3. iii
TERMIT JA NIIDEN MÄÄRITELMÄT
DY Differentiaaliyhtälö
Kimmoteoria Rakenteiden analyyseissä käytetty teoria, jossa materiaalin
venymän ja jännityksen välillä vallitsee lineaarinen yhteys
Hooken lain mukaisesti. Kimmoteoria on yleisesti käytössä
rakenteiden globaalissa ja lokaalissa analyysissä.
Plastisuusteoria Rakenteiden analyyseissä käytetty teoria, jossa materiaalin
venymän ja jännityksen välillä vallitsee epälineaarinen
yhteys. Plastisuusteoria on yleisesti käytössä rakenteiden
lokaalissa analyysissä.
Kimmoviiva Rakenneosan kimmoteorian mukainen taipunutta tilaa
kuvaava käyrä. Kimmoviiva tunnetaan myös nimellä
taipumaviiva.
Taitepiste Kohta, jossa kuvaajan kaarevuus muuttuu eli toinen
derivaatta on nolla.
Neutraaliakseli Taivutetussa rakenteessa oleva taso, jossa taivutus ei
aiheuta pituussuuntaisia normaalijännityksiä.
Pintakeskiö Rakenteen poikkileikkauksen muodostaman monikulmion
geometrinen keskipiste.
Teoreettinen rakenne Rakenne, joka on idealisoidun muotoinen (yleensä
symmetrinen ja täydellisen suora).
Todellinen rakenne Rakenne, joka valmistustavoista sekä asennuksesta johtuen
on epätäydellinen sisältäen kaarevuuksia, vinouksia ja
jäännösjännityksiä.
Lineaarinen teoria Teoriassa rakenteen jäykkyys on riippumaton siirtymistä.
Epälineaarinen teoria Teoriassa rakenteen jäykkyys on riippuvainen siirtymistä.
1.kertaluvun teoria Kuormien vaikutuspisteiden siirtymät jätetään ottamatta
huomioon (lineaarinen).
2.kertaluvun teoria Rakenneanalyysissä kuormien vaikutuspisteiden siirtymät
otetaan huomioon (epälineaarinen).
I Poikkileikkauksen neliömomentti (jäyhyysmomentti)
tarkasteltavassa suunnassa.
E Materiaalin kimmomoduuli (esim. EC3n mukainen S355
210 GPa)
EI Poikkileikkauksen taivutusjäykkyys tarkasteltavassa
suunnassa
P Pilarissa vallitseva puristava normaalivoima.
Pcr Kriittinen puristava normaalivoima, jolla rakenne nurjahtaa
Fbr Voima, joka nurjahdustuen täytyy kestää.
4. iv
αcr Lineaarisen stabiilisuusteorian mukainen krittiinen kerroin,
jolla kuormia voidaan enintään kertoa ennen stabiilisuuden
menetystä.
α Laaduton normeerattu vetojäykkyys.
β Laaduton normeerattu rotaatiojäykkyys.
ε Venymä
κ Kaarevuus
π Luonnonvakio (3.1416…)
5. 1
1 JOHDANTO
Rakenneosien tukemisella pyritään kasvattamaan rakenteen kestävyyttä estämällä
rakenteen siirtyminen tai kiertyminen tukipisteessä. Kun nämä tuet pyrkivät estämään
puristetun rakenteen koko poikkileikkauksen sivusiirtymien kasvamista, puhutaan
nurjahdustuista. Näiden tukien käyttämisellä pyritään lisäämään rakenneosan
kestävyyttä. Tuen jäykkyydellä on merkittävä vaikutus rakenneosan kestävyyteen.
Jäykkyyden lisääntyessä rakenteen nurjahdusmuoto voi vaihtua, jonka jälkeen tuen
jäykentämiselle ei enää saavuteta merkittävää hyötyä.
Usein tuet mielletään jäykiksi. Toisaalta tyyppillisesti, jos nurjahdustukia halutaan
mitoittaa, tehdään se yleensä vaakavoimalle, joka on tuentasuuntaan 2 % tuettavan
rakenteen puristuskuormasta[5]. Tämä menetelmä ottaa kantaa vain tukien
kestävyyteen, mutta jättää ottamatta huomioon tukien jäykkyysvaatimukset, joka on
toinen tarkastettava tekijä. [4]
Työssä keskitytään stabiilisuusilmiöistä vain yhdessä tasossa tapahtuvaan kimmoteorian
mukaiseen teräsrakenteiden taivutusnurjahdukseen. Tasossa tapahtuvan nurjahduksen
lisäksi on olemassa mm. kuvassa 1 esitettyjä sauvan mitoitukselle kriittisiä
stabiilisuusilmiöitä.
