1. Vrz osnova na ~len 55 stav 1 od Zakonot za organizacija i rabota na organite na dr`avnata uprava (,,Slu`ben vesnik na Republika
Makedonija” br. 58/00, 44/02, 82/08, 167/10 i 51/11) i ~len 25 stav 2 od Zakonot za osnovno obrazovanie (,,Slu`ben vesnik na Republika
Makedonija” br. 103/08, 33/10, 116/10, 156/10, 18/11, 51/11, 6/12, 100/12 и 24/13) ministerot za obrazovanie i nauka ja utvrdi nastavnata programa po
predmetot matematika za VIII oddelenie na osumgodi{noto osnovno obrazovanie, odnosno IX oddelenie na devetgodi{noto osnovno
obrazovanie.

2. 1
MINISTERSTVOZAOBRAZOVANIEINAUKA
BIROZARAZVOJNAOBRAZOVANIETO
Skopje, јуни 2013 godina
MATEMATIKA
OSNOVNO OBRAZOVANIE
NASTAVNA
PROGRAMA

3. 2
ZABELE[KA:
Soglasno dinamikata za voveduvawe na devetgodi{noto osnovno vospitanie i obrazovanie, nastavnata programa za u~enicite vo
VIIIVIIIVIIIVIII oddelenie na osumgodi{noto osnovno u~ili{te od u~ebnata 2014/15 godina e ekvivalentna na nastavnata programa za IXIXIXIX oddelenie
na devetgodi{noto osnovno u~ili{te.
1. VOVED
Matematikata e eden od temelnite zadol`itelni nastavni predmeti vo osnovnoto u~ili{te. U~enikot }e stekne znaewa i sposobnosti
koi se bitni za uspe{no vklu~uvawe na povisokite stepeni vo obrazovanieto. Poimite {to se obrabotuvaat vo nastavnata programa se
soodvetni na razvojnite karakteristiki na u~enicite, a isto taka se vo korelacija so drugi srodni predmeti.
So realizacija na nastavnite sodr`ini i drugite vidovi aktivnosti vo nastavata po predmetot matematika se postignuvaat obrazovni,
informaciski, funkcionalni i vospitni celi. Pritoa, vo nastavata po matematika se usvojuvaat osnovni i izvedeni matemati~ki poimi,
postapki, pravila i zakonitosti, se razvivaat razni oblici na mislewe, so {to kaj u~enikot se razvivaat sposobnosti za tvore~ka
aktivnost, formalni znaewa i ve{tini, kako i sposobnosti da gi primenuva matemati~kite znaewa i ve{tini vo sekojdnevniot `ivot.
Vo nastavata po matematika kaj u~enikot se pottiknuva inovativnoto razmisluvawe i pretpriema~kiot duh. Pokonkretno, se
ovozmo`uva jaknewe na samodoverbata na u~enikot, razvivawe na upornost, inicijativnost, odgovornost i preciznost vo rabotata,
neguvawe na rabotnite naviki, orientirawe vo prostorot i vremeto.
Zna~eweto na ovoj nastaven predmet e i vo razvivaweto na mislovnite procesi, pokonkretno: na sposobnostite za analiza, sinteza,
apstrahirawe i voop{tuvawe, kako i vo re{avaweto na problemi i voveduvaweto vo istra`uva~ki postapki.
So nastavniot plan za devetgodi{noto osnovno obrazovanie za predmetot matematika vo IX oddelenie se predvideni 144 ~asa godi{no,
odnosno 4 ~asa nedelno.
2. CELI NA NASTAVATA VO IX ODDELENIE
U~enikot/u~eni~kata:
• da ja razbere proporcionalnosta na otse~kite, Talesovata teorema za proporcionalni otse~ki i drugite svojstva i da gi primenuva
pri re{avawe zada~i;
• da go objasnuva i primenuva poimot sli~nost na triagolnici i da ja obrazlo`uva to~nosta na tvrdewata za odnosot na
perimetrite i plo{tinite na sli~ni triagolnici;
• da ja doka`uva i da ja primenuva Pitagorovata teorema vo zada~i i prakti~ni primeri;
• da gi sfati poimite ravenstvo, identitet, ravenka, neravenstvo i neravenka;

4. 3
• da re{ava linearni ravenki i neravenki i na razni na~ini da gi pretstavuva re{enijata;
• da go razbira poimot linearna funkcija, grafi~ki da ja pretstavuva i da gi ispituva nejzinite svojstva;
• da re{ava sistem linearni ravenki so dve nepoznati so metodite za re{avawe (grafi~ki, metod na zamena i metod na
sprotivni koeficienti);
• da ja voo~uva zavisnosta me|u poznatite i nepoznatite veli~ini i da re{ava zada~i (problemi) od sekojdnevniot `ivot;
• da stekne prostorni pretstavi za me|usebniot odnos i polo`ba na to~ka, prava i ramnina vo prostorot i grafi~ki da gi pretstavuva;
• da vr{i ortogonalno proektirawe na to~ka, prava, otse~ka i triagolnik;
• da gi razbira poimite za geometriskite tela (prizma, piramida, cilindar, konus i topka) i zaemnite vrski me|u nivnite
elementi;
• da stekne prostorni pretstavi preku izrabotka na mre`i i modeli na geometriski tela i da gi primenuva pri izveduvaweto
na formulite za plo{tina i volumen na geometriskite tela;
• da gi primenuva formulite za plo{tina i volumen na geometriskite tela vo prakti~ni zada~i;
• da gi razbira i koristi razli~nite metodi i instrumenti za pribirawe, sreduvawe i na~ini za pretstavuvawe podatoci;
• da presmetuva i primenuva razli~ni merki na sredni vrednosti za verifikacija na pretpostavki, donesuvawe zaklu~oci i
voop{tuvawe;
• da re{ava problemski situaciski zada~i;
• da istra`uva, selektira i analizira podatoci;
• da go razbira zna~eweto na rabotata vo grupa i da bide aktiven i konstruktiven u~esnik vo timskata rabota;
• da razviva ~uvstvo za samokriti~nost;
• da razviva pretpriema~ki duh i ~ustvo za inicijativnost i inovativnost;
• da razviva prezentaciski ve{tini.
NASTAVNI TEMI
1. SLI^NOST NA TRIAGOLNICI (30 ~asa)
2. LINEARNA RAVENKA I LINEARNA NERAVENKA. LINEARNA FUNKCIJA (35 ~asa)
3. SISTEMI LINEARNI RAVENKI (25 ~asa)
4. GEOMETRISKI TELA (40 ~asa)
5. RABOTA SO PODATOCI (14 ~asa)

