Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos de geometría analítica. Incluye problemas relacionados con puntos, rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Cada problema está explicado con un método y las fórmulas necesarias para resolverlo. El documento proporciona soluciones concisas y paso a paso para comprender mejor los conceptos de geometría analítica.
Este documento presenta información sobre cónicas geométricas como parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejercicios para hallar las ecuaciones de lugares geométricos como circunferencias, elipses y hipérbolas dados sus elementos característicos como focos, centros y constantes. También contiene ejercicios para comprobar propiedades como tangencia y posición relativa de estas curvas con respecto a rectas dadas.
Este documento resume varios problemas de física relacionados con la caída libre. Resuelve problemas sobre la posición y velocidad de una pelota de golf al caer de un edificio alto durante 1, 2 y 3 segundos. También calcula la velocidad inicial y final de un llavero lanzado verticalmente y atrapado 1.5 segundos después. Resuelve otros problemas sobre caída libre, incluyendo el tiempo que tarda una pelota de béisbol en alcanzar su máxima altura y la velocidad y altura alcanzada por una flecha
This document contains formulas for kinematics including motion with constant acceleration, free fall, semi-parabolic motion, and parabolic motion. It lists equations for displacement, velocity, acceleration, time, height, and maximum values in terms of initial and final velocities, displacement, acceleration due to gravity, and time. Formulas are provided for one-dimensional and two-dimensional motion.
Ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntosDRJAIMEBRAVO
El documento presenta los pasos para determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. Explica que primero se escribe la ecuación general de una circunferencia y se reemplazan los puntos dados para obtener un sistema de ecuaciones, el cual se resuelve para hallar los valores de A, B y C. Luego, se reemplazan estos valores en la ecuación general para obtener la ecuación canónica de la circunferencia, y de allí se determinan el centro y el radio. Finalmente, propone algunos problemas para
En ésta presentación tememos las demostraciones a identidades trigonométricas, ejemplos, ejercicios, consultas y taller correspondiente a ésta temática del periodo 3 y la semana 5.
1. El documento presenta una serie de problemas resueltos relacionados con la primera ley de la termodinámica. Los problemas cubren temas como calor y energía interna, calor específico, calor latente, trabajo y calor en procesos termodinámicos.
2. El documento incluye 36 problemas resueltos organizados en secciones como calorimetría, calor latente, trabajo y calor en procesos termodinámicos, y aplicaciones de la primera ley de la termodinámica.
3. Los problemas present
TEMA DE TRIANGULO RECTANGULO Y EJERCICIOS RESUELTOSbeatrizjyj2011
Este documento explica las razones trigonométricas y funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) en términos de los lados del triángulo. Luego presenta ejemplos resueltos de cómo calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo usando las funciones trigonométricas. Finalmente, muestra aplicaciones prácticas de la resolución de triáng
Este documento presenta varios ejercicios de física relacionados con el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de partículas. Incluye problemas sobre el cálculo del desplazamiento de una partícula dado su posición en función del tiempo, así como el cálculo de la velocidad y aceleración promedio en diferentes intervalos de tiempo. También contiene ejercicios sobre velocidad y desplazamiento relativos en situaciones que involucran movimiento en más de una dimensión.
Este documento presenta información sobre cónicas geométricas como parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejercicios para hallar las ecuaciones de lugares geométricos como circunferencias, elipses y hipérbolas dados sus elementos característicos como focos, centros y constantes. También contiene ejercicios para comprobar propiedades como tangencia y posición relativa de estas curvas con respecto a rectas dadas.
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This document contains formulas for kinematics including motion with constant acceleration, free fall, semi-parabolic motion, and parabolic motion. It lists equations for displacement, velocity, acceleration, time, height, and maximum values in terms of initial and final velocities, displacement, acceleration due to gravity, and time. Formulas are provided for one-dimensional and two-dimensional motion.
Ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntosDRJAIMEBRAVO
El documento presenta los pasos para determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. Explica que primero se escribe la ecuación general de una circunferencia y se reemplazan los puntos dados para obtener un sistema de ecuaciones, el cual se resuelve para hallar los valores de A, B y C. Luego, se reemplazan estos valores en la ecuación general para obtener la ecuación canónica de la circunferencia, y de allí se determinan el centro y el radio. Finalmente, propone algunos problemas para
En ésta presentación tememos las demostraciones a identidades trigonométricas, ejemplos, ejercicios, consultas y taller correspondiente a ésta temática del periodo 3 y la semana 5.
1. El documento presenta una serie de problemas resueltos relacionados con la primera ley de la termodinámica. Los problemas cubren temas como calor y energía interna, calor específico, calor latente, trabajo y calor en procesos termodinámicos.
2. El documento incluye 36 problemas resueltos organizados en secciones como calorimetría, calor latente, trabajo y calor en procesos termodinámicos, y aplicaciones de la primera ley de la termodinámica.
3. Los problemas present
TEMA DE TRIANGULO RECTANGULO Y EJERCICIOS RESUELTOSbeatrizjyj2011
Este documento explica las razones trigonométricas y funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) en términos de los lados del triángulo. Luego presenta ejemplos resueltos de cómo calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo usando las funciones trigonométricas. Finalmente, muestra aplicaciones prácticas de la resolución de triáng
Este documento presenta varios ejercicios de física relacionados con el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de partículas. Incluye problemas sobre el cálculo del desplazamiento de una partícula dado su posición en función del tiempo, así como el cálculo de la velocidad y aceleración promedio en diferentes intervalos de tiempo. También contiene ejercicios sobre velocidad y desplazamiento relativos en situaciones que involucran movimiento en más de una dimensión.
Este documento presenta ejercicios resueltos de números complejos. En el primer ejercicio se calculan expresiones complejas como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En el segundo ejercicio se determinan valores de x que satisfacen igualdades complejas. En el tercer ejercicio se determina una ecuación con coeficientes reales con raíces dadas. En el cuarto ejercicio se determina un polinomio de grado 4 con raíces dadas. En el quinto ejercicio se analizan las posibles soluciones de una ecuación pol
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con la suma de vectores utilizando el método analítico. En el primer problema se aplica la ley del seno para encontrar el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su resultado. En el segundo problema también se usa la ley del coseno. El tercer problema involucra descomponer vectores en componentes rectangulares y realizar operaciones. Los últimos tres problemas usan descomposición vectorial para encontrar magnitudes y ángulos desconocidos.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento presenta información sobre ecuaciones trigonométricas. Explica que las ecuaciones trigonométricas involucran funciones trigonométricas periódicas cuya solución puede presentarse en uno o dos cuadrantes. Para resolverlas, se deben realizar transformaciones usando identidades trigonométricas para trabajar con una sola función. El objetivo es analizar y comprender los tipos de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas para dar soluciones posibles.
