MI1111_chuong-1hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh.pptx

CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
Khoa Toán-Tin
Đại học Bách khoa Hà Nội
2024
Khoa Toán-Tin (HUST) MI 1111– Ch ươ 2024 1 /

Nội dung
1
2
3
4
6
7
Hàm số
Các khái niệm cơ bản về hàm số
Các hàm số sơ cấp cơ
bản Dãy số
Giới hạn của hàm số
Vô cùng lớn - Vô cùng bé
Hàm số liên tục
5 Đạo hàm và vi phân
Các định lý về hàm khả
vi và ứng dụng
Cực trị của hàm một
biến số
Các công thức khai
triển Taylor, Maclaurin
Quy tắc L’Hospital
Hàm số đơn điệu và các tính
chất BĐT hàm lồi
Phương pháp Newton

Khái niệm hàm
số
Định nghĩa
1
Tập xác định - Tập giá trị
Cho X và Y là các tập hợp con của R. Một hàm số f đi từ tập hợp X vào tập hợp Y , kí hiệu f : X → Y ,
là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x ∈ X với một giá trị duy nhất y ∈ Y .
Chú ý rằng điều ngược lại không đúng, với một giá trị y ∈ Y có thể có hai giá trị x1 ≠ x2, (x1, x2 ∈ X ) sao cho
f (x1) = f (x2) = y. Chẳng hạn như f ( x) = x2
.
a) TXĐ = { x ∈ X|f (x) được định nghĩa}.
b) TGT = {y ∈ Y |∃x ∈ X, f (x) = y}.

Hàm
số
Hàm số chẵn, hàm số
lẻ
a) Hàm số
chẵn:
∀x ∈ TXĐ, −x ∈
TXĐ,
f (−x) = f
(x)
b) Hàm số
lẻ:
∀x ∈ TXĐ, −x ∈
TXĐ, f (−x) = −f (x)
Hàm số tuần
hoàn
∃T > 0 thỏa
mãn
∀x ∈ TXĐ, x + T ∈
TXĐ,
∀x ∈ TXĐ, f (x) = f (x +
T ).
Giá trị T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn được gọi là chu
kì.
Hàm
hợp
Xét hai hàm số f : X → R, g : Y → R. Nếu f (X ) ⊂ Y , ta định nghĩa được hàm hợp g ◦ f : X → R cho bởi
∀x ∈ X, g ◦ f (x) = g(f (x)).

Hàm
số
Hàm
ngược
Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó
f − 1
: Y → X,
y '→ x = f − 1
(y) ⇔ y = f (x)
Ví
dụ x
Hàm f : R → (0, +∞), f (x) = e là một song ánh.
Hàm
ngược f − 1
: (0, +∞) → R là hàm f − 1
(x) = ln
x.
y
x
O
f− 1
(x) = ln(x)
f (x) = ex

Các hàm số sơ cấp cơ bản
1. Hàm lũy thừa y = xα
. Định nghĩa và TXĐ của hàm số này phụ thuộc vào
α. p
q
α q
√
p
a) Nếu 0 ≤ α = , (phân số tối giản) thì định nghĩa x = x .
α
p 1
b) Nếu α = −
q
< 0, (phân số tối giản) thì định nghĩa x = √q
xp
.
α
c) Nếu α ∈/ Q thì hàm số y = x được định nghĩa như lớp 12, nó
xác định với x > 0. Trong trường hợp
α > 0 ta bổ sung điểm x = 0 vào tập xác định của hàm số với y(0)
= 0.
2. Hàm số mũ y = ax
(0 < a ̸= 1) xác định trên R và luôn dương. Hàm này đồng biến nếu a > 1 và
nghịch biến nếu a < 1.
a
3. Hàm số logarit y = log (x) (0 < a ̸= 1) là hàm ngược của hàm y =
a
x
, xác định trên (0, +∞). Hàm
số
này đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu a < 1. Đặc biệt, ta viết ln x = loge x, log x = log10
x.

− π
2
x
4. Hàm lượng giác
a) Hàm số y = sin x, TXĐ = R, là hàm số lẻ, tuần hoàn chu kì 2π.
π
2
sin(x)
x
0
sin(x)

0
π
b) Hàm số y = cos x, TXĐ = R, là hàm số chẵn, tuần hoàn chu kì
2π.
π
2
x x
cos(x)
cos(x)
− π
2

4. Hàm lượng
giác π
2
c) Hàm số y = tan x, TXĐ = R {(2k + 1) , k ∈ Z}, là hàm số lẻ, tuần hoàn chu kì
π.
π
2
tan(x)
x
0
x
tan(x)
− π
2

d) Hàm số y = cot x, TXĐ = R {kπ, k ∈ Z}, là hàm số lẻ, tuần hoàn chu kì
π.
0
π
π
2
x
x
cot(x)
cot(x)
− π
2

ngược. π π
2 2
h i
a) Hàm số y = arcsin x, TXĐ= [−1, 1], TGT= − , và là một hàm số đơn điệu
tăng. π
2
− π
0
arcsin(x)
arcsin(x)
x
x
2
Khoa Toán-Tin (HUST) MI 1111– Ch ươ 2024 11 / 95

5. Hàm lượng giác ngược.
b) Hàm số y = arccos x, TXĐ= [−1, 1], TGT= [0, π] và là một hàm số đơn điệu
giảm.
0
π
π
2
− π
arccos(x) arccos(x)
x
x
2

ngược. π π
2 2
c) Hàm số y = arctan x, TXĐ=R, TGT= − , và là một hàm số đơn điệu
tăng.
π
2
− π
2
x
x
arctan(x)
0
arctan(x)

0
π
5. Hàm lượng giác ngược.
d) Hàm số y = arccot x xác định trên R, nhận giá trị trên (0, π) và là một hàm số đơn điệu
giảm.
π
− π
2
arccot(x)
arccot(x)
x 2 x

Hàm số sơ
cấp
Người ta gọi hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia, lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. Các hàm số sơ cấp được chia thành hai loại.
a) Hàm số đại số: là những hàm số mà khi tính giá trị của nó ta chỉ phải làm một số hữu hạn các
phép toán cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Ví dụ: các đa thức, phân thức, . . .
b) Hàm số siêu việt: là những hàm số sơ cấp nhưng không phải là hàm số đại số, như y = ln x, y = sin
x, . . .

Dãy
số
Định nghĩa
2
Một dãy số là một hàm số N → R, n '→ an. Kí
hiệu (an )n ∈ N hoặc (an).
a)Dãy số đơn điệu: tăng (an ≤ an+1), giảm
(an ≥ an+1), ∀n.
b)Dãy số bị chặn: chặn trên nếu an ≤ M , ∀n, chặn dưới nếu an ≥ K , ∀n, bị chặn nếu dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn
dưới.
Giới hạn của dãy
số
n → ∞
n n
Một dãy số (a ) được gọi là có giới hạn là L ∈ R và viết lim a = L
nếu
∀ϵ > 0, ∃N ∈ N, ( n ≥ N ⇒ |an − L| < ϵ).

Dãy số hội tụ - phân
kì
n → ∞
n n
a) Ta nói dãy số (a ) là hội tụ nếu có số L ∈ R sao cho lim a =
L.
b) Ngược lại, ta nói dãy số (an) là phân kì.
Giới hạn vô
cùng
n → ∞
n
Ta nói lim a = +∞ nếu
∀M > 0, ∃N ∈ N, ( n ≥ N ⇒ an > M ).
n → ∞
n
Hãy phát biểu cho trường hợp lim a =
−∞
Tính duy nhất của giới
hạn
Giới hạn của một dãy số (hội tụ hoặc giới hạn vô cùng), nếu tồn tại, là duy nhất.

Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn:
Tiêu chuẩn của dãy số đơn
điệu
Một dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ.
Tiêu chuẩn
kẹp
Cho các dãy số thực (an), (bn), (cn) thỏa mãn
a)∃N ∈ N, ∀n ≥ N : an ≤ bn ≤ cn,
b) lim an = lim cn = L.
n → + ∞ n → + ∞
Khi đó, lim bn = L.
n → + ∞

Tiêu chuẩn Cauchy
Định nghĩa
3
Dãy số (a n) được gọi là dãy số Cauchy nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − am| < ϵ với mọi
m, n > N.
Ví dụ 1.1
Dãy
số
1
n
, ,
là một dãy số Cauchy.
N
Lời giải: Cố định ϵ > 0. Ta chọn N > 0 sao cho 2
< .
ϵ Khi đó, với mọi m, n > N
,
m n
1
1
n m
1 1
m n
|a − a | = − < + .
m N m N
Hơn nữa, m, n > N suy ra 1
< 1
, 1
< 1
. Do
đó, 2
⇒ |am − an| <
N
< .
ϵ
Như
vậy,
1
n
, ,
là dãy
Cauchy.