5. 4
Bα β
A
C
A1
B1
C1
α1
β1
F
F1
A
D
B
C
O
ba
3. OBRAZOVNI BARAWA, SODR@INI, POIMI, AKTIVNOSTI
Tema 1: SLI^NOST NA TRIAGOLNICI (30 ~asa)
Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti
U~enikot/u~eni~kata:
da prepoznava, imenuva i odreduva
razmer na dva broja;
da razlikuva i zapi{uva ednakvi razme-
ri, obraten razmer i prodol`en razmer;
da odreduva vrednost na razmer;
da odreduva nepoznat ~len vo razmer;
da formira proporcija od dva ednakvi
razmeri;
da odreduva nepoznat ~len vo proporcija
da odreduva geometriska sredina na dve
otse~ki;
da deli otse~ka na ednakvi delovi i vo
daden odnos;
da ja iska`uva Talesovata teorema za
proporcionalni otse~ki;
da ja koristi Talesovata teorema za
odreduvawe ~etvrta geometriska
proporcionala;
da ja primenuva Talesovata teorema pri
re{avawe na prakti~ni zada~i od
sekojdnevniot `ivot;
da iska`uva koi triagolnici se sli~ni;
da vospostavuva soodvetstva me|u
temiwata na dva triagolnika;
da zaklu~uva koi se dovolni uslovi za
sli~nost na dva triagolnika;
da utvrduva sli~nost na dva triagolnika
spored nekoj priznak;
da gi primenuva priznacite za sli~ni
PROPORCIONALNI
OTSE^KI
• Razmer me|u dve
otse~ki
• Proporcionalni
otse~ki
• Delewe otse~ka na
ednakvi delovi
• Talesova teorema za
proporcionalni
otse~ki
• Zada~i so primena na
Talesovata teorema
o Razmer me|u
dve otse~ki
o Proporcio-
nalni otse~ki
o Geometriska
sredina
Razmer na otse~kite AB = 3 cm i CD =
5 cm e brojot 0,6, t.e. 3 cm : 5 cm = 3:5 = 0,6
Proporcionalni se otse~kite:
AB = 1,5 cm, CD = 6 cm, MN =12 cm, PQ = 48
cm. Za niv va`i: 48 : 6 = 12 : 1,5 = 8 .
Na crte`ot a b
Za otse~kite: ,,OBOA
,,ODOC va`i Taleso-
vata teorema za propor-
cionalni otse~ki, t.e.
OB:OA = OD:OC = AC:BD .
Geometriska sredina x za broevite 5 i
20 e brojot 10, t.e. x = 10205 =⋅ .
Primer: Visinata kon hipotenuzatana
pravoagolentriagolnik,
e geometriska sredina na
otse~ocite (на цртежот: p
i q) {to taa gi pravi na
hipotenuzata, t.e.
h = qp ⋅ .
.
Priznak AA
∆ABC≅∆A1B1C1 ako
∠CAB = ∠C1A1B1 = α и
∠ABC = ∠A1B1C1 =β
p q
h
Figurite F i F1
se sli~ni

6. 5
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
α
α
C1
triagolnici vo zada~i od praktikata;
da go iska`uva tvrdeweto za odnosot na
perimetrite i stranite na sli~ni
triagolnici;
da gi primenuva tvrdewata za odnosite
na soodvetnite elementi na sli~ni
triagolnici vo prakti~ni i drugi zada~i;
da go iska`uva tvrdeweto za odnosot na
plo{tinite na sli~ni triagolnici;
da go primenuva vo prakti~ni zada~i
tvrdeweto za odnosot na plo{tinite na
sli~ni triagolnici.
da gi iska`uva i doka`uva Evklidovite
teoremi;
da gi primenuva Evklidovite teoremi vo
re{avawe zada~i
da ja iska`uva Pitagorovata teorema;
da ja presmetuva dol`inata na edna od
stranite na pravoagolen triagolnik
preku drugite dve;
da ja primenuva Pitagorovata teorema
vo ednostavni zada~i kaj ramninski
geometriski figuri;
da ja primenuva Pitagorovata teorema
vo prakti~ni primeri.
SLI^NI
TRIAGOLNICI
• Sli~ni figuri.
Sli~ni triagolnici
• Priznaci za
sli~nost na
triagolnicite
• Odnos na perimetri-
te na sli~ni
triagolnici;
odnos na soodvetnite:
visini, te`i{ni
linii i simetrali na
agli
• Odnos na
plo{tinite na sli~ni
triagolnici
PITAGOROVA
TEOREMA
• Sli~nosta vo
pravoagolen
triagolnik
(Evklidovite teoremi)
• Pitagorova teorema
(dokaz)
• Zada~i so primena na
Pitagorovata teorema
o Sli~ni
figuri
o Koeficient
na sli~nost
Priznak SAS
∆ABC≅∆A1B1C1 ako
1111 BA:ABCA:AC =
i ∠CAB = ∠ C1A1B1=α
Priznak SSS
Primer: Ako se dadeni otse~kite a i b може
да се konstruira otse~kaта h
=
22
ba − со помош на Евклидовите теореми.
Имено, x2
= (a − b)⋅(a + b);
па p = a−b; q = a + b.
a2
+ b2
= c2
∆ABC≅∆A1B1C1 ako
1111 BA:ABCA:AC = =
11CB:BC
h2
= p⋅⋅⋅⋅q
p q
h
Евклидовите
теореми:
Питагоровата
теорема
c2
a2
b2a2
c2
b2