El documento presenta un análisis de conceptos básicos de vectores como módulo, dirección, vectores unitarios cartesianos, vector unitario direccional, cosenos directores, producto escalar, producto vectorial y triple producto escalar. Se definen cada uno de estos conceptos y se incluyen ejemplos para ilustrarlos.
El documento describe el movimiento armónico simple y sus características fundamentales como periodo, frecuencia, amplitud, elongación y aceleración. Explica que en un movimiento armónico simple la fuerza es proporcional a la elongación y presenta ecuaciones para describir la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
El documento define vectores geométrica y algebraicamente. Un vector geométricamente es un conjunto de segmentos de recta equivalentes, mientras que algebraicamente es un par ordenado de números reales. Se describen operaciones básicas con vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y propiedades como conmutatividad y asociatividad. También se definen conceptos como magnitud, dirección, producto interno, ángulo entre vectores, y norma.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con la suma de vectores utilizando el método geométrico y analítico. En el primer problema, se resuelve geométricamente la suma de cinco vectores que forman un cuadrado, obteniendo una resultante de 20 unidades. En el segundo problema, se aplica la ley del coseno para calcular el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su suma. En el tercer problema, también usando la ley del coseno, se calcula el ángulo entre dos vectores definidos por sus
Este documento describe los vectores matemáticos, incluyendo sus elementos, representación cartesiana, clasificación y operaciones. Los vectores representan magnitudes físicas como velocidad y fuerza. Se suman vectores mediante el método del triángulo o polígono, y se restan mediante el método del paralelogramo.
Este documento presenta una serie de problemas resueltos relacionados con funciones matemáticas. Introduce conceptos clave como dominio, rango, gráficas de funciones, operaciones con funciones, composición de funciones y funciones exponenciales y logarítmicas. Los problemas cubren temas como definir funciones, evaluar funciones para diferentes valores del dominio, graficar funciones y determinar el dominio y rango de funciones dadas.
Este documento explica cómo calcular e graficar funciones inversas. Define una función inversa como aquella que intercambia la primera y segunda componente de cada par ordenado de una función biyectiva. Muestra cómo calcular una función inversa despejando la variable y de la función original y luego intercambiando x e y. También explica que para graficar una función inversa se refleja la gráfica de la función original sobre la línea y=x.
1. El documento presenta ejercicios propuestos relacionados con funciones de variable real, incluyendo determinar dominios y rangos, identificar gráficas de funciones, y analizar propiedades como monotonía, simetría y asíntotas. Se proponen más de 30 ejercicios con diferentes niveles de complejidad sobre este tema.
El documento trata sobre vectores en el espacio tridimensional R3. Explica que R3 cumple dos condiciones relacionadas con la suma y el producto escalar de vectores. También define conceptos como norma, paralelismo, producto escalar y vectorial de vectores, y da ejemplos de cómo aplicar estas operaciones.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica que las coordenadas polares (r, θ) describen un punto como la distancia r desde el origen y el ángulo θ. Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas mediante sus ecuaciones polares correspondientes. Finalmente, proporciona ejercicios para que el estudiante aplique estos conceptos.
Este documento trata sobre la función raíz cuadrada. Explica que la función raíz cuadrada es f(x)=√x y describe su dominio y rango. También explica cómo graficar esta función y aplicar traslaciones y reflexiones para graficar variaciones de la función. Finalmente, incluye ejercicios para practicar el graficado de funciones raíz cuadrada.
Este documento presenta varios problemas resueltos relacionados con movimientos unidimensionales con velocidad y aceleración constante. Los problemas incluyen calcular velocidades promedio y velocidades instantáneas en diferentes intervalos de tiempo, así como aceleraciones involucradas en movimientos como caída libre y frenado de vehículos. Las respuestas proporcionan detalles matemáticos y físicos para cada cálculo.
Resolucion problemas de movimiento ondulatorioJosé Miranda
Este documento contiene 13 ejercicios sobre ondas mecánicas. Los ejercicios cubren temas como la propagación de ondas armónicas transversales a lo largo de una cuerda, la determinación de expresiones matemáticas que representan ondas, el cálculo de magnitudes como frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación. También incluye ejercicios sobre intensidad sonora y el uso de ecos para medir la profundidad de una cueva. Los ejercicios implican el uso de fórmulas y conceptos fundamentales del
El documento presenta información sobre las pruebas estandarizadas que aplica el Instituto Nacional de Evaluación Educativa en Ecuador. Estas pruebas evalúan los conocimientos y habilidades adquiridos por los estudiantes de tercer año de bachillerato. El autor del documento crea un texto para orientar a los estudiantes sobre este examen de grado y facilitar su comprensión de la asignatura de matemáticas. El texto incluye problemas resueltos y propuestos ordenados por nivel de complejidad.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Se piden determinar ecuaciones, elementos como centro y radio, y representaciones gráficas de diferentes cónicas definidas por sus ecuaciones o puntos particulares.
Este documento presenta ejercicios resueltos de números complejos. En el primer ejercicio se calculan expresiones complejas como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En el segundo ejercicio se determinan valores de x que satisfacen igualdades complejas. En el tercer ejercicio se determina una ecuación con coeficientes reales con raíces dadas. En el cuarto ejercicio se determina un polinomio de grado 4 con raíces dadas. En el quinto ejercicio se analizan las posibles soluciones de una ecuación pol
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con la suma de vectores utilizando el método analítico. En el primer problema se aplica la ley del seno para encontrar el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su resultado. En el segundo problema también se usa la ley del coseno. El tercer problema involucra descomponer vectores en componentes rectangulares y realizar operaciones. Los últimos tres problemas usan descomposición vectorial para encontrar magnitudes y ángulos desconocidos.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento presenta información sobre ecuaciones trigonométricas. Explica que las ecuaciones trigonométricas involucran funciones trigonométricas periódicas cuya solución puede presentarse en uno o dos cuadrantes. Para resolverlas, se deben realizar transformaciones usando identidades trigonométricas para trabajar con una sola función. El objetivo es analizar y comprender los tipos de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas para dar soluciones posibles.
