1. ‫خور‬ ‫انتگرال‬
‫نویسنده‬:
‫ایزن‬ ‫حسین‬
Fgfg

2. ‫خور‬ ‫انتگرال‬
(‫انتگرال‬ ‫روشهای‬‫گیری‬)
‫اول‬ ‫جلد‬-‫نامعین‬ ‫انتگرال‬
‫نویسنده‬:
‫ایزن‬ ‫حسین‬
‫اول‬ ‫ویرایش‬:
‫مهرماه‬1931

3. ‫مقدمه‬
‫سالم‬
‫روشهای‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بحث‬ ‫به‬ ‫دارید‬ ‫رو‬ ‫پیش‬ ‫که‬ ‫کتابی‬ ‫در‬‫انتگرال‬‫رو‬ ‫کتاب‬ ‫اسم‬ ‫پردازیم‬ ‫می‬ ‫گیری‬"‫خور‬ ‫انتگرال‬"
‫اس‬ ‫یه‬ ‫خواستم‬ ‫می‬ ‫چون‬ ‫گذاشتم‬‫باشه‬ ‫داشته‬ ‫متفاوت‬ ‫م‬.‫ح‬ ‫کتاب‬ ‫این‬‫در‬ ‫من‬ ‫تدریس‬ ‫سال‬ ‫چندین‬ ‫اصل‬
‫دانشگاه‬‫اون‬ ‫محتوای‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫هست‬ ‫مختلف‬ ‫های‬‫حتی‬ ‫کردم‬ ‫سعی‬ ‫من‬ ‫حال‬ ‫هر‬ ‫به‬ ‫اما‬ ‫بدید‬ ‫نظر‬ ‫باید‬ ‫شما‬ ‫هم‬
‫اشتباه‬ ‫کم‬ ،‫روان‬ ‫کتابی‬ ‫االمکان‬‫اول‬ ‫جلد‬ ‫در‬ ‫کنم‬ ‫آماده‬ ‫براتون‬ ‫رو‬ ‫کامل‬ ‫و‬‫انتگرال‬‫بحث‬ ‫به‬ ‫خور‬‫انتگرال‬‫و‬ ‫نامعین‬
‫تکنیکهای‬‫انتگرال‬‫پردازیم‬ ‫می‬ ‫گیری‬.‫بعدی‬ ‫جلدهای‬ ‫کنه‬ ‫قسمت‬ ‫خدا‬ ‫اگر‬‫انتگرال‬‫به‬ ‫که‬ ‫خور‬‫انتگرال‬،‫معین‬
‫انتگرال‬‫و‬ ‫دوگانه‬...‫البته‬ ‫کنم‬ ‫می‬ ‫آماده‬ ‫براتون‬ ‫رو‬ ‫داشت‬ ‫خواهد‬ ‫اختصاص‬‫اصلی‬ ‫رشته‬ ‫در‬ ‫ریاضی‬ ‫مبحث‬ ‫جز‬ ‫به‬
‫بیارم‬ ‫در‬ ‫کتاب‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫هم‬ ‫رو‬ ‫اونها‬ ‫بتونم‬ ‫امیدوارم‬ ‫که‬ ‫کردم‬ ‫آماده‬ ‫مطالبی‬ ‫هم‬ ‫مکانیک‬ ‫مهندسی‬ ‫یعنی‬ ‫خودم‬.
‫رو‬ ‫روال‬ ‫همین‬ ‫هم‬ ‫کتاب‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫باشم‬ ‫داشته‬ ‫ها‬ ‫بچه‬ ‫با‬ ‫نزدیکی‬ ‫ارتباط‬ ‫کالسهام‬ ‫در‬ ‫کردم‬ ‫سعی‬ ‫همیشه‬ ‫من‬
‫اینج‬ ‫در‬ ‫بنابراین‬ ‫کردم‬ ‫دنبال‬‫شید‬ ‫نمی‬ ‫طرف‬ ‫ریاضی‬ ‫خشک‬ ‫فرمولهای‬ ‫از‬ ‫یکسری‬ ‫با‬ ‫صرفا‬ ‫ا‬.‫داشتم‬ ‫دوست‬ ‫خودم‬
‫اما‬ ‫کنم‬ ‫آماده‬ ‫رنگی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫رو‬ ‫کتاب‬‫ممک‬ ‫چون‬‫ناکرده‬ ‫خدای‬ ‫نه‬‫بگیره‬ ‫پرینت‬ ‫رو‬ ‫کتاب‬ ‫بخواد‬ ‫کسی‬ ‫وقتی‬ ‫یک‬
‫کنه‬ ‫مطالعه‬ ‫و‬!‫باشید‬ ‫نداشته‬ ‫هم‬ ‫پرینت‬ ‫مشکل‬ ‫تا‬ ‫نوشتم‬ ‫رنگ‬ ‫تک‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫رو‬ ‫کتاب‬.
‫تحسینی‬ ،‫تعریفی‬ ،‫پیشنهادی‬ ،‫سوالی‬ ‫اگر‬ ‫آخر‬ ‫در‬(‫انتقادی‬ ‫الل‬ ‫زبونم‬ ‫احیانا‬ ‫یا‬)!‫م‬ ‫داشتید‬ ‫هم‬‫از‬ ‫یکی‬ ‫از‬ ‫تونید‬ ‫ی‬
‫کنید‬ ‫استفاده‬ ‫زیر‬ ‫روش‬ ‫سه‬:
‫اول‬ ‫روش‬:‫پیغامگیر‬ ‫از‬ ‫استفاده‬:77113127321
‫صفحه‬ ‫در‬ ‫اگر‬ ‫مثال‬32‫در‬ ‫و‬ ‫بدم‬ ‫بیشتری‬ ‫توضیح‬ ‫براتون‬ ‫سایت‬ ‫در‬ ‫تا‬ ‫کنید‬ ‫اشاره‬ ‫دارید‬ ‫اشکالی‬ ‫ششم‬ ‫خط‬
‫بعدی‬ ‫ویرایشهای‬‫انتگرال‬‫بدم‬ ‫انجام‬ ‫رو‬ ‫الزم‬ ‫اصالحات‬ ‫خور‬.
‫د‬ ‫روش‬‫وم‬:‫سایت‬ ‫به‬ ‫مراجعه‬:www.integralkhor.blogfa.com
‫سوم‬ ‫روش‬:‫الکترونیکی‬ ‫پست‬:integralkhor@gmail.com
‫موفقیت‬ ‫آرزوی‬ ‫با‬
‫ایزن‬ ‫حسین‬-‫مهرماه‬ ‫هفتم‬ ‫بیست‬7237

4. ‫فهرست‬
‫اول‬ ‫فصل‬:‫تعریف‬‫انتگرال‬‫پایه‬ ‫فرمولهای‬ ‫و‬‫انتگرال‬‫گیری‬.......................................................‫صف‬‫حه‬:7
‫دوم‬ ‫فصل‬:‫یافته‬ ‫تعمیم‬ ‫فرمولهای‬ ‫و‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬............................................................‫صفحه‬:32
‫سوم‬ ‫فصل‬:‫مثلثاتی‬ ‫متغیرهای‬ ‫تغییر‬...........................................................................................‫صفحه‬:14
‫چهارم‬ ‫فصل‬:‫انتگرال‬‫گویا‬ ‫کسرهای‬ ‫از‬ ‫گیری‬.............................................................................‫صفحه‬:43
‫پنجم‬ ‫فصل‬:‫جزء‬ ‫به‬ ‫جزء‬ ‫روش‬....................................................................................................‫صفحه‬:17
‫ششم‬ ‫فصل‬:‫انتگرال‬‫مثلثاتی‬ ‫های‬...............................................................................................‫صفحه‬:32

5. 1
‫اول‬ ‫فصل‬:‫مقدماتی‬ ‫فرمولهای‬ ‫و‬ ‫انتگرال‬ ‫تعریف‬
‫مقدمه‬
‫ها‬ ‫بچه‬ ‫که‬ ‫شنیدید‬ ‫رو‬ ‫جمله‬ ‫این‬ ‫حاال‬ ‫تا‬ ‫حتما‬(‫دانشجو‬ ‫چه‬ ‫و‬ ‫آموز‬ ‫دانش‬ ‫چه‬)‫گن‬ ‫می‬:"‫انتگرال‬ ‫از‬ ‫اما‬ ‫بلدیم‬ ‫خوب‬ ‫رو‬ ‫مشتق‬ ‫ما‬
‫آریم‬ ‫نمی‬ ‫در‬ ‫سر‬!"‫که‬ ‫بگم‬ ‫باید‬ ‫افراد‬ ‫این‬ ‫جواب‬ ‫در‬:‫سری‬ ‫یک‬ ‫و‬ ‫بگیرید‬ ‫یاد‬ ‫خوب‬ ‫رو‬ ‫مشتق‬ ‫شما‬ ‫اگر‬‫ریزه‬‫کاریها‬‫رو‬‫هم‬‫بلد‬
‫باشید‬‫انتگر‬ ‫عملیات‬ ‫راحت‬ ‫خیلی‬ ‫میتونید‬‫کتاب‬ ‫در‬ ‫ما‬ ‫بدید‬ ‫انجام‬ ‫رو‬ ‫گیری‬ ‫ال‬‫خور‬ ‫انتگرال‬‫میشه‬ ‫آماده‬ ‫جلد‬ ‫چندین‬ ‫در‬ ‫که‬
(‫و‬ ‫دوگانه‬ ‫انتگرال‬ ،‫معین‬ ‫انتگرال‬ ،‫نامعین‬ ‫انتگرال‬)...‫رو‬ ‫سرتون‬ ‫خب‬ ،‫کنیم‬ ‫مرور‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫رو‬ ‫کاریها‬ ‫ریزه‬ ‫این‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫سعی‬
‫د‬‫بریم‬ ‫نیارم‬ ‫رد‬‫درسمون‬ ‫سراغ‬.
‫انتگرال‬
‫ساده‬ ‫خیلی‬ ‫صورت‬ ‫به‬‫گیری‬ ‫مشتق‬ ‫عمل‬ ‫عکس‬ ‫گیری‬ ‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫دقت‬ ‫زیر‬ ‫مثال‬ ‫به‬ ‫چطور؟‬ ‫اما‬ ‫است‬:
‫مشتق‬
‫شده‬ ‫مشتقش‬ ‫که‬ ‫هست‬ ‫تابعی‬ ‫چه‬ ‫اون‬ ‫بپرسن‬ ‫شما‬ ‫از‬ ‫اگه‬ ‫حاال‬‫میگین؟‬ ‫چی‬‫میگ‬ ‫سریع‬ ‫حتما‬‫ی‬‫ن‬:‫معلومه‬ ‫خب‬‫شایدم‬
‫ب‬ ‫یکی‬‫گه‬‫یا‬‫جواب‬ ‫این‬ ‫همه‬ ‫و‬‫ه‬‫درسته‬ ‫هم‬ ‫ا‬.‫با‬ ‫که‬ ‫ثابتی‬ ‫عدد‬ ‫بگید‬ ‫تونید‬ ‫نمی‬ ‫شما‬ ‫که‬ ‫اینه‬ ‫واقعیت‬‫جمع‬
‫عدد‬ ‫گیری‬ ‫مشتق‬ ‫در‬ ‫چون‬ ‫بوده‬ ‫چند‬ ‫شده‬‫ثابت‬‫ح‬‫میشه‬ ‫ذف‬(‫میشه‬ ‫صفر‬)‫ما‬ ‫جواب‬ ‫بگیم‬ ‫تونیم‬ ‫می‬ ‫کلی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫بنابراین‬
‫که‬ ‫هست‬‫یه‬‫ثابته‬ ‫عدد‬.‫داریم‬ ‫انتگرالی‬ ‫بیان‬ ‫به‬:
‫شده‬ ‫مشتقش‬ ‫که‬ ‫تابعیه‬ ‫چه‬ ‫اون‬ ‫بگید‬ ‫حاال‬ ‫خب‬‫؟‬
‫آقااجازه‬:‫معلومه‬‫انتگرالی‬ ‫بیان‬ ‫به‬ ‫یا‬:
‫آفرین‬‫گرفتین‬ ‫یاد‬ ‫درسو‬ ‫که‬ ‫مشخصه‬!‫انتگرال‬ ‫تعریف‬ ‫یعنی‬ ‫مطلب‬ ‫اصل‬ ‫سراغ‬ ‫بریم‬ ‫وقتشه‬ ‫دیگه‬.

