stochastic processes 1.2.

1. Igor Kleiner (M.Sc.) igkleiner@gmail.com
2016

2. 
‫לסיכום‬

3. 
‫להגדיר‬ ‫נצטרך‬ ‫הסתברותיות‬ ‫תופעות‬ ‫ולאפיין‬ ‫לדבר‬ ‫שנוכל‬ ‫כדי‬
‫תאורתים‬ ‫מושגים‬:‫הסתברותי‬ ‫מודל‬
‫מדגם‬ ‫מרחב‬(sample space)
‫מאורע‬(event)
‫מאורע‬ ‫של‬ ‫הסתברות‬(probability of event)
probability model
‫הסתברותי‬ ‫מודל‬

4. 
‫מדגם‬ ‫מרחב‬–‫ניסוי‬ ‫של‬ ‫האפשריות‬ ‫תוצאות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬
‫באות‬ ‫מדגם‬ ‫מרחב‬ ‫את‬ ‫נסמן‬Ω
‫של‬ ‫איברים‬Ω‫באות‬ ‫נסמן‬w–‫ניסוי‬ ‫של‬ ‫תוצאות‬
‫מדגם‬ ‫מרחב‬–sample space

5. 
‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫הוגן‬ ‫מטבע‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
Ω=???
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

6. 
‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫הוגן‬ ‫מטבע‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω={H,T}
 H - HEAD
 T – TAIL
 w1=H, w2=T
 |Ω|=2
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

7. 
‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω=?
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

8. 
‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω={1,2,3,4,5,6} or Ω={i| 0<i<7, i is a natural number}
 |Ω|=6
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

9. 
‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω=?
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

10. 
‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω={
}
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

11. 
‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω={
}
 |Ω|=6*6=36
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

12. 
‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω={
}
 |Ω|=6*6=36
‫מעניינת‬ ‫שאלה‬–‫בקבוצה‬ ‫יש‬ ‫אברים‬ ‫כמה‬ ‫לספור‬ ‫נדע‬ ‫איך‬?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

13. 
‫בקומבינטוריקה‬ ‫נעזר‬!
‫איך‬‫בקבוצה‬ ‫יש‬ ‫אברים‬ ‫כמה‬ ‫לספור‬ ‫נדע‬?

14. 
‫בקומבינטוריקה‬ ‫נעזר‬!
‫סכום‬ ‫כלל‬
‫כפל‬ ‫כלל‬
‫איך‬‫בקבוצה‬ ‫יש‬ ‫אברים‬ ‫כמה‬ ‫לספור‬ ‫נדע‬?

15. 
‫הראשונה‬ ‫בפעם‬ ‫אותו‬ ‫יעבור‬ ‫אשר‬ ‫עד‬ ‫למבחן‬ ‫ניגש‬ ‫אדם‬ ‫בן‬
 Ω=?
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

16. 
‫הראשונה‬ ‫בפעם‬ ‫אותו‬ ‫יעבור‬ ‫אשר‬ ‫עד‬ ‫למבחן‬ ‫ניגש‬ ‫אדם‬ ‫בן‬
 Ω={1,01,001,0001,00001,….,0000000000001,…}
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

17. 
‫הראשונה‬ ‫בפעם‬ ‫אותו‬ ‫יעבור‬ ‫אשר‬ ‫עד‬ ‫למבחן‬ ‫ניגש‬ ‫אדם‬ ‫בן‬
 Ω={1,01,001,0001,00001,….,0000000000001,…}
 |Ω|=∞
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

18. 
‫באקראי‬ ‫שנבחר‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫במשקל‬ ‫מסתכלים‬
 Ω=?
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

19. 
‫באקראי‬ ‫שנבחר‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫במשקל‬ ‫מסתכלים‬
 Ω=(0,?)
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

20. 
‫באקראי‬ ‫שנבחר‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫במשקל‬ ‫מסתכלים‬
 Ω=(0,∞)
 |Ω|= ∞
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

21. 
‫באקראי‬ ‫שנבחר‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫של‬ ‫וגובהה‬ ‫במשקל‬ ‫מסתכלים‬
 Ω=?
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

22. 
‫באקראי‬ ‫שנבחר‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫של‬ ‫וגובהה‬ ‫במשקל‬ ‫מסתכלים‬
 Ω={(x,y)|x,y ∈ (−∞, ∞)}
 |Ω|=∞
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

23. 
‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫מגדם‬ ‫מרחב‬
‫סופי‬
‫אינסופי‬
‫מימדי‬ ‫חד‬
‫מימדי‬ ‫רב‬
‫מסקנות‬

24. 
‫מאורע‬–‫מדגם‬ ‫מרחב‬ ‫אברי‬ ‫אוסף‬
‫גדולות‬ ‫באותיות‬ ‫מאורעות‬ ‫נסמן‬A,B,C,…..
‫מאורע‬event –

25. 
‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω={1,2,3,4,5,6}
 |Ω|=6
‫מאורע‬A–‫זוגי‬ ‫מספר‬ ‫התקבל‬:
‫מאורע‬B–‫מספר‬ ‫התקבל‬‫מ‬ ‫קטן‬-5:
‫מאורע‬C–‫כלשהי‬ ‫תוצאה‬ ‫התקבלה‬:
‫מאורע‬-‫דוגמאות‬