El documento presenta un análisis de conceptos básicos de vectores como módulo, dirección, vectores unitarios cartesianos, vector unitario direccional, cosenos directores, producto escalar, producto vectorial y triple producto escalar. Se definen cada uno de estos conceptos y se incluyen ejemplos para ilustrarlos.
El documento describe el movimiento armónico simple y sus características fundamentales como periodo, frecuencia, amplitud, elongación y aceleración. Explica que en un movimiento armónico simple la fuerza es proporcional a la elongación y presenta ecuaciones para describir la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
El documento define vectores geométrica y algebraicamente. Un vector geométricamente es un conjunto de segmentos de recta equivalentes, mientras que algebraicamente es un par ordenado de números reales. Se describen operaciones básicas con vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y propiedades como conmutatividad y asociatividad. También se definen conceptos como magnitud, dirección, producto interno, ángulo entre vectores, y norma.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con la suma de vectores utilizando el método geométrico y analítico. En el primer problema, se resuelve geométricamente la suma de cinco vectores que forman un cuadrado, obteniendo una resultante de 20 unidades. En el segundo problema, se aplica la ley del coseno para calcular el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su suma. En el tercer problema, también usando la ley del coseno, se calcula el ángulo entre dos vectores definidos por sus
Este documento describe los vectores matemáticos, incluyendo sus elementos, representación cartesiana, clasificación y operaciones. Los vectores representan magnitudes físicas como velocidad y fuerza. Se suman vectores mediante el método del triángulo o polígono, y se restan mediante el método del paralelogramo.
Este documento presenta una serie de problemas resueltos relacionados con funciones matemáticas. Introduce conceptos clave como dominio, rango, gráficas de funciones, operaciones con funciones, composición de funciones y funciones exponenciales y logarítmicas. Los problemas cubren temas como definir funciones, evaluar funciones para diferentes valores del dominio, graficar funciones y determinar el dominio y rango de funciones dadas.
Este documento explica cómo calcular e graficar funciones inversas. Define una función inversa como aquella que intercambia la primera y segunda componente de cada par ordenado de una función biyectiva. Muestra cómo calcular una función inversa despejando la variable y de la función original y luego intercambiando x e y. También explica que para graficar una función inversa se refleja la gráfica de la función original sobre la línea y=x.
1. El documento presenta ejercicios propuestos relacionados con funciones de variable real, incluyendo determinar dominios y rangos, identificar gráficas de funciones, y analizar propiedades como monotonía, simetría y asíntotas. Se proponen más de 30 ejercicios con diferentes niveles de complejidad sobre este tema.
El documento trata sobre vectores en el espacio tridimensional R3. Explica que R3 cumple dos condiciones relacionadas con la suma y el producto escalar de vectores. También define conceptos como norma, paralelismo, producto escalar y vectorial de vectores, y da ejemplos de cómo aplicar estas operaciones.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica que las coordenadas polares (r, θ) describen un punto como la distancia r desde el origen y el ángulo θ. Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas mediante sus ecuaciones polares correspondientes. Finalmente, proporciona ejercicios para que el estudiante aplique estos conceptos.
Este documento trata sobre la función raíz cuadrada. Explica que la función raíz cuadrada es f(x)=√x y describe su dominio y rango. También explica cómo graficar esta función y aplicar traslaciones y reflexiones para graficar variaciones de la función. Finalmente, incluye ejercicios para practicar el graficado de funciones raíz cuadrada.
Este documento presenta varios problemas resueltos relacionados con movimientos unidimensionales con velocidad y aceleración constante. Los problemas incluyen calcular velocidades promedio y velocidades instantáneas en diferentes intervalos de tiempo, así como aceleraciones involucradas en movimientos como caída libre y frenado de vehículos. Las respuestas proporcionan detalles matemáticos y físicos para cada cálculo.
Resolucion problemas de movimiento ondulatorioJosé Miranda
Este documento contiene 13 ejercicios sobre ondas mecánicas. Los ejercicios cubren temas como la propagación de ondas armónicas transversales a lo largo de una cuerda, la determinación de expresiones matemáticas que representan ondas, el cálculo de magnitudes como frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación. También incluye ejercicios sobre intensidad sonora y el uso de ecos para medir la profundidad de una cueva. Los ejercicios implican el uso de fórmulas y conceptos fundamentales del
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1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Se piden determinar ecuaciones, elementos como centro y radio, y representaciones gráficas de diferentes cónicas definidas por sus ecuaciones o puntos particulares.
El documento presenta información sobre triángulos, incluyendo definiciones, clasificaciones, propiedades y ejemplos de problemas. Se define al triángulo, se clasifica según sus lados y ángulos, y se describen elementos como vértices, lados, ángulos internos y externos. También incluye propiedades como la suma de los ángulos internos, desigualdad triangular y teoremas como el de los puntos medios. Por último, contiene ejercicios de aplicación sobre estos conceptos.
Este documento presenta información sobre geometría, incluyendo definiciones de teoremas como el teorema de Tales, el teorema de la bisectriz interior y exterior, y la semejanza de triángulos. También incluye ejercicios de práctica relacionados con estos conceptos geométricos.
Este documento presenta una recopilación de ejercicios de matemáticas resueltos, con el objetivo de ayudar a los estudiantes a comprender mejor los contenidos. El autor explica las soluciones de los ejercicios de una manera didáctica para facilitar su aprendizaje. Los ejercicios están organizados en secciones como relaciones de semejanza, teoremas de Euclides y teorema de Pitágoras. El documento pretende ser útil tanto para estudiantes como para profesores.
1. El documento describe las propiedades básicas de la circunferencia, incluyendo elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y ángulos.
2. También explica las posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, tangentes o secantes.
3. Resuelve seis problemas que implican calcular medidas de ángulos utilizando propiedades de la circunferencia.
Este documento contiene 15 problemas de cálculo de variables "x" y problemas de áreas de figuras geométricas sombreadas. Los problemas incluyen triángulos rectángulos, funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente, y figuras como cuadrados y círculos. El objetivo es calcular valores desconocidos como "x" o áreas usando propiedades matemáticas como relaciones trigonométricas y fórmulas de áreas.
El documento explica los conceptos de trabajo, potencia y energía. Define el trabajo como una magnitud física que representa la transferencia de energía cuando se aplica una fuerza sobre un cuerpo en movimiento. Define la potencia como la relación entre el trabajo realizado y el tiempo empleado, y la energía como la capacidad de un cuerpo para realizar trabajo.