7. 6
TEMA 2: LINEARNA RAVENKA I LINEARNA NERAVENKA. LINEARNA FUNKCIJA (35 ~asa)
Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi
U~enikot /u~eni~kata:
da naveduva primeri na brojni ravenstva;
da gi definira poimite ravenstvo i ravenka;
da gi razbira poimite ravenka, promenliva
i definiciono mno`estvo;
da voo~uva {to e identitet, a {to nevoz-
mo`na (protivre~na) ravenka;
da gi razlikuva ravenkite spored brojot na
nepoznatite i spored stepenot na nepozna-
tata;
da prepoznava linearna ravenka so edna
nepoznata;
da odreduva stepen na ravenka;
da gi razlikuva ravenkite so posebni
koeficienti od ravenkite so parametar;
da proveruva dali dadena vrednost na nepo-
znatata e re{enie na dadena ravenka;
da prepoznava ekvivalentni ravenki preku
primeri;
da iska`uva teoremi za ekvivalentni
ravenki;
da prepoznava op{t vid na linearna ravenka
da definira op{t vid na linearna ravenka
da doveduva linearna ravenka vo op{t vid
koristej}i gi teoremite za ekvivalentni
ravenki;
da odreduva koeficient pred nepoznatata i
sloboden ~len vo linearna ravenka;
da odreduva nepoznat sobirok, mno`itel, de-
lenik i delitel;
da re{ava linearni ravenki;
LINEARNI
RAVENKI
• Ravenstvo, ravenka
identitet
• Vidovi ravenki
• Re{enie na ravenka
• Ekvivalentni
ravenki
• Teoremi za ekviva-
lentni ravenki
• Op{t vid na linearna
ravenka so edna nepoz-
nata
•Re{avawe na linear-
na ravenka so edna
nepoznata
•Primena na linearna
ravenka so edna
o Ravenstvo
o Ravenka
o Identitet
o Linearna
ravenka so edna
nepoznata
o Re{enie na
ravenka
o Ekvivalent-
ni ravenki
Ravenstvo: 2 + 3 = 5; 3x - 3 = 6
Ravenka: 2x – 4 = 10; 3x – 2y =5; 3x2
– 2y =8
Identitet: 2(2 + x) = 4 + 2x
Ravenka od ~etvrti stepen so dve
nepoznati 02 33
=+− xyxyx
Linearni ravenki so edna nepoznata
2x – 4 = 10, x= 3; 5-1/3 = 1+3x
Од една слаткарница е побарано да направи
одреден број слатки за 8 дена. Пред да почне со
работата слаткарницата набавила уште извесен
број модерни миксери така што секој ден
можела да произведува по 40 слатки повеќе.
Работата ја завршила за 6 дена. Колку вкупно
слатки биле нарачани од слаткарницата?

8. 7
da objasnuva pri koi uslovi ravenkata ima:
edno, beskone~no mnogu ili nema re{enie;
da vr{i proverka na re{enieto na ravenka;
da procenuva re{enie na linearna ravenka i
da ja proveruva svojata procenka;
da sostavuva ravenka spored dadena situaci-
ja opi{ana so zborovi;
da sostavuva tekst soodveten na dadena
ravenka;
da prepoznava brojno neravenstvo i da
naveduva primeri na brojni neravenstva;
da go definira poimot neravenstvo;
da razlikuva vidovi neravenstva spored
brojot i spored stepenot na nepoznatite;
da go definira poimot neravenka so edna
nepoznata;
da proveruva koi vrednosti na nepoznatata
se re{enija na dadena neravenka;
da poka`uva na primeri neravenki {to se
ekvivalentni;
da go koristi terminot interval i da pret-
stavuva interval na brojna prava;
da ozna~uva otvoren, poluotvoren i zatvoren
interval;
re{enijata na neravenka da gi pretstavuva
so interval;
nepoznata
LINEARNI
NERAVENKI SO
EDNA NEPOZNATA
•Poim za neravenstvo
i neravenka
•Re{enie na
neravenka
•Intervali
oNeravenstvo
oNeravenka
oInterval
Ravenkite 2x +1=3x - 1 i 3x – 2 = 4 se
ekvivalentni vo mno`estvoto D = {1, 2, 3,
4}.
Linearna ravenka so edna nepoznata
9
5
2
)8(
4
1
34,2
5
2
−=++− xxxx
Slednata ravenka se sveduva na
re{avawe linearna ravenka so edna
nepoznata:
Majkata sega ima 36 godini, a nejzinata
}erka 10 godini. Po kolku godini majkata
}e bide tripati postara od }erkata?
Neravenstvo e, na primer 2 + 3 > 5
Neravenka e na primer. 2x – 4 < 10.
O~ekuvame deka neravenkata ima
re{enie. Neravenkata e vid na
neravenstvo.

