Calculo Integral FORMULARIO

1. R E F E R E N C E PA G E S
ALGEBRA G G G G G G G G G G G G G G G E O M E T RY G G G G G G G G G G G G G
ARITHMETIC OPERATIONS GEOMETRIC FORMULAS
a c ad ϩ bc Formulas for area A, circumference C, and volume V:
a͑b ϩ c͒ ෇ ab ϩ ac ϩ ෇
b d bd
Triangle Circle Sector of Circle
a 1 1
A ෇ 2 bh A ෇ ␲r 2 A ෇ 2 r 2␪
aϩc a c b a d ad
෇ ϩ ෇ ϫ ෇ ෇ 1 ab sin ␪ C ෇ 2␲ r s ෇ r ␪ ͑␪ in radians͒
b b b c b c bc 2
d
a r
h s
EXPONENTS AND RADICALS
¨ r
x m
b ¨
x m x n ෇ x mϩn ෇ x mϪn r
xn
1
͑x m͒n ෇ x m n xϪn ෇ n
x
͑xy͒n ෇ x n y n ͩͪ x
y
n
෇
xn
yn
Sphere
V ෇ 4 ␲r 3
3
Cylinder
V ෇ ␲ r 2h
Cone
V ෇ 1 ␲ r 2h
3
A ෇ 4␲ r 2
x 1͞n ෇ sx
n
x m͞n ෇ sx m ෇ (sx ) m
n n
sxy ෇ sx sy
n n n
ͱ
n x
y
sx
n
෇ n
sy
r
r
h
h
FACTORING SPECIAL POLYNOMIALS r
x 2 Ϫ y 2 ෇ ͑x ϩ y͒͑x Ϫ y͒
x 3 ϩ y 3 ෇ ͑x ϩ y͒͑x 2 Ϫ xy ϩ y 2͒
x 3 Ϫ y 3 ෇ ͑x Ϫ y͒͑x 2 ϩ xy ϩ y 2͒
DISTANCE AND MIDPOINT FORMULAS
BINOMIAL THEOREM Distance between P1͑x1, y1͒ and P2͑x 2, y2͒:
͑x ϩ y͒2 ෇ x 2 ϩ 2xy ϩ y 2 ͑x Ϫ y͒2 ෇ x 2 Ϫ 2xy ϩ y 2
d ෇ s͑x 2 Ϫ x1͒2 ϩ ͑ y2 Ϫ y1͒2
͑x ϩ y͒3 ෇ x 3 ϩ 3x 2 y ϩ 3xy 2 ϩ y 3
ͩ ͪ
͑x Ϫ y͒3 ෇ x 3 Ϫ 3x 2 y ϩ 3xy 2 Ϫ y 3
x1 ϩ x 2 y1 ϩ y2
n͑n Ϫ 1͒ nϪ2 2 Midpoint of P1 P2 : ,
͑x ϩ y͒n ෇ x n ϩ nx nϪ1y ϩ x y 2 2
2
ϩ иии ϩ ͩͪ n nϪk k
k
x y ϩ и и и ϩ nxy nϪ1 ϩ y n
LINES
where
n
k
ͩͪ
෇
n͑n Ϫ 1͒ и и и ͑n Ϫ k ϩ 1͒
1 ؒ 2 ؒ 3 ؒ иии ؒ k
Slope of line through P1͑x1, y1͒ and P2͑x 2, y2͒:
y2 Ϫ y1
QUADRATIC FORMULA m෇
x 2 Ϫ x1
Ϫb Ϯ sb 2 Ϫ 4ac
If ax 2 ϩ bx ϩ c ෇ 0, then x ෇ . Point-slope equation of line through P1͑x1, y1͒ with slope m:
2a
INEQUALITIES AND ABSOLUTE VALUE y Ϫ y1 ෇ m͑x Ϫ x1͒
If a Ͻ b and b Ͻ c, then a Ͻ c.
Slope-intercept equation of line with slope m and y-intercept b:
If a Ͻ b, then a ϩ c Ͻ b ϩ c.
If a Ͻ b and c Ͼ 0, then ca Ͻ cb. y ෇ mx ϩ b
If a Ͻ b and c Ͻ 0, then ca Ͼ cb.