Kuva 1. Kiepahdus vääntönurjahdus paikalliset lommahdukset
Työn tavoite on osoittaa, että nurjahdustuen mitoituksessa tulee tarkastaa sekä jäykkyys
että kestävyys.
6. 2
2 NURJAHDUS
Kun tasapainossa olevaa rakennetta (pilaria) häiritään hetkellisesti sivusuunnassa, ja
rakenne palautuu ennalleen, niin rakenteen tasapainoasema on stabiili. Jos rakenteen
siirtymä jatka kasvamistaan häiriön myötä, niin tasapainoasema on labiili. Puristavaa
kuormaa, jolla tuo tasapainoasema ensimmäisen kerran saavutetaan, kutsutaan
kriittiseksi kuormaksi Pcr.
Todellista rakennetta ei tarvitse erikseen häiritä, sillä valmistamisen ja asentamisen
aiheuttamat rakenteelliset epätäydellisyydet (jäännösjännitykset, vinoudet, kaarevuudet,
yms.) aiheuttavat nurjahduksen ennen kuin pilaria puristava kuorma kasvaa teoreettisen
rakenteen vaatimalle tasolle. Rakenteiden epätäydellisyyden tasosta riippuen rakenteen
siirtymät kasvaa jo ennen kriittistä kuormaa.
Kuva 2 - Alkukiertymän vaikutus kierrejousella tuetun pilarin nurjahduskuormaan [6]
Nurjahduksen jälkeinen (jälkikriittinen) tila voi olla stabiili. Nurjahduksen myötä
rakenteen siirtymät kasvavat, mikä aiheuttaa voimien jakautumisen uudelleen. Yleensä
voimajakauman muuttuminen aiheuttaa rakennetta tukevien osien tai liitosten
vaurioitumisen, mikä vastaavasti yleensä aiheuttaa lisää vaurioita. Nurjahdus voi olla
7. 3
ilmiönä hyvin nopeasti etenevä. Ennen rakenteen nurjahtamista ei rakenteessa
välttämättä näy selkeitä ulkoisia vaurioita. Tämä on tyypillistä stabiilisuusilmiöille.
Nopeasti etenevä, vaurioita aiheuttava ja vaikeasti ennalta havaittava ilmiö on erittäin
tärkeä rakenteiden luotettavuuden kannalta. Tämän takia nurjahdus on yksi pilareiden
tärkeimmistä mitoituskriteereistä.
2.1 Nurjahduskestävyys
Pilarin nurjahduskestävyyteen liittyy keskeisesti pilarin pituudesta ja tuennoista johtuva
laskennallinen nurjahduspituus. Määritelmän mukaan nurjahduspituus on rakenteen
pystykuormituksesta aiheutuneen nurjahdusmuodon kimmoviivan taitepisteiden
etäisyys Lcr (kuva 5) [6].
Kuva 3 Nurjahduspituuden Lcr esimerkkejä
Rakenteen poikkileikkaus on toinen kriittiseen kuormaan merkittävästi vaikuttava
tekijä. Poikkileikkauksen taivutusjäykkyyttä EI kasvattamalla saadaan kriittistä kuormaa
kasvatettua.
Yleinen muoto rakenteen nurjahduskuormalle Pcr on Eulerin mukaan
𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2
𝐸𝐼
𝐿 𝑐𝑟
2
(1)
ja vastaavasti yleinen muoto nurjahduspituudelle Lcr
𝐿 𝑐𝑟 = 𝜋√
𝐸𝐼
𝑃𝑐𝑟
. (2)
8. 4
Kriittinen kerroin αcr kertoo, kuinka moninkertaiseksi kuorma on kasvatettava, jotta
saavutetaan nurjahduskuorma. Kriittisen kertoimen avulla ilmaistuna edellä olevat
yhteydet muuttuvat muotoon
𝑃𝑐𝑟 = 𝛼 𝑐𝑟 𝑃 (3)
𝐿 𝑐𝑟 = 𝜋√
𝐸𝐼
𝛼 𝑐𝑟 𝑃
(4)
Lisäksi nurjahduspituuden kerrointa μ käytetään kuvaamaan nurjahduspituuden Lcr ja
rakenteen todellisen pituuden L suhdetta
𝜇 =
𝐿 𝑐𝑟
𝐿 (5)
2.2 Analyyttinen 2. kertaluvun menetelmä
Teoreettisen rakenteen pilareita pitäisi ensimmäisen kertaluvun teorian mukaan pystyä
puristamaan, kunnes poikkileikkaus alkaa myötämään eli pilari tyssääntyy. Laskentaan
tulee ottaa taipumasta riippuvia termejä, jotta tasapainoehdot saadaan kirjoitettua
tasapainoasemasta poikkeutetussa tilassa.