Tiêu chuẩn Cauchy
Định lý 1.1
Dãy số (an) là hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy số Cauchy.
Ví dụ 1.2
n n
1 1
2 n
Chứng minh rằng dãy số (a ) với a = 1 + + · · · + là phân kỳ.
Lời giải: Ta chứng minh (an) không là dãy Cauchy. Tức là tồn tại ϵ > 0 sao cho với mọi N > 0, ta chỉ ra tồn tại
m , n > N , ta có |an − am| > ϵ.
2
Thật vậy, ta chọn ϵ = 1
. Với N > 0 bất kì, chọn n > N và chọn m = 2n, ta
có
|a2n − an| =
+
1 1
n + 1 n +
2
1 1 1
2n 2n 2
+ . . . + > n = .

Giới hạn của dãy
số
Các phép toán về giới hạn của dãy
số
Nếu tồn tại lim an = A,
n → + ∞
lim bn = B hữu hạn thì
n → + ∞
a) lim (an + bn) = lim an + lim bn,
n → + ∞ n → + ∞ n → + ∞
n → + ∞ n → + ∞ n → + ∞
b) lim (an − bn) = lim an − lim bn,
c) lim (anbn) = lim an. lim bn,
n → + ∞ n → + ∞ n → + ∞
an
n → + ∞ bn
lim an
n
n → + ∞
lim bn
n → + ∞
n
d) lim =
→ + ∞
, nếu lim b ̸= 0.
Bốn dạng vô định: ∞ −
∞,
0
,
∞
,
0 ∞
0 × ∞.

Nội dung
1
2
3
4
6
7
Hàm số
bản Dãy số
vi và ứng dụng
biến số

Giới hạn của hàm
số
Hai định nghĩa tương
đương:
Định nghĩa
4
x → x +
0 x → x
−
0
x → ± ∞
Xét x0 ∈ (a, b) và một hàm số f (x ) xác định trên (a, b) { x 0 } . Ta nói giới hạn của hàm số f (x ) khi x tiến đến
x0 bằng L ∈ R và viết
lim f (x) = L
x→x0
nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với 0 < |x − x0| < δ thì |f ( x) − L| < .
ϵ
Tương tự như vậy, hãy nêu các định nghĩa lim f (x), lim f (x), lim f (x).
Định nghĩa
5
x→x0
lim f (x) = L ⇔ ∀(x ), x = x
n n 0
̸ , lim
n → + ∞ x n = x0 thì
lim
n → + ∞ f ( x n) = L.

Các tính chất của giới hạn
Tính duy nhất của giới
hạn
Giới hạn lim f (x), nếu tồn tại, là duy nhất.
x→x0
Các phép toán trên giới
hạn
Nếu tồn tại các giới hạn lim f (x), lim g(x) hữu hạn
thì
x→x0
x→x0
a) lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x).
x→x0 x→x0 x→x0
b) lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x).
c) lim [cf (x)] = c lim f (x).
x→x0 x→x0
d) lim [f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x).
x → x 0 g(x)
e) lim =
f (x) x → x 0
lim f (x)
x→ x0
lim g(x) x→ x0
nếu lim g(x) ̸= 0.

Giới hạn vô cùng của hàm
số
Hai định nghĩa tương
đương:
Định nghĩa
6
x→x0
Xét x0 ∈ (a, b) và một hàm số f (x ) xác định trên (a, b) { x 0 } . Ta nói giới hạn của hàm số f (x ) khi x tiến đến
x0 bằng + ∞ và viết
lim f (x) = +∞
nếu với mọi M > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với 0 < |x − x0| < δ thì f ( x) > M.
0
x → x x → x 0
− x → ± ∞
Tương tự như vậy, hãy nêu các định nghĩa lim f (x), lim f (x), lim f
(x).
+
Định nghĩa
7
lim f (x) = +∞ ⇔ ∀(x ), x = x
x→x0 n → + ∞
n n ̸ 0, lim x n = x0 thì
lim f ( x n) = +∞.
n → + ∞
Chúng ta có các định nghĩa tương tự cho trường hợp giới hạn bằng
−∞.

Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn
kẹp)
Nếu f ( x) ≤ g(x) ≤ h ( x) với mọi x ∈ (a, b) { x 0 } , x0 ∈ (a, b), và tồn tại các giới hạn
x→x0 x→ x0 x→x0
lim f (x) = lim h(x) = L (L hữu hạn hoặc bằng vô cùng). Khi đó lim g(x) = L.
Ví dụ 2.1
ex
− 1
Chứng minh lim
sin x
= lim
x → 0 x
x → 0
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1.

Nội dung
1
2
3
4
6
7
Hàm số
bản Dãy số
vi và ứng dụng
biến số

Vô cùng
bé
x→a
Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → a nếu lim f (x) =
0.
x→ a
Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, nếu lim f (x) = A thì f (x) = A + α(x), trong đó α(x) là một VCB
khi
x → a.
Ví dụ 3.1
f (x) = sin x, g(x) = tan x, h(x) = x2017
là các VCB khi x → 0.
Các tính chất
a) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một
VCB.
0
b) Tuy nhiên, thương của hai VCB chưa chắc đã là một VCB, vì chúng thuộc dạng vô định
0
.

So sánh các VCB
So sánh các
VCB
Giả sử α(x) và β(x) là các VCB khi x → a.
a) Nếu lim
α ( x )
= 0, ta nói rằng α(x) là VCB bậc cao hơn β(x) và kí hiệu α(x) = o(β(x)).
x → a β(x)
b) Nếu lim
x → a β(x)
= A ̸= 0, ta nói rằng α(x), β(x) là các VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu
lim
α(x) α(x)
x → a β(x)
= 1 thì ta
nói α(x) và β(x) là các VCB tương đương và viết α(x) ∼
β(x).
Ví dụ 3.2
a) Khi x → 0+
, f (x) = xa
(a > 0) là VCB bậc cao hơn g(x) = xb
(b > 0) ⇔ a > b.
b) Khi x → 0, sin x ∼ x.

Quy tắc thay tương
đương
đương
Nếu ta có các VCB tương đương α 1( x) ∼ α2(x), β1(x) ∼ β2(x) khi x → a thì
lim
α1( x)
= lim
α2( x)
.
x → a β1(x) x → a β2(x)
Các VCB tương đương hay dùng khi x → 0
x
x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ e − 1
∼
ax
− 1
ln a
~ ln(1 + x)
a
(1 + x) − 1 ∼ ax, x2
1 − cos x ∼
2

đương
Ví dụ 3.3
a) I1 = lim
x 2
e −
12
x → 0 x + x 3
.
2
x 2 2 3 2
1
Khi x → 0, e − 1 ∼ x , x + x ∼ x ⇒ I =
1.
e
√
x
− 1
b) I2 = lim √
x → 0 + x + x
.
2
+
√
x
c) I3 = lim
x→0
m
√
1 + αx −
√n
1 + βx= lim
x→0
m
, √
1 + αx − 1
—
m
√
1 + βx − 1
x x x
,
.
√
m
m n
α √
n
3
β α β
m n
Khi x → 0, 1 + αx − 1 ∼ x, 1 + βx − 1 ∼ x ⇒ I = − .
d) I4 = lim
m
√
1 + αx.
√n
1 + βx −
1
.
√ x → 0 √ x
m
1 + αx. n
1 + βx − 1
x
=
( m
1 + αx − 1). n
1 + βx
x
+
√ √ √
n
1 + βx − 1
x
α β
⇒ I4 =
m
+
n
.

Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao
Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc
cao
Cho α(x), f (x), β(x), g(x) là các VCB khi x → a. Nếu α(x) = o(f (x)), β(x) = o(g(x)) thì
lim
f (x) + α(x)
= lim
f (x)
.
x → a g(x) + β(x) x → a g(x)
Ví dụ 3.4
a) I1 = lim
x→0
sin 2x + arcsin2
x − arctan2
x
3x
.
2 2
1
2x 2
x → 0 3x
3
Khi x → 0, sin 2x + arcsin x − arctan x ∼ sin 2x ∼ 2x ⇒ I = lim = .
b) lim
x→0
3
2
4
1 − cos x + 2 sin x − sin x − x + 3x
tan3 x − 6 sin2
x + x − 5x3
.
Khi
3 2 4 3 2 3
2
2x
x
x → 0, 1 −cos x + 2 sin x−sin x− x +3x ∼ 2 sin x ∼ 2x, tan x− 6 sin x + x − 5x ∼ x ⇒ I = = 2.

Vô cùng bé
Ví dụ 3.5 (Giữa kì, K61)
+
So sánh cặp vô cùng bé sau đây khi x → 0
a) α(x) =
√3
x2 + x3, β(x) = esin x
− 1.
2
α(x) ∼ x 3 , β(x) ∼ sin x ∼ x ⇒ β(x) = o(α(x)).
b) α(x) =
√5
x6 − x5, β(x) = ln(1 + tan x).
α(x) ∼ −x, β(x) ∼ tan x ∼ x ⇒ α(x) và β(x) cùng bậc.
2
c) α(x) = ex
2
− 1, β(
2
x) = x2
+ x3
.
α(x) ∼ x , β(x) ∼ x ⇒ β(x) ∼ α(x).
√
x
d) α(x) = e − 1, β(x) = 2
√
x + x2.
1 1
α(x) ∼ x 2 , β(x) ∼ 2x 2 ⇒ α(x) và β(x) cùng
bậc. √ √
e) α(x) = x + x, β(x) = esin x
− cos x.
1 sin x
α(x) ∼ x 4 , β(x) = e − 1 + 1 − cos x ∼ sin x ∼ x ⇒ β(x) =
o(α(x)).

Vô cùng bé
Chú ý 3.1
KHÔNG thay tương đương với tổng hoặc hiệu hai VCB. Ví dụ, xét α(x) = sin x − tan
x.
a) Nếu thay sin x ∼ x, tan x ∼ x thành sin x − tan x ∼ 0 (SAI).
b) Ta có
lim
x→0
sin x − tan
x x3 = lim
x → 0 x x2
sin x cos x − 1 1
= −
1
cos x 2
x3
⇒ α(x) ∼ −
2
(ĐÚNG).

Vô cùng
lớn
Vô cùng
lớn
a) Hàm số f ( x) được gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → a nếu limx→a |f (x)| = +∞.
1
b) f (x) là một VCL khi x → a ⇔
f ( x)
là một VCB khi x → a.
So sánh các
VCL
Giả sử α(x) và β(x) là các VCL khi x → a.
a) Nếu lim
β ( x )
= 0, ta nói rằng α(x) là VCL bậc cao hơn β(x).
x → a α(x)
α(x)
x → a β(x)
b) Nếu lim = A ̸= 0, ta nói rằng α(x), β(x) là các VCL cùng bậc. Đặc biệt, nếu
lim
α(x)
x → a β(x)
= 1 thì ta
nói α(x) và β(x) là các VCL tương đương và viết α(x) ∼
β(x).

Vô cùng
lớn
Quy tắc thay tương đương và ngắt bỏ VCL bậc
thấp
1 2 1 2
a) Nếu α (x) ∼ α (x), β (x) ∼ β (x) là các VCL khi x → a thì lim
1 2
α (x) α (x)
x → a β1(x) x → a β2(x)
= lim .
b) Cho α(x), f (x), β(x), g(x) là các VCL khi x → a. Nếu α(x) là VCL bậc thấp hơn f (x), β(x) là VCL
bậc thấp hơn g(x) thì
lim
f (x) + α(x)
= lim
f (x)
.
x → a g(x) + β(x) x → a
g(x)
Ví dụ 3.6
x → + ∞
x +
√
x
a. I1 = lim √ √
x + x
√ √ √ √
1
x → + ∞
x
√
x
x, x + x ∼ x ⇒ I = lim = +∞.
b. I2 =
Khi x → +∞, x + x ∼
x + 2x
x → + ∞ x + 3x
lim .
x x x x
2 2x
Khi x → +∞, x + 2 ∼ 2 , x + 3 ∼ 3 ⇒ I = lim =
x
lim
2
x → + ∞ 3x → + ∞
3
, , x
= 0.

Nội dung
1
2
3
4
6
7
Hàm số
bản Dãy số
vi và ứng dụng
biến số

Định nghĩa
8
x→x0
0 0
Xét hàm số f (x) xác định trên (a, b). Hàm f (x) được gọi là liên tục tại x ∈ (a, b) nếu lim f (x) = f
(x ).
Liên tục một phía
−
x→x0
a) Liên tục trái: lim f (x) = f (x0).
b) Liên tục
phải
+
lim f (x ) = f (x0).
x→ x0
Định nghĩa
9
Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn
i) Hàm số f (x) liên tục trên (a, b) nếu nó liên tục tại mọi x0 ∈ (a, b),
ii) Hàm số f ( x) liên tục trên [a, b] nếu nó liên tục tại mọi x0 ∈ (a, b), đồng thời liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.

Các định lý về hàm liên tục
Một số tính
chất
Cho f , g : (a, b) → R là hai hàm số liên tục tại x0 ∈ (a, b). Khi đó, f + g, f g cũng liên tục tại x0. Nếu g(x0) ̸= 0
g
0
thì
f
liên tục tại
x .
Hàm liên tục trên một
đoạn
Cho hàm f liên tục trên [a, b]. Khi đó, f bị chặn trên [a, b], tức là m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b]. Hơn
nữa, f đạt được GTLN, GTNN trên đó.
Sự liên tục của hàm
hợp
Nế
u
u(x) liên tục tại
x ,
0
f ( x) liên tục tại u0 = u(x0)
thì f (u(x)) liên tục tại x = x0.
Sự liên tục của hàm
ngược
Nếu f : (a, b) → (c, d) là song ánh và liên tục thì hàm ngược f − 1
: (c, d) → (a, b) cũng liên tục.

Ví dụ 4.1
Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định.
Ví dụ 4.2 (Học kì 20163)
Tìm a để x = 1 là điểm liên tục của hàm
số
f (x) =
√
a cos x −
1,
nếu x ≥ 1,
arccot(1 − x), nếu x < 1.
x → 1 −
π
2
Lời giải: Do arccot, cos,
√
x là các hàm sơ cấp, ta có lim arccot(1 − x) = arccot(0) =
và
x → 1 +
√
lim a cos x − 1 =
a,
x → 1 − x → 1 +
π
2
f liên tục tại x = 1 ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ a = .

Các tính chất của hàm số liên tục
Định lý giá trị trung
gian
Cho f : [a, b] → R là một hàm số liên tục. Khi đó f (x) nhận tất cả các giá trị trung gian giữa f (a) và f
(b). Nghĩa là, nếu f (a) < f (b) thì ∀c ∈ [f (a), f (b)], ∃α ∈ [a, b] : f (α) = c.
Định lý Cauchy
Nếu f (x) liên tục trên [a, b] và f (a).f (b) < 0 thì ∃α ∈ (a, b) sao cho f (α) = 0.

Các tính chất của hàm liên tục
Ví dụ 4.3
Cho f (x) = ax2
+ bx + c.
a) Biết a + b + 2c = 0, chứng minh rằng f (x) có ít nhất một nghiệm trong khoảng [0, 1].
b) Biết 2a + b + c = 0, chứng minh rằng f (x) có ít nhất một nghiệm trong khoảng [0, 2].
Lời giải: Hàm f (x) = ax2
+ bx + c liên tục trên [0, 1]
c) Bài toán hiển nhiên đúng nếu f (0) hoặc f (1) bằng 0. Giả sử f (0), f (1) ̸= 0. Ta có
2
f (0) + f (1) = c + a + b + c = 0 ⇒ f (0) = −f (1) ⇒ f (0)f (1) = −f (1) < 0. Áp dụng Định lí
Cauchy,
f (x) có nghiệm trong (0, 1). Nói cách khác, f (x) luôn có ít nhất một nghiệm trong [0, 1].
b) Bài toán hiển nhiên đúng nếu f (0) hoặc f (1) bằng 0. Giả sử f (0), f (1) ̸= 0. Ta có
f (0) + f (2) = c + 4a + 2b + c = 2(2a + b + c) = 0 ⇒ f (0) = −f (2) ⇒ f (0)f (2) = −f 2
(2) < 0. Áp
dụng Định lí Cauchy, f (x) có nghiệm trong (0, 2). Nói cách khác, f (x) luôn có ít nhất một nghiệm
trong [0, 2].