Precalculo de villena 04 - coordenadas polaresrojasdavid1001
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar diferentes ecuaciones en el sistema polar, incluyendo rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen la representación gráfica de estas curvas en coordenadas polares.
Este documento presenta 16 problemas resueltos relacionados con circunferencias en el plano cartesiano. Los problemas involucran hallar ecuaciones de circunferencias dados su centro y radio, o puntos que pasan por ellas. También incluye problemas sobre circunferencias tangentes a ejes o rectas. El documento provee detalles paso a paso para cada solución.
Este documento presenta información sobre cónicas. Introduce las cuatro cónicas principales (circunferencia, parábola, elipse y hipérbola), y proporciona detalles sobre la circunferencia y la parábola. Explica cómo encontrar la ecuación canónica de una circunferencia o parábola a partir de sus elementos geométricos. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estas cónicas.
Este documento presenta información sobre cónicas. Introduce las cuatro cónicas principales (circunferencia, parábola, elipse y hipérbola), y proporciona detalles sobre la circunferencia y la parábola. Explica cómo encontrar la ecuación canónica de una circunferencia o parábola a partir de sus elementos geométricos. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estas cónicas.
Este documento presenta información sobre cónicas. Introduce las cuatro cónicas principales (circunferencia, parábola, elipse y hipérbola), y proporciona detalles sobre la circunferencia y la parábola. Explica cómo encontrar la ecuación canónica de una circunferencia o parábola a partir de sus elementos geométricos. También incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta la teoría de las cónicas o secciones cónicas. Introduce las cuatro cónicas principales (circunferencia, parábola, elipse y hipérbola) y describe sus definiciones geométricas, ecuaciones canónicas y elementos característicos como el centro, radio, vértice y foco. Explica cómo graficar cada cónica a partir de su ecuación general y resuelve ejemplos ilustrativos.
Este documento presenta la teoría de las cónicas o secciones cónicas. Introduce las cuatro cónicas principales (circunferencia, parábola, elipse y hipérbola) y describe sus definiciones geométricas, ecuaciones canónicas y elementos característicos como el centro, radio, vértice y foco. Explica cómo graficar cada cónica a partir de su ecuación general y resuelve ejemplos ilustrativos.
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar ecuaciones polares comunes como rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes aprendan a graficar estas curvas y a trabajar con coordenadas polares.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares de un punto, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas. También explica cómo graficar curvas dadas por ecuaciones polares y encontrar las ecuaciones de curvas de segundo grado en coordenadas polares. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
El documento presenta varios ejercicios relacionados con rectas y planos en el espacio tridimensional. En el primer ejercicio, se comprueba que tres puntos dados no están alineados. En el segundo ejercicio, se piden las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita de una recta dada. En el tercer ejercicio, se localizan varios puntos en el espacio tridimensional.
1) Se describe la forma de encontrar la ecuación de una elipse dados sus elementos característicos como focos, vértices y ejes. Se incluyen 8 ejemplos resueltos que muestran cómo aplicar la metodología. 2) Se explica que el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un punto fijo es la mitad de su distancia a una recta es una elipse.
1) La elipse tiene un foco en (0, 3) y semieje mayor igual a 5. Su ecuación es x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
2) Se determinan los elementos de la elipse como el centro (0, 0), vértices (0, ±5), focos (0, ±3) y ecuación x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
3) Para encontrar la ecuación de una elipse dada sus vértices y excentricidad, se calculan primero los elementos a, b y c.
Tema i introduccion a la geometria analitica matematica i iutajsJulio Barreto Garcia
El documento presenta los conceptos fundamentales de la geometría analítica del plano, incluyendo el plano cartesiano, puntos y coordenadas, distancias entre puntos, ecuaciones de circunferencias y rectas. Introduce los conceptos históricamente y los define matemáticamente, proporcionando ejemplos y ejercicios para ilustrar cada tema.
Este documento explica cómo calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano utilizando la fórmula de distancia. También muestra cómo determinar si un triángulo es rectángulo y calcular su área cuando se conocen las coordenadas de sus vértices. Finalmente, presenta ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Incluye seis objetivos con ejemplos de cómo calcular puntos, distancias, razones, ecuaciones de rectas y ángulos entre rectas. Los ejercicios cubren temas como sistemas de coordenadas, división de segmentos, pendientes, formas de ecuaciones de rectas y posiciones relativas entre rectas.
Este documento presenta un cuaderno de ejercicios de matemáticas III con el objetivo de apoyar a los estudiantes en el aprendizaje del álgebra lineal y sus aplicaciones. Incluye ejercicios de vectores, sistemas de ecuaciones lineales, álgebra de matrices, determinantes, espacio vectorial Rn, ortogonalidad, programación lineal y valores y vectores propios, con soluciones al final.
El documento presenta nociones básicas de geometría analítica. Introduce el sistema de coordenadas cartesianas y explica cómo ubicar puntos usando coordenadas. También define la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y presenta ejemplos de cálculos de distancias y perímetros. Finalmente, muestra cómo determinar el centro de una circunferencia dados tres puntos.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos en el plano cartesiano, segmentos de recta, ecuaciones de rectas y determinación de puntos de intersección y alineación. Los ejercicios se resuelven encontrando pendientes, ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares, y sistemas de ecuaciones.
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ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
5. Índice general
Introducción i
Sobre el Autor iii
Problemas y soluciones 1
1 El punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Rotación y traslación de ejes 1
1.2 Rotación de punto alrededor de O 3
1.3 División de un segmento en una razón r dada 4
2 La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Pendientes de las rectas distantes de d de un punto A y pasando
por un punto P 10
2.2 Ecuación de la recta paralela a una recta dada y distante de d 11
2.3 Cálculo de las pendientes de las bisectrices de dos rectas dadas 11
3 La circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Lugar Geométrico 14
3.2 Tangente a la circunferencia 15
3.3 Familia de circunferencias 21
3.3.1 Familia de circunferencias pasando por 2 puntos 23
4 La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Denición de la parábola 25
4.2 Hallar los parámetros de cualquiera parábola 26
4.3 Hallar la ecuación de la parábola a partir de la distancia focal p,
y de las coordenadas del foco 29
5 La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1 Hallar los parámetros y las coordenadas del foco a partir de la
ecuación de la elipse 31
6. Índice general
5.2 Hallar la ecuación de elipse por la directriz, por un foco y un
punto 34
5.3 Tangente a la elipse 38
6 La hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1 Hallar la ecuación de la hipérbola conociendo las asintotas y la
excentricidad 43
6.2 Hallar una hipérbola conociendo un punto P, así que su asintotas 45
7. Introducción
Este libro es una muestra de lo que se desarrolla en el libro de
matemática NUEVOS MÉTODOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA que se encuentra
a http://www.bubok.es/libros/238057/Nuevos-Metodos-de-Geometria-Analitica
Los métodos de soluciones de problemas evitan largos cálculos y siguen la materia
propuesta en el libro NUEVOS MÉTODOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Cada solución de problema esta explicada por un método con las fórmulas a
aplicar.
i
8.