Kuva 4 - Palkkiteorian mukaiset merkinnät [6]
Teknisen taivutusteorian mukaisessa palkkieteoriassa palkin taipumaa kuvataan
differentiaaliyhtälöllä (DY):
𝐸𝐼𝑣′′′′
(𝑥) = 𝑞(𝑥) = −𝑀𝑡′′(𝑥)
𝐸𝐼𝑣′′ = −𝑀𝑡 (6)
Kun mukaan otetaan puristuksesta aiheutuva lisä momentti, muuttuu yhtälö muotoon
𝐸𝐼𝑣′′ + 𝑷𝒗 = −𝑀𝑡 (7)
(𝐸𝐼𝑣′′
)′′ + 𝑃𝑣′′ = 𝑞
9. 5
DY voidaan kirjoittaa tiiviimmin ja tutumpaan matemaattiseen muotoon käyttäen
merkintää
𝑘 = √
𝑃
𝐸𝐼
(8)
𝑣′′′′ + 𝑘2
𝑣′′ =
𝑞
𝐸𝐼
(9)
Kyseisen neljännen kertaluvun epähomogeenisen DY:n ratkaisun homogeeninen osa on
𝑣(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) + 𝐶
𝑥
𝐿
+ 𝐷 (10)
Koska stabiilisuuden menetys on DY:n bifurkaatio piste, riittää homogeeninen osa
kriittisten kuormien ratkaisuun. Näin ollen kriittiseen kuormaan ei vaikuta
poikittaiskuormitus q. Vakioille A, B, C ja D kirjoitetaan aukoittain tasapainoehdot.
Jokaiselle aukolla on neljä reunaehtoa. Näin saadaan neljän yhtälön ryhmä, josta
määritetään P, niin että ryhmällä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua. Tämä saavutetaan
asettamalla yhtälöryhmän kerroinmatriisin determinantti nollaksi (Liite 1).
Yksittäisratkaisun avulla saataisiin ratkaistua yhtälölle täydellinen ratkaisu, jonka avulla
saataisiin laskettua nurjahtavan sauvan rasitukset.
Kuva 5 Nurjahduspituuksia erilaisilla reunaehdoilla
Kimmoviivaan perustuvilla menetelmillä saadaan teorian puitteissa tarkkoja ratkaisuja
kriittisille nurjahduskuormille.
10. 6
2.3 Energiamenetelmä
Energiamenetelmissä yleensä rakenteelle kirjoitetaan virtuaalisen työn yhtälö häirityssä
tilassa. Tässä menetelmässä rakenteelle annetaan jokin kinemaattisesti käypä
(siirtymäreunaehdot toteuttava) siirtymäkenttä. Mitä paremmin tämä kenttä kuvaa
rakenteen nurjahtavaa muotoa, sitä tarkempia ratkaisuja menetelmällä saavutetaan.
Puristetun ja taivutetun sauvan muodonmuutosenergian lauseke on
𝑈 =
1
2
∫ 𝐸𝐴𝜀2
+ 𝐸𝐼𝜅2
𝑑𝑥
𝐿
0
, (11)
jossa ε on sauvan venymä ja κ on sauvan kaarevuus. Tätä lauseketta varioimalla ja
käyttämällä teknisen taivutusteorian oletuksia päädytään seuraavaan toisen variaation
lausekkeeseen [6]
1
2
𝛿2
Π =
1
2
∫ 𝐸𝐼(𝑣′′
)2
− 𝑃(𝑣′)2
𝑑𝑥
𝐿
0
. (12)
Trefftz’in ehdon mukaan rakenne menettää stabiilisuutensa, kun
𝛿̅ (
1
2
𝛿2
Π) = 0. (13)
Energiamenetelmässä rakenteelle pitää antaa jokin taipumankandidaatti v(x).
Menetelmällä saadut tulokset eivät ole tarkkoja, jos annettu siirtymäkenttä ei pysty
kuvaamaan täydellisesti nurjahdusmuotoa. Koska menetelmä perustuu
siirtymämenetelmään, voivat tulokset olla epävarmalla puolella.
2.4 Lineaarinen elementtimenetelmä
Lineaarisen elementtimentelmän perustana on energiamenetelmä. Menetelmässä
rakenne jaetaan pienempiin osiin, elementteihin. Elementeillä on muotofunktiot, joilla
kuvataan siirtymiä elementin alueella.