6. 2
‫انتگرال‬ ‫تعریف‬
‫زیرهست‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫انتگرال‬ ‫یک‬ ‫کلی‬ ‫شکل‬:
‫که‬‫ر‬‫ا‬‫پایین‬ ‫حد‬‫و‬‫ر‬‫ا‬‫می‬ ‫انتگرال‬ ‫باالی‬ ‫حد‬‫گ‬‫وی‬‫یم‬‫هست‬ ‫انتگرال‬ ‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫هم‬.
‫یک‬ ‫تذکد‬:‫یعنی‬ ‫انتگرال‬ ‫حدود‬ ‫اگر‬‫میگوییم‬ ‫نامعین‬ ‫رو‬ ‫انتگرال‬ ‫اینصورت‬ ‫غیر‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫معین‬ ‫رو‬ ‫انتگرال‬ ‫باشند‬ ‫شده‬ ‫داده‬.
‫معین‬ ‫انتگرال‬
‫انتگرال‬‫نا‬‫معین‬
‫ما‬‫اول‬ ‫جلد‬ ‫در‬‫خور‬ ‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫بررسی‬ ‫رو‬ ‫نامعین‬ ‫انتگرال‬ ‫فقط‬.
‫دو‬ ‫تذکر‬:‫یعنی‬‫انتگرال‬‫گیری‬‫به‬ ‫نسبت‬‫شود‬ ‫می‬ ‫انجام‬(‫ما‬ ‫متغیر‬‫است‬)‫بنابراین‬‫که‬ ‫عبارتی‬ ‫هر‬‫عدد‬ ‫ندارد‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫فرض‬ ‫ثابت‬.
‫تعریف‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫حاال‬‫انتگرال‬‫باشه‬ ‫ذهنتون‬ ‫تو‬ ‫باید‬ ‫همیشه‬ ‫که‬ ‫کنم‬ ‫می‬ ‫عنوان‬ ‫رو‬ ‫ای‬ ‫نکته‬ ‫یه‬ ‫شدید‬ ‫آشنا‬:
‫انتگرال‬ ‫جواب‬ ‫از‬ ‫اگر‬‫نامعین‬‫برسیم‬ ‫انتگرال‬ ‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫به‬ ‫باید‬ ‫بگیریم‬ ‫مشتق‬

7. 3
‫بیان‬ ‫به‬‫انتگرال‬‫داریم‬ ‫ی‬:
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫مهم‬ ‫تذکر‬:‫جواب‬ ‫باشه‬ ‫یادتون‬‫انتگرال‬‫رو‬‫بیارید‬ ‫بدست‬ ‫روشی‬ ‫هر‬ ‫از‬(‫دستی‬ ‫بغل‬ ‫از‬ ‫کمک‬،‫داخل‬ ‫نوشتن‬‫ماشین‬
‫فیری‬ ‫هندز‬ ،‫حساب‬)...‫کنه‬ ‫صدق‬ ‫باال‬ ‫قاعده‬ ‫در‬ ‫باید‬!!
‫صورت‬ ‫به‬ ‫انتگرالی‬ ‫امتحان‬ ‫جلسه‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬ :‫مثال‬
‫صورت‬ ‫به‬ ‫رو‬ ‫جواب‬ ‫شما‬ ‫دستی‬ ‫بغل‬ ‫و‬ ‫شده‬ ‫داده‬‫آورده‬ ‫بدست‬!‫درسته؟‬ ‫جواب‬ ‫نظرتون‬ ‫به‬ ‫آیا‬
‫حل‬:‫بگیریم‬ ‫مشتق‬ ‫جواب‬ ‫از‬ ‫کافیه‬ ‫خب‬:
‫درس‬ ‫جواب‬ ‫بینید‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫همونطور‬‫ت‬‫نیست‬!‫صورت‬ ‫به‬ ‫درست‬ ‫جواب‬ ‫و‬ ‫داره‬ ‫اشتباه‬ ‫منفی‬ ‫یه‬ ‫فقط‬ ‫البته‬
‫است‬.
‫اخالقی‬ ‫گیری‬ ‫نتیجه‬:‫کنید‬ ‫تکیه‬ ‫خودتون‬ ‫معلومات‬ ‫به‬ ‫کنید‬ ‫سعی‬.

8. 4
‫گیری‬ ‫انتگرال‬ ‫در‬ ‫مهم‬ ‫قانون‬ ‫دو‬
‫اول‬ ‫قانون‬
‫بگیریم‬ ‫مشتق‬ ‫جداگانه‬ ‫توابع‬ ‫تک‬ ‫تک‬ ‫از‬ ‫کافیه‬ ‫تابع‬ ‫چند‬ ‫تفریق‬ ‫و‬ ‫جمع‬ ‫از‬ ‫گیری‬ ‫مشتق‬ ‫برای‬ ‫باشه‬ ‫یادتون‬ ‫اگر‬.‫برای‬ ‫اینجا‬ ‫در‬
‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫عمل‬ ‫صورت‬ ‫همین‬ ‫به‬ ‫هم‬ ‫گیری‬‫باشیم‬ ‫داشته‬ ‫رو‬ ‫تابع‬ ‫چند‬ ‫تفریق‬ ‫یا‬ ‫جمع‬ ‫انتگرال‬ ‫جلوی‬ ‫در‬ ‫اگر‬ ‫یعنی‬
‫جداگانه‬ ‫توابع‬ ‫تک‬ ‫تک‬ ‫برای‬‫انتگرال‬‫نویسیم‬ ‫می‬‫داریم‬ ‫ریاضی‬ ‫بیان‬ ‫به‬:
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫یک‬ ‫تذکر‬:‫جداگانه‬ ‫تابع‬ ‫هر‬ ‫برای‬ ‫وقتی‬‫انتگرال‬‫نوشتید‬ ‫رو‬‫نشه‬ ‫فراموش‬!
‫دو‬ ‫تذکر‬:‫یکدفعه‬ ‫تونید‬ ‫می‬ ‫شدید‬ ‫ای‬ ‫حرفه‬ ‫یکم‬ ‫وقتی‬‫انتگرال‬‫بدید‬ ‫انجام‬ ‫رو‬ ‫گیری‬‫تفکیک‬ ‫به‬ ‫نیازی‬ ‫دیگه‬ ‫و‬‫انتگرال‬‫نیست‬.
‫دوم‬ ‫قانون‬ ‫اما‬ ‫و‬
‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫یک‬ ‫اگر‬(‫مانند‬)‫از‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫باشد‬ ‫شده‬ ‫ضرب‬ ‫انتگرال‬ ‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫در‬‫انتگرال‬‫آورد‬ ‫بیرون‬.
‫هم‬ ‫گیری‬ ‫مشتق‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫رو‬ ‫قانون‬ ‫همین‬ ‫باشه‬ ‫یادتون‬ ‫اگه‬‫داشتیم‬.

9. 5
‫مثال‬ ‫چند‬:
‫تفاوت‬‫انتگرال‬‫و‬‫نه؟‬ ‫یا‬ ‫شدید‬ ‫متوجه‬ ‫رو‬
‫در‬ ‫کنید‬ ‫توجه‬‫انتگرال‬‫متغیر‬‫هست‬(‫چون‬‫داریم‬)‫بنابراین‬‫از‬ ‫و‬ ‫شه‬ ‫می‬ ‫محسوب‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬‫انتگرال‬‫بیرون‬
‫در‬ ‫اما‬ ‫میاد‬‫انتگرال‬‫متغیر‬‫هست‬(‫چون‬‫داریم‬)‫بنابراین‬‫از‬ ‫و‬ ‫شه‬ ‫می‬ ‫محسوب‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬‫انتگرال‬‫میاد‬ ‫بیرون‬.
‫چهارم‬ ‫و‬ ‫سوم‬ ‫قانون‬ ‫اما‬ ‫و‬!
‫متاسفانه‬‫بعضی‬‫برای‬ ‫کنن‬ ‫می‬ ‫فکر‬ ‫ها‬ ‫بچه‬ ‫از‬‫انتگرال‬‫هم‬ ‫توابع‬ ‫تقسیم‬ ‫و‬ ‫ضرب‬ ‫از‬ ‫گیری‬(‫مشتق‬ ‫مثل‬)‫داریم‬ ‫فرمول‬‫اما‬
‫چن‬ ‫متاسفانه‬‫ر‬ ‫بنابراین‬ ‫ندارد‬ ‫وجود‬ ‫فرمولی‬ ‫ین‬‫هستند‬ ‫اشتباه‬ ‫زیر‬ ‫وابط‬:
‫ندارد‬ ‫وجود‬ ‫چهارمی‬ ‫و‬ ‫سوم‬ ‫قانون‬ ‫بنابراین‬!!

10. 6
‫مثال‬:‫انتگرال‬‫برای‬ ‫را‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫های‬‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫آماده‬ ‫گیری‬!
‫حل‬:
‫تذکر‬:‫یادآوری‬ ‫برای‬ ‫ولی‬ ‫بلدید‬ ‫همتون‬ ‫دونم‬ ‫می‬:
‫می‬ ‫صورت‬ ‫همین‬ ‫به‬‫تون‬‫بنویسیم‬ ‫یم‬:
‫یا‬
‫پ‬ ‫خیلی‬ ‫گفتم‬ ‫که‬ ‫رو‬ ‫نکاتی‬ ‫این‬ ‫ممکنه‬‫ساده‬ ‫نکات‬ ‫همین‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫عدم‬ ‫که‬ ‫داده‬ ‫نشون‬ ‫تجربه‬ ‫اما‬ ‫بیاد‬ ‫نظرتون‬ ‫به‬ ‫افتاده‬ ‫پا‬ ‫یش‬
‫در‬ ‫اشتباهات‬ ‫اکثر‬ ‫منشاء‬‫انتگرال‬‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫و‬ ‫بوده‬ ‫گیری‬!!

11. 7
‫فرمولهای‬‫پایه‬‫انتگرال‬‫گیری‬
‫در‬‫قسمت‬ ‫این‬‫از‬ ‫یکسری‬ ‫ابتدا‬ ‫در‬ ‫ما‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫سعی‬ ‫ادامه‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حفظ‬ ‫رو‬ ‫ساده‬ ‫های‬‫انتگرال‬‫پیچیده‬ ‫های‬
‫تر‬‫مثل‬ ‫هایی‬ ‫تکنیک‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫رو‬‫به‬ ‫جزء‬ ‫به‬ ‫جزء‬ ‫یا‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫تبدیل‬ ‫تر‬ ‫ساده‬ ‫های‬.‫این‬‫انتگرال‬‫های‬
‫پایه‬ ‫فرمولهای‬ ‫اینجا‬ ‫در‬ ‫رو‬ ‫ساده‬‫انتگرال‬‫نامیم‬ ‫می‬ ‫گیری‬.‫فرمول‬ ‫اولین‬ ‫اما‬ ‫و‬:
‫از‬ ‫اگر‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬(‫انتگرال‬ ‫جواب‬ ‫یعنی‬)‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫به‬ ‫بگیریم‬ ‫مشتق‬‫انتگرال‬‫رسیم‬ ‫می‬.
‫تذکر‬:‫فرمول‬ ‫واضحه‬‫بنویسید‬ ‫هم‬ ‫دیگری‬ ‫متغیر‬ ‫هر‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫تونیم‬ ‫می‬ ‫رو‬ ‫باال‬‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬
‫آقا‬‫اجازه‬:‫بگیم‬ ‫تونیم‬ ‫می‬‫و‬‫فقط‬ ‫و‬ ‫کنن‬ ‫می‬ ‫خنثی‬ ‫همدیگرو‬‫مونه؟‬ ‫می‬
‫استاد‬:‫گفت‬ ‫میشه‬ ‫آره‬ ‫خاموش‬ ‫چراغ‬!‫نکنی‬ ‫تکیه‬ ‫زیاد‬ ‫آبگوشتی‬ ‫قوانین‬ ‫این‬ ‫به‬ ‫کن‬ ‫سعی‬ ‫ولی‬!!!
‫دوم‬ ‫فرمول‬ ‫سراغ‬ ‫بریم‬ ‫اینکه‬ ‫از‬ ‫قبل‬‫دو‬‫کنم‬ ‫می‬ ‫یادآوری‬ ‫براتون‬ ‫رو‬ ‫رابطه‬ ‫تا‬.
‫عنوان‬ ‫به‬‫مثال‬:
‫یادآوری‬1

12. 8
‫و‬‫دوم‬ ‫رابطه‬ ‫اما‬
‫مبحث‬ ‫رابطه‬ ‫پرکاربردترین‬ ‫و‬ ‫مهمترین‬ ‫باال‬ ‫رابطه‬‫انتگرال‬‫باشید‬ ‫مسلط‬ ‫اون‬ ‫بر‬ ‫کامال‬ ‫باید‬ ‫بنابراین‬ ‫باشد‬ ‫می‬ ‫گیری‬.
‫ت‬‫یک‬ ‫ذکر‬:‫باال‬ ‫فرمول‬ ‫در‬(‫یعنی‬‫توان‬)‫می‬‫عددی‬ ‫هر‬ ‫تواند‬(‫کسری،صحیح‬،)....‫جز‬ ‫به‬‫باشد‬
‫دو‬ ‫تذکر‬:‫باید‬ ‫حتما‬ ‫باال‬ ‫فرمول‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫برای‬‫باشد‬ ‫کسر‬ ‫صورت‬ ‫در‬.‫شده‬ ‫داده‬ ‫مسئله‬ ‫در‬ ‫اگر‬ ‫بنابراین‬‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫در‬
‫باال‬ ‫روابط‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫باید‬ ‫باشد‬ ‫رادیکال‬ ‫زیر‬ ‫در‬ ‫یا‬(‫یادآوری‬1)‫توان‬ ‫صورت‬ ‫به‬‫نوشت‬ ‫کسر‬ ‫صورت‬ ‫در‬ ‫دار‬.
‫مثال‬ ‫تا‬ ‫چند‬ ‫حاال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫آسون‬.
‫مثال‬:‫م‬‫محاسبه‬ ‫طلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫حل‬:
‫تذک‬‫ر‬:‫از‬ ‫بعد‬ ‫معموال‬‫انتگرال‬‫آخر‬ ‫جواب‬ ‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫و‬ ‫گیری‬‫رادیکالی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫کسری‬ ‫توان‬ ‫جای‬ ‫به‬ ‫رو‬ ‫جواب‬ ‫که‬ ‫بهتره‬
‫بنویسیم‬.

13. 9
‫کنید‬ ‫دقت‬‫صورت‬ ‫به‬ ‫یکی‬ ‫بنویسیم‬ ‫صورت‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫تونیم‬ ‫می‬ ‫رو‬‫بنویسیم‬ ‫اینکه‬ ‫یا‬:
‫صحیح‬ ‫توان‬ ‫واقع‬ ‫در‬‫نوشتیم‬ ‫رادیکال‬ ‫بیرون‬ ‫رو‬

14. 10
‫مهم‬ ‫قلق‬:‫کسری‬ ‫انتگرالهای‬ ‫محاسبه‬ ‫برای‬‫کنیم‬ ‫تفکیک‬ ‫را‬ ‫کسر‬ ‫است‬ ‫بهتر‬ ‫معموال‬ ‫باشد‬ ‫ای‬ ‫جمله‬ ‫تک‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫که‬
‫سه‬‫خاص‬ ‫حالت‬‫مهم‬‫رابطه‬ ‫از‬‫دوم‬(‫این‬‫سه‬‫تا‬‫انتگرال‬‫خوبه‬ ‫آیندتون‬ ‫واسه‬ ‫کنید‬ ‫حفظ‬ ‫رو‬)!
‫سوم‬ ‫رابطه‬،‫انتگرال‬‫کسینوس‬ ‫و‬ ‫سینوس‬
‫جواب‬ ‫از‬ ‫حاال‬‫انتگرال‬‫می‬ ‫مشتق‬ ‫باال‬ ‫های‬‫نه‬ ‫یا‬ ‫رسیم‬ ‫می‬ ‫انتگرال‬ ‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫به‬ ‫ببینیم‬ ‫گیریم‬!
‫مشتق‬
‫مشتق‬
‫چی‬ ‫همه‬ ‫که‬ ‫بینید‬ ‫می‬‫آرومه‬!
‫کنیم‬ ‫حل‬ ‫مثال‬ ‫قسمت‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫اینکه‬ ‫از‬ ‫قبل‬‫یادآوری‬ ‫براتون‬ ‫رو‬ ‫مثلثاتی‬ ‫رابطه‬ ‫تا‬ ‫چند‬‫می‬‫کنم‬.