9. 8
da gi iska`uva teoremite za ekvivalen-
tni neravenki;
da re{ava ednostavni linearni neraven-
ki so edna nepoznata;
da sostavuva neravenka spored dadena
situacija opi{ana so zborovi;
da zaklu~uva na konkretni primeri koga
dve neravenki imaat zaedni~ko re{enie;
da definira {to e re{enie na sistem
linearni ravenki so edna nepoznata;
da go pretstavuva grafi~ki na brojna
prava re{enieto na sistem linearni
neravenki so edna nepoznata;
da go pretstavuva so interval grafi~koto
re{enie na sistem linearni neravenki so
edna nepoznata;
da re{ava ednostavni sistemi linearni
neravenki so edna nepoznata;
da definira linearna funkcija;
da zapi{uva linearna funkcija so for-
mula od vidot y = kx + n;
da gi objasnuva poimite domen i kodomen
na funkcija;
da prepoznava koeficient i sloboden
~len na funkcija;
da pretstavuva grafi~ki linearna
funkcija;
• Teoremi za ekviva-
lentni neravenki
•Re{avawe na line-
arna neravenka so
edna nepoznata
•Primena na linearna
neravenka so edna
nepoznata
SISTEM
LINEARNI
NERAVENKI SO
EDNA NEPOZNATA
• Re{enie na sistem
linearni neravenki
so edna nepoznata
• Re{avawe na sistem
linearni neravenki
so edna nepoznata.
LINEARNA
FUNKCIJA
•Linearna funkcija
•Grafi~ko pretsta-
vuvawe na linearna
funkcija
o Sistem
linearni
neravenki
o Re{enie na
sistem linear-
ni neravenki
so edna
nepoznata
Mno`estvata re{enija na linearnite
neravenki x≤-2 i x>3 se dadeni so
intervali i grafi~ki (na brojna prava).
Решенија со интервали:
x ∈ (- ∞, -2], x ∈ (3, ∞)
Решенија графички (на бројна права)
Mno`estvata re{enija na sistemot
linearni neravenki so edna nepoznata



+<−
−>+
.2x31x4
1x21x3
e dadeno so interval i grafi~ki (na
brojna prava).
Решение со интервал: x ∈ (- 2, ∞) ∩ (-∞, 3)
Решение графички (на бројна права):
-4 -3 -1 0 1 2 3 4-2
-4 -3 -1 0 1 2 3 4-2

10. 9
da ja objasnuva polo`bata na grafikot na
funkcijata spored koeficientot pred
argumentot i slobodniot ~len;
da prepoznava koja funkcija e raste~ka, a
koja opadnuva~ka;
da odreduva nula na funkcija;
da re{ava grafi~ki linearna ravenka;
da zaklu~uva dali ravenkata ima edno
re{enie, beskone~no mnogu re{enija ili
nema re{enie vrz osnova na grafikot.
•Zaemna polo`ba na
graficite na nekoi
linearni funkcii
•Rastewe / opa|awe i
nula na linearna
funkcija
•Grafi~ko re{avawe
na linearna ravenka
o Linearna
funkcija
o Koeficient
pred argumen-
tot
o Sloboden
~len
o Nula na
linearna
funkcija
Linearna funkcija f(x) = 3x - 3, {to e
pretstavena grafi~ki, e raste~ka.
TEMA 3: SISTEM LINEARNI RAVENKI (25 ~asa)
Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi
U~enikot/u~eni~kata:
da prepoznava i objasnuva linearna
ravenka so dve nepoznati;
da odreduva dali podreden par od realni
broevi e re{enie na dadena linearna
ravenka;
da odreduva mno`estvo re{enija na
linearna ravenka so dve nepoznati;
da go zapi{uva mno`estvoto re{enija na
tabelaren na~in;
da go pretstavuva grafi~ki mno`estvoto
re{enija na linearna ravenka vo
pravoagolen koordinaten sistem;
da prepoznava sistem od dve linearni
ravenki so dve nepoznati i da go objasnuva
poimot;
LINEARNA RAVEN-
KA SO DVE NEPOZ-
NATI
•Linearna ravenka so
dve nepoznati
•Ekvivalentni
linearni ravenki so
dve nepoznati
oLinearna
ravenka so dve
nepoznati
oSistem od dve
linearni
ravenki so dve
nepoznati
Parovite (2, -3), (-1, 2), (0, -2) se re{enija
na ravenkata 24 −=+ yx .
Ravenkata ima i drugi re{enija i site tie
(grafi~ki) se to~ki od ista prava.