11. 7
Yksi yleisesti paljon käytetty elementti on teknisen taivutusteorian mukainen elementti,
joka käyttää Hermiten muotofunktioita
𝑁1(𝑥) = 1 − 3 (
𝑥
𝐿
)
2
+ 2 (
𝑥
𝐿
)
3
,
𝑁2(𝑥) = 𝐿 [(
𝑥
𝐿
) − 2 (
𝑥
𝐿
)
2
+ (
𝑥
𝐿
)
3
] ,
𝑁3(𝑥) = 3 (
𝑥
𝐿
)
2
− 2 (
𝑥
𝐿
)
3
,
𝑁4(𝑥) = 𝐿 [− (
𝑥
𝐿
)
2
+ (
𝑥
𝐿
)
3
] .
(14)
Muotofunktioilla interpoloidaan taipumaa solmusuureiden avulla
𝑣(𝑥) = [𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁4] [
𝑣1
𝜑1
𝑣2
𝜑2
] (15)
Sijoittamalla nämä Trefftz’in ehtoon saadaan ehto rakenteen stabiilisuuden
menetykselle
𝑲 − 𝛼 𝑐𝑟 𝑲 𝒈 = 𝟎 (16)
jossa
𝑲 = ∫ (𝑵′′) 𝑇
𝐸𝐼𝑵′′𝑑𝑥
𝐿
0
(17)
𝑲 𝒈 = 𝑃 ∫ (𝑵′) 𝑇
𝑵′𝑑𝑥
𝐿
0
(18)
Jossa K on yleisesti elementtimenetelmässä käytetty jäykkyysmatriisi ja Kg on
geometrinen jäykkyysmatriisi.
Saatu yhtälö on muodoltaan kahden matriisin yleistetty ominaisarvo tehtävä. Tehtävästä
saatavat ominaisarvot ovat rakenteen kriittisiä kuormituskertoimia. Kriittinen kuorma
saadaan yhtälön (3) mukaisesti. Kriittistä kuormaa vastaava nurjahdusmuoto saadaan
ominaisarvoa vastaavasta ominaismuodosta.
12. 8
Koska pilarien normaalivoimien oletetaan olevan suoraan verrannollisia puristavaan
voimaan P, menetelmää kutsutaan lineaariseksi menetelmäksi. Todellisuudessa
rakenteen voimajakaumaa ei näin käyttäydy, sillä osat muun muassa kiertyvät usein
siirtymien kasvaessa, minkä myötä jäykkyysmatriisit eivät enää kuvaa rakennetta
oikein. Mitä suurempia siirtymät ovat lähellä stabiilisuuden menetystä, sitä
epävarmempia tuloksia lineaarinen menetelmä antaa. Tyypillisesti läpilyöntitehtävässä
(Kuva 6) lineaarinen menetelmä antaa reilusti epävarmoja tuloksia.
F
Kuva 6 - Läpilyöntitehtävä
13. 9
3 NURJAHDUSTUENTA
Nurjahdustueksi kutsutaan rakennetta, jolla pyritään lyhentämään mitoituksessa
käytettävää rakenteen nurjahduspituutta.
Jotta pilari saadaan haluttuun muotoon nurjahdustilanteessa, tulee tukevilla rakenteilla
olla riittävä jäykkyys suhteessa pilarin jäykkyyteen. Tuennan jäykkyyden vaikutus
nurjahduspituuteen saadaan muun muassa laskemalla nurjahduspituus luvun 2
mukaisilla menetelmillä huomioiden kyseisen tukevan rakenteen jäykkyys.
Kuva 7 - Yläpään jousivakion vaikutus nurjahdusmuotoon
Nurjahdustuennan kestävyysvaatimus aiheutuu valmiissa rakenteessa olevista pilarin
epätarkkuuksista – valmistus- ja asennuskäyryydet sekä -vinoudet. Teoreettisessa
rakenteessa ei muodonmuutoksia tapahdu ennen kriittisen kuorman saavuttamista.
Todellisessa rakenteessa osa pystykuormasta menee aina tukeville rakenteille.