15. 11
‫چند‬ ‫حاال‬ ‫خب‬‫انتگرال‬‫خوشکل‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫هم‬ ‫با‬.
‫تذکر‬:‫این‬ ‫حل‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫ای‬ ‫ساده‬ ‫های‬ ‫ایده‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫خوره‬ ‫می‬ ‫بدردتون‬ ‫بعدا‬ ‫رفته‬ ‫بکار‬ ‫ها‬.
‫مثال‬:‫حل‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫یادآوری‬2

16. 12
‫حل‬:
‫حل‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫نوشتیم‬ ‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫رو‬ ‫کسر‬ ‫صورت‬ ‫باال‬:

17. 13
‫چهارم‬ ‫رابطه‬
‫داشتیم‬ ‫باشه‬ ‫یادتون‬ ‫اگه‬:
‫مشتق‬
‫مشتق‬
‫مشتق‬
‫مشتق‬
‫محاسبه‬ ‫برای‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫معکوس‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫سکانت‬‫از‬ ‫سپس‬ ‫نوشته‬ ‫کسینوس‬‫استفاده‬ ‫کسر‬ ‫مشتق‬ ‫قانون‬
‫کنیم‬ ‫می‬(‫کسکانت‬ ‫برای‬ ‫صورت‬ ‫همین‬ ‫به‬)

18. 14
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫حل‬:
‫تذکر‬:‫حل‬ ‫برای‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫به‬ ‫رو‬ ‫یک‬ ‫عدد‬ ‫ابتدا‬ ‫باال‬‫انتگرال‬‫رابطه‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫تا‬ ‫کردیم‬ ‫اضافه‬(a)‫دوباره‬ ‫سپس‬ ‫بیاد‬ ‫در‬
‫از‬ ‫رو‬ ‫یک‬‫انتگرال‬‫کرده‬ ‫کم‬‫و‬‫انتگرال‬‫کردیم‬ ‫تفکیک‬ ‫رو‬ ‫ها‬.

19. 15
‫ت‬‫ا‬‫لگاریتمی‬ ‫و‬ ‫نمایی‬ ‫بع‬
‫بحث‬ ‫شروع‬ ‫از‬ ‫قبل‬‫جدید‬‫پردازیم‬ ‫می‬ ‫لگاریتمی‬ ‫و‬ ‫نمایی‬ ‫توابع‬ ‫یادآوری‬ ‫به‬.
‫یادآوری‬3
‫نمایی‬ ‫تابع‬:‫صورت‬ ‫به‬ ‫تابعی‬ ‫نمایی‬ ‫تابع‬ ‫از‬ ‫منظور‬‫که‬ ‫است‬‫و‬ ‫پایه‬ ‫را‬‫نما‬ ‫را‬(‫توان‬)‫اگر‬ ‫گوییم‬ ‫می‬
‫نپر‬ ‫عدد‬ ‫برابر‬ ‫نمایی‬ ‫تابع‬ ‫پایه‬(e=2.718…)‫آن‬ ‫به‬ ‫باشد‬‫گوییم‬ ‫می‬ ‫طبیعی‬ ‫نمایی‬ ‫تابع‬(‫تابع‬ ‫خالصه‬ ‫صورت‬ ‫به‬
‫نمایی‬)‫تابع‬‫داریم‬ ‫یعنی‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫پیروی‬ ‫تواندار‬ ‫اعداد‬ ‫تقسیم‬ ‫و‬ ‫ضرب‬ ‫قوانین‬ ‫از‬:
‫یادآوری‬4
‫لگاریتم‬:‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫تابع‬ ‫لگاریتم‬‫نویسیم‬ ‫می‬ ‫زیر‬:
‫لگاریتم‬ ‫خوانیم‬ ‫می‬ ‫و‬‫مبنای‬ ‫در‬(‫پایه‬)‫شود‬ ‫می‬.‫است‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫نمایی‬ ‫و‬ ‫لگاریتمی‬ ‫تابع‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬:
‫جای‬ ‫به‬ ‫باشد‬ ‫نپر‬ ‫عدد‬ ‫لگاریتم‬ ‫مبنای‬ ‫اگر‬‫نویسیم‬ ‫می‬‫قوانین‬ ‫گوییم‬ ‫می‬ ‫طبیعی‬ ‫لگاریتم‬ ‫آن‬ ‫به‬ ‫و‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫بیان‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫طبیعی‬ ‫لگاریتم‬ ‫پایه‬:

20. 16
‫مثال‬ ‫چندتا‬ ‫حاال‬‫مهم‬‫کنید‬ ‫دقت‬ ‫خوب‬ ‫زنم‬ ‫می‬:
‫اما‬ ‫و‬‫انتگرال‬‫لگاریتم‬ ‫و‬ ‫نمایی‬ ‫توابع‬
‫مشتق‬ ‫که‬ ‫هست‬ ‫یادتون‬ ‫حتما‬‫خودش‬ ‫میشه‬‫بنابراین‬‫انتگرال‬‫هم‬‫خودش‬‫شود‬ ‫می‬.‫یعنی‬:
‫مثال‬:

21. 17
‫مشتق‬ ‫همچنین‬‫میشه‬‫بنابراین‬:
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫چیه؟‬ ‫مطلق‬ ‫قدر‬ ‫عالمت‬ ‫این‬
‫استاد‬:‫که‬ ‫اینه‬ ‫واسه‬ ‫مطلق‬ ‫قدر‬ ‫عالمت‬‫جلوی‬ ‫تابع‬‫باشه‬ ‫مثبت‬ ‫باید‬ ‫لگاریتم‬‫عالمت‬ ‫هیچوقت‬ ‫دانشجویی‬ ‫زمان‬ ‫خودم‬ ‫البته‬ ،
‫نمیومد‬ ‫خوشم‬ ‫ازش‬ ‫چون‬ ‫زاشتم‬ ‫نمی‬ ‫لگاریتم‬ ‫جلوی‬ ‫رو‬ ‫مطلق‬ ‫قدر‬!!‫ندی‬ ‫انجام‬ ‫بد‬ ‫کارای‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫بهتره‬ ‫شما‬ ‫البته‬!
‫مثال‬:‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬
‫حل‬:
‫شدید‬ ‫متوجه‬‫استفاده‬ ‫قلقی‬ ‫چه‬ ‫از‬ ‫که‬‫این‬ ‫به‬ ‫یا‬ ‫کردیم‬‫؟؟‬ ‫رفت‬ ‫یادتون‬ ‫زودی‬!!!
‫انتگرال‬‫نگف‬ ‫مگه‬ ‫؟‬ ‫هست‬ ‫خاطرتون‬‫خوبه‬ ‫آیندتون‬ ‫واسه‬ ‫کنید‬ ‫حفظش‬ ‫تم‬!!

22. 18
‫کنی‬ ‫قاطی‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫رو‬ ‫لگاریتمی‬ ‫و‬ ‫نمایی‬ ‫توابع‬ ‫خوایم‬ ‫می‬ ‫حاال‬‫م‬‫؟‬ ‫میاد‬ ‫در‬ ‫توش‬ ‫از‬ ‫چی‬ ‫ببینیم‬‫دو‬ ‫روال‬ ‫طبق‬ ‫قبلش‬ ‫اما‬‫رابطه‬ ‫تا‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫یادآوری‬ ‫رو‬.
‫که‬ ‫بینید‬ ‫می‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬ ‫اگه‬‫همدیگر‬‫فقط‬ ‫و‬ ‫کنند‬ ‫می‬ ‫خنثی‬ ‫رو‬‫مونه‬ ‫می‬!
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫؟؟‬ ‫بیاریم‬ ‫در‬ ‫رابطه‬ ‫خودمون‬ ‫از‬ ‫الکی‬ ‫کاریه‬ ‫چه‬ ‫آخه‬
‫استاد‬:‫مهندسی‬ ‫دروس‬ ‫از‬ ‫خیلی‬ ‫در‬ ‫رابطه‬ ‫تا‬ ‫دو‬ ‫این‬ ‫اتفاقا‬(‫دیفرانسیل‬ ‫معادالت‬ ‫خصوص‬ ‫به‬)‫به‬‫خوره‬ ‫می‬ ‫دردتون‬‫چطور؟‬ ‫اما‬
‫زنم‬ ‫می‬ ‫براتون‬ ‫مثال‬ ‫یه‬.
‫مسئله‬ ‫یک‬ ‫حل‬ ‫خالل‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬‫رابطه‬ ‫به‬‫ما‬ ‫از‬ ‫مسئله‬ ‫و‬ ‫رسیدیم‬‫می‬ ‫رو‬‫شر‬ ‫از‬ ‫چطور‬ ‫حاال‬ ‫خواد‬‫خالص‬
‫بشیم‬‫؟‬
‫جواب‬:‫آوردیم‬ ‫بدست‬ ‫که‬ ‫ای‬ ‫رابطه‬ ‫طرفین‬ ‫از‬ ‫کافیه‬‫بگیریم‬‫و‬‫سپس‬‫رابطه‬ ‫از‬‫کنیم‬ ‫استفاده‬.
‫بنابراین‬:
‫یادآوری‬5
‫مثال‬
‫مثال‬
‫صورت‬ ‫به‬ ‫ای‬ ‫رابطه‬ ‫با‬ ‫هرگاه‬‫شدی‬ ‫مواجه‬‫م‬‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫برای‬‫از‬
‫رابطه‬ ‫طرفین‬‫رابطه‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫گیریم‬ ‫می‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬

23. 19
‫رابطه‬ ‫به‬ ‫مسئله‬ ‫یک‬ ‫حل‬ ‫خالل‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬ ‫حاال‬‫ما‬ ‫از‬ ‫مسئله‬ ‫و‬ ‫رسیدیم‬‫می‬ ‫رو‬‫شر‬ ‫از‬ ‫چطور‬ ‫حاال‬ ‫خواد‬
‫؟‬ ‫بشیم‬ ‫خالص‬
‫جواب‬:‫ای‬ ‫رابطه‬ ‫طرفین‬ ‫کافیه‬‫توان‬ ‫آوردیم‬ ‫بدست‬ ‫که‬ ‫رو‬‫رابطه‬ ‫از‬ ‫سپس‬ ‫و‬ ‫دهیم‬ ‫قرار‬
‫کنیم‬ ‫استفاده‬.
‫بنابراین‬:
‫تا‬ ‫چند‬ ‫گرفتید‬ ‫یاد‬ ‫رو‬ ‫رابطه‬ ‫تا‬ ‫دو‬ ‫این‬ ‫که‬ ‫حاال‬‫انتگرال‬‫قشنگ‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫هم‬ ‫با‬
‫مثال‬:‫حل‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫حل‬:
‫صورت‬ ‫به‬ ‫ای‬ ‫رابطه‬ ‫با‬ ‫هرگاه‬‫شدی‬ ‫مواجه‬‫م‬‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫برای‬
‫رابطه‬ ‫طرفین‬‫توان‬ ‫را‬‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬‫رابطه‬ ‫از‬ ‫و‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬

24. 20
‫مثلثاتی‬ ‫معکوس‬ ‫توابع‬
‫بررسی‬ ‫به‬ ‫فصل‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫بخش‬ ‫آخرین‬ ‫در‬‫انتگرال‬‫مثلثاتی‬ ‫معکوس‬ ‫توابع‬(‫تانژانت‬ ‫آرک‬ ‫و‬ ‫سینوس‬ ‫آرک‬)‫پردازیم‬ ‫می‬.
‫هست‬ ‫یادتون‬ ‫که‬ ‫همونطور‬(‫نیست‬ ‫یادتون‬ ‫مطمئنم‬ ‫که‬)!!!‫داشتیم‬ ‫مشتق‬ ‫مبحث‬ ‫از‬:
‫داریم‬ ‫بنابراین‬:
‫داریم‬ ‫کلی‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫و‬:
‫توجه‬:‫باال‬ ‫روابط‬ ‫در‬‫است‬ ‫ثابت‬ ‫عددی‬.

25. 21
‫مثال‬:‫حل‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫حل‬:

26. 22
1-‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬(‫گرمی‬ ‫دست‬ ‫مسائل‬)
2-‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬(‫مسائل‬‫مخ‬‫گرمی‬)
‫اول‬ ‫فصل‬ ‫مسائل‬

27. 23
‫دوم‬ ‫فصل‬:‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬(‫جانشینی‬)
‫های‬ ‫انتگرال‬ ‫از‬ ‫برخی‬ ‫کار‬ ‫اینجای‬ ‫تا‬‫کردیم‬ ‫حساب‬ ‫پایه‬ ‫روابط‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫رو‬ ‫ساده‬‫باهاشون‬ ‫ما‬ ‫که‬ ‫هایی‬ ‫انتگرال‬ ‫از‬ ‫خیلی‬ ‫اما‬
‫نیستند‬ ‫حل‬ ‫قابل‬ ‫فرمولها‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫شیم‬ ‫می‬ ‫روبرو‬‫بن‬‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫باید‬ ‫ابراین‬‫روشها‬‫ی‬‫خاصی‬‫داده‬ ‫های‬ ‫انتگرال‬
‫از‬ ‫یکی‬ ‫کنیم‬ ‫ساده‬ ‫را‬ ‫شده‬‫پردازیم‬ ‫می‬ ‫آن‬ ‫توضیح‬ ‫به‬ ‫ادامه‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫نام‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ، ‫روشها‬ ‫این‬
،‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫رو‬ ‫زیر‬ ‫انتگرال‬(‫نمی‬ ‫رو‬ ‫انتگرال‬ ‫این‬ ‫که‬ ‫مشخصه‬‫کنیم‬ ‫حساب‬ ‫پایه‬ ‫روابط‬ ‫از‬ ‫تونیم‬)
‫یه‬ ‫برابر‬ ‫رو‬ ‫رادیکال‬ ‫زیر‬ ‫عبارت‬ ‫ابتدا‬‫مثل‬ ‫جدید‬ ‫متغیر‬‫میدیم‬ ‫قرار‬‫گیریم‬ ‫می‬ ‫دیفرانسیل‬ ‫رابطه‬ ‫طرفین‬ ‫از‬ ‫سپس‬ ‫و‬:
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫چی؟‬ ‫یعنی‬ ‫گیریم‬ ‫می‬ ‫دیفرانسیل‬
‫استاد‬:‫بگیم‬ ‫بخوایم‬ ‫ساده‬ ‫خیلی‬‫در‬ ‫رو‬ ‫مشتق‬ ‫حاصل‬ ‫بعد‬ ‫بگیر‬ ‫مشتق‬ ‫عبارت‬ ‫از‬ ‫اول‬‫کن‬ ‫ضرب‬.
‫صورت‬ ‫به‬ ‫رو‬ ‫عبارت‬ ‫حاال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫مرتب‬
‫سپس‬‫جای‬ ‫به‬ ‫اولیه‬ ‫انتگرال‬ ‫در‬،‫جای‬ ‫به‬ ‫و‬‫عبارت‬‫میدیم‬ ‫قرار‬ ‫رو‬.
‫برحسب‬ ‫تا‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫ساده‬ ‫رو‬ ‫انتگرال‬ ‫حاال‬‫بیاد‬ ‫در‬(‫بخورن‬ ‫خط‬ ‫ها‬)
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫رو‬ ‫انتگرال‬ ‫آخر‬ ‫در‬‫جای‬ ‫به‬ ‫انتگرال‬ ‫جواب‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫کرده‬ ‫حل‬‫همان‬‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬ ‫را‬.