9. Sobre el Autor
Daniel Vliegen es ingeniero canadiense formado
en Europa. Apasionado de matemática, de electrónica, de
informática, e inventor, el autor trabajo como consultor
en Canadá.
Durante su carrera en Europa y en Canadá, trabajo co-
mo diseñador, e investigador (Research Development)
en los campos de electrónica analógica, sistemas digitales,
micro-procesadores, programación (C, C++, Assembler,
PHP, Java etc...) y robótica, para empresas privadas y universidades.
Algunos de los proyectos...
* Sistemas de modulación espectral de frecuencia para transmisión de los datos
GPS a través del canal audio de radio trunking - invención hecha en los años 1993-
1998.
* Servo mecanismo de posicionamiento de un cañón láser a 2 ejes (azimut y eleva-
ción) por micro-procesador para el estudio de la dispersión de humos de las bombas
lacrimógena. Servo Mecanismo en posicionamiento y en velocidad. Programas de las
interfaces de control por computadora.
* Sistema de medida por péndulo para estudiar los micro-movimientos de las
estructuras grandes como puentes y plantas hidroeléctricas.
Trabajo como asistenta de investigación en la Universidad de Montreal en el
dominio de las micro-ondas.
Trabajo también en la Universidad de Brusela en el dominio de la Astronomía -
Desarrollo de sistemas de medidas sobre el sol, campo magnético solar. Camera CCD
Digital, tratamiento de los datos por micro-procesadores.
iii
10.
11. Problemas y soluciones
1 El punto
1.1 Rotación y traslación de ejes
Problema 1. Sea un punto P de coordenadas (5, 5), hallar las nuevas coorde-
nadas del punto después de una transformación de coordenadas compuesta por una
traslación de ejes en el nuevo origen O (4, −3) y por una rotación de ejes tal que
tg θ =
4
3
.
Figura 1. Coordenadas del punto P en las coordenadas X Y
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 1
12. Solución 1.1. Las coordenadas del punto P en el sistema de coordenadas X Y
se consiguen por las fórmulas de traslación de ejes (3.22), pagina 91 del libro Nuevos
Métodos de Geometría Analítica.
Las coordenadas del punto P en el sistema de coordenadas X Y :
con xP = 5, yP = 5,y O x = 4, O y = −3
x P = xP − O x = 5 − 4 = 1
y P = yP − O y = 5 − (−3) = 8
Las coordenadas del punto P en el sistema de coordenadas X Y , se consiguen
por las fórmulas de rotación de ejes (3.23) pagina 94 del libro Nuevos Métodos de
Geometría Analítica:
x P = x cos θ + y sen θ
y P = −x sen θ + y cos θ
sen θ =
tg θ
1 + tg2
θ
=
4
3
1 +
4
3
2
=
4
√
42 + 32
=
4
5
cos θ =
1
1 + tg2
θ
=
1
1 +
4
3
2
=
3
√
42 + 32
=
3
5
x P =
1 · 3
5
+
8 · 4
5
=
3 + 32
5
= 7
y P = −
1 · 4
5
+
8 · 3
5
=
−4 + 24
5
= 4
Las coordenadas del punto P en el sistema de coordenadas X Y son (7, 4).
2 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
13. 1.2 Rotación de punto alrededor de O
Problema 2. Las coordenadas originales de un punto P son P0(8, 1). Después
de una rotación alrededor de O (4, −2), las coordenadas del punto son P1(7, 2). Hallar
el valor del ángulo de rotación θ.
Solución 1.2. Las fórmulas (3.26) pagina 104 dan las coordenadas del punto P
después de una rotación conociendo las coordenadas del punto pivote O .
x1 = O x + (x0 − O x) cos θ − (y0 − O y) sen θ
y1 = O y + (x0 − O x) sen θ + (y0 − O y) cos θ donde
O x = 4, O y = −2, x0 = 8, y0 = 1, x1 = 7, y1 = 4
Al reemplazar los valores de las coordenadas dentro las fórmulas tenemos
(8 − 4) cos θ − [1 − (−2)] sen θ + 4 = 7
o sea 4 cos θ − 3 sen θ = 3
(8 − 4) sen θ + [1 − (−2)] cos θ − 2 = 2
o sea 4 sen θ + 3 cos θ = 4
La solución del sistema de ecuaciones por el método de Cramer
4 cos θ − 3 sen θ = 3
3 cos θ + 4 sen θ = 4
cos θ =
3 −3
4 4
4 −3
3 4
=
3 · 4 − 4 · (−3)
4 · 4 − 3 · (−3)
=
12 + 12
16 + 9
=
24
25
sen θ =
4 3
3 4
4 −3
3 4
=
4 · 4 − 3 · 3
4 · 4 − 3 · (−3)
=
16 − 9
16 + 9
=
7
25
El ángulo se halla por
180
π
· arc cos
24
25
= 16◦
.2602
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 3
14. Figura 2. Rotación del punto P alrededor de O
1.3 División de un segmento en una razón r dada
Problema 3. Los puntos medios de los lados de un triángulo son M(2, 5),
N(4, 2) y Q(1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices A, B y C.
Solución 1.3. Sea M el punto medio del lado AB, N el punto medio del lado
AC, y Q el punto medio del lado BC.