11. 10
da odreduva dali podreden par od
realni broevi e re{enie na daden sistem
linearni ravenki;
da re{ava ednostavni sistemi od dve
linearni ravenki so dve nepoznati
grafi;
da re{ava ednostavni sistemi ravenki
so metod na zamena;
da re{ava ednostavni sistemi ravenki
so dve nepoznati so metod na sprotivni
koeficienti;
da odreduva soodveten i racionalen
na~in za re{avawe sisten ravenki so dve
nepoznati;
da re{ava ednostavni problemi {to se
sveduvaat na re{avawe sistem ravenki so
dve nepoznati;
da vr{i proverka na dobienite
re{enija;
da re{ava poslo`eni problemi {to se
sveduvaat na re{avawe sistem ravenki so
dve nepoznati.
SISTEM OD DVE
LINEARNI RAVEN-
KI SO DVE NEPO-
ZNATI
• Sistem od dve line-
arni ravenki so dve
nepoznati
• Grafi~ko re{avawe
na sistem linearni ra-
venki so dve nepoznati
• Re{avawe sistem
linearni ravenki so
dve nepoznati so metod
na zamena
• Re{avawe sistem
linearni ravenki so
dve nepoznati so metod
na sprotivni
koeficienti
• Primena na sistem
linearni ravenki so
dve nepoznati
Sekoja od ravenkite vo daden sistem
pretstavuva prava. Pravata e mno`estvo
to~ki. Re{enie na sitemot e presekot na
dvete pravi, t.e. e to~ka.
So u~enicite da se re{avaat sistemi od
dve linearni ravenki so dve nepoznati i
re{enijata da se pretstavuvaat numeri~ki
i grafi~ki.
Учениците да решаваат проблеми од
секојдневиот живот во функција на
реализирање на бизнис идеи кои базираат на
оптимално решение.
Пр. Елена има фирма за производство на
дрвени и метални копчиња, а Миле има фирма
за производство на панталони. За 105 000
денари Миле купил од Елена 1 000 дрвени и 1
500 метални копчиња.
a) Колку чини дрвено, а колку метално копче
ако се знае дека 500 дрвени чинат колку и 300
метални копчиња.
Преку дополнителни прашања со учениците да
се развива дискусија за иновативноста и
профитабилноста. Пр.
Б) Колку сребрени копчиња би купил Миле за
истите пари доколку Елена почне да
произведува сребрени копчиња по цена 7 пати
повисока од цената на дрвените копчиња?

12. 11
TEMA 4: GEOMETRISKI TELA (40 ~asa)
Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi
U~enikot/u~eni~kata:
da objasnuva koi se osnovni geometriski
figuri vo prostorot (to~ka, prava i
ramnina);
da odreduva zaemen odnos na pravi;
da odreduva zaemen odnos na prava i
ramnina;
da gi objasnuva zaemnite polo`bi na dve
pravi vo prostorot;
da odreduva presek na dve ramnini;
da vr{i ortogonalna proekcija na to~ka
vrz ramnina;
da go objasnuva poimot geometrisko telo;
da nacrta geometrisko telo (poliedar);
da prepoznava, imenuva i vr{i klasifi-
kacija na prizmi*)
;
da identifikuva elementi na prizma;
da prepoznava i skicira paralelopiped;
da iska`uva svojstva na paralelopiped;
da crta kvadar i kocka;
da iska`uva op{ta postapka za presme-
tuvawe plo{tina na prizma;
da presmetuva plo{tina na prizma;
da go objasnuva poimot volumen na
poliedar;
da gi poznava mernite edinici za
volumen;
da odreduva volumen na kvadar i kocka;
da gi koristi soodnosite me|u pogolemi-
te i pomalite merni edinici za volumen;
TO^KA, PRAVA I
RAMNINA VO
PROSTOROT
•To~ka, prava i
ramnina
•Dve pravi
•Dve ramnini
•Paralelno proekti-
rawe. Ortogonalna
proekcija
•Pretstavuvawe geo-
metrisko telo so
crte`
PRIZMA
•Prizma, vidovi prizmi
•Dijagonalni preseci.
•Paralelopiped
•Mre`a na prizma
•Plo{tina na prizma
•Volumen na kvadar i
kocka
•Volumen na prizma
o Paralelno
proektirawe
o Ortogonal-
na proekcija
o Poliedar
o Prizma
o osnova na
prizma
o Bo~na povr-
{ina
o Dijagonalen
presek
o Volumen na
poliedar
o Prava
prizma
Da se razgleduvaat razni zaemni
polo`bi: to~ki na prava i to~ki nadvor
od prava; presek na dve pravi,
ozna~uvawe; potoa da se skiciraat
crte`i za zaemnite polo`bi na to~ka,
prava i ramnina i da se napravat modeli
za objasnuvawe na zaemnite zaemnite po-
lo`bi na dve pravi vo prostorot, na dve
ramnini, na prava i ramnina,...
Pravoagolen paralelopiped
ACC1A1 e dijagonalen
presek na kockata
ABCDA1B1C1D1
Pravilna {eststrana prizma
P = 2B + M
V = B⋅H
a - osnoven rab; H - visina na prizmata
P - plo{tina na prizmata
B - plo{tina na osnovata
M - bo~na plo{tina; V - volumen
*)
Во програмата ќе се разгледуваат само прави призми, прави пирамиди, прави кружни цилиндри и прави кружни конуси.
H
H
a
a
aa
a
a
a
a
aa
a
a
H
a
a
a
A B
C
C1
A1
B1
D
D1

