NPC April Fool's Contest 2014 累乗数 解説

1. NPC April Fool's Contest 2014
累乗数
Kinokkory@shiatsumat

2. 問題文概要
https://judge.npca.jp/problems/view/181/
• NCK が累乗数となる K を列挙せよ
• 1≦N≦1,000,000,000
• 「Perfect Power」って超カッコいい

3. 埋め込み
• NO！

4. 正攻法 その1
• とりあえず NC1 だけチェックしてみる
• N を素因数分解して各素因数の個数の
最大公約数を取って 2 以上だったら OK

5. 正攻法 その2
• そもそも NCK を計算するのがだるい
• 真面目に掛け算するのは多倍長が必要だけど
素因数分解してから各素因数について個数を
足し合わせれば簡単

6. 正攻法 その3
• どれだけ累乗数判定を頑張っても
各 K についてきちんと判定していたら O(N)
• どうしよう……もう無理……

7. 正攻法 その4
• これ Proofs from THE BOOK でやったやつだ!
• 無料で読めます
http://www.math.boun.edu.tr/instructors/o
zturk/proofs.pdf

8. Binomial coefficients are
(almost) never powers
• Theorem. The equation 𝑛
𝑘
= 𝑚𝑙 has no
integer solutions with 𝑙 ≥ 2 and 4 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 4.

9. 二項係数が累乗数になることは
(ほとんど)ない
• 定理. 方程式 𝑛
𝑘
= 𝑚𝑙 は 𝑙 ≥ 2 かつ 4 ≤ 𝑘 ≤
𝑛 − 4 の範囲で整数解を持たない．

10. 証明
• 非常に面白いのですがかなり長いので
ぜひ Proofs from THE BOOK を読んで下さい
• マジで面白いです

11. Matt Schmidt
• シュミッツマット君は
完全無欠たる力を手に入れるために
数学の修行を始めたのであった―――