Стандарт олимпиад

1. Ñýëýíãý àéìãèéí "ÁÈËÈÃ-ÄÁ"ñóðãóóëèéí íýðýìæèò á³ñèéí ìàòåìàòèêèéí XI-ð îëèìïèàäûí
8-ð àíãèä äýâøèãäñýí áîäëîãóóäûã áîäîëòûí õàìò õ³ðãýæ áàéíà.
Çóðàã 1: Äýâøèãäñýí áîäëîãóóä
ÁÎÄÎËÒ:
1-ð áîäëîãûí áîäîëò:
1.
2y − 1
y2 − 25
−
y − 5
2y2 + 9y − 5
=
2y − 1
(y − 5)(y + 5)
−
y − 5
(2y − 1)(y + 5)
=
4y2
− 4y + 1 − y2
+ 10y − 25
(2y − 1)(y − 5)(y + 5)
=
=
3y2
+ 6y − 24
(2y − 1)(y − 5)(y + 5)
=
3(y + 4)(y − 2)
(2y − 1)(y − 5)(y + 5)
;
2.
3y + 12
25 − y2
:
3(y + 4)(y − 2)
(2y − 1)(y − 5)(y + 5)
=
3(y + 4)
−(y − 5)(y + 5)
·
(2y − 1)(y − 5)(y + 5)
3(y + 4)(y − 2)
=
=
2y − 1
−(y − 2)
=
2y − 1
2 − y
;
3.
2y − 1
2 − y
−
3
2 − y
=
2y − 4
2 − y
=
−2(2 − y)
(2 − y)
= −2; òóë õóâüñàã÷ y-èéí óòãààñ õàìààðàõã³é.
2-ð áîäëîãûí áîäîëò:
ax + 9 > 3x + a2
⇒ ax − 3x > a2
− 9 ⇒ x(a − 3) > (a − 3)(a + 3) ⇒ x >
(a − 3)(a + 3)
a − 3
⇒ x > a + 3;
3-ð áîäëîãûí áîäîëò:
Òîì ñàâàíä áàéñàí óñíû õýìæýýã-x, æèæèã ñàâàíä áàéñàí óñíû õýìæýýã-y ãýæ òýìäýãëýå. Ìýäýýæ
ñàâíóóä ä³³ðýí áèø áàéñàí íü îéëãîìæòîé. Òîì ñàâàíä áàéãàà óñàí äýýð æèæèã ñàâòàé óñíû
5
6
-èéã
õèéõýä òîì ñàâ ä³³ðíý ãýñýí ³ã. Ì°í æèæèã ñàâòàé óñàí äýýð òîì ñàâàíä áàéñàí óñíû
5
12
-èéã õèéõýä

2. æèæèã ñàâ ä³³ðíý. Ýäãýýðèéã 2 õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåì áîëãîí áè÷âýë äàðààõ
áàéäàëòàé áîëíî.



x +
5y
6
= 146
y +
5x
12
= 100
Èæèë õóâààðü °ã÷ õóâààðèàñ ÷°ë°°ëá°ë:
6x + 5y = 876 · (−5)
12y + 5x = 1200 · (6)
⇒
−30x − 25y = −4380
30x + 72y = 7200
Ýäãýýðèéã õîîðîíä íü íýìáýë 47y = 2820 ⇒ y = 60; x = 96 áóþó òîì ñàâàíä
96 ëèòð, æèæèã ñàâàíä 60 ëèòð óñ áàéæýý.
4-ð áîäëîãûí áîäîëò:
5-ð áîäëîãûí áîäîëò:
98 = x3
+ y3
= (x + y)(x2
− xy + y2
) ⇒ (x + y)((x + y)2
− 3xy) ãýæ áè÷èæ áîëíî. y = 2 − x òóë
98 = (x + 2 − x)((x + 2 − x)2
− 3x(2 − x)) ⇔ 98 = 2 · (4 − 6x + 3x2
) ⇔ 49 = 4 − 6x + 3x2
⇒
⇒ 3x2
− 6x − 45 = 0 ⇒ x2
− 3x − 15 = 0 Ýíä á³òýí êâàäðàò ÿëãàâàë
(x − 1)2
− 42
= (x − 5)(x + 3) ⇒ x = 5; x = −3 áîëíî. x = 5 ³åä y = −3 x = −3 ³åä y = 5
òóë áèäíèé îëîõ óòãà: x2
+ y2
= 25 + (−3)2
= 25 + 9 = 34 áîëíî.
2