Tuentajärjestelmän siirtymä tuennan jäykkyyttä kuvataan usein suhteellisella
vetojäykkyydellä 𝜶̅, joka ilmoittaa tuen jousivakion 𝜶, suhteessa tuettavaan
rakenteeseen
Jäykkyys kasvaa
14. 10
𝛼̅ =
𝛼𝐿3
𝐸𝐼
(19)
Vastaavasti kiertojousille käytetään suhteellista kiertymäjäykkyyttä 𝜷̅, joka ilmoittaa
tuen rotaatiojousivakion 𝜷 suhteessa tuettavaan rakenteeseen
𝛽̅ =
𝛽𝐿
𝐸𝐼
(20)
3.1 Laskentamenetelmät
3.1.1 Elementtimenetelmä
Nurjahduspituus saadaan laskettua lineaarisen elementtimenetelmällä luvun 2.4
mukaisesti. Tuentavoimat voidaan laskea ratkaisemalla haluttuun muotoon häiritty
rakenne.
Epälineaarista menetelmää hyödynnettäessä nurjahduspituus voidaan määrittää
laskemalla rakenteen kriittinen kuorma. Rakennetta tulee häiritä suunnittelunormin
vaatimalla alkuvinoudella ja –kaarevuudella, jotta kriittinen kuorma saavutetaan. Tästä
kriittisestä kuormasta voidaan laskea käytettävä nurjahduspituus. Epälineaarisella
menetelmällä saadaan samalla myös nurjahdustuen tuentavoimat.
3.1.2 Winterin yksikertaistettu menetelmä
Winterin yksinkertaistetussa menetelmässä pilari mallinnetaan jäykillä sauvoilla, joissa
nurjahdustukien kohdilla on nivelet. Nurjahdustuet mallinnetaan jousina, kuten kuvassa
10.
Kuva 8 - Winterin mukainen nurjahduspituusmalli vasemmalla ja tuentavoimamalli
oikealla [5]
15. 11
Menetelmässä otetaan riittävä määrä tasapainoehtoja, jotta saadaan aikaiseksi
yhtälöryhmä siirtymien ja voiman välille. Siirtymät ovat tuntemattomia suureita ja
puristava voima sekä jousien jäykkyydet jäävät lineaarisina termeinä mukaan
kerroinmatriisiin. Tämän matriisin ominaisarvot kuvaavat kriittisiä nurjahduskuorman ja
tuentajäykkyyden suhteita. Ominaismuodot ovat saatuja arvoja vastaavia
nurjahdusmuotoja. Menetelmä antaa aina varmalla puolella olevia tuloksia, joten saadut
nurjahduspituudet ovat suurempia kuin tarkemmilla menetelmillä saatavat. [4]
On huomattavaa, että tällä yksinkertaistetulla menetelmällä saadut tulokset jäykkyys- ja
kestävyysvaatimuksille toimivat sekä kimmoisille että plastisoituville
poikkileikkauksille [5].
Menetelmä tarjoaa mahdollisuuden laskea puristavan voiman ja tuentavoiman välisen
yhteyden. Tuentavoimat saadaan laskettua ratkaisemalla alkuperäinen tehtävä, josta
solmut on siirretty ominaismuotojen mukaan. Omaismuoto tulee skaalata siten, että
suurin poikkeama on samaa suuruusluokkaa rakenteen todellisen suurimman
mahdollisen alkupoikkeaman suhteen. Tähän tulee ottaa huomioon ainakin asennus- ja
valmistusvinoudet sekä kaarevuudet.
3.2 Suunnittelunormit
3.2.1 EN-1993-1-1:2005
Euroopassa käytössä olevan teräsrakenteiden suunnittelunormin Eurokoodi 3:n mukaan
mitoituksessa tarvittava nurjahduspituus tulee laskea kimmoteorian mukaan
mallintamalla nurjahdustuentoja jousilla. Näin laskien saadaan nurjahdustuennalle
tarvittava jäykkyys. Nurjahdustuennan tulee eurokoodin mukaan lisäksi kantaa 1,0 %
tuettavan rakenteen puristavasta. Toisaalta arvoa 1,5 % suositellaan käytettäväksi, joka
johtaisi myös riittävään jäykkyyteen. [7]
Koska tukevana rakenteena voidaan käyttää kovinkin erilaisia rakenteita, kuten
puristettuja siteitä, ristikkoja tai taivutettuja rakenteita, ei lähteessä [7] suositeltu 1,5 %
arvo johda välttämättä riittävän jäykkään rakenteeseen [4].
3.2.2 AISC 360-05
Amerikassa käytetyn teräsrakenteiden suunnitteluohjeistus AISC 360-05 antaa suoraan
yksinkertaistetut tavat mitoittaa nurjahdustuet. Menetelmät perustuvat osittain Winterin
yksinkertaistettuun menetelmään (luku 3.1.2). Vaatimukset riippuvat
tuentajärjestelmästä.
