Geometria, egzamin ustny, pytania, KNBB MI 2010.

1. Zagadnienia na egzamin ustny z geometrii, luty 2010, KNBB, MI rok 2
1. Definicja przestrzeni euklidesowej i jej własności.
2. Pojęcie współrzędnych wektora - trzy interpretacje.
3. Nierówność Cauchy-Schwartz i jej konsekwencje.
4. Wyrażenie współrzędnych wektora w bazie ortonormalnej.
5. Równość równoległoboku.
6. Związek iloczynu skalarnego z normą.
7. Związek równoległości i zgodnej orientacji z normą.
8. Definicja kąta nieskierowanego pomiędzy wektorami.
9. Twierdzenie cosinusów w przestrzeni euklidesowej (wnioski).
10. Definicja i własności wyznacznika Grama.
11. Definicja i własności iloczynu wektorowego.
12. Definicja i własności iloczynu mieszanego wektorów.
13. Porównanie własności iloczynu wektorowego i iloczynu mieszanego (tw.28).
14. Definicja i własności przestrzeni afinicznej (standardowe przykłady).
15. Środek ciężkości układu punktów (własności; zastosowanie).
16. Definicja podprzestrzeni afinicznej i jej charakteryzacja (tw.1.2), pojęcie
hiperprzestrzeni (przykłady).
17. Relacja równoległości podprzestrzeni afinicznej, V postulat Euklidesa.
18. Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn.
19. Punkty przestrzeni afinicznej w położeniu szczególnym i ogólnym.
20. Definicja i własności bazy punktowej w przestrzeni afinicznej, afiniczny układ
współrzędnych.
21. Definicja odcinka, zbioru wypukłego A, otoczki wypukłej.
22. Sympleks (ściany, przykłady).
23. Równoległościan, kompleksy (przykłady w różnych wymiarach).
24. Podprzestrzenie prostopadłe i rzutowanie na podprzestrzeń w kierunku innej
podprzestrzeni (tw.3.16)
25. Afiniczna przestrzeń metryczna (przestrzeń afiniczna euklidesowa).
26. Twierdzenie o rzucie punktu na podprzestrzeń (tw.3.22).
27. Wzór na odległość punktu od podprzestrzeni (tw.3.23).
28. Twierdzenie 3.24 i 3.25.
29. Wzór na odległość prostych skośnych z wyprowadzeniem (tw.2.27).
30. Definicja i własności k-wymiarowej objętości (def.3.30, tw.3.32).
31. Twierdzenie o objętości sympleksu, pryzmy, równoległościanu (tw.3.27).
32. Wyprowadzenie sześciu podstawowych wzorów na pole -a.
33. Twierdzenie o polu prostokąta i objętości równoległościanu (wn.3.37).
34. Twierdzenie o objętości ostrosłupa i graniastosłupa (tw.3.39).
35. Definicja i własności przekształceń afinicznych (def.4.1, tw.4.2-4.4).
36. Definicja i własności translacji (tw.4.7).
37. Rzut równoległy na podprzestrzeń jako przekształcenie afiniczne.
38. Twierdzenie Talesa (proste, uogólnione, odwrotne).
39. Zastosowania tw. Talesa (tw. o odcinku łączącym środki dwóch boków -a; 2
dowody; tw. Ptolemeusza; cechy podobieństwa -ów).
40. Definicja i własności jednokładności jako przekształcenia afinicznego.
41. Twierdzenie o grupie izometrii.
42. Postać analityczna rzutu prostopadłego na podprzestrzeń (def.4.18, wzór).
43. Twierdzenie o symetrii względem podprzestrzeni (przykład 4.19 z
wyprowadzeniem wzoru).
44. Własności symetrii względem podprzestrzeni (tw.4.20).
45. Definicja i własności symetrii środkowych (tw.4.21).
46. Definicja, własności i postać macierzy ortogonalnych, grupa ortogonalna.
47. Definicja i własności obrotu, postać analityczna (def.4.26, przykład 4.27).
48. Metryczna definicja odcinka i prostej (lemat 4.28).
49. Działania grupy na zbiorze (def.4.29).
50. Twierdzenie cosinusów z dwoma dowodami (jeden jako uogólnienie tw.
Pitagorasa).
51. Twierdzenie sinusów (dowód).

2. Zagadnienia na egzamin ustny z geometrii, luty 2010, KNBB, MI rok 2
52. Zastosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów do rozwiązywania -ów
dowolnych (omówić przypadki).
53. Twierdzenie tangensów, wzory połówkowe, opis zastosowania przy
rozwiązywaniu -ów.
54. Definicja osi symetrii zbioru, definicja symetralnej odcinka, charakteryzacja
symetralnej odcinka jako miejsca geometrycznego punktów (dowody, tw. proste,
tw. odwrotne).
55. Definicja dwusiecznej kata, charakteryzacja dwusiecznej jako miejsca
geometrycznego (dowody tw. proste, tw.odwrotne).
56. Twierdzenia o przecięciu się symetralnych boków i dwusiecznych kątów w -cie
(dowody).
57. Środki okręgów wpisanego i opisanego (konstrukcja).
58. Definicja i własności środkowych w -cie (dowody).
59. Twierdzenie o środku ciężkości w -cie, ortocentrum.
60. Wzory na długości środkowych w -cie za pomocą długości boków -a
(tw.5.21).
61. Definicja kątów wpisanego i środkowego w okręgu, twierdzenie o związku między
nimi (dowód).
62. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego i zewnętrznego w -cie
(tw.5.28).