Điểm gián đoạn của hàm
số
Định nghĩa 10
Điểm x0 ∈ R được gọi là điểm gián đoạn của f (x ) nếu như f (x ) không liên tục tại x0.
Phân loại điểm gián
đoạn
x→x0
+ −
x→x0
Cho x0 là một điểm gián đoạn của f . Ta nói:
a) x0 là điểm gián đoạn bỏ được của f nếu lim f ( x) tồn tại và hữu hạn.
x→x0
b) x0 là điểm gián đoạn loại I nếu các giới hạn một phía lim f (x), lim f (x) tồn tại, hữu hạn nhưng
không
bằng nhau.
c) x0 là điểm gián đoạn loại I I trong các trường hợp còn lại.

Điểm gián đoạn của hàm
số
Ghi
chú
a) Cho f liên tục trên (a, b) { x 0} . Nếu x0 là điểm gián đoạn bỏ được của f , ta có thể định nghĩa hàm f˜ liên
tục trên (a, b) như
sau
˜
f (x) =
(
0
f (x) nếu x ∈ (a, b)
{ x },
x→ x0
lim f ( x) nếu x = x0
.
0 0
+ −
0
b) Nếu x là một điểm gián đoạn loại I thì giá trị f x − f x gọi là bước nhảy của hàm
số.
Liên tục từng
khúc
Ta nói hàm số f (x) liên tục từng khúc trên [a, b] nếu
a) a = a0 < a1 < · · · < an = b,
b)Với mỗi 0 ≤ i ≤ n − 1, f (x ) liên tục trên mỗi khoảng (ai, ai+1),
c) các điểm ai, 0 ≤ i ≤ n là các điểm gián đoạn loại I của f .

Phân loại điểm gián đoạn của hàm số I
Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm
số
a) y =
1
1 − 2tan x
.
k
π
2 l
Các điểm gián đoạn α = + kπ, k ∈ Z và β = lπ, l ∈ Z. Ta
có
+
k
lim tan x = −∞,
x → α k
x → β
− +
l
lim tan x = +∞, lim tan x =
0, x → β l
lim tan x = 0.
−
x → α
Tại x = αk :
x → α
+
k
x → α
−
k
lim y(x) = 1, lim y(x) = 0.
x → β +
l
Do đó, αk , k ∈ Z là điểm gián đoạn loại I
Tại x = βl :
lim y(x) = −∞.
Do đó, βl , l ∈ Z là gián điểm đoạn loại II.

Phân loại điểm gián đoạn của hàm
số
b) y = e
π
2
−arctan 1
x .
Điểm gián đoạn x = 0.
lim y(x) = e0
= 1, lim y(x) = eπ
.
x → 0 +
x → 0 −
Do đó, 0 là điểm gián đoạn loại I.
c) y =
1
x − 1
1 − 2 x
.
Điểm gián đoạn x1 = 0, x2 = 1.
Tại x1 = 0 :
lim y(x) = 1, lim y(x) = 0.
x → 0 + x → 0 −
Do đó, 0 là điểm gián đoạn loại I.
Tại x2 = 1 :
l
i
m
y

Sự liên tục đều
Kí hiệu I là một trong các khoảng sau (a, b), (a, b], [a, b),
[a, b].
Định nghĩa 11
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng I.
a)Ta nói f ( x) là liên tục tại x0 nếu lim f (x ) = f (x0), nghĩa là
x→x0
∀ϵ > 0, ∃δ = δ( ,
ϵ x0), ∀x ∈ I , (|x − x0| < δ ⇒ |f ( x) − f (x0)| < ϵ).
Hàm số f ( x) được gọi là liên tục trên I nếu nó liên tục tại mọi x0 ∈ I.
b) Ta nói f (x) liên tục đều trên I nếu
∀ϵ > 0, ∃δ = δ(ϵ), ∀x, y ∈ I, (|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < .
ϵ )
a)Liên tục: δ = δ( ,
ϵ x0),
b)Liên tục đều: δ = δ(ϵ) LIÊN TỤC ĐỀU ⇒ LIÊN
TỤC . Ví dụ: Xét hàm số f (x) = x

Tính liên tục đều
Định lý 4.1 (Heine-Cantor)
Nếu f (x) liên tục trên khoảng đóng [a, b] thì nó liên tục đều trên đó.
Ví dụ 4.6
x
Xét sự liên tục đều của hàm số f (x) = trên [−1,
1].
4 − x2
Lời giải: Hàm f (x) xác định và liên tục trên (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞). Do đó, ta áp dụng Định lí
Heine - Cantor cho đoạn [−1, 1] ⊂ (−2, 2).
Bổ đề 4.1
i) Nếu f ( x) liên tục tại x0 thì với mọi dãy ( x n ) ⊂ I,
n
lim x n = x0 ⇒
→ + ∞
lim f ( x n) = f (x0).
n → + ∞
ii) Nếu f ( x) liên tục đều trên I thì với mọi dãy ( x n) ⊂ I và (yn) ⊂ I,
n → + ∞ n → + ∞
n n n n
lim (x − y ) = 0 ⇒ lim [f (x ) − f (y )] =
0.

Tính liên tục đều
Theo Bổ đề 4.1, để chỉ ra hàm số f ( x) không liên tục đều trên I, ta chỉ ra hai dãy số ( x n ) ⊂ I và (yn) ⊂ I sao cho
n → + ∞ n → + ∞
n n n n
lim (x − y ) = 0 NHƯNG lim [f (x ) − f (y )] ̸=
0.
Ví dụ 4.7
Chứng minh các hàm sau không liên tục đều trên (0, 1).
x
a) f (x) =
1
,
n 1
n
Xét x = , yn
1
n+1
= . Ta có, khi n → +∞, x − y
n n = 1
n(n+1) n n
→ 0 nhưng f (x ) − f (y ) =
1.
b) g(x) = ln x,
n
1
4
n
Xét x = , yn
3
4
n
= . Ta có, khi n → +∞, x − y = 1−3 n
n n 4n
→ 0 nhưng
n n
1
3
f (x ) − f (y ) = n ln ̸→ 0.
x
c) h(x) = sin
1
.
Xét x n = π
1
1
2 +2nπ 2nπ
n n n
, y = . Ta có, khi n → +∞, x − y = −
π
2
2
2nπ( π +2nπ)
→ 0 nhưng
n n
π
2 ̸
f (x ) − f (y ) = sin( + 2nπ) − sin(2nπ) = 1 =
0.

Nội dung
1
2
3
4
6
7
Hàm số
bản Dãy số
vi và ứng dụng
biến số

Đạo hàm
Định nghĩa 12
∆ x → 0 x→x0
∆ x x − x0
Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Hàm f được gọi là có đạo hàm tại x0 nếu giới hạn
lim
f (x0 + ∆ x ) − f (x0)
= lim
f ( x) − f (x0)
.
tồn tại và hữu hạn. Giá trị giới hạn được gọi là đạo hàm của f tại x0, kí hiệu là f ′
(x0).
Định nghĩa 13
Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Giá trị
+ 0
f ′
(x ) = lim
∆ x → 0 + ∆ x
f (x0 + ∆ x ) − f (x0)
,
nếu tồn tại và hữu hạn, được gọi là đạo hàm phải của f tại x0. Giá trị
— 0
f ′
(x ) = lim
∆ x → 0 −
f (x0 + ∆ x ) − f (x0)
∆ x
nếu tồn tại và hữu hạn, được gọi là đạo hàm trái của f tại x0.

Đạo hàm
′
Tính f (0), nếu tồn tại, biết f (x) =
nếu x ≥ 0,
sin x,
x2
+ x, nếu x < 0.
Lời
giải:
lim
f (x) − f (0)
= lim
sin x
=
1,
x → 0 + x − 0 x → 0 + x
lim
x → 0 − x − 0
2
f (x) − f (0) x
+ x
x → 0 − x x → 0 −
= lim = lim x + 1 = 1.
Vậy, f ′
(0) = 1.

