Download to read offline
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 71
Uji – t dua sampel independen (bebas) adalah metode yang
digunakan untuk menguji kesamaan rata-rata dari dua populasi
yang bersifat independen. Mengenai ragam populasi, independen
maksudnya adalah bahwa populasi yang satu tidak dipengaruhi
atau tidak berhubungan dengan populasi yang lain.
Teorema I
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn Sampel random dari N ( µx ; 𝜎2
) dan Y1 , Y2 , . . . , Ym Sampel random dari N ( µy ; 𝜎2 ). Misalkan
pula Xi dan independen. Misalkan pula S2
X dan S2
Y adalah variansi
kedua sampel itu, dan S2
P adalah variansi pooled ( rata-rata ) ,
dimana
S2
P =
(n−1)SX
2
+(m−1)SY
2
n+m−2
Maka
t =
𝑥̅− 𝑦̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦 )
𝑆 𝑝 √
1
𝑛
+
1
𝑚
~ t n+m-2
Bukti
Perhatikan bahwa t dapat ditulis
t =
𝑥̅−𝑦̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦)
𝑐√
1
𝑛
+
1
𝑚
√𝑠 𝑝
2
/𝜎2
t =
𝑋̅−𝑌̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦)
𝜎√
1
𝑛
+
1
𝑚
√
1
𝑛+𝑚−2
[∑ (
𝑥 𝑖−𝑥̅
𝜎
)
2
𝑛
𝑖=1 +∑ (
𝑦 𝑖 −𝑦̅
𝜎
)
2
𝑚
𝑖=1
]
pembilangnya berdistribusi N(0;1), sedang penyebutnya :](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-74-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 82
dengan menyamakan derivatif log L terhadap 𝑃(= 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌)
sama dengan nol, dan kita hitung P, kita peroleh
𝑝̂ =
𝑥+𝑦
𝑛+𝑚
yang merupakan PML untuk 𝑝 di bawah 𝐻0 (yakni proporsi
sukses pooled). Jika 𝜗 log
𝐿
𝜗
𝑃 𝑋 = 0 dan 𝜗 log
𝐿
𝜗
𝑃 𝑌 = 0, maka akan kita
peroleh PML untuk 𝑃 𝑋 dan 𝑃 𝑌, yakni
𝑝̂ 𝑋 =
𝑥
𝑛
dan 𝑝̂ 𝑌 =
𝑦
𝑛
Penaksir-penaksir kita masukkan ke dalam L untuk
memperoleh GLR sebagai berikut:
𝜇 =
𝐿(𝜔)
𝐿(𝜑)
=
[(𝑥 + 𝑦)/(𝑚 + 𝑛)] 𝑥+𝑦[1 − (𝑥 + 𝑦)/(𝑚 + 𝑛)] 𝑛+𝑚−𝑥−𝑦
(𝑥/𝑛) 𝑥(1 −
𝑥
𝑛
) 𝑛−𝑥(
𝑦
𝑚
) 𝑦(1 −
𝑦
𝑚
) 𝑚−𝑦
Bentuk fungsi ini tidak sederhana, sehingga akan sukar bekerja
dengan fungsi. Karena itu perlu dicari pendekatan untuk uji GLR yang
biasa. Dapat ditunjukkan bahwa −2 log λ untuk masalah ini
mempunyai distribusi asimtotik 𝑥2
dengan derajat bebas 1. Jadi, uji
dua sisi pendekatan dengan tingkat signifikansi ∝= 0,05 adalah
menolak 𝐻0 jika −2log 𝜆 ≥ 3,84.
Pendekatan lain yang paling sering digunakan adalah
pemanfaatan teorema limit pusat, yakni
𝑋
𝑛
−
𝑌
𝑚
− 𝐸(
𝑋
𝑛
−
𝑌
𝑚
)
√ 𝑣𝑎𝑟(
𝑋
𝑛
−
𝑌
𝑚
)
mendekati distribusi normal standar. Tentu saja di bawah 𝐻0
𝐸 (
𝑋
𝑛
−
𝑌
𝑚
) = 0](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-85-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 85
Jawab:
Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4
Diperoleh:
Menggunakan teorema Chebyshev adalah
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 2.206 sampai 9.794
Percobaan Multinomial
distribusi multinomial adalah distribusi peluang bersama
frekuensi-frekuensi sel 1, , kn n dalam n trial multinomial dengan
parameter 1, , kp p yang masing-masing merupakan peluang sel.
Fungsi peluang distribusi multinomial adalah
1
1 1
1
!
, ,
! !
kn n
k k
k
n
f n n p p
n n
untuk
1
k
i
i
n n
Parameter-parameter itu memenuhi
1
1
k
i
i
p
Nilai ekspektasi dan variansi dari distribusi multinomial adalah
i iE n np dan Var 1i i in np p dimana 1,2, ,i k .
Teorema 1.7
misalkan 1 2, , , ky y y berdistribusi multinomial dengan
probabilitas 1 2, , , kp p p maka untuk n besar, variabel acak tidak
negatif
2
2
1
k
i i
i i
y np
np
dimana 1,2, ,i k [1.11]
2 9 794 2 2 206. dan . ](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-88-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 86
mendekati distribusi chi-square dengan derajat bebas 1k
dengan harga mean 2
adalah 1k .
Persamaan 1.11 pertama kali diperkenalkan dan dipelajari oleh
Karl Pearson pada tahun 1900 sehingga dikenal dengan nama
”Pearson’s chi square statistic”.
Harga mean 2
hanya tergantung pada banyak sel atau kelas k
(banyak kemungkinan yang dapat terjadi pada eksperimen
multinomial) dan tidak tergantung pada harga , 1,2, ,ip i k .
Bukti :
2
2 2
1
k
i i
i i
E y np
mean E
np
1 1
1 1 1
var 1
1 1 1
k k
i i i
i ii i
k k k
i i
i i i
y np p
np np
p p k
Rumus transformasi 2
sering ditulis dengan persamaan
2 2
2
1 1
k k
i i i i
i ii i
y np O E
np E
[1.12]
dimana i iO y adalah frekuensi sel i yang diobservasi dalam
sampel berukuran n, sedangkan i i iE np mean y adalah mean
atau frekuensi sel i yang diharapkan (nilai ekspektasi).
Kasus khusus model multinomial (Soejoeti, 1985:8) adalah uji
hipotesis apakah suatu eksperimen dengan k hasil yang mungkin
memiliki kemungkinan yang sama yaitu 0 1 2
1
: kH p p p
k
.](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-89-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 99
Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman
sebanyak 5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika
ada seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut,
berapa probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat.
Jawab:
Karena n = 10 cukup kecil dibandingkan N = 5000, maka
probabilitasnya dihampiri dengan binomial dengan p = 10/5000 = 0,2
adalah probailitas mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat
3 ban cacat:
Jika dihitung dengan software R
> phyper(3,5000,10,1000) # tidak bisa menghitung
[1] 0
Dihitung dengan pendekatan distribusi binomial
> pbinom(3,10,0.2)
[1] 0.8791261
> pbinom(2,10,0.2)
[1] 0.6777995
Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan prubah acak X ynag menyatakan
banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut
“distribusi poisson”.
3 2
0 0
3 5000 10 1000 3 10 0 2
10 0 2 10 0 2
0 8791 0 6778
0 2013
x x
h( ; , , ) b( ; , . )
b(x; , . ) b(x; , . )
, ,
,
](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-102-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 126
[( 𝑥̅ − 𝑦̅) − 𝑡 𝑛+𝑚−2;𝛼 2⁄ . 𝑆 𝑝√
1
𝑛
+
1
𝑚
( 𝑥̅ − 𝑦̅)
+ 𝑡 𝑛+𝑚−2;𝛼 2⁄ . 𝑆 𝑝√
1
𝑛
+
1
𝑚
]
Contoh 8
Pandang kembali data contoh 6. Berdasarkan data itu kita
ingin menaksir selisih mean kedua populasi, yakni (𝜇 𝑥 − 𝜇 𝑦),
dengan interval kepercayaan 95%. Untuk ini kita gunakan rumus
dalam Teorema 5
Dari data dapat kita hitung :
𝑥̅ =
105,8
10
= 10,58 ; 𝑦̅ =
97,8
10
= 9,78 ; 𝐽𝑎𝑑𝑖 ( 𝑥̅ − 𝑦̅) = 0,8
𝑆 𝑥
2
= 0,21 ; 𝑆 𝑦
2
= 0,36 ; 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆 𝑝
2
=
9(0,21) + 9(0,36)
18
= 0,285
Dari tabel distribusi t kita peroleh 𝑡18;0,025 = 2,10.
Sehingga interval kepercayaan 95% untuk (𝜇 𝑥 − 𝜇 𝑦) adalah
[0,8 − (2,10)(0,285)√
1
10
+
1
10
; 0,8 + (2,10)(0,285)√
1
10
+
1
10
]
= (0,53;1,07)
Teorema 6
Misalkan X1, X2, . . . . , Xn sampel random dari
N( 𝜇 𝑥; 𝜎𝑥
2) dan 𝑌1, 𝑌2, …. , 𝑌 𝑚 sampel random dari 𝑁(𝜇 𝑦; 𝜎𝑦
2
), serta
semua X dan Y independen. Maka interval kepercayaan (1 − 𝛼)
100% untuk 𝜎𝑥
2
𝜎𝑦
2
,⁄ adalah](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-129-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 127
[
𝑆 𝑋
2
𝑆 𝑌
2
𝐹 𝑚−1,𝑛−1;𝛼 2⁄ ;
𝑆 𝑥
2
𝑆 𝑦
2
𝐹 𝑚−1,𝑛−1;𝛼 2⁄ ]
Contoh 9
Pandang kembali data Contoh 6. Berdasarkan data ini akan
dihitung interval keperayaan 95% untuk 𝜎𝑥
2
𝜎𝑦
2
,⁄ dengan rumus
dalam Teorema 6.
Dalam contoh 6 telah kita peroleh
𝑆 𝑋
2
= 0,21 ; 𝑆 𝑌
2
= 0,36 ; 𝐹9,9;0,025 = 0,248 ; 𝐹9,9;0,975 = 4,03;
Jadi interval kepercayaan 95% untuk 𝜎𝑥
2
𝜎𝑦
2
,⁄ adalah
[
0,21
0,36
(0,248);
0,21
0,36
(4,03)] = (0,145 ;2,351).
Teorema 7
Misalkan x dan y menunjukkan banyak sukses, masing-
masing dalam n dan m Bernoulli Trials yang berbeda. Misalkan
𝑃 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝑃 𝑌 menunjukkan probabilitas sukses dalam kedua
Bernoulli Trials itu. Maka interval kepercayaan (1 − 𝛼) 100%
untuk ( 𝑃 𝑋 − 𝑃 𝑌) adalah
[
𝑥
𝑛
−
𝑦
𝑚
− 𝑍 𝛼 2⁄
√
𝑥
𝑛
(1 −
𝑥
𝑛
)
𝑛
+
𝑦
𝑚
(1 −
𝑦
𝑚
)
𝑚
;
𝑥
𝑛
−
𝑦
𝑚
+ 𝑍 𝛼 2⁄
√
𝑥
𝑛
(1 −
𝑥
𝑛
)
𝑛
+
𝑦
𝑚
(1 −
𝑦
𝑚
)
𝑚
]
Contoh 10](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-130-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 128
Pandang kembali data Contoh 7. Berdasarkan data itu akan
kita hitung interval kepercayaan 90% untuk ( 𝑃 𝑋 − 𝑃 𝑌) dengan
rumus dalam Teorema 7.
Dari contoh 7 telah kita peroleh
𝑥
𝑛
=
23
100
= 0,23 ;
𝑦
𝑚
=
52
200
= 0,26
Dari table distribusi normal standar kita peroleh
𝑍0,05 = 1,64
Selanjutnya
√
𝑥
𝑛
(1 −
𝑥
𝑛
)
𝑛
+
𝑦
𝑚
(1 −
𝑦
𝑚
)
𝑚
= √
(0,23)(0,77)
100
+
(0,26)(0,74)
200
= (−0,0715 ; 0,0115)
E. Penjabaran Uji t Dua Sampel
Ruang parameter 𝜔 𝑑𝑎𝑛 𝛺 adalah
𝜔 = {(𝜇 𝑥, 𝜇 𝑦, 𝜎2
) ∶ −∞ < 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 < ∞,0 < 𝜎2
< ∞}
Dan
𝛺 = {(𝜇 𝑥, 𝜇 𝑦, 𝜎2
) ∶ −∞ < 𝜇 𝑥 < ∞, −∞ = 𝜇 𝑦 < ∞, 0 < 𝜎2
< ∞}
Karena semua X dan Y independen (dan normal), maka
𝐿( 𝜔) = ∏ 𝑓( 𝑥 𝑖)𝑛
𝑖−1 ∏ 𝑓(𝑦𝑗)𝑛
𝑗=1
= (
1
√2𝜋𝜎2
)
𝑛+𝑚
𝑒𝑥𝑝 [−
1
2𝜎2
{∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇)2
+ ∑(𝑦𝑗 − 𝜇)
2
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
}]
Dengan 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 = 𝜇. Jika kita ambil log 𝐿(𝜔) dan kita
selesaikan sistem persamaan 𝜕 log 𝐿(𝜔) 𝜕𝜇 = 0⁄ dan
𝜕 log 𝐿(𝜔) 𝜕𝜎2
= 0⁄](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-131-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 129
Kita peroleh PML :
𝜇̂ =
∑ 𝑥 𝑖+∑ 𝑦𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑛+𝑚
𝜎2̂ =
∑ ( 𝑥 𝑖−𝜇̂ )2
+∑ ( 𝑦𝑗 −𝜇)
2𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑛+𝑚
PML ini kita substitusikan ke 𝐿(𝜔), kita peroleh
𝐿( 𝜔̂) = (
𝑒−1
2𝜋𝜎2̂ )
𝑛+𝑚 2⁄
Fungsi likelihood ruang parameter Ω adalah
𝐿( 𝛺) = (
1
√2𝜇𝜎2
)
𝑛+𝑚
𝑒𝑥𝑝[−
1
2𝜎2
{∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇 𝑥)2
𝑛
𝑖=1
+ ∑(𝑦𝑗 − 𝜇 𝑦)
2
𝑛
𝑗=1
}]
Menyelesaikan
𝜕 log 𝐿(𝛺)
𝜕𝜋 𝑥
= 0 ;
𝜕 log 𝐿(𝛺)
𝜕𝜋 𝑦
= 0 ;
𝜕 log 𝐿(𝛺)
𝜕𝜎2
= 0
Memperoleh PML :
𝜇 𝑥̂ = 𝑥̅ ; 𝜇 𝑦̂ = 𝑦̅ ; 𝑑𝑎𝑛
𝜎 𝛺
2̂ =
∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2
+ ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅)
2𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑛 + 𝑚
Substitusikan ke dalam 𝐿 ( 𝛺) kita peroleh :
𝐿 (𝛺̂) = (
𝑒−1
2𝜋𝜎 𝛺
2
)
𝑛+𝑚 2⁄
Sehingga
λ =
𝐿( 𝜔̂ )
𝐿 ( 𝛺̂)
= (
𝜎 𝛺
2
𝜎̂ 2 )
𝑛+𝑚 2⁄
Atau](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-132-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 130
𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
=
∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2
+ ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅)
2𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
∑ [𝑥 𝑖 − (
𝑛𝑥̅ + 𝑚𝑦̅
𝑛 + 𝑚
)]
2
+ ∑ [𝑦𝑗 − (
𝑛𝑥̅ + 𝑚𝑦̅
𝑛 + 𝑚
)]
2
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
Karena
∑ [𝑥 𝑖 − (
𝑛𝑥̅ + 𝑚𝑦̅
𝑛 + 𝑚
)]
𝑛
𝑖=1
2
= ∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)
𝑛
𝑖=1
2
+
𝑚2
𝑛
𝑛 + 𝑚2
( 𝑥̅ − 𝑦̅)
∑[𝑦𝑗 − (
𝑛𝑥̅ + 𝑚𝑦̅
𝑛 + 𝑚
)]
𝑛
𝑗=1
2
= ∑(𝑦𝑗 − 𝑦̅)
𝑚
𝑗=1
2
+
𝑚2
𝑛
𝑛 + 𝑚2
( 𝑥̅ − 𝑦̅)
maka
𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
=
∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2
+ ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅)
2𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)𝑛
𝑖=1
2
+ ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅)𝑚
𝑗=1
2
+
𝑛𝑚
𝑛 + 𝑚
( 𝑥̅ − 𝑦̅)2
𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
=
1
1 +
( 𝑥 − 𝑦)2
[∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)𝑛
𝑖=1
2
+ ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅)𝑚
𝑗=1
2
] (
1
𝑛
+
1
𝑚
)
𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
=
𝑛 + 𝑚 − 2
𝑛 + 𝑚 − 2 +
( 𝑥̅ − 𝑦̅)2
𝑆 𝑝
2 (
1
𝑛 +
1
𝑚)
Dimana 𝑆 𝑝
2
adalah variansi pooled :
𝑆 𝑝
2
=
1
𝑛 + 𝑚 − 2
[∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)
𝑛
𝑖=1
2
+ ∑(𝑦𝑗 − 𝑦̅)
𝑚
𝑗=1
2
]
Maka 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
dapat ditulis
𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
=
𝑛 + 𝑚 − 2
𝑛 + 𝑚 − 2 + 𝑡2
Uji GLR yang menolak H0 : 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 0 < 𝜆 ≤ 𝜆∗
adalah ekivalen dengan menolak H0 apabila 0 < 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
< 𝜆∗∗
. Tapi
kedua criteria itu ekivalen dengan menolak H0 apabila terlalu besar.](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-133-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 137
𝛺 = {( 𝜇 ; 𝜎2) ∶ −∞ < 𝜇 < ∞ ; 0 ≤ 𝜎2
< ∞}
Dibawah 𝜔, PML adalah 𝜇̂ = 𝜇0 𝑑𝑎𝑛 𝜎̂2
=
1
𝑛
∑ ( 𝑥 𝑖 −𝑛
𝑖
𝜇0)2
Dibawah Ω, PML adalah 𝜇̂ = 𝑥̅ 𝑑𝑎𝑛 𝜎̂2
=
1
𝑛
∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛
𝑖
Maka
𝐿( 𝜔̅) = [
√ 𝑛
√2𝜋√∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛
1
]
𝑛
𝑒
−
𝑛
2
𝐿( 𝜔̅) = [
𝑛 𝑒−1
2𝜋 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛
1
]
𝑛
2
Dan
𝐿( 𝛺̅) = [
𝑛𝑒−1
2𝜋 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛
1
]
𝑛
2
Sehingga, likelihood ratio-nya adalah
𝜆 =
𝐿( 𝜔̅)
𝐿( 𝛺̅)
= [
∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2𝑛
1
∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛
1
]
𝑛
2
, 0 < 𝜆 < 1
𝜆 =
𝐿( 𝜔̅)
𝐿( 𝛺̅)
= [
∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2
∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2
]
−
𝑛
2
Kita tulis
∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2
=
𝑛
1
∑[( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅) + (𝑥̅ − 𝜇0)]2
𝑛
1](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-140-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 138
∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2
=
𝑛
1
∑[( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅) + 𝑛(𝑥̅ − 𝜇0)]2
𝑛
1
Dengan demikian,
𝜆 = [1 +
𝑛(𝑥̅ − 𝜇0)2
∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2𝑛
1
]
−
𝑛
2
𝜆 = [1 +
𝑡2
𝑛 − 1
]
−
𝑛
2
Dengan
𝑡 =
𝑥̅ − 𝜇0
𝑠 √ 𝑛⁄
~𝑡 𝑛−1
Perhatikan bahwa jika t2 naik, maka λ turun. Ini berarti
bahwa uji GLR yang harus menolak H0 jika λ terlalu kecil
(misalkan < 𝜆∗
) adalah ekuivalen dengan menolak H0 apabila t2
terlalu besar. Tetapi, karena 𝑡 ~ 𝑡 𝑛−1, terlalu besar berarti t2 teralu
besar berarti 𝑡2
≥ (𝑡( 𝑛−1);
𝛼
2
)
2
0 < 𝜆 ≤ 𝜆∗
↔ 𝑡2
≥ (𝑡( 𝑛−1);
𝛼
2
)
2
Dan
𝑡2
≥ (𝑡( 𝑛−1);
𝛼
2
)
2
↔ 𝑡 < 𝑡( 𝑛−1);
𝛼
2
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 > 𝑡( 𝑛−1);
𝛼
2](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-141-2048.jpg)
![Inferensi Dengan Dua Sampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 157
H0 tidak harus benar, statistic penguji ini berbentuk seperti
dibawah ini.
1)
𝑋̅−𝑌̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦)
𝑆 𝑝√
1
𝑛
−
1
𝑚
~ 𝑡 𝑛+𝑚−2
2)
𝑆 𝑦
2
𝜎 𝑦
2⁄
𝑆 𝑥
2
𝜎 𝑦
2⁄
~ 𝐹𝑚−1 ; 𝑛−1
3)
𝑥
𝑛
−
𝑦
𝑚
−( 𝑝 𝑋− 𝑝 𝑌)
√
𝑥
𝑛
(1−
𝑥
𝑛
)
𝑛
+
𝑦
𝑚
(1−
𝑦
𝑚
)
𝑚
~ 𝑁(0 ;1), pendekatan
5. Dari penjabaran Uji t 2 sampel di ata dapat disimpulkan bahwa
:
Dimana 𝑆 𝑝
2
adalah variansi pooled :
𝑆 𝑝
2
=
1
𝑛 + 𝑚 − 2
[∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)
𝑛
𝑖=1
2
+ ∑(𝑦𝑗 − 𝑦̅)
𝑚
𝑗=1
2
]
Maka 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
dapat ditulis
𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
=
𝑛 + 𝑚 − 2
𝑛 + 𝑚 − 2 + 𝑡2
Uji GLR yang menolak H0 : 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 0 < 𝜆 ≤
𝜆∗
adalah ekivalen dengan menolak H0 apabila 0 <
𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄
< 𝜆∗∗
. Tapi kedua kriteria itu ekivalen dengan
menolak H0 apabila terlalu besar. Jadi, aturan keputusan dalam
bentuk t2
adalah tolak H0 : 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 (dan menerima Hi : 𝜇 𝑥 ≠
𝜇 𝑦 ) apabila t∗2
. Atau menolak H0 apabila
𝑡 ≥ 𝑡∗
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 ≤ −𝑡∗
Dengan 𝑃(−𝑡∗
< 𝑡 < 𝑡∗| 𝐻0 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝛼
Karena 𝑡 ~ 𝑡 𝑛+𝑚−2, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑡∗
= 𝑡 𝑛+𝑚−2 ; 𝛼 2⁄](https://image.slidesharecdn.com/makalahstatmat-181220073219/75/Makalah-statmat-160-2048.jpg)
More Related Content
Makalah statmat
- 1. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II i KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan rahmat, taufik serta hidayah-Nya kepada kami. Sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Inferensi Dengan Dua Sampel” Dalam penyelesaian makalah ini, tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini kami mengucapkan terima kasih kepada : 1. Drs. J.R. Watulingas, MM selaku dosen pembimbing mata kuliah Statistika Matematika II yang telah membimbing dengan penuh ketelitian dan kesabaran. 2. Kedua orang tua kami yang telah mendidik dan memberikan doa restu. 3. Teman-teman kami terutama kelas A Pendidikan Matematika Angkatan 2015 4. Seluruh staff perpustakaan Universitas Mulawarman yang memfasilitas dalam pinjaman buku-buku. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu kritik dan saran yang bersifat membangun, sangat kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penyusun khususnya dan pemerhati pendidikan pada umunya serta merupakan sebuah wujud pengabdian kita kepada Allah SWT. Samarinda, 16 Oktober 2018 Kelompok 7
- 2. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II ii DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...................................................................................i DAFTAR ISI................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN ............................................................................1 A. Latar Belakang................................................................................1 B. Rumusan Masalah ........................................................................40 C. Tujuan...........................................................................................40 D. Manfaat.........................................................................................40 BAB II PEMBAHASAN ...........................................................................41 A. Uji t Dua Sampel : Menguji 𝑯𝟎:𝝁𝒙 = 𝝁𝒚 .................................42 1. Inferensi Statistik ......................................................................42 2. Inferensi Statistik Mean Satu Populasi .....................................47 3. Inferensi Proporsi......................................................................48 4. Inferensi Dua Rata-rata .............................................................49 5. Student t Test (Uji t)..................................................................51 6. Pengujian Hipotesis dengan sampel Ganda ..............................60 B. Uji f : Menguji H0 : 𝜶𝟐X = 𝜶𝟐Y....................................................76 1. Jenis Uji Hipotesa .....................................................................79 2. Uji Hipotesa Terhadap Rata-rata...............................................79 3. Uji Hipotesa Rata-rata dengan σ Diketahui..............................80
- 3. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II iii 4. Uji Hipotesa Rata-Rata Dengan σ tidak diketahui....................80 5. Uji Hipotesa terhadap Varians ..................................................80 C. Data Binomial : Uji H0 : 𝑷𝑿 = 𝑷𝒀...............................................81 1. Uji Binomial............................................................................102 2. Ciri-ciri Distribusi Binomial...................................................103 3. Perkiraan Pada Parameter .......................................................107 4. Metode Perkiraan Moment......................................................108 5. Test Of Overdispersion...........................................................112 6. The Bayesian Approach..........................................................115 D. Interval Kepercayaan untuk Masalah Dua Sampel ....................120 1. Interval Kepercayaan pada MCNP .........................................120 2. Interval Kepercayaan Untuk Masalah Dua Sampel................125 E. Penjabaran Uji t Dua Sampel .....................................................128 2. Uji t Satu Sampel ....................................................................136 3. Uji t Dua Sampel.....................................................................140 4. Menguji Hipotesis...................................................................146 BAB III PENUTUP..................................................................................152 A. Kesimpulan.................................................................................152 B. Saran...........................................................................................158 DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................159
- 4. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang mengumpulkan, menyusun, mengolah, menganalisis, menyimpulkan, dan menyajikan data hasil penelitian. Sementara statistik adalah data hasil olahan dan analisis. Data (bentuk jamak) adalah keterangan suatu obyek yang diteliti. Sementara datum (bentuk tunggal) adalah keterangan suatu obyek yang diteliti. Data terbagi menjadi dua, yaitu data Numerik (kuantitas) dan data Kategori (kualitas. Data numerik adalah data berupa hasil pengukuran atau penghitungan. Sementara data kategori adalah data yang bukan berupa angka. Pengumpulan data dilakukan dengan : 1. Mencacah/menghitung 2. Mengukur 3. Mengunakan tally atau turus Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang
- 5. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 2 popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus").Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher
- 6. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 3 (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika. Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Model regresi merupakan komponen penting dalam beberapa analisis data dengan menggambarkan hubungan antara variabel respon dan satu atau beberapa variabel bebas. Pada umumnya analisis regresi digunakan untuk menganalisis data dengan variabel respon berupa data kuantitatif. Akan tetapi dalam kehidupan sehari-hari sering ditemui kasus dengan variabel responnya bersifat kualitatif, seperti keputusan
- 7. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 4 memilih “ya” atau “tidak”. Untuk menyelesaikan kasus ini dapat digunakan model probit. Perlu disadari kehadiran statistika pada masa sekarang dan masa akan datang sudah tidak bisa ditawar-tawar lagi. Statistika adalah salah satu yang sangat penting untuk menunjang penelitian. Kualitas dan kuantitas penelitian sangat menunjang keberhasilan pembangunan pada umumnya dan khususnya dalam mengambil kebijaksanaan atau kesimpulan-kesimpulan, disamping faktor-faktor penunjang lainnya. Sedangkan statistik dipergunakan untuk menyatakan kumpulan data, bilangan maupun non-bilangan yang disusun dalam suatu sajian data seperti tabel, diagram, grafik dan lain-lain. Statistik yang menjelaskan sesuatu hal secara umum diberi nama statistik mengenai hal yang bersangkutan. Contoh statistik penduduk suatu kabupaten/ kota pada tahun tertentu, statistik pendidikan daerah pada tahun tertentu, statistik kelulusan dan lain-lain yang disajikan dalam diagram batang, garis, tabel-tabel presentasi atau yang lain, dengan tujuan agar sajian data menarik bagi pembaca dalam melihat kumpulan data. Statistika dalam penelitian mempunyai peranan sangat penting yaitu untuk perumusan masalah, menentukan hipotesis, menentukan besar sampel, menentukan benar atau tidaknya kesimpulan hasil penelitian dan lain sebagainya berdasarkan atas kumpulan data. Penarikan kesimpulan hasil penelitian juga sangat tergantung pada perhitungan-perhitungan dan jenis uji statistika yang dipergunakan.