16. 12
Kuva 9 – AISCin tuentajärjestelmän tyypit (keltaiset sauvat ovat ulkoisia sivutukia,
vihreät sisäisiä tukia) a) sisäinen b) pistemäinen c) jatkuva d) nojautuva
Sisäiselle nurjahdustuelle (kuva 11 a-tapaus):
𝛼 𝑟𝑒𝑞 =
2 ∑ 𝑃
0,75𝐿
𝐹𝑏𝑟 = 0,004 ∑ 𝑃
1
2 −
𝛼 𝑟𝑒𝑞
𝛼 𝑎𝑐𝑡
(21)
Pistemäiselle nurjahdustuennalle (kuva 11 b-tapaus):
𝛼 𝑟𝑒𝑞 = (4 −
2
𝑛
)
2 ∑ 𝑃
0,75𝐿
𝐹𝑏𝑟 = 0,01𝑃 (22)
jossa n on tukien lukumäärä, 𝛼 𝑟𝑒𝑞 on vaadittu jousivakio, 𝛼 𝑎𝑐𝑡 on todellinen jousivakio
ja 𝐹𝑏𝑟 on nurjahdustuen mitoitusvoima.
a
b
c
d
17. 13
3.3 Laskentaesimerkki
Esimerkki rakententeena käytettiin kuvan Kuva 10 mukaista
pilaria, jossa jousen jäykkyys oli riittävä tukemaan pilari
nivelellisesti tuettuun nurjahdusarvoon (μ=1). Tämä saatiin
käyttämällä arvoa
𝛼̅ = 10,63 (liite 3)
Laskennan suoritettiin RFEM ohjelmalla hyödyntäen sen
ohjelmointirajapintaa, jotta herkkyysanalyysit saatiin
suoritettua. Laskenta tehtiin suurten siirtymien teorialla käyttäen
kimmoista materiaalimallia. Pilarin kestävyys laskettiin
Eurokoodi 3:n mukaisesti.
Pilarilla käytettiin vinoutena L/200 ja kaarevuutena L/200.
Kuva 11 – Käytetyn mallin häiritty muoto.
-200 -100 0 100 200
Pcr
L
α
Kuva 10 -
Esimerkkirakenne
L/200
L/200
19. 15
Kuva 15 - Tuentavoima 12,5m pilarilla
Kuvaajista voidaan nähdä, että tuentavoima voi olla 1,8 - 4 %, joka on huomattavasti
enemmän kuin kirjallisuudessa [7] on esitetty.
Kun edellisten kuvaajien tulokset laitetaan samaan kuvaajaan (Kuva 16), voidaan
todeta, että tuentavoima ei riipu suoraan rakenteen pituudesta tai hoikkuudesta.
Tuentavoima on esimerkkitapauksessa riippuvainen normaalivoiman ja lineaarisen
nurjahduskuorman suhteesta. Tulosta voidaan käyttää tällaisenaan vain esimerkin
kaltaisille tuennoille.
Kuva 16 - Tulokset yhdistettynä samaan kuvaajaan
0%
2%
4%
6%
8%
10%
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
SuhteellinentunetavoimaFbr/P
Suhteellinen pystykuorma P/Pcr
RHS200x200x6, L =12.5m, μ = 1, L/200, λ=159
Tuentavoima
Kestävyys
Poikkileikkauks
en kestävyys
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
SuhteellinentunetavoimaFbr/P
Suhteellinen pystykuorma P/Pcr
5m
7.5m
10m
12.5m
20. 16
Kattilalaitoksien kattilapilarit ovat tyypillisiä rakenteita, jotka ovat jäykästi kiinni
perustuksessa ja yläpäästään tuettu sivusuunnassa jäykistävällä tasolla. Jos
kattilapilarissa on 𝑃 = 5 500 kN voimaa ja sen kimmoinen nurjahdus kuorma on
𝑃𝑐𝑟 = 11 000 kN, voidaan kuvasta 18 lukea, että tuentavoimaksi tulee 1,5 % (82,5 kN).
Tämä voima tulee ottaa huomioon lisäkuormana jäykistäviä rakenteita mitoitettaessa.
21. 17
4 YHTEENVETO
Pilarit ovat rakennuksen tärkeimmät rakenteet ja niiden stabiilisuus on tärkeä kriteeri
mitoituksessa suunnittelunormista riippumatta. Pilarien nurjahduspituus voi olla hyvin
herkkä tukevien rakenteen jäykkyydelle. Jäykkyyden lisäksi nurjahdustuelle pitäisi
tarkastaa kestävyys. Pystykuormasta voi tulla joissakin tapauksissa jopa 4 % tukevalle
rakenteelle kuormaksi. Pelkkä jäykkyystarkastus nurjahdustuelle ei riitä, vaan
tukirakenteen kestävyys on lisäksi tarkastettava, mutta pelkkä 2 % tarkastelu ei ole
riittävä.