Đạo hàm
Các tính chất
a) Mối quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm một
phía.
0
∃f (x )
′ ′
⇔ f (x ′
+ 0 − 0
), f (x ) tồn tại, hữu hạn và bằng
nhau.
b) f (x) có đạo hàm tại x0 ⇒
̸ ⇐
liên tục tại x0.
Các phép toán trên đạo
hàm
a) (u + v)′
= u′
+ v′
,
b) (u − v)′
= u′
− v′
,
c) (uv)′
= u′
v + uv′
,
d)
v
′
=
u u v − uv
′ ′
v2
.
Hãy chỉ ra một hàm số f ( x) xác định trên R, liên tục tại các điểm x0 = 0, x1 = 1 nhưng không có đạo hàm tại các điểm
này.
Lời giải: Xét hàm f (x) = |x||x − 1|.

Đạo hàm của hàm hợp và hàm
ngược
Đạo hàm của hàm
hợp
[f (u(x))]′
= f ′
(u(x)).u′
(x).
Đạo hàm của hàm
ngược
Cho hàm f : (a, b) → (c, d) là một song ánh liên tục và f − 1
: (c, d) → (a, b) là hàm ngược của f . Nếu f có
đạo
hàm tại x ∈ (a, b) thì f − 1
có đạo hàm tại f (x) và
(f − 1
)′
(f (x)) =
1
f ′ (x)
.

Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
α ′ α−1
x ′ x
(a ) = a ln a
a) (x ) = αx
b)
c)
′ 1
(loga x) =
x ln a
′
d) (sin x) = cos x
′
e) (cos x) = − sin x
′ 1
f) (tan x) =
cos2 x
′ 1
g) (cot x) = −
sin2
x
′ 1
h) (arcsin x) = √
1 − x2
′ 1
i) (arccos x) = − √
′
j) (arctan x)
=
1 − x2
1
1 + x2
′ 1
k) (arccot x) = −
1 + x2

Vi phân
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0. Theo định nghĩa của đạo hàm,
lim
∆ x → 0
0
f (x + ∆x) −f (x )
∆ x
0 ′ 0
= f (x )
⇒ lim
∆ x → 0
′
0 0 0
f (x + ∆x) − f (x ) − f
(x )∆(x) ∆ x
= 0
Do
vậy
f (x0 + ∆ x ) − f (x0) − f ′
( x 0 ) ∆ x = o(∆x)
⇒ f (x0 + ∆ x ) − f (x0) = f ′
( x 0 ) ∆ x + o(∆x)
⇒ f (x0 + ∆ x ) − f (x0) ∼ f ′
( x 0 ) ∆ x khi ∆ x
→ 0.
Định nghĩa 14
Xét hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Nếu có ∆ f = f (x0 + ∆ x ) − f (x0) = A ∆ x + o(∆x), ở đó A chỉ phụ thuộc
vào x0 chứ không phụ thuộc vào ∆ x thì ta nói hàm số f ( x) khả vi tại x0 và
df (x0) = A ∆ x .
được gọi là vi phân của f tại x0.

Vi phân
Mối liên hệ giữa đạo hàm và vi
phân
a) Đối với hàm số một biến số, hàm số có đạo hàm tại x khi và chỉ khi nó khả vi tại x, và df (x) = f ′
(x)∆x.
b) Nếu y = x thì dy = dx = 1.∆x. Vì thế với biến số độc lập x ta có dx = ∆ x và do đó,
dy = df (x) = f ′
(x)dx.
Các phép toán trên vi
phân
u
v
d(u ± v) = du ± dv, d(u.v) = udv + vdu, d =
vdu − udv
v2
.

Vi phân
Tìm f ′
(x) nếu biết
dx
a)
d
[f (2016x)] = x2
.
d
dx
′ ′ 2 ′
Đặt u = 2016x ⇒ [f (2016x)] = f (u(x))u (x) = x ⇒ 2016f (u) = u2
20162
⇒ f ′
(u) =
20163
u2
.
Vậy, f ′
(x) =
2
2016
x
3 .
dx
b)
d
[f (2017x)] = x2
.
d
dx
′ ′ 2 ′
Đặt u = 2017x ⇒ [f (2017x)] = f (u(x))u (x) = x ⇒ 2017f (u) = u2
20172
⇒ f ′
(u) =
20173
u2
.
Vậy, f ′
(x) =
2
2017
x
3 .

Ý nghĩa & ứng dụng của vi phân
Tính bất biến của vi phân cấp
một
Cho y = f (x) là một hàm số khả vi.
a) Nếu x là một biến số độc lập thì ta có dy = f ′
(x)dx,
b) Nếu x không phải là một biến số độc lập, chẳng hạn như x = x(t) là một hàm số phụ thuộc vào t
chẳng hạn, thì ta vẫn có
dy = f ′
(x)dx.
Do đó, vi phân cấp một có tính bất biến.
Chú ý: Vi phân cấp cao không có tính bất biến
này.
Ứng dụng của vi phân vào tính gần
đúng
f (x0 + ∆ x ) ≈ f (x0) + f ′
( x 0) ∆ x .

Ý nghĩa & ứng dụng của vi phân
a) Tính gần đúng
√3
7,
97.
3
√
0
′
Xét f (x) = x, x = 8, ∆ x = −0, 03. Khi đó, f (x) = 1 1
3
√3
x2
và
3
√ ′
0 0 0
1
12
7, 97 = f (x + ∆ x) ≈ f (x ) + f (x )∆x = 2 − 0, 03 = 1.9975.
b) Tính gần đúng
√3
8,
03. 3
√3
x2
Xét f ( x) =
√3
x, x0 = 8, ∆ x = 0, 03. Khi đó, f ′
( x ) = 1 1
và
3
√ ′
0 0 0
12
1
7, 97 = f (x + ∆ x) ≈ f (x ) + f (x )∆x = 2 + 0, 03
= 2, 0025.

Đạo hàm cấp
cao
Định nghĩa 15
Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm thì y′
= f ′
(x) gọi là đạo hàm cấp một của f.
′ ′
(n)
a) Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp một được gọi là đạo hàm cấp hai, kí hiệu là f (x).
b) Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp n − 1 được gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu là f
(x).
Các phép
toán
a) (u ± v)( n )
= u( n )
± v( n )
,
n
Σ
k=0
b) (u.v) = Cn u v
(n) k ( k) ( n − k )
(công thức
Leibniz).

Bảng đạo hàm cấp cao
1) (xα
)( n )
= α(α − 1) · · · (α − n + 1)xα − n
2)
1
x + α
, , (n)
n
= (−1)
n!
(x +
α)n + 1
(n)
3) (sin x) = sin x +
nπ
2
(n)
d) (cos x) = cos x +
nπ
2
e) (ax
)( n )
= ax
(ln a)n
f) (ln x)( n )
= (−1)n−1 (n − 1)!
xn
Tính các đạo hàm cấp
cao
a) [(x2
+ x)ex
](20)
.
Kết quả: ex
(400 + 41x + x2
).
b) (x2
sin 2x)(50)
.
Kết quả:
249
(−2x2
sin(2x) + 100x
cos(2x) + 1225
sin(2x)).
c) (x2
cos 2x)(60)
.
Kết
d)
,
1
x2 − x
, (60)
.
60
Kết quả: (−1) 60! 1
(x−1)6 1
—
1
x61 .
2
e) y( 10 )
(0) với y(x) =
ex
.
Kết quả: 10!
.
5!
f) y( 9 )
(0) với y(x) = arctan
x.
Kết quả: 8!.

Vi phân cấp cao
Định nghĩa 16
a) Vi phân của vi phân cấp một d(d(f (x))) được gọi là vi phân cấp hai của hàm số f (x), và được kí hiệu là
d2
f (x).
b) Tương tự như vậy, dn
f (x) = d(dn − 1
f (x)).
Công thức
tính
a) Nếu x là biến số độc lập thì dn
f (x) = f ( n )
(x)dxn
.
b) Chú ý rằng vi phân cấp cao không có tính bất biến, chẳng hạn như, nếu x phụ thuộc vào t thì
df (x) = f ′
(x)dx, d2
f (x) = f ′
(x)d2
x + f ′ ′
(x)dx2
̸= f ′′
(x)dx2
.
Ví dụ 5.6 (Học kì 20163)
Cho y = (2x + 1) sin x. Tính d(10)
y(0).
Kết quả: d(10)
y(0) = 20dx10
.