- 8. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 5 Statistika lebih spesifik dipergunakan dalam riset penelitian yang merupakan suatu pengetahuan tersendiri. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisan data dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan analisis data yang dilakukan. Di dalam statistika matematika, yang merupakan dasarnya adalah teori probabilitas, ada empat konsep dasar peluang, antara lain adalah eksperimen, hasil, ruang sampel, kejadian. Penerapan metode peluang untuk menganalisis dan menginterpretasikan data empiris dikenal sebagai inferensi statistik. Secara lebih spesifik, inferensial staistik dapat diartikan sebagai proses pengambilan kesimpulan (atau generalisasi) dari suatu sampel tertentu, yakni dari suatu himpunan dan observasi, untuk populasi teoritis dari mana sampel itu diambil. Bentuk generalisasi itu dapat sangat berbeda- beda tergantung situasinya; mungkin berbentuk taksiran satu nilai tertentu (taksiran interval), atau bahkan jawaban dikolomi ya atau tidak (uji hipotesis). Kebanyakan model probabilitas, terutama yang cukup luas nilai penggunaanya, tergantung pada beberapa konstan yang dikenal dengan nama parameter. Dalam banyak masalah, keluarga model probabilitassyang menggambarkan suatu fenomena biasanya dianggap diketahui. Tetapi anggota tertentu dari keluarga itu yang dipandang paling tepatmenggambarkan fenomena tersebut mungkin sekali tidak
- 9. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 6 diketahui.dalam hal ini perlu ditaksir berdasarkan data yang diambildari fenomena itu. Model probit merupakan model non linier yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara satu variabel respon dan beberapa variabel bebas, dengan variabel responnya berupa data kualitatif dikotomi yaitu bernilai 1 untuk menyatakan keberadaan sebuah karakteristik dan bernilai 0 untuk menyatakan ketidakberadaaan sebuah karakteristik. Model probit dengan satu variabel respon dapat dikembangkan menjadi model probit dengan menggunakan dua variabel respon, model ini disebut model probit bivariat. Model probit bivariat menggunakan dua variabel dikotomi sebagai variabel responnya, sedangkan variabel bebasnya dapat berupa variabel yang bersifat diskrit maupun variabel yang bersifat kontinu dan juga dapat berupa variabel kualitatif yaitu variabel nominal atau ordinal. Salah satu contoh kasus probit bivariat adalah penelitian yang dilakukan oleh Pindyck dan Rubinfield pada tahun 1973 di kota Troy, Michigan, Amerika Serikat tentang keputusan suatu keluarga apakah akan membelanjakan uangnya untuk membiayai salah seorang anaknya ke sekolah negeri atau akan membelanjakan uangnya untuk membayar pajak properti. Variabel yang diamati adalah pendapatan, pajak kekayaan, dan lama menetap dalam lingkungan tersebut. Akan diselidiki apakah variabel pendapatan, pajak kekayaan, dan lama menetap dalam lingkungan tersebut mempengaruhi keputusan seseorang lebih memilih membelanjakan uangnya untuk membiayai
- 10. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 7 salah seorang anaknya ke sekolah negeri atau memilih membelanjakan uangnya untuk membayar pajak properti (Greene,1984). Karena dalam kasus tersebut data yang disajikan berupa data kualitatif, dan variabel responnya terdiri dari dua variabel maka untuk menganalisis hubungan antar variabelnya menggunakan pendekatan model probit bivariat. Hitungan-hitungan atas sampel disebut statistik, dalam statistik harus ada pengukuran sehingga dapat dihitung. Sedangkan cara pengambilan sampel disebut teknik sampling, yaitu menentukan sampel yang akan digunakan dalam penelitian. Proses pengukuran dapat diturunkan dari pengertian teori yang lebih dikaitkan pada filosofi kemudian pada pengertian operasional (menjabarkan pengertian teori dengan dimensi-dimensi untuk dapat diukur, dapat dibaca melalui indikator) dan indikator yang diukur ini merupakan operasional dari data. Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Model regresi merupakan komponen penting dalam beberapa analisis data dengan menggambarkan hubungan antara variabel respon
- 11. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 8 dan satu atau beberapa variabel bebas. Pada umumnya analisis regresi digunakan untuk menganalisis data dengan variabel respon berupa data kuantitatif. Akan tetapi dalam kehidupan sehari-hari sering ditemui kasus dengan variabel responnya bersifat kualitatif, seperti keputusan memilih “ya” atau “tidak”. Untuk menyelesaikan kasus ini dapat digunakan model probit. Perlu disadari kehadiran statistika pada masa sekarang dan masa akan datang sudah tidak bisa ditawar-tawar lagi. Statistika adalah salah satu yang sangat penting untuk menunjang penelitian. Kualitas dan kuantitas penelitian sangat menunjang keberhasilan pembangunan pada umumnya dan khususnya dalam mengambil kebijaksanaan atau kesimpulan-kesimpulan, disamping faktor-faktor penunjang lainnya. Sedangkan statistik dipergunakan untuk menyatakan kumpulan data, bilangan maupun non-bilangan yang disusun dalam suatu sajian data seperti tabel, diagram, grafik dan lain-lain. Statistik yang menjelaskan sesuatu hal secara umum diberi nama statistik mengenai hal yang bersangkutan. Contoh statistik penduduk suatu kabupaten/ kota pada tahun tertentu, statistik pendidikan daerah pada tahun tertentu, statistik kelulusan dan lain-lain yang disajikan dalam diagram batang, garis, tabel-tabel presentasi atau yang lain, dengan tujuan agar sajian data menarik bagi pembaca dalam melihat kumpulan data. Statistika dalam penelitian mempunyai peranan sangat penting yaitu untuk perumusan masalah, menentukan hipotesis,
- 12. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 9 menentukan besar sampel, menentukan benar atau tidaknya kesimpulan hasil penelitian dan lain sebagainya berdasarkan atas kumpulan data. Penarikan kesimpulan hasil penelitian juga sangat tergantung pada perhitungan-perhitungan dan jenis uji statistika yang dipergunakan. Statistika lebih spesifik dipergunakan dalam riset penelitian yang merupakan suatu pengetahuan tersendiri. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisan data dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan analisis data yang dilakukan. Pengukuran-pengukuran pada jajaran operasional, dari skala pengukuran dapat mengenal beberapa skala pengukuran data yaitu nominal, ordinal, interval dan rasio. Penurunan skala pengukuran data dari rasio ke nominal dalam penelitian akan mengalami kerugian, kerugian yang dimaksud antara lain ketelitian dalam mencari data, kerugian dalam hal nilai dan kerugian dalam hal kemaknaan data, secara jelas yang dimaksudkan masing-masing skala-skala pegukuran itu adalah: 1. Nominal a. Penggolongan Jika didalam pengukuran skala yang hanya mampu mengelompokkan atau menggolongkan atas pengamatan. Ciri- ciri tertentu tidak mempunyai praduga yang satu lebih tinggi
- 13. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 10 dari yang lain, skala paling sederhana tidak mampu memberi jenjang yang baik. 2. Ordinal a. Penggolongan b. Urutan Artinya skala disamping memberi pengelompokan terhadap respon juga dapat memberi urutan pada respon. Urutan menunjukkan tingkatan bahwa satu lebih tinggi dari yang lain, yang satu lebih baik dari yang lain. Urutan yang dipakai disebut skala ordinal. Misal: sangat setuju, setuju, kurang setuju, . . . kemudian diberi skor menurut yang tertinggi (5, 4, 3, 2, 1). Bahwa sangat setuju lebih tinggi daripada kurang setuju dalam pendapat. Kasus nilai terdapat nilai A, B, C, D, E bahwa nilai A lebih baik dari nilai B, nilai B, lebih baik dari nilai C dan seterusnya. 3. Interval a. Penggolngan b. Urutan c. Jarak dua titik skala Artinya disamping mampu memberi pengelompokan dan mampu memberi urutan, dapat pula memberikan jarak dua titik yang sama atau dapat dilihat dari nilai nol yang didapat,
- 14. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 11 tidak ada nol murni (nilai nol relatif). Misal: Jarak antara tahun 1970 - 1980 - 1990 Mahasiswa ketika ujian mendapat nilai 0 dalam mata kuliah statistika, apakah yang bersangkutan sama sekali tidak tahu tentang statistika yang telah diterima, jawabnya tentu tidak. a. Rasio b. Penggolongan c. Urutan d. Jarak dua tiytik skala e. Titik nol murni Artinya mirip dengan skala interval hanya berbeda pada titik nol murni. Nilai nol menjadi syarat mutlak dalam skala pengukuran data dalam bentuk rasio. Macam-macam variabel (cara mengukur): 1. Kontinu 2. Diskrit Variabel kontinu adalah variabel yang memungkinkan memiliki nilai antara dari dua nilai yang sudah diskrit, variabel diperoleh dengan jalan pengukuran. Contoh: tinggi badan, berat badan.Variabel diskrit adalah variabel yang memiliki nilai-nilai genap (yang dinyatakan dengan bilangan bulat), variabel ini didapat dari menghitung atau membilang).
- 15. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 12 Statistika dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu statistika deskriptif dan statistika analitik atau statistika inferensial. Statistika deskriptif adalah statistika yang berfungsi untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran terhadap objek yang diteliti melalui data sampel atau populasi sebagaimana adanya, tanpa melakukan analisis dan membuat kesimpulan yang berlaku untuk umum. Statistika deskriptif adalah statistika yang membahas cara-cara penyajian data, sehingga data-data tersebut mudah dimengerti oleh pembaca. Data tersebut misalnya disajikan dalam bentuk grafik, diagram, kurva, tabel biasa maupun distribusi frekuensi dan lain sebagainya. Disamping itu statistika deskriptif dapat menyajikan kecenderungan pemusatan data dalam bentuk rata-rata (means), modus dan median. Selain itu, penyebaran data dalam bentuk range, standar deviasi, variansi dan lain sebagainya, juga dibahas dalam statistika deskriptif. Pada statistika deskriptif perlu adanya suatu hipotesis dan tidak dapat menarik kesimpulan data dari contoh terhadap populasi. Statistika analitik adalah statistika yang membahas tentang cara-cara analisis data untuk membuktikan benar salah suatu hipotesis yang telah dirumuskan, sehingga karakteristik data contoh tersebut dapat menyimpulkan karakteristik populasi. Statistika inferensial adalah statistika yang dengan segala informasi dari sampel digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai karakteristik populasi dari mana sampel itu diambil. Untuk menarik kesimpulan tersebut dapat
- 16. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 13 dilakukan dengan dua cara, yaitu penaksiran parameter dan pengujian hipotesis. Statistika analitik dapat dikelompokkan menjadi statistika parametrik dan statistika nonparametrik. Statistika parametrik akan menganalisis data yang berbentuk kuantitatif dengan skala data berbentuk rasio atau interval dan perolehan data secara kontinu atau secara diskrit. Persyaratan lain untuk statistika parametrik adalah penyebaran data diketahui menyebar normal. Teknik-teknik ini berhubungan dengan estimasi parameter populasi serta pengujian hipotesis yang berhubungan dengan parameter tersebut, misalnya nilai rata-rata (µ), varians (σ2), banyaknya data pengamatan N. Statistika nonparametrik umumnya menganalisis data yang berbentuk kualitatif dengan skala ordinal dan nominal atau kategorial. Selain itu dapat juga menganalisis data kuantitatif dengan skala rasio atau interval, tetapi data tidak menyebar normal. Statistika nonparametrik disebut sebagai statistika bebas sebaran. Dalam menganalisis data sering terjadi kekeliruan dalam memperhitungkan data. Penggunaannya disebut pula taraf signifikan atau taraf nyata. Besar kecilnya dan yang dapat diterima dalam pengambilan keputusan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan. Kebanyakan model probabilitas, terutama yang cukup luas nilai penggunaanya, tergantung pada beberapa konstan yang dikenal dengan nama parameter. Dalam banyak masalah, keluarga model
- 17. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 14 probabilitassyang menggambarkan suatu fenomena biasanya dianggap diketahui. Tetapi anggota tertentu dari keluarga itu yang dipandang paling tepatmenggambarkan fenomena tersebut mungkin sekali tidak diketahui.dalam hal ini perlu ditaksir berdasarkan data yang diambildari fenomena itu. Biasanya digunakan lambang μ dan σ untuk parameter mean dan deviasi standar distribusi normal, sedangkan untuk distribusi binomial, diunakan lambang n dan p masing-masing untuk parameter banyak kali usaha (trial) dan peluang sukses dalam tiap usaha. Namun, untuk membicarakan masalah penaksir parameter pada umumnya di gunakan huruf Yunani θ (theta) sebagai lambang parameter. Jadi, f(x;θ1, . . . , θk) akan menunjukkan fungsi probabilitas dengan k parameter (diketahui ataupun tidak) θ1, . . . , θk. Kebanyakan masalah yang dihadapi biasanya hanya memuat satu parameter. Mengapa banyak analisis statistik yang mengharuskan kita untuk menguji distribusi Normal terlebih dahulu?. Distribusi normal itu distribusi data yang memiliki grafik setangkup (seimbang antara kanan dan kiri/Xmin dan Xmaks), dimana rata-rata (mean) sama dengan modus (nilai yg sering muncul) dan sama dengan median (nilai yang berada di tengah), tidak ada outlier. Ada teori yg bernama "teorima limit pusat" yang menyatakan, semakin banyak data yang diambil akan semakin mendekati ditribusi
- 18. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 15 normal. Untuk itu perlu adanya pengujian distribusi normal atau tidak sebelum menggunakan metode statistika parametrik.Apabila tidak memenuhi distribusi normal, maka bisa ditambah datanya, dilakukan transformasi, atau dapat menggunakan alternative metode statistika non-parametrik. Data dapat diperoleh melalui beberapa cara seperti kegiatan rutin atau kegiatan penelitian. Pembagian data menurut sifat, sumber, cara memperoleh, waktu pengumpulan dapat diberikan contoh masing- masing sendiri menurut klasifikasi tersebut. Syarat data yang baik dan berguna sebagai dasar untuk pembuatan keputusan, agar tidak menimbulkan kesalahan adalah: 1) Data harus objektif, maksudnya data terkumpul sesuai dengan keadaan sebenarnya 2) Data harus bisa mewakili (representative) 3) Kesalahan baku (standart error) harus kecil 4) Ketiga syarat ini merupakan syarat yang bisa dipercaya kebenaran (reliable) akan suatu data. Sedang syarat berikut lebih menunjukkan pada manfaat atau kegunaan data, yaitu: 5) Harus tepat waktu, khususnya dipergunakan sebagai evaluasi atau alat kontrol 6) Harus relevan, maksudnya data terkumpul harus ada hubungan dengan persoalan yang akan dipecahkan
- 19. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 16 Dari kelima syarat diatas tentu tidak hanya data saja yang harus dipenuhi syarat-syaratnya, karena hal ini berkaitan dengan sampel dimana data diambil, sampel yang bagaimana supaya data terambil memenuhi persyaratan di atas, lebih jauh akan dibicarakan tersendiri tentang cara penentuan sampel suatu populasi. Populasi adalah totalitas semua nilai yang mungkin, hasil perhitungan ataupun pengukuran, kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan lengkap dan jelas yang dipelajarai sifat-sifatnya. Populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri atas objek/ subjek yang mempunyai kuantitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya. Satu orang dapat digunakan sebagai populasi, karena satu orang itu mempunyai berbagai karakteristik, contohnya gaya mengajar, gaya bicara, disiplin, cara menyampaikan pendapat, cara bergaul dan lain-lain. Sedangkan sebagian yang diambil dengan karakteristik yang identik dengan populasi disebut sampel. Statistika dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu statistika deskriptif dan statistika analitik atau statistika inferensial. Statistika deskriptif adalah statistika yang berfungsi untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran terhadap objek yang diteliti melalui data sampel atau populasi sebagaimana adanya, tanpa melakukan analisis dan membuat kesimpulan yang berlaku untuk umum. Statistika deskriptif adalah statistika yang membahas cara-cara
- 20. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 17 penyajian data, sehingga data-data tersebut mudah dimengerti oleh pembaca. Data tersebut misalnya disajikan dalam bentuk grafik, diagram, kurva, tabel biasa maupun distribusi frekuensi dan lain sebagainya. Disamping itu statistika deskriptif dapat menyajikan kecenderungan pemusatan data dalam bentuk rata-rata (means), modus dan median. Selain itu, penyebaran data dalam bentuk range, standar deviasi, variansi dan lain sebagainya, juga dibahas dalam statistika deskriptif. Pada statistika deskriptif perlu adanya suatu hipotesis dan tidak dapat menarik kesimpulan data dari contoh terhadap populasi. Bila populasi besar dengan peneliti tidak mungkin mempelajari semua yang ada pada populasi, karena keterbatasan dana, tenaga dan waktu, maka peneliti dapat menggunakan sampel itu, kesimpulan yang akan diambil dari populasi itu. Sampel terambil harus representatif dalam arti segala karakteristik populasi hendaknya dicerminkan pula dalam sampel yang terambil. Statistika adalah sekumpulan angka yang berguna bagi pemerintahan saja, namun telah mencakup penelitian diberbagai bidang seperti ekonomi, pertanian, sains, dan sebagainya. Statistika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari metode pengumpulan, pengolahan, penaksiran dan penarikan kesimpulan dari data yang berupa angka-angka. Statistika dibagi menjadi dua yaitu statistika deskriptif dan statistika induktif/ statistika zinferensi. Statistika deskriptif adalah
- 21. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 18 bagian dari statistika yang membahas tentang penyusunan data ke dalam daftar atau jadwal. Sedangkan statistika induktif/ statistika zinferensi adalah bagian dari statistika yang mencakup semua aturan dan metode yang dapat dipakai sebagai alat untuk menarik kesimpulan yang berlaku secara umum dari data yang telah disusun dan diolah sebelumnya. Peranan Statistika yaitu dalam kehidupan dan penelitian ilmiah. Statistika sebagai alat utama dalam penelitian untuk mendapatkan pengetahuan ilmiah. Statistika pada prinsipnya adalah mempelajari tentang pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan data, serta penarikan simpulan berdasarkan hasil analisis data. Menurut Steel dan Torrie (1980), statistika sebagai alat yang dapat diterapkan dalam metode ilmiah. Penerapannya ialah pada semua bidang ilmu, dan peneliti menetapkan sendiri masalah apa yang akan diteliti sesuai bidang ilmunya. Pengguna statistika, seringkali lupa bahwa mereka harus berpikir tentang masalah penelitiannya, karena statistika tidak dapat berpikir untuk mereka. Dalam penerapan statistika, masih ada pemahaman yang keliru, yakni para pengguna lebih menekankan kepada uji statistika yang digunakan daripada prosedur lainnya, terutama prosedur pengumpulan data. Cara memperoleh data yang benar serta kualitas data yang baik dan benar, akan sangat menentukan kualitas hasil penelitian. Oleh karena itu, data sebagai sumber utama informasi yang akan dianalisis haruslah tepat dan benar. Ada anggapan yang keliru
- 22. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 19 bahkan menyesatkan, yaitu data yang tidak benar apabila dianalisis dengan analisis data yang benar bahkan dengan menggunakan komputer, maka hasilnya akan menjadi benar. Anggapan ini sangat menyesatkan, bahkan mendorong peneliti untuk memanipulasi data guna memenuhi kepentingannya. Sesungguhnya, dalam analisis data juga berlaku prinsip gi-go (garbage in – garbage out). Bila yang di- input data sampah (bohong), maka hasil analisisnya juga bohong. Dalam menentukan jenis analisis data (uji statistika) yang akan digunakan, peneliti hendaknya menyesuaikan dengan tujuan penelitian. Statistika sebagai alat analisis harus digunakan secara tepat, agar diperoleh hasil penelitian yang benar serta dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Sebagai ilustrasi sederhana tentang penggunaan alat yang tepat, katakanlah seorang ibu ingin membersihkan ikan selar (tude) sebelum dimasak. Ibu tersebut diperhadapkan dengan beberapa pilihan alat yang akan digunakan, sebut saja: parang, sabel, pisau, silet, gergaji, keris, dan sebagainya. Kita mungkin tertawa mendengar pilihan alat tersebut, karena kita sudah tahu bahwa pisau-lah yang paling tepat. Keadaan seperti ini mungkin saja pernah atau akan kita hadapi, ketika menganalisis data, apabila kita tidak tahu persis alat analisis yang digunakan. Oleh karena itu, pengetahuan dasar tentang statistika, sebaiknya diketahui setiap peneliti ataupun ilmuwan. Metode Statistika adalah seperangkat alat dalam penelitian. Oleh karena itu, pemilihan dan penggunaannya harus tepat dan benar.
