione dei viveri per l’altro gruppo rimarranno attivi fino ad esaurimento della coda stessa.
Figura 10 : Situazione delle due code al tempo di esaurimento del servizio per le famiglie da 1-2 componenti.

11
Per questo modello è stata anche realizzata un’animazione attraverso la funzione Presentation di AnyLogic, con la quale viene rappresentato in veste grafica il modello sopra descritto. La Figura 11 mostra una situazione tipica visibile durante la simulazione: la coda 1-2 è vuota e il servente ad essa associato è in stato “idle” (colore verde) mentre nella coda 3+ sono presenti diverse persone in attesa di essere servite. Figura 11 : Animazione del modello rappresentante un momento del processo di distribuzione dei viveri. Implementazione di un modello teorico come possibile soluzione al problema. Al fine di ridurre il tempo di servizio totale del sistema si ipotizza un cambiamento nella gestione del processo di consegna degli alimenti. In particolare, si andrà a simulare un modello nel quale gli operatori della coda del gruppo da 1-2 componenti, quando verranno a trovarsi in uno stato “idle”, potranno servire le famiglie più numerose ed aiutare quindi i loro colleghi velocizzando verosimilmente il processo di distribuzione dei viveri. Per sviluppare tale scenario tramite il software AnyLogic, si è dovuta modificare la coda relativa al gruppo di famiglie con 3+ componenti, mentre si è mantenuta invariata quella relativa al gruppo 1-2 (Figura 12).

12
Nella coda modificata si è aggiunto un altro delay (delay3epiù_1e2), necessario a simulare la situazione nella quale entrambi i serventi processano le persone relative alle famiglie con 3+ componenti (capacità di delay3epiù_1e2 = 2). Tale delay si attiva, in alternativa all’originale, unicamente nel caso in cui non ci sia alcun individuo in attesa o in fase di processo nella coda parallela delle famiglie 1-2 componenti. È stato quindi necessario introdurre un selectOutput per indirizzare le persone nel corretto delay. Infine, attraverso l’utilizzo degli objects “hold” sì è bloccato il flusso delle entità, in modo da simulare correttamente il processo precedentemente descritto. In particolare, il selectOutput indirizzerà le entità nel delay3epiù quando anche i serventi della coda da 1-2 componenti sono occupati, mentre le indirizzerà nel delay3epiù_1e2 nel caso in cui queue1e2 e delay1e2 risultino vuoti. Figura 12 : Prospetto del modello teorico al termine della simulazione. Passando ad analizzare alcune statistiche descrittive ottenute dalla simulazione del modello ipotizzato (Figura 13 ), è possibile osservare che i valori medi delle due code differenziano di poco tra loro. A differenza della situazione iniziale (analizzata in precedenza nelle Figure 5 e 7), il valore medio delle persone presenti all’interno della coda 3+ componenti è minore. Tale risultato viene osservato in tutte le simulazioni effettuate per mezzo del software AnyLogic; al contrario la diminuzione del valore medio della coda 1-2 componenti (che si nota in questo caso dal confronto con la Figura 5) non è sistematica, ma dipende dalla natura probabilistica del fenomeno simulato. Nei valori minimi (sempre pari a 0) e massimi non si riscontrano, invece, differenze indicative nel confronto tra i due modelli simulati.

13
Figura 13: Valori minimi, medi e massimi delle due diverse code nel modello teorico ipotizzato. Osservando la sottostante Figura 14 e confrontandola con la Figura 6, si nota che la percentuale di utenti che aspetta un tempo praticamente nullo per essere servita è di poco diminuita. Ciò è verosimile poiché, in questo modello ipotizzato, il servente della coda 1-2, quando è in stato “idle”, si occupa degli individui della coda 3+. Per questo motivo, può accadere che nuovi individui che sopraggiungono nella coda 1-2 debbano attendere il tempo necessario al servente affinché completi il servizio dell’individuo della coda 3+. Inoltre, questo spiega la presenza di alcuni picchi nell’istogramma dei tempi di attesa del modello ipotizzato, non presenti in quello che simula l’attuale situazione dell’ufficio Caritas.

14
Figura 14: Istogrammi dei tempi di attesa e tempi totali nel sistema per le famiglie da 1-2 componenti per il modello ipotizzato. Un’analisi grafica dei tempi di attesa e di quelli all’interno del sistema della coda 3+ è visibile nella Figura 15 . Confrontando i risultati ottenuti con quelli di Figura 8, riguardante la situazione reale, si nota che è aumentata notevolmente la percentuale delle persone che attendono in coda un tempo prossimo allo zero ed è diminuito sistematicamente il tempo medio atteso in coda dai componenti delle famiglie più numerose. Notevole è anche la diminuzione del tempo totale nel sistema: non si evidenziano, infatti, più i picchi che caratterizzavano la distribuzione di tale tempo nel caso del modello iniziale. Di conseguenza è aumentato il numero degli individui che attraversano il sistema in un tempo vicino allo zero, passando da circa un 25% ad un quasi 60%.
Figura 15: Istogrammi dei tempi di attesa e tempi totali nel sistema per le famiglie da 3+ componenti per il modello ipotizzato.

15
Nella Figura 16 sono messi a confronto i tempi medi trascorsi nel sistema dalle persone nelle due tipologie di code dei due differenti modelli. Nel grafico a destra, relativo al nuovo modello ipotizzato, si nota come i due tempi medi sono pressoché identici. Ciò non vale per il modello iniziale (grafico a sinistra), nel quale il tempo medio che gli individui trascorrono all’interno del sistema è nettamente maggiore per il gruppo da 3+ componenti rispetto a quello da 1-2. I livelli dei tempi medi presenti nel grafico di destra indicano che la soluzione di impiegare il servente momentaneamente libero del sistema 1-2, per processare le persone appartenenti alla coda parallela, potrebbe risultare efficace al fine di diminuire il tempo totale trascorso nel sistema dalle persone del gruppo 3+ componenti. Si nota inoltre, mediante tale modello, un livellamento dei tempi trascorsi dalle persone nei due sistemi. Ciò accade perché nel modello ipotizzato il servente 1-2 ha un tasso di utilizzo più elevato rispetto alla situazione iniziale, nella quale egli si trova a terminare il proprio lavoro molto prima che la coda 3+ venga processata completamente. Figura 16 : Tempi medi all’interno dei sistemi per i due gruppi nei due modelli.

16
Conclusioni. In questo lavoro sono stati utilizzati dei modelli di simulazione per cercare di rappresentare in modo efficace quel che avviene nella realtà, nel tentativo di comprenderne la complessità. La possibilità di impiegare il servente della coda 1-2, in aiuto al collega della coda 3+, permette al gruppo dei volontari di terminare molto prima la distribuzione dei viveri. Tale soluzione implica un esaurimento delle due code più rapido di quello attuale, con conseguente miglioramento del livello del servizio offerto dalla Caritas. Simulare il funzionamento di un fenomeno reale comporta in ogni caso una semplificazione dello stesso. Con il modello teorico ipotizzato si è ottenuta una soluzione che sembrerebbe efficiente, tuttavia la sua effettiva validità dovrà essere accuratamente valutata e accertata tramite esperienza empirica. I risultati ottenuti dimostrano come sia possibile attuare una metodologia basata su un certo rigore scientifico anche ad un ambito, quale quello del volontariato, dove l’ottimizzazione del processo non è certamente una priorità, per cercare di migliorarne la performance.

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