Nội dung
1
2
3
4
6
7
Hàm số
bản Dãy số
vi và ứng dụng
biến số

Cực trị của hàm
số
Định nghĩa 17
Cho hàm số f ( x) liên tục trên (a, b), ta nói hàm số đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại một khoảng mở
(c, d) sao cho x0 ∈ (c, d) ⊂ (a, b) và f (x) − f (x0) không đổi dấu ∀x ∈ (c, d) {x0}.
a)Nếu f ( x) − f (x0) > 0 thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b)Nếu f ( x) − f (x0) < 0 thì ta nói hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lý 6.1 (Định lý Fermat )
Cho f ( x) xác định trên khoảng (a, b), nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a, b) và có đạo hàm tại x0 thì
f ′
( x0) = 0.

Cực trị của hàm số một biến
số
Định lý 6.2 (Điều kiện đủ của cực trị)
Giả thiết hàm số f (x ) khả vi trong khoảng (a, b) { x 0} , ở đó x0 ∈ (a, b) là một điểm tới hạn (đạo hàm bằng 0
hoặc không xác định).
a)Nếu khi đi qua x0 mà f ′
( x ) đổi dấu từ dương sang âm thì f ( x) đạt cực đại tại x0.
b)Nếu khi đi qua x0 mà f ′
( x ) đổi dấu từ âm sang dương thì f ( x) đạt cực tiểu tại x0.
Ví dụ 6.1
Tìm các cực trị của hàm
số 2x
a) y = .
′
y =
x2 + 2
2
− 2 ( x −2)
(x2 +2)2
′
√
. Ta có y (0) = 0 ⇔ x = ± 2
√ √ 1
√
2
Hàm đạt cực đại tại 2, y( 2) = .
√ √ 1
Hàm đạt cực tiểu tại − 2, y(− 2) = − √
2
.
3
√
2
b) y = x − 3 x .
′ 1
3
√
x
̸
y = 1 − 2 , x =
0.
Điểm tới hạn x = 0, x = 8
Hàm đạt cực đại tại 0, y(0) = 0.
Hàm đạt cực tiểu tại 8, y(8) = −4.

số
Định lý 6.3
′ ′
′ ′
Giả thiết hàm số f ( x) có đạo hàm đến cấp hai liên tục ở lân cận của điểm x0 và f ′
(x 0) = 0. Khi đó
a)Nếu f (x0) > 0 thì f (x) đạt cực tiểu tại x0.
b)Nếu f (x0) < 0 thì f ( x) đạt cực đại tại x0.
Tìm các cực trị của hàm số y =
sin x
2 + cos x
trong khoảng (0, 2π).
(2+cos x)2 3
3
Lời giải: y′
= 1 + 2 cos x
. Các điểm tới hạn thuộc (0, 2π) : x = 2π
, 4π
. 2π 2π 1
√
3 3 3
Hàm đạt cực đại tại , y( ) = .
4π
3 3
4π 1
√
3
Hàm đạt cực tiểu tại , y( ) = − .

số
Định lý 6.4
Giả thiết hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đến cấp n tại lân cận của điểm x0 và
f ′
( x0) = f ′ ′
(x 0) = · · · = f ( n − 1 )
( x 0) = 0, f ( n )
( x 0) ̸ = 0.
Khi đó
a)Nếu n chẵn thì f (x0) đạt cực trị tại x0 và đạt cực tiểu nếu f ( n )
( x 0) > 0, đạt cực đại nếu f ( n )
( x 0) < 0.
b)Nếu n lẻ thì f ( x) không đạt cực trị tại x0.
Ví dụ 6.3
Tìm cực trị của hàm số y = sin3
x.
Lời giải: Do ∀x ∈ R, y(x) = y(x + 2π), ta khảo sát hàm số trên đoạn [0, 2π].
2
y′
= 3 sin2
x cos x. Ta có, y′
(x) = 0 ⇒ x = π
+ kπ, k ∈ Z.
π
2 2
′′ 2 3 ′′ π
Xét y = 6 sin x cos x − 3 sin x. Ta có, y + 2kπ < 0 suy ra + 2kπ là các điểm cực đại. Tương
tự,
′′ π
2
π
2
y + (2k + 1)π > 0 suy ra + (2k + 1)π là các điểm cực
tiểu.

Các định lý về hàm khả vi
Định lý Rolle
Nếu hàm số f (x)
a) liên tục trong đoạn [a, b],
b) có đạo hàm trong khoảng (a, b),
c) thỏa mãn điều kiện f (a) = f (b),
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f ′
(c) = 0.
Ví dụ 6.4 (Học kì 20163)
2 2 ′
Cho hàm số f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Phương trình f (x) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực? Giải thích.
Lời giải: f (x) có 5 nghiệm thực phân biệt 1, ±
√
2, ±
√
3 nên theo định lí Rolle, f ′
(x) có tối thiểu 4 nghiệm
phân biệt. Mặt khác, f là đa thức bậc 5 nên f ′
là đa thức bậc 4. Do đó, f ′
có tối đa 4 nghiệm phân biệt.
Như vậy, f ′
có đúng 4 nghiệm thực phân biệt.

Định lý Lagrange
Nếu hàm số f (x)
a) liên tục trong đoạn [a, b],
b) có đạo hàm trong khoảng (a,
b),
thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f ′
(c)
=
f (b) − f
(a)
b − a
.
Chứng minh rằng
1
b
+
−
b
a
2
< arctan b − arctan a <
1
b
+
−
a
a
2
với 0 < a < b.
Lời giải: Áp dụng Định lí Lagrange cho arctan(x) trên (a, b), tồn tại c ∈ (a, b) sao
cho arctan b − arctan a = (b −
a)
1
c2 + 1
.
Do a2
+ 1 < c2
+ 1 < b2
+ 1 và b − a > 0, ta có điều phải chứng
minh.

Định lý Cauchy
Nếu các hàm số f (x), g(x) thỏa mãn các điều
kiện
a) Liên tục trong đoạn [a, b],
b) Có đạo hàm trong khoảng (a, b),
c) g′
(x) ̸= 0, ∀x ∈ (a, b). Khi đó, f (b) − f (a) f ′
(c)
∃c ∈ (a, b) sao cho
g(b) − g(a)
=
g′(c)
.

Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin
Định lý 6.5
Nếu hàm số f (x) có đạo hàm đến cấp n + 1 trong khoảng (a, b), x0 ∈ (a, b), thì f (x) có thể biểu diễn dưới dạng
f ′
(x0)
f ( x) = f (x0) +
1!
( x − x0) + · · · + f ( n )
( x0)
n!
f (n+1)
(c)
n n+1
( x − x0) +
( n + 1)!
( x − x0) ,
ở đó c là một số thực nằm giữa x và x0 nào đó.
Nếu x0 = 0 thì công thức sau còn được gọi là công thức Maclaurin:
1!
f (x) = f (0) + x + · · ·
+
f ′
(0) f ( n )
(0) n
f (n+1)
( c ) n + 1
x +
x
. n!
(n + 1)!

Một số khai triển Maclaurin
α
a) (1 + x) = 1 + αx +
α(α − 1)
2
2
x + · · · +
α(α − 1) · · · (α— n +
1)
n!
xn
+ o(xn
)
b)
1
1 + x
= 1 − x + x2
− · · · + (−1)n
xn
+ o(xn
)
1 − x
1
c) = 1 + x + x2
+ · · · + xn
+
o(xn
)
x2
xn
x n
d) e = 1 + x + + · · · + + o(x )
2!
n!
x3
x5
x2n+1
n 2n+1
e) sin x = x −
3!
+
5!
+ · · · + (−1)
(2n + 1)!
+ o(x )
x2
x4
n
x2n
2n
f) cos x = 1 −
2!
+
4!
+ · · · + (−1)
(2n)!
+ o(x )
x2
x3
n
n − 1 x n
g) ln(1 + x) = x −
2
+
3
+ · · · + (−1)
n
+
o(x )
Ứng
dụng
a) Tính gần đúng.
b) Tính giới hạn.