- 23. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 20 Metode uji statistika yang digunakan harus cocok dengan tujuan pengujian dan skala datanya. Selain itu, penarikan simpulan harus benar dan asumsi-asumsi yang mendasari metode uji harus dipenuhi. Statistika memberikan cara untuk dapat menarik simpulan yang bersifat umum dengan jalan mengamati hanya sebagian dari populasi, yang disebut sampel (contoh). Selain itu, statistika juga memberikan kemampuan kepada kita untuk mengetahui apakah benar ada suatu hubungan sebab-akibat atau perbedaan antara dua atau lebih faktor, ataukah hubungan atau perbedaan tersebut hanya secara kebetulan saja. Statistika inferensial digunakan untuk membantu menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang asing dan kompleks yang ditemukan di kehidupan sehari-hari. Contohnya, ketika anda membeli atau meminjam sebuah mobil, pertama yang anda lakukan adalah memeriksa kenormalan suara dan vibrasi (getaran) mesin, khususnya pada mobil yang tipe lama dengan banyaknya suara yang berderik dan mencicit. Setelah, mengetahui tipe apa, anda dapat mendeteksi suara yang halus tetapi tidak normal seperti pada pengereman dan poros roda. Kemudian baru bawa ke bengkel. Montir bengjel akan menentukan mana yang mengalami ketidak-normalan dan mengapa bisa terjadi? Bagaimana mereka bisa mengetahuinya? Mungkin dari seringya mereka memperbaiki banyak mobil. Beberapa mobil yang normal sangat tenang, beberapa yang lain sangat rebut, meskipun kelihatannya baik-baik saja, tetapi padahal lebih dari hanya rebut. Montir bengkel mengetahui permasalahan jenis
- 24. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 21 apa yang ada pada mobil anda? Montir membawa mobil aanda untuk pengujian kendaraan tetapi hanya dibatasi waktu lima menit karena pelanggan yang lain menunggu ini adalah satu contoh kecil untuk mengambil keputusan dengan suatu permasalahn yang tidak normal. Ketika kita harus mengambil keputusan dengaan sedikit informasi dari pada yang diharapkan. Dari contoh ini, dengan waktu hanya lima menit pengujian kendaraan, montir harus memutuskan jenis kebisingan apa yang menjadi penyebab rebut pada mobil itu. Dia mempergunakan estimasi (perkiraan), menduga nilai populasi dari suatu sample yaitu dari ketidaknormalan suara-suara mobil sepanjang pengetahuannya mengenai kendaraan yang normal. Dugaan berikutnya, apakah kebisingan suara mobil itu merupakan bagian poopulasi dari suara mesin mobil yang sebut atau bagaian populasi dari mobil yang mengalami kerusakan pada poros roda. Kerusakan pada poros roda merupakan suatu masalah yang serius jika dibandingkan akan memungkinkan terjadinya kecelakaan. Interval kepercayaan sama seperti menemukan nilai kebenaran suatu pengukuran. Berikut ini ilustrasi dari sebaran distribusi sample: Li : kemungkinan yang diterima (liberty) B1 : garis bawah kewajaran (borderline) A1 : tidak wajar (atypical) a) Suatu interval kepercayaan adalah daerah yang berada di sekitar statistic sample (seperti rata-rata) yang membuat nilai populasi
- 25. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 22 (contoh: rata-rata populasi) dengan kepercayaan tertentu yang dinyatakan dalam kemungkinan atau sebagai presentase. b) Menentukan luas interval kepercayaan melalui beberapa yakin bahwa nilai kepercayaan yang diambil memenuhi parameter. c) Suatu kepercayaan dinyatakan dengan kemungkinan dari 2 ke 1 yang mengiring 68 persen interval kepercayaan luas standarerror 1: kemingkinan dari 19 ke 1 mengiring 95 persen interval kepercayaan, luas standar error 1.96: dan kemungkinan dari 99 ke 1 mengiring 99 persen interval kepercayaan yang luas standar error 2.58. Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua kekeliruan itu kita nyatakan dalam peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan, dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan. Dalam penggunannya disebut pula taraf signifikan atau taraf nyata. Besar kecilnya dan yang dapat diterima dalam pengambilan keputusan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan- kekelirua. Jika diperkecil, maka menjadi besar dan demikian sebaliknya. Akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan yaitu atau . Dengan misalnya, atau taraf nyata berarti kira- kira yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar, dan mungkin salah dengan peluang. Unutk setiap pengujian dengan yang ditentukan besar dapat dihitung. Harga dinamakan kuasa uji. Ternyata bahwa nilai berbeda untuk harga parameter yang berlainan, jadi
- 26. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 23 bergantung pada parameter., sehingga didapat sebuh fungsi yang bergantung pada. Bentuk dinamakan fungsi cirri operasi. Dan disebut fungsi kuasa. Sebagian besar orang pasti sudah tau bila mendengar kata statistika. Jika ditanya sejak kapan mereka mengenal statistika mungkin sebagian besar orang akan menjawabnya “ oh saat saya mulai sekolah, hmm mungkin sekitar SMP atau SMA”. Tetapi sadarkah Anda, sebenarnya kita mengenal statistika semenjak kita lahir. Tanpa kita sadari saat lahir, kita sudah dikenalkan yang namanya statistika. Hal yang paling sederhana misalnya : berat dan panjang badan kita saat lahir. Namun karena saat itu kita masih sangat kecil dan belum bisa berpikir, dan merasakan apa-apa jadi kita tidak mengetahuinya. Seringkali kita tidak menyadari bahwa dalam kehidupan kita sehari-hari kita seringkali sudah melakukan penelitian, misalnya dalam membeli suatu barang yang berharga mahal seperti komputer, kita tentu saja melakukan penelitian ke toko-toko komputer untuk membandingkan harga, fitur, maupun jaminannya. Sebelum bicara lebih lanjut tentang statistika, kita perlu mencari tau apa sebenarnya statistika itu. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Atau statistika adalah ilmu yang berusaha untuk mencoba mengolah data untuk mendapatkan manfaat berupa keputusan dalam kehidupan.
- 27. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 24 Istilah ’statistika’ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan ’statistik’ (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. Metode statistika adalah metode-metode/prosedur-prosedur untuk pengumpulan, penyajian , analisis, dan kesimpulan dari data. Metode statistika terbagi dua yaitu : a) Statistika deskriptif yaitu berkaitan dengan kegiatan pencatatan dan peringkasan hasil-hasil pengamatan terhadap kejadian-kejadian
- 28. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 25 atau karakteristik-karakteristik manusia, tempat dan sebagainya, secara kuantitatif. b) Statistika inferensial yaitu metode-metode untuk menganalisis sampel dari populasi sehingga dapat ditarik kesimpulan tentang populasi dari sampel tersebut. Populasi dan Sampel Populasi adalah keseluruhan objek psikologis yang menjadi perhatian. Populasi bisa populasi yang terhingga (contohnya : jumlah mahasiswa UNPAD) dan populasi tak terhingga (contohnya : jumlah mahasiswa UNPAD dari dulu hingga sekarang dan nantinya). Sampel adalah himpunan bagian dari populasi. Parameter dan Statistik Parameter adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi Statistik adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri dari sampel Himpunan data adalah kumpulan dari fakta yang dikumpulkan untuk maksudtertentu. Data diskrit : data yang diperoleh dari proses hitungan Data kontinu : data yang diperoleh dari proses pengukuran Karakteristik dari himpunan data adalah : a) Anggota : sekumpulan data terdiri dari sekumpulan dari anggota- anggota untuk masing-masing anggota informasi tentang satu atau lebih karakteristik yang diinginkan.
- 29. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 26 b) Variabel : sebuah karakteristik yang dapat diperoleh dari berbagai kemungkinan hasil yang berbeda-beda. c) Variabel kuantitatif : variabel yang hasilnya berupa angka d) Variabel kualitatif : variabel yang hasilnya hanya atribut. Pengamatan (observasi) : informasi tentang sebuah variabel tunggal untuk sebuah anggota dari sekumpulan data. Statistika parametrik adalah prosedur yang pengujian yang dilakukan berlandaskan distribusi. Salah satu karakteristiknya penggunaan prosedur ini melibatkan asumsi-asumsi tertentu. Contoh dari statistik parametrik adalah analisis regresi, analisis korelasi, analisis varians. Statistika non parametrik adalah prosedur dimana kita tidak melibatkan parameter serta tidak terlibatnya distribusi. Contoh : uji keacakan, uji kecocokan (goodness of fit),dll. Kelebihan statistika non parametric a) Asumsi yang digunakan dalam jumlah yang minimum maka kemungkina penggunaan secara salah juga kecil. b) Untuk beberapa prosedur perhitungan dapat dilakukan dengan mudah secara manual. c) Konsep-konsep dari prosedur ini menggunakan dasar matematika dan statistika yang mudah dipahami. d) Prosedur ini dapat digunakan pada skala ordinal maupun nominal. Kelemahan dari prosedur statistika non parametrik
- 30. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 27 a) Jika suatu kasus yang dapat dianalisis dengan statistika parametrik, kemudian digunakan analisis statistika non parametrik akan menyebabkan pemborosan informasi. b) Meskipun prosedur penghitungannya sederhana, perhitungannya kadang-kadang membutuhkan banyak tenaga dan menjemukan. Kapan prosedur non parametrik digunakan ? a) Bila hipotesis yang harus diuji tidak melibatkan suatu parameter populasi. b) Bila skala pengukuran yang disyaratkan dalam statistika parametrik tidak terpenuhi misalnya skala ordinal dan nominal. c) Skala Pengukuran Data dibedakan menurut skala yang digunakan pada saat melakukan pengukuran. Dengan pengukuran dimaksudkan sebagai upaya memberikan angka numerik terhadap obyek menurut aturan- aturan tertentu. Aturan yang berbeda akan menghasilkan skala yang berlainan sehingga akan memberikan jenis pengukuran yang berbeda. Terdapat empat macam skala pengukuran yang ada yaitu: Skala nominal merupakan skala pengukuran yang paling rendah tingkatannya di antara ke empat skala pengukuran yang lain. Seperti namanya, skala ini membedakan satu obyek dengan obyek lainnya berdasarkan lambang yang diberikan. Oleh karena itu data dalam skala nominal dapat dikelompokkan ke dalam beberapa kategori, dan kepada kategori tersebut dapat diberikan lambang yang sesuai atau sembarang bilangan.
- 31. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 28 Bilangan yang diberikan tidak mempunyai arti angka numerik artinya kepada angka-angka tersebut tidak dapat dilakukan operasi aritmetika, tidak boleh menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi. Bilangan yang diberikan hanyalah berfungsi sebagai lambang yang dimaksudkan hanya untuk membedakan antara data yang satu dengan data yang lainnya. Contoh : Data mengenai barang-barang yang dihasilkan oleh sebuah mesin dapat digolongkan dalam kategori cacat atau tidak cacat. Barang yang cacat bisa diberi angka 0 dan yang tidak cacat diberi angka 1. Data 1 tidaklah berarti mempunyai arti lebih besar dari 0. Data satu hanyalah menyatakan lambang untuk barang yang tidak cacat. Kesimpulan : Bilangan dalam Skala Nominal berfungsi hanya sebagai lambang untuk membedakan, terhadap bilangan-bilangan tersebut tidak berlaku hukum aritmetika, tidak boleh menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, maupun membagi. Hubungan yang membatasi adalah hubungan sama dengan dan tidak sama dengan . Statistik yang sesuai dengan data berskala Nominal adalah Statistik Nonparametrik. Contoh perhitungan statistik yang cocok adalah Modus, Frekuensi dan Koefisien Kontingensi. Skala ordinal Skala pengukuran berikutnya adalah skala pengukuran ordinal. Skala pengukuran ordinal mempunyai tingkat yang lebih tinggi dari
- 32. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 29 skala pengukuran nominal. Dalam skala ini, terdapat sifat skala nominal, yaitu membedakan data dalam berbagai kelompok menurut lambang, ditambah dengan sifat lain yaitu, bahwa satu kelompok yang terbentuk mempunyai pengertian lebih (lebih tinggi, lebih besar,…) dari kelompok lainnya. Oleh karena itu, dengan skala ordinal data atau obyek memungkinkan untuk diurutkan atau dirangking. Contoh : Sistem kepangkatan dalam dunia militer adalah satu contoh dari data berskala ordinal Pangkat dapat diurutkan atau dirangking dari Prajurit sampai Sersan berdasarkan jasa, dan lamanya pengabdian. Jika peneliti merangking data lamanya pengabdian maka peneliti dapat memberikan nilai 1, 2, 3, … , 4 dst masing-masing terhadap seseorang anggota ABRI yang berpangkat Prajurit, Kopral, Sersan, dst. Berbeda dengan skala nominal, angka yang diberikan terhadap obyek tidak semata-mata berlaku sebagai lambang tetapi juga memperlihatkan urutan atau rangking. Kesimpulan: Pada tingkat pengukuran ordinal, bilangan yang didapat berfungsi sebagai : 1. lambang untuk membedakan 2. untuk mengurutkan peringkat berdasarkan kualitas yang telah ditentukan (> atau < ). Pada tingkat pengukuran ordinal kita bisa mengatakan lebih baik/lebih buruk, lebih besar/lebih kecil, tetapi tidak bisa menentukan berapa kali lebih besarnya/lebih buruknya.
- 33. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 30 Statistik yang sesuai dengan data berskala Ordinal adalah Statistik Nonparametrik. Contoh perhitungan statistik yang cocok adalah Median, Persentil, Korelasi Spearman (rs ), Korelasi Thau- Kendall dan Korelasi Thau-Kendall (W). Skala interval Skala pengukuran Interval adalah skala yang mempunyai semua sifat yang dipunyai oleh skala pengukuran nominal, dan ordinal ditambah dengan satu sifat tambahan. Dalam skala interval, selain data dapat dibedakan antara yang satu dengan yang lainnya dan dapat dirangking, perbedaan (jarak/interval) antara data yang satu dengan data yang lainnya dapat diukur. Contoh : Data tentang suhu empat buah benda A, B, C , dan D yaitu masing-masing 20. 30, 60, dan 70 derajat Celcius, maka data tersebut adalah data dengan skala pengukuran interval karena selain dapat dirangking, peneliti juga akan tahu secara pasti perbedaan antara satu data dengan data lainnya. Perbedaan data suhu benda pertama dengan benda kedua misalnya, dapat dihitung sebesar 10 derajat, dst. Namun dalam skala interval, tidak mungkin kita melakukan perbandingan antara satu data dengan data yang lainnya. Kita tidak dapat mengatakan bahwa suhu 60 derajat Celcius dari benda C dan 30 derajat Celcius untuk suhu benda B berarti bahwa benda C 2x lebih panas dari benda B. Hal ini tidak mungkin karena skala interval tidak mempunyai titik nol yang mutlak. Titik nol yang
- 34. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 31 tidak mutlak berarti : benda dengan suhu nol derajat Celcius bukan berarti bahwa benda tersebut tidak mempunyai panas. Kesimpulan : Bilangan pada skala interval fungsinya ada tiga yaitu : a) Sebagai lambang untuk membedakan, b) Untuk mengurutkan peringkat, misal, makin besar bilangannya, peringkat makin tinggi ( > atau <), c) Bisa memperlihatkan jarak/perbedaan antara data obyek yang satu dengan data obyek yang lainnya. Titik nol bukan merupakan titik mutlak, tetapi titik yang ditentukan berdasarkan perjanjian. Statistik yang sesuai dengan data berskala Interval adalah Statistik Nonparametrik dan Statistik Parametrik. Contoh perhitungan statistik yang cocok adalah Rata-rata, Simpangan Baku, dan Korelasi Pearson. Skala rasio Skala rasio merupakan skala yang paling tinggi peringkatnya. Semua sifat yang ada dalam skala terdahulu dipunyai oleh skala rasio. Sebagai tambahan, dalam skala ini, rasio (perbandingan) antar satu data dengan data yang lainnya mempunyai makna. Contoh : Data mengenai berat adalah data yang berskala rasio. Dengan skala ini kita dapat mengatakan bahwa data berat badan 80 kg adalah 10 kg lebih berat dari yang 70 kg, tetapi juga dapat mengatakan
- 35. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 32 bahwa data 80 kg adalah 2x lebih berat dari data 40 kg. Berbeda dengan interval, skala rasio mempunyai titik nol yang mutlak. Kesimpulan : Bilangan pada skala Rasio fungsinya ada tiga yaitu : a) Sebagai lambang untuk membedakan b) Untuk mengurutkan peringkat, misal, makin besar bilangannya, peringkat makin tinggi (> atau < ), c) Bisa memperlihatkan jarak/perbedaan antara data obyek yang satu dengan data obyek yang lainnya. d) Rasio (perbandingan) antar satu data dengan data yang lainnya dapat diketahui dan mempunyai arti. Titik nol merupakan titik mutlak. Statistik yang sesuai dengan data berskala Rasio adalah Statistik Nonparametrik dan Statistik Parametrik. Contoh perhitungan statistik yang cocok adalah Rata-rata kur, Koefisien Variasi dan statistik-statistik lain yang menuntut diketahuinya titik nol mutlak. Kuantitas penelitian sangat menunjang keberhasilan pembangunan pada umumnya dan khusunya dalam mengambil kebijaksanaan atau kesimpulan-kesimpulan, disamping faktor-faktor penunjang lainnya Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisissan data dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu
- 36. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 33 pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasikan seluruh populasi. Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika.
- 37. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 34 Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna. Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya. Populasi merupakan totalitas semua nilai yang mungkin, hasil perhitungan ataupun pengukuran, kuantitaif ataupun kualitatif menegnai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan lengkap dan jelas yang dipelajari sifat-sifatnya. Populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri dari: objek atau subjek yang mempunyai kuantitas dan karakteristik tertentu yang diterapkan oleh peneliti untuk
- 38. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 35 dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya. Satu orang dapat digunakan sebagai populasi karena satu orang itu mempunyai berbagai macam karakteristik, contohnya gaya mengajar, gaya bicara, disiplin, cara menyampaikan pendapat, cara bergaul dan lain-lain. Sedangkan sebagian yang diambil dengan karakteristik yang identik dengan populasi disebut sampel. Bila populasi besar dan peneliti tidak mungkin mempelajari semua yang ada pada populasi, karena keterbatasan dana, tenaga dan waktu, maka peneliti dapat menggunakan sampel itu, kesimpulan yang akan diambil dari populasi itu. Sampel terambil harus representatif, dalam arti segala karakteristik populasi hendaknya dicerminkan pula dalam sampe yang terambil. Statistika merupakan salah satu ilmu yang sangat penting untuk menunjang penelitian. Kualitas dan data dan analisis data yang dilakukan. Statistika matematika merupakan ibu dari segala ilmu yang mendasarkan pada teori probabilitas, bagaikan matematika merupakan ibu dari segala ilmu pengetahuan. Statistika matematika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analitis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Di dalam statistika matematika, yang merupakan dasarnya adalah teori probabilitas, ada empat konsep dasar peluang, antara lain adalah eksperimen, hasil, ruang sampel, kejadian. Penerapan metode peluang untuk menganalisis dan menginterpretasikan data empiris dikenal sebagai inferensi statistik. Secara lebih spesifik, inferensial staistik dapat diartikan sebagai proses
- 39. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 36 pengambilan kesimpulan (atau generalisasi) dari suatu sampel tertentu, yakni dari suatu himpunan n observasi, untuk populasi teoritis dari mana sampel itu diambil. Bentuk generalisasi itu dapat sangat berbeda- beda tergantung situasinya; mungkin berbentuk taksiran satu nilai tertentu (taksiran interval), atau bahkan jawaban dikolomi ya atau tidak (uji hipotesis). Selain itu Statistika dapat diartikan sebagai ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika
- 40. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 37 lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama probabilitas. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi
- 41. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 38 linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika. Meskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi,
- 42. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 39 yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasikan seluruh populasi. Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna.
- 43. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 40 Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya. B. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah 1. Apa itu Uji t dua sampel : Menguji H0 : 𝜇 𝑋 = 𝜇 𝑌 ? 2. Apa itu Uji f : Menguji H0 : 𝛼2 X = 𝛼2 Y ? 3. Apa yang dimaksud Data Binomial : Uji H0 : 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌? 4. Apa yang dimaksud Interval Kepercayaan untuk Masalah Dua Sampel ? 5. Apa itu Penjabaran Uji t Dua Sampel ? C. Tujuan Tujuan dari isi makalah ini adalah untuk mengetahui: 1. Uji t dua sampel : Menguji H0 : 𝜇 𝑋 = 𝜇 𝑌 2. Uji f : Menguji H0 : 𝛼2 X = 𝛼2 Y 3. Data Binomial : Uji H0 : 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌 4. Interval Kepercayaan untuk Masalah Dua Sampel 5. Penjabaran Uji t Dua Sampel D. Manfaat Manfaat yang dapat diperoleh dari makalah ini adalah agar mahasiswa dapat memahami/mengetahui :
- 44. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 41 1. Uji t dua sampel : Menguji H0 : 𝜇 𝑋 = 𝜇 𝑌 2. Uji f : Menguji H0 : 𝛼2 X = 𝛼2 Y 3. Data Binomial : Uji H0 : 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌 4. Interval Kepercayaan untuk Masalah Dua Sampel 5. Penjabaran Uji t Dua Sampel BAB II PEMBAHASAN
- 45. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 42 A. Uji t Dua Sampel : Menguji 𝑯 𝟎: 𝝁 𝒙 = 𝝁 𝒚 1. Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah pengambilan kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan analisa pada sampel. Beberapa hal yang perlu diketahui berhubungan dengan inferensi statistik yaitu estimasi titik, estimasi interval dan uji hipotesis. Estimasi titik adalah menduga nilai tunggal parameter populasi. Estimasi Interval adalah menduga nilai parameter populasi dalam bentuk interval. Uji hipotesis adalah suatu proses untuk menentukan apakah dugaan tentang nilai parameter/karakteristik populasi didukung kuat oleh data sampel atau tidak. Pengertian hipotesis, hipotesis (hypothesis testing) berasal dari kata hip (hypo) yang berarti kurang dari, dan tesis (thesis) berarti pendapat, sehingga hipotesis adalah pendapat yang bersifat sementara yang masih perlu diuji kebenarannya dengan uji hipotesis sehingga didapat thesis (pendapat) yang dapat diyakini kebenarannya. Terdapat beberapa pengertian tentang hipotesis yaitu hipotesis penelitian dan hipotesis statistika. Klasifikasi masing- masing dapat dijelaskan secara singkat sebagai berikut: 1) Hipotesis penelitian Hipotesis penelitian merupakan dugaan (prediction) yang terjadi sebelum kejadian yang
- 46. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 43 dipersolkan terjadi, dugaan ini diturunkan dari teori yang hendak diuji kebenarannya. Hipotesis penelitian hadir setelah mengemukakan gagasan, permasalahan dan rumusan masalah yang mengarah pada penelitian. 2) Hipotesis statistik Hipotesis statistika berasal dari hipotesis penelitian yaitu pernyataan tentang nilai parameter suatu populasi. Hipotesis statistika harus dirumuskan sehingga memungkinkan untuk diuji berdasarkan data empiris dari penelitian suatu sampel. Dalam perumusan hipotesis statistika, antara hipotesis nol dan alternatif selalu berpasangan, bila salah satu ditolak, mka yang lain pasti diterima sehingga dapat dibuat keputusan yang tegas, yaitu kalau H0 ditolak pasti alternatif diterima. Hipotesis statistika dinyatakan melalui simbol-simbol. Hipotesis statistika diuji dengan uji statitika, sedangkan proses pengujian berakhir dengan keputusan untuk menerima atau menolak hipotesis tersebut. Terdapat dua macam jenis hipotesis yaitu: i. H0 : hipotesis nol atau hipotesis nihil (null hypothesis) merupakan hipotesis yang akan diuji.
- 47. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 44 ii. H1 atau 𝐻 𝛼 : hipotesis alternative (alternatif hypothesis) merupakan tandingan dari hipotesis nol (H0) Biasanya merupakan hipotesis yang akan dibuktikan oleh peneliti karena merupakan pernyataan yang dianggap benar, hipotesis ini berkaitan langsung atau sama dengan hipotesis penelitian. 𝐻0 dan 𝐻𝛼 harus mutually exclusive dan ex houstive (keduanya dapat terjadi bersama dan salah satu dari keduanya harus terjadi). Sehimgga keputusan dapat diambil berdasarkan data-data empiris yang telah dilakukan oleh peneliti. Keputusan yang diambil menerima H0 karena dianggap benar atau menolak H0 karena dianggap pernyataan salah, menerima H0 yang berarti 𝐻 𝛼 ditolak atau sebaliknya menolak H0 yang berarti menerima 𝐻 𝛼. Ada beberapa peluang pengambilan keputusan : 1) Penerimaan H0 padahal sesungguhnya H0 benar maka akan memberikan keputusan yang benar 2) Penerimaan H0 padahal sesungguhnya 𝐻 𝛼 benar maka akan memberikan keputusan yang keliru. Selanjutnya disebut kekeliruan tipe II. 3) Penolakan H0 bila sesungguhnya H0 benar-benar akan memberikan keputusan yang keliru. Selanjutnya disebut kekeliruan tipe I.