26. 
‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,‫אזי‬
 Ω={1,2,3,4,5,6}
 |Ω|=6
‫מאורע‬A–‫זוגי‬ ‫מספר‬ ‫התקבל‬:A={2,4,6}
‫מאורע‬B–‫מספר‬ ‫התקבל‬‫מ‬ ‫קטן‬-5:B={1,2,3,4}
‫מאורע‬C–‫כלשהי‬ ‫תוצאה‬ ‫התקבלה‬:C=Ω={1,2,3,4,5,6}
‫מאורע‬-‫דוגמאות‬

27. 
‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,
‫מאורע‬A–‫שנייה‬ ‫קוביה‬ ‫על‬ ‫מתוצאה‬ ‫קטנה‬ ‫ראשונה‬ ‫קוביה‬ ‫על‬ ‫תוצאה‬
 Ω={
}
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬

28. 
‫פעמיים‬ ‫הוגנת‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬,
‫מאורע‬A–‫שנייה‬ ‫קוביה‬ ‫על‬ ‫מתוצאה‬ ‫קטנה‬ ‫ראשונה‬ ‫קוביה‬ ‫על‬ ‫תוצאה‬
 Ω={
}
 |Ω|=?
‫מדגם‬ ‫מרחב‬-‫דוגמאות‬
‫ש‬
A

29. 
‫על‬ ‫שהגדרנו‬ ‫הפעלות‬ ‫באותן‬ ‫נשתמש‬ ‫ולכן‬ ‫קבוצה‬ ‫הוא‬ ‫מאורע‬
‫קבוצות‬
‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬

30. 
‫על‬ ‫שהגדרנו‬ ‫הפעלות‬ ‫באותן‬ ‫נשתמש‬ ‫ולכן‬ ‫קבוצה‬ ‫הוא‬ ‫מאורע‬
‫קבוצות‬
‫איחוד‬‫מאורעות‬ ‫שתי‬ ‫של‬A‫ו‬-B‫המאורעות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫הוא‬
‫ל‬ ‫או‬ ‫ששייכות‬-A‫ל‬ ‫או‬-B‫לשתייכם‬ ‫או‬
‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬

31. 
‫על‬ ‫שהגדרנו‬ ‫הפעלות‬ ‫באותן‬ ‫נשתמש‬ ‫ולכן‬ ‫קבוצה‬ ‫הוא‬ ‫מאורע‬
‫קבוצות‬
‫חיתוך‬‫מאורעות‬ ‫שתי‬ ‫של‬A‫ו‬-B‫המאורעות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫הוא‬
‫ל‬ ‫גם‬ ‫ששייכות‬-A‫ל‬ ‫וגם‬-B
‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬

32. 
‫על‬ ‫שהגדרנו‬ ‫הפעלות‬ ‫באותן‬ ‫נשתמש‬ ‫ולכן‬ ‫קבוצה‬ ‫הוא‬ ‫מאורע‬
‫קבוצות‬
‫משלים‬‫מאורע‬ ‫של‬A‫שלא‬ ‫מדגם‬ ‫מרחב‬ ‫של‬ ‫אברי‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫הוא‬
‫ל‬ ‫שייכים‬-A
‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬

33. 
‫על‬ ‫שהגדרנו‬ ‫הפעלות‬ ‫באותן‬ ‫נשתמש‬ ‫ולכן‬ ‫קבוצה‬ ‫הוא‬ ‫מאורע‬
‫קבוצות‬
‫משלים‬‫מאורע‬ ‫של‬A‫שלא‬ ‫מדגם‬ ‫מרחב‬ ‫של‬ ‫אברי‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫הוא‬
‫ל‬ ‫שייכים‬-A
‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬

34. 
‫ריק‬ ‫מאורע‬ ‫נקרא‬ ‫איבירים‬ ‫מכיל‬ ‫שלא‬ ‫מאורע‬
‫למשל‬:
 A∩ 𝐴 𝐶=?
‫ריק‬ ‫מאורע‬

35. 
‫ריק‬ ‫מאורע‬ ‫נקרא‬ ‫איבירים‬ ‫מכיל‬ ‫שלא‬ ‫מאורע‬
‫למשל‬:
 A∩ 𝐴 𝐶=θ
‫ריק‬ ‫מאורע‬

36. 
‫מאורעות‬ ‫שתי‬A‫ו‬-B‫ריק‬ ‫שלכם‬ ‫חיתוך‬ ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫נקראות‬
‫מאורעות‬‫זרי‬

37. 
‫מאורעות‬ ‫שתי‬A‫ו‬-B‫ריק‬ ‫שלכם‬ ‫חיתוך‬ ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫נקראות‬
‫דוגמא‬:A–‫זוגית‬ ‫תוצאה‬ ‫התקבלה‬,B-‫זוגית‬ ‫אי‬ ‫תוצאה‬ ‫התקבלה‬
‫מאורעות‬‫זרי‬

38. 
‫שאלה‬:
 A+AC =
‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬

39. 
‫שאלה‬:
 A+AC =Ω
‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬

40. 
‫קבוצות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬ ‫תכונות‬

41. 
‫קבוצות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬ ‫תכונות‬

42. 
‫מדגם‬ ‫מרחב‬
‫מאורע‬
‫ריק‬ ‫מאורע‬
‫זרים‬ ‫מאורעות‬
‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫פעולות‬
‫סיכום‬