ユークリッド距離について基本から考えてみたもののまとめです。文系向け。

1. 語彙力がある
わけでもなく
単に数学がニガテなだけ
という意味で を名乗る俺が、
文系
を理解しようと手探りであれこれ考えた件
ユークリッド距離
しらいつかさ（M1）
2022/04/15

2. 「俺」スペック
• 中学の数学は大好きだったんだけど、高
校になって覚えることが多くなって一気
に嫌になった。よくあるタイプ。
• 数学やんないとなー、と思うが全然太刀
打ちできず全く成長していない。
• タイトルをラノベ風にしたかったので
「俺」としているが実際は使っていない。
• 一応社会人。精神年齢は低いが（中二く
らいかも）それなりの年齢。

3. 早速ユークリッド距離をググってみた
ⅆ 𝑝, 𝑞 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖 − 𝑝𝑖
2
Σ(ﾟДﾟ)
あーだめだ。「Σ」なんて普段「Σ(ﾟДﾟ)」ぐらい
でしか使わないし。わけわからん。
p,q = n次元ユークリッド空間内の２つの点
qi,pi = ユークリッドベクトル、空間の原点を
起点とする（初期点）
n = n次元空間

4. 他の記事を見ると…
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + ⋯ 𝑛2
(ﾟoﾟ)・・・
この程度なら何をしているのかなんとなくわかる
でもこの数式見ただけじゃ意味が分からない。
（𝑎, 𝑏, 𝑐 ⋯ 𝑛 は各次元の距離）

5. ユークリッド距離を超雑に説明すると
モデルとして２次元の座標を示す。
x
y
0
(3,4) 「０を起点として、Xに
３、yに４移動した座標
の距離」を求めるとき、
人間が一般的に「距離」
として認識する赤線の長
さのこと。
ユークリッド空間（歪みのない空間）における
直線最短距離ってどっかに書いてあった。…へえ。

6. 三平方の定理で説明できる
x
y
0
(3,4)
この場合、ｘ、ｙそれぞ
れの移動を辺ととらえ、
三平方の定理で距離を求
めることができる。
𝑏2
𝑎2 中学生レベルなので
何とかついていけます
a
c b
𝑐2
𝒄 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

7. 次元が増えたらどうするんだろう
x
y
z
0
(3,2,1)
a
c
b
たとえばこんな感じの３次元のユークリッド距離は？

8. ３次元の場合は
x
y
z
0
(3,2,1)
a
c
b
どこからでもいいが、まず、
abの距離を考えるとすると…
ab
𝑎𝑏 = 𝑎2 + 𝑏2
まず普通に２次元の処理

9. x
y
z
0
(3,2,1)
a
c
b
３次元の場合は
次にabとcの移動を考えると…
ab
𝑎𝑏 = 𝑎2 + 𝑏2
c
ab
abc 上から
見ると
𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑏2 + 𝑐2
𝑎𝑏𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2
2
+ 𝑐2
＝ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
なので

10. ４次元の場合は
図には書けないが、2次元→３次元と同じような考え
方で展開できるので…
𝑎𝑏𝑐ⅆ = 𝑎 + 𝑏
2
+ 𝑐2
2
+ ⅆ2
＝ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
2
+ ⅆ2
＝ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + ⅆ2

11. 多次元の場合は
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + ⋯ 𝑛2
(ﾟoﾟ)・・・
これどっかで見たやつだ。
そういうことなんだね…
（𝑎, 𝑏, 𝑐 ⋯ 𝑛 は各次元の距離）
式展開ルールを汎化すると…

12. でもここまでの考え方は０が基準だよね
ここまでは計算方法が０か
らの距離でしか考えていな
い。ある2点間の距離を考
える場合には、それらの差
分を出す必要がある。
x
y
0
(4,5)
(1,1)
4 − 1 2 + 5 − 1 2

13. このことを考慮して式にすると
𝑞1 − 𝑝1
2 + 𝑞2 − 𝑝2
2 + 𝑞3 − 𝑝3
2 + … 𝑞𝑛 − 𝑝n
2
さらに数式的にまとめると…
ⅆ 𝑝, 𝑞 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖 − 𝑝𝑖
2
Σ(ﾟДﾟ)
こういうことだったのか！

14. まとめ
1. 取り組み方
• 数学に苦手意識がありすぎてすぐに「わからん」
と思わずに、最初は丁寧にイメージしていくこと
が大切。
• ３次元より上のイメージはできないので、ルール
を汎化していく、という思考展開のシフトが必要。
2. ユークリッド距離
ⅆ 𝑝, 𝑞 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖 − 𝑝𝑖
2
p,q = n次元ユークリッド空間内の２つの点
qi,pi = ユークリッドベクトル、空間の原点を
起点とする（初期点）
n = n次元空間