- 48. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 45 4) Penolakan bila sesungguhnya H0 bila sesungguhnya 𝐻 𝛼 benar maka akan memberikan keputusan yang benar. Kesalahan tipe I atau galat tipe I atau type I error (𝛼 error = false positive), yang menolak H0 padahal kenyataan H0 benar. Kesalahan tipe II atau galat type II error ( 𝛽 error = false negative) yang menerima H0 padahal kenyataannya H0 salah. Secara lebih jelas tentang hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan kesalahan tipe kekeliruan dapat dilihat pada tabel berikut. Kesimpulan pengujian hipotesis Keadaan sebenarnya hipotesis ( H0 ) Benar Salah Terima hipotesis Keputusn benar 1 – 𝛼 Kekeliruan tipe II 𝛽 Tolak hipotesis Kekeliruan tipe I 𝛼 Keputusan benar 1−𝛽 Pada suatu penelitian dalam rangka pengujian hipotesis, harus diusahakan kedua jenis tipe kesalahan itu dibuat sekecil mungkin. Supaya penelitian dapat dilakukan maka kedua kesalahan dinytakan dalam peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I bisa dinyatakan dengan 𝛼 dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan 𝛽, seperti telah dijelaskan dibagian atas. Dalam penggunaan, 𝛼 disebut sebagai taraf signifikan atau taraf keberartian atau disebut taraf nyata. Besar kecilnya 𝛼 dan 𝛽
- 49. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 46 yang dapat diterima dalam pengambilan kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas perbuatan kekeliruan-kekeliruannya. Selain itu bahwa kedua kekeliruan itu sling berkaitan artinya jika α diperkecil maka β mejadi besar dan sebaliknya. Pada dasarnya harus dicapai hasil pengujian hipotesis yang baik yaitu pengujian yang bersifat bahwa dintara semua pengujian yang dapat dilakukan dengan α yang sama besar, ambillah kekeliruan β paling kecil. Biasa dalam penelitian α ditentukan terlebih dahulu, uji berdasar keberanian untuk mengambil resiko salah. Pada umumnya secar empiris α ditentukan sebesar 5% atau 1%, dengan mengambil misalnya α = 0,05 berarti bahwa dalam 100 kali menolak hipotesis kira-kira terdapat kali menolak hipotesis padahal hipotesis benar., maka disebut H0 ditolak dengan tingkat kemaknaan α = 5%. Dengan kata lain bahwa kira-kira 95% yakni bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam keadaan demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05. Harga (1-β) dinamakan kuasa uji atau kuat uji (power of test) yang ditentukan dari perhitungan harga β setelah harga α diketahui. Tahap-tahap uji hipotesis secara umum, yaitu: 1) Tentukan model probabilitas yang cocok dari data, 2) Tentukan hipotesis Ho dan H1, 3) Tentukan statistik penguji,
- 50. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 47 4) Tentukan tingkat signifikansi, 5) Tentukan daerah kritik berdasarkan tingkat signifikansi, 6) Hitung statistik penguji, 7) Alternatif, hitung p-value berdasarkan statistik penguji, dan 8) Ambil kesimpulan berdasarkan poin 6 dan 7. 2. Inferensi Statistik Mean Satu Populasi a) Varian Diketahui Uji hipotesis untuk mean jika variansi diketahui atau juga dikenal juga sebagai uji Z yaitu: 1. Hipotesis Uji dua sisi, H0 : 𝜇0 = 𝜇1 H1 : 𝜇0 ≠ 𝜇1 Uji satu sisi, H0 : μ0 ≤ μ1 Atau H0 : μ0 ≥ μ1 H1: μ0 > μ1 H1 : μ0 > μ1 2. Signifikasi ∝ 3. Statistik penguji Z = 𝑥̅− 𝜇 𝜎 √ 𝑛 ⁄ 4. Daerah kritik Z < -𝑍 𝑎 2⁄ Atau 𝑍 > 𝑍 𝑎 2⁄ Z > 𝑍 𝑎 Z < - 𝑍 𝑎 b) Variansi Tidak Diketahui Uji hipotesis untuk mean jika variansi tidak diketahui atau juga dikenal juga sebagai uji- t yaitu:
- 51. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 48 1. Hipotesis Uji dua sisi, 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 Uji satu sisi, 𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0 atau 𝐻0 : ≥ 𝜇0 𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 2. Tingkat signifikasi 𝛼 3. Statistik penguji t = 𝑥̅− 𝜇 𝑠 √ 𝑛 ⁄ 4. Daerah kritik, H0 ditolak jika : a) t > 𝑡(𝑛−1; 𝛼 2⁄ ) atau t < −𝑡(𝑛−1; 𝛼 2)⁄ b) t > 𝑡( 𝑛−1; 𝛼) c) t < 𝑡(𝑛−1; 𝛼) 3. Inferensi Proporsi a) Satu Populasi Uji hipotesis untuk inferensi proporsi satu populasi yaitu : 1) hipotesis: uji dua sisi, H0 : P = P0 H1 : P ≠ P0 Uji satu sisi, H0 : P ≤ P0 atau H0 : P ≥ P0 H0 : P > P0 H1 : P < P0 2) Tingkat signifikan 𝛼 3) Statistik penguji : Z = 𝑝̅− 𝑝0 √ 𝑝0 (1−𝑝0) 𝑛 Dengan: 𝑝̅ adalah proporsi sukses dari sampel
- 52. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 49 𝑝̅ = 𝑥 𝑛 x = jumlah sukses n = ukuran sampel 4) Daerah kritik, H0 ditolak jika, p value yang diperoleh dengan menggunakan minitab < 𝛼 b) Dua Populasi Uji hipotesis untuk inferensi proporsi dua populasi yaitu: 1) Hipotesis Uji dua sisi, H0 : P1- P2 = P0 H1 : P1 – P2 ≠ P0 Uji satu sisi, H0 : P1 – P2 ≤ P0 atau H0 : P1 – P2 ≥ P0 H1 : P1 – P2 > P0 H0 : P1 – P2 < P0 2) Tingkat signifikasi 𝛼 3) Statistik penguji Z = ( 𝑝̅1−𝑝̅2)−𝑝0 √ 𝑝̅1(1−𝑝̅1) 𝑛1 + 𝑝̅2(1−𝑝̅2) 𝑛2 Jika P0 tidak diketahui, maka P0 dianggap = 0 Sehingga Z= 𝑝̅1−𝑝̅2 √𝑝̅0(1−𝑝̅0)( 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ) dengan nilai 𝑝̅0 = 𝑥1+𝑥2 𝑛1+𝑛2 Daerah kritik, 𝐻0 ditolak jika p value yang diperoleh dengan menggunakan minitab < 𝛼 4. Inferensi Dua Rata-rata a) Uji Rata-rata 2 Populasi Independent
- 53. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 50 Untuk data yang saling independent satu sama lain, uji hipotesisnya yaitu: 1) 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 (kedu rata-rata relative sama) 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 2) Signifikansi 𝛼 = 5% 3) Statistik hitung Kesamaan variansi Statistik penguji keterangan 𝜎1 2 = 𝜎1 2 t = ( 𝑥̅1−𝑥̅2)−( 𝜇1−𝜇2) √𝑆 𝑝 2 ( 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ) ~𝑡 𝑛1 +𝑛2 − 2 𝑆𝑝 2 = ( 𝑛1 − 1) 𝑠1 2 + ( 𝑛2 − 1) 𝑠2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 t = ( 𝑥̅1−𝑥̅2)−( 𝜇1−𝜇2) √( 𝑠1 2 𝑛1 + 𝑠2 2 𝑛2 ) ~𝑡 𝑘 k = ( 𝑠1 2 𝑛1 + 𝑠2 2 𝑛2 ) 2 ( 𝑠1 2 𝑛1 ) 2 𝑛1 −1 + ( 𝑠2 2 𝑛1 ) 2 𝑛2−1 Uji rata-rata populasi yang saling dependent ini dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan dimana suatu sampel dikenai dua perlakuan yang berbeda, dan kita akan melihat keterkaitan kedua perlakuan tersebut. Uji hipotesis untuk rata-rata 2 populasi dependent yaitu: 1) 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑0 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝑑0 2) Tingkat signifikasi 𝛼 3) Statistik uji : t = 𝑑̅−𝑑0 𝑠 𝑑 √ 𝑛 ⁄ dengan 𝑑̅ = ∑ 𝑑 𝑖 𝑛 dan 𝑠 𝑑 = √∑( 𝑑 𝑖−𝑑̅)2 𝑛−1
- 54. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 51 4) Daerah Kritis, Ho ditolak jika nilai Signifikansi yang diperoleh dari penggunaan SPSS data editor (sig) atau P- value yang diperoleh dari penyelesaian dengan minitab < 𝛼 5. Student t Test (Uji t) Sering kali kita menghadapi jumlah sampel yang dapat dikatakan sedikit. Apabila kita dapat mengmbil sampel dalam jumlah yang cukup banyak, maka sampel kita akan dapat mendekati distribusi normal, sehingga transformasi ke z merupkan tindakan yang tepat. Kadangkala kita terpaksa mengambil sampel sedikit, hal ini bisa disebabkan oleh: terbatasnya biaya, waktu maupun batasan-batasan lainnya. Disamping itu, sering kali kita tidak mengetahui besarnya simpangan baku populasi, maka kita membutuhkan prosedur yang berbeda prosedur menghadapi sampel besar dan sampel yang diketahui simpangan baku populasinya dalam pengujian hipotesis yang berkaitan dengan rata-rata. Untuk menghadapi sampel kecil serta ketidaktahuan simpangan baku populasi, Gosset telah menemukan bentuk tes statistik untuk menghadapi kondisi seperti ini yang sering disebut t (lengkapnya Student’s t). Oleh Karen sampelnya kecil, maka distribusinya (kurvanya) agak landai dan melebar, tetapi bentuk serupa dengan bentuk kurva normal. Jika digambarkan perbedaan kurva distribusi t dengan kurva distribusi normal sebagai berikut:
- 55. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 52 kurva normal kurva t pada saat kita membahas distribusi normal kita mengenal tingkat signifikasi yang besarnya adalah α untuk kesalahan tipe I dan β untuk kesalahan tipe II, untuk distribusi student’s kita akan menghadapi α dan daerah kebebasan (degrees of freedom). Derajat kebebasan adalah suatu angka yang menjelaskan sekumpulan skor sampel yang bebas dari kesalahan. Oleh karena letak rata-rata sampel dibatasi oleh nilai dari satu skor dalam sampel, maka derajat kebebasan untuk sampel adalah n-1. Misalnya, dalam pengujian hipotesis pada distribusi normal (two tailed test) kita menggunakan α = 0,05 maka daerah kritis z skor adalah -1,96 dan +1,96. Seandainya simpangan baku populasi tidak diketahui, maka kita akan menggunakan t tes. Kalau jumlah sampel kita sebanyak 4 maka derajat kebebasannya adalah 4-1-3. Dengan menggunakan dk=3 dan =0,05 kita bisa memperoleh daerah kritis bagi distribusi t (lihat tabel t) sebesar -3,182 dan =3,182. Apabila kita mempunyai n yang cukup besar, maka daerah kritis distribusi t dan normal akan mendekati sama. Misalnya n=121, maka dk=120. Dengan α=0,05 daerah kritis distribusi t -1,96 dan +1,96. Rumus t hamper sama dengan z, sedangkan bedanya terletak pada standar
- 56. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 53 errornya. Kalau transformasi ke z menggunakan standar error 𝜎𝑥̂, sedangkan untuk transformasi ke t kita akan menggunakan standar error 𝑠 𝑥̂, standar error pada distribusi t dapat dihitung dengan rumus: 𝑆 𝑥̅ = 𝑆𝑑 √ 𝑛 Sedangkan simpangan bakunya dapat dihitung dengan rumus: 𝑆𝑑 = √ ∑( 𝑥 − 𝑋̅)2 𝑛 − 1 Keterangan: Sd : singkatan dari sampel standard deviation (simpangan baku sampel artinya rata-rata penyimpangan skor sampel terhadap rata-rata sampel) ∑( 𝑥 − 𝑋̅)2 : sering disingkat dengan SS (sum of squares) sedangkan untuk menghitung t kita dapat memakai rumus: 𝑡 = 𝑋̅ − 𝜇 𝑆 𝑥̅ Untuk memahami langkah pengujian hipotesis dengan t- tes, marilah kita coba dengan suatu contoh sederhana. Contoh: Dekan suatu fakultas mendengar berita bahwa dosen A selalu member nilai lebih tinggi dari dosen-dosen lainnya pada mata kuliah yang sama. Sebelum melakukan tindakan teguran dekan memutuskan untuk melakukan penelitian terlebih dulu.
- 57. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 54 Untuk itu diambil sekelompok sampel yang berasal dari populasi mahasiswa yang mengambil mata kuliah dengan dosen A. dari hasil pengumuman nilai ke 10 sampel ternyata nilai-nilai mereka mempunyai penyebaran sebagai berikut: 94 86 83 75 71 69 64 62 58 58 Apabila nilai rata-rata untuk mata kuliah tersebut yang diasuh oleh beberapa dosen dan dosen A merupakan salah satu dosennya adalah 65. Apa keputusan yang harus diambil dekan? Analisis : Yang diketahui n=10, µ=65, dan distribusi nilainya. Untuk mempermudah perhitungan lebih lanjut diperlukan suatu kalkulasi rumus dasar di antaranya: Jumlah skor dari sampel (∑) yaitu 720 Rata-rata skor sampel adalah 720 : 10 = 72 Berdasarkan perhitungan sederhana di atas dapat dicari simpangan masing-masing skor dengan rata-ratanya, dan kuadrat simpngan masing-masing skor dengan rata-ratanya. Jika hasil perhitungan skor masing-masing skor dengan rata-ratanya maupun kuadratnya dibuat tabel, maka tabelnya sebagai berikut: 𝑋 𝑋 − 𝑋̂ (𝑋 − 𝑋̂) 2 94 22 484 86 14 196 83 11 121
- 58. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 55 75 3 9 71 -1 1 69 -3 9 64 -8 64 62 -10 100 58 -14 196 58 -14 196 720 0 1376 Penyusunan hipotesis matematis: 𝐻0 ∶ 𝜇1 = 65 𝐻1 ∶ 𝜇1 = 65 Perhitungan standar error : 𝑆𝑑 = √1376 ∶ 9 = 12,36482466 𝑠 𝑥̅ = 12,36482466 √10 = 3,910100879 Dengan demikian maka t hitung adalah : 𝑡 = 72−65 3,910100879 = 1,790235141 = 1,79 Sekarang kita tinggal maencari t tabel ( daerah kritis penerimaan hipotesis nol) dan membandingkan antara t hasil perhitungan dengan t tabel. Jika kita mengambil α = 0,05 maka t tabel dapat dicari pada tabel t dengan signifikansi 0,05 two tailed test dan dk = n-1=9 yaitu sebesar 2,262. Oleh karena t hitung < daripada t tabel, maka keputusan kita adalah terima hipotesis nol.
- 59. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 56 Dengan dasar analisis t statistik, dengan tidak cukup beralasan untuk melakukan peneguran terhadap dosen A, Karen dosen tersebut tidak terlalu murah dalam pemberian nilai, yang mana mungkin akan mempunyai dampak negatif terhadap kualitas perguruan tinggi yang bersangkuatan. Beberapa hal yang perlu dicatat dalam menggunkan rumus t adalah: 1. Sampel harus dimbil secara random 2. Distribusi skor populasi harus normal Jika kedua syarat tersebut tidak terpenuhi, maka t statistik tidak dapat dipakai. Tetapi, beberapa ahli dibidang statistik menyatakan bahwa student t tes adalah Robust (kuat/akurat). Hal ini berarti menyatakan bahwa student t tes akan merupakan asumsi normalitas. Kadang-kadang masalah normalitas tidak menjadi perhatian bagi pemakai t tes. Kondisi ini tidak dianggap salah asalkan n besar (misalnya > 30), karena dengan n yang besar, maka distribusi sampel akan mendekati normal, bahkan bisa jadi normal. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan
- 60. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 57 data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi,
- 61. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 58 statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama probabilitas. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika. Meskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam
- 62. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 59 departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasikan seluruh populasi. Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah;
- 63. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 60 mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna. Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya. 6. Pengujian Hipotesis dengan sampel Ganda Yang dimaksud dengan sampel ganda adalah suatu penelitian yang melibatkan 2 (dua) atu lebih kelompok sampel yang berasal dari dua atau lebih populasi, sedangkan hal yang ingin dilihat atau diukur adalah sama. Kadang-kadang dua kelompok sampel tersebut berasal dari satu populasi, bukannya berasal dari dua populasi. Tetapi, yang menjadi pembeda dengan pengujian hipotesis terdahulu adalah adanya dua kelompok sampel,
- 64. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 61 yang man kondisi ini tidak ada pada pembahasan terdahulu. Kondisi ini sering dilakukan untuk menguji kebenaran atau kekuatan suatu penemuan baru melalui kegiatan eksperimen. Hasil eksperimen tersebutlah yang ingin dibandingkan dengan kondisi yang sudah berjalan sebelumnya. Sebenarnya langkah ini merupakan penyederhanaan langkah pengujian satu persatu, dimana kita dituntut menhetahui kondisi µ pada setiap populasi yang kita ambil sampelnya. Sering kali terjadi bahwa rata-rata populasi dan simpangan baku populasi tidak diketahui. Apabila kondisi ini benar-benar terjadi, apakah kita putuskan untuk tidak melakukan penelitian dengan analisis statistik? Jelas dengan penelitian dengan analisis statistik tetap dapat dilakukan, karena ada teknik dan langkah untuk mengatasi ketidaktahuan tersebut. Hal ini yang kita bahas pada pokok bahasan sekarang, dan pembahasan di sini terbatas pada bagaimana memakainya, bukan bagaimana mendapatkan rumus tersebut. Kita cukup menggunakan rumus tersebut dan mengetahui sedikit logikanya sebagai ucapan terima kasih kita kepada penemu umus tersebut. Adanya dua kelompok sampel, mka kita akan mendapatkan dua buah rata-rata sampel dan standard error yang berbeda dengan standard error yang telah kita bahas terdahulu. Apabila jumlah kelompok sampel sebanyak n, maka rata-rata sampelnya akan sebanyak n. dengan dua atau lebih kelompok sampel ini, kita ingin mencari apakah kelompok-kelompok sampel tersebut berbedaatau
- 65. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 62 tidak. Hal ini berarti bahwa kita akan berbicara tentang perbedaan kelompok populasi dengan dasar kelompok sampel. Oleh karena itu, hipotesis nol yang akan diuji menyatakan bahwa 𝜇1 dan 𝜇2 tidak akan berbeda atau sama, apabila ditulis dengan bentuk matematika maka 𝜇1 − 𝜇2 = 0. Untuk melakukan estimasi besarnya perbedaan rata-rata tersebut dapat digunakan rata-rata sampel. Unutk menghadapi dua perbedaan rata-rata dapat didasarkan pada t tes dengan suatu modifikasi untuk menghadapi dua rata-rata sampel. Mari kita ingat rumus: 𝑡 = 𝑋̅ − 𝜇 𝑆 𝑥̅ Untuk menghadapi dua buah rata-rata sampel dan dua buah rata-rata populasi, maka rumus diatas harus dimodifikasi. Oleh karena yang akan dicari adalah perbedaan antara kedua kelompok tersebut, maka maisng-masing rata-rata, baik rata-rata sampel mupun rata-rata populasi, kita cari perbedaannya. Dengan kata lain kita mencari selisih rata-rata untuk menggantikan rata-rata tersebut. Selisih rata-rata sampel adalah 𝑋̅𝐴 − 𝑋̅ 𝐵 Diletakkan sebagai pengganti 𝑋̅, sedangkan untuk rata-rata populasi diganti dengan selisih kedua rata-rata populasinya yaitu 𝜇 𝐴 − 𝜇 𝐵. Melalui modifikasi yang tertulis diatas, maka standar errornya juga akan mengalami perubahan menjadi 𝑆 𝑋̅ 𝐴 −𝑋̅ 𝐵 . Secara umum nilai t dapat dicari dengan rumus: 𝑡 = ( 𝑋̅𝐴 − 𝑋̅ 𝐵)− ( 𝜇 𝐴 − 𝜇 𝐵) 𝑆 𝑋̅ 𝐴−𝑋̅ 𝐵
- 66. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 63 Untuk menentukan standar error, maka kita bahas setahap demi setahap. Pertama: kita tahu bahwa masing-masing rata-rata sampel member estimasi terhadap rata-rata populasinya, sehingga 𝑋̅ 𝐴 mendekati 𝜇 𝐴, dengan sedikit kesalahan, dan 𝑋̅ 𝐵 mendekati 𝜇 𝐵, dengan sedikit kesalahan. Kita ingat bahwa standard error menyatakan seberapa jauh akurasi rata-rata sampel mendekati rata- rata populasi, sehingga semakin kecil standard errornya maka semakin akurat. Kedua: oleh karena yang kita hadapi keseluruhan error sampel dalam mendekati kedua rata-rata populasi, maka langkah awal harus mencari masing-masing error, baru kemudian digabungkan untuk mencari error bersama. Sebelum melakukan penggabungan perlu kiranya dilakukan mofikasi atas rumus standard error terlebih dulu, sehingga akn mempermudah perhitungan. Ketiga : apabila standard error dikuadratkan, maka rumusnya akan berubah menjadi rumus: 𝑆 𝑋̅ 2 = 𝑆2 𝑛 Jika akar, maka akan kembali pada rumus semula, tetapi dapat berubah bentuk menjadi rumus: 𝑆 𝑋̅ = √𝑆2 𝑛 Bentuk rumus terakhir inilah yang dapat mempermudah dalam perhitungan standard error gabungan. Dengan menggunakan
- 67. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 64 dasar kedua rumus di atas diperoleh rumus gabungan: 𝑆 𝑋̅ 𝐴−𝑋̅ 𝐵 =√ 𝑆 𝐴 2 𝑛 𝐴 + 𝑆 𝐵 2 𝑛 𝐵 Mengapa tanda di dalam akar berupa tanda tambah (+)? Hal ini disebabkan karena variance (kuadrat simpangan baku) untuk selisih rata-rata maupun jumlah akan tetap merupakan penjumlahan masing-masing variance, sepanjang distribusinya normal. Untuk pemahaman konsep ini dapat dipelajari pada contoh di bawah ini. Contoh Seandainya kita menghadapi dua buah populasi mempunyai rentngan nilai sbb: Distribusi Nilai minimum Nilai maksimum Rentangan A 10 20 10 B 40 60 20 Apabila diambil 1(satu) sampel dari masing-masing populasi, maka rentangan terbesar antara kedua sampel tersebut adalah 50 yaitu jika terambil dari populasi A nilai 10, sedangkan dari populasi B terambil nilai 60. Sedangakan rentangan terkecil antara kedua buah sampel tersebut adalah 20 dan dari populasi B memperoleh nilai 40. Dengan demikian, maka rentangan nilai sampel bergerak dari 50 sampai 20, atau tepatnya rentangan (range) XA−XB adalah 30. Kondisi ini juga penjumlahan dari rentangan populasi A dan rentangan populasi B (10+20).
- 68. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 65 Untuk dapat membaca tabel t diperlukan derajat kebebasan (degrees of freedom). Derajat kebebasan pada perbandingan dua sampel adalah 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 2. Hal ini dapat dipahami dengan mudah jika kita membahas penggabungan variance. Untuk itu kita bahas sebuah contoh sederhana lain sbb: Contoh: Seandainya ada dua kelompok sampel yang diambil daru satu populasi, di mana kelompok sampel A mempunyai n = 9, dengan jumlah kuadrat simpangan bakunya = 80, sedangkan kelompok sampel B mempunyai n = 16, dengan jumlah kuadrat simpangan baku = 90. Apabila kita menghitung variance masing-masing, maka: 𝑆𝐴 2 = 80 8 = 10 𝑆 𝐵 2 = 90 15 = 6 Kita telah memahami suatu teori statistik yang mengatakan bahwa n yang besar mempunyai tingkat akurasi yang lebih besar daripada n kecil. Hal ini dapat dilihat dari hasil perhitungan variance pada contoh diatas, dimana semakin besar n semakin kecil varincenya. Untuk menggabugkan kedua variance tersebut perlu dipertimbangkan n nya. Pada contoh diatas ini secara kebetulan kita menghadapi n untuk maisng-masing sampel tidak sama, apabila sampel yang dihadapi mempunyai n sama, maka
- 69. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 66 pertimbangan terhadap n dapat diabaikan. Cara mempertimbangkan n yang tidak sama adalah dengan jalan: 1. Mengalikan masing-masing variance denagn derajat kebebasannya. 2. Jumlah hasil kali masing-masing variance. 3. Hasil penjumlahannya dibagi dengan jumlah derajat kebebasan masing- masing. Mengingat derjat kebebasan kelompok A adalah 𝑛 𝐴 − 1 dan derajat kebebasan kelompok B adalah 𝑛 𝐵 − 1, maka penjumlahannya adalah ( 𝑛 𝐴 − 1) + ( 𝑛 𝐵 − 1) atau 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 2. Jadi, penggabungan variance dapat dihitung dengan rumus: 𝑆 𝑝 2 = 𝑑𝑘 𝐴 + 𝑑𝑘 𝐵 𝑆 𝐵 2 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 2 Atau dengan rumus: 𝑆 𝑝 2 = ∑( 𝑋𝐴 − 𝑋̅ 𝐴)2 + ∑( 𝑋 𝐵 − 𝑋̅ 𝐵)2 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 2 Dengn demikian maka standard error kedua sampel dapat dihitung dengan rumus: 𝑆 𝑋̅ 𝐴−𝑋̅ 𝐵 =√ 𝑆 𝑝 2 𝑛 𝐴 + 𝑆 𝑝 2 𝑛 𝐵 Rumus ini dapat dikatakan halus, karena ada penimbangan n. penimbangan n untuk sampel yang berbeda jumlahnya merupakan tindakan hati-hati, karena dalam proses ini seolah-olah kita melkukan suatu tindakan penyeimbangan beban pada masing- masing sampel. Selain itu, rumus tersebut merupakan rumus yang sederhana sehingga kita akan lebih mudah menghitung standard error gabungan dua buah sampel yang berbeda jumlah n nya.