13. 12
da presmetuva volumen na prizma;
da re{ava prakti~ni primeri za
plo{tina i volumen na prizma;
da prepoznava, imenuva i vr{i
klasifikacija na piramidi;
da identifikuva elementi na piramida;
da prepoznava pravilna piramida;
da skicira piramida i da ozna~uva
dijagonalen presek na piramida;
da go objasnuva poimot plo{tina na
piramida;
da presmetuva plo{tina na piramida;
da presmetuva volumen na piramida;
da re{ava zada~i za plo{tina i volumen
na piramida vo koi }e ja koristi
Pitagorovata teorema;
da voo~i rotacija okolu oska na: to~ka,
otse~ka i prava paralelna na oskata;
da voo~i deka cilindar se dobiva so
rotacija na pravoagolnik okolu edna
negova strana ili simetrala na strana;
da naveduva primeri na tela so
cilindri~na forma;
da identifikuva elementi na cilindar;
da skicira cilindar i osen presek na
cilindar;
da presmetuva plo{tina na cilindar;
da presmetuva volumen na cilindar;
da presmetuva plo{tina i volumen na
cilindar vo prakti~ni primeri.
PIRAMIDA
• Piramida; vidovi
piramidi;
dijagonalen presek na
piramida
• Mre`a i plo{tina
na piramida
• Volumen na piramida
CILINDAR
• Cilindar
• Plo{tina i volumen
na cilindar
oPiramida
oDijagonalen
presek na
piramida
oPlo{tina na
piramida
oVolumen na
piramida
oCilindri~na
povr{ina
oPlo{tina na
cilindar
o Volumen na
cilindar
ПИРАМИДА
P = B + M
V =
3
BH
ADS - yid na
piramidata
BDS - dijagonalen
presek
ABCD - osnova
a - osnoven rab s - bo~en rab
H - visina na piramidata
h - apotema (visina na yidot)
S - vrv na piramidata P - plo{tina
B - plo{tina na osnovata V - volumen
M - plo{tina na obvivkata
CILINDAR
P = 2B + M
V = BH
V = 2rπ (r + H)
r - radius na osnovata
H - visina na
cilindarot
O -centar na osnovata
s - izvodnica
ABCD - osen presek
P - plo{tina
B - plo{tina na osnovata
M - plo{tina na obvivkata
V ---- volumen
a
a/2
a/2
d/2
H h
s
S
A B
CD
O
r
sH
A
B
C
D

14. 13
Da voo~i rotacija na poluprava okolu
oska, ako po~etnata to~ka na polupravata
e na oskata;
da voo~i deka konus se dobiva so rotacija
na pravoagolen triagolnik okolu edna
negova kateta;
da naveduva primeri na tela so konusna
forma;
da identifikuva elementi na konus;
da skicira konus, mre`a na konus i osen
presek na konus;
da presmetuva plo{tina na konus;
da presmetuva volumen na konus;
da re{ava prakti~ni zada~i za plo{tina
i volumen na konus.
KONUS
• Konus, plo{tina i
volumen
oKonus
oPlo{tina na
konus
o Volumen na
konus
KONUS
P = B + M
V =
3
BH
, t.e. V =
3
Hπr2
r - radius na osnovata
H - visina n konusot
O -centar na osnovata
s - izvodnica
ABS - osen presek
P - plo{tina
B - plo{tina na
osnovata
M - plo{tina na
obvivkata
V - volumen
Da go voo~i teloto {to se dobiva so
rotacija na polukrug okolu negoviot
dijametar;
da prepoznava i razlikuva sfera od
topka;
da identifikuva centar, radius i golem
krug na sfera i topka;
da presmetuva plo{tina na topka;
da presmetuva volumen na topka;
da re{ava primeri za plo{tina i
volumen na topka.
TOPKA
•Plo{tina i volumen
na topka
oSfera
oGolem krug
o Plo{tina na
topka
oVolumen na
topka
TOPKA
P = 4R2
π
V =
3
4
R3
π
k - golem krug
R – radius na golemiot krug (radius na
topkata)
P - plo{tina
V - volumen
r
H
A
B
S
s
s
H
R
k

15. 14
TEMA 5: RABOTA SO PODATOCI (14 ~asa)
Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi
U~enikot/u~eni~kata:
Da go razbira i koristi principot na
Dirihle vo ednostavni zada~i;
da razlikuva populacija od primerok;
da razlikuva na~ini na izbirawe na
primerok (slu~aen izbor, sistematski);
da izbira primerok soodveten za dadeno
istra`uvawe;
da razlikuva nastani koi se vozmo`ni
od nastani koi se nevozmo`ni;
da objasnuva koj nastan e slu~aen;
da razlikuva siguren od slu~aen nastan;
da definira siguren, nevozmo`en i
verojaten nastan;
da naveduva primeri na nastani so
verojatnost 0, me|u 0 i 1 i verojatnost 1;
da ja tolkuva skalata na verojatnost od 0
do 1;
da odreduva verojatnost na nastan pri
ednostaven eksperiment;
da pretpostavuva posledici i so eksperi-
ment da gi proveruva svoite pretpostavki.
правилно да користи и обработува податоци;
да развива креативно размислување;
да ја препознава потребата од изнаоѓање на
соодветни ресурси за развој на бизнисот;
да ги разликува видовите трошоци.
PRINCIPOT NA
DIRIHLE
ELEMENTARNI
ISTRA@UVAWA I
SLU^AJNI
NASTANI
• Populacija
• Primerok
• Slu~ajni nastani
• Verojatnost na
nastan
ТРОШОЦИ
•Цена на чинење
•Продажна цена
•Профит
o Populacija
o Primerok
o Nastan
o Siguren
nastan
o Nevozmo`en
nastan
o Povolen
nastan
o Slu~aen
nastan
o Verojatnost
na nastan
Цена на чинење
Продажна цена
Профит
Da se reavaat ednostavni zada~i so
primena na principot na Dirihle.
Primer: Vo paralelka so 32 u~enici deka
barema dvajca u~enici imaat imiwa koi
zapo~nuvaat so ista bukva. Doka`i.
Da se naveduvaat primeri na slu~ajni
nastani (siguren nastan, verojaten nastan i
nevozmo`en nastan).
Da se odreduva verojatnost na nastan vo
ednostavni primeri.
Да пресметува трошоци.

16. 15
Проектна задача: Во една фабрика се
произведуваат два вида на пенкала (метални
и пластични). Профитот од едно продадено
метално пенкало е 7 денари, а од едно
продадено пластично пенкало е 5 денари. За
да се произведе едно метално пенкало
потребни се 4 минути, а за едно пластично
пенкало потребни се 2 минути. Капацитетот
на машината на која се произведуваат двата
вида пенкала (едните па другите) за еден
месец е 300 часа. За фирмата да не работи
со загуба потребно е да продава најмалку по
1000 метални и 2000 пластични пенкала
месечно. Колку метални, а колку пластични
пенкала треба да се произведат за еден
месец за да се оствари најголем профит?
(работа во група и јавна презентација)
4. DIDAKTI^KI PREPORAKI
Pri realizacijata na programata nastavnicite treba da poa|aat od razvojnite mo`nosti i interesi na u~enicite na 14 - godi{na
vozrast, a osobeno da se imaat predvid zakonitostite na razvojot na misleweto vo ovoj razvoen period.
Za realizacija na sodr`inite treba da se organiziraat pove}e prakti~ni aktivnosti, kako: istra`uvawa, analiza na slu~ai,
proceni, konstruirawe, iznao|awe na re{enija so kombinirawe na idei i sl., a preku niv da se pottiknat mislovnite aktivnosti na
u~enicite i da se gradi sistem na matemati~ki poimi. Zna~i, pri metodskoto oblikuvawe na nastavniot ~as neophodno e da bidat zastapeni
mali istra`uvawa, proekti, odnosno u~ewe preku sopstveno iskustvo na u~enikot niz soodvetni formi na rabota (grupna - timska rabota,
rabota vo parovi, kako i individualna rabota na u~enikot). Tradicionalnite formi na rabota (pred s# frontalnata) treba da se
praktikuva pri prezentacii, diskusii, demonstracii na postapki i sli~no.
Za realizacija na nastavata po matematika vo IX oddelenie }e se koristat u~ebni pomagala koi se usoglaseni so nastavnata
programa po matematika za IX oddelenie i so koncepcijata za izrabotka na u~ebnik, odobreni od minister. Za merewe na postigawata na
u~enikot }e se koristat instrumenti soodvetno didakti~ko metodski oblikuvani i usoglaseni so nastavnata programa. a za pro{iruvawe i
prodlabo~uvawe na znaewata mo`e da se koristat zbirki zada~i usoglaseni so nastavnata programa po matematika za IX oddelenie.

17. 16
Vo rabotata so u~enicite neophodna e korelacija so drugite nastavni predmeti vo IX oddelenie, a so toa se podrazbira deka treba
da bide pogolem intenzitetot na sorabotkata me|u srodnite stru~ni aktivi vo u~ili{tata, a osobeno so prirodnite nauki i tehnika.
Spored prirodata na nastavnite sodr`ini, nastavata po matematika }e se realizira na razli~ni mesta, no naj~esto vo
specijalizirana u~ilnica ili vo kabinet za matematika kade u~enikot }e istra`uva so razli~ni materijali i sredstva i }e raboti na
kompjuter so primena na licenciran obrazoven softver. Isto taka, u~enikot }e u~estvuva vo aktivnosti na: rasporeduvawe,
klasifikacija, sporeduvawe, procenuvawe, pogoduvawe, broewe, merewe, demonstrirawe na postapki, prezentirawe na izrabotki itn.
Zatoa vo specijaliziranata u~ilnica za matematika treba da ima materijali i drugi sredstva predvideni so Normativot za nastavni i
nagledni sredstva.
Za realizacija na celite od nastavnata programa po matematika za IX oddelenie na nastavnikot mu se sugerira preku zadavawe na
realni situaciski zada~i i preku koristewe na terminite inovativnost, pretpriema~, tro{oci, biznis, profitabilnost, konkurentnost,
samostojnost, selekcija na idei, samovrabotuvawe i drugi, da go razviva pretpriema~kiot duh kaj u~enicite.
5. OCENUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE
Za da se ocenat postigawata na u~enikot neophodno e:
- da se napravi sogleduvawe na prethodnite iskustva, znaewa i ve{tini na u~enicite,
- da se razgovara so u~enikot za da se dobijat soznanija za negovoto logi~ko razmisluvawe, razbiraweto na poimi i stepenot na
razbirawe pri nivna primena, osposobenosta za re{avawe zada~i;
- kontinuirano utvrduvawe i proverka na steknatite znaewa, sposobnosti i ve{tini na tematskite celini.
Vo tekot na u~ebnata godina treba da se realiziraat ~etiri zadol`itelni pismeni proverki na postignatite celi so test na znaewe, po
dve vo sekoe polugodie.
U~enikot se ocenuva broj~ano vo tekot i na krajot na nastavnata godina.
Na krajot od IX oddelenie se realizira eksterno proveruvawe na postigawata so standardizirani testovi.
6. PROSTORNI USLOVI ZA REALIZIRAWE NA NASTAVNATA PROGRAMA
Programata vo odnos na prostornite uslovi se temeli na Normativot za prostor za VII, VIII i IX oddelenie i na Normativot za nastavnite
sredstva za VII, VIII i IX oddelenie donesen od strana na ministerot za obrazovanie i nauka so re{enie br. 07-4061/1 od 31.05.2007 godina.

18. 17
7. NORMATIV ZA NASTAVEN KADAR
Nastava po matematika vo VIII oddelenie na osumgodi{noto osnovno obrazovanie, odnosno IX oddelenie na devetgodi{noto
osnovno obrazovanie mo`e da realizira lice koe zavr{ilo:
• studii po matematika - nastavna nasoka, VII/1 t.e 240 krediti;
• studii po matematika - fizika, VII /1 t.e 240 krediti;
• studii po matematika - hemija, VII /1 t.e 240 krediti;
• studii po matematika – informatika, nastavna nasoka, VII /1 t.e 240 krediti;
• studii po matematika – druga nenastavna nasoka, VII /1 t.e 240 krediti, so steknata pedago{ko-psiholo{ka i metodska
podgotovka na akreditirana visokoobrazovna ustanova.
Na nastavnicite koi zavr{ile prv stepen na Prirodno-matemati~ki fakultet - grupa Matematika, pedago{ka akademija ili vi{a
pedago{ka {kola - soodvetna grupa i se steknale so zvaweto nastavnik po predmetot {to go predavaat, ne im prestanuva rabotniot odnos
na rabotnoto mesto na koe se anga`irani.
8. O^EKUVANI REZULTATI NA KRAJOT OD CIKLUSOT VII-IX ODDELENIE
U~enikot/u~eni~kata umee da:
izvr{uva operacii so dropki so razli~ni imeniteli;
izvr{uva operacii so decimalni broevi;
pretvora dropki vo decimalni broevi i procenti i obratno;
odrazuva veli~ina preku procent i koristi procentna smetka;
izvr{uva operacii so racionalni broevi i gi koristi nivnite svojstva pri re{avawe zada~i;
presmetuva vrednost na broen izraz vo mno`estvoto na racionalni broevi;
re{ava linearni ravenki so odreduvawe nepoznat sobirok, namalenik, namalitel, mno`itel, delenik ili delitel;
re{ava tekstualni zada~i i ravenki so koristewe na operaciite i svojstvata na operaciite vo mno`estvoto racionalni broevi;
odreduva vrednost na stepen so pokazatel priroden broj i gi izvr{uva operaciite so stepeni;
izvr{uva aritmeti~ki operacii so celi racionalni izrazi;
razlo`uva celi racionalni izrazi na prosti mno`iteli;
re{ava ednostavni zada~i vo koi se korsti relacijata na centralen i periferen agol;
presmetuvanepoznat~lennaproporcija;
pretstavuva grafi~ki pravoproporcionalni i obratnoproporcionalni veli~ini;

19. 18
re{ava linearni ravenki i da ja proveruva to~nosta na re{enieto;
re{ava tekstualni zada~i koi se sveduvaat na re{avawe linearni ravenki so edna nepoznata;
re{ava linearni neravenki i sistem linearni neravenki i da gi pretstavuva re{enijata na razni na~ini;
pretstavuva grafi~ki linearna funkcija i da gi ispituva nejzinite svojstva;
re{ava sistem linearni ravenki so dve nepoznati so metodite za re{avawe (grafi~ki, zamena i sprotivni koeficienti);
re{ava tekstualni zada~i (problemi) od sekojdnevniot `ivot, biznisot, naukata i tehnikata koi se sveduvaat na re{avawe
linearna ravenka ili na sistem linearni ravenki so dve nepoznati;
preslikuva figuri pri osna simetrija, centralna simetrija i translacija;
odreduva oski na simetrija i centar na simetrija na figuri;
presmetuva perimetar na triagolnik, ~etiriagolnik, konveksen mnoguagolnik, kru`nica i dol`ina na kru`en lak;
presmetuva plo{tina na triagolnik, ~etiriagolnik, pravilen mnoguagolnik, krug i na delovi od krug;
koristi relacii skladnost na triagolnici i sli~nost na triagolnici vo ednostavni zada~i;
sobira i odzema vektori;
ja primenuva vo ednostavni zada~i Talesovata teorema za vpi{aniot agol nad dijametarot na kru`nica;
re{ava ednostavni zada~i vo koi se koristat svojstvata na tetiven i tangenten ~etiriagolnik;
konstruira nekoi pravilni mnoguagolnici;
ja primenuva Pitagorovata teorema vo prakti~ni zada~i;
ja koristi Talesovata teorema za proporcionalni otse~ki vo re{avawe zada~i;
go koristi odnosot na perimetrite i plo{tinite na sli~ni triagolnici pri re{avawe zada~i;
vr{i ortogonalno proektirawe na to~ka, prava, otse~ka i triagolnik vrz ramnina;
izrabotuva mre`i i modeli na geometriski tela;
presmetuva plo{tina i volumen na geometriskite tela: prizma, piramida, cilindar, konus, topka i delovi na topka;
gi primenuva formulite za plo{tina i volumen na geometriskite tela vo prakti~ni zada~i;
pribira, sreduva i pretstavuva podatoci na razli~ni na~ini;
presmetuva mod, medijana, rang i aritmeti~ka sredina na podatoci;
vr{i ednostavni eksperimenti i istra`uvawa i vr{i elementarna analiza na podatoci;
odreduva verojatnost na slu~ajni nastani - ednostavni primeri;
prepoznava osnovni vidovi na tro{oci;
poseduva pretpriema~ki duh i ~ustvo za inicijativnost i inovativnost;
poseduva prezentaciski ve{tini.

20. 19
Izgotvil: rabotna grupa, m-r Liljana Polenakovi}, sovetnik
Kontroliral: Traj~e or|ijevski, rakovoditel na oddelenie
Odobril: m-r Mitko ^e{larov, rakovoditel na sektor
Direktor
m-r Vesna Horvatovi}
Potpis i datum na utvrduvawe na nastavnata programa
Nastavnata programa po matematika za VIII oddelenie na osumgodi{noto osnovno obrazovanie, odnosno IX oddelenie на
devetgodi{noto osnovno obrazovanie, na predlog na Biroto za razvoj na obrazovanieto, ja utvrdi
na den Minister
29.07.2013 Spiro Ristovski
REPUBLIKA MAKEDONIJA
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
Br.11-3677/1
31.07.2013 god.
SKOPJE