Al poner las coordenadas de los vértices A(xA, yA), B(xB, yB) y C(xC, yC), podemos
escribir
xM =
xA + xB
2
= 2, yM =
yA + yB
2
= 5
xN =
xA + xC
2
= 4, yN =
yA + yC
2
= 2
xQ =
xB + xC
2
= 1, yQ =
yB + yC
2
= 1
Las ecuaciones de las abscisas de los vértices:
xA + xB = 4
xA + xC = 8
xB + xC = 2
Al considerar un sistema de ecuaciones a 2 incógnitas xA y xB, tendremos
xA + xB = 4
xA − xB = xA + xC − (xB + xC) = 8 − 2 = 6
4 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
15. que nos da
xA =
4 + 6
2
= 5, xB =
4 − 6
2
= −1
xA + xC = 5 + xC = 8, de donde xC = 3
Las abscisas son xA = 5, xB = −1, xC = 3 . Las ecuaciones de las ordenadas de
los vértices :
yA + yB = 10
yA + yC = 4
yB + yC = 2
Al considerar un sistema de ecuaciones a 2 incógnitas yA e yB, tenemos
yA + yB = 10
yA − yB = yA + yC − (yB + yC) = 4 − 2 = 2
que nos da
yA =
10 + 2
2
= 6, yB =
10 − 2
2
= 4
yA + yC = 6 + yC = 4, de donde yC = −2
Las ordenadas son yA = 6, yB = 4, yC = −2 .
Las coordenadas de los vértices son A(5, 6), B(−1, 4), (3, −2) .
Figura 3. Hallar las coordenadas de los vértices ABC del triángulo
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 5
16. Problema 4. Conociendo el vértice C(1, 7), el vértice A(−4, 2), la longitud y
pendiente de la altura respectivamente iguales a CH = h = 2
√
10 y mh = 3 dentro el
triángulo ABC, se pide de hallar las coordenadas del pie H, así que las coordenadas
del vértice B si la razón BA : AH = −4
Figura 4. Cálculo de la coordenadas de H y de B
Solución 1.4. La solución del problema se hace en 2 etapas.
Etapa I : Cálculo de las coordenadas de H, con pendiente de la altura mh = 3 y
h = 2
√
10. Por las fórmulas (3.17) pagina 74 de NUEVOS MÉTODOS DE LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
xH = xC +
h
1 + m2
h
, yH = yC +
mhh
1 + m2
h
xH = 1 −
2
√
10
√
1 + 32
= 1 − 2 = −1
yH = 7 −
3 · 2
√
10
√
1 + 32
= 7 − 6 = 1
Las coordenadas del pie H de la altura son (−1, 1) .
6 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
17. Etapa II : Cálculo de las coordenadas del vértice B.
Las coordenadas se hallan al considerar la división del segmento BA por el pie H de
la altura del triángulo. Por las fórmulas (3.8) pagina 61, de la división de segmento
por una razón r donde
BA
AH
= −4 dando las coordenadas del punto A(−4, 2),
xA =
xB + rxH
1 + r
=
xB − 4 · (−1)
1 − 4
=
xB + 4
−3
= −4
xB = 12 − 4 = 8
yA =
yB + ryH
1 + r
=
yB − 4 · 1
1 − 4
=
yB − 4
−3
= 2
yB = −6 + 4 = −2
Las coordenadas del vértice B son (8, −2) .
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 7
18. Problema 5. Expresar las coordenadas del baricentro del triángulo en función
de las coordenadas de los vértices ABC
Figura 5. Coordenadas del baricentro O
El baricentro O es la intersección de las medianas CN y BN. Los triángulos
MNO y BCO son semejantes y la razón entre los lados respectivos es
MN
CB
=
MO
OB
=
ON
CO
=
1
2
. Sobre base de la división del segmento por una razón r,
calcular por 2 métodos diferentes las coordenadas del baricentro O.
Solución 1.5. La primera solución es considerar la división del segmento CN
por el punto O de tal manera que la razón sea r =
CO
ON
= 2.
Las coordenadas del punto O son
xO =
xC + rxN
1 + r
con r = 2 y xN =
xA + xB
2
=
xC + 2 ·
xA + xB
2
1 + 2
=
xA + xB + xC
3
yO =
yA + yB + yC
3
8 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
19. Solución 1.6. La segunda solución es considerar el punto O como conocido y
el punto N como incógnito. En este caso la razón es negativa porque el punto N es
a fuera del segmento CO y la razón se escribe r =
CN
NO
= −3. Las coordenadas del
punto N se expresen por
xN =
xC + rxO
1 + r
con r = −3 y xN =
xA + xB
2
xN =
xC − 3xO
1 − 3
xA + xB
2
=
xC − 3xO
−2
o sea xA + xB = 3xO − xC
y xO =
xA + xB + xC
3
yO =
yA + yB + yC
3
Las coordenadas del baricentro del triángulo ABC son :
O
xA + xB + xC
3
,
yA + yB + yC
3
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 9
20. 2 La recta
2.1 Pendientes de las rectas distantes de d de un punto A y
pasando por un punto P
Problema 6. Hallar las pendientes de las dos rectas pasando por P(−3, −4) a
una distancia de 3 del punto C(3, −1).
Solución 2.1. La fórmula (4.6) pagina 146 que está en Nuevos Métodos de
Geometría Analítica da las pendientes mR de las rectas pasando por P(−3, −4) a
una distancia d = 3 de C(3, −1),
∆x = xP − xC = −3 − 3 = −6, ∆y = yP − yC = −4 − (−1) = −3
mR =
∆x∆y ± d ∆x2 + ∆y2 − d2
∆x2 − d2
=
(−6) · (−3) ± 3 (−6)2 + (−3)2 − 32
(−6)2 − 32
=
18 ± 3
√
36 + 9 − 9
36 − 9
=
18 ± 3 · 6
27
mR1 =
18 + 18
27
=
36
27
=
4
3
mR2 =
18 − 18
27
= 0
Figura 6. Rectas de pendientes mR1 y mR2 distantes de 3 de C y
pasando por P
10 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
21. Las pendientes de las rectas pasando por P y distantes de 3 de C son
mR1 =
4
3
y mR2 = 0 .
2.2 Ecuación de la recta paralela a una recta dada y
distante de d
Problema 7. Escribir la ecuación de la recta paralela a x + 2y = 4 a una
distancia d =
√
5. Por la fórmula (4.9) pagina 156 del libro Nuevos Métodos de
Geometría Analítica
Solución 2.2.
Ax + By + C = ±d
√
A2 + B2
x + 2y − 4 =
√
5 ·
√
12 + 22 =
√
5 ·
√
5 = 5
Ecuación de la paralela a una distancia de
√
5 es x + 2y = 9 .