If a Ͼ 0, then CIRCLES
ԽxԽ ෇ a means x෇a or x ෇ Ϫa Equation of the circle with center ͑h, k͒ and radius r:
ԽxԽ Ͻ a means Ϫa Ͻ x Ͻ a ͑x Ϫ h͒2 ϩ ͑ y Ϫ k͒2 ෇ r 2
ԽxԽ Ͼ a means xϾa or x Ͻ Ϫa
1

2. R E F E R E N C E PA G E S
T R I G O N O M E T RY G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
ANGLE MEASUREMENT FUNDAMENTAL IDENTITIES
␲ radians ෇ 180Њ 1 1
s csc ␪ ෇ sec ␪ ෇
r sin ␪ cos ␪
␲ 180Њ
1Њ ෇ rad 1 rad ෇ ¨
180 ␲ sin ␪ cos ␪
r tan ␪ ෇ cot ␪ ෇
s ෇ r␪ cos ␪ sin ␪
͑␪ in radians͒ 1
cot ␪ ෇ sin 2␪ ϩ cos 2␪ ෇ 1
tan ␪
RIGHT ANGLE TRIGONOMETRY 1 ϩ tan 2␪ ෇ sec 2␪ 1 ϩ cot 2␪ ෇ csc 2␪
opp hyp
sin ␪ ෇ csc ␪ ෇ hyp sin͑Ϫ␪͒ ෇ Ϫsin ␪ cos͑Ϫ␪͒ ෇ cos ␪
hyp opp opp
cos ␪ ෇
adj
hyp
sec ␪ ෇
hyp
adj
¨
adj
tan͑Ϫ␪͒ ෇ Ϫtan ␪ sin ͩ ͪ
␲
2
Ϫ ␪ ෇ cos ␪
ͩ ͪ ͩ ͪ
opp adj
tan ␪ ෇ cot ␪ ෇ ␲ ␲
adj opp cos Ϫ ␪ ෇ sin ␪ tan Ϫ ␪ ෇ cot ␪
2 2
TRIGONOMETRIC FUNCTIONS B
THE LAW OF SINES
y r y
sin ␪ ෇ csc ␪ ෇ sin A sin B sin C a
r y ෇ ෇
(x, y)
a b c
x r r C
cos ␪ ෇ sec ␪ ෇ c
r x
y x ¨ THE LAW OF COSINES
tan ␪ ෇ cot ␪ ෇ x b
x y a 2 ෇ b 2 ϩ c 2 Ϫ 2bc cos A
b 2 ෇ a 2 ϩ c 2 Ϫ 2ac cos B
GRAPHS OF THE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
c 2 ෇ a 2 ϩ b 2 Ϫ 2ab cos C A
y y y y=tan x
y=sin x y=cos x
1 1 ADDITION AND SUBTRACTION FORMULAS
π 2π 2π
sin͑x ϩ y͒ ෇ sin x cos y ϩ cos x sin y
x π 2π x π x
sin͑x Ϫ y͒ ෇ sin x cos y Ϫ cos x sin y
_1 _1
cos͑x ϩ y͒ ෇ cos x cos y Ϫ sin x sin y
cos͑x Ϫ y͒ ෇ cos x cos y ϩ sin x sin y
y y=csc x y y=sec x y y=cot x
tan x ϩ tan y
tan͑x ϩ y͒ ෇
1 Ϫ tan x tan y
1 1
tan x Ϫ tan y
tan͑x Ϫ y͒ ෇
1 ϩ tan x tan y
π 2π x π 2π x π 2π x
_1 _1
DOUBLE-ANGLE FORMULAS
sin 2x ෇ 2 sin x cos x
cos 2x ෇ cos 2x Ϫ sin 2x ෇ 2 cos 2x Ϫ 1 ෇ 1 Ϫ 2 sin 2x
TRIGONOMETRIC FUNCTIONS OF IMPORTANT ANGLES
2 tan x
␪ radians sin ␪ cos ␪ tan ␪ tan 2x ෇
1 Ϫ tan2x
0Њ 0 0 1 0
30Њ ␲͞6 1͞2 s3͞2 s3͞3
45Њ ␲͞4 s2͞2 s2͞2 1 HALF-ANGLE FORMULAS
60Њ ␲͞3 s3͞2 1͞2 s3 1 Ϫ cos 2x 1 ϩ cos 2x
sin 2x ෇ cos 2x ෇
90Њ ␲͞2 1 0 — 2 2
2

3. R E F E R E N C E PA G E S
D I F F E R E N T I AT I O N R U L E S G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
GENERAL FORMULAS
d d
1. ͑c͒ ෇ 0 2. ͓cf ͑x͔͒ ෇ c f Ј͑x͒
dx dx
d d
3. ͓ f ͑x͒ ϩ t͑x͔͒ ෇ f Ј͑x͒ ϩ tЈ͑x͒ 4. ͓ f ͑x͒ Ϫ t͑x͔͒ ෇ f Ј͑x͒ Ϫ tЈ͑x͒
dx dx
5.
