1. ‫הסתברותיות‬ ‫שיטות‬
'‫מס‬ ‫תרגול‬12.
10.06.2006
.‫דוגמאות‬ – ‫הסתברותיות‬ ‫שיטות‬
.‫צרנוב‬ ‫שוויון‬ ‫אי‬
.‫מבוא‬ – ‫גרפים‬ ‫על‬ ‫אקראיות‬ ‫הליכות‬
1..‫גרפים‬ ‫על‬ ‫אקראיות‬ ‫הליכות‬
1.‫יהי‬),( EVG‫גרף‬‫קשיר‬‫לא‬‫מכוון‬.‫הילוך‬‫אקראי‬‫על‬G,‫המתחיל‬
‫מצומת‬Vs ∈‫הינו‬‫תהליך‬‫סטוכסטי‬‫הבא‬:
u=s
repeat for T steps
choose a neighbor v of u (uniform,independent)
u=v
‫הערה‬:‫בהינתן‬G,‫קל‬‫מאוד‬‫לממש‬‫את‬‫האלגוריתם‬‫במחשב‬.
2.‫הגדרה‬:
vuH ,-‫תוחלת‬‫מספר‬‫צעדים‬‫עד‬‫שנגיע‬‫לצומת‬v‫כאשר‬‫יצאנו‬
‫מצומת‬u.
‫את‬ ‫מחשבית‬ ‫כלל‬ ‫בדרך‬vuH ,.‫השלמה‬ ‫תוחלת‬ ‫נוסחת‬ ‫בעזרת‬

3. 3.‫הגדרה‬:
uC‫תוחלת‬ -‫מספר‬‫צעדים‬‫עד‬‫שנבקר‬‫בכל‬‫צומת‬‫ב‬-G‫כאשר‬
‫יצאנו‬-‫מ‬u.
4.‫הגדרה‬:
uVuG CC ∈=max‫זמן‬‫כיסוי‬‫של‬G.
5..‫הישר‬ ‫על‬ ‫אקראיות‬ ‫הליכות‬
i..‫הישר‬ ‫על‬ ‫אקראיות‬ ‫הליכות‬ ‫על‬ ‫נדבר‬ ‫השיער‬ ‫בהמשך‬
6.:‫תרגיל‬
:‫הבא‬ ‫במשחק‬ ‫משחקים‬ ‫ומשה‬ ‫אבי‬

4. ‫שקל‬ ‫למשה‬ ‫משלם‬ ‫אבי‬ ,‫ראש‬ ‫יוצא‬ ‫אם‬ .‫סימטרי‬ ‫מטבע‬ ‫מטילים‬ ‫הם‬
.‫שקל‬ ‫לאבי‬ ‫משלם‬ ‫משה‬ ‫אחרת‬ ,‫אחד‬
‫יש‬ ‫למשה‬ ‫המשחק‬ ‫בתחילת‬A‫ולאבי‬ ‫שקלים‬B‫משחקים‬ ‫הם‬ .‫שקלים‬
.‫הכסף‬ ‫כל‬ ‫יפסיד‬ ‫מהם‬ ‫שאחד‬ ‫עד‬
‫נסמן‬X‫יש‬ ‫למשה‬ ‫המשחק‬ ‫בסוף‬ –A+B.‫שקלים‬
Y‫יש‬ ‫לאבי‬ ‫המשחק‬ ‫בסוף‬ –A+B.‫שקלים‬
:‫מצא‬)(),( YPXP.
:‫פתרון‬
‫עם‬ ‫המשחק‬ ‫את‬ ‫יסיים‬ ‫שמשה‬ ‫הסתברות‬ ‫את‬ ‫נסמן‬A+B,‫שקלים‬
‫עם‬ ‫מתחיל‬ ‫הוא‬ ‫כאשר‬N-‫כ‬ ‫שקלים‬NP
:‫אזי‬APXP =)(.
:‫נקבל‬ ‫השלמה‬ ‫הסתברות‬ ‫בנוסחת‬ ‫שימוש‬ '"‫ע‬
11
2
1
2
1
)1,...(3,2,1 +− +=−+=∀ NNN PPPBAN
-‫ש‬ ‫לראות‬ ‫קל‬01 0 ==+ PP BA
11
112
−+
+−
−=−
+=
NNNN
nNN
PPPP
PPP
: ‫קבוע‬ ‫הפרש‬ ‫נסמן‬NN PPd −= +!.
:‫נקבל‬ ‫ואז‬
BA
A
BA
N
BA
BAd
P
PP
PP
PP
PP
N
N
NN
NN
+
−−
−
1
)(1
_____
0
01
21
1
7.:‫תרגיל‬
:‫הבא‬ ‫במשחק‬ ‫משחקים‬ ‫ומשה‬ ‫אבי‬
,‫אחד‬ ‫שקל‬ ‫למשה‬ ‫משלם‬ ‫אבי‬ ,‫ראש‬ ‫יוצא‬ ‫אם‬ .‫סימטרי‬ ‫מטבע‬ ‫מטילים‬ ‫הם‬
.‫שקל‬ ‫לאבי‬ ‫משלם‬ ‫משה‬ ‫אחרת‬

5. ‫יש‬ ‫למשה‬ ‫המשחק‬ ‫בתחילת‬a‫ולאבי‬ ‫שקלים‬b‫עד‬ ‫משחקים‬ ‫הם‬ .‫שקלים‬
.‫הכסף‬ ‫כל‬ ‫יפסיד‬ ‫מהם‬ ‫שאחד‬
-‫ב‬ ‫נסמן‬baT ,.‫המשחק‬ ‫אורך‬ –
‫את‬ ‫א(חשב‬baET ,.
‫את‬ ‫הערך‬ (‫ב‬))(( 2
, abTP ba >
:‫פתרון‬
:‫השלמה‬ ‫תוחלת‬ ‫נוסחת‬ ‫לפי‬ (‫א‬
0
,...2,1)1(
2
1
)1(
2
1
0,,0
1,11,1,
==
+=+++=
++
−++−
baba
bababa
ETET
baaETETET
:‫נקבל‬ ‫המשוואות‬ ‫המערכת‬ ‫את‬ ‫נפתור‬ ‫כאשר‬abET ba =,
‫לאבי‬ ‫למשל‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬10‫ולמשה‬ ‫שקלים‬100‫הם‬ ‫אזי‬ ‫שקלים‬
‫בממוצע‬ ‫לשחק‬ ‫יצטרכו‬1000.‫פעמים‬
:‫מרקוב‬ ‫ביא-שוויון‬ ‫נשתמש‬ (‫ב‬
ab
ababTPabTP baba
1
)))((())(( ,
2
, ≤≥=≥
8.:‫תרגיל‬
‫שחקנים‬ ‫שני‬:‫הבא‬ ‫במשחק‬ ‫משחקים‬
,‫"עץ‬ :‫הרצפים‬ ‫משתי‬ ‫אחד‬ ‫נקבל‬ ‫ראשונה‬ ‫שבפעם‬ ‫עד‬ ‫הוגן‬ ‫מטבע‬ ‫מטילים‬
."‫פלי‬ ‫"פלי‬ ‫או‬ "‫פלי‬
‫מנצח‬ ‫אחרת‬ ,"‫פלי‬ ‫"עץ‬ ‫ברצף‬ ‫מסתתים‬ ‫משחק‬ ‫אם‬ ,‫מנצח‬ ‫ראשון‬ ‫שחקן‬
.‫שני‬ ‫שחקן‬
-‫ב‬ ‫נסמן‬A.‫מנצח‬ ‫ראשון‬ ‫–שחקן‬
‫מצא‬)(AP.