Công thức Maclaurin
Tính gần
đúng
Tính gần đúng số e với sai số nhỏ hơn 0, 0001.
Lời giải: Ta áp dụng Định lí 6.1 cho hàm ex
với x0 = 0 và x = 1, Khi đó, tồn tại δ ∈ (0, 1) sao cho
f (1) = f (0) +
1
x +
1
x2
+ . . . +
1
xn
+
1
1! 2! n! (n + 1)! δn+1
.
1 1
1
1! 2! n! (n+1)!
1 n+1
Do đó, e được xấp xỉ bởi 1 + + + . . . + với sai số δ < 1
(n+1)!
. Chọn n = 7, ta có
1! 2! 7!
1 1 1 −5 −4
1 + + + . . . + = 2.718253968 (với e ≈ 2.718281828, sai số tuyệt đối không vượt quá 2.10 < 10 ).
Tính giới
hạn
Tính
x→0
x3
lim
x − sin x
.
3
3!
x 3
Lời giải: Do sin x = x − + o(x ) ⇒ x−sin x
x3
=
x 3
+ o(x 3 )
6
x3
1
6
o(x3 )
x3
= + . Do
đó,
x→0
x3 6
lim
x − sin x
=
1
.

Công thức Maclaurin
Tính giới hạn
a) lim
x→0
ex
− cos x − ln(1 + x)
x2
.
2
Kết quả: 3
.
x→0
x2
b) lim
sin x − ln(1 + x)
.
1
Kết quả: 2 .
c) lim
x→0
1
ex
−
x2
1 − x .
1
2
Kết quả: − .
d) lim
x→0
ex
− sin x − cos x
x2
.
Kết quả: 1
e) lim
x→0
ln(1 + x) − sin x
x2
.
2
Kết quả: 1
.
2x
x2
f) lim
e − 1 − sin
2x
.
x→0
Kết quả: 2
x x2 x 3
2 6
3 x 2
2
3 x2
2
x 3
3
3
Lời giải ví dụ: a) Ta có e = 1 + x + + + o(x ), cos(x) = 1 − + o(x ), ln(1 + x) = x − + + o(x )
⇒
ex
− cos x − ln(1 + x)
x2
=
3x
2
2 3
6
x 3
− + o(x )
x2
3 x
2 6
x→0
= − + o(x) −
−
−
→
3
2

Định lý 6.6 (Quy tắc L’Hospital)
x →a x→ a
Xét a ∈ (c, d) và f : (c, d) {a} → R.
i) Các hàm số f (x), g(x) khả vi trên (c, d) { a} và g′
(x) ̸= 0 với mọi ∀x ∈ (c, d) {a}.
ii) lim f (x) = lim g(x) = 0.
Khi đó nếu tồn tại lim
f ′
(x)
x → a g′ (x)
= A thì lim
f (x)
x → a g(x)
= A.

Công thức L’Hospital
Chú ý 6.1
Công thức L’Hospital vẫn đúng
nếu
a) lim f (x) = lim g(x) =
0,
x → ± ∞ x → ± ∞
b)
x
lim f (x) = ±∞, lim g(x) = ±∞,
→ a x→ a
c) x
lim f (x) = ±∞, lim g(x) = ±∞.
→ ± ∞ x → ∞
d) A = ±∞.
Công thức L’Hospital chỉ là điều kiện đủ.
Ví dụ (Cuối kì, 20163). Tính
x + sin x
x → ∞ x +
1
lim .

Về các dạng vô định 1∞, 00, ∞0
Chuyển định
dạng
B(x )
I = lim A(x) = e
x→x0
lim B ( x ) ln A(x)
x → x 0 J
= e .
Nếu I có dạng vô định 1∞
, 00
, ∞0
thì J ở dạng 0 × ∞.
Ví dụ 6.7
a) lim
x → ∞
,
x2
− 1
2
x + 1
, x − 1
x + 1
.
, 2
x − 1
x2 + 1
, x − 1
x + 1
= exp x−1
x+1
ln
2
x − 1
2
x +1
.
2
x −1
x2 +1
Do ln = ln 1
−
2
x2 +1 x → ∞
2
x2 +1
~ − , ta
có
2
x
x
+
−
1
1
ln
x
x
2 +
−
1
1
∼ x → ∞ −
( +x
2(
1)(
x
− 1)
Do đó, lim
x → ∞
,
x2
− 1
2
x + 1
, x − 1
x + 1 0
= e = 1.
b) limx→0
,
sin x
x
, 1
x2 1
. Kết quả: e−
6 .
x→0
x2
c) lim (1 − cos x) . Kết quả:
1.
x → 2
d) lim π + (tan x)tan 2 x
. Kết quả: 1.

Về các VCL tiêu
biểu
Ba VCL tiêu biểu (khi x → +∞), đó là
a) Các hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1, ví dụ ax
(a > 1),
b) Các hàm số đa thức, các hàm số là lũy thừa của x, chẳng hạn xn
, xα
, (α >
0),
c)Các hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1, như ln x, loga x (a
> 1). Ba hàm số này tiến ra vô cùng khi x → +∞ với tốc độ khác
nhau. Hàm số mũ > Hàm số đa thức > Hàm số logarit
Cụ
thể,
ax
α
lim = +∞,
lim
x
x
x α
→ + ∞ x → + ∞ loga x
= +∞, ∀a > 1, α > 0.
Ví dụ 6.8
Tính
I = lim
ln x + x2016
+ ex
x → + ∞ log2 x + x2017 + 2ex
.
Lời giải: ln x + x2016
+ ex
∼x → ∞ 2
x 2017 x
e , log x + x + 2e
∼
x → ∞
x
2e ⇒ I = 1
2

Một số bài tập bổ
sung
x → ∞
2
a) lim x − x ln 1 +
1
x
, ,
b) lim
,
1 1
x → 0 x x
— cot
x
,
c) lim
x→0
sin(sin x) − x
√3
1 −
x2
x5
x→0
1
x 2
d) lim ln(1 + x)
−
x
e − 1
x
2
— x
cos x − e 2
x4
—
1 1
x sin x
,
e) lim
x→0
f) lim
x→0
g) lim
x→0
,
,
tan x − x
x − sin x
,
x→0
,
h) lim
−
1 1
x −
x e 1
,
arctan x
i) lim
x → 0 sin x − x
ln x
j) lim
x → 0 + 1 + 2 ln(sin x)
x→0
k) lim
sin x − x cos x
x3
x→0
x2
l) lim √ √
1 + x sin x − cos x
m) lim
ln(cos ax)
x → 0 ln(cos bx)
, a ̸= 0, b ̸=
0
,
2
n) lim arctan x
, x
o) lim
x → ∞
,
x → ∞ π
a
+ b
1/x 1/x
2
, x
, a, b >
0
p) lim 1 −
√
1 + x2 cos x
x → 0 x(tan x − sinh x)

Một số bài tập bổ
sung
x → ∞
1
x
, ,
2
1 2
a) lim x − x ln 1 + = .
b) lim
1 1
x → 0 x x
, ,
1
— cot x = 3 .
c) lim
x→0
sin(sin x) − x
√3
1 −
x2 x5
90
= 19 .
x→0
1
x 2
d) lim ln(1 + x)
−
x
e − 1
x
= 1.
2
— x
cos x − e 2
x4
1
—
1 1
x sin x
,
= − 12
= 0.
e) lim
x→0
f) lim
x→0
g) lim
x→0
,
,
tan x − x
x − sin x
,
= 2.
x→0
,
h) lim
−
1 1
x −
x e 1
,
1
2
= .
x → 0 sin x − x
arctan x
i) lim = −∞.
x → 0 + 1 + 2 ln(sin x)
2
ln x
j) lim = 1
.
x→0
x3
3
k) lim
sin x − x cos x
= 1
.
x→0
x2
l) lim √
1 + x sin x − cos x
4
3
√
= .
m) lim
x → 0 ln(cos bx)
ln(cos ax) a2
= b2 .
2
, , x
− 2
n) lim arctan x = e π .
o) lim
x → ∞
,
x → ∞ π
a
+ b
1/x 1/x
2
, x
√ √
= a
b.
p) lim 1 −
√
1 + x2 cos x
x → 0 x(tan x − sinh x)
= 2.

Hàm số đơn điệu và các tính chất
Định nghĩa 18
Hàm số f (x) xác định trên (a, b) được gọi là
a)đơn điệu tăng nếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 thì f (x1) ≤ f (x2),
b)đơn điệu giảm nếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 thì f (x1) ≥ f (x2),
c)tăng ngặt nếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 thì f (x1) < f (x2),
d)giảm ngặt nếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 thì f (x1) > f (x2).