d
dx
͓ f ͑x͒t͑x͔͒ ෇ f ͑x͒tЈ͑x͒ ϩ t͑x͒f Ј͑x͒ (Product Rule) 6.
d
dx
ͫ ͬ f ͑x͒
t͑x͒
෇
t͑x͒f Ј͑x͒ Ϫ f ͑x͒tЈ͑x͒
͓ t͑x͔͒ 2
(Quotient Rule)
d d
7. f ͑ t͑x͒͒ ෇ f Ј͑ t͑x͒͒tЈ͑x͒ (Chain Rule) 8. ͑x n ͒ ෇ nx nϪ1 (Power Rule)
dx dx
EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS
d d
9. ͑e x ͒ ෇ e x 10. ͑a x ͒ ෇ a x ln a
dx dx
d 1 d 1
11.
dx Խ Խ
ln x ෇
x
12.
dx
͑log a x͒ ෇
x ln a
TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
d d d
13. ͑sin x͒ ෇ cos x 14. ͑cos x͒ ෇ Ϫsin x 15. ͑tan x͒ ෇ sec 2x
dx dx dx
d d d
16. ͑csc x͒ ෇ Ϫcsc x cot x 17. ͑sec x͒ ෇ sec x tan x 18. ͑cot x͒ ෇ Ϫcsc 2x
dx dx dx
INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
d 1 d 1 d 1
18. ͑sinϪ1x͒ ෇ 20. ͑cosϪ1x͒ ෇ Ϫ 21. ͑tanϪ1x͒ ෇
dx s1 Ϫ x 2 dx s1 Ϫ x 2 dx 1 ϩ x2
d 1 d 1 d 1
22. ͑cscϪ1x͒ ෇ Ϫ 23. ͑secϪ1x͒ ෇ 24. ͑cotϪ1x͒ ෇ Ϫ
dx x sx 2 Ϫ 1 dx x sx 2 Ϫ 1 dx 1 ϩ x2
HYPERBOLIC FUNCTIONS
d d d
25. ͑sinh x͒ ෇ cosh x 26. ͑cosh x͒ ෇ sinh x 27. ͑tanh x͒ ෇ sech 2x
dx dx dx
d d d
28. ͑csch x͒ ෇ Ϫcsch x coth x 29. ͑sech x͒ ෇ Ϫsech x tanh x 30. ͑coth x͒ ෇ Ϫcsch 2x
dx dx dx
INVERSE HYPERBOLIC FUNCTIONS
d 1 d 1 d 1
31. ͑sinhϪ1x͒ ෇ 32. ͑coshϪ1x͒ ෇ 33. ͑tanhϪ1x͒ ෇
dx s1 ϩ x 2 dx sx 2 Ϫ 1 dx 1 Ϫ x2
d 1 d 1 d 1
34. ͑cschϪ1x͒ ෇ Ϫ 35. ͑sechϪ1x͒ ෇ Ϫ 36. ͑cothϪ1x͒ ෇
dx Խ Խ
x sx 2 ϩ 1 dx x s1 Ϫ x 2 dx 1 Ϫ x2
3

4. R E F E R E N C E PA G E S
TA B L E O F I N T E G R A L S G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
BASIC FORMS
1. y u dv ෇ uv Ϫ y v du 11. y csc u cot u du ෇ Ϫcsc u ϩ C
2. yu n
du ෇
u nϩ1
nϩ1
ϩ C, n Ϫ1 12. y tan u du ෇ ln Խ sec u Խ ϩ C
3. y
du
෇ ln u ϩ C Խ Խ
13. y cot u du ෇ ln Խ sin u Խ ϩ C
u
14. y sec u du ෇ ln Խ sec u ϩ tan u Խ ϩ C
4. ye u
du ෇ e u ϩ C
15. y csc u du ෇ ln Խ csc u Ϫ cot u Խ ϩ C
y
au
5. u
a du ෇ ϩC
ln a
y sa
du u
16. ෇ sinϪ1 ϩC
2 Ϫ u2 a
6. y sin u du ෇ Ϫcos u ϩ C
ya
du 1 u
17. ෇ tanϪ1 ϩ C
y cos u du ෇ sin u ϩ C
2
ϩ u2 a a
7.
