Laporan ini membahas tentang estimasi parameter statistik seperti estimasi mean, proporsi, dan varians pada satu dan dua populasi. Metode yang digunakan adalah mengambil sampel dari data yang sudah diketahui distribusinya dan kemudian mengestimasi parameter-parameter tersebut serta membandingkannya dengan hasil teoritis.

1. LAPORAN RESMI
MODUL 4
ESTIMASI PARAMETER
Oleh:
FAUZIAH GITRI D. 1311100029
IRMAYA FATWA Y. 1311100068
Asisten Dosen:
M. Hatta Rafsanjani
1308100004
Jurusan Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
2011
1

2. ABSTRAK
Suatu penelitian yang menggunakan data populasi untuk mengetahui
karakteristik objek akan menghasilkan gambaran yang akurat mengenai
karakteristik objek tersebut. Namun, dalam suatu penelitian terkadang mengalami
kesulitan untuk melibatkan semua anggota populasi objek tersebut, maka ada
kalanya penelitian hanya melibatkan sebagian anggota populasi sebagai data
sampel. Salah satu permasalahan dalam inferensi statistik adalah estimasi.
Selanjutnya akan dibahas lebih lanjut tentang apa itu estimasi mean, estimasi
proporsi, dan estimasi varians dan bagaimana aplikasinya pada data-data yang
sudah tersedia.
Dalam kasus ini, untuk estimasi mean satu populasi diperoleh dari
bangkitkan 150 data dari distribusi normal sedangkan untuk estimasi mean dua
populasi diperoleh dari dari dua distribusi normal N1(10;0.0625) dan
N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175. Estimasi
Proporsi dan Estimasi Varians diperoleh dari survei berat badan yang dilakukan di
dua tempat yaitu di lingkungan jurusan statistika dan di daerah keputih gang III.
Dari masing-masing estimasi parameter tersebut akan diperoleh batas-batas yang
menentukan kemungkinan letak nilai estimasi. Sehingga karakteristik suatu
parameter dapat terdefinisi karakteristiknya. Setelah data diolah dan kemudian
disajikan dalam bentuk grafik, maka informasi yang akan disampaikan menjadi
lebih jelas dan mudah ditangkap. Diharapkan informasi tersebut dapat bermanfaat
untuk melanjutkan pada tahap berikutnya yaitu uji analisa dan pengambilan
keputusan.
Kata kunci : inferensia, estimasi mean, estimasi proporsi, estimasi varians
2

3. DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL............................................................................................ i
ABSTRAK ........................................................................................................... ii
DAFTAR ISI ........................................................................................................ iii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... v
DAFTAR TABEL ................................................................................................ vi
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ...................................................................................... 1
1.2 Permasalahan......................................................................................... 1
1.3 Tujuan ................................................................................................... 2
1.4 Manfaat ................................................................................................. 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA.......................................................................... 4
2.1 Estimasi .................................................................................................... 4
2.2 Estimasi Parameter ................................................................................... 4
2.2.1 Estimasi Titik (Point Estimation)................................................. 4
2.2.2 Estimasi Interval (Interval Estimation) ........................................ 4
2.3 Estimasi Mean .......................................................................................... 5
2.3.1 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Diketahui ......................... 5
2.3.2 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Tidak Diketahui ................ 6
2.3.3 Dua Populasi Saat σ12 dan σ22 Diketahui..................................... 6
2.3.4 Dua Populasi Saat σ12 = σ22 .................................................................................... 7
2.3.5 Dua Populasi Saat  12   2 ..................................................... 7
2
2.4 Estimasi Proporsi .................................................................................. 8
2.4.1 Estimasi Proporsi Satu Populasi ................................................ 8
2.4.2 Estimasi Proporsi Dua Populasi .................................................. 9
2.5 Estimasi Varians...................................................................................... 9
2.5.1 Estimasi Varians Satu Populasi................................................... 9
2.5.2 Estimasi Varians Dua Populasi ................................................... 10
3

4. BAB III METODOLOGI PENULISAN .............................................................. 11
3.1 Sumber Data ............................................................................................. 11
3.2 Variabel Penelitian ................................................................................... 11
3.3 Langkah Analisis ...................................................................................... 12
3.4 Diagram Alir ............................................................................................ 13
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ..................................................... 14
4.1 Estimasi Mean Satu Populasi ................................................................ 14
4.2 Estimasi Mean Dua Populasi ................................................................ 15
4.3 Estimasi Proporsi Satu Populasi ............................................................ 16
4.4 Estimasi Proporsi Dua Populasi ............................................................ 18
4.5 Estimasi Varians Satu Populasi ............................................................. 20
4.6 Estimasi Varians Dua Populasi ............................................................. 21
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN............................................................. 22
5.1 Kesimpulan ......................................................................................... 22
5.2 Saran .................................................................................................... 23
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 24
LAMPIRAN
4

5. DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Flowchart Pelaksanaan Praktikum Distribusi Peluang ................................ 13
Gambar 4.1 Nilai Estimasi Harga Mean n=15; Selang Kepercayaan 92% dan 95% ................. 15
Gambar 4.2 Nilai Estimasi Harga Mean n=35; Selang Kepercayaan 92% dan 95% ................. 15
Gambar 4.3 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95% ................. 16
Gambar 4.4 Estimasi Harga Mean Dua Populasi dengan Selang Kepercayaan 92% dan 95% .. 17
Gambar 4.5 Estimasi Harga Mean Dua Populasi N=150 n=30; N=175 n=40............................. 17
Gambar 4.6 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95% ................. 18
5

6. DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Output Minitab Estimasi Mean Satu Populasi Selang Kepercayaan 92 % .....14
Tabel 4.2 Output Minitab Estimasi Mean Satu Populasi Selang Kepercayaan 95% ......14
Tabel 4.3 Output Minitab Mean dan Variansi dari Dua Populasi ...................................16
Tabel 4.4 Nilai dan Selang Interval Proporsi untuk x=15 dan n=30 untuk α=95% ........18
Tabel 4.5 Nilai Interval untuk Proporsi Dua Populasi untuk α=95% ............................19
Tabel 4.6 Nilai Interval untuk Varians Satu Populasi n=30 ; s 2 =25 untuk α=95% ......20
Tabel 4.7 Nilai Interval Varians Dua Populasi untuk α=98% s12 =25 s12 s 2 2 =35 .....21
6

7. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Statistika inferensia merupakan teknik pengambilan keputusan tentang
suatu parameter berdasarkan contoh yang diambil dari populasi tersebut yang
meliputi dua hal penting, salah satunya adalah pendugaan (estimation) parameter.
Pengetahuan tentang pendugaan yang diperoleh sangatlah penting dipelajari.
Hasil estimasi yang diperoleh haruslah dapat dipertanggungjawabkan. Biasanya
dinyatakan dengan tingkat kepercayaan dari hasil dugannya sebagai suatu ukuran
seberapa jauh kita menaruh kepercayaan pada ketetapan statistik yang menduga
parameter populasi nya. Oleh karena itu prosedur pendugaan parameter populasi
harus dibuat dari informasi-informasi yang diperoleh dari penarikan data yang
didasarkan atas penarikan contohnya, meskipun tidak dapat dipungkiri satu
parameter tertentu kadang-kadang menggunakan beberapa estimasi yang
berlainan.
Pada umumnya parameter populasi tidak diketahui karena ukurannya tidak
terhingga ataupun kalau berhingga jumlahnya terlalu besar untuk di teliti
seluruhnya. Oleh karena itu untuk mengetahui karakteristik parameter populasi
digunakan teknik penarikan contoh populasinya. Hasil penarikan ini akan
diperoleh satu atau lebih nilai statistik penarikan contohnya. Pembuatan laporan
ini ditujukan untuk mengasah kompetensi mahasiswa dalam hal estimasi, mulai
dari estimasi mean, estimasi varians, estimasi proporsi hingga menyajikan data
dalam bentuk grafik. Diharapkan pembuatan laporan ini dapat membantu
mahasiswa statistika dalam memahami aplikasi statistika inferensial khususnya
tentang estimasi pada data-data yang sudah tersedia.
1.2 Permasalahan
Dalam praktikum ini, permasalahan yang muncul sebagai acuan untuk
analisis adalah sebagai berikut,
7

8. 1. Bagaimana hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan N
sebesar 150 dan bentuk fisis grafiknya serta perbandingan antara hasil manual
(teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak 50
kali dari populasi N dengan n1=15 dan n2=35 pada tingkat kepercayaan 92%
dan 95 % ?
2. Bagaimana hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang
dibangkitkan dari 2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan
ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175 dan bentuk fisis grafiknya serta
perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab
jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1 dengan n1=15, n2=35
dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % ?
3. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil
perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi?
4. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil
perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi?
5. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil
perhitungan minitab pada parameter σ (varians) satu populasi?
6. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil
perhitungan minitab pada parameter σ (varians) dua populasi?
1.3 Tujuan
Perumusan masalah di atas menghasilkan tujuan yang akan dicapai dalam
kegiatan praktikum ini, yaitu sebagai berikut,
1. Untuk mengetahui hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan
N sebesar 150 dan bentuk fisis grafiknya serta perbandingan antara hasil
manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel
sebanyak 50 kali dari populasi N dengan n1=15 dan n2=35 pada tingkat
kepercayaan 92% dan 95 %.
2. Untuk mengetahui hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang
dibangkitkan dari 2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625)
dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175 dan bentuk fisis grafiknya
8

9. serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan
minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1 dengan n1=15,
n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95%
3. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan
hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi.
4. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan
hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi.
5. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan
hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) satu populasi.
6. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan
hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) dua populasi.
1.4 Manfaat
Dari kegiatan praktikum ini, manfaat yang dapat diambil adalah sebagai
berikut,
1. Mampu memahami pengertian estimasi parameter, estimasi titik, dan estimasi
interval.
2. Mampu memahami jenis-jenis dari estimasi parameter serta pengertiannya.
3. Mampu mengaplikasikan jenis-jenis estimasi pada data yang tersedia.
4. Mampu menyajikan suatu data menjadi sebuah informasi yang lebih jelas dan
menarik.
5. Mampu memahami perbandingan nilai parameter hasil bangkitan data dengan
teoritisnya.
6. Mampu mengetahui perbandingan bentuk fisis grafik hasil bangkitan data
dengan teoritisnya.
9

10. BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Estimasi
Estimasi adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimator
untuk menghasilkan sebuah estimate dari suatu parameter. Data yang digunakan
untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagai
estimator (Harinaldi,2005).
2.2 Estimasi Parameter
Estimasi parameter adalah estimasi yang digunakan untuk menduga suatu
populasi dari sampel. Estimasi digolongkan menjadi dua yaitu estimasi titik (point
estimation) dan estimasi interval (interval estimation).
2.2.1 Estimasi Titik (Point Estimation)
Sebuah nilai tunggal yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter
disebut titik estimator, sedangkan proses untuk mengestimasi titik tersebut disebut
estimasi titik (Harinaldi,2005).
2.2.2 Estimasi Interval (interval estimation)
Sebuah estimasi interval dari sebuah parameter  adalah suatu sebaran
nilai-nilai yang digunakan untuk mengestimasi  . Proses mengestimasi dengan
suatu sebaran nilai-nilai ini disebut estimasi interval (Harinaldi,2005).
Konsep yang mendasari estimasi interval ini adalah sampel-sampel yang
diambil dari suatu populasi yang akan berdistribusi disekitar µ, dengan deviasi
standar sifat dari distribusi sampelnya atau disebut standart eror (Subaris, 2005).
Misalnya ˆ merupakan estimator untuk parameter  , sedangkan A dan B
adalah nilai-nilai estimator tersebut berdasarkan suatu sampel tertentu, maka
koefisien kepercayaannya dinyatakan dengan:
P(A <  < B) = 1 – α untuk 0 < α < 1 (2.1)
Dimana:
interval A <  < B = interval kepercayaan (confidence level) (1-)100%.
A dan B = batas-batas kepercayaan.
10

11. (1-α) = Harga probabilitas atau disebut juga sebagai koefisien konfidensi
Jadi P(A <  < B) = 1 – α diartikan bahwa kita merasa 100(1 – α)%
percaya (yakin) bahwa  terletak di antara A dan B. (Walpole, 1995)
2.3 Estimasi Mean
Dalam melakukan estimasi terhadap mean populasi dengan menggunakan data
yang diperoleh dari sampel terdapat beberapa hal yang terlebih dahulu harus
diperhatikan yaitu :
1. Ukuran sampel (apakah besar n>30 atau kecil n<30)
2. Informasi tentang distribusi populasinya (apakah distribusi normal atau
tidak)
3. Deviasi standard populasinya (diketahui atau tidak)
4. Pemilihan jenis distribusi yang menjadi dasar estimasi
2.3.1 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Diketahui
Jika X adalah rataan sampel random berukuran n yang diambil dari populasi
normal (atau populasi tidak normal dengan ukuran sampel n  30) dengan 
2
diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ ditentukan oleh:
 
X  z1    X  z1 (2.1)
 n  n
2 2
Dimana :
X = Harga Statistik

Z = deviasi standard
2 n
 = Parameter
Dengan eror standard dari mean sebagai berikut
 Jika anggota populasinya tak terhingga
(2.2)
 Jika anggota populasinya terhingga sejumlah N:
(2.3)
11