28. 24
‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫در‬ ‫کار‬ ‫مراحل‬
‫بشید‬ ‫آشنا‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫با‬ ‫اصولی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اینکه‬ ‫خاطر‬ ‫به‬ ‫اینجا‬ ‫در‬‫براتون‬ ‫قدم‬ ‫به‬ ‫قدم‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫رو‬ ‫کار‬ ‫مراحل‬‫توضیح‬
‫میدم‬:
‫اول‬ ‫قدم‬
‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫از‬ ‫قسمتی‬‫انتگرال‬‫مانند‬ ‫جدید‬ ‫متغیر‬ ‫یک‬ ‫برابر‬ ‫را‬‫مثال‬ ‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬:
‫دوم‬ ‫قدم‬
‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫عبارت‬ ‫و‬ ‫گیریم‬ ‫می‬ ‫دیفرانسیل‬ ‫تابع‬ ‫از‬‫مثال‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫مرتب‬:
‫سوم‬ ‫قدم‬
‫جایگذاری‬ ‫با‬‫و‬‫در‬‫انتگرال‬‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫اولیه‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫بازنویسی‬
‫چهارم‬ ‫قدم‬
‫انتگرال‬‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫حاصل‬‫نهایی‬ ‫جواب‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫کرده‬ ‫حل‬‫جای‬ ‫به‬‫حسب‬ ‫بر‬ ‫عبارت‬ ‫همان‬‫تا‬ ‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬ ‫را‬
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫نهایی‬ ‫جواب‬‫آید‬ ‫بدست‬.

29. 25
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫انتخاب‬‫خودمونه؟‬ ‫دست‬
‫استاد‬:‫نخیل‬!!!‫انتخاب‬‫یه‬ ‫و‬ ‫داره‬ ‫قلق‬‫تمرین‬ ‫مقدار‬‫قلق‬ ‫از‬ ‫سری‬ ‫یه‬ ‫اینجا‬ ‫من‬ ‫که‬ ‫خواد‬ ‫می‬ ‫تجربه‬ ‫و‬‫گم‬ ‫می‬ ‫بهتون‬ ‫رو‬ ‫ها‬
‫کنید‬ ‫گوش‬ ‫خوب‬ ‫پس‬:
‫الف‬)‫جلوی‬ ‫در‬ ‫اگر‬‫انتگرال‬‫برابر‬ ‫را‬ ‫رادیکال‬ ‫زیر‬ ‫تابع‬ ‫داشتیم‬ ‫رادیکالی‬ ‫عبارت‬‫مثال‬ ‫گیریم‬ ‫می‬:
‫ب‬)‫جلوی‬ ‫در‬ ‫اگر‬‫انتگرال‬‫پرانتز‬‫توان‬‫پرانتز‬ ‫درون‬ ‫تابع‬ ‫داشتیم‬ ‫دار‬(‫توان‬ ‫بدون‬)‫برابر‬ ‫را‬‫مثال‬ ‫گیریم‬ ‫می‬:
‫ج‬)‫جلوی‬ ‫در‬ ‫اگر‬‫انتگرال‬‫شکل‬ ‫به‬ ‫عباراتی‬‫یا‬‫برابر‬ ‫را‬ ‫پرانتز‬ ‫داخل‬ ‫عبارت‬ ‫داشتیم‬ ‫آن‬ ‫مشابه‬ ‫یا‬
‫مثال‬ ‫گیریم‬ ‫می‬:
‫تذکر‬‫مهم‬:‫تکنیکهای‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫نمیده‬ ‫جواب‬ ‫موارد‬ ‫درهمه‬ ‫باال‬
‫مثال‬:‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬.

30. 26
‫حل‬:
‫ماند‬ ‫باقی‬
‫بینید‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫طور‬ ‫همون‬‫در‬‫انتگرال‬‫بکنیم‬ ‫حالش‬ ‫به‬ ‫فکری‬ ‫یه‬ ‫باید‬ ‫بنابراین‬ ‫نخورد‬ ‫خط‬ ‫و‬ ‫موند‬ ‫باقی‬‫چون‬‫انتگرال‬‫فقط‬ ‫باید‬
‫حسب‬ ‫بر‬‫بیاد‬ ‫در‬‫بنابراین‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫عمل‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
‫در‬ ‫عبارت‬ ‫این‬ ‫جایگزینی‬ ‫با‬‫انتگرال‬‫داریم‬ ‫باال‬:
‫در‬ ‫کنید‬ ‫توجه‬‫انتگرال‬‫باشه‬ ‫الزم‬ ‫اگه‬ ‫بعدی‬ ‫های‬‫حسب‬ ‫بر‬ ‫رو‬‫میدیم‬ ‫انجام‬ ‫رو‬ ‫کار‬ ‫این‬ ‫اول‬ ‫قدم‬ ‫همون‬ ‫بیاریم‬ ‫بدست‬.

31. 27
‫رادیکال‬ ‫زیر‬ ‫عبارت‬ ‫اگر‬ ‫مسئله‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬(‫یعنی‬)‫برابر‬ ‫رو‬‫همون‬ ‫به‬ ‫گرفتیم‬ ‫می‬‫انتگرال‬‫می‬ ‫اولیه‬‫رسیدیم‬.
‫قلق‬‫مهم‬:‫توی‬ ‫اگر‬ ‫معموال‬‫انتگرال‬‫برابر‬ ‫رو‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫داشتیم‬‫گیریم‬ ‫می‬.
‫این‬‫انتگرال‬‫ه‬‫میشه‬ ‫پیدا‬ ‫امتحانها‬ ‫تو‬ ‫کلش‬ ‫و‬ ‫سر‬ ‫زیاد‬ ‫و‬ ‫مهمه‬ ‫خیلی‬!

32. 28
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫صورت‬ ‫نمیشه‬‫انتگرال‬‫برابر‬ ‫رو‬‫بگیریم؟‬
‫ا‬‫س‬‫تا‬‫د‬:‫حل‬ ‫اما‬ ‫میشه‬ ‫چرا‬‫انتگرال‬‫میشه‬ ‫مشکلتر‬ ‫یکم‬

33. 29
‫مت‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫به‬ ‫تر‬ ‫عمیق‬ ‫نگاهی‬‫غیر‬
‫گرفتیم‬ ‫یاد‬ ‫که‬ ‫هایی‬ ‫قلق‬ ‫کمک‬ ‫با‬ ‫کار‬ ‫اینجای‬ ‫تا‬‫انتگرال‬‫کردیم‬ ‫حل‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫سادگی‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫های‬.‫اما‬
‫حل‬ ‫برای‬ ‫و‬ ‫نباشه‬ ‫جوابگو‬ ‫ممکنه‬ ‫روشها‬ ‫این‬ ‫مسائل‬ ‫از‬ ‫برخی‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫اینه‬ ‫واقعیت‬‫انتگرال‬‫به‬ ‫عمل‬ ‫ابتکار‬ ‫مقداری‬ ‫یه‬ ‫باید‬ ‫ها‬
‫نوع‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫برخی‬ ‫قسمت‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫بنابراین‬ ‫بدید‬ ‫خرج‬‫مسائل‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫رو‬.
‫مثال‬:‫مطلوبست‬‫حل‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫حل‬:
‫حل‬ ‫برای‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫برابر‬ ‫را‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫سپس‬ ‫نوشته‬ ‫کسینوس‬ ‫روی‬ ‫به‬ ‫سینوس‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫تانژانت‬ ‫ابتدا‬ ‫باال‬
‫گرفتیم‬ ‫جدید‬ ‫متغیر‬.
‫مهم‬ ‫تذکر‬:‫تا‬ ‫دو‬‫انتگرال‬‫او‬ ‫کنید‬ ‫سعی‬ ‫هستند‬ ‫مهم‬ ‫خیلی‬ ‫باال‬‫نا‬‫بگیرید‬ ‫یاد‬ ‫خوب‬ ‫رو‬

34. 30
‫حل‬ ‫برای‬‫انتگرال‬‫توان‬ ‫تا‬ ‫کنیم‬ ‫کاری‬ ‫ابتدا‬ ‫باید‬2‫حسب‬ ‫بر‬ ‫رو‬ ‫اون‬ ‫بنابراین‬ ‫بره‬ ‫بین‬ ‫از‬ ‫سینوس‬‫نویسیم‬ ‫می‬
‫حل‬ ‫برای‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬:
‫بنابراین‬‫انتگرال‬‫میاد‬ ‫در‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اصلی‬:
‫برای‬ ‫صورت‬ ‫همین‬ ‫به‬‫انتگرال‬‫کسینوس‬2‫داریم‬:
‫کلی‬ ‫حالت‬‫تر‬‫انتگرال‬‫خونیم‬ ‫می‬ ‫بعدی‬ ‫فصلهای‬ ‫در‬ ‫رو‬ ‫باال‬ ‫های‬
‫دوتا‬ ‫این‬‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حفظ‬ ‫رو‬‫ن‬ ‫ضرر‬‫می‬‫کنید‬!!

35. 31
‫انتگرال‬‫یعنی‬‫انتگرال‬‫جالبترین‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫سکانت‬‫انتگرال‬‫کتاب‬ ‫در‬ ‫شیم‬ ‫می‬ ‫آشنا‬ ‫باهاش‬ ‫کتاب‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫هست‬ ‫هایی‬
‫انتگرال‬‫خور‬‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫فصل‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫روش‬ ‫چندین‬ ‫از‬ ‫رو‬ ‫مسئله‬ ‫این‬‫رو‬‫کار‬ ‫هم‬ ‫با‬‫کنیم‬ ‫می‬‫تا‬ ‫البته‬ ‫که‬
‫هست‬ ‫ابتکاری‬ ‫حدودی‬.
‫حل‬ ‫برای‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫باال‬‫انتگرال‬‫عبارت‬ ‫در‬ ‫رو‬‫کرده‬ ‫تقسیم‬ ‫و‬ ‫ضرب‬‫از‬ ‫سپس‬
‫کردیم‬ ‫استفاده‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬.
‫محاسبه‬ ‫برای‬ ‫صورت‬ ‫همین‬ ‫به‬‫انتگرال‬‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫کسکانت‬‫انتگرال‬‫عبارت‬ ‫در‬ ‫رو‬‫تقسیم‬ ‫و‬ ‫ضرب‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫کرده‬.

36. 32
‫مهم‬ ‫تذکر‬:‫بگیریم‬ ‫جدید‬ ‫متغیر‬ ‫برابر‬ ‫رو‬ ‫رادیکال‬ ‫زیر‬ ‫عبارت‬ ‫قبل‬ ‫روال‬ ‫طبق‬ ‫اگر‬ ‫بینید‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫همونطور‬‫انتگرال‬‫که‬ ‫ی‬
‫از‬ ‫میاد‬ ‫بدست‬‫انتگرال‬‫نم‬ ‫جواب‬ ‫اینجا‬ ‫در‬ ‫قلق‬ ‫این‬ ‫بنابراین‬ ‫میشه‬ ‫تر‬ ‫پیچیده‬ ‫اولیه‬‫ی‬‫ده‬
‫حل‬ ‫دیدید‬ ‫که‬ ‫همونطور‬‫انتگرال‬‫نبود‬ ‫قبل‬ ‫مسائل‬ ‫مشابه‬ ‫و‬ ‫داشت‬ ‫ابتکاری‬ ‫حالت‬ ‫باال‬‫ها‬ ‫قلق‬ ‫و‬ ‫نکات‬ ‫به‬ ‫همیشه‬ ‫بنابراین‬
‫تونن‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫نگاه‬ ‫ابزاری‬ ‫چشم‬ ‫به‬‫کنن‬ ‫حل‬ ‫شما‬ ‫برای‬ ‫رو‬ ‫مسائل‬ ‫اینکه‬ ‫نه‬ ‫کنن‬ ‫کمک‬ ‫شما‬ ‫به‬ ‫مسائل‬ ‫حل‬ ‫در‬!!
‫حل‬ ‫برای‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫جلوی‬ ‫تابع‬ ‫باال‬‫انتگرال‬‫عبارت‬ ‫در‬ ‫رو‬‫کردیم‬ ‫تقسیم‬ ‫و‬ ‫ضرب‬.
‫مهم‬ ‫تذکر‬:‫تجربه‬‫که‬ ‫داده‬ ‫نشون‬‫ها‬ ‫بچه‬ ‫اکثر‬ ‫مشکل‬‫پایه‬ ‫ریاضیات‬ ‫در‬ ‫ضعف‬‫و‬ ‫آموزا‬ ‫دانش‬ ‫میشه‬ ‫باعث‬ ‫که‬ ‫هست‬
‫کا‬ ‫افتاده‬ ‫پا‬ ‫پیش‬ ‫اشتباهات‬ ‫با‬ ‫موارد‬ ‫اکثر‬ ‫و‬ ‫کنن‬ ‫حل‬ ‫سالم‬ ‫و‬ ‫درست‬ ‫رو‬ ‫مسائل‬ ‫نتونن‬ ‫دانشجوها‬‫ر‬‫خراب‬ ‫رو‬
‫کنن‬ ‫می‬!!‫کنکور‬ ‫کالس‬ ‫توی‬ ‫که‬ ‫دانشجویی‬ ‫زمان‬ ‫میاد‬ ‫یادم‬‫دیفرانسیل‬ ‫حساب‬‫ها‬ ‫بچه‬ ‫وقتی‬ ‫دادم‬ ‫می‬ ‫درس‬‫تست‬
‫م‬ ‫حل‬ ‫رو‬ ‫مشتق‬ ‫و‬ ‫حد‬ ‫های‬‫ی‬‫فاکتو‬ ‫یه‬ ‫با‬ ‫باید‬ ‫که‬ ‫آخر‬ ‫مرحله‬ ‫در‬ ‫کردن‬‫ر‬‫می‬ ‫بدست‬ ‫رو‬ ‫جواب‬ ‫ساده‬ ‫تجزیه‬ ‫یا‬ ‫گیری‬‫آ‬‫وردن‬
‫خوردن‬ ‫می‬ ‫بر‬ ‫مشکل‬ ‫به‬!!،‫فاکتورگیری‬ ‫و‬ ‫تجزیه‬ ،‫اتحادها‬ ‫مانند‬ ‫مباحثی‬ ‫بنابراین‬‫و‬ ‫ها‬ ‫نامساوی‬ ،‫خط‬ ‫معادله‬...‫جدی‬ ‫رو‬
‫اونها‬ ‫بر‬ ‫خوب‬ ‫کنید‬ ‫سعی‬ ‫و‬ ‫بگیرید‬‫مسلط‬‫بشید‬.