y u su
du 1 u
18. ෇ secϪ1 ϩ C
8. y sec2u du ෇ tan u ϩ C 2 Ϫ a2 a a
9. y csc u du ෇ Ϫcot u ϩ C
2 19. ya 2
du
Ϫ u2
෇
1
2a
ln
uϩa
uϪa Ϳ Ϳ ϩC
10. y sec u tan u du ෇ sec u ϩ C 20. yu 2
du
Ϫ a2
෇
1
2a
ln
uϪa
uϩa Ϳ Ϳ ϩC
FORMS INVOLVING sa 2 ϩ u 2 , a Ͼ 0
y sa
u a2
21. 2 ϩ u 2 du ෇ sa 2 ϩ u 2 ϩ ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
2 2
yu
u 2 a4
22. 2
sa 2 ϩ u 2 du ෇ ͑a ϩ 2u 2 ͒ sa 2 ϩ u 2 Ϫ ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
8 8
23. y
sa 2 ϩ u 2
u
du ෇ sa 2 ϩ u 2 Ϫ a ln
a ϩ sa 2 ϩ u 2
u
Ϳ Ϳ ϩC
y
sa 2 ϩ u 2 sa 2 ϩ u 2
24. du ෇ Ϫ ϩ ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
u2 u
y sa
du
25. ෇ ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
2 ϩ u2
y sa
u 2 du u a2
26. ෇ sa 2 ϩ u 2 Ϫ ln(u ϩ sa 2 ϩ u 2 ) ϩ C
2 ϩu 2 2 2
27. y u sa
du
2 ϩ u2
෇Ϫ
1
a
ln Ϳ
sa 2 ϩ u 2 ϩ a
u
Ϳ ϩC
y u sa
du sa 2 ϩ u 2
28. ෇Ϫ ϩC
2 2 ϩ u2 a 2u
y ͑a
du u
29. ෇ 2 ϩC
2
ϩ u 2 ͒3͞2 a sa 2 ϩ u 2
4

5. R E F E R E N C E PA G E S
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G TA B L E O F I N T E G R A L S
G G G G G G G G G
FORMS INVOLVING sa 2 Ϫ u 2, a Ͼ 0
y sa
u a2 u
30. 2 Ϫ u 2 du ෇ sa 2 Ϫ u 2 ϩ sinϪ1 ϩ C
2 2 a
y u sa
u a4 u
31. 2 2 Ϫ u 2 du ෇ ͑2u 2 Ϫ a 2 ͒ sa 2 Ϫ u 2 ϩ sinϪ1 ϩ C
8 8 a
32. y
sa 2 Ϫ u 2
u
du ෇ sa 2 Ϫ u 2 Ϫ a ln
a ϩ sa 2 Ϫ u 2
u Ϳ Ϳ ϩC
y
sa 2 Ϫ u 2 1 u
33. du ෇ Ϫ sa 2 Ϫ u 2 Ϫ sinϪ1 ϩ C
u2 u a
y sa
u 2 du u a2 u
34. ෇Ϫ sa 2 Ϫ u 2 ϩ sinϪ1 ϩ C
2 Ϫ u2 2 2 a
35. y u sa
du
2 Ϫ u2
෇Ϫ
1
a
ln Ϳ
a ϩ sa 2 Ϫ u 2
u
Ϳ ϩC
y u sa
du 1
36. ෇Ϫ sa 2 Ϫ u 2 ϩ C
2 2 Ϫ u2 a 2u
y ͑a
u 3a 4 u
37. 2
Ϫ u 2 ͒3͞2 du ෇ Ϫ ͑2u 2 Ϫ 5a 2 ͒sa 2 Ϫ u 2 ϩ sinϪ1 ϩ C
8 8 a
y ͑a
du u
38. ෇ 2 ϩC
2
Ϫ u 2 ͒3͞2 a sa 2 Ϫ u 2
FORMS INVOLVING su 2 Ϫ a 2, a Ͼ 0
y su
u a2
39. 2 Ϫ a 2 du ෇
2
su 2 Ϫ a 2 Ϫ
2
ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ CԽ Խ
y u su
u a4
40. 2 2 Ϫ a 2 du ෇
8
͑2u 2 Ϫ a 2 ͒ su 2 Ϫ a 2 Ϫ
8 Խ
ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ C Խ
y
su 2 Ϫ a 2 a
41. du ෇ su 2 Ϫ a 2 Ϫ a cosϪ1 ϩC
u u Խ Խ
y
su Ϫ a 2
su Ϫ a 2 2 2
42.
u2
du ෇ Ϫ
u
ϩ ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ C Խ Խ
y su
du
43.
2 Ϫ a2 Խ
෇ ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ C Խ
y su
u 2 du u a2
44.
2 Ϫ a2
෇
2
su 2 Ϫ a 2 ϩ
2
ln u ϩ su 2 Ϫ a 2 ϩ CԽ Խ
y u su
du su 2 Ϫ a 2
45. ෇ ϩC
2 2 Ϫa 2 a 2u
y ͑u
du u
46. ෇Ϫ ϩC
2
Ϫ a 2 ͒3͞2 a 2 su 2 Ϫ a 2
5

6. R E F E R E N C E PA G E S
TA B L E O F I N T E G R A L S G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
FORMS INVOLVING a ϩ bu
y a ϩ bu ෇ b
u du 1
47. 2
(a ϩ bu Ϫ a ln Խ a ϩ bu Խ) ϩ C
y a ϩ bu ෇ 2b [͑a ϩ bu͒
2
u du 1
48. 3
2
Ϫ 4a͑a ϩ bu͒ ϩ 2a 2 ln a ϩ bu Խ Խ] ϩ C
49. y u͑a ϩ bu͒ ෇ a ln
du 1
Ϳ u
a ϩ bu Ϳ ϩC
50. y u ͑a ϩ bu͒ ෇ Ϫ au ϩ a
2
du 1 b
2 ln Ϳ a ϩ bu
u Ϳ ϩC
y ͑a ϩ bu͒
u du a 1
51. 2
෇
b 2͑a ϩ bu͒
ϩ 2 ln a ϩ bu ϩ C
b Խ Խ
52. y u͑a ϩ bu͒
du
2
෇
1
a͑a ϩ bu͒
1
Ϫ 2 ln
a
a ϩ bu
u Ϳ Ϳ ϩC
53. y ͑a ϩ bu͒
u 2 du
2 ෇
1
b3
ͩ a ϩ bu Ϫ
a2
a ϩ bu
Ϫ 2a ln a ϩ bu Խ Խͪ ϩC
y u sa ϩ bu du ෇ 15b
2
54. 2 ͑3bu Ϫ 2a͒͑a ϩ bu͒3͞2 ϩ C
y sa ϩ bu ෇ 3b
u du 2
55. 2 ͑bu Ϫ 2a͒ sa ϩ bu ϩ C
y sa ϩ bu ෇ 15b
u 2 du 2
56. 3
͑8a 2 ϩ 3b 2u 2 Ϫ 4abu͒ sa ϩ bu ϩ C
57. y u sa ϩ bu ෇ sa ln
du 1
Ϳ sa ϩ bu Ϫ sa
sa ϩ bu ϩ sa
ϩ C, if a Ͼ 0 Ϳ
෇
sϪa
2
tanϪ1 ͱ a ϩ bu
Ϫa
ϩ C, if a Ͻ 0
y y u sa ϩ bu
sa ϩ bu du
58. du ෇ 2 sa ϩ bu ϩ a
u
y y u sa ϩ bu
sa ϩ bu sa ϩ bu b du
59. du ෇ Ϫ ϩ
u2 u 2
60. y u sa ϩ bu du ෇ b͑2n ϩ 3͒
n 2
ͫ u n͑a ϩ bu͒3͞2 Ϫ na yu nϪ1
sa ϩ bu du ͬ
y sa ϩ bu ෇ y sa ϩ bu
u n du 2u nsa ϩ bu 2na u nϪ1 du
61. Ϫ
b͑2n ϩ 1͒ b͑2n ϩ 1͒
y u sa ϩ bu ෇ Ϫ a͑n Ϫ 1͒u yu
du sa ϩ bu b͑2n Ϫ 3͒ du
62. Ϫ
sa ϩ bu
nϪ1
n 2a͑n Ϫ 1͒ nϪ1
6

7. R E F E R E N C E PA G E S
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G TA B L E O F I N T E G R A L S