Hàm số đơn điệu và các tính chất
Định lý 6.7
Cho hàm số f (x) xác định và có đạo hàm trong khoảng (a, b). Khi đó, nếu f ′
(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) thì f (x)
đơn điệu tăng trên (a, b).
Chú ý 6.2
a) Trong Định lý trên ta đã giả thiết f (x) là hàm số có đạo hàm trong khoảng (a, b). Tuy nhiên, trong thực
tế, một hàm số đơn điệu không nhất thiết phải có đạo hàm. Thậm chí, nó có thể còn không liên tục.
b) Xét tính đơn điệu của hàm số f (x) =
1
. Khi xét tính đơn điệu của hàm số, người ta chỉ xét tại
những
x
khoảng (đoạn) mà hàm số đó được xác
định.

Hàm lồi
Định nghĩa 19
Hàm số f (x) xác định trong khoảng I được gọi là lồi nếu
f (tx1 + (1 − t)x2) ≤ t f (x1) + (1 − t ) f (x2), ∀x1, x2 ∈ I và ∀t ∈ [0, 1].

Hàm số lồi
Định lý 6.8
Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trong khoảng I và có đạo hàm đến cấp hai trong I. Khi đó, nếu f ′ ′
(x) > 0
trong I thì f là hàm số lồi trong I.
Chú ý 6.3
Hàm số f được gọi là lõm trên khoảng I nếu −f là hàm số lồi trên khoảng đó.

BĐT hàm lồi
Định lý 6.9 (Bất đẳng thức
Jensen) n
Σ
i=1
Cho f là hàm lồi trên (a, b), x1, x2, . . . , x n ∈ (a, b) và λ1, λ2, . . . , λ n ∈ [0, 1], λ i = 1. Khi đó
!
f λ i x i ≤
n n
Σ Σ
i=1 i=1
λ i f (xi).
Hệ quả 1 (BĐT Cauchy (BĐT trung bình))
Áp dụng BĐT Jensen với f (x) = − ln x ta
được:
1
n
n n
Σ Y
i=1 i=1
ai ≥ ai
! 1/n
∀a1, a2, . . . , an > 0.

Phương pháp này có thể được sử dụng tìm nghiệm của phương trình f (x) = 0 khi hàm f thỏa mãn một
số giả thiết sau:
(i) f (x) liên tục trên đoạn [a, b];
(ii) f (a)f (b) < 0;
(iii) f ′
(x), f ′ ′
(x) không đổi dấu trên (a, b).
Công thức tìm nghiệm gần đúng của phương trình f (x) = 0 như sau.
a)Chọn một xấp xỉ x1,
b)Viết P T T T tại điểm (x1, f (x1)),
c) Tìm giao điểm của TT với Ox.
2 1
d) x = x −
1
f (x )
1
f ′ (x )
n+1 n
e) x = x
−
n
f (x )
n
f ′ (x )
Ví dụ: Bắt đầu với x1 = 2, tìm xấp xỉ thứ ba, x3, của nghiệm của phương trình x3
− 2x − 5 = 0.

Nội dung
1
2
3
4
6
7
Hàm số
bản Dãy số
vi và ứng dụng
biến số

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x)
a) Tìm TXĐ của hàm số, nhận xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số (nếu có).
b) Xác định chiều biến thiên: tìm các khoảng tăng, giảm của hàm số.
c) Tìm cực trị (nếu có).
d) Xét tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có).
e) Tìm các tiệm cận của hàm số (nếu có).
f) Lập bảng biến thiên.
g) Tìm một số điểm đặc biệt mà hàm số đi qua (ví dụ như giao điểm với các trục toạ độ, ....) và vẽ đồ
thị của hàm số.

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x)
Ví dụ 7.1 (Cuối kì, K59)
1
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = xex + 1.
y
Lời giải: Tập xác định: D = R {−1}.
x → ± ∞ x → ± ∞
1
• lim y = lim xex + 1 = ±∞ ⇒ Đồ thị hàm y không có tiệm cận
ngang.
• lim y
= lim
x → ± ∞ x x → ± ∞
1
x
xe x − 1 =
lim
x → ± ∞
1
e x −1
1
x
= 1.
x → ± ∞ x → ± ∞ x → ± ∞
1 1
• lim (y − x) = lim xex + 1 − x = lim x(ex − 1) + 1 =
2
1
1
+
1
e x
( L )
• lim y = lim xex + 1 = lim + 1 =
lim
+ + +
x2
Vậy y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → ±
1
∞. — 1 e x
— 1
x → 0 x → 0 x → 0 x x → 0 x2
x→0 +
1
x
+ 1 = lim e + 1 = +∞.
1 1
• lim y = lim xex + 1 = 1 (do lim ex = 0).
x → 0 − x → 0 − x → 0 −
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 khi x →
0+
.

Vẽ đường cong cho dưới dạng tham số
Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng
tham số
x = x(t)
y = y(t)
Chiều biến thiên - Tính lồi
lõm
dx
a) Khảo sát sự biến thiên của x, y theo t bằng cách xét dấu x′
(t), y′
(t).
b) Khảo sát sự biến thiên của y theo x:
dy
=
yt
′
x′
t
Đây cũng chính là hệ số góc của tiếp
tuyến.
c) Tính lồi lõm và điểm uốn (nếu cần thiết):
d2
y
d
y′
t
x′
t
, ,
dx2
=
dx
=
ytt”x′
t − yt
′
xt ”
x′3
t
.

Đường cong cho dưới dạng tham số
Tiệm cận
a) TCĐ: Nếu

t → t 0 ( ∞ )
lim x(t)
= x

0
t → t 0 ( ∞ )
lim y(t)
= ∞

thì x = x0 là một TCĐ.
b) TCN: Nếu

t → t 0 ( ∞ )
lim x(t)
= ∞

0
t → t ( ∞ )
lim y(t)
= y

0 thì y = y0 là một TCN.
c) TCX: Nếu


t → t 0 ( ∞ )
lim y(t) = ∞
t → t 0 ( ∞ )
lim x(t)
= ∞

và
a = lim
t → t 0 ( ∞ ) x(t)
y(t)
,
t → t 0 ( ∞ )
b = lim [y(t) − ax(t)]
thì y = ax + b là một TCX.

Đường cong cho dưới dạng tham số
Tìm các tiệm cận của đường cong cho bởi x =
2016t 2016t2
1 − t3 1 − t3
, y = .
t→1 t→1
Lời giải: Ta có x(t) → ∞ ⇔ t → 1. Tuy nhiên, y(t) → ∞ ⇔ t → 1. Suy ra đường cong không có tiệm cận
ngang.
• lim x(t) = lim y(t) = ∞.
y(t)
x(t)
t→1 t→1
• lim = lim t =
1.
t→1 t→1
2016t
1−t t→1
• lim y(t) − x(t) = lim (t − 1) = lim
−
2016t
3 2
2016
1 + t + t 3
= − .
2016
3
Vậy y = x − là tiệm cận xiên của đường cong khi x →
±∞
.

Vẽ đường cong trong hệ tọa độ
cực
Trong mặt phẳng, chọn một điểm O cố định làm gốc cực và một tia Ox là trục cực. Vị trí của mỗi điểm M
trong mặt phẳng được xác định bởi véc tơ O
−−
M
→
. Gọi r = |O
−−
M
→
| ≥ 0 là bán kính cực và góc φ =
(Ox, O
−−
M
→
) ∈ [0, 2π) là góc cực. Cặp số (r, φ) được gọi là tọa độ cực của điểm M .
Tọa độ cực suy rộng: Ta mở rộng tọa độ cực cho trường hợp r ∈ R, φ ∈ R. Với φ ∈ R thì ta hiểu đây là
góc lượng giác, còn nếu r < 0 thì ta xác định điểm M (r, φ) trùng điểm M (−r, φ + π).
Trong hệ trục tọa độ Đề các vuông góc ta lấy trục hoành làm trục cực. Khi đó một điểm M trong mặt
phẳng sẽ có tọa độ Đề các M (x, y) và tọa độ cực M (r, φ). Công thức liên hệ giữa hai tọa độ là:
x = r cos φ
y = r sin φ ,
( √
r = x + y
2
2y
x
̸
tan φ = , (x = 0).

Vẽ đường cong trong hệ tọa độ
cực
Ví dụ 7.3
Khảo sát và vẽ đường cong r = a(1 + cos φ) (a > 0), (đường Cardioid hay đường hình tim)
x
y
O
2a
a
−a
x
y
O
r = a + b cos ϕ

MI1111_chuong-1hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh.pptx

More Related Content

Similar to MI1111_chuong-1hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh.pptx

Recently uploaded

MI1111_chuong-1hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh.pptx