2.3 Cálculo de las pendientes de las bisectrices de dos rectas
dadas
Problema 8. Hallar las pendientes de las bisectrices de las rectas R1 ≡ −5x +
12y − 60 = 0 y R2 ≡ 3x + 4y − 20 = 0
Solución 2.3. El libro Nuevos Métodos de Geometría Analítica da las fórmulas
(4.15) pagina 167. Las pendientes de R1 y R2 son respectivamente mR1 =
5
12
y
mR2 = −
3
4
.
Las pendientes mbisect1 y mbisect2 de las bisectrices se calculan por
mbisect1 = tg
ω1 + ω2
2
mbisect2 = −
1
tg
ω1 + ω2
2
donde tg
ω1
2
= mR1 ± 1 + m2
R1 y tg
ω2
2
= mR2 ± 1 + m2
R2
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 11
22. Ver la tabla I pagina 166 para eligir los signos.
Ecuación de la recta R1 ≡ A1x + B1y + C1 = 0 ≡ −5x + 12y − 60 = 0
A1 = −5, B1 = 12, C1 = −60 0 de donde tg
ω1
2
0
tg
ω1
2
= mR1 + 1 + m2
R1 =
5
12
+ 1 +
5
12
2
=
5 +
√
169
12
=
5 + 13
12
=
18
12
=
3
2
Ecuación de la recta R2 ≡ A2x + B2y + C2 = 0 ≡ 3x + 4y − 20 = 0
A2 = 3, B2 = 4, C2 = −20 0 de donde tg
ω2
2
0
tg
ω2
2
= mR2 + 1 + m2
R2 = −
3
4
+ 1 + −
3
4
2
=
−3 +
√
25
4
=
−3 + 5
4
=
2
4
=
1
2
Cálculo de la pendiente mbisect1,
mbisect1 = tg
ω1 + ω2
2
=
tg
ω1
2
+ tg
ω2
2
1 − tg
ω1
2
· tg
ω2
2
donde tg
ω1
2
=
3
2
y tg
ω2
2
=
1
2
mbisect1 =
3
2
+
1
2
1 −
3
2
·
1
2
=
4
2
1 −
3
4
= 2 · 4 = 8
mbisect2 = −
1
mbisect1
= −
1
8
= −0.125
Las pendientes de las bisectrices formadas por
R1 ≡ −5x + 12y − 60 = 0 y R2 ≡ 3x + 4y − 20 = 0
son mbisect1 = 8 y mbisect2 = −
1
8
.
12 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
23. Se verica los resultados al comparar lo que se obtiene con las ecuaciones de las
bisectrices a partir de las ecuaciones de las rectas,
A1x + B1y + C1
A2
1 + B2
1
= ±
A2x + B2y + C2
A2
2 + B2
2
A1x + B1y + C1 ≡ −5x + 12y − 60
A2x + B2y + C2 ≡ 3x + 4y − 20
Ecuaciones de las bisectrices :
−5x + 12y − 60
(−5)2 + 122
= ±
3x + 4y − 20
√
32 + 42
−5x + 12y − 60
13
= ±
3x + 4y − 20
5
Ecuación de la bisectrice 1 :
−5x + 12y − 60
13
=
3x + 4y − 20
5
−25x + 60y − 300 = 39x + 52y − 260
−64x + 8y − 40 = 0
al dividir por 8 : − 8x + y − 5 = 0
Ecuación de la bisectrice 2 :
−5x + 12y − 60
13
= −
3x + 4y − 20
5
−25x + 60y − 300 = −(39x + 52y − 260)
−25x + 60y − 300 + 39x + 52y − 260 = 0
14x + 112y − 560 = 0
al dividir por 14 : x + 8y − 40 = 0
La pendiente de la primera bisectriz es 8 .
Se verica que la pendiente de la segunda bisectriz es −
1
8
.
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 13
24. 3 La circunferencia
3.1 Lugar Geométrico
Problema 9. Un punto P se mueve de tal manera que el cuadrado de su distan-
cia de la base de un triángulo isósceles es siempre igual al producto de sus distancias
de los otros lados.
Se supone que la ecuación de la base es y = 0.
Si el triángulo es isósceles, las pendientes de los otros lados son opuestas, y las
ecuaciones de los lados son respectivamente Ax + By + C = 0 y −Ax + By + C = 0.
Al aplicar la denición del lugar geométrico, se escribe
Solución 3.1.
y2
=
Ax + By + C
√
A2 + B2
·
−Ax + By + C
√
A2 + B2
y2
(A2
+ B2
) = (By + C)2
− A2
x2
A2
y2
+ B2
y2
= B2
y2
+ 2BCy + C2
− A2
x2
A2
(x2
+ y2
) − 2BCy = C2
o sea : x2
+ y2
−
2BCy
A2
−
C2
A2
= 0
Lo que es una circunferencia de centro (0,
BC
A2
) y
de radio R =
C
A2
√
A2 + B2 . Ver fórmula (2.2) pagina 197 que está en
Nuevos Métodos de Geometría Analítica.
14 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
25. 3.2 Tangente a la circunferencia
Problema 10. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
x2
+ y2
− 6x − 8y + 20 al punto P(4, 2).
Ver la fórmula (4.5) pagina 246 de Nuevos Métodos de Geometría Analítica.
Solución 3.2.
xP = 4, yP = 2, D = −6, E = −8
Fórmula ecuación de la tangente : x(xC − xP ) + y(yC − yP ) = xCxP + yCyP − (x2
P + y2
P )
donde xC = −
D
2
= −
−6
2
= 3, yC = −
E
2
= −
−8
2
= 4
Ecuación de la tangente : x(3 − 4) + y(4 − 2) = 3 · 4 + 4 · 2 − (42
+ 22
)
−x + 2y = 12 + 8 − 16 − 4
−x + 2y = 0
La tangente a la circunferencia x2
+ y2
− 6x − 8y + 20 al punto P(4, 2).
es −x + 2y = 0
Problema 11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
A(−10, −2) y por las intersecciones de la circunferencia Γ ≡ x2
+y2
+2x−2y−32 = 0
y la recta Re ≡ x − y + 4 = 0.
Solución 3.3. Se remplaza el valor de y dentro la ecuación de la circunferencia
para hallar las coordenadas de los puntos de intersección B y C,
y = x + 4
x2
+ (x + 4)2
+ 2x − 2(x + 4) − 32 = 0
2x2
+ 8x + 16 − 8 − 32 = 0
2x2
+ 8x − 24 = 0
Al dividir por 2 : x2
+ 4x − 12 = 0
xB,C = −2 ± (−2)2 + 12 = −2 ± 4
xB = −2 − 4 = −6, yB = xB + 4 = −6 + 4 = −2
xC = −2 + 4 = 2, yC = xC + 4 = 2 + 4 = 6
Las coordenadas de los puntos de intersección son B(−6, −2) y C(2, 6).