G G G G G G G G G
TRIGONOMETRIC FORMS
y sin u du ෇ y cot u du ෇ n Ϫ 1 cot y cot
Ϫ1
63. 2 1
2 u Ϫ 1 sin 2u ϩ C
4
76. n nϪ1
uϪ nϪ2
u du
64. y cos u du ෇
2 1
2 u ϩ 1 sin 2u ϩ C
4
77. y sec u du ෇ n Ϫ 1 tan u sec
n
1 nϪ2
uϩ
nϪ2
nϪ1 y sec nϪ2
u du
65. y tan u du ෇ tan u Ϫ u ϩ C
2
y csc u du ෇ n Ϫ 1 cot u csc y csc
Ϫ1 nϪ2
78. n nϪ2
uϩ nϪ2
u du
nϪ1
66. y cot u du ෇ Ϫcot u Ϫ u ϩ C
2
y sin au sin bu du ෇
sin͑a Ϫ b͒u sin͑a ϩ b͒u
79. Ϫ ϩC
67. y sin u du ෇ Ϫ ͑2 ϩ sin u͒ cos u ϩ C
3 1
3
2 2͑a Ϫ b͒ 2͑a ϩ b͒
y cos au cos bu du ෇
sin͑a Ϫ b͒u sin͑a ϩ b͒u
68. y cos u du ෇
3 1
3 ͑2 ϩ cos 2u͒ sin u ϩ C 80.
2͑a Ϫ b͒
ϩ
2͑a ϩ b͒
ϩC
69. y tan u du ෇
3 1
2 tan 2u ϩ ln cos u ϩ C Խ Խ 81. y sin au cos bu du ෇ Ϫ
cos͑a Ϫ b͒u
2͑a Ϫ b͒
Ϫ
cos͑a ϩ b͒u
2͑a ϩ b͒
ϩC
70. y cot u du ෇ Ϫ
3 1
2 Խ
cot 2u Ϫ ln sin u ϩ C Խ 82. y u sin u du ෇ sin u Ϫ u cos u ϩ C
71. y sec u du ෇
3 1
2 sec u tan u ϩ 1 ln sec u ϩ tan u ϩ C
2 Խ Խ 83. y u cos u du ෇ cos u ϩ u sin u ϩ C
72. y csc u du ෇ Ϫ
3 1
2 csc u cot u ϩ 1 ln csc u Ϫ cot u ϩ C
2 Խ Խ 84. yu n
sin u du ෇ Ϫu n cos u ϩ n yu nϪ1
cos u du
y sin u du ෇ Ϫ n sin y sin
1 nϪ1
73. n nϪ1
u cos u ϩ
n
nϪ2
u du 85. yu n
cos u du ෇ u n sin u Ϫ n yu nϪ1
sin u du
y sin u cos u du ෇ Ϫ y sin
sin nϪ1u cos mϩ1u
y cos u du ෇ n cos y cos
1 nϪ1 nϪ1
74. n nϪ1
u sin u ϩ nϪ2
u du 86. n m
ϩ nϪ2
u cosmu du
n nϩm nϩm
y sin u cos
sin nϩ1u cos mϪ1u mϪ1
y y tan
n mϪ2
1 ෇ ϩ u du
75. n
tan u du ෇ tan nϪ1u Ϫ nϪ2
u du nϩm nϩm
nϪ1
INVERSE TRIGONOMETRIC FORMS
y sin y u tan
u2 ϩ 1 u
87. Ϫ1
u du ෇ u sinϪ1u ϩ s1 Ϫ u 2 ϩ C 92. u du ෇
Ϫ1
tanϪ1u Ϫ ϩ C
2 2
y cos
88. u du ෇ u cosϪ1u Ϫ s1 Ϫ u 2 ϩ C
ͫ ͬ
Ϫ1
yu y s1 Ϫ u
1 u nϩ1 du
93. n
sinϪ1u du ෇ u nϩ1 sinϪ1u Ϫ , n Ϫ1
nϩ1 2
89. y tan Ϫ1
u du ෇ u tanϪ1u Ϫ 1 ln͑1 ϩ u 2 ͒ ϩ C
ͫ ͬ
2
yu y s1 Ϫ u
1 u nϩ1 du
94. n
cosϪ1u du ෇ u nϩ1 cosϪ1u ϩ , n Ϫ1
y u sin
2
2u Ϫ 1 u s1 Ϫ u 2
nϩ1 2
90. u du ෇
Ϫ1
sinϪ1u ϩ ϩC
4 4
91. y u cosϪ1u du ෇
2u 2 Ϫ 1
4
cosϪ1u Ϫ
u s1 Ϫ u 2
4
ϩC
95. yu n
tanϪ1u du ෇
1
nϩ1
ͫ u nϩ1 tanϪ1u Ϫ y 1ϩu
u nϩ1 du
2 ͬ , n Ϫ1
7

8. R E F E R E N C E PA G E S
TA B L E O F I N T E G R A L S G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FORMS
y ue y ln u du ෇ u ln u Ϫ u ϩ C
1
96. au
du ෇ ͑au Ϫ 1͒e au ϩ C 100.
a2
yu
u nϩ1
yu e yu
1 n au n 101. n
ln u du ෇ ͓͑n ϩ 1͒ ln u Ϫ 1͔ ϩ C
97. n au
du ෇ u e Ϫ nϪ1 au
e du ͑n ϩ 1͒2
a a
y u ln u du ෇ ln Խ ln u Խ ϩ C
1
ye
e au 102.
98. au
sin bu du ෇ ͑a sin bu Ϫ b cos bu͒ ϩ C
a2 ϩ b2
ye
e au
99. au
cos bu du ෇ ͑a cos bu ϩ b sin bu͒ ϩ C
a ϩ b2
2
HYPERBOLIC FORMS
103. y sinh u du ෇ cosh u ϩ C 108. y csch u du ෇ ln Խ tanh u Խ ϩ C 1
2
104. y cosh u du ෇ sinh u ϩ C 109. y sech u du ෇ tanh u ϩ C
2
105. y tanh u du ෇ ln cosh u ϩ C 110. y csch u du ෇ Ϫcoth u ϩ C
2
106. y coth u du ෇ ln Խ sinh u Խ ϩ C 111. y sech u tanh u du ෇ Ϫsech u ϩ C
107. y sech u du ෇ tan Խ sinh u Խ ϩ C
Ϫ1
112. y csch u coth u du ෇ Ϫcsch u ϩ C
FORMS INVOLVING s2au Ϫ u 2 , a Ͼ 0
113. y s2au Ϫ u 2 du ෇
uϪa
2
s2au Ϫ u 2 ϩ
a2
2
cosϪ1
aϪu
a
ͩ ͪ ϩC
114. y u s2au Ϫ u 2 du ෇
2u 2 Ϫ au Ϫ 3a 2
6
s2au Ϫ u 2 ϩ
a3
2
cosϪ1
aϪu
a
ͩ ͪ ϩC
115. y
s2au Ϫ u 2
u
du ෇ s2au Ϫ u 2 ϩ a cosϪ1
aϪu
a
ͩ ͪ ϩC
116. y
s2au Ϫ u 2
u 2 du ෇ Ϫ
2 s2au Ϫ u 2
u
Ϫ cosϪ1
aϪu
a
ͩ ͪ ϩC
117. y s2au Ϫ u
du
2
෇ cosϪ1 ͩ ͪ
aϪu
a
ϩC
118. y s2au Ϫ u
u du
2
෇ Ϫs2au Ϫ u 2 ϩ a cosϪ1 ͩ ͪ aϪu
a
ϩC
119. y s2au Ϫ u
u 2 du
2
෇Ϫ
͑u ϩ 3a͒
2
s2au Ϫ u 2 ϩ
3a 2
2
cosϪ1
aϪu
a
ͩ ͪ ϩC
y u s2au Ϫ u
du s2au Ϫ u 2
120. ෇Ϫ ϩC
2 au
8