12. Kesalahan estimasi adalah perbedaan antar harga yang diestimasikan
dengan harga estimasinya ditentukan oleh

E  Z
2 n (2.4)
2.3.2 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Tidak Diketahui
Jika X dan s2 adalah rataan dan variansi dari sampel random berukuran kecil
(n < 30) yang diambil dari populasi normal dengan  tak diketahui, maka
2
interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ ditentukan oleh:
s s
X  t1    X  t1 (2.5)
 ; n 1 n  ; n 1 n
2 2
Dimana :
t v
= nilai kritis tyang tergantung pada tingkat kepercayaan dan derajat kebebasan
2
α = 1-tingkat kepercayaan ( sering disebut chance of eror)
V = derajat kebebasan (df) = n-1
2.3.3 Dua Populasi Saat σ12 dan σ22 Diketahui
Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata μ1 dan μ2, varians σ12
x1 
dan σ22, maka estimasi dari selisih μ1 dan μ2 adalah x2 .
Jika X 1 dan X 2 adalah rataan sampel random yang independen
berukuran n1 dan n2, yang diambil dari populasi-populasi normal (atau populasi
tidak normal dengan ukuran sampel n1  30 dan n2  30) dengan  1 dan  2
2 2
diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ1 dan µ2 ditentukan oleh
 12 2
2
 12 2
2
( X 1  X 2 )  z1   1   2  ( X 1  X 2 )  z 1  (2.6)
 n1 n2  n1 n2
2 2
Dimana :
( X 1  X 2 ) = nilai tengah contoh acak bebas berukuran n1 dan n2
z1 = nilai peubah normal baku z yang luas daerah sebelah kanannya α/2

2
12

13. Dengan
Z
 x1  x2    1  2 
  12    22
 (2.7)
  
 n1   n2 

Z = Peubah acak normal baku
( X 1  X 2 ) = nilai tengah contoh acak bebas berukuran n1 dan n2
2.3.4 Dua Populasi Saat σ12 = σ22 , Tapi σ12 dan σ22 Tidak Diketahui
Jika X 1 dan X 2 adalah rataan sampel random yang independen, yang
berukuran n1 dan n2 (dengan masing-masing sampel n1 < 30 dan n2 < 30) yang
diambil dari populasi-populasi normal dengan variansi-variansi sama namun tidak
diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ1 - µ2 ditentukan oleh:
1 1 1 1
(X 1  X 2 )  t1 sp   1   2  ( X 1  X 2 )  t 1 sp 
 ; n1  n 2  2 n1 n2  ; n1  n 2  2 n1 n2 (2.8)
2 2
Keterangan:
( X 1  X 2 ) = nilai tengah contoh acak bebas berukuran n1 dan n2
 = Tingkat keyakinan
Sp = nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi
Dengan
(n1 1) s12  (n2 1) s2
2
s2 
n1  n2  2
p
Dimana:
Sp = nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi
S12 dan S22 = variansi sampel kecil bebas berukuran n1 dan n2
2.3.5 Dua Populasi Saat  1 dan  2 Tidak Diketahui, Tetapi  1   2
2 2 2
2
Jika X 1 dan X 2 adalah rataan-rataan sampel random yang independen,
yang berukuran n1 dan n2 (dengan masing-masing n1 < 30 dan n2 < 30), dengan
2 2
variansi-variansi s1 dan s1 , yang diambil dari populasi-populasi normal dengan
variansi-variansi yang tidak diketahui dan tidak sama, maka interval konfidensi
100(1 – α)% bagi µ1 - µ2 ditentukan oleh:
13

14. s12 s2
2
s12 s2
2
( X 1  X 2 )  t1   1   2  ( X 1  X 2 )  t 1  (2.9)
 ;v n1 n2  ;v n1 n2
2 2
Dimana:
 = Tingkat keyakinan
tα/2 = Nilai distribusi-t dengan derajat kebebasan v
Dengan
s12 s2 2
2
(  )
n1 n2
v (2.10)
 s 2  2
  s 2 2 
  /(n1  1)   2  /(n2  1)
 
1
 
 n1 
   n2 
  

Dimana :
v = derajat kebebasan
= jumlah data
= simpangan baku sampel
2.4 Estimasi Proporsi
Estimator untuk P adalah . Dengan
= (2.11)
Dimana :
n = banyaknya seluruh elemen
x = banyaknya elemen dengan karakteristik tertentu
2.4.1 Estimasi Proporsi Satu Populasi
ˆ
Jika p adalah proporsi sukses pada sampel random yang berukuran besar
(n  30), maka interval konfidensi 100(1 – α)% hampiran untuk parameter
binomial p ditentukan oleh:
p(1  p)
ˆ ˆ p(1  p)
ˆ ˆ
p  z1
ˆ  p  p  z1
ˆ (2.12)
 n  n
2 2
Dimana:
= proporsi yang berhasil
1- = proporsi yang gagal
n = jumlah data
14