- 70. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 67 Unutk memahami konsep yang mendasari rumus tersebut, marilah kita coba menyelesaikan sebuah contoh. Contoh: Seorang dosen statistik melakukan eksperimen tentang metode mengajar A dan metode mengajar B terhadap mahasiswa dari beberapa perguruan tinggi. Untuk keperluan itu dosen yang bersangkutan mengambil dua kelas sebagai kelas eksperimennya. Dari masing-masing kelas diambil beberapa sampel, setelah eksperimen berjalan (berakhir), untuk dasar analisis. Dari kelas A diambil sampel sebanyak 9 mahasiswa, dan kelas B diambil sampel sebanyak 13 mahasiswa. Pengambilan sampel dilakukan secara acak (random), sedangkan hasil pengumpulan data (nilai mahasiswa) dari sampel sebagai berikut: Kelas A Kelas B 70 63 60 60 80 70 75 80 76 74 75 75 71 85 65 64 85 65 60
- 71. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 68 90 75 75 Sebelum kita melakukan perhitungan-perhitungan lebih lanjut sebaiknya kita data di atas dalam suatu tabel yang mengandung simpangan masing-masing data dengan rata-rata kelompoknya, serta kuadrat masing-masing simpangan tersebut. Tabel tersebut semata-mata untuk membantu kita dalam melakukan koreksi apabila terjadi suatu kekeliruan perhitungan simpangan masing-masing skor dengan rata-ratanya maupum kekeliruan perhitungan kuadrat simpangan tersebut. Adapun tabel yang mengadung perhitungan simpangan masing-masing skor dengan rata-ratanya, beserta kuadrat simpangan masing-masing sbb: 𝑋𝐴 ( 𝑋𝐴 − 𝑋̅𝐴) ( 𝑋𝐴 − 𝑋̅ 𝐴)2 𝑋 𝐵 ( 𝑋 𝐵 − 𝑋̅ 𝐵) ( 𝑋 𝐵 − 𝑋̅ 𝐵)2 85 12 144 90 18 324 80 7 49 85 13 169 76 3 9 80 8 64 75 2 4 75 3 9 75 2 4 75 3 9 71 -2 4 75 3 9 70 -3 9 74 2 4 65 -8 64 70 -2 4
- 72. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 69 60 -13 169 65 -7 49 64 -8 64 63 -9 81 60 -12 144 60 -12 144 657 0 456 936 0 1074 𝑋̅ 𝐴 = 657 ∶ 9 = 73 𝑋̅ 𝐵 = 936 ∶ 13 = 72 Dari dasar beberapa perhitungan di atas kita dapat melakukan pengujian hipotesis, sedangkan langkahnya: Pertama : penyusunan hipotesis matematis 𝐻0 ∶ 𝜇 𝐴 − 𝜇 𝐵 = 0 𝐻1 ∶ 𝜇 𝐴 − 𝜇 𝐵 ≠ 0 Apabila untuk pengujian ini kita tentukan α = 0,05. Sedangkan derajat kebebasannya adalah 9+13−2=20 Kedua : menghitung standard error dan nilai t sebagai barikut: 𝑆 𝑝 2 = ∑( 𝑋𝐴 − 𝑋̅ 𝐴)2 + ∑( 𝑋 𝐵 − 𝑋̅ 𝐵)2 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 2 𝑆 𝑝 2 = 456 + 1074 20 = 76,5 𝑆 𝑋̅ 𝐴−𝑋̅ 𝐵 =√ 𝑆 𝑝 2 𝑛 𝐴 + 𝑆 𝑝 2 𝑛 𝐵 = √ 76 ,5 9 + 76,5 13 = √14,38461538
- 73. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 70 = 3,792705549 = 3,79 𝑡 = ( 𝑋̅𝐴 − 𝑋̅ 𝐵) − ( 𝜇 𝐴 − 𝜇 𝐵) 𝑆 𝑋̅ 𝐴 −𝑋̅ 𝐵 = (73 − 72) − 0 3,79 = 0,2638522427 = 0,2639 ttabel = 2,086 ini berarti bahwa daerah penerimaan adalah H0 di antara -2,086 dan +2,086. Dengan demikian makam kita dapat mengambil kesimpulan yaitu menerima hipotesis nol. Artinya hasil belajar mahasiswa dengan menggunakan metode A tidak mempunyai perbedaan yang signifikan pada taraf signifikansi 0,05. Perhitungan di atas tepat untuk jumlah sampel yang kecil atau sedikit. Kebanyakan peneliti agak ragu dengan sampel kecil, sehingga diambil langkah untuk mengambil sampel yang cukup besar. Untuk menghadapi sampel yang besar sebaiknya transformasinya ke z. langkah menggunakan z dan t bisa dikatakan tidak ada bedanya, perbedaan terletak pada pencarian daerah penerimaan hipotesis nol di tabel. Kalau menggunakan tabel t, kita terikat dengan derajat kebebasan (dk), sedangkan untuk menggunakan tabel z kita tidak perlu memperhatikan derajat kebebasan.
- 74. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 71 Uji – t dua sampel independen (bebas) adalah metode yang digunakan untuk menguji kesamaan rata-rata dari dua populasi yang bersifat independen. Mengenai ragam populasi, independen maksudnya adalah bahwa populasi yang satu tidak dipengaruhi atau tidak berhubungan dengan populasi yang lain. Teorema I Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn Sampel random dari N ( µx ; 𝜎2 ) dan Y1 , Y2 , . . . , Ym Sampel random dari N ( µy ; 𝜎2 ). Misalkan pula Xi dan independen. Misalkan pula S2 X dan S2 Y adalah variansi kedua sampel itu, dan S2 P adalah variansi pooled ( rata-rata ) , dimana S2 P = (n−1)SX 2 +(m−1)SY 2 n+m−2 Maka t = 𝑥̅− 𝑦̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦 ) 𝑆 𝑝 √ 1 𝑛 + 1 𝑚 ~ t n+m-2 Bukti Perhatikan bahwa t dapat ditulis t = 𝑥̅−𝑦̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦) 𝑐√ 1 𝑛 + 1 𝑚 √𝑠 𝑝 2 /𝜎2 t = 𝑋̅−𝑌̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦) 𝜎√ 1 𝑛 + 1 𝑚 √ 1 𝑛+𝑚−2 [∑ ( 𝑥 𝑖−𝑥̅ 𝜎 ) 2 𝑛 𝑖=1 +∑ ( 𝑦 𝑖 −𝑦̅ 𝜎 ) 2 𝑚 𝑖=1 ] pembilangnya berdistribusi N(0;1), sedang penyebutnya :
- 75. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 72 ∑ ( 𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝜎 ) 𝑛 𝑖=1 ~𝑥 𝑛−1 2 ∑ ( 𝑌𝑖 − 𝑌̅ 𝜎 ) 𝑚 𝑖=1 ~𝑥 𝑚−1 2 Sehingga jumlahnya berdistribusi 𝑥 𝑛+𝑚−2 2 dengan demikian t~𝑡 𝑛+𝑚−2 Menurut definisi 2. Teorema 2 Misalkan 𝑥1, 𝑥2,… . 𝑥 𝑛~N( 𝜇 𝑥; 𝜎2) dan 𝑦1, 𝑦2, … . 𝑦 𝑚~N(𝜇 𝑦; 𝜎2 ) Serta 𝑥 𝑖 dan 𝑦𝑖 itu independent. Dengan tingkat signifikansi 𝛼, uji GLR untuk 𝐻0: 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 versus 𝐻1: 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 akan menolak 𝐻0 apabila t = 𝑥̂−𝑦̂ 𝑆 𝑝 √ 1 𝑛 + 1 𝑚 ≤ −𝑡( 𝑛+𝑚−2); 𝛼 2⁄ ≥ 𝑡( 𝑛+𝑚−2); 𝛼 2⁄ Contoh Seorang oncologist ingin menentukan apakah suatu bahan kimia tertentu dapat mengubah pertumbuhan tumor kanker dalam tubuh tikus. Dalam tubuh 30 ekor tikus, yang diambil sebagai sampel, ditanamkan tumor. Lima belas dari tikus-tikus ini dipilih secara random, dan kepada mereka diberikan bahan kimia itu selama empat minggu. Sedangkan 15 ekor tikus yang lain, sebagai grup control, dibiarkan dalam kondisi yang sama selama empat minggu pula. Setelah empat minggu tikus-tikus yang diberi bahan-
- 76. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 73 bahan kimia menunjukkan berat tumor rata-rata 1,28 gram dan deviasi standar = 0,38 gram. Dapatkah oncalogist itu menyimpulkan bahwa bahan kimia itu mempengaruhi pertumbuhan tumor? Masalah ini dapat kita selesaikan dengan uji hipotesis. Perumusan hipotesis nol dan alternatifnya adalah sebagai berikut: 𝐻0: 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 versus 𝐻1: 𝜇 𝑥 ≠ 𝜇 𝑦 Dimana 𝜇 𝑥 dan 𝜇 𝑦 adalah masimg-masing mean populasi berat tumor setelah empat minggu untuk grup eksperimen dan grup control. Dengan anggapan kedua populasi normal bervarinsi sama, kita hitung variansi pooled: 𝑆 𝑝 2 = (15 − 1)(0,31)2 + (15 − 1)(0,38)2 28 = 0,12025 Dan 𝑆 𝑝 = √0,0125025 = 0,347 Maka 𝐻0 benar, maka distribusi sampling t = 𝑥̅− 𝑦̅ 𝑆 𝑝√ 1 15 + 1 15 adalah 𝑡28. Dengan tingkat signifikansi 0,05 , 𝐻0 ditolak apabila t ≥ 𝑡28 ;0,025 = 2,0484 atau ≤ −𝑡28 ;0,025 = -2,0484 Tetapi t = 1,28−1,53 (0,347)√2 15⁄ = -1,97
- 77. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 74 Jadi, H0 diterima sehingga pernyataan tersebut benar bahwa suatu bahan kimia dapat mengubah pertumbuhan kanker dalam tubuh tikus. Contoh: Pengukuran terhadap hasil penataran terhadap beberapa guru (10 orang) menghasilkan nilai sbb: Pre test: 4 5 5 6 5 4 8 4 5 6 Post test: 7 7 8 7 6 8 9 6 5 9 Apakah penataran tersebut mempunyai dampak positif terhadap pengetahuan guru? Jawab: 𝐻0 ∶ 𝜇0 = 0 𝐻1 ∶ 𝜇0 ≠ 0 Hal yang telah diketahui: n = 10 dk = n−1=10−1 = 9 apabila kita mengambil α = 0,05 maka daerah penerimaan hipotesis nol terletak di antara: +2,262 dan -2,262 langkah selanjutnya adalah menyusun data sehingga mudah untuk melakukan analisis, sedangkan data yang tersusun sebagai berikut: Pre tes Post tes D D2 4 7 3 9
- 78. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 75 5 7 2 4 5 8 3 9 6 7 1 1 5 6 1 1 4 8 4 16 8 9 1 1 4 6 2 4 5 5 0 0 6 9 3 9 20 54 Jumlah kuadrat simpangan bakunya dapat dihitung dengan rumus: 𝑆𝑆 = ∑ 𝐷2 − (∑ 𝐷)2 𝑛 Untuk contoh di atas hasil jumlah kuadrat simpangan bakunya adalah: 𝑆𝑆 = 54 − 202 10 = 14 𝑆𝑑 = √ 14 9 = 1,247219129 = 1,25 𝑆 𝐷̅ = 1,25 10 = 0,3952847075 = 0,40 𝑡 = 𝐷̅ − 𝜇0 𝑆 𝐷̅ = 2 − 0 0,40 = 5
- 79. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 76 Oleh karena t hitung berada di luar daerah penerimaan hipotesis nol maka kita menolak hipotesis nol, hal ini berarti bahwa penataran tersebut mempunyai dampak terhadap kemampuan guru atas materi yang ditatarkan. B. Uji f : Menguji H0 : 𝜶 𝟐 X = 𝜶 𝟐 Y Disini akan kita pelajari uji CLR untuk H0 : 22 yx versus H1 : 22 yx berdasarkan data 2 sampel yang independent, masing- masing diambil dari populasi normal, N 22 ; xx . dan N 22 ; yy . Uji ini akan kita gunakan, antara lain, untuk mendukung anggapan variansi yang sama dalam uji kesamaan dua mean Teorema 2. Artinya, jika H0 : 22 yx kita terima, maka teorema 2 dapat kita gunakan. Tetapi jika H0 : itu ditolak, uji t pendekatan yang harus digunakan. 2 ; 2 ; 2 2 mn mn t t Teorema 2. Misalkan X1,X2,….,Xn ~ N 22 ;x dan Y1, Y2, ….., Ym ~ N 22 ;y , serta Xi dan Yi itu independent. Dengan Tingkat signifikansi , uji GLR untuk H0 : yx versus H1 : yx akan menolak H0 apabila :
- 80. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 77 mn S yx t p 11 Teorema 3 Misalkan X1,X2,….,Xn sample random dari N 22 ; xx dan Y1, Y2, ….., Ym sample random dari N 22 ; yy ,serta semua X dan Y independent. Uji pendekatan GLR untuk H0 : 22 yx dan versus H1 : 22 yx Pada tingkat adalah menolak H0 apabila 2 2 X Y S S 2 1; 2 ; 1,1 1,1 nm nm F F Catatan : Uji GLR dalam Teorema 3 adalah pendekatan seperti dalam uji untuk H0 : 2 0 2 ( Teorema 10. Bab 2 ) Distribusi statistic menguji 2 2 X Y S S tidak simetris dan dua rentang perbandingan variansi yang menghasilkan lebih kecil atau sama dengan mempunyai luasan ekor yang sedikit berbeda. Tetapi untuk memudahkan pekerjaan dua daerah kritis itu diambil sama luasnya. Contoh soal: Subyek penelitiannya adalah 20 orang narapidana, yang menjadikan dua kelompok berukuran sama secara random. Kelompok diperlukan biasa, sedangkan kelompok II diperlukan cara khusus.
- 81. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 78 Setelah tujuh hari, frekuensi gelombang-alpha diukur, dan diperoleh hasil sebagai berikut : Kelompok I ( X ) Kelompok II ( Y ) 10,7 9,6 10,7 10,4 10,4 9,7 10,9 10,3 10,5 9,2 10,3 9,3 9,6 9,9 11,1 9.5 11,2 9,0 10,4 10,9 Akan kita gunakan uji f untuk menentukan apakah ada perbedaan yang signifikan antara kedua fariansi sampel. Misalkan σ 2 x dan σ 2 y adalah variansi populasi X dan populasi Y, kita akan menguji Ho : σ 𝟐 𝐱 = σ 𝟐 𝐲 versus H1 : σ 𝟐 𝐱 ≠ σ 𝟐 𝐲 Adalah tingkat signifikan α = 0,05. Selanjutya kita hitung ∑ Xi = 105,8 ∑ Xi 2 = 1121,26 ∑ Yj = 97,8 ∑ Xj 2 = 959,70 Maka variansi kedua sampel itu adalah
- 82. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 79 S 𝟐 𝐗 = 𝟏𝟎( 𝟏𝟏𝟐𝟏,𝟐𝟔 )–(𝟏𝟎𝟓,𝟖 )² 𝟏𝟎 ( 𝟗 ) = 0,21 dan S 𝟐 𝐘 = 𝟏𝟎 ( 𝟗𝟓𝟗,𝟕𝟎 )–( 𝟗𝟕,𝟖 )² 𝟏𝟎 ( 𝟗 ) = 0,36 Statistic penguji : F = 𝐒 𝟐 𝐘 𝐒 𝟐 𝐗 = 𝐨,𝟑𝟔 𝟎,𝟐𝟏 = 1,71 Dari table distribusi F kita tahu : P ( 0,248 < 𝐹9,9 < 4,03) = 0,95. Jadi 𝐻0 akan ditolak jika F ≥ 4,03 atau F ≤ 0,248. Karena disini F = 1,71 maka 𝐻0 tidak ditolak. 1. Jenis Uji Hipotesa Uji Hipotesa satu arah 0 0 :1 :0 H H 0 0 :1 :0 H H Uji Hipotesa dua arah 0 0 :1 :0 H H 2. Uji Hipotesa Terhadap Rata-rata a) Uji hipotesa dilakukan terhadap rata-rata, dimana hipotesa yang diambil adalah hipotesa rata-rata dari suatu populasi. b) Uji hipotesa rata-rata ini ada dua macam, yaitu uji hipotesa dengan varians populasi σ diketahui dan uji hipotesa dengan varians populasi σ tidak diketahui.
- 83. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 80 3. Uji Hipotesa Rata-rata dengan σ Diketahui Nilai statistic uji : n x z 0 dengan n ≥ 30. WilayahKritis: 0:1 H , wilayah kritis Z < - Zα 0:1 H , wilayah kritis Z > Zα 0:1 H , wilayah kritis Z < - Zα/2 dan Z > Zα/2 4. Uji Hipotesa Rata-Rata Dengan σ tidak diketahui Nilai statistic uji : n s x t 0 dengan n ≥ 30. WilayahKritis: 0:1 H , wilayah kritis t < - tα 0:1 H , wilayah kritis t > tα 0:1 H , wilayah kritis t < - tα/2 dan t > tα/2 5. Uji Hipotesa terhadap Varians H0 : 2 0 2 Nilai statistic uji 2 0 2 2 .1 sn Wilayah Kritis:
- 84. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 81 2 0 2 :1 H , wilayah kritis 1 22 2 0 2 :1 H , wilayah kritis 1 22 2 0 2 :1 H , wilayah kritis 2/ 22 2/1 22 dan C. Data Binomial : Uji H0 : 𝑷 𝑿 = 𝑷 𝒀 Disini akan kita pelajari contoh untuk keadaan di mana dua himpunan data itu adalah binomial. Misalkan n Bernoulli Trials yang berkaitan dengan perlakuan X menghasilkan x sukses, dan m Bernoulli Trials yang berkaitan dengan perlakuan Y menghasilkan y sukses. Kita ingin menguji PX=PY, di mana PX adalah probabilitas sukses untuk perlakuan x dan PY adalah probabilitas sukses untuk perlakuan y. Jadi, H0:PX=PY(=p) versus H1:PX PY akan kita uji pada tingkat signifikansi 𝛼. Kedua ruang parameternya adalah 𝜔 = {( 𝑃 𝑋, 𝑃 𝑌):0 ≤ 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌 ≤ 1} dan 𝜑 = {( 𝑃 𝑋, 𝑃 𝑌):0 ≤ 𝑃 𝑋 ≤ 1, 0 ≤ 𝑃 𝑌 ≤ 1} Selanjutnya, fungsi likelihood dapat ditulis sebagai 𝐿 = 𝑃 𝑋 𝑋(1− 𝑃 𝑋)ℎ−𝑋 ∙ 𝑃 𝑌(1 − 𝑃 𝑌) 𝑚−𝑦
- 85. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 82 dengan menyamakan derivatif log L terhadap 𝑃(= 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌) sama dengan nol, dan kita hitung P, kita peroleh 𝑝̂ = 𝑥+𝑦 𝑛+𝑚 yang merupakan PML untuk 𝑝 di bawah 𝐻0 (yakni proporsi sukses pooled). Jika 𝜗 log 𝐿 𝜗 𝑃 𝑋 = 0 dan 𝜗 log 𝐿 𝜗 𝑃 𝑌 = 0, maka akan kita peroleh PML untuk 𝑃 𝑋 dan 𝑃 𝑌, yakni 𝑝̂ 𝑋 = 𝑥 𝑛 dan 𝑝̂ 𝑌 = 𝑦 𝑛 Penaksir-penaksir kita masukkan ke dalam L untuk memperoleh GLR sebagai berikut: 𝜇 = 𝐿(𝜔) 𝐿(𝜑) = [(𝑥 + 𝑦)/(𝑚 + 𝑛)] 𝑥+𝑦[1 − (𝑥 + 𝑦)/(𝑚 + 𝑛)] 𝑛+𝑚−𝑥−𝑦 (𝑥/𝑛) 𝑥(1 − 𝑥 𝑛 ) 𝑛−𝑥( 𝑦 𝑚 ) 𝑦(1 − 𝑦 𝑚 ) 𝑚−𝑦 Bentuk fungsi ini tidak sederhana, sehingga akan sukar bekerja dengan fungsi. Karena itu perlu dicari pendekatan untuk uji GLR yang biasa. Dapat ditunjukkan bahwa −2 log λ untuk masalah ini mempunyai distribusi asimtotik 𝑥2 dengan derajat bebas 1. Jadi, uji dua sisi pendekatan dengan tingkat signifikansi ∝= 0,05 adalah menolak 𝐻0 jika −2log 𝜆 ≥ 3,84. Pendekatan lain yang paling sering digunakan adalah pemanfaatan teorema limit pusat, yakni 𝑋 𝑛 − 𝑌 𝑚 − 𝐸( 𝑋 𝑛 − 𝑌 𝑚 ) √ 𝑣𝑎𝑟( 𝑋 𝑛 − 𝑌 𝑚 ) mendekati distribusi normal standar. Tentu saja di bawah 𝐻0 𝐸 ( 𝑋 𝑛 − 𝑌 𝑚 ) = 0
- 86. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 83 dan 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋 𝑛 − 𝑌 𝑚 ) = 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 + 𝑝(1 − 𝑝) 𝑚 = ( 𝑛 + 𝑚) 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛𝑚 Jika p sekarang diganti dengan PMLnya di bawah ω, 𝑥+𝑦 𝑛+𝑚 , akan kita peroleh Teorema 4 di bawah ini. Teorema 4 Misalkan x dan y menunjukkan banyak sukses masing-masing dalam n dan m Bernoulli Trials yang berbeda. Misalkan 𝑃 𝑋 dan 𝑃 𝑌 adalah probabilitas sukses dalam kedua Bernoulli Trials itu. Uji GLR pendekatan pada tingkat signifikansi untuk 𝐻0: 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌 versus 𝐻1: 𝑃 𝑋 ≠ 𝑃 𝑌 adalah menolak 𝐻0 apabila 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚 √( 𝑥 + 𝑦 𝑛 + 𝑚 )(1 − 𝑥 + 𝑦 𝑛 + 𝑚 )(𝑛 + 𝑚) 𝑛𝑚 Dengan 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚 ≤ −𝑍 𝛼/2 dan √ ( 𝑥+𝑦 𝑛+𝑚 )(1− 𝑥+𝑦 𝑛+𝑚 )(𝑛+𝑚) 𝑛𝑚 ≥ 𝑍 𝛼/2 Contoh Kita ingin membandingkan keandalan (reliabelitas) tabung elektronik buatan pabrik P dan Pabrik Q. Untuk ini kita periksa 100 tabung elektronik merek P, ternyata hanya 23 yang tahan hidupnya lebih dari 600 jam. Selanjutnya kita periksa pula 100 tabung merek Q, ternyata ada 52 buah yang bertahan hidup lebih dari 600 jam. Apakah
- 87. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 84 dapat kita simpulkan bahwa kedua merek tabung elektronik tersebut mempunyai keandalan yang sama ? Untuk menjawab pertanyaan itu kita lakukan uji hipotesis sebagai berikut. Misalkan 𝑃 𝑋 dan 𝑃 𝑌 masing-masing adalah proporsi (presentase atau probabilitas) elemen-elemen populasi merek P dan populasi merek Q yang bersifat A (tahan hidup > 600 jam). Kita rumuskan hipotesis sebagai berikut: 𝐻0: 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌 versus 𝐻1: 𝑃 𝑋 ≠ 𝑃 𝑌 Ambil tingkat signifikansi ∝= 0,10 maka 𝐻0 akan ditolak apabila 𝑍 ≥ 𝑍0,05 = 1,64 dan 𝑍 ≤ −𝑍0,05 = −1,64 di mana statistik penguji Z diitung dengan rumus dalam Teorema 4. Jadi 𝑍 = 0,23 − 0,26 √ 23 + 26 200 (1 − 23 + 26 200 )(100 + 100) 100.100 = −0,49 Dengan demikian 𝐻0 tidak ditolak. Maka kita cenderung menyimpulkan bahwa keandalan kedua merek tabung elektronik itu sama. Teorema(5.2) Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan variansi sbb: Contoh (5.6) Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.5) kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkan selang np 2
- 88. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 85 Jawab: Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4 Diperoleh: Menggunakan teorema Chebyshev adalah Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 2.206 sampai 9.794 Percobaan Multinomial distribusi multinomial adalah distribusi peluang bersama frekuensi-frekuensi sel 1, , kn n dalam n trial multinomial dengan parameter 1, , kp p yang masing-masing merupakan peluang sel. Fungsi peluang distribusi multinomial adalah 1 1 1 1 ! , , ! ! kn n k k k n f n n p p n n untuk 1 k i i n n Parameter-parameter itu memenuhi 1 1 k i i p Nilai ekspektasi dan variansi dari distribusi multinomial adalah i iE n np dan Var 1i i in np p dimana 1,2, ,i k . Teorema 1.7 misalkan 1 2, , , ky y y berdistribusi multinomial dengan probabilitas 1 2, , , kp p p maka untuk n besar, variabel acak tidak negatif 2 2 1 k i i i i y np np dimana 1,2, ,i k [1.11] 2 9 794 2 2 206. dan .
- 89. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 86 mendekati distribusi chi-square dengan derajat bebas 1k dengan harga mean 2 adalah 1k . Persamaan 1.11 pertama kali diperkenalkan dan dipelajari oleh Karl Pearson pada tahun 1900 sehingga dikenal dengan nama ”Pearson’s chi square statistic”. Harga mean 2 hanya tergantung pada banyak sel atau kelas k (banyak kemungkinan yang dapat terjadi pada eksperimen multinomial) dan tidak tergantung pada harga , 1,2, ,ip i k . Bukti : 2 2 2 1 k i i i i E y np mean E np 1 1 1 1 1 var 1 1 1 1 k k i i i i ii i k k k i i i i i y np p np np p p k Rumus transformasi 2 sering ditulis dengan persamaan 2 2 2 1 1 k k i i i i i ii i y np O E np E [1.12] dimana i iO y adalah frekuensi sel i yang diobservasi dalam sampel berukuran n, sedangkan i i iE np mean y adalah mean atau frekuensi sel i yang diharapkan (nilai ekspektasi). Kasus khusus model multinomial (Soejoeti, 1985:8) adalah uji hipotesis apakah suatu eksperimen dengan k hasil yang mungkin memiliki kemungkinan yang sama yaitu 0 1 2 1 : kH p p p k .
- 90. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 87 Dalam kasus khusus model multinomial. persamaan 2 dapat dinyatakan dengan 2 2 1 k i i k n y n k Dengan menggunakan distribusi binomial hanya dapat untuk mencari nilai probabilitas dengan dua kategori, misalnya baik dan rusak, lulus dan gagal, untung dan rugi dan lain-lain. Tetapi untuk mencari nilai probabilitas dengan beberapa kategori, misalnya peristiwa tinggi, sedang dan rendah, peristiwa merah, kuning, biru dan hitam dan lain-lain, tidak dapat dilakukan dengan distribusi binomial. Untuk menjawab masalah tersebut maka dapat digunakan Distribusi Multinomial, yaitu digunakan untuk mencari nilai probabilitas dengan lebih dari dua kategori dan bersifat independen. Berdasarkan hal tersebut, maka distribusi multinomial dapat dirumuskan sebagai beriku Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari dua hasil. Umumnya bila suatu usaha dapat menghasilkan k hasil yang mungkin E1, E2, …, Ek dengan peluang P1, P2, …, Pk. Maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa E1 ,terjadi sebanyak E2×2 kali, …, Ekxk kali dalam n usaha bebas dengan x1 + x2 + … + xk = n. Distribusi Multinomial : Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil dengan peluang, maka distribusi peluang peubah acak yang menyatakan banyak terjadinya dalam n usaha bebas ialah :
- 91. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 88 Rumus Distribusi Multinomial Contoh soal Bila dadu dilantumkan 6 kali , berapakah peluang mendapat jumlah 7 atau 11 muncul 2 kali,sepasang bilangan yang sama 1 kali,dan kombinasi lainnya 3 kali ? Jawab Nilai : P1 = 2/9 P2 = 1/6 P3 = 11/18 X1 = 2 X2 = 1 X3 = 3 Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial jika tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin. Misalnya hasil produksi pabrik dapat dikelompokan menjadi barang baik, cacat, dan masih bisa diperbaiki.
- 92. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 89 Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil Dengan probabilitasnya maka distribusi perubah acak yang menyatakan banyaknya kejadian Dalam n-usaha bebas adalah ; Dengan Contoh(5.7) Dua buah dadu dilantunkan 6 kali, berapa probabilitas akan mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kominasi lainnya 3 kali? Jawab: Misal: E1= muncul jumlah 7 atau 11 p(E1)=2/9 E2 = muncul pasangan bilangan yang sama p(E2)=1/6 E3 = muncul selain E1 maupun E2 p(E3)=11/18 Nilai initidak berubah dari ke6-usaha. Menggunakan distribusi multinomial dengan x1=2, x2=1 dan x3=3 diperoleh: Proses Bernoulli 1 2 kE ,E ,....,E1 2 kp ,p ,....,p 1 2 kX , X ,...., X 1 2 kE ,E ,....,E 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 k k x x x k; k k n f(x ,x ,...,x p ,p ,...,p ,n) p p ...p x ,x ,...,x 2 1 32 1 11 2 1 11 9 6 18 9 6 18 36 4 1 11 2 1 3 81 6 318 6 2 1 3 6 2 1 3 0 1127! ! ! ! f( , , ; , , , ) , , .
- 93. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 90 Suatu proses dikatakan sebagai proses Bernoulli jika memiliki karakteristik sebagai berikut: 1. eksperimen terdiri atas n ulangan percobaan 2. masing-masing percobaan menghasilkan outcome yang dapat diklasifikasikan sebagai sebuah sukses atau sebuah gagal 3. probabilitas sebuah sukses, disimbolkan dengan p, tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lainnya 4. ulangan percobaan adalah independen Contoh proses Bernoulli:Sebuah kartu diambil dari tumpukannya. Hal ini dilakukan tiga kali tanpa pengembalian. Jika muncul warna merah maka percobaan tersebut diklasifikasikan sebagai sukses dan jika muncul warna hitam maka percobaan tersebut diklasifikasikan sebagai gagal. Apakah proses ini mengikuti proses Bernoulli? Sebuah percobaan Bernoulli dapat menghasilkan outcome sukses dengan probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q= 1- p. Maka distribusi probabilitas dari variabel random binomial X, jumlah sukses dalam n percobaan independen, adalah: b(x; n, p) = x = 0,1,2, …, n Eksperimen binomial akan menjadi eksperimen multinomial jika pada tiap percobaan ada lebih dari dua jenis outcome yang mungkin muncul. Jika sebuah percobaan dapat menghasilkan outcome E1, E2, …, Ek dengan probabilitas masing-masing p1, p2, …,pk, maka distribusi probabilitas dari variabel random X1, X2, …, Xk yang
- 94. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 91 menggambarkan jumlah kemunculan outcome E1, E2, …, Ek dalam n percobaan independen adalah: Dengan menggunakan distribusi binomial hanya dapat untuk mencari nilai probabilitas dengan dua kategori, misalnya baik dan rusak, lulus dan gagal, untung dan rugi dan lain-lain. Tetapi untuk mencari nilai probabilitas dengan beberapa kategori, misalnya peristiwa tinggi, sedang dan rendah, peristiwa merah, kuning, biru dan hitam dan lain-lain, tidak dapat dilakukan dengan distribusi binomial. Untuk menjawab masalah tersebut maka dapat digunakan Distribusi Multinomial, yaitu digunakan untuk mencari nilai probabilitas dengan lebih dari dua kategori dan bersifat independen. Berdasarkan hal tersebut, maka distribusi multinomial dapat dirumuskan sebagai berikut:
- 95. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 92 Kebanyakan uji goodness of fit didasarkan atas statistik pengujian yang pada hakekatnya sama, yang distribusi asimtotnya khi- kuadrat. Struktur yang mendasari statistic itu diturunkan dari distribusi multinomial. Disini akan kita definisikan distribusi multinomial itu dan mempeloajari sifat-sifatnya yang berkaitan langsung dengan masalah uji goodness of fit. Dipunyai Bernoulli trials, masing-masing dengan probabilitas sukses p. maka fungsi probabilitas banyak sukses Y adalah (distribusi multinomial): nypp y n yfyYP yny ,....,2,1,0;)1()()(
- 96. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 93 Satu cara untuk memperluas fungsi probabilitas binomial diatas adalah dengan memandang keadaan dimana pada tiap trial dapat terjadi (k>2) hasil yang mungkin. Dengan demikian Y akan dapat menjalani nilai kyyyy ...,,3,2,1 dengan probabilitas masing-masing 1..., 1 ,,2,1 k i ik pdenganppp Perhatikan jika n trial semacam itu diamati, distribusi nilai-nilai Y yang dihasilkan dapat diringkaskan dengan mendefinisikan himpunan variabel random baru kiyYbanyakkaliXanaXXX iik ,...,2,1,:dim,,...,, 21 Tentu saja nX n i i 1 Vektor kXXX ,...,, 21 adalah variabel random multivariat diskrit yang fungsi probabilitas bersama-nya adalah fungsi probabilitas multinomial, yakni: kx k xx k kkk ppp xxx n xxxfxXxXxXP ... ,...,, ...,,,...,, 21 21 21 ,212211 , dengan !!...! ! ,...,, ;,...,2,1;,...,2,1,0 2121 1 1 kk k i i xxx n xxx n nxkinx teorema 1:
- 97. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 94 Misalkan vektor kxxx ,...,, 21 adalah variabel random multivariat dengan parameter n, kppp ,...,, 21 maka fungsi probabilitas marginal ,,...,2,1, kiXi adalah binomial dengan parameter n dan ip . Akan kita buktikan teorema itu untuk k=3. Misalkan X, Y, Z berdistribusi trinomial dengan parameter n, ., , ZYX PPP Yang harus kita tunjuukkan sekarang adalah Xn X X X PP x n xf 1)( Dari definisi: y z z z y y x x ppp zyx n Y !!! ! f=0,1,..., n-x; z==0,1,...,n; y+z=n-x xn y xn y xn x yxn xyy y xn x x x yxny y x x y y x x p pp p yxny xn pp xnx n pppp zxnzx n Y 0 0 )1( )1( )!(! )!( )1( )!(! ! )1( )!(!! ! xn y yxn x y y x yxn x x x p p p p yxny xn pp xnx n 0 1 1 1)!(! )!( )1( )!(! ! Perhatikan jumlah diruas kanan itu sama dengan 1, karena merupakan jumlah fungsi probabilitas binomial dengan parameter (n- x) dan )1( p py . Dengan demikian teorema terbukti untuk k=3. Dari teorema 1 kita ketahui bahwa ).1()var(,)( iiiii pnpxdannpxE Dapat juga ditunjukkan bahwa penaksir maksimum likelihood untuk . n x p i i
- 98. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 95 Satu sifat lain dari distribusi multinomial yang perlu kita sebutkan adalah setiap variabel random, diskret, ataupun kontinu, dapat dijadikan distribusi multinomial dengan pemisahan rentangnya menjadi himpunan k interval yang tidak tumpang suh (over lap). Misalkan Y adalah variabel random kontinu dengan fungsi probabilitas f(y) yang didefinisikan pada rentang garis real. Sebagai k interval kita ambil himpunan ia a ki k aakidyyfp aaaa 1 0 1211 1 ;;,...,2,1;)( ,,...,,,, Maka, jika n pengukuran diambil pada Y, dan jika ix adalah banyak pengukuran Y yang jatuh pada interval i, fungsi probabilitas vektor kXXX ,...,, 21 adalah multinomial dengan parameter n dan ip ; dan i=1,2,...,k. Analisis multivariat merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan untuk memahami struktur data dalam dimensi tinggi. Disebut dimensi tinggi karena melibatkan lebih dari satu variabel. Variabel-variabel itu saling terkait (berkorelasi) satu sama lain. Disinilah letak perbedaan antara multivariabel dan multivariat. Multivariat pasti melibatkan multivariabel tetapi tidak sebaliknya. Multivariabel yang saling berkorelasilah yang dikatakan multivariat. Sebuah unit penelitian dapat dilihat dari berbagai sudut pandang. Dalam penelitian mengenai kesejahteraan rakyat misalnya, kita dapat mengambil sejumlah rumah tangga sebagai unit penelitian. Sebuah rumah tangga bisa diukur pendapatannya, pengeluarannya,
- 99. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 96 konsumsi protein, jumlah anggota rumah tangga dan lain-lain. Ada banyak dimensi yang bisa kita gali dari sebuah rumah tangga. Misalkan sebuah kumpulan unit penelitian dinyatakan oleh sebuah himpunan . Kita memiliki n observasi yang diukur dalam p dimensi. Setiap observasi memiliki p dimensi dinyatakan dengan , merupakan elemen dari vektor variabel . Sehingga X terdiri dari variabel random . Kita mungkin saja tetarik untuk mengetahui: a) Apakah ada komponen X yang lebih menyebar daripada yang lain? b) Apakah ada beberepa komponen yang membentuk suatu kelompok baru? c) Apakah ada nilai-nilai ektsrem dalam sebuah komponen? d) Bagaimana distribusi datanya? e) Apakah mungkin dilakukan pengurangan dimensi sehingga memungkinkan memandang dimensi yang lebih kecil? Berdasarkan pertanyaan-pertanyaan diatas memunculkan berbagai teknik analisis multivariat seperti analisis komponen utama, kluster, diskriminan dan lain-lain. Distribusi Hipergeometrik
- 100. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 97 Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu, sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada sampling tanpa pengembalian. Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat: 1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N benda. 2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N- k diberi nama gagal. Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k gagal dinyatakan sebagai: Contoh (5.8) Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang duduk dalam panitia. Jawab: 0 1 2 k N k x n x N n h(x;N,n,k) ; x , , ,......,n
- 101. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 98 Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia. X={0,1,2,3} Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus: Teorema(5.3) Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan variansi sbb: dan Contoh (5.9) Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkan selang Jawab: Jadi, selang yang ditanamkan adalah dari -0,741 sampai 1,491 Contoh (5.10) 3 5 5 8 5 8 5 3 0 1 2 3 x x h(x; , , ) ; x , , , 3 5 0 5 1 568 5 0 0 8 5 3x h( ; , , ) 3 5 1 4 15 568 5 1 1 8 5 3x h( ; , , ) 3 5 2 3 30 568 5 2 2 8 5 3x h( ; , , ) 2 1 1N n k k N n n (n)( )( ) 2 2 1 491 2 0 741, dan ,
- 102. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 99 Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman sebanyak 5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika ada seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapa probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat. Jawab: Karena n = 10 cukup kecil dibandingkan N = 5000, maka probabilitasnya dihampiri dengan binomial dengan p = 10/5000 = 0,2 adalah probailitas mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat: Jika dihitung dengan software R > phyper(3,5000,10,1000) # tidak bisa menghitung [1] 0 Dihitung dengan pendekatan distribusi binomial > pbinom(3,10,0.2) [1] 0.8791261 > pbinom(2,10,0.2) [1] 0.6777995 Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan prubah acak X ynag menyatakan banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut “distribusi poisson”. 3 2 0 0 3 5000 10 1000 3 10 0 2 10 0 2 10 0 2 0 8791 0 6778 0 2013 x x h( ; , , ) b( ; , . ) b(x; , . ) b(x; , . ) , , ,
- 103. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 100 Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut: 1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang) waktu tertentu independen dengan daerah lainya. 2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang. 3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang sempit diabaikan. Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan dengan , dimana µt adalah rata-rata hasil Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t, dinyatakan: dimana: e=2,71828 dan µt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu. Misalkan , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18 diberikan pada tabel Poisson. Atau dengan bantuan software R Distribusi Seragam k kxP 1 ; untuk x = x1, x2, ..., xk Distribusi Binomial p(x, t) 0 1 2 t xe ( t) x! p(x, t) ; x , , ,..... t
- 104. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 101 xnx qp p n pnxb ;; dengan x = 0, 1, 2, ..., n Rata-rata pn Ragam qpn 2 Distribusi Binomial Negatif xnx qp x n pnxb 1 1 ;; dengan x = n, n+1, n+2, .... Distribusi Multinomial kx k xx k kk ppp xxx n pppnxxxb 21 21 21 2121 ,,, ,,,;;,,, dimana p1 + p2 + ...+ pk = 1 Distribusi Geometrik 1 ; n pqpng Distribusi Hipergeometrik n N xn kN x k knNxh ;;; dengan x = 0, 1, 2, ..., n Rata-rata : μ = np Ragam : N k N k n N nN 1 1 2 Distribusi Poisson ! ; x e xp x
- 105. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 102 1. Uji Binomial a. Definisi Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan- ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½. Metode Binomial adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menggabungkan aktivitas secara sah dari penemuan data binomial. Tujuannya adalah untuk menyediakan keterangan lengkap tentang metode ini dan untuk memperbaharui dan memperluas aplikasi dan penelitian dalam masyarakat luas. Salah satu contoh dari pemanfaatan data binomial yaitu yang bisa dilihat dalam penelitian klinis dan kesehatan masyarakat, dimana seringkali diperlukan untuk menggabungkan temuan-temuan dari berbagai intervensi atau pengamatan studi yang sangat penting untuk keamanan dan keampuhan pertanyaan dalam pencarian data. Sebuah studi
- 106. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 103 tunggal jarang memberikan jawaban pasti karena keterbatasan ukuran sampel dan atribut spesifik populasi studi tertentu. Tantangan menggabungkan data dari studi heterogen baik dijelaskan dalam meta-analisis literatur. Dalam sebagian besar analisis meta-laporan, hasil yang terpenting adalah perbandingan perkiraan resiko seperti rasio, resiko relatif, atau perbedaan resiko Namun, seperti proporsi peristiwa klinis antara kelompok pasien atau tingkat respon antara pasien yang menerima rejimen pengobatan tertentu, keputusan langkah-langkah penting untuk membantu membimbing klinis dan kesehatan masyarakat. 2. Ciri-ciri Distribusi Binomial Ciri dari binomial adalah data berupa dua (bi) macam unsur, yaitu ‘gagal’ atau ‘sukses’ yang diulang sebanyak n kali. Tentu saja pemakai bebas untuk mendefinisikan apa yang dimaksud ‘sukses’ atau ‘keberhasilan’ dan apa yang dikategorikan ‘kegagalan’. Uji binomial akan membandingkan frekuensi yang diobservasi dari dua kategori pada sebuah variabel dikotomi terhadap frekuensi harapan di bawah distribusi binomial dengan parameter probabilitas tertentu. Dalam default, parameter probabilitas untuk kedua kelompok adalah 0,5, atau dengan hipotesis dinyatakan :
- 107. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 104 Ho : frekuensi observasi kategori I = frekuensii observasi kategori II H1 : frekuensi observasi kategori I ≠ frekuensii observasi kategori II Untuk mengubah probabilitas = 0,5, dapat dilakukan dengan mengisikan proporsi untuk kelompok pertama, sedangkan proporsi untuk kelompok kedua adalah 1 dikurangi probabilitas untuk kelompok pertama. Beberapa faktor yang harus diperhatikan dalam pemakaian uji binomial adalah data dan asumsi. Data Variabel yang diuji seharusnya bertipe numerik dan merupakan variabel dikotomi.Variabel dikotomi adalah variabel yang hanya terdiri dari ddua macam value, misalnya benar dan salah, ya dan tidak, 0 dan 1, dan sebagainya. Jika variabel yang akan diuji tidak dikotomi, maka harus ditentukan cut point. Cut point tersebut akan membagi case-case ke dalam dua kelompok, yaitu case-case yang mempunyai value lebih kecil dari atau sama dengan cut point akan dijadikan kelompok pertama dan sisanya adalah kelompok kedua. Rumus distribusi binomial: b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n n : banyaknya ulangan x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x p : peluang berhasil dalam setiap ulangan q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan
- 108. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 105 Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES. Contoh Distribusi Binomial : Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas : a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas. b) Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas Jawab : a) X ≤ 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768
- 109. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 106 b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960 b(x=2) = 5C2 (0.20)0 = 0.20480 +0.32768+0.40960 =0.94208 Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208 b) X ≥ 1 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(1; 5, 0.15)+ b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5,0.15) = 0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0)1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)51 – 0.4437 = 0.5563 c) X = 2 b(2; 5, 0.25) = 0.2637 d) X ≤ 2 X ≤ 4 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528 Analisis masing – masing point : 1) Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.