37. 33
‫انتگرال‬‫های‬‫یافته‬ ‫تعمیم‬
‫ریاضیات‬ ‫مثل‬ ‫ریاضی‬ ‫پایه‬ ‫دروس‬ ‫در‬‫عمومی‬1‫و‬2‫حل‬ ‫روش‬‫انتگرال‬‫نمره‬ ‫و‬ ‫شه‬ ‫می‬ ‫محسوب‬ ‫مسئله‬ ‫اصلی‬ ‫جزء‬ ‫معموال‬
‫حل‬ ‫بعضا‬ ‫مهندسی‬ ‫ریاضیات‬ ‫و‬ ‫دیفرانسیل‬ ‫معادالت‬ ‫مثل‬ ‫تر‬ ‫پیشرفته‬ ‫دروس‬ ‫در‬ ‫اما‬ ‫داره‬ ‫زیادی‬‫انتگرال‬‫فرعی‬ ‫قسمت‬
‫بنابراین‬ ‫هستش‬ ‫مسئله‬‫بهتره‬ ‫رسید‬ ‫جواب‬ ‫به‬ ‫بشه‬ ‫زودتر‬ ‫چه‬ ‫هر‬!!‫کار‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫ما‬ ‫بخش‬ ‫این‬ ‫در‬
‫بردن‬‫از‬ ‫یکسری‬ ‫مشتق‬ ‫فرمولهای‬ ‫هوشمندانه‬‫میان‬ ‫روابط‬‫برای‬ ‫بر‬‫انتگرال‬‫میاریم‬ ‫بدست‬ ‫کاربرد‬ ‫پر‬ ‫های‬‫بعدی‬ ‫مراحل‬ ‫در‬ ‫و‬
‫سریعتر‬ ‫حل‬ ‫برای‬ ‫روابط‬ ‫این‬ ‫از‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫ها‬.
‫مهم‬ ‫تذکر‬:‫و‬ ‫روابط‬ ‫همه‬‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫بخش‬ ‫این‬ ‫مسائل‬‫میشن‬ ‫اثبات‬ ‫راحتی‬ ‫به‬.
‫ریاضی‬ ‫گل‬ ‫دانشجوهای‬1‫و‬2‫که‬ ‫باشن‬ ‫داشته‬ ‫توجه‬‫استاد‬ ‫از‬ ‫کتبی‬ ‫اجازه‬ ‫به‬ ‫منوط‬ ‫امتحان‬ ‫در‬ ‫فرمولها‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫استفاده‬
‫باشد‬ ‫می‬ ‫موبوطه‬!!!
‫انتگرال‬‫یافته‬ ‫تعمیم‬ ‫نمایی‬ ‫های‬
‫کنم‬ ‫می‬ ‫یادآوری‬ ‫رو‬ ‫مشتق‬ ‫از‬ ‫رابطه‬ ‫تا‬ ‫چند‬ ‫اول‬ ‫معمول‬ ‫روال‬ ‫طبق‬
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫یادآوری‬6
‫مهم‬ ‫خاص‬ ‫حالت‬ ‫یک‬:

38. 34
‫یاد‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫اکنون‬‫بنویسیم‬ ‫تونیم‬ ‫می‬ ‫باال‬ ‫آوری‬:
‫اگر‬ ‫یعنی‬‫انتگرال‬‫تابع‬‫مشتق‬ ‫آیا‬ ‫که‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫نگاه‬ ‫اول‬ ‫باشد‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫ما‬ ‫به‬‫یعنی‬‫جلوی‬ ‫در‬‫انتگرال‬
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫نه؟‬ ‫یا‬ ‫دارد‬ ‫وجود‬:
‫کنید‬ ‫نگاه‬ ‫خوب‬ ‫زیر‬ ‫مثال‬ ‫به‬ ‫حاال‬:
‫کنید‬ ‫می‬ ‫مالحظه‬ ‫که‬ ‫همونطور‬‫تابع‬ ‫جلوی‬ ‫در‬‫عبارت‬‫نه‬ ‫داره‬ ‫وجود‬،‫ساختن‬ ‫برای‬ ‫پس‬‫ساده‬ ‫کلک‬ ‫یه‬
‫زنیم‬ ‫می‬:
‫حاال‬‫از‬ ‫ثابته‬ ‫عدد‬ ‫چون‬ ‫را‬‫انتگرال‬‫بیرون‬‫می‬‫و‬ ‫یاریم‬‫انتگرال‬‫نویسیم‬ ‫می‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫رو‬:
‫توجه‬:‫در‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫خیلی‬ ‫ایده‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫گیری‬.

39. 35
‫هست‬ ‫زمانی‬ ‫خاص‬ ‫حالت‬ ‫یک‬‫که‬‫عدد‬ ‫توان‬‫نپر‬‫صورت‬ ‫به‬‫باشد‬(‫ثابت‬ ‫عدد‬)‫فرمول‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬‫صورت‬ ‫به‬ ‫باال‬
‫آید‬ ‫می‬ ‫در‬ ‫زیر‬:
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫در‬ ‫در‬ ‫باال‬ ‫فرمول‬ ‫از‬‫و‬‫مهندسی‬ ‫ریاضی‬ ‫و‬ ‫دیفرانسیل‬ ‫معادالت‬ ‫س‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫خیلی‬.
‫دیگه‬ ‫مثال‬ ‫یه‬:
‫جای‬ ‫به‬ ‫چرا‬ ‫؟‬ ‫اجازه‬ ‫آقا‬‫گذاشتی‬
‫استاد‬:‫که‬ ‫واقعا‬!!!‫ی‬ ‫دادن‬ ‫گوش‬ ‫درس‬ ‫جای‬ ‫به‬ ‫کالس‬ ‫سر‬ ‫وقتی‬‫نتیجه‬ ‫کنی‬ ‫می‬ ‫چت‬ ‫موبایلت‬ ‫با‬ ‫واشکی‬‫شه‬ ‫نمی‬ ‫بهتر‬ ‫این‬ ‫از‬!!!
‫تره‬ ‫واجب‬ ‫شب‬ ‫نون‬ ‫از‬ ‫رابطه‬ ‫تا‬ ‫دو‬ ‫این‬ ‫کردن‬ ‫حفظ‬!

40. 36
‫انتگرال‬‫یافته‬ ‫تعمیم‬ ‫لگاریتمی‬ ‫های‬
‫هست‬ ‫خاطرتون‬ ‫زیر‬ ‫مهم‬ ‫فرمول‬ ‫مشتق‬ ‫مبحث‬ ‫از‬ ‫حتما‬:
‫به‬‫مثال‬ ‫عنوان‬:
‫باال‬ ‫فرمول‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫اکنون‬‫انتگرال‬‫نویسیم‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫زیر‬:
‫تذکر‬:‫انتگرال‬‫مهم‬ ‫خیلی‬ ‫خیلی‬ ‫باال‬‫ه‬‫ست‬(‫دیفرانسیل‬ ‫معادالت‬ ‫درس‬ ‫برای‬ ‫بخصوص‬)‫مثالهای‬ ‫به‬ ‫بنابراین‬‫ی‬‫که‬
‫کنید‬ ‫دقت‬ ‫خوب‬ ‫زنم‬ ‫می‬
‫مثال‬:‫حل‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫یادآوری‬7

41. 37
‫تذکر‬:‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫راحت‬ ‫خیلی‬ ‫تونید‬ ‫می‬ ‫رو‬ ‫باال‬.
‫اینکه‬ ‫برای‬ ‫بینید‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫همونطور‬‫انتگرال‬‫باال‬‫شکل‬ ‫به‬‫صورت‬ ‫در‬ ‫باید‬ ‫بیاد‬ ‫در‬‫انتگرال‬‫عدد‬2‫بنابراین‬ ‫باشه‬ ‫داشته‬ ‫وجود‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫عمل‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:(‫یادتون‬ ‫کردیم‬ ‫استفاده‬ ‫ایده‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫هم‬ ‫قبال‬‫نرفته؟‬ ‫که‬)
‫این‬‫انتگرال‬‫کردیم‬ ‫حل‬ ‫هم‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫قبال‬ ‫رو‬.

42. 38
‫مهم‬ ‫نکته‬:‫باشه‬ ‫یادتون‬ ‫زندگی‬ ‫مراحل‬ ‫تمامی‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫سعی‬ ‫کنم‬ ‫می‬ ‫نصیحت‬ ‫یه‬!
‫کنید‬ ‫نگاه‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫به‬ ‫اول‬ ‫شدید‬ ‫مواجه‬ ‫کسری‬ ‫انتگرال‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫هرگاه‬،‫مخرج‬ ‫مشتق‬ ‫اگر‬
‫صورت‬ ‫توی‬‫بود‬‫کنید‬ ‫استفاده‬ ‫باال‬ ‫فرمول‬ ‫از‬ ‫راحت‬ ‫خیال‬ ‫با‬

43. 39
‫انتگرال‬‫یافته‬ ‫تعمیم‬ ‫رادیکالی‬
‫یاد‬‫آوری‬‫مشتق‬ ‫از‬:
‫داریم‬ ‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫توانیم‬ ‫می‬ ‫باال‬ ‫فرمول‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫اکنون‬‫انتگرال‬‫بنویسیم‬ ‫را‬ ‫زیر‬:
‫مثال‬:‫حل‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬
‫حل‬:
‫یادآوری‬8

44. 40
‫انتگرال‬‫کردم‬ ‫می‬ ‫حفظش‬ ‫بودم‬ ‫شما‬ ‫جای‬ ‫من‬ ‫مهمه‬ ‫خیلی‬ ‫باال‬!
‫انتگرال‬‫یافته‬ ‫تعمیم‬ ‫کسری‬
‫مشتق‬ ‫از‬ ‫یادآوری‬:
‫از‬ ‫راحت‬ ‫خیلی‬ ‫تونید‬ ‫می‬ ‫رو‬ ‫باال‬ ‫فرمول‬‫کنید‬ ‫اثبات‬ ‫کسر‬ ‫مشتق‬ ‫رابطه‬.
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫یادآوری‬9

45. 41
‫و‬‫اما‬‫انتگرال‬‫کسری‬
‫مثال‬:‫حل‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫حل‬:
‫نیست‬ ‫نیازی‬ ‫دیگه‬ ‫شدید‬ ‫حرفه‬ ‫یکم‬ ‫وقتی‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫و‬‫مستقیم‬ ‫تونید‬ ‫می‬ ‫و‬ ‫کنید‬ ‫مشخص‬ ‫رو‬‫ا‬‫بیارید‬ ‫بدست‬ ‫رو‬ ‫جواب‬.
‫تذکر‬:‫باز‬‫ه‬‫کنم‬ ‫می‬ ‫تاکید‬ ‫م‬‫انتگرال‬‫کرد‬ ‫حل‬ ‫هم‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫میشه‬ ‫رو‬ ‫باال‬.
‫این‬‫انتگرال‬‫نیست؟؟؟؟‬ ‫آشنا‬ ‫نظرتون‬ ‫به‬

46. 42
‫انتگرال‬‫مثلثاتی‬ ‫یافته‬ ‫تعمیم‬ ‫های‬
‫مشتق‬ ‫از‬ ‫یادآوری‬
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫شده‬ ‫گفته‬ ‫فرمولهای‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫اکنون‬‫انتگرال‬‫داریم‬ ‫رو‬ ‫زیر‬ ‫های‬:
‫یادآوری‬11

47. 43
‫مثال‬:‫حل‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫حل‬:
‫باشیم‬ ‫داشته‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫زمانی‬ ‫باال‬ ‫فرمولهای‬ ‫برای‬ ‫مهم‬ ‫خاص‬ ‫حالت‬ ‫یک‬‫بنابراین‬‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬
‫شوند‬ ‫می‬ ‫ساده‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫باال‬ ‫فرمولهای‬:(‫داره‬ ‫زیادی‬ ‫استفاده‬ ‫مهندسی‬ ‫ریاضیات‬ ‫درس‬ ‫در‬ ‫فرمولها‬ ‫این‬)

48. 44
‫مثال‬:‫حل‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬ ‫های‬:
‫حل‬:

49. 45
1-‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬(‫گرمی‬ ‫دست‬ ‫مسائل‬)
2-‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬(‫مسائل‬‫مخ‬‫گرمی‬)
‫فصل‬ ‫مسائل‬‫دوم‬

50. 46
‫سوم‬ ‫فصل‬:‫مثلثاتی‬ ‫متغیرهای‬ ‫تغییر‬
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫نیستند‬ ‫حل‬ ‫قابل‬ ‫معمول‬ ‫متغیرهای‬ ‫تغییر‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫ها‬ ‫انتگرال‬ ‫از‬ ‫برخی‬ ‫دیدیم‬ ‫قبل‬ ‫فصل‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫همانطور‬
‫باشد‬ ‫شده‬ ‫خواسته‬ ‫زیر‬ ‫انتگرال‬ ‫محاسبه‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬:
‫رابرابر‬ ‫رادیکال‬ ‫زیر‬ ‫عبارت‬ ‫معمول‬ ‫روال‬ ‫طبق‬ ‫اگر‬‫داریم‬ ‫بگیریم‬:
‫چون‬‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫باید‬ ‫نشد‬ ‫ساده‬ ‫انتگرال‬ ‫از‬‫بنویسیم‬.
‫محاسبه‬ ‫بینید‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫همانطور‬‫انتگرال‬‫از‬ ‫باال‬‫انتگرال‬‫بنابرا‬ ‫شد‬ ‫مشکلتر‬ ‫هم‬ ‫اولیه‬‫به‬ ‫نیست‬ ‫کارساز‬ ‫اینجا‬ ‫در‬ ‫روش‬ ‫این‬ ‫ین‬
‫اینگونه‬ ‫محاسبه‬ ‫برای‬ ‫دلیل‬ ‫همین‬‫انتگرال‬‫تغی‬ ‫از‬ ‫ها‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫مثلثاتی‬ ‫های‬ ‫متغیر‬ ‫یر‬.‫این‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫انتگرالهایی‬
‫دسته‬ ‫سه‬ ‫به‬ ‫شوند‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫روش‬‫از‬ ‫عبارتند‬ ‫که‬ ‫شوند‬ ‫می‬ ‫تقسیم‬ ‫کلی‬:
‫الف‬)‫انتگرال‬‫شامل‬ ‫های‬
‫ب‬)‫انتگرال‬‫شامل‬ ‫های‬‫یا‬
‫ج‬)‫انتگرال‬‫شامل‬ ‫های‬
‫ک‬‫موا‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫هر‬ ‫توضیح‬ ‫به‬ ‫ادامه‬ ‫در‬ ‫ه‬‫پردازیم‬ ‫می‬ ‫باال‬ ‫رد‬.

