1. Molekularno-kinetička teorija_intro
Toplinsko rastezanje tijela, model idealnog plina i stanje plina, plinski zakoni, Avogadrov
zakon, porijeklo tlaka u plinu, Brownovo gibanje i difuzija, kinetička energija
nasumičnog gibanja molekula, pojam unutrašnje energije
Toplinsko rastezanje tijela
Većina tijela zagrijavanjem se rastežu. Radi se o pojavi koju je jedva moguće zapaziti
premda sile koje se javljaju jesu izuzetno velike. Razlog širenja tijela leži u činjenici da
“molekule trebaju prostor za gibanje” (slika 1.).
Slika 1.
Zagrijavanjem se povećava titranje
molekula - tijelo se širi
Zagrijavanjem tijela molekule se “življe” gibaju u svim smjerovima i zbog toga,
makroskopski gledano, tijelo izgleda veće. U suprotnom, kada se tijelo ohlađuje, gibanje
molekula postaje slabije. Sada sile koje djeluju zbijaju molekule i stoga tijelo izleda manje.
Premda je širenje tijela gotovo
zanemarivo sile su dovoljno velike da
mogu prouzročiti brojne poteškoće.
Npr. Pri izgradnji mosta se računa na
širenje tijela i stoga se ostavlja dodatni
prostor za to širenje (slika 2.).
Slika 2. Širenje mosta
2. Linearno širenje tijela
Premda se čvrsto tijelo širi u svim smjerovima, u nekim slučajevima
možemo zanemariti dvije dimenzije tijela (širinu i dubinu) i
promatrati jedino širenje tijela po duljini, tzv. linearno širenje.
Tipičan primjer je štap, odnosno šipka (slika 3.).
O čemu ovisi linearno širenje tijela i kako ga možemo numerički
izračunati?
Pokusi pokazuju da promjena duljine tijela Δl, nastala
zagrijavanjem tijela (odnosno hlađenjem), ovisi o veličinama koje
nalazimo u sljedećoj formuli
Δl =α ⋅l 0 ⋅Δt
pri čemu je Δl promjena duljine tijela,
l 0 početna duljina tijela (prije zagrijavanja), Slika 3. Linearno širenje tijela
α koeficijent linearnog širenja (℃-1),
Δt promjena temperature (℃),
Različita tijela imaju različite koeficijente linearnog
širenja (slika 4.).
Slika 4.
Koeficijenti linearnog širenja
Širenje tijela ima brojne praktične primjene. Kao jedan primjer navesti ćemo bimetalnu
traku i njezinu primjenu za paljenje žmigavca na autu (slično je i za uljučivanje električnog
zvonca, itd.) - slike 5. i 6.
Slika 5.
Bimetalna traka
Δt = t konacno − t pocetno
3. Slika 6. Paljenje žmigavca na autu
Volumno širenje tijela
Slično kao i za linearno širenje, možemo izračunati promjenu volumena tijela nastalu
zagrijavanjem ili hlađenjem prema formuli
ΔV =γ ⋅V0 ⋅Δt
gdje je γ koeficijent volumnog širenja tijela (℃-1). Vrijedi γ≈3·α.
Širenje tekućina
Poput čvrstih tijela, i tekućine se zagrijavanjem šire. Međutim, koeficijenti širenja za
tekućine znatno se razlikuju od onih za čvrsta tijela - bitno su veći. Npr. živa se za istu
promjenu temperature proširi 5× više od čelika.
Ove činjenice treba uzeti u obzir u slučajevima, npr. transporta nafte cisternama tijekom
ljetnih mjeseci,...
Izuzetak među tekućinama nalazimo kod vode - anomalija vode.
Model idealnog plina i stanje plina
U prirodi tvari nalazimo u čvrstom, tekućem i plinovitom stanju. Ovom prilikom zanimaju
nas plinovi, konkretno idealni plinovi.
O plinovima znamo da nemaju stalan oblik niti stalan volumen (obujam). Plin treba
zatvoriti u posudu kako bismo mogli opisati njegovo stanje.