- 110. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 107 2) Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%). 3) Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%). 4) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar. Analisis keseluruhan : 1) Persentase Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia. 2) Nilai X Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas . Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia. 3. Perkiraan Pada Parameter Dua metode utama, yang pertama melibatkan moment dan yang lainnya melibatkan kemungkinan yang maksimum, sering
- 111. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 108 digunakan untuk memperkirakan parameter μ dan θ. Dalam hal data aktual yang diamati dari berbagai studi, p i = x i / n i, i = 1,2, ... k, di mana indeks i studi yang berbeda, x i adalah jumlah peristiwa di th i studi dan n i adalah ukuran sampel penelitian. 4. Metode Perkiraan Moment Dalam hal data aktual diamati dari berbagai studi, biarkan p i = x i / n i, i = 1,2, ... k, di mana indeks i studi yang berbeda, x i adalah jumlah peristiwa di th i studi dan n i adalah ukuran sampel penelitian. n i 's di sini hampir selalu tidak setara dalam studi klinis. …. (4) Yang mana (w i) mewakili seperangkat bobot dan w adalah jumlah dari semua bobot. maka perkiraan moment dari μ dan γ adalah: dan … (5) di mana Untuk menurunkan θ, kita dapat dengan mudah melakukan konversi berikut:
- 112. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 109 θ = γ /(1 - γ ) θ = γ / (1 - γ) Menyediakan seperangkat bobot yang tepat adalah menantang karena (w i) adalah fungsi dari parameter γ yang tidak diketahui. Kleinman, pertama menawarkan prosedur pembobotan empiris dan menyarankan untuk menetapkan w i = n i atau b i = 1 untuk mendapatkan perkiraan awal dari perkiraan dan μ γ menggunakan persamaan (4). Menggunakan perkiraan ini untuk menghitung γ i (w), yang kemudian dapat menggunakan ini "empiris" bobot untuk tiba pada sebuah perkiraan baru μ. Dalam kasus di mana perkiraan γ negatif, mereka harus ditetapkan ke nol. Chuang-Stein mengusulkan perbaikan pada prosedur Kleinman dengan menyarankan bahwa iterasi dilakukan sampai lebih lanjut perbedaan antara dua set berturut-turut μ dan perkiraan untuk keduanya γ lebih kecil dibandingkan nilai yang telah ditentukan. Contoh yang diberikan adalah 10 -6. Notasi lebih sederhana dalam kasus di mana semua n i 's adalah sama, maka Perkiraan moment μ dan γ adalah dan
- 113. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 110 Persamaan ini dapat dipecahkan menggunakan metode Newton-Raphson Sekali lagi, derivatif parsial kedua fungsi kemungkinan dapat digunakan untuk membentuk matriks Hessian (H) di solusi ML Yang mana, setelah dibalik, dapat digunakan untuk menurunkan kovarians matriks dan kesalahan standar untuk parameter: Dan interval keyakinan untuk dan dapat diperoleh dengan … (11) … (12) di mana Z 1 - α / 2 adalah 1 - α / 2 persentil dari fungsi distribusi normal standar. dan diperkirakan, dapat juga berasal dari dan dari persamaan μ = α / (α + β), θ = 1 / (α + β). Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa perkiraan adalah / / dan perkiraan adalah (1 -- ) / . Jika kita mengganti perkiraan ini
- 114. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 111 untuk α dan β dalam versi beta-binomial model (3), maka distribusi kumulatif dapat dihitung. Seperti yang telah kita ditunjukkan di atas, metode tersebut dapat digunakan untuk memperkirakan parameter dari distribusi binomial beta. Pembaca yang tertarik secara lebih rinci harus berkonsultasi Griffiths dan Kleinman. Para peneliti telah menerapkan estimasi kemungkinan maksimum (MLE) method dalam dua populer paket software statistik komersial. Selain itu, perangkat lunak statistik gratis, seperti R dan WinBUGS, memiliki metode untuk pemasangan beta-binomial model, tetapi mereka membutuhkan beberapa program. Satu dari dua populer komersial paket-paket software statistik SAS (SAS Institute Inc, Cary, NC, USA). BETABIN makro yang ditulis oleh Ian Wakeling tersedia secara gratis. Ini meminjam yang ada prosedur SAS NLMIXED untuk memberikan pelayanan maksimal perkiraan kemungkinan μ dan θ. Tidak hanya menyediakan standar beta-binomial model, tetapi juga Brockhoff's dikoreksi beta-binomial model. Pembaca yang tertarik dapat juga melakukan percobaan langsung dengan Proc NLMIXED agar sesuai dengan beta-binomial model yang lain yang telah dilakukan. Perangkat lunak lain Stata (College Station, Texas). Guimaraes disediakan perintah komputer yang diperlukan untuk beta-binomial perkiraan menggunakan perintah Stata kondisional xtnbreg dengan kemungkinan maksimum. Selain itu, Guimaraes
- 115. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 112 menekankan pengetahuan umum bahwa distribusi binomial beta adalah kasus khusus yang lebih umum Dirichlet-multinomial (DM) distribusi - dengan dua parameter dalam kasus ini. Dalam Dirichlet umum-distribusi multinomial ada parameter m, sehingga jauh lebih dari dua (α dan β) dalam beta- binomial distribusi. Dalam situasi di mana satu ini memang berkaitan dengan berbagai jenis peristiwa-peristiwa buruk yang berkaitan dengan pajanan yang sama, memperluas ke Dirichlet- distribusi multinomial adalah solusi yang logis. Rincian teknis model multinomial telah diberikan oleh orang lain. 5. Test Of Overdispersion Menggunakan model binomial ketika variabilitas dalam data melebihi apa model binomial dapat menampung bisa mengakibatkan meremehkan standard error dari tingkat kejadian yang terkumpul dan dengan demikian meningkatkan kemungkinan error Tipe I. Ennis dan Bi menggambarkan suatu eksperimen dengan 10.000 set data binomial overdispersed simulasi di mana mereka menemukan bahwa error Tipe I adalah 0,44 dan bukan asumsi palsu 0,05. Justru karena model binomial dapat menyesuaikan data yang overdispersed binomial penerapan beta- binomial yang diperlukan. Jadi sebelum seseorang mengadopsi beta-binomial untuk menganalisa kumpulan data tertentu, seseorang harus terlebih
- 116. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 113 dahulu memeriksa apakah data overdispersed sejauh beta-binomial model akan menjadi lebih sehat daripada model binomial sederhana. Ada beberapa cara untuk memeriksa overdispersion. Kita tahu bahwa … (13) dimana γ = 1 / (1 + α + β). Jika kita dapat memperkirakan γ, kita dapat menguji apakah γ adalah nol. Jika mendekati nol, maka tidak ada yang signifikan overdispersion, dan model binomial akan cukup menggambarkan data. Tes ini, bagaimanapun, telah ditemukan untuk menjadi kurang peka dalam mendeteksi keberangkatan dari model binomial karena masalah batas timbul ketika kami menguji apakah parameter bernilai positif lebih besar dari 0 (ingat bahwa α dan β adalah parameter positif, dan akibatnya begitu pula θ dan γ ). Seperti yang diharapkan, sebuah uji rasio kemungkinan juga dapat digunakan untuk menguji overdispersion, tetapi masalah batas yang sama berlaku. Hipotesis nol yang mendasari adalah bahwa distribusi binomial sementara hipotesis alternatif adalah bahwa distribusi beta-binomial. Log-kemungkinan untuk model binomial (ditafsirkan untuk mengumpulkan data dari semua studi tanpa bobot) adalah …. (15)
- 117. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 114 Rasio kemungkinan tes adalah χ 1 2 = 2 ( L BB - L B ) (16) χ 1 2 = 2 (L BB - L B) …. (16) di mana L BB adalah log-nilai kemungkinan untuk beta- binomial model (9) dan L B log-nilai kemungkinan untuk model binomial (15). Walaupun solusi untuk masalah batas telah ditawarkan tidak ada konsensus mengenai solusi optimal. Untuk menghindari masalah batas, kita dapat menggunakan alternatif - Tarone's Z statistik untuk menguji overdispersion. Hal ini telah ditunjukkan untuk menjadi lebih sensitif daripada tes parameter (misalnya tes untuk γ menjadi nol) dan log-rasio kemungkinan tes : …. (14) di mana Z statistik ini memiliki distribusi normal standar asimtot bawah hipotesis nol dari distribusi binomial. Singkatnya, kami sarankan untuk berhati-hati dalam menggunakan rasio kemungkinan tes. Lebih baik untuk menggabungkan dengan Tarone's Z statistik. Z statistik juga dapat digunakan sebagai suatu kebaikan-of-fit test. Telah terbukti lebih unggul kebaikan lain-of-fit
- 118. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 115 langkah. Kami akan menghitung Tarone's Z dalam contoh aplikasi kita. 6. The Bayesian Approach Pada bagian sebelumnya kita menggambarkan beta-model binomial dalam kerangka frequentist statistik. Menariknya, dalam bidang statistik Bayesian, beta-binomial model umumnya dijelaskan dalam buku-buku teks statistik Bayesian sebagai contoh. Karena metode statistik Bayesian kini semakin digunakan dalam klinis dan penelitian kesehatan publik, kami dengan ini secara singkat menggambarkan turunan dari beta-model binomial dalam kerangka Bayesian. Beberapa telah mencatat bahwa pendekatan Bayesian dapat memberikan perkiraan yang lebih akurat untuk sampel kecil. Ingatlah bahwa distribusi binomial (dalam persamaan 1) adalah sebagai berikut: Biarkan konjugat sebelumnya π (p | α, β) menjadi distribusi beta (misalnya, jika p dalam persamaan 1 berikut distribusi beta) …. (17) dimana Γ adalah fungsi gamma. Priors beta dipilih karena mereka sangat fleksibel pada (0, 1) dan dapat mewakili berbagai kepercayaan sebelumnya. Ini mirip dengan alasan untuk memilih
- 119. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 116 distribusi beta dalam kerangka frequentist. Selain itu, dengan dimulai dengan distribusi beta sebagai konjugat sebelumnya, kami memastikan bahwa distribusi posterior selalu merupakan distribusi beta, dan dengan demikian secara matematis mudah dikerjakan untuk memperkirakan parameter. Untuk notasi kenyamanan, biarkan μ = α / (α + β), M = α + β (yaitu M = 1 / θ), sehingga Singkatnya, kita lagi memiliki model dua-tahap: X i | p i ~ Bin ( n i , p i ) X i | p i ~ Bin (n i, p i) p i ~ Beta ( μ , M ), iid p i ~ Beta (μ, M), iid Dalam terminologi Bayesian, beta distribusi sebelumnya, ketika diupdate dengan data binomial, memberikan distribusi posterior beta. The Bayesian Pengukur kemudian dapat dipilih sebagai mean, median, atau modus marjinal ini posterior. Dalam banyak situasi, asalkan ukuran sampel cukup besar (n = 50 atau lebih), metode sebelumnya kita saat estimasi dan kemungkinan maksimum masih lebih disukai dalam kerangka Bayesian untuk estimasi mean dan varians. Ada persamaan matematika rinci lainnya yang terlibat dalam estimasi Bayesian beta-binomial model untuk kasus-kasus tertentu. Tertarik pembaca bisa berkonsultasi Lee dan Sabavala dan juga Lee dan Lio.
- 120. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 117 Kami akan menggambarkan penerapan metode beta-binomial menggunakan analisis yang meneliti efek samping lisan agen anti jamur. Anti jamur oral agen, termasuk terbinafine, itraconazole, dan flukonazol, telah menjadi terapi pilihan untuk dermatophytosis onychomycosis dan tidak menanggapi terapi topikal. Dalam rangka untuk mempelajari profil keamanan agen ini, kami meninjau data dari acak dan non-randomized controlled cobaan, seri kasus, dan kelompok studi yang terdaftar dermatophytosis pasien yang dangkal (tinea pedis, tinea mannus, tinea copora, dan tinea cruris) atau onychomycosis, berusia 18 atau di atas, menerima terapi antijamur oral untuk dua atau lebih minggu. Salah satu hasil yang menarik adalah kejadian kumulatif pasien yang menarik diri dari penelitian karena efek samping reaksi. Data selama 41 perawatan lengan terbinafine dari 37 studi (Tabel 1 dan Lampiran) digunakan sebagai contoh. Table 1. Pengobatan lengan terbinafine disertakan dalam perkiraan menggenang Tingkat kejadian dari berbagai studi bervariasi dari 0% sampai 13.89%. Kami menerapkan beta-binomial model dengan metode kemungkinan maksimum untuk memperkirakan tingkat acara yang terkumpul menggunakan makro SAS dan SAS BETABIN. Dari semua studi yang memenuhi syarat, kami menggabungkan data dan memperoleh perkiraan ringkasan risiko dan 95% confidence interval (CI).
- 121. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 118 ML perkiraan untuk parameter μ dan θ adalah = 0.0344 and = 0,0344 dan = 0.0278. = 0,0278. Perkiraan dari matriks kovarians dan adalah Dalam Tabel 2 , kami menyajikan perkiraan yang berbeda dari sebuah menggenang proporsi (event tingkat) dengan menggunakan model binomial dan beta-binomial model. Menggunakan model binomial, kita menghitung probabilitas binomial dan varians seolah- olah semua data yang berasal dari satu penelitian dengan ukuran sampel lebih dari 3.000. Perkiraan yang terkumpul 3,70%, 8% lebih tinggi daripada beta-binomial perkiraan 3,44%. Standard error dari data runtuh 0,34%, menyesatkan lebih kecil daripada beta-binomial perkiraan 0,59%. Tabel 2. Estimasi proporsi dan tes overdispersion Isu penting secara alami adalah ujian overdispersion karena itu adalah dasar untuk lebih memilih beta-model binomial dalam situasi ini. Hasil dari metode yang berbeda untuk mengevaluasi overdispersion disajikan pada Tabel 2. Sebagaimana dibahas dalam bagian sebelumnya, θ dan γ adalah indikator overdispersion. Mereka secara signifikan lebih besar dari nol dalam hal ini (p <0,05), menunjukkan adanya overdispersion. Kami juga melakukan pengujian kemungkinan-rasio antara beta-binomial dan binomial, dan sekali lagi tes menunjukkan bahwa ada overdispersion signifikan (p <0,001).
- 122. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 119 Akhirnya, kami menghitung Tarone's Z statistik, dan hasilnya konsisten dengan tes lainnya. Ini menunjukkan bahwa beta-binomial memiliki kebaikan yang lebih baik-of-sehat daripada binomial (p <0,001), bahwa beta-binomial model memberikan contoh kami juga grafis disajikan pada Gambar 2. Gambar 2. Beta distribusi binomial proporsi berdasarkan contoh. Ketika kami telah menunjukkan di atas, di bawah beta- binomial acara model ringkasan tingkat 3,44% dengan perkiraan standard error 0,59%. Yang θ diperkirakan 2,78% (Tabel 2 ) yang memberikan perkiraan α 1,24 dan β perkiraan 34,72. Setelah parameter-parameter ini diperkirakan, kita dapat menggunakan beta-binomial diperkirakan model untuk mengkaji kemungkinan mengamati, misalnya, 105 atau lebih dampak buruk
- 123. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 120 dalam penelitian baru 1.000 subjek. Menggunakan persamaan 3, yang kemungkinan adalah 5% di bawah perkiraan kami beta-binomial model. D. Interval Kepercayaan untuk Masalah Dua Sampel 1. Interval Kepercayaan pada MCNP Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau
- 124. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 121 polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama probabilitas. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi
- 125. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 122 linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika. Meskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi,
- 126. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 123 yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasikan seluruh populasi. Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna.
- 127. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 124 Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya. MCNP Secara umum adalah code Monte Carlo untuk transport netron dan radiasi untuk aplikasi kritikalitas nuklir. Estimasi keff menggunakan estimasi standar deviasi untuk membangun interval konfidensi keff. Bilamana dari n sample estimasi x dari variabel acak dengan simpangan baku s dengan interval konfidensi berada dalam jangkauan x •} s , menurut teori central limit distribusi dari estimasi mean mendekati distribusi normal dengan n mendekati ∞. Untuk jumlah sampel tidak terbatas, distribusi didekati oleh distribusi student t, simetrik sekitar nol dan mendekati distribusi normal dengan n →∞. Ini digunakan untuk mendeskripsikan variable random t, dimana 𝑡 = 𝑥̅ − 𝜇 𝑆( 𝑋̅) 𝑡 = 𝑥̅ − 𝜇 𝑆( 𝑋̅)/√ 𝑁 Distribusi student t mempunyai distribusi yang berbeda untuk masing-masing n, ditulis sebagai t n-1, dimana n-1 adalah jumlah derajat kebebasan, yaitu jumlah pengukuran independent yang mungkin. Titik dari absis pada graf dari distribusi student t
- 128. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 125 adalah “ persentil dari distribusi” dan ditulis sebagai tn-1, 1-α/2 , dimana indek bawah kedua adalah tingkat kepercayaan. 2. Interval Kepercayaan Untuk Masalah Dua Sampel Teorema 2, 3, dan 4 memberikan distribusi sampling untuk𝑋̅ − 𝑌̅, 𝑆 𝑌 2 𝑆 𝑋 2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑋 𝑛⁄ − 𝑌 𝑚⁄⁄ apabila H0 benar. Apabila H0 tidak harus benar, statistic penguji ini berbentuk seperti dibawah ini. 1) 𝑋̅−𝑌̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦) 𝑆 𝑝√ 1 𝑛 − 1 𝑚 ~ 𝑡 𝑛+𝑚−2 2) 𝑆 𝑦 2 𝜎 𝑦 2⁄ 𝑆 𝑥 2 𝜎 𝑦 2⁄ ~ 𝐹𝑚−1 ; 𝑛−1 3) 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚 −( 𝑝 𝑋− 𝑝 𝑌) √ 𝑥 𝑛 (1− 𝑥 𝑛 ) 𝑛 + 𝑦 𝑚 (1− 𝑦 𝑚 ) 𝑚 ~ 𝑁(0 ;1), pendekatan Dengan menggunakan rumus-rumus ini dapat kita turunkan interval kepercayaan (1 − 𝛼) 100% untuk (𝜇 𝑥 − 𝜇 𝑦), 𝜎𝑥 2 𝜎𝑦 2 , 𝑑𝑎𝑛 (𝑃𝑥 − 𝑃𝑦)⁄ . Dirumuskan dalam beberapa teorema dibawah ini. Teorema 5 Misalkan X1, X2, . . . . , Xn sampel random dari N( 𝜇 𝑥; 𝜎𝑥 2) dan 𝑌1, 𝑌2, …. , 𝑌 𝑚 sampel random dari 𝑁(𝜇 𝑦; 𝜎𝑦 2 ), serta semua X dan Y independen. Misalkan Sp adalah variansi standar pooled, maka interval kepercayaan (1 − 𝛼) 100% untuk (𝜇 𝑥 − 𝜇 𝑦) adalah
- 129. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 126 [( 𝑥̅ − 𝑦̅) − 𝑡 𝑛+𝑚−2;𝛼 2⁄ . 𝑆 𝑝√ 1 𝑛 + 1 𝑚 ( 𝑥̅ − 𝑦̅) + 𝑡 𝑛+𝑚−2;𝛼 2⁄ . 𝑆 𝑝√ 1 𝑛 + 1 𝑚 ] Contoh 8 Pandang kembali data contoh 6. Berdasarkan data itu kita ingin menaksir selisih mean kedua populasi, yakni (𝜇 𝑥 − 𝜇 𝑦), dengan interval kepercayaan 95%. Untuk ini kita gunakan rumus dalam Teorema 5 Dari data dapat kita hitung : 𝑥̅ = 105,8 10 = 10,58 ; 𝑦̅ = 97,8 10 = 9,78 ; 𝐽𝑎𝑑𝑖 ( 𝑥̅ − 𝑦̅) = 0,8 𝑆 𝑥 2 = 0,21 ; 𝑆 𝑦 2 = 0,36 ; 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆 𝑝 2 = 9(0,21) + 9(0,36) 18 = 0,285 Dari tabel distribusi t kita peroleh 𝑡18;0,025 = 2,10. Sehingga interval kepercayaan 95% untuk (𝜇 𝑥 − 𝜇 𝑦) adalah [0,8 − (2,10)(0,285)√ 1 10 + 1 10 ; 0,8 + (2,10)(0,285)√ 1 10 + 1 10 ] = (0,53;1,07) Teorema 6 Misalkan X1, X2, . . . . , Xn sampel random dari N( 𝜇 𝑥; 𝜎𝑥 2) dan 𝑌1, 𝑌2, …. , 𝑌 𝑚 sampel random dari 𝑁(𝜇 𝑦; 𝜎𝑦 2 ), serta semua X dan Y independen. Maka interval kepercayaan (1 − 𝛼) 100% untuk 𝜎𝑥 2 𝜎𝑦 2 ,⁄ adalah
- 130. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 127 [ 𝑆 𝑋 2 𝑆 𝑌 2 𝐹 𝑚−1,𝑛−1;𝛼 2⁄ ; 𝑆 𝑥 2 𝑆 𝑦 2 𝐹 𝑚−1,𝑛−1;𝛼 2⁄ ] Contoh 9 Pandang kembali data Contoh 6. Berdasarkan data ini akan dihitung interval keperayaan 95% untuk 𝜎𝑥 2 𝜎𝑦 2 ,⁄ dengan rumus dalam Teorema 6. Dalam contoh 6 telah kita peroleh 𝑆 𝑋 2 = 0,21 ; 𝑆 𝑌 2 = 0,36 ; 𝐹9,9;0,025 = 0,248 ; 𝐹9,9;0,975 = 4,03; Jadi interval kepercayaan 95% untuk 𝜎𝑥 2 𝜎𝑦 2 ,⁄ adalah [ 0,21 0,36 (0,248); 0,21 0,36 (4,03)] = (0,145 ;2,351). Teorema 7 Misalkan x dan y menunjukkan banyak sukses, masing- masing dalam n dan m Bernoulli Trials yang berbeda. Misalkan 𝑃 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝑃 𝑌 menunjukkan probabilitas sukses dalam kedua Bernoulli Trials itu. Maka interval kepercayaan (1 − 𝛼) 100% untuk ( 𝑃 𝑋 − 𝑃 𝑌) adalah [ 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚 − 𝑍 𝛼 2⁄ √ 𝑥 𝑛 (1 − 𝑥 𝑛 ) 𝑛 + 𝑦 𝑚 (1 − 𝑦 𝑚 ) 𝑚 ; 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚 + 𝑍 𝛼 2⁄ √ 𝑥 𝑛 (1 − 𝑥 𝑛 ) 𝑛 + 𝑦 𝑚 (1 − 𝑦 𝑚 ) 𝑚 ] Contoh 10
- 131. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 128 Pandang kembali data Contoh 7. Berdasarkan data itu akan kita hitung interval kepercayaan 90% untuk ( 𝑃 𝑋 − 𝑃 𝑌) dengan rumus dalam Teorema 7. Dari contoh 7 telah kita peroleh 𝑥 𝑛 = 23 100 = 0,23 ; 𝑦 𝑚 = 52 200 = 0,26 Dari table distribusi normal standar kita peroleh 𝑍0,05 = 1,64 Selanjutnya √ 𝑥 𝑛 (1 − 𝑥 𝑛 ) 𝑛 + 𝑦 𝑚 (1 − 𝑦 𝑚 ) 𝑚 = √ (0,23)(0,77) 100 + (0,26)(0,74) 200 = (−0,0715 ; 0,0115) E. Penjabaran Uji t Dua Sampel Ruang parameter 𝜔 𝑑𝑎𝑛 𝛺 adalah 𝜔 = {(𝜇 𝑥, 𝜇 𝑦, 𝜎2 ) ∶ −∞ < 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 < ∞,0 < 𝜎2 < ∞} Dan 𝛺 = {(𝜇 𝑥, 𝜇 𝑦, 𝜎2 ) ∶ −∞ < 𝜇 𝑥 < ∞, −∞ = 𝜇 𝑦 < ∞, 0 < 𝜎2 < ∞} Karena semua X dan Y independen (dan normal), maka 𝐿( 𝜔) = ∏ 𝑓( 𝑥 𝑖)𝑛 𝑖−1 ∏ 𝑓(𝑦𝑗)𝑛 𝑗=1 = ( 1 √2𝜋𝜎2 ) 𝑛+𝑚 𝑒𝑥𝑝 [− 1 2𝜎2 {∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇)2 + ∑(𝑦𝑗 − 𝜇) 2 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 }] Dengan 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 = 𝜇. Jika kita ambil log 𝐿(𝜔) dan kita selesaikan sistem persamaan 𝜕 log 𝐿(𝜔) 𝜕𝜇 = 0⁄ dan 𝜕 log 𝐿(𝜔) 𝜕𝜎2 = 0⁄
- 132. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 129 Kita peroleh PML : 𝜇̂ = ∑ 𝑥 𝑖+∑ 𝑦𝑗 𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑛+𝑚 𝜎2̂ = ∑ ( 𝑥 𝑖−𝜇̂ )2 +∑ ( 𝑦𝑗 −𝜇) 2𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑛+𝑚 PML ini kita substitusikan ke 𝐿(𝜔), kita peroleh 𝐿( 𝜔̂) = ( 𝑒−1 2𝜋𝜎2̂ ) 𝑛+𝑚 2⁄ Fungsi likelihood ruang parameter Ω adalah 𝐿( 𝛺) = ( 1 √2𝜇𝜎2 ) 𝑛+𝑚 𝑒𝑥𝑝[− 1 2𝜎2 {∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇 𝑥)2 𝑛 𝑖=1 + ∑(𝑦𝑗 − 𝜇 𝑦) 2 𝑛 𝑗=1 }] Menyelesaikan 𝜕 log 𝐿(𝛺) 𝜕𝜋 𝑥 = 0 ; 𝜕 log 𝐿(𝛺) 𝜕𝜋 𝑦 = 0 ; 𝜕 log 𝐿(𝛺) 𝜕𝜎2 = 0 Memperoleh PML : 𝜇 𝑥̂ = 𝑥̅ ; 𝜇 𝑦̂ = 𝑦̅ ; 𝑑𝑎𝑛 𝜎 𝛺 2̂ = ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2 + ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅) 2𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 + 𝑚 Substitusikan ke dalam 𝐿 ( 𝛺) kita peroleh : 𝐿 (𝛺̂) = ( 𝑒−1 2𝜋𝜎 𝛺 2 ) 𝑛+𝑚 2⁄ Sehingga λ = 𝐿( 𝜔̂ ) 𝐿 ( 𝛺̂) = ( 𝜎 𝛺 2 𝜎̂ 2 ) 𝑛+𝑚 2⁄ Atau
- 133. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 130 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ = ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2 + ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅) 2𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 ∑ [𝑥 𝑖 − ( 𝑛𝑥̅ + 𝑚𝑦̅ 𝑛 + 𝑚 )] 2 + ∑ [𝑦𝑗 − ( 𝑛𝑥̅ + 𝑚𝑦̅ 𝑛 + 𝑚 )] 2 𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 Karena ∑ [𝑥 𝑖 − ( 𝑛𝑥̅ + 𝑚𝑦̅ 𝑛 + 𝑚 )] 𝑛 𝑖=1 2 = ∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅) 𝑛 𝑖=1 2 + 𝑚2 𝑛 𝑛 + 𝑚2 ( 𝑥̅ − 𝑦̅) ∑[𝑦𝑗 − ( 𝑛𝑥̅ + 𝑚𝑦̅ 𝑛 + 𝑚 )] 𝑛 𝑗=1 2 = ∑(𝑦𝑗 − 𝑦̅) 𝑚 𝑗=1 2 + 𝑚2 𝑛 𝑛 + 𝑚2 ( 𝑥̅ − 𝑦̅) maka 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ = ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2 + ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅) 2𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)𝑛 𝑖=1 2 + ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅)𝑚 𝑗=1 2 + 𝑛𝑚 𝑛 + 𝑚 ( 𝑥̅ − 𝑦̅)2 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ = 1 1 + ( 𝑥 − 𝑦)2 [∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)𝑛 𝑖=1 2 + ∑ (𝑦𝑗 − 𝑦̅)𝑚 𝑗=1 2 ] ( 1 𝑛 + 1 𝑚 ) 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ = 𝑛 + 𝑚 − 2 𝑛 + 𝑚 − 2 + ( 𝑥̅ − 𝑦̅)2 𝑆 𝑝 2 ( 1 𝑛 + 1 𝑚) Dimana 𝑆 𝑝 2 adalah variansi pooled : 𝑆 𝑝 2 = 1 𝑛 + 𝑚 − 2 [∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅) 𝑛 𝑖=1 2 + ∑(𝑦𝑗 − 𝑦̅) 𝑚 𝑗=1 2 ] Maka 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ dapat ditulis 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ = 𝑛 + 𝑚 − 2 𝑛 + 𝑚 − 2 + 𝑡2 Uji GLR yang menolak H0 : 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 0 < 𝜆 ≤ 𝜆∗ adalah ekivalen dengan menolak H0 apabila 0 < 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ < 𝜆∗∗ . Tapi kedua criteria itu ekivalen dengan menolak H0 apabila terlalu besar.