15. p(1  p )
σ = (2.13)
n
Dimana :
σ = simpangan baku populasi
n = jumlah data
Kesalahan Estimasinya
x x
(1  )
E  Z n n (2.14)
2 n
2.4.2 Estimasi Proporsi Dua Populasi
ˆ ˆ
Jika p1 dan p2 adalah proporsi sukses berturut-turut pada dua sampel
random berukuran n1  30 dan n2  30, maka interval konfidensi 100(1 – α)%
hampiran untuk beda parameter binomial p1 – p2 ditentukan oleh:
p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )
ˆ ˆ ˆ ˆ p (1  p1 ) p2 (1  p2 )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( p1  p2 )  z 1
ˆ ˆ   p1  p2  ( p1  p2 )  z 1 1
ˆ ˆ  (2.15)
 n1 n2  n1 n2
2 2
Dimana :
= nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α/2.
= proporsi yang berhasil
1- = proporsi yang gagal
n = jumlah data
2.5 Estimasi Varians
S2 adalah variansi sampel acak dengan ukuran n dari populasi normal yang
memiliki selang kepercayaan (1-α)100% untuk variansi σ2.
2.5.1 Estimasi Varians Satu Populasi
Estimasi selang untuk σ2 diturunkan dengan menggunakan statistik χ2 ( chi-
square) dengan derajat bebas db = n-1. Jika s2 adalah suatu variansi suatu sampel
random dengan ukuran n yang diambil dari populasi normal, maka interval
konfidensi 100(1 – α)% untuk 
2
ditentukan oleh:
15

16. (n  1)s 2 (n  1)s 2
 2  (2.16)

2
12
; n 1 ; n 1
2 2
Dimana :
dan = nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing sebesar
α/2 dan 1-α/2.
2.5.2 Estimasi Varians Dua Populasi
Jika dan adalah variansi-variansi dari sampel-sampel random independen
dengan ukuran n1 dan n2 yang berasal dari populasi normal dengan varians dan
maka interval konfidensi 100(1 – α)% ditentukan oleh
2
s1 1  12 s1
2
  2 F (2.17)
2
s2 F  12 s2 2 ;n 2 1, n1 1
; n1 1, n2 1
2
Dimana :
= nilai f dengan derajat kebebasan dan
sehingga luas di sebelah kanannya α/2
= nilai f yang sama dengan derajat kebebasan dan
.
S = simpangan baku sampel
σ = simpangan baku populasi
n = jumlah data
16

17. BAB III
METODOLOGI PENULISAN
3.1 Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini berasal dari data sekunderr dan
data primer. Data sekunder diperoleh dari perhitungan hasil bangkitan data
(program minitab) dan perhitungan secara teoritis .
Sumber untuk melakukan penelitian ini kami ambil pada:
Hari / Tanggal : Rabu/ 23 November 2011
Tempat : ITS
Jam : 13.00- selesai.
Sedangkan data primer diperoleh dari survei berat badan .
Sumber untuk melakukan penelitian ini kami ambil pada:
Hari / Tanggal : Rabu/ 24 November 2011
Tempat : Keputih gang III dan di jurusan Statistika
Jam : 07.00- selesai.
3.2 Variabel Penelitian
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah
1. Variabel estimasi mean satu populasi dengan N sebesar 150, n1=15 dan n2=35
dengan tingkat kepercayaan 92% dan 95 %.
2. Variabel estimasi mean dua populasi yang dibangkitkan dari 2 distribusi
normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing
N1=150 dan N2=175 yang diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1
dengan n1=15, n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan
92% dan 95%
3. Variabel estimasi prorporsi satu populasi dengan x=15 n=30 dan α=95%
4. Variabel estimasi prorporsi dua populasi dengan x1=30, n1=50, x2=60, n2=75
dan α=95%
5. Variabel estimasi varians satu populasi dengan n=30, S2=25 dan α=45%
17

18. 6. Variabel estimasi varians dua populasi n1=31, n2=61, S12=25 dan S22=30
dengan α=98%
3.3 Langkah Analisis
Langkah analisis yang dilakukan dalam pengamatan antara lain sebagai
berikut:
- Merumuskan Masalah
- Melakukan Percobaan
- Melakukan penghitungan data melalui program minitab
- Melakukan penghitungan data manual (secara teoritis)
- Membandingkan hasil percobaan dengan teori estimasi parameter
- Membuat grafik dan boxplot serta mengintepretasikan
- Memberikan kesimpulan dan saran
18

19. 3.4 Diagram Alir
Diagram alir menggambarkan alur perjalanan pembuatan laporan ini,
mulai dari proses perumusan masalah hingga pemberian kesimpulan dan saran.
Diagram alir yang dipakai dalam laporan ini adalah
Merumuskan Masalah
Melakukan Percobaan
Melakukan penghitungan data melalui program minitab
Melakukan penghitungan data manual (secara teoritis)
Membandingkan hasil percobaan dengan teori estimasi parameter
Membuat grafik serta mengintepretasikan
Kesimpulan dan Saran
Selesai
Gambar 3.1 Flowchart Pelaksanaan Praktikum Estimasi Parameter
19