51. 47
‫الف‬)‫انتگرال‬‫شامل‬ ‫های‬
‫این‬‫انتگرال‬‫جانشینی‬ ‫با‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫اغلب‬ ‫را‬ ‫ها‬‫کرد‬ ‫حل‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
‫مثال‬:‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫محاسبه‬ ‫را‬ ‫زیر‬:
‫حل‬:
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫آخر‬ ‫جواب‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫می‬ ‫مالحظه‬‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫باید‬ ‫که‬ ‫آمد‬ ‫در‬‫بنوی‬‫عمل‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫بنابراین‬ ‫سیم‬
‫می‬‫کنیم‬:
‫تذکر‬:‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫اول‬ ‫فصل‬ ‫روابط‬ ‫از‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫باال‬‫کرد‬ ‫حل‬ ‫مستقیم‬ ‫صورت‬ ‫به‬.
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:

52. 48
‫برحسب‬ ‫آخر‬ ‫جواب‬ ‫نوشتن‬ ‫برای‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫عمل‬ ‫زیر‬ ‫ترتیب‬ ‫به‬:
‫ابتدا‬‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬‫نویسیم‬ ‫می‬:
‫برابر‬ ‫آن‬ ‫سینوس‬ ‫که‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫گذاری‬ ‫نام‬ ‫طوری‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫اضالع‬ ‫و‬ ‫کرده‬ ‫رسم‬ ‫ای‬ ‫الزاویه‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫سپس‬‫شود‬.
‫روبرو‬ ‫ضلع‬
‫وتر‬
‫برابر‬ ‫را‬ ‫روبرو‬ ‫ضلع‬ ‫بنابراین‬‫برابر‬ ‫را‬ ‫وتر‬ ‫و‬3‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬‫پس‬‫فیثاغورث‬ ‫قضیه‬ ‫طبق‬‫مجاور‬ ‫ضلع‬‫برابر‬
‫شود‬ ‫می‬‫آید‬ ‫می‬ ‫در‬ ‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫نظر‬ ‫مورد‬ ‫مثلث‬ ‫و‬.
‫ب‬ ‫اکنون‬‫توانیم‬ ‫می‬ ‫آسانی‬ ‫به‬ ‫باال‬ ‫مثلث‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫ا‬‫آوریم‬ ‫بدست‬ ‫را‬.

53. 49
‫ب‬)‫انتگرال‬‫شامل‬ ‫های‬‫یا‬
‫این‬‫انتگرال‬‫جانشینی‬ ‫با‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫ها‬‫به‬‫زیر‬ ‫صورت‬‫نمود‬ ‫حل‬.
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫آخر‬ ‫جواب‬ ‫نوشتن‬ ‫برای‬ ‫اکنون‬‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫مانند‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫رسم‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫ای‬ ‫الزاویه‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬:
‫مقابل‬ ‫ضلع‬
‫مجاور‬ ‫ضلع‬
5

54. 50
‫داریم‬ ‫باال‬ ‫مثلث‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬:
‫داریم‬ ‫کلی‬ ‫حالت‬ ‫در‬:
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:‫ضریب‬ ‫شده‬ ‫فرض‬ ‫اینجا‬ ‫در‬ ‫استفاده‬ ‫مورد‬ ‫روابط‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫است‬ ‫یک‬ ‫برابر‬‫بنابراین‬‫عمل‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬
‫کنیم‬ ‫می‬:

55. 51
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫جواب‬ ‫باید‬ ‫اکنون‬‫بنویسیم‬:
‫داریم‬ ‫باال‬ ‫مثلث‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬:
‫محاسبه‬ ‫برای‬ ‫همچنین‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫عمل‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:

56. 52
‫ج‬)‫انتگرال‬‫شامل‬ ‫های‬
‫این‬ ‫در‬‫انتگرال‬‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫از‬ ‫ها‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬:
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬
‫حل‬:
‫اک‬‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫جواب‬ ‫باید‬ ‫نون‬‫بنویسیم‬:
‫باال‬ ‫مثلث‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬‫داریم‬:

57. 53
‫نوشت‬ ‫هم‬ ‫زیر‬ ‫تر‬ ‫ساده‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫باال‬ ‫جواب‬ ‫البته‬.
‫چون‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫با‬ ‫آن‬ ‫جمع‬ ‫بنابراین‬ ‫است‬ ‫ثابت‬ ‫عددی‬‫ثابت‬‫شود‬ ‫می‬ ‫ثابت‬ ‫عددی‬ ‫هم‬ ‫باز‬.
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬
‫حل‬:
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫آخر‬ ‫جواب‬ ‫قبل‬ ‫مثالهای‬ ‫مشابه‬‫نویسیم‬ ‫می‬.

58. 54
1
‫فکر‬ ‫خب‬‫می‬‫کنم‬‫کار‬ ‫اینجای‬ ‫تا‬‫باشید‬ ‫گرفته‬ ‫یاد‬ ‫خوب‬ ‫رو‬ ‫مطلب‬
‫آقا‬‫اجازه‬:‫میکنیم‬ ‫حل‬ ‫بدن‬ ‫امتحان‬ ‫تو‬ ‫سوالی‬ ‫هر‬ ‫دیگه‬ ‫شدیم‬ ‫فول‬ ‫رو‬ ‫همه‬ ‫ما‬.
‫استاد‬:‫همه‬ ‫که‬ ‫اینطوری‬ ‫کنید‬ ‫حلش‬ ‫راحت‬ ‫شما‬ ‫که‬ ‫نمیدن‬ ‫آبکی‬ ‫سواالی‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫امتحان‬ ‫توی‬ ‫ورزشیت‬ ‫اخالق‬ ‫شرمنده‬
‫گالبیه‬ ‫استاده‬ ‫میگن‬!!
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫سواالیی‬ ‫چه‬ ‫پس‬‫دن؟‬ ‫می‬
‫استاد‬:‫ب‬‫ا‬‫ال‬‫پیچونن‬ ‫می‬ ‫جوری‬ ‫یه‬ ‫خره‬‫چ‬‫بیاد‬ ‫دستتون‬ ‫اوضاع‬ ‫زنم‬ ‫می‬ ‫مثال‬ ‫ندتا‬.
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:
‫استاندارد‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫رادیکال‬ ‫زیر‬ ‫عبارت‬ ‫بینید‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫همانطور‬‫یا‬‫شکل‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫بنابراین‬ ‫نیست‬
‫نویسیم‬ ‫می‬ ‫استاندارد‬:

59. 55
‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫از‬ ‫اکنون‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬:
‫که‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫مالحظه‬‫انتگرال‬‫آمد‬ ‫در‬ ‫استاندارد‬ ‫شکل‬ ‫به‬‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫بنابراین‬‫داریم‬.
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:
‫تا‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫مشابه‬ ‫اکنون‬‫انتگرال‬‫آید‬ ‫در‬ ‫استاندارد‬ ‫شکل‬ ‫به‬.
‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫از‬ ‫توانیم‬ ‫می‬ ‫اکنون‬‫کنیم‬ ‫استفاده‬.

60. 56
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫جواب‬ ‫اکنون‬‫نویسیم‬ ‫می‬(‫بکشین‬ ‫خودتون‬ ‫رو‬ ‫مثلث‬)
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:
‫مخرج‬ ‫ابتدا‬‫انتگرال‬‫نویسیم‬ ‫می‬ ‫استاندارد‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬.
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫سپس‬:

61. 57
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫مثلثاتی‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫از‬ ‫آخر‬ ‫مرحله‬ ‫در‬.
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫جواب‬ ‫اکنون‬‫نویسیم‬ ‫می‬(‫بکشین‬ ‫خودتون‬ ‫رو‬ ‫مثلث‬)

62. 58
‫جایگزینی‬
‫باال‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬‫معموال‬‫گیرد‬ ‫می‬ ‫قرار‬ ‫استفاده‬ ‫مورد‬ ‫زیر‬ ‫فرم‬ ‫به‬ ‫انتگرالهایی‬ ‫محاسبه‬ ‫برای‬:
‫که‬a,b,c‫هستند‬ ‫ثابت‬ ‫اعدادی‬.
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫یادآوری‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫روابط‬ ‫کار‬ ‫ادامه‬ ‫از‬ ‫قبل‬.
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:
‫یادآوری‬11

63. 59
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:
‫حل‬ ‫برای‬‫انتگرال‬‫کسر‬ ‫باید‬ ‫باال‬‫کنید‬ ‫تفکیک‬ ‫رو‬(‫بعدی‬ ‫فصل‬ ‫در‬ ‫چون‬ ‫نباشید‬ ‫نگران‬ ‫نیستید‬ ‫بلد‬ ‫رو‬ ‫کسر‬ ‫تفکیک‬ ‫اگر‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫صحبت‬ ‫بهش‬ ‫راجع‬ ‫مفصال‬).
‫رسید‬ ‫می‬ ‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫کسر‬ ‫به‬ ‫بگیرید‬ ‫مشترک‬ ‫مخرج‬ ‫باال‬ ‫تساوی‬ ‫راست‬ ‫سمت‬ ‫از‬ ‫اگر‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬.
‫خب‬‫این‬‫ه‬‫از‬ ‫م‬‫شکل‬‫دو‬‫م‬‫جواب‬‫انتگرال‬‫سکانت‬.
‫معموال‬ ‫البته‬‫مسائل‬ ‫در‬‫جواب‬ ‫اول‬ ‫شکل‬ ‫همون‬ ‫از‬‫یعنی‬‫میشه‬ ‫استفاده‬.
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫داره؟‬ ‫فرق‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫جواب‬ ‫دوتا‬ ‫چرا‬
‫استاد‬:‫دل‬ ‫عزیز‬ ‫نداره‬ ‫فرق‬‫برادر‬!!‫کن‬ ‫نگاه‬ ‫نداری‬ ‫قبول‬:

64. 60
‫یادآوری‬ ‫روابط‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫اکنون‬11‫داریم‬:
‫بنابراین‬:
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:

65. 61
1-‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬(‫گرمی‬ ‫دست‬ ‫مسائل‬)
2-‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬(‫مسائل‬‫مخ‬‫گرمی‬)
‫فصل‬ ‫مسائل‬‫سوم‬

66. 62
‫چهارم‬ ‫فصل‬:‫گویا‬ ‫کسرهای‬ ‫از‬ ‫گیری‬ ‫انتگرال‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫بحث‬ ‫گویا‬ ‫کسرهای‬ ‫از‬ ‫گیری‬ ‫انتگرال‬ ‫درباره‬ ‫فصل‬ ‫این‬ ‫در‬‫که‬ ‫کنیم‬ ‫یادآوری‬ ‫بهتره‬ ‫بحث‬ ‫شروع‬ ‫از‬ ‫قبل‬‫ک‬ ‫از‬ ‫منظور‬‫سر‬
‫مانند‬ ‫باشد‬ ‫ای‬ ‫چندجمله‬ ‫مخرجش‬ ‫و‬ ‫صورت‬ ‫که‬ ‫هست‬ ‫کسری‬ ‫گویا‬:‫یا‬
‫چون‬ ‫هستش‬ ‫گویا‬ ‫کسرهای‬ ‫تجزیه‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫بحث‬ ‫اون‬ ‫به‬ ‫راجع‬ ‫بیشتر‬ ‫فصل‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫چیزی‬ ‫اما‬‫کردید‬ ‫تجزیه‬ ‫رو‬ ‫کسری‬ ‫وقتی‬
‫انتگرال‬‫آ‬ ‫مثل‬ ‫اون‬ ‫از‬ ‫گیری‬‫خوردنه‬ ‫ب‬!‫کسرها‬ ‫تجزیه‬ ‫بحث‬ ‫سراغ‬ ‫ریم‬ ‫می‬ ‫اول‬ ‫بنابراین‬
‫گویا‬ ‫کسرهای‬ ‫تجزیه‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫بررسی‬ ‫مرحله‬ ‫به‬ ‫مرحله‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫گویا‬ ‫کسرهای‬ ‫تجزیه‬ ‫قسمت‬ ‫این‬ ‫در‬‫که‬ ‫کنم‬ ‫یادآوری‬ ‫باید‬ ‫بحث‬ ‫شروع‬ ‫از‬ ‫قبل‬
‫است‬ ‫این‬ ‫کسر‬ ‫تجزیه‬ ‫از‬ ‫منظور‬‫که‬‫آ‬‫را‬ ‫ن‬‫صورت‬ ‫به‬‫مجموع‬‫چند‬‫بنو‬ ‫کسر‬‫ی‬‫هر‬ ‫مخرج‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫سیم‬‫از‬ ‫یک‬‫آنها‬‫عوامل‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫فقط‬
‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫وجود‬.
‫به‬‫مثال‬ ‫عنوان‬‫کسر‬‫شود‬ ‫می‬ ‫تجزیه‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬(‫دو‬ ‫حاصلضرب‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫در‬ ‫بینید‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫طور‬ ‫همان‬
‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬)
‫اول‬ ‫مرحله‬:‫مخرج‬ ‫بر‬ ‫صورت‬ ‫تقسیم‬(‫نیاز‬ ‫صورت‬ ‫در‬)‫کسر‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬ ‫و‬
‫کار‬ ‫ابتدای‬ ‫در‬‫هست‬ ‫مخرج‬ ‫از‬ ‫کوچکتر‬ ‫کسر‬ ‫صورت‬ ‫درجه‬ ‫که‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫فرض‬(‫غیر‬ ‫در‬‫اینصو‬‫تقسیم‬ ‫مخرج‬ ‫بر‬ ‫رو‬ ‫صورت‬ ‫باید‬ ‫رت‬
‫کن‬ ‫می‬ ‫اشاره‬ ‫بهش‬ ‫بعدا‬ ‫که‬ ‫کنیم‬‫ی‬‫م‬)‫تا‬ ‫را‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫و‬ ‫صورت‬ ‫سپس‬‫جا‬ ‫آن‬‫درجه‬ ‫عوامل‬ ‫حاصلضرب‬ ‫به‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫که‬
‫میکنیم‬ ‫ساده‬ ‫و‬ ‫کرده‬ ‫تجزیه‬ ‫دوم‬ ‫و‬ ‫اول‬‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:

67. 63
‫مرحله‬‫دوم‬:‫و‬ ‫کسر‬ ‫تفکیک‬‫ساده‬ ‫کسر‬ ‫چند‬ ‫مجموع‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫نوشتن‬
‫سازی‬ ‫ساده‬ ‫از‬ ‫بعد‬،‫در‬‫مخرج‬‫کسر‬‫از‬ ‫یکی‬ ‫کله‬ ‫و‬ ‫سر‬‫عامل‬ ‫چهار‬‫شود‬ ‫می‬ ‫پیدا‬ ‫زیر‬:
1)‫تکراری‬ ‫غیر‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬(‫یک‬ ‫توان‬ ‫با‬)‫مانند‬‫یا‬‫و‬‫کلی‬ ‫بطور‬
‫ب‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬‫کس‬ ‫تفکیک‬ ‫رای‬‫ر‬‫ب‬‫صورت‬ ‫به‬ ‫کسر‬ ‫یک‬ ‫عاملها‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫هر‬ ‫ازای‬ ‫ه‬‫راست‬ ‫سمت‬ ‫در‬
‫ثابت‬ ‫که‬ ‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬ ‫تساوی‬A‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫شود‬ ‫تعیین‬ ‫باید‬:
‫شوند‬ ‫تعیین‬ ‫باید‬ ‫ثابتهای‬
‫شوند‬ ‫تعیین‬ ‫باید‬ ‫ثابتهای‬
2)‫تکراری‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬(‫یک‬ ‫از‬ ‫بزرگتر‬ ‫توان‬ ‫با‬)‫مانند‬‫یا‬‫کلی‬ ‫بطور‬
‫عامل‬ ‫هر‬ ‫ازای‬ ‫به‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬‫تعداد‬n‫قرار‬ ‫تساوی‬ ‫راست‬ ‫سمت‬ ‫در‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫کسر‬
‫دهیم‬ ‫می‬:
‫ثابتهای‬ ‫که‬‫شوند‬ ‫تعیین‬ ‫باید‬.
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫باال‬ ‫کسر‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬‫عامل‬‫تکراری‬ ‫غیر‬ ‫اول‬ ‫درجه‬‫صورت‬ ‫به‬ ‫کسر‬ ‫یک‬ ‫آن‬ ‫جای‬ ‫به‬ ‫بنابراین‬ ‫است‬
‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬‫طرفی‬ ‫از‬‫به‬ ‫کسر‬ ‫سه‬ ‫آن‬ ‫جای‬ ‫به‬ ‫بنابراین‬ ‫است‬ ‫تکراری‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬ ‫یک‬
‫صورت‬‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬.

68. 64
3)‫دوم‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬(‫تجزیه‬ ‫قابل‬ ‫غیر‬)‫مانند‬ ‫تکراری‬ ‫غیر‬‫یا‬‫کلی‬ ‫بطور‬
‫صورت‬ ‫به‬ ‫کسر‬ ‫یک‬ ‫عاملها‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫هر‬ ‫ازای‬ ‫به‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬‫قرار‬ ‫تساوی‬ ‫راست‬ ‫سمت‬ ‫در‬
‫دهیم‬ ‫می‬‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
4)‫عامل‬‫تکراری‬ ‫دوم‬ ‫درجه‬‫مانند‬‫کلی‬ ‫بطور‬ ‫یا‬
‫عامل‬ ‫هر‬ ‫ازای‬ ‫به‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬‫تعداد‬n‫در‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫کسر‬‫تساوی‬ ‫راست‬ ‫سمت‬
‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬:
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬:
‫یک‬ ‫تذکر‬:‫عام‬ ‫دوم‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬ ‫از‬ ‫منظور‬‫ل‬‫نباشد‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عوامل‬ ‫به‬ ‫تجزیه‬ ‫قابل‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫ی‬‫عبارت‬ ‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬
‫دوم‬ ‫درجه‬ ‫عبارت‬‫حاصلضرب‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫چون‬ ‫شود‬ ‫نمی‬ ‫محسوب‬‫درجه‬ ‫عامل‬ ‫دو‬
‫اول‬‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬‫نوشت‬(‫مشترک‬ ‫جمله‬ ‫اتحاد‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫مثال‬)
‫دو‬ ‫تذکر‬:‫شکل‬ ‫به‬ ‫عباراتی‬(‫مثل‬)‫عباراتی‬ ‫اما‬ ‫میشن‬ ‫محسوب‬ ‫دوم‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬ ‫و‬ ‫نیستند‬ ‫پذیر‬ ‫تجزیه‬
‫شکل‬ ‫به‬‫شن‬ ‫می‬ ‫تجزیه‬ ‫مزدوج‬ ‫اتحاد‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬.

69. 65
‫داریم‬ ‫کلی‬ ‫طور‬ ‫به‬:
‫مرحله‬‫سوم‬:‫م‬‫خ‬‫ر‬‫ج‬‫م‬‫ش‬‫ت‬‫ر‬‫ک‬‫گ‬‫ی‬‫ر‬‫ی‬‫و‬‫ب‬‫د‬‫س‬‫ت‬‫آ‬‫و‬‫ر‬‫د‬‫ن‬‫ث‬‫ا‬‫ب‬‫ت‬‫ه‬‫ا‬
‫نوشتیم‬ ‫کسر‬ ‫چندین‬ ‫جمع‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫اصلی‬ ‫کسر‬ ‫اینکه‬ ‫از‬ ‫بعد‬‫مخرج‬ ‫تساوی‬ ‫راست‬ ‫سمت‬ ‫کسرهای‬ ‫بین‬ ‫بعد‬ ‫مرحله‬ ‫در‬
‫گیریم‬ ‫می‬ ‫مشترک‬‫و‬‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬ ‫اصلی‬ ‫کسر‬ ‫صورت‬ ‫برابر‬ ‫را‬ ‫حاصل‬ ‫کسر‬ ‫صورت‬.
‫کنید‬ ‫دقت‬ ‫زیر‬ ‫مثال‬ ‫به‬:
‫اکنون‬‫در‬‫باال‬ ‫تساوی‬ ‫طرف‬ ‫دو‬‫دلخواه‬ ‫عددی‬(‫مخرج‬ ‫های‬ ‫ریشه‬ ‫معموال‬)‫ازای‬ ‫به‬ ‫را‬‫های‬ ‫ثابت‬ ‫تا‬ ‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬
‫آیند‬ ‫بدست‬.
‫تجزیه‬ ‫قابل‬
‫تجزیه‬ ‫قابل‬ ‫غیر‬

70. 66
‫مثال‬:‫کسر‬‫کنید‬ ‫تجزیه‬ ‫را‬
‫د‬‫مجهول‬ ‫سه‬ ‫باال‬ ‫تساوی‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫قت‬‫به‬ ‫دلخواه‬ ‫عدد‬ ‫سه‬ ‫باید‬ ‫بنابراین‬ ‫داریم‬‫شوند‬ ‫مشخص‬ ‫مجهوالت‬ ‫تا‬ ‫بدهیم‬‫از‬ ‫یکی‬
‫ریشه‬ ‫تواند‬ ‫می‬ ‫اعداد‬ ‫این‬‫یعنی‬ ‫دیگر‬ ‫عامل‬ ‫اما‬ ‫باشد‬ ‫صفر‬ ‫یعنی‬‫ریشه‬‫حقیقی‬‫ندارد‬‫دلخواه‬ ‫عدد‬ ‫دو‬ ‫بنابراین‬
‫مثال‬1‫و‬1-‫جای‬ ‫به‬ ‫را‬‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬.
‫کسر‬ ‫تجزیه‬ ‫مراحل‬ ‫خالصه‬:
‫اول‬ ‫مرحله‬:‫مخرج‬ ‫بر‬ ‫صورت‬ ‫تقسیم‬(‫نیاز‬ ‫صورت‬ ‫در‬)‫کسر‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬ ‫و‬
‫دوم‬ ‫مرحله‬:‫ساده‬ ‫کسر‬ ‫چند‬ ‫مجموع‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫نوشتن‬ ‫و‬ ‫کسر‬ ‫تفکیک‬
‫سوم‬ ‫مرحله‬:‫ها‬ ‫ثابت‬ ‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫و‬ ‫گیری‬ ‫مشترک‬ ‫مخرج‬

71. 67
‫طرفین‬ ‫کسرها‬ ‫صورت‬ ‫دادن‬ ‫قرار‬ ‫مساوی‬ ‫از‬ ‫پس‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫صورت‬ ‫این‬ ‫به‬ ‫مجهوالت‬ ‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫برای‬ ‫دیگر‬ ‫روش‬ ‫یک‬
‫توانهای‬ ‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫رابطه‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫مرتب‬:
‫ثابتها‬ ‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫برای‬ ‫اکنون‬،‫مشابه‬ ‫توانهای‬ ‫ضرایب‬‫در‬‫یعنی‬ ‫دهیم‬ ‫می‬ ‫قرار‬ ‫هم‬ ‫مساوی‬ ‫را‬ ‫رابطه‬ ‫طرف‬ ‫دو‬:
‫ضریب‬‫معادله‬ ‫راست‬ ‫طرف‬ ‫در‬=‫ضریب‬‫معادله‬ ‫چپ‬ ‫طرف‬ ‫در‬
‫ضریب‬‫معادله‬ ‫راست‬ ‫طرف‬ ‫در‬=‫ضریب‬‫معادله‬ ‫چپ‬ ‫طرف‬ ‫در‬
‫ثابت‬ ‫عدد‬‫معادله‬ ‫راست‬ ‫طرف‬ ‫در‬=‫ثابت‬ ‫عدد‬‫طرف‬ ‫در‬‫چپ‬‫معادله‬
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫که‬ ‫تساوی‬ ‫چپ‬ ‫طرف‬‫و‬‫نداره؟‬
‫استاد‬:‫بینی‬ ‫نمی‬ ‫شما‬ ‫داره‬ ‫چرا‬!!!!‫بنویسیم‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫تونیم‬ ‫می‬ ‫رو‬ ‫تساوی‬ ‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫واقع‬ ‫در‬:
‫از‬ ‫توانی‬ ‫موقع‬ ‫هر‬ ‫یعنی‬‫بوده‬ ‫صفر‬ ‫اون‬ ‫ضریب‬ ‫نداره‬ ‫وجود‬‫بنابراین‬
‫مثال‬:‫کسر‬‫کنید‬ ‫تجزیه‬ ‫را‬
‫کنید‬ ‫دقت‬‫میشه‬ ‫محسوب‬ ‫تکراری‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬ ‫یک‬

72. 68
‫یعنی‬ ‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫عبارت‬ ‫مخرج‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫باال‬ ‫رابطه‬ ‫طرفین‬ ‫که‬ ‫بهتره‬ ‫گیری‬ ‫مشترک‬ ‫مخرج‬ ‫جای‬ ‫به‬ ‫ادامه‬ ‫در‬‫ضرب‬
‫کنیم‬
‫مثال‬:‫کسر‬‫کنید‬ ‫تجزیه‬ ‫را‬
‫هست‬ ‫مخرج‬ ‫از‬ ‫بزرگتر‬ ‫صورت‬ ‫درجه‬ ‫چون‬ ‫اینجا‬ ‫در‬‫بنابراین‬‫کنیم‬ ‫تقسیم‬ ‫مخرج‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫صورت‬ ‫بایست‬ ‫می‬(‫تقسیم‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬
‫چند‬‫ایها‬ ‫جمله‬)‫کنید‬ ‫دقت‬‫بنویسیم‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫باید‬ ‫رو‬ ‫جواب‬ ‫که‬:
‫کسر‬ ‫باید‬ ‫کار‬ ‫ادامه‬ ‫در‬‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫ابتدا‬ ‫باید‬ ‫هست‬ ‫سوم‬ ‫درجه‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫چون‬ ‫کنید‬ ‫دقت‬ ‫کنیم‬ ‫تفکیک‬ ‫رو‬
‫کنیم‬ ‫تجزیه‬ ‫دوم‬ ‫و‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عوامل‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬:
‫صورت‬
‫مخرج‬
‫قسمت‬ ‫خارج‬
‫مانده‬ ‫باقی‬
‫مخرج‬