Fizikalne veličine koje opisuju stanje plina su: tlak p, volumen V i termodinamička
temperatura T.
Model idealnog plina pretpostavlja da su čestice plina zanemarivih dimenzija prema
dimenzijama posude u kojoj se nalaze, da se gibaju kaotično i da pritom ne djeluju jedna
na drugu. U suprotnom plin je realan.
Plinski zakoni
Pri opisu stanja plina važne su sljedeće fizikalne veličine: tlak p, volumen V i
termodinamička temperatura T.
Povijesno gledano, veze među navedenim veličinama eksperimentalno su odredili Boyle,
Mariotte, Gay-Lussac i Charles. U svojim eksperimentima jednu od veličina držali su
4. konstantnom, a potom su mjerenjima ustanovili zakone među ostale dvije. Tako su nastali
plinski zakoni, koje ćemo sada navesti.
1. Veza između tlaka i temperature pri
konstantnom volumenu
U ovom eksperimentu (slika 7.), suhi
zrak zatvoren je u tikvici stalnog
volumena te se time ne može mijenjati
volumen plina tj. zraka. Promjena
temperature plina postiže se
zagrijavanjem vode oko tikvice. Nadalje,
na određenoj temperaturi mjeri se tlak
plina Bourdonovim manometrom, pri
čemu je bitno da je što kraće crijevo koje
povezuje manometar sa zrakom u tikvici
(razmislite zašto?).
Slika 7. Plin pri konstantnom volumenu
Dobiveni rezultati mjerenja unose se u graf koji prikazuje ovisnost tlaka o temperaturi
plina pri stalnom (konstantnom) volumenu. Tipičan graf vidimo na slici 8.
Treba primjetiti da je na apscisi grafa
temperatura dana u Kelvinima, a sama
mjerenja opisuje puna crta. Nadalje,
iscrtkani dio pravca izlazi iz 0 K (nula
Kelvina - apsolutna nula; vrijedi 0 K =
-273 ℃). Graf prikazuje proporcionalnu
vezu tlaka i temperature plina, dakle:
• pravac koji prolazi kroz ishodište (0 K)
• udvostručenjem temperature plina
udvostručuje se i tlak
• dijeljenjem tlaka i temperature za svako
mjerenje dobivamo uvijek istu vrijednost
Ovakvi eksperimentalni podaci vrijede i
za drukčije mase plina. Isto tako,
kemijski sastav plina ne utječe na
mjerenja (jednake grafove imamo za zrak,
argon, ksenon itd.). Slika 8. (p,T) graf
5. Ovi rezultati mogu se sažeti u zakon koji matematički zapisujemo sa
= konst. uz
V = konst.
p
T
Kako kinetička teorija plinova opisuje dobivene
rezultate?
Prema kinetičkoj teoriji molekule plina u
neprestanom su gibanju, a samim time neprestance
udaraju u stijenke posude u kojoj se nalaze.
Ogroman broj molekula svake sekunde pogađa
stijenke tikvice čime postoji tlak na njezine stijenke
(slika 9.).
Slika 9. Objašnjenje kinetičke teorije
Kako temperatura raste, molekule se gibaju sve
brže. Time i udarci postaju “žešći”, što za posljedicu ima povećanje tlaka. U suprotnom,
smanjenjem temperature, smanjuje se i tlak jer se smanjuje brzina kojom molekule
udaraju u stijenke. Napomenimo da dani rezultati ne vrijede pri vrlo niskim
temperaturama jer u takvim slučajevima plinovi se ukapljuju tj. postaju tekućine.
2. Veza između volumena i temperature pri konstantnom tlaku
U eksperimentu koji prikazuje slika 10., suhi zrak zatvoren je u kapilari pomoću “čepa” od
koncentrirane sumporne kiseline. Time suhi zrak unutar kapilare može mijenjati volumen.
Tlak na kojem se nalazi takav zarobljen zrak jest
konstantan i jednak je atmosferskom tlaku
iznad čepa plus tlaku nastalom od težine čepa.
Kao i u eksperimentu iz prethodne teme,
temperatura plina mijenja se zagrijavanjem
okolne vode,čime se mijenja i temperatura
suhog zraka u kapilari. Promjenu temperature
bilježi termometar uronjen u vodu.
Slika 10. Plin pri konstantnom tlaku
Promjenom temperature mijenja se duljina
stupca zraka ispod čepa, a samim time i
volumen zraka.
6. Graf na slici 11. prikazuje kakva je ovisnost
volumena zraka o temperaturi plina.
Matematičkim jezikom imamo,
uz
p ⋅V = n ⋅ R⋅T
Slika 11. (V,T) graf
3. Veza između tlaka i volumena pri konstantnoj temperaturi
Nešto zahtjevniji eksperiment koji
istražuje ovu ovisnost vidimo na
slici 12.
Suhi zrak stalne mase i
temperature “zarobljen” je u
staklenoj cijevi iznad ulja. Volumen
zraka može se mijenjati
ubacivanjem zraka iz okoline u
spremnik s uljem, čime se podiže
stupac ulja u staklenoj cijevi a
stišće stupac zraka (zraku se
smanjuje volumen). Pritom se tlak
također mijenja, što mjeri
Bourdonov manometar (premda
manometar mjeri tlak u spremniku
ulja, takav isti tlak jest i u staklenoj
cijevi gdje je zrak).
Slika 12. Plin pri konstantnoj
temperaturi
Na slici 13. imamo rezultate
mjerenja. Tlak i volumen su
obrnuto proporcionalni što znači da ako se volumen
smanji dva puta, tlak naraste dva puta. Matematički,
uz
Slika 13. (p,V) graf
p ⋅V = konst.
p = konst.
V
T
= konst.
T = konst.
7. Kako kinetička teorija plinova opisuje dobivene
rezultate?
Ako se volumen plina smanji na polovicu, svaki dio
takvog spremnika imati će dvostruko više molekula
nego prije. Svake sekunde biti će dvostruko više
udaraca u stijenke nego prije tj. tlak će biti dvostruko
veći (slika 14.).
Slika 14. Objašnjenje kinetičke teorije
Jednadžba stanja plina
Rezultati dosad obrađenih eksperimenata s plinovima mogu se sažeti u jednu matematičku
jednadžbu koju nazivamo jednadžbom stanja plina, a koja glasi:
p ⋅V
T
Napomenimo da se dana jednadžba primjenjuje ako je zadovoljen model idealnog plina. Za
tzv. realne plinove ova jednadžba dodatno se “modificira”.
U jednadžbi stanja plina, konstanta ovisi o broju molekula koje sadrži plin. Time se
konstanta može zapisati kao N·kB, gdje je kB koeficijent proporcionalnosti određen
eksperimentalnim mjerenjima. Slijedom navedenog, dobiti ćemo drugi oblik jednadžbe
stanja plina koji glasi
p ⋅V = N ⋅ kB ⋅T
gdje kB ima stalnu vrijednost i zove se Boltzmannova konstanta.
kB = 1.38·10-23 JK-1
Jednadžba stanja plina može se napisati u još jednom obliku - preko količine tvari n
(mjerna jedinica jest mol).
Zbog kompletnosti navodimo i taj oblik jednadžbe stanja plina, dakle:
p ⋅V = n ⋅ R⋅T
gdje je R univerzalna plinska konstanta s vrijednošću 8.314 JK-1mol-1.
Količina tvari može se računati prema
gdje je m masa plina, a M molarna masa.
= konst.
n = m
M
8. Avogadrov zakon
Još jedan od plinskih zakona u kojem A. Avogadro utvrđuje da se u jednakim volumenima
svih plinova, pri istom tlaku i temperaturi, nalazi jednak broj čestica, odnosno molekula.
Porijeklo tlaka u plinu
Tlak idealnog plina, kao makroskopska veličina, posljedica je mikroskopskih svojstava
molekula - njihovih brzina, kinetičkih energija i sl.
Tlak plina uzrokuje neprekidno udaranje molekula plina u stijenke posude u kojoj se plin
nalazi. Pri tome molekule stijenkama predaju određenu količinu gibanja, tj. djeluju na
stijenke određenom silom. Prema definiciji tlaka omjer sile kojom molekule djeluju na
stijenke i površine stijenke odrediti će tlak plina.
Dakle, tlak kojim molekule plina djeluju na stijenku posude ovisi jedino o broju molekula u
jedinici volumena (N/V) i o prosječnoj kinetičkoj energiji molekule.
Iz kinetičke teorije plinova imamo sljedeću formulu:
p ⋅V = 1
3
⋅N ⋅mm ⋅ v2
gdje je N broj molekula, a mm masa jedne molekule. Primjetimo da je tlak izražen pomoću
brzine molekula.
Brownovo gibanje i difuzija
Hipoteza da se molekule u tekućinama i plinovima neprestance gibaju potvrđena je
rezultatima promatranja engleskog botaničara Roberta Browna. Naime, promatrajući
zrnca peludi zarobljena u tekućini, opazio je da se čestice peludi neprestano gibaju i
mijenjaju smjer svoga gibanja zbog sudaranja s
molekulama tekućine. Pritom im putanja nije
pravocrtna već nekakva cik-cak linija. Slično
Brownovo gibanje može se opaziti promatrajući
pomoću mikroskopa čestice dima u zraku (slika 15.).
Slika 15. Brownovo gibanje čestica dima
9. Difuzija plinova ili tekućina, osmoza i druge pojave govore u prilog hipotezi o neprestanom
gibanju molekula.
Difuzija - je spontano miješanje dviju ili više tvari kroz njihovu dodirnu površinu ili
propusnu membranu. Čestice (atomi, molekule, ioni, itd.) prelaze iz područja više u
područje niže koncentracije. Difuzija se najbrže odvija u plinovima, sporije u tekućinama, a
najsporije u čvrstim tijelima. Slika 16. prikazuje primjer difuzije za plin.
Slika 16.
Difuzija plina
Kinetička energija nasumičnog gibanja molekula
Naveli smo da je tlak proporcionalan broju molekula u jedinici volumena i srednjoj
kinetičkoj energiji translacije molekule. Uspoređujući jednadžbe
p ⋅V = 1
3
⋅N ⋅mm ⋅ v2
i
p ⋅V = N ⋅ kB ⋅T
dobivamo važan rezultat:
EK = mmv2
2
= 3
2
⋅ kB ⋅T
Vidimo da srednja kinetička energija molekula u plinu ne ovisi o vrsti plina, nego samo o
temperaturi. Za određenu temperaturu (u Kelvinima), sve molekule bez obzira na njihovu
masu imaju istu srednju kinetičku energiju translacije.
U smjesi različitih plinova laganije molekule gibat će se brže, a one s većom masom sporije,
ali će sve molekule imati istu srednju kinetičku energiju.
Sada vidimo da je temperatura kao makroskopska veličina u direktnoj vezi sa
mikroskopskim svojstvima (srednjom kinetičkom energijom) mnoštva čestica.
10. Pojam unutrašnje energije
Unutrašnja energija idealnog plina jednaka je zbroju kinetičkih energija svih molekula i
potencijalnih energija svih molekula. Ali kako u idealnom plinu nema privlačnih sila među
molekulama, možemo zanemariti potencijalne energije.
Ako sa U označimo unutrašnju energiju idealnog plina vrijedi
U = 3
2
⋅N ⋅ kB ⋅T = 3
2
⋅n ⋅ R⋅T
Unutrašnja energija idealnog plina ne ovisi o tlaku i volumenu, već samo o njegovoj
temperaturi. Ona je proporcionalna termodinamičkoj temperaturi plina T.