20. BAB IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1 Estimasi Harga Mean untuk Satu Populasi
Pada percobaan estimasi harga mean untuk satu populasi, dilakukan
perhitungan dari bangkitan data distribusi normal dengan N=150 masing-masing
berukuran n1= 15 dan n2=35 dengan pengambilan sampel sebanyak 50 kali dari
populasi.
Tabel 4.1 Output Minitab Estimasi Harga Mean Satu Populasi Pada Selang Kepercayaan 92 %
Output Minitab Hasil Teoritis
Ukuran
Batas Batas Batas bawah Batas atas
Sampel (n)
 
bawah atas XZ XZ
2 n 2 n
15 143,459 152,401 143,6715 152,3923
35 145,003 150,857 144,9781 150,8312
Tabel diatas menunjukkan bahwa perbandingan hasil minitab dengan teori
estimasi harga mean pada selang kepercayaan 92% memiliki hasil yang hampir
sama atau mendekati, ditunjukkan pula bahwa semakin besar ukuran sampel,
semakin besar nilai taksirannya.
Tabel 4.2 Output Minitab Estimasi Harga Mean Satu Populasi Pada Selang Kepercayaan 95%
Output Minitab Hasil Teoritis
Ukuran
Batas Batas Batas bawah Batas atas
Sampel (n)
 
bawah atas XZ XZ
2 n 2 n
15 142,925 152,935 143,1483 152,9156
35 144,653 151,207 144,627 151,1824
Tabel diatas menunjukkan bahwa perbandingan hasil minitab dengan teori
estimasi harga mean pada selang kepercayaan 95% memiliki hasil yang hampir
sama atau mendekati, ditunjukkan pula bahwa semakin besar ukuran sampel,
semakin besar nilai taksirannya.
20

21. 165
BA 92 %
160
155 BB 92 %
150 Populasi rata-rata
145
BA 95 %
140
135 BB 95 %
130
125
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Gambar 4.1 Nilai Estimasi Harga Mean n=15; Selang Kepercayaan 92% dan 95%
Grafik di atas menunjukkan bahwa rata-rata pada populasi n=15 adalah
147,93. Batas atas tertinggi dari n=15 pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar
158,538. Sedangkan batas bawah terendah dari n=15 pada selang kepercayaan
92% yakni sebesar 139,199. Batas atas tertinggi dari n=15 pada selang
kepercayaan 95% yakni sebesar 159,075. Sedangkan batas bawah terendah dari
n=15 pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar 138,404. Grafik juga
menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui batas) lebih banyak ditemukan
pada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada selang kepercayaan 95%.
160 BA 92%
155
BB 92%
150
Populasi rata-rata
145
BA 95%
140
BB 95%
135
130
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Gambar 4.2 Nilai Estimasi Harga Mean n=35; Selang Kepercayaan 92% dan 95%
Grafik di atas menunjukkan bahwa rata-rata pada populasi n=35 adalah
147,9047. Batas atas tertinggi dari n=35 pada selang kepercayaan 92% yakni
sebesar 154,185. Sedangkan batas bawah terendah dari n=35 pada selang
kepercayaan 92% yakni sebesar 141,690. Batas atas tertinggi dari n=35 pada
selang kepercayaan 95% yakni sebesar 154,573. Sedangkan batas bawah terendah
dari n=35 pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar 141,284. Grafik juga
21

22. menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui batas) lebih banyak ditemukan
pada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada selang kepercayaan 95%.
5
4
3
92%
2
1 95%
0
N=150;n=15 N=150;n=35
Gambar 4.3 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95%
Gambar di atas menunjukkan bahwa nilai eror sering ditemui pada selang
kepercayaan 92% dibanding selang kepercayaan 95%. Secara teori menyatakan
pula bahwa semakin kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin sering
ditemukan nilai eror.
4.2 Estimasi Harga Mean untuk Dua Populasi
Pada percobaan estimasi harga mean untuk dua populasi, dilakukan
perhitungan dari bangkitan dua data distribusi normal, N1(10;0.0625) dan
N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175. Pengambilan
sampel acak dari data populasi pada N1 dan N2 sebanyak 50 kali yang masing-
masing berukuran n1 dan n2:
• n1 = 15 dan n2 = 35
• n1= 30 dan n2 = 40
Tabel 4.3 Output Minitab Mean dan Variansi dari Dua Populasi
No Populasi (N) Mean Variansi
1. N=150 10,006 0,00456
2. N=175 12,994 0,00430
Selisih Rata-Rata 2,988
Tabel diatas menunjukkan bahwa semakin besar populasi, semakin besar
nilai mean. Sebaliknya, semakin besar populasi, semakin kecil nilai variansinya.
22

23. 3.1 BB 92%
3.05
BA 92%
3
2.95 Selisih Rata-Rata
2.9 Dua Populasi
BB 95%
2.85
2.8
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Gambar 4.4 Estimasi Harga Mean Dua Populasi dengan Selang Kepercayaan 92% dan 95%
Grafik di atas menunjukkan bahwa selisih rata-rata pada dua populasi adalah
2,9919. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar 3,081.
Sedangkan batas bawah terendah pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar
2,91. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar 3,0827.
Sedangkan batas bawah terendah pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar
2,9093. Grafik juga menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui batas) lebih
banyak ditemukan pada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada selang
kepercayaan 95%.
3.1 BB 92%
3.05 BA 92%
3
Selisih Rata-Rata
2.95
Dua Populasi
2.9 BB 95%
2.85
1 4 7 1013161922252831343740434649
Gambar 4.5 Estimasi Harga Mean Dua Populasi N=150 n=30; N=175 n=40; Selang
Kepercayaan 92% dan 95%
Grafik di atas menunjukkan bahwa selisih rata-rata pada dua populasi adalah
2,9913. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar 3,04.
Sedangkan batas bawah terendah pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar
2,93. Batas atas tertinggi terletak pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar
3,0580. Sedangkan batas bawah terendah terletak pada selang kepercayaan 95%
yakni sebesar 2,9202. Grafik juga menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui
23

24. batas) lebih banyak ditemukan pada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada
selang kepercayaan 95%.
10
8
6
92%
4
2 95%
0
N=150 n=15; N=175 n=35 N=150 n=30; N=175 n=40
Gambar 4.6 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95%
Gambar di atas menunjukkan bahwa nilai eror sering ditemui pada selang
kepercayaan 92% dibanding selang kepercayaan 95%. Secara teori menyatakan
pula bahwa semakin kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin sering
ditemukan nilai eror.
4.3 Estimasi Harga Proporsi Satu Populasi
Pada percobaan estimasi parameter harga proporsi satu populasi, dilakukan
perhitungan data dengan x=15 n=30 dan α=95% maka dapat diketahui bahwa
Tabel 4.4 Nilai dan Selang Interval Proporsi untuk x=15 dan n=30 untuk α=95%
Hasil Teoritis
Output
minitab p(1  p)
ˆ ˆ p(1  p)
ˆ ˆ
p  z1
ˆ  p  p  z1
ˆ
 n  n
2 2
Batas Bawah 0,312970 0,3628
Batas Atas 0,687030 0,6372
Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah
0,312970 dan batas atasnya adalah 0,687030 sedangkan batas bawah hasil dari
manual (teoritis) adalah 0,3628 dan batas atasnya adalah 0,6372. Dari hasil diatas
menunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun manual
memiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang dilakukan
secara teori.
ˆ
p = 15/30 = 0,5;
ˆ
1- p = 0,5;
z 0, 025 1 96
,
24

25. p(1  p)
ˆ ˆ (0,5)(0,5)
  0,07
n 50
Sehingga,
p(1  p)
ˆ ˆ p(1  p)
ˆ ˆ
p  z1
ˆ  p  p  z1
ˆ
 n  n
2 2
0,5  (1,96)(0,07)  p  0,5 (1,96)(0,07)
 0,3628 p  0,6372

4.4 Estimasi Harga Proporsi Dua Populasi
Pada percobaan estimasi parameter harga proporsi dua populasi, dilakukan
perhitungan data dengan n1=50 x1= 30, n2=75 x2=60 dan α=95% maka dapat
diketahui bahwa
Tabel 4.5 Nilai Interval untuk Proporsi Dua Populasi n1=50 x1= 30, n2=75 x2=60 untuk α=95%
Hasil Teoritis
Output
p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )
ˆ ˆ ˆ ˆ p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )
ˆ ˆ ˆ ˆ
minitab ( p1  p2 )  z 1
ˆ ˆ
 n1

n2
 p1  p2  ( p1  p2 )  z 1
ˆ ˆ
 n1

n2
2 2
Batas
-0.363200 -0,3568
Bawah
Batas Atas -0.0368004 -0,0432
Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah -
0,363200 dan batas atasnya adalah -0,0368004 sedangkan batas bawah hasil dari
manual (teoritis) adalah -0,3568 dan batas atasnya adalah -0,0432. Dari hasil
diatas menunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun
manual memiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang
dilakukan secara teori.
ˆ
p1 = 30/50 = 0,6; ˆ
p2 = 60/75= 0,8;
p1  p2   0,2;
ˆ ˆ z0,025 1,96
p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )
ˆ ˆ ˆ ˆ (0,6)(0,4) (0,8)(0,2)
    0,08
n1 n2 50 75
Sehingga,
25