73. 69

74. 70
‫انتگرال‬‫گویا‬ ‫کسرهای‬ ‫از‬ ‫گیری‬
‫دردسر‬ ‫بیشترین‬ ‫گفتیم‬ ‫فصل‬ ‫ابتدای‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫همانطور‬‫انتگرال‬‫مربوط‬ ‫گویا‬ ‫کسرهای‬ ‫از‬ ‫گیری‬‫میشه‬ ‫کسر‬ ‫تجزیه‬ ‫به‬‫اینکه‬ ‫از‬ ‫بعد‬ ‫و‬
‫اما‬ ‫مونه‬ ‫نمی‬ ‫باقی‬ ‫خاصی‬ ‫کار‬ ‫کردید‬ ‫تجزیه‬ ‫رو‬ ‫کسر‬‫ر‬ ‫کاریها‬ ‫ریزه‬ ‫از‬ ‫یکسری‬ ‫حال‬ ‫این‬ ‫با‬‫باشه‬ ‫حواستون‬ ‫باید‬ ‫و‬!‫به‬ ‫اینجا‬ ‫در‬ ‫که‬
‫خال‬ ‫صورت‬‫براتون‬ ‫صه‬‫دم‬ ‫می‬ ‫توضیح‬:
‫گفتیم‬‫چهار‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫مخرج‬ ‫کسر‬ ‫تجزیه‬ ‫از‬ ‫بعد‬ ‫که‬‫شکل‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫عمل‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫حالت‬ ‫هر‬ ‫برای‬ ‫که‬ ‫آید‬ ‫می‬ ‫در‬:
1-‫باشد‬ ‫تکراری‬ ‫غیر‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫اگر‬
‫جواب‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬‫انتگرال‬‫صورت‬ ‫به‬‫طبیعی‬ ‫لگاریتمی‬‫داریم‬ ‫کلی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫آید‬ ‫می‬ ‫در‬:
‫مثال‬:(‫از‬ ‫رو‬ ‫مثال‬ ‫این‬ ‫ما‬‫انتگرال‬‫کرد‬ ‫استفاده‬ ‫هم‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫میشه‬ ‫البته‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫یافته‬ ‫تعمیم‬ ‫های‬)
2-‫باشد‬ ‫تکراری‬ ‫اول‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫اگر‬
‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬‫از‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬(‫را‬ ‫پرانتز‬ ‫داخل‬u‫گیریم‬ ‫می‬)‫جواب‬ ‫و‬‫در‬ ‫کسری‬ ‫صورت‬ ‫به‬‫آید‬ ‫می‬
‫مثال‬:

75. 71
3-‫عامل‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫اگر‬‫باشد‬ ‫تکراری‬ ‫غیر‬ ‫دوم‬ ‫درجه‬
‫سادگی‬ ‫برای‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬‫ابتدا‬‫کامل‬ ‫مربع‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫فرض‬()‫باشد‬(‫باید‬ ‫اینصورت‬ ‫غیر‬ ‫در‬
‫پردازیم‬ ‫می‬ ‫آن‬ ‫توضیح‬ ‫به‬ ‫ادامه‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫آوریم‬ ‫در‬ ‫کامل‬ ‫مربع‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫مخرج‬)
‫کلی‬ ‫شکل‬‫انتگرال‬‫است‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬:
‫حل‬ ‫برای‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫تفکیک‬ ‫قسمت‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫باال‬:
‫جواب‬ ‫که‬‫انتگرال‬‫جواب‬ ‫و‬ ‫طبیعی‬ ‫لگاریتم‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اول‬‫انتگرال‬‫داریم‬ ‫یعنی‬ ‫است‬ ‫تانژانت‬ ‫آرک‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫دوم‬:
‫تذکر‬:‫فر‬‫کنید‬ ‫حفظ‬ ‫حتما‬ ‫رو‬ ‫زیر‬ ‫مول‬:

76. 72
‫مثال‬:
‫از‬ ‫یک‬ ‫هر‬ ‫توانیم‬ ‫می‬ ‫کار‬ ‫راحتی‬ ‫برای‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫حساب‬ ‫جداگانه‬ ‫را‬ ‫باال‬ ‫های‬:
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫نهایی‬ ‫جواب‬ ‫بنابراین‬:
‫تذکر‬:‫مخرج‬ ‫اگر‬‫انتگرال‬‫مربع‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫شده‬ ‫داده‬‫نباشد‬ ‫کامل‬‫کنیم‬ ‫کامل‬ ‫مربع‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫باید‬(‫شکل‬ ‫به‬ ‫یعنی‬‫در‬
‫آوریم‬)‫عنوان‬ ‫به‬‫نمونه‬:
‫مثال‬:

77. 73
4-‫باشد‬ ‫تکراری‬ ‫دوم‬ ‫درجه‬ ‫عامل‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫اگر‬
‫این‬ ‫در‬‫جا‬‫مشابه‬ ‫نیز‬‫حالت‬‫قبل‬‫کامل‬ ‫مربع‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫کسر‬ ‫مخرج‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫فرض‬‫باشد‬‫کلی‬ ‫شکل‬‫انتگرال‬‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬
‫صورت‬ ‫به‬‫زیر‬‫است‬:
‫حل‬ ‫برای‬‫انتگرال‬‫باال‬(‫قبل‬ ‫حالت‬ ‫مشابه‬)‫کنیم‬ ‫می‬ ‫تفکیک‬ ‫قسمت‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬:
‫دو‬ ‫حل‬ ‫برای‬‫انتگرال‬‫داریم‬ ‫یعنی‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫باال‬:
‫کنید‬ ‫دقت‬‫انتگرال‬‫روش‬ ‫از‬ ‫دوم‬‫مثلثاتی‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬‫شود‬ ‫می‬ ‫حل‬
‫مثال‬:
‫از‬ ‫یک‬ ‫هر‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫جداگانه‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫باال‬ ‫های‬:

78. 74
‫مشابه‬‫انتگرال‬‫دوم‬‫قبل‬ ‫فصل‬ ‫در‬‫است‬ ‫شده‬ ‫حل‬‫فقط‬ ‫اینجا‬ ‫در‬ ‫بنابراین‬‫آن‬ ‫آخر‬ ‫جواب‬‫که‬ ‫نویسیم‬ ‫می‬ ‫را‬‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬
‫است‬:
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫نهایی‬ ‫جواب‬ ‫بنابراین‬:
‫که‬ ‫اکنون‬‫چ‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫هر‬‫چ‬ ‫کردیم‬ ‫بررسی‬ ‫جداگانه‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫باال‬ ‫حالت‬ ‫هار‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫کلی‬ ‫مثال‬ ‫ند‬
‫مثال‬:‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫انتگرالهای‬
‫حل‬( :‫است‬ ‫نشده‬ ‫ذکر‬ ‫ثابتها‬ ‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫مراحل‬)
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫تجزیه‬ ‫را‬ ‫کسر‬ ‫ابتدا‬:
‫دو‬ ‫هر‬ ‫جواب‬ ‫که‬ ‫مشخصه‬‫انتگرال‬‫صورت‬ ‫به‬‫هست‬.

79. 75
‫داد‬ ‫نشان‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫کلی‬ ‫طور‬ ‫به‬:
‫میخوره‬ ‫بدردتون‬ ‫واقعا‬ ‫فرمول‬ ‫این‬ ‫اما‬ ‫نمیاد‬ ‫خوشم‬ ‫کردن‬ ‫حفظ‬ ‫فرمول‬ ‫از‬ ‫اصال‬ ‫من‬ ‫چه‬ ‫اگر‬(‫تستی‬ ‫امتحانات‬ ‫در‬ ‫بخصوص‬)
‫حل‬(b):‫کنیم‬ ‫می‬ ‫تجزیه‬ ‫را‬ ‫کسر‬ ‫ابتدا‬(‫دادیم‬ ‫انجام‬ ‫قبال‬ ‫رو‬ ‫کسر‬ ‫این‬ ‫تجزیه‬)
‫حل‬(c):

80. 76
‫حل‬:(d)
‫جواب‬ ‫سوم‬ ‫شکل‬ ‫از‬ ‫هم‬ ‫این‬ ،‫خب‬‫انتگرال‬‫سکانت‬.
‫جواب‬ ‫این‬ ‫اینکه‬ ‫برای‬ ‫اما‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫عمل‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫کنیم‬ ‫بیان‬ ‫اول‬ ‫جواب‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫رو‬:

81. 77
1-‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬(‫گرمی‬ ‫دست‬ ‫مسائل‬)
2-‫انتگرال‬‫کنید‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫های‬(‫مسائل‬‫مخ‬‫گرمی‬)
‫فصل‬ ‫مسائل‬‫چهارم‬

82. 78
‫پنجم‬ ‫فصل‬:‫گیری‬ ‫انتگرال‬‫روش‬ ‫به‬‫جزء‬ ‫به‬ ‫جزء‬
‫فرا‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫جزء‬ ‫به‬ ‫جزء‬ ‫روش‬ ‫نام‬ ‫به‬ ‫گیری‬ ‫انتگرال‬ ‫تکنیکهای‬ ‫مهمترین‬ ‫و‬ ‫زیباترین‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫فصل‬ ‫این‬ ‫در‬‫این‬ ‫گیریم‬ ‫می‬
‫روش‬‫معموال‬‫حل‬ ‫برای‬‫صورت‬ ‫به‬ ‫هایی‬ ‫انتگرال‬‫تابع‬ ‫دو‬ ‫ضرب‬‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬‫شود‬ ‫می‬ ‫استفاده‬
‫که‬‫توابعی‬‫هستند‬ ‫مختلف‬ ‫جنس‬ ‫دو‬ ‫از‬(‫مثلثاتی‬ ‫در‬ ‫ای‬ ‫چندجمله‬ ‫تابع‬ ‫حاصلضرب‬ ‫مثال‬)‫انتگرال‬ ‫از‬ ‫نمونه‬ ‫چند‬
‫اند‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫نشان‬ ‫زیر‬ ‫جدول‬ ‫در‬ ‫شوند‬ ‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫روش‬ ‫این‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫هایی‬.
‫مثلثاتی‬ ‫در‬ ‫ای‬ ‫چندجمله‬ ‫تابع‬ ‫حاصلضرب‬
‫نمایی‬ ‫در‬ ‫ای‬ ‫چندجمله‬ ‫تابع‬ ‫حاصلضرب‬
‫لگاریتمی‬ ‫در‬ ‫ای‬ ‫چندجمله‬ ‫تابع‬ ‫حاصلضرب‬
‫مثلثاتی‬ ‫در‬ ‫نمایی‬ ‫تابع‬ ‫حاصلضرب‬
‫مثلثاتی‬ ‫معکوس‬ ‫در‬ ‫ای‬ ‫چندجمله‬ ‫تابع‬ ‫حاصلضرب‬
‫جدول‬(1)
‫می‬ ‫قبل‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫حل‬ ‫که‬ ‫شود‬ ‫می‬ ‫منجر‬ ‫تر‬ ‫ساده‬ ‫انتگرال‬ ‫یک‬ ‫به‬ ‫مساله‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫انتگرال‬ ‫حل‬ ‫جزء‬ ‫به‬ ‫جزء‬ ‫روش‬ ‫در‬
‫دانیم‬.‫است‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫روش‬ ‫این‬ ‫اصلی‬ ‫رابطه‬:
‫باال‬ ‫رابطه‬ ‫در‬‫و‬ ‫است‬ ‫مساله‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫انتگرال‬‫انتگرال‬‫کنیم‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫باید‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫تری‬ ‫ساده‬
‫گیریم‬ ‫می‬ ‫پی‬ ‫قدم‬ ‫به‬ ‫قدم‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫مثال‬ ‫یک‬ ‫ذکر‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫روش‬ ‫این‬ ‫مراحل‬ ‫اکنون‬

83. 79
‫مثال‬:‫انتگرال‬ ‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫زیر‬
‫اول‬ ‫قدم‬:‫برابر‬ ‫را‬ ‫انتگرال‬ ‫جلوی‬ ‫توابع‬ ‫از‬ ‫یکی‬‫همراه‬ ‫به‬ ‫دیگر‬ ‫تابع‬ ‫و‬‫برابر‬ ‫را‬‫گیریم‬ ‫می‬
‫دوم‬ ‫قدم‬:‫از‬‫تا‬ ‫گیریم‬ ‫می‬ ‫دیفرانسیل‬‫از‬ ‫و‬ ‫آید‬ ‫بدست‬‫انتگرال‬‫تا‬ ‫گیریم‬ ‫می‬‫آید‬ ‫بدست‬
‫سو‬ ‫قدم‬‫م‬:‫رابطه‬ ‫در‬ ‫را‬‫انتگرال‬‫و‬ ‫کرده‬ ‫جایگذاری‬ ‫جزء‬ ‫به‬ ‫جزء‬ ‫گیری‬‫انتگرال‬‫محاسبه‬ ‫را‬ ‫راست‬ ‫سمت‬
‫کنیم‬ ‫می‬
‫کنی‬ ‫می‬ ‫مالحظه‬ ‫که‬ ‫همانطور‬‫د‬‫انتگرال‬‫راست‬ ‫سمت‬(‫انتگرال‬‫سینوس‬)‫شد‬ ‫محاسبه‬ ‫راحتی‬ ‫به‬.
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬
‫اول‬ ‫قدم‬:‫جلوی‬ ‫در‬ ‫تابع‬ ‫یک‬ ‫فقط‬ ‫چون‬ ‫اینجا‬ ‫در‬‫انتگرال‬‫برابر‬ ‫را‬ ‫همان‬ ‫داریم‬‫گیریم‬ ‫می‬‫و‬‫برابر‬ ‫را‬‫می‬ ‫قرار‬
‫دهیم‬

84. 80
‫دو‬ ‫قدم‬‫م‬:
‫دیفرانسیل‬
‫انتگرال‬
‫سوم‬ ‫قدم‬:
‫مثال‬:‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬‫انتگرال‬‫زیر‬:
‫حل‬:‫خالصه‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫مسئله‬ ‫اینجا‬ ‫در‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫حل‬:
‫اجازه‬ ‫آقا‬:‫رو‬ ‫تابع‬ ‫کدوم‬ ‫که‬ ‫بفهمیم‬ ‫کجا‬ ‫از‬‫بگیریم؟‬‫س‬ ‫در‬ ‫میشه‬ ‫مثال‬‫باال‬ ‫وال‬‫برابر‬ ‫رو‬‫بگیریم‬
‫استاد‬:‫عجب‬!!‫ب‬ ‫سوال‬ ‫یه‬‫ه‬‫پرسیدی‬ ‫بخور‬ ‫درد‬!
‫بزار‬‫میشه؟‬ ‫چی‬ ‫ببینیم‬ ‫بدیم‬ ‫قرار‬
‫فرمول‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫باال‬ ‫روابط‬ ‫حاال‬‫انتگرال‬‫کنی‬ ‫می‬ ‫جایگزین‬ ‫جزء‬ ‫به‬ ‫جزء‬ ‫گیری‬‫م‬: