L-sustavi fraktala, uvedeni 1968. godine od strane Aristida Lindenmayera, koriste se za modeliranje izgradnje višestaničnih organizama i generiranje struktura biljaka putem operacija paralelne izmjene simbola. Sustav uključuje trojku koja se sastoji od skupa simbola, početnog niza i skupa produkcija koje definiraju pravila zamjene simbola. Dodatno, kornjača se koristi za vizualizaciju ovih struktura, omogućujući grafičko prikazivanje kroz određene komandne upute.

1. L-sustavi fraktala L-sustave fraktala uveo je 1968. godine biolog Aristid Lindenmayer kao osnovu u proučavanju izgradnje višestaničnih organizama L-sustavi inicijalno se se koristili za generiranje topologije biljaka kao rezultat diskretnog razvoja Dodavanje geometrije u sustav dozvolilo je detaljnije modeliranje i realističniji prikaz rezultata

2. L-sustavi fraktala L-sustav podrazumijeva operacije paralelne izmjene simbola u nekom nizu simbola L-sustav je uređena trojka <A, ω , P> gdje je A konačan skup simbola – abeceda ω ε A + ne-prazna riječ koja se naziva axiom P > A x A* konačan skup produkcija Produkcija P se piše kao a->v i znači da se svako pojavljivanje simbola a zamijenjuje sa nizom v

3. L-sustavi fraktala U koraku promijene svi simboli trenutnog niza zamijenjuju se simultano sa odgovarajućim produkcijama Razlika sa Chomsky-jevim sustavom: samo jedan simbol zamijenjuje se sa odgovarajućom produkcijom Ako ne postoji odgovarajuća produkcija za izmjenu tada se primjenjuje produkcija a -> a Skup svih nizova koji se mogu izvest iz zadanog L-sustava naziva se formalnim jezikom tog L-sustava

4. L-sustavi fraktala Primjer: L <{a,b,c},a,{p 1 :a -> ab,p 2 :b -> ac}> ω 0 = a ω 1 = ab ω 2 = abac ω 3 = abacabc ω 4 = abacabcabacc Kako transformirat dobivene nizove u grafiku?

5. Kornjača Kako bi opisali način vizualizacije koristit ćemo pojam kornjače koja se koristila u programskom jeziku Logo Kornjača u svakom trenutku ima tri svojstva (x,y, φ ) gdje je x – položaj na apscisi y – položaj na ordinati φ – smijer kornjače u odnosu na apscisu

6. Kornjača Kornjača sluša slijedeće komande F: crtaj liniju duljine d, stanje se promijeni na (x + dcos φ, y + dsinφ, φ) f: pomakni se za duljinu d ali nemoj crtat liniju, stanje se promijeni na (x + dcosφ, y + dsinφ, φ) +: promijeni kut za δ u pozitivnom smjeru, stanje se promijeni na (x, y, φ + δ) -: promijeni kut za δ u negativnom smijeru, stanje se promijeni na (x, y, φ + δ)

7. Primjeri Vizualizacija niza: FFFF-FFff-FFF-F-ff+FF+FFF d = 1, δ = 90° Start

8. Klasični fraktal sa L-sustavom Koristimo naredbe za kornjaču kao abecedu L-sustava Konstrukcija Koch-ovog otoka: δ = 60° ω = F–F–F // inicijlani niz F -> F+F–F+F // generator

9. Granjanje Sustav kornjače crta inkrementalno, zato je potreban mehanizam vračanja unatrag To se postiže sa dodatnim komandama [ i ] [ stavlja trenutno stanje na stog ] skida sa stoga zadnje stanje Ovaj mehanizam spremanja stanja na stog može se koristiti i za spremanje drugih potrebnih informacija

10. Granjanje

11. Granjanje

12. Nedeterministički L-sustavi Barem jedan simbol ima jednu ili više produkcija Mora postojati mehanizam biranja produkcije koja će se uzeti za svaki od koraka derivacije Mehanizmi: Stohastički L-sustavi Kontekstno-ovisni L-sustavi Parametarski L-sustavi

13. Stohastički L-sustavi Produkcije se uzimaju slučajno, na temelju vjerojatnosti pojavljivanja pojedine produkcije Kod paralelne izmjene uzima se slučajno odabran broj za svaki simbol Svakoj produkciji pridodjeljena je vjerojatnost Koristi se za generiranje različitosti između jedinka iste vrste

14. Stohastički L-sustavi

15. Kontekstno ovisni L-sustavi Izbor produkcije ovisi o susjednom (ili više njih) simbolu u trenutnom nizu Kontekstno ovisna produkcija se piše u slijedećem obliku: A*<s>A* -> A+ primjer: xy < a > z -> ab x < a > yz -> aa xy a z a by x a yz a b ⇒ xy ab zabyx aa yzab

16. Kontekstno ovisni L-sustavi Koriste se za simulaciju propagacije signala (hormoni...) između dijelova biljaka

17. Parametarski L-sustavi Simboli su asocirani sa konačnim skupom parametara Parametri se koriste za selekciju produkcija kod generiranja simbola i za upravljanje kornjačom U generiranje se uključuju i geometrijske vrijednosti, konačan oblik rezultat je derivacije Važno za modeliranje biljaka jer je geometrija biljke rezultat njezinog razvojnog procesa

18. Parametarski L-sustavi Parametarski L-sustav definiran je uređenom četvorkom (A, ∑ , ω ,P) gdje je A – abeceda simbola ∑ - konačan skup parametara (A × R*)+ - aksiom P ⊂ ((A × ∑ *) : C( ∑ ) -> (A × E( ∑ ))* - skup produkcija C( ∑ ) označava logičke, a E( ∑ ) označava aritmetičke izraze sa parametrom ∑

19. Parametarski L-sustavi PL sustavi rade sa nizom modula Moduli se izmjenjuju prema slijedećim pravilima: Svi parametri u produkciji su podešeni prema stvarnim vrijednostima modula Računa se uvijet Ako je uvijet ispunjen, računaju se izrazi slijedbenika Umjesto trenutnog modula stavlja se novi modul

20. Parametarski L-sustavi