- 134. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 131 Jadi, aturan keputusan dalam bentuk t2 adalah tolak H0 : 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 (dan menerima Hi : 𝜇 𝑥 ≠ 𝜇 𝑦 ) apabila t∗2 . Atau menolak H0 apabila 𝑡 ≥ 𝑡∗ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 ≤ −𝑡∗ Dengan 𝑃(−𝑡∗ < 𝑡 < 𝑡∗| 𝐻0 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝛼 Karena 𝑡 ~ 𝑡 𝑛+𝑚−2, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑡∗ = 𝑡 𝑛+𝑚−2 ; 𝛼 2⁄ Sebelum membahas Uji t Dua Sampel, akan dibahas dahulu mengenai: 1. Student’s t Test Student t test (uji t) pertama kali ditemukan oleh W.S. Gosset pada tahun 1908 dengan nama samara student. Penggunaan uji t adalah untuk membuktikan signifikan atau tidaknya dua nilai rata-rata. Syarat-syarat penggunaan uji t : a) Uji t dipergunakan bila simpangan baku populasinya tidak ketahui. Bila ukuran sampel 1 dan 2 tidak sama, selisih keduanya < 50% b) Data mempunyai skala pengukuran ratio atau interval c) Data berdistribsi normal Uji-t (t-test) merupakan statistik uji yang sering kali ditemui dalam masalah-masalah praktis statistika. Uji-t termasuk dalam golongan statistika parametrik. Statistik uji ini digunakan dalam pengujian hipotesis. Uji-t digunakan ketika informasi mengenai nilai variance (ragam) populasi tidak diketahui.
- 135. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 132 Uji-t dapat dibagi menjadi 2, yaitu uji-t yang digunakan untuk pengujian hipotesis 1-sampel dan uji-t yang digunakan untuk pengujian hipotesis 2-sampel. Bila dihubungkan dengan kebebasan (independency) sampel yang digunakan (khusus bagi uji-t dengan 2-sampel), maka uji-t dibagi lagi menjadi 2, yaitu uji-t untuk sampel bebas (independent) dan uji-t untuk sampel berpasangan (paired). Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika
- 136. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 133 lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama probabilitas. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi
- 137. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 134 linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika. Meskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi,
- 138. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 135 yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasikan seluruh populasi. Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna.
- 139. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 136 Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya. 2. Uji t Satu Sampel Uji t satu yang bertujuan untuk membandingkan nilai rat- rata sampel dengan nilai rata-rata populasi sebagai standarnya. Teorema Misalkan 𝑋1, 𝑋2, …. , 𝑋 𝑛 sampel random dari 𝑁( 𝜇 ; 𝜎2). Uji GLR untuk 𝐻0 ∶ 𝜇 = 𝜇0 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻1 ∶ 𝜇 ≠ 𝜇0 Dengan tingkat signifikansi 𝛼, kita menolak H0 apabila 𝑥̅ − 𝜇0 𝑠 √ 𝑛⁄ ≤ −𝑡( 𝑛−1) ; 𝛼 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑡( 𝑛−1) ; 𝛼 2 Bukti Karena 𝜎2 (dianggap) tidak diketahui, maka ruang parameternya 𝐻0( 𝜔) 𝑑𝑎𝑛 𝐻0 ∪ 𝐻1 (𝛺) adalah 𝜔 = {( 𝜇 ; 𝜎2) ∶ 𝜇 = 𝜇0, 0 ≤ 𝜎2 < ∞} Dan
- 140. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 137 𝛺 = {( 𝜇 ; 𝜎2) ∶ −∞ < 𝜇 < ∞ ; 0 ≤ 𝜎2 < ∞} Dibawah 𝜔, PML adalah 𝜇̂ = 𝜇0 𝑑𝑎𝑛 𝜎̂2 = 1 𝑛 ∑ ( 𝑥 𝑖 −𝑛 𝑖 𝜇0)2 Dibawah Ω, PML adalah 𝜇̂ = 𝑥̅ 𝑑𝑎𝑛 𝜎̂2 = 1 𝑛 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛 𝑖 Maka 𝐿( 𝜔̅) = [ √ 𝑛 √2𝜋√∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛 1 ] 𝑛 𝑒 − 𝑛 2 𝐿( 𝜔̅) = [ 𝑛 𝑒−1 2𝜋 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛 1 ] 𝑛 2 Dan 𝐿( 𝛺̅) = [ 𝑛𝑒−1 2𝜋 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛 1 ] 𝑛 2 Sehingga, likelihood ratio-nya adalah 𝜆 = 𝐿( 𝜔̅) 𝐿( 𝛺̅) = [ ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2𝑛 1 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2𝑛 1 ] 𝑛 2 , 0 < 𝜆 < 1 𝜆 = 𝐿( 𝜔̅) 𝐿( 𝛺̅) = [ ∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2 ∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2 ] − 𝑛 2 Kita tulis ∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2 = 𝑛 1 ∑[( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅) + (𝑥̅ − 𝜇0)]2 𝑛 1
- 141. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 138 ∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇0)2 = 𝑛 1 ∑[( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅) + 𝑛(𝑥̅ − 𝜇0)]2 𝑛 1 Dengan demikian, 𝜆 = [1 + 𝑛(𝑥̅ − 𝜇0)2 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅)2𝑛 1 ] − 𝑛 2 𝜆 = [1 + 𝑡2 𝑛 − 1 ] − 𝑛 2 Dengan 𝑡 = 𝑥̅ − 𝜇0 𝑠 √ 𝑛⁄ ~𝑡 𝑛−1 Perhatikan bahwa jika t2 naik, maka λ turun. Ini berarti bahwa uji GLR yang harus menolak H0 jika λ terlalu kecil (misalkan < 𝜆∗ ) adalah ekuivalen dengan menolak H0 apabila t2 terlalu besar. Tetapi, karena 𝑡 ~ 𝑡 𝑛−1, terlalu besar berarti t2 teralu besar berarti 𝑡2 ≥ (𝑡( 𝑛−1); 𝛼 2 ) 2 0 < 𝜆 ≤ 𝜆∗ ↔ 𝑡2 ≥ (𝑡( 𝑛−1); 𝛼 2 ) 2 Dan 𝑡2 ≥ (𝑡( 𝑛−1); 𝛼 2 ) 2 ↔ 𝑡 < 𝑡( 𝑛−1); 𝛼 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 > 𝑡( 𝑛−1); 𝛼 2
- 142. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 139 Maka teorema terbukti. Contoh Berdasarkan data sampel : 0,693 0,662 0,690 0,606 0,570 0,749 0,672 0,628 0,609 0,844 0,654 0,615 0,668 0,601 0,576 0,670 0,606 0,611 0,553 0,933 Kita ingin menjadi 𝐻0 ∶ 𝜇 = 0,618 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻1 ∶ 𝜇 ≠ 0,618 dengan anggapan populasinya normal. Maka uji dengan tingkat signifikansi 5% akan menolak H0 jika 𝑥̅ − 0,618 𝑠 √20⁄ ≤ −2,09 (= −𝑡10 ;0,025 ) ≥ 2,09 (= 𝑡10 ;0,025) Dari data di atas kita hitung :
- 143. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 140 ∑ 𝑥 𝑖 = 13,210 ; 20 𝑖=1 ∑ 𝑥 𝑖 = 8,8878 ; 20 𝑖=1 = 13,210 20 = 0,661 , 𝑑𝑎𝑛 𝑠 = √ 20(8,8878)− (13,210)2 20(19) = 0,093 𝑡 = 0,661−0,618 0,093 √20 ⁄ = 2,05 sehingga kita terima H0 Catatan Uji GLR untuk hipotesis satu sisi 3. Uji t Dua Sampel Uji-t 2 sampel independen (bebas) adalah metode yang digunakan untuk menguji kesamaan rata-rata dari 2 populasi yang bersifat independen, dimana peneliti tidak memiliki informasi mengenai ragam populasi. Independen maksudnya adalah bahwa populasi yang satu tidak dipengaruhi atau tidak berhubungan dengan populasi yang lain. Barangkali, kondisi dimana peneliti tidak memiliki informasi mengenai ragam populasi adalah kondisi yang paling sering dijumpai di kehidupan nyata. Oleh karena itu secara umum, uji-t (baik 1-sampel, 2-sampel, independen maupun paired) adalah metode yang paling sering digunakan. Dalam lingkup uji-t untuk pengujian hipotesis 2-sampel bebas, maka ada 1 hal yang perlu mendapat perhatian, yaitu apakah ragam populasi (ingat: ragam populasi, bukan ragam sampel) diasumsikan homogen (sama) atau tidak. Bila ragam populasi
- 144. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 141 diasumsikan sama, maka uji-t yang digunakan adalah uji-t dengan asumsi ragam homogen, sedangkan bila ragam populasi dari 2- sampel tersebut tidak diasumsikan homogen, maka yang lebih tepat adalah menggunakan uji-t dengan asumsi ragam tidak homogen. Uji-t dengan ragam homogen dan tidak homogen memiliki rumus hitung yang berbeda. Oleh karena itulah, apabila uji-t hendak digunakan untuk melakukan pengujian hipotesis terhadap 2- sampel, maka harus dilakukan pengujian mengenai asumsi kehomogenan ragam populasi terlebih dahulu dengan menggunakan uji-F. Uji t 2-arah digunakan apabila peneliti tidak memiliki informasi mengenai arah kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Sedangkan uji t 1-arah digunakan apabila peneliti memiliki informasi mengenai arah kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Contoh dibawah ini mungkin dapat mengilustrasikannya. Kasus 1: Seorang peneliti ingin mengetahui rata-rata uang saku mahasiswa Univ X perbulan. Menurut isu yang berkembang, rata-rata uang saku yang dimiliki mahasiwa univ X lebih besar dari Rp. 500 ribu/bulan. Untuk itu dilakukan penelitian dengan mengambil 50 sampel mahasiswa secara acak. kasus 2: Seorang peneliti ingin mengetahui rata-rata uang saku mahasiswa Univ X perbulan. Menurut isu yang berkembang, rata-rata uang saku mahasiswa univ X adalah sekitar Rp.500 ribu
- 145. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 142 /bulan. Untuk itu dilakukan penelitian dengan mengambil 50 sampel mahasiswa secara acak. Sekarang saya meminta pembaca mencermati kedua kasus di atas. Pada kasus 2, terdapat kata sekitar, sedangkan pada kasus 1 terdapat kata lebih besar dari. Coba bayangkan sebuah garis lurus horizontal. Dan letakkan titik 500 ribu di tengah2nya. Kata lebih besar dari mengandung informasi bahwa pada garis horizontal tersebut, rata-rata uang saku mahasiswa Univ X terletak diantara titik 500ribu ke arah kanan. Sedangkan kata sekitar berarti rata-rata uang saku mahasiswa pada kasus 2 berada disekitar (baik ke arah kiri atau ke arah kanan) dari titik 500ribu. Dengan demikian, pada kasus 2 tidak terdapat 2 kemungkinan kecenderungan/arah, sedangkan pada kasus 1 terdapat 1 kecenderungan arah (ke kanan). Oleh karena itu, uji-t yang tepat untuk kasus 1 adalah uji-t 1-arah (pada H1 menggunakan tanda pertidaksamaan lebih besar), sedangkan pada kasus 2 adalah uji-t 2-arah (pada H1 menggunakan tnda pertidaksamaan “tidak sama dengan”). Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau
- 146. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 143 hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan
- 147. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 144 nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama probabilitas. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika. Meskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya.
- 148. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 145 Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasikan seluruh populasi. Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika.
- 149. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 146 Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna. Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya. 4. Menguji Hipotesis Kembali pada populasi bervariabel dua dengan koefisien koperasi . Dari modelnya, jika = 0, maka ternyata bahwa X dan Y independen. Sehingga dalam hal populasi berdistribusi normal
- 150. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 147 = 0 mengakibatkan bahwa X dan Y independen dan sebaliknya. Sifat ini tidak berlaku untuk populasi yang tidak berdistribusi normal. Mengingat dalam banyak penelitian sering ingin mengetahui apakah antara dua variabel terdapat hubungan yang independen atau tidak, maka kita perlu melakukan uji independen. Dalam hal ini, maka hipotesis yang harus diujikan adalah : H0 : = 0 melawan H1 : 0 Uji ini sebenarnya ekivalen dengan uji H0 : 2 = 0 dimana 2 menyatakan koefisien arah regresi linier untuk populasi. Untuk menguji H0 : = 0 melawan H1 : 0, jika sampel acak yang diambil dari populasi normal bervariabel dua itu berukuran n memiliki koefisien korelasi r, maka dapat digunakan statistik t seperti dicantumkan dalam Rumus (9.3.9) yaitu : t = 2 r-1 2-nr (9.3.16) Selanjutnya untuk taraf nyata = , maka hipotesis kita terima jika –t(1- ½) < t < t(1- ½ ), dimana distribusi t yang digunakan mempunyai dk = (n-2). Dalam hal lainnya H0 kita tolak. Tentu saja bentuk alternatif untuk menguji hipotesis H0 bisa H1 : > 0 atau H1 : < 0. Dalam hal pertama merupakan uji pihak kanan sedangkan yang kedua merupakan uji
- 151. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 148 pihak kiri. Daerah kritis pengujianm, seperti biasa harus disesuaikan dengan alternatif yang diambil. Contoh 4: Untuk pengujian H0 : = 0 melawan H1 : 0 berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n = 27 dengan r = 0,28, maka dari Rumus (9.3.16) didapat : t = 2 28,01 22728,0 = 1,458 Jika taraf nyata = 0,05, maka dengan dk = 25, dari daftar distribusi t didapat, untuk uji dua pihak, t0,995 = 2,060. Mudah dilihat bahwa t = 1,458 antara -2,060 dan 2,060. Jadi H0 diterima. Cobalah buat sendiri kesimpulannya! Sekarang marilah kita tinjau bagaimana menguji hipotesis yang tidak nol dapat dilakukan. Seperti telah dijelaskan dalam Bagian 5, jika sampel acak diambil dari populasinormal bervariabel dua dengan koefisien korelasi 0, maka dengan transformasi Fisher dalam Rumus (9.3.11) akan diperoleh distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku seperti tertera dalam Rumus (9.3.12). Untuk dapat menggunakan daftar distribusi normal baku, s elanjutnya perlu digunakan angka z : z = z z-Z (9.3.17)
- 152. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 149 Angka z inilah yang akan digunakan untuk menguji hipotesis : H0 : = 0 0 melawan salah satu alternatif : H1 : 0, atau H1 : > 0, atau H1 : < 0, atau Jika taraf ternyata pengujian diambil , maka daerah kritis, seperti biasa, ditentukan oleh bentuk alternatif, apakah dua pihak, pihak kanan atau pihak kiri. Contoh 5: Dalam contoh 9.3.1, telah dihitung koefisien antara banyak pengunjung dan yang berbelanja untuk sampel berukuran n = 30. di situ telah didapat r = 0,8758. jika diduga bahwa populasinya mempunyai = 0,75, dapatkah sampel tadi menguatkan dugaan tersebut ? Pertanyaan ini akan terjawab apabila kita melakukan pengujian terhadap hipotesis : H0 : = 0,75 melawan H1 : 0,75 Dengan Rumus (9.3.11) kita dapat menghitung : Z = (1,1513) log 8758,01 8758,01 = 1,3573 sedangkan dari Rumus (9.3.12) dan Rumus (9.3.13) dengan 0 = 0,75 (dari hipotesis H0) didapat : z = (1,1513) log 75,01 75,01 = 0,9729
- 153. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 150 dan z = 330 1 = 0,1924 Akhirnya, Rumus (9.3.17) memberikan bilangan baku z = 1924,0 9729,03573,1 = 2,00 Jika diambil = 0,05, maka daerah penerimaan H0 adalah - 1,96 < z < 1,96. Ternyata bahwa pengujian memberikan hasil yang berarti. Sampel itu tidakberasal dari populasi dengan = 0,75. Contoh 6: Berasal dari populasi dengan berapa sampel di muka telah diambil? Jawab : Jika diambil = 0,05, maka untuk menguji hipotesis : Ho : = 0 melawan H1 : 0 dimana 0 bilangan yang akan dicari, supaya hipotesis bisa diterima, harus berlaku : - 1,96 < 1924,0 -3573,1 z < 1,96 Kita selesaikan hal pertama (ketidaksamaan sebelah kiri) : - 1,96 < 1924,0 -3573,1 z < 1,96 atau (1,1513) log 0 0 1 1 < 1,7344 atau 0 0 1 1 < 32,1 sehingga 0 < 0,9395
- 154. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 151 Hal kedua adalah (ketidaksamaan sebelah kanan) : 1924,0 3573,1 z < 1,96 atau (1,1513) log 0 0 1 1 > 0,9802 atau 0 0 1 1 > 7,1 sehingga 0 > 0,7530 Sampel berukuran n = 30 tadi berasal dari sebuah populasi dengan yang besarnya antara 0,7530 dan 0,9395.
- 155. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 152 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.
- 156. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 153 Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama probabilitas. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan
- 157. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 154 cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika. Meskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasikan seluruh populasi. Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika
- 158. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 155 tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna. Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya.
- 159. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 156 Dari uraian isi makalah ini, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan, yaitu sebagai berikut : 1. Uji t dua sampel : Menguji H0 : 𝜇 𝑋 = 𝜇 𝑌 𝐻0: 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 versus 𝐻1: 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 akan menolak 𝐻0 apabila t = 𝑥̂−𝑦̂ 𝑆 𝑝 √ 1 𝑛 + 1 𝑚 ≤ −𝑡( 𝑛+𝑚−2); 𝛼 2⁄ , ≥ 𝑡( 𝑛+𝑚−2); 𝛼 2⁄ 2. Uji f : Menguji H0 : 𝛼2 X = 𝛼2 Y F = S 2 Y S 2 X 3. Data Binomial : Uji H0 : 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌 Uji GLR pendekatan pada tingkat signifikansi untuk 𝐻0: 𝑃 𝑋 = 𝑃 𝑌 versus 𝐻1: 𝑃 𝑋 ≠ 𝑃 𝑌 adalah menolak 𝐻0 apabila 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚 √( 𝑥 + 𝑦 𝑛 + 𝑚 )(1 − 𝑥 + 𝑦 𝑛 + 𝑚 )(𝑛 + 𝑚) 𝑛𝑚 Dengan 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚 ≤ −𝑍 𝛼/2 dan √ ( 𝑥+𝑦 𝑛+𝑚 )(1− 𝑥+𝑦 𝑛+𝑚 )(𝑛+𝑚) 𝑛𝑚 ≥ 𝑍 𝛼/2 4. Interval Kepercayaan untuk Masalah Dua Sampel Teorema 2, 3, dan 4 memberikan distribusi sampling untuk𝑋̅ − 𝑌̅, 𝑆 𝑌 2 𝑆 𝑋 2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑋 𝑛⁄ − 𝑌 𝑚⁄⁄ apabila H0 benar. Apabila
- 160. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 157 H0 tidak harus benar, statistic penguji ini berbentuk seperti dibawah ini. 1) 𝑋̅−𝑌̅−( 𝜇 𝑥−𝜇 𝑦) 𝑆 𝑝√ 1 𝑛 − 1 𝑚 ~ 𝑡 𝑛+𝑚−2 2) 𝑆 𝑦 2 𝜎 𝑦 2⁄ 𝑆 𝑥 2 𝜎 𝑦 2⁄ ~ 𝐹𝑚−1 ; 𝑛−1 3) 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚 −( 𝑝 𝑋− 𝑝 𝑌) √ 𝑥 𝑛 (1− 𝑥 𝑛 ) 𝑛 + 𝑦 𝑚 (1− 𝑦 𝑚 ) 𝑚 ~ 𝑁(0 ;1), pendekatan 5. Dari penjabaran Uji t 2 sampel di ata dapat disimpulkan bahwa : Dimana 𝑆 𝑝 2 adalah variansi pooled : 𝑆 𝑝 2 = 1 𝑛 + 𝑚 − 2 [∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅) 𝑛 𝑖=1 2 + ∑(𝑦𝑗 − 𝑦̅) 𝑚 𝑗=1 2 ] Maka 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ dapat ditulis 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ = 𝑛 + 𝑚 − 2 𝑛 + 𝑚 − 2 + 𝑡2 Uji GLR yang menolak H0 : 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 0 < 𝜆 ≤ 𝜆∗ adalah ekivalen dengan menolak H0 apabila 0 < 𝜆2 ( 𝑛+𝑚)⁄ < 𝜆∗∗ . Tapi kedua kriteria itu ekivalen dengan menolak H0 apabila terlalu besar. Jadi, aturan keputusan dalam bentuk t2 adalah tolak H0 : 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 (dan menerima Hi : 𝜇 𝑥 ≠ 𝜇 𝑦 ) apabila t∗2 . Atau menolak H0 apabila 𝑡 ≥ 𝑡∗ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 ≤ −𝑡∗ Dengan 𝑃(−𝑡∗ < 𝑡 < 𝑡∗| 𝐻0 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝛼 Karena 𝑡 ~ 𝑡 𝑛+𝑚−2, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑡∗ = 𝑡 𝑛+𝑚−2 ; 𝛼 2⁄
- 161. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 158 B. Saran Diharapkan para mahasiswa yang mempelajari mengenai inferensi dengan dua sampel untuk hal-hal yang bermanfaat, seperti dalam hal kegiatan statistik dan analisis data sampel, yang mampu menunjang keberhasilannya dalam penelitian yang akan ia lakukan kedepan.
- 162. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 159 DAFTAR PUSTAKA Anderson, T.W. dan D.A. Darling (1952) “Asymptotic theory of certain ‘goodness of fit’ criteria based on stochastic process”, Annals of Mathematical Statistics, Vol. 23, pp. 193-212. Agung, I Gusti Ngurah. 2003. STATISTIKA. Jakarta: PT. RajaGrafindo Persada. Arikunto, Suharsimi. 2006. Prosedur Penelitian suatu pendekatan praktik. Edisi Revidi IV.Jakarta: Rineka Cipta. Bambang. 2002. Statistika Matematika. Statistika FMIPA-IPB Persada:Jakarta Bhattacharryya, G. K. & R. A. Johnson. 1977. Statistical Concepts and Methods. John Wiley. Feller, W. (1948) “On the Kolmogorov-Smirnov limit theorems for empirical distributions”, Annals of Mathematical Statistics, Vol. 19, pp. 177-189. Herrhyanto,Nor.2003.Statistika Lanjutan. Bandung: CV Pustaka Setia Kurniawan. 2005. Fokus Matematika. Jakarta : Erlangga Nasoetion, A dan Barizi. 1975. Metode Statistika. Jakarta: Gramedia Pramudjono.2008.Statistika Dasar Edisi IV. Samarinda: FKIP Universitas Mulawarman Pramudjono. 2008. Statistika Dasar(Aplikasi Untuk Penelitian) Edisi IV. FKIP Universitas Mulawarman: Samarinda R.W, Jefferson. 1990. Teori Kemungkinan. FKIP Universitas Mulawarman: Samarinda Subana dkk. 2000. Statistik Pendidikan. Bandung: Pustaka Setia. Suharto. 1992. Matematika Terapan Untuk Perguruan Tinggi. Jakarta: Rineka Cipta
- 163. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 160 Sugiyono. 1999. Statistik Untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta Sugiyono. 2009. Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif, R & D. Bandung; Alfabeta. Soejoeti, Zanzawi. 1990. Peluang dan Statistika. Yogyakarta: Fakultas matematika dan Pengetahuan Alam Universitas Gajah Mada. Soejoeti Zanzawi,1990. Peluang dan Statistika Bagian II. Yogyakarta : Universitas Gajah Mada. Sudijono, Anas. 2004. Pengantar Statistik Pendidikan. Raja Grafindo Persada : Jakarta Suparman. 1989. Statistik Matematik. CV Rajawali. Jakarta Soejoeti, Zanzawi. 1990. Peluang dan Statistika. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada. Stephens, M.A. (1974) “EDF statistics for goodness of fit and some comparisons”, Journal of the American Statistical Association, Vol. 69, No. 347, pp. 730-737. Sudjana. 2001. Metode Statistika. Bandung: Tarsito Sudjana. 1992. Tehknik analisis Regresi dan Kolerasi. Bandung: Tarsito. Sudijono, Anas.2004.Pengantar Statistika Pendidikan.Raja Grafindo Sumantri, Suparman.1989.Statistika Matematik. Jakarta: CV Rajawali. Tiro, M. A. 1999a. Analisis Data Frekusi dengan Chi Kuadrat. Ujung Pandang: Hasanuddin University Press. Tiro, M. A. 1999b. Dasar-dasar Statistika. Ujung Pandang: Badan Penerbit UNM Ujung Pandang.
- 164. Inferensi Dengan DuaSampel | STATISTIKA MATEMATIKA II 161 Tiro, M. A. 2000. Analisis Regresi dengan Data Kategori. Makassar: Makassar StateUniversity Press Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H., dan Myers, Sharon L. 2003. Probabilitas dan Statistika untuk Teknik dan Sains. Jakarta : PT Walpole, R. E. 1982. Introduction to Statistics. McMillan. 3nd edition. Walpole, ronald E., myers, raymond H., dan myers, sharon L. 2003. Probabilitas dan Statistika Untuk Teknik dan Sains. Jakarta: PT. Prenhallindo Walpole, R. E. 1993. Pengantar Statistika, Edisi ke-3 Jakarta; Penerbit PT. Gramedia Pustaka Utama. Watulingas, Jefferson Roosevelt. Teori Kemungkinan. Samarinda: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Mulawarman