Tässä työssä tutkittiin vain yhdentyyppisen tuennan vaatimaa tuentavoimaa.
Lisäselvityksen arvoista olisi selvittää käyttäytyykö tuentavoima yhdenmukaisesti myös
muun tyyppisissä tuennoissa. Jos tuentavoiman suuruus riippuu ainoastaan
pystykuorman suhteesta pilarin kriittisen nurjahduskuormaan, voisi tästä johtaa
yksinkertaisen menetelmän lisävoimatarkastukseen, joka johtaisi laskennalliseen
arvioon tarvittavasta vaakavoimakestävyydestä.
22. 18
LÄHTEET
[1] SFS-EN 1993-1-1:2005. Teräsrakenteiden suunnittelu, Osa 1-1-: Yleiset
säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt. Helsinki 2006, Suomen
Standardisoimisliitto SFS, 99 s.
[2] AISC 360-05. Specification for Structural Steel Buildings. Chicago 2005,
American Institute of steel construction, 518 s.
[3] Ziemian, R.D. Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. 6.
painos, 2010, Wiley. 1024 p.
[4] Yura, J.A. Winter’s bracing approach revisited. Engineering Structures
18(1996)10, pp. 821-825.
[5] Yura, A.J., Gil H. Bracing requirements of inelastic columns. Journal of
Constructional Steel Research 51(1999)1, pp. 1-19.
[6] Tuomala, M. Rakenteiden Stabiilisuusteoria. Tampere 2010, Tampereen
teknillinen yliopisto. Julkaisematon luentomoniste. 210 s.
[7] Trahair, N.S., Bradfrod, M.A., Nethercot D.A., Gardner L., The Behaviour
and Design of Steel Structures to EC3. 4. painos. New York 2008, Taylor &
Francis Group. 490 p.
23. 19
LIITE 1
Esimerkkilaskuna lasketaan yksiaukkoisen pilarin
nurjahduspituus. Pilari on toisesta päästä sivutuettu ja toisesta
lisäksi kierrejousituettu.
Yleinen ratkaisu on muotoa ja sen derivaatat
𝑣(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) + 𝐶
𝑥
𝐿
+ 𝐷
𝑣′(𝑥) = −𝐴𝑘𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) + 𝐵𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) +
𝐶
𝐿
𝑣′′(𝑥) = −𝐴𝑘2
cos(𝑘𝑥) − 𝐵𝑘2
sin(𝑘𝑥)
Pilarin reunaehdot yläpäässä
𝑣(𝐿) = 0
𝑀𝑡(𝐿) = 0
ja alapäässä
𝑣(0) = 0
𝑀𝑡(0) = −𝑣′(0)𝛽 = −
𝑣′(0)𝛽̅ 𝐸𝐼
𝐿
Palkkiteoriasta tunnetaan
𝑀𝑡(𝑥) = −𝐸𝐼𝑣′′(𝑥)
Yläpään ehdot auki kirjoitettuna ovat
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝐿) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝐿) + 𝐶 + 𝐷 = 0
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝐿) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝐿) = 0
ja alapään ehdot auki kirjoitettuna ovat
𝐴 + 𝐷 = 0
𝐴(𝑘𝐿)2
+ 𝐵𝑘𝐿𝛽̅ + 𝐶𝛽̅ = 0
Kun yläpään toisesta yhtälöstä ratkaistaan A ja sijoitetaan se muihin yhtälöihin,
saadaan seuraava yhtälöryhmä
[
tan(𝑘𝐿) 0 −1
0 1 1
𝑘𝐿[𝛽̅ − 𝑘𝐿𝑡𝑎𝑛(𝑘𝐿)] 𝛽̅ 0
] [
𝐵
𝐶
𝐷
] = [
0
0
0
]
Pcr
L
𝛽 =
𝛽̅ 𝐸𝐼
𝐿
Kuva 17 - Esimerkki 1
24. 20
Rakenne tule epästabiiliksi, kun yhtälöryhmällä ei ole enää yksikäsitteistä ratkaisua
eli siirtymät saavat kasvaa rajatta. Tämä rajatila löydetään ratkaisemalla
determinantin nollakohta. Pienin näistä nollakohdista on kriittinen kuorma, millä
rakenne nurjahtaa ensimmäisenä. Sille saadaan lausekkeeksi
tan(𝑘𝐿) =
𝑘𝐿𝛽̅
𝛽̅ + (𝑘𝐿)2
Kuten yleensä, tässä yhtälössä tuntemattomaksi jää kL, joka korvataan selvyyden
vuoksi γ:llä.
tan(𝛾) =
𝛾𝛽̅
𝛽̅ + 𝛾2
Tästä yhtälöstä ratkaistaan numeerisesti γ sijoittaen ensiksi kiertojouselle β haluttu
arvo. Ratkaistun γ:n avulla saadaan laskettua Lcr
𝛾 = 𝑘𝐿 = √
𝑃
𝐸𝐼
𝐿
𝐿 𝑐𝑟 =
𝜋
𝛾
𝐿
Analyyttinen menetelmä mahdollistaa nurjahduspituudet ja -kuorman lisäksi
mahdollisuuden ratkaista nurjatavan rakenteen tarkka muoto. Ratkaistaan siirtymän
lause muotoon, jossa siinä on vain yksi tuntematon (A, B, C tai D)
𝐴 = −𝐵𝑡𝑎𝑛(𝛾)
𝐶 = −𝐵𝑡𝑎𝑛(𝛾)
𝐷 = 𝐵𝑡𝑎𝑛(𝛾)
Sijoitetaan nämä siirtymän v lausekkeeseen
𝑣(𝑥) = 𝐵 [tan(𝛾) [− cos (𝛾
𝑥
𝐿
) −
𝑥
𝐿
+ 1] + sin (𝛾
𝑥
𝐿
)]
Ratkaisemalla lisää γ:n nollakohtia saadaan ratkaistua lisää suurempia
nurjahdusmuotoja. Kun ratkaisu ei ole yksilöllinen jokaiselle rakenteen pituudelle,
voidaan nurjahdusmuotoja taulukoida tarvittaessa. Esimerkkinä tässä on kyseinen
tehtävä ratkaistuna numeeristesti useilla kierrejousen arvoilla.
25. 21
Kuva 18 – μ-kertoimen arvoja eri β:n arvoilla (sininen raja kuvaa vapaasti tuetun
palkin rotaatiojäykkyyttä)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
-
7
𝛽
𝜇
26. 22
Pcr
L
Kuva 19 - Esimerkki
Pcr
α0
α1
β0
β1
LIITE 2
Jousille käytetään dimensiottomia suhteellisia jäykkyyksiä:
𝛼0 =
𝛼0̅̅̅𝐸𝐼
𝐿3
𝛼1 =
𝛼1̅̅̅𝐸𝐼
𝐿3 𝛽0 =
𝛽0
̅̅̅ 𝐸𝐼
𝐿
𝛽1 =
𝛽1
̅̅̅ 𝐸𝐼
𝐿
Taipuman DY on sama kuin esimerkissä 1, reunahehdot ovat
monimutkaisemmat kuin esimerkissä 1.
Palkkiteorian mukaan taivutusmomentti Mt ja leikkausvoima Q
voidaan lausua taipuman mukaan
𝑀𝑡(𝑥) = −𝐸𝐼𝑣′′(𝑥) 𝑄(𝑥) = −𝐸𝐼𝑣′′′(𝑥)
Siirtymäjousien voimat:
𝑅0 = 𝛼0 𝑣(0) 𝑅1 = 𝛼1 𝑣(𝐿)
Sauvanpään kiertymät
𝜑0 = 𝑣′(0) 𝜑1 = −𝑣′(𝐿)
Rotaatiojousien momentit
𝑀0 = 𝛽0 𝜑0 = 𝛽0 𝑣′(0) 𝑀1 = 𝛽1 𝜑1 = −𝛽1 𝑣′(𝐿)
Kuva 20 - Pilarin rasitukset
Pilarin Alapään leikkausreunaehto
𝑅0 + 𝑃𝜑0 − 𝑄(0) = 0
Kun yhtälöön sijoitetaan määritelmät ja normalisoidaan
yhtälö dimensiottomaksi
𝛼0̅̅̅
𝐿
𝑣(0) + (𝑘𝐿)2
𝑣′(0) + 𝐿2
𝑣′′′
(0) = 0
Kun tähän sijoitetaan taipuman ja sen derivaattojen
lausekkeet
𝐴𝛼0̅̅̅ + 𝐶(𝑘𝐿)2
+ 𝐷𝛼0̅̅̅ = 0
Alapään taivutusreunaehto
Kuva 21 - Pilarin loppupää