26. p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )
ˆ ˆ ˆ ˆ p (1  p1 ) p2 (1  p2 )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( p1  p2 )  z 1
ˆ ˆ   p1  p2  ( p1  p2 )  z 1 1
ˆ ˆ 
 n1 n2  n1 n2
2 2
 0,2  (1,96)(0,08)  p1  p2   0,2  (1,96)(0,08)
  0,3568  p1  p2   0,0432
4.5 Estimasi Harga Varians Satu Populasi
Pada percobaan estimasi parameter harga varians satu populasi, dilakukan
2
perhitungan data dengan n=30 , α=95% dan s =25 maka didapatkan hasil bahwa
Tabel 4.6 Nilai Interval untuk Varians Satu Populasi n=30 ; s 2 =25 untuk α=95%
Hasil Teoritis
Output minitab (n  1)s 2 (n  1)s 2
 2 

2
 12
;n1 ;n1
2 2
Batas Bawah 15,9 15,856
Batas Atas 45,2 45,179
Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah
15,9 dan batas atasnya adalah 45,2 sedangkan batas bawah hasil dari manual
(teoritis) adalah 15,856 dan batas atasnya adalah 45,179. Dari hasil diatas
menunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun manual
memiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang dilakukan
secara teori.

2
= 0,025;29 = 45,722
2
;n 1
2
 12 = 0,975;29 =16,047
2
;n 1
2
Sehingga,
(n  1)s 2 (n  1)s 2
 2 
2
 12
;n1 ;n1
2 2
29(25) 29(25)
 2 
45,722 16,047
26

27. 45,722 2 16,047
4.6 Estimasi Harga Varians Dua Populasi
Pada percobaan estimasi parameter harga varians dua populasi, dilakukan
2 2
perhitungan data dengan n1=31 n2=61 dan α=98% s1 =25 s2 =35 maka
didapatkan hasil bahwa
Tabel 4.7 Nilai Interval Varians Dua Populasi n1=31 n2=61 dan α=98% s12 =25 s12 s 2 2 =35
Hasil Teoritis
Output minitab s12 1  12 s12
  2F
2
s2 F  12 s2  ;n 1,n 1
2
2 1
;n1 1,n2 1
2
Batas Bawah 0,352 0,35
Batas Atas 1,577 1,57
Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah
0,352 dan batas atasnya adalah 1,577 sedangkan batas bawah hasil dari manual
(teoritis) adalah 0,35 dan batas atasnya adalah 1,57. Dari hasil diatas
menunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun manual
memiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang dilakukan
secara teori.
F = F0,01; 30,60  2,03
;n1 1, n2 1
2
F = F0,01; 60,30  2,21
;n2 1, n1 1
2
Sehingga,
2
s1 1 12
s2
  1 F
2
s2 F 1
2 2
s 2 2 ;n 2 1, n1 1
;n1 1, n2 1
2
25 1 12
25
  2,21
35 2,03 1
2
35
 12
0,35  1,57
 12
27

28. BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil percobaan tentang estimasi parameter didapatkan hasil
bahwa :
1. Hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan N sebesar 150
serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan
minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N dengan
n1=15 dan n2=35 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % adalah semakin
kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin sering ditemukan nilai eror.
2. Hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang dibangkitkan dari
2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran
masing-masing N1=150 dan N2=175 dan perbandingan antara hasil manual
(teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak
50 kali dari populasi N1 dengan n1=15, n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 =
40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % adalah semakin kecil nilai
selang kepercayaaannya, semakin sering ditemukan nilai eror.
3. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan
minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi dengan x=15 n=30 dan
α=95% memiliki hasil yang hampir sama.
4. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan
minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi dengan n1=50 x1= 30,
n2=75 x2=60 dan α=95% memiliki hasil yang hampir sama.
5. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan
minitab pada parameter σ (varians) satu populasi dengan n=30 , α=95%
2
dan s =25 memiliki hasil yang hampir sama.
6. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan
minitab pada parameter σ (varians) dua populasi dengan n1=31 n2=61 dan
2 2
α=98% s1 =25 s2 =35 memiliki hasil yang hampir sama.
28

29. 5.2 Saran
Kegiatan praktikum tentang estimasi parameter hendaknya dapat dilakukan
dengan lebih cermat. Melakukan penghitungan dengan berbagai macam jenis
distribusi melalui percobaan yang dilakukan secara manual dibutuhkan kesabaran
untuk mendapatkan data.
29

30. DAFTAR PUSTAKA
Wibisono Yusuf. 2009. Metode Statistik. Yogyakarta:Gadjah Mada University
Press
Walpole Ronald.1995. Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia Pustka Utama
Subaris Heru.2005. Aplikasi Statistika.Yogyakarta :Media Pressindo
Harinaldi.2005. Prinsip-Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains,Jakarta:Erlangga
30