La ecuación general de la circunferencia es
x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0 que pasa por A(−10, −2), B(−6, −2) y C(2, 6).
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 15
26. Los tres puntos pertenecen a la circunferencia, y verican su ecuación,
Punto A(−10, −2) : (−10)2
+ (−2)2
+ D · (−10) + E · (−2) + F = 0
100 + 4 − 10D − 2E + F = 0
− 10D − 2E + F = −104
Punto B(−6, −2) : (−6)2
+ (−2)2
+ D · (−6) + E · (−2) + F = 0
36 + 4 − 6D − 2E + F = 0
− 6D − 2E + F = −40
Punto C(2, 6) : 22
+ 62
+ D · 2 + E · 6 + F = 0
4 + 36 + 2D + 6E + F = 0
2D + 6E + F = −40
Solucionar el sistema de ecuación
−10D − 2E = −104 − F
−6D − 2E = −40 − F
2D + 6E + F = −40
Se considera un sistema de 2 incógnitos D y E que vamos a expresar en función de
F,
D =
−104 − F −2
−40 − F −2
−10 −2
−6 −2
=
(−2) · (−104 − F) − (−40 − F) · (−2)
(−2) · (−10) − (−6) · (−2)
=
208 + 2F − (80 + 2F)
20 − 12
=
128
8
= 16
E =
−10 −104 − F
−6 −40 − F
−10 −2
−6 −2
=
(−10) · (−40 − F) − (−6) · (−104 − F)
(−10) · (−2) − (−6) · (−2)
=
400 + 10F − (624 + 6F)
20 − 12
=
−224 + 4F
8
= −28 +
F
2
16 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
27. Se reemplaza los valores de D = 16 y E = −28 +
F
2
dentro la tercera ecuación
2D + 6E + F = −40, lo que nos da
2 · 16 + 6(−28 +
F
2
) + F = −40
32 − 168 + 3F + F = −40
4F = −40 + 168 − 32 = 96
F = 24
E = −28 +
F
2
= −28 +
24
2
= −16
Los coecientes son : D = 16, E = −16, F = 24
La ecuación de la circunferencia pasando por los tres puntos
es x2
+ y2
+ 16x − 16y + 24 = 0 .
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 17
28. La circunferencia es de centro y de radio
Centro : xC = −
D
2
= −
16
2
= −8
yC = −
E
2
= −
−16
2
= 8
Radio : R =
1
2
√
D2 + E2 − 4F =
1
2
162 + (−16)2 − 4 · 24 =
√
256 + 256 − 96
2
=
√
104
Problema 12. Hallar las coordenadas del punto A desde el cual se traza las
tangentes comunes a las circunferencias Γ1 ≡ x2
+ y2
− 4x − 2y + 1 = 0 y Γ2 ≡
x2
+y2
−28x−20y+280 = 0. El punto A se encuentra sobre la linea de los diámetros
de las circunferencias. Hallar las pendientes de las tangentes.
Figura 7. Hallar las coordenadas del punto A
Solución 3.4. En la gura, se nota que los triángulos AC1T1 y AC2T2 son
semejantes. Con R1 y R2 siendo los radios de las circunferencias Γ1 y Γ2 dada,
podemos escribir
R1
R2
=
C1T1
C2T2
=
C1A
AC2
. Cálculo de las coordenadas de los centros y los
radios,
18 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
29. Identicación de los coecientes de Γ1
Γ1 ≡x2
+ y2
− 4x − 2y + 1 = 0
D1 = −4, E = −2, F1 = 1
Coordenadas C1 : xC1 = −
D1
2
= −
−4
2
= 2, yC1 = −
E1
2
= −
−2
2
= 1
Radio R1 : R1 =
D2
1 + E2
1 − 4F1
2
=
(−4)2 + (−2)2 − 4 · 1
2
=
√
16
2
= 2
Identicación de los coecientes de Γ2
Γ2 ≡x2
+ y2
− 28x − 20y + 280 = 0
D2 = −28, E2 = −20, F2 = 280
Coordenadas C2 : xC2 = −
D2
2
= −
−28
2
= 14, yC2 = −
E2
2
= −
−20
2
= 10
Radio R2 : R2 =
D2
2 + E2
2 − 4F2
2
=
(−28)2 + (−20)2 − 4 · 280
2
=
√
784 + 400 − 1120
2
=
√
64
2
= 4
Cálculo de la razón r y coordenadas del punto A
Razón r : r =
R1
R2
=
1
2
Coordenadas punto A : xA =
xC1 + rxC2
1 + r
=
2 +
14
2
1 +
1
2
=
4 + 14
3
= 6
yA =
yC1 + ryC2
1 + r
=
1 +
10
2
1 +
1
2
=
2 + 10
3
= 4
Coordenadas del punto A : (6, 4) .
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 19
30. Cálculo de las pendientes de las tangentes. El cálculo es basado sobre la fórmula
de la recta pasando por A a distancia de un centro de una circunferencia.
Ver (4.6) pagina 146 de Nuevos Métodos de Geometría Analítica. Elegimos Γ1 de
centro C1(2, 1) y de radio R1 = 2,
∆x = xA − xC1 = 6 − 2 = 4, ∆y = yA − yC1 = 4 − 1 = 3
R1 = 2
mR =
∆x∆y ± R1 ∆x2 + ∆y2 − R2
1
∆x2 − R2
1
=
4 · 3 ± 2
√
42 + 32 − 22
42 − 22
=
12 ± 2
√
16 + 9 − 4
12
=
12 ± 2
√
21
12
=
6 ±
√
21
6
Las pendientes son mR1 =
6 +
√
21
6
= 1.763 y mR2 =
6 −
√
21
6
= 0.2362 .
20 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
31. 3.3 Familia de circunferencias
La familia de circunferencias pasa por un eje radical común a 2 circunferencias
Γ1, y Γ2 la ecuación de la familia se escribe Γ1 + kΓ2 = 0
Problema 13. Hallar la circunferencia Γ3 pasando por los puntos de intersección
de Γ1 : x2
+ y2
− 8x − 4y = 0 y de Γ2 : x2
+ y2
+ 4x − 16 = 0 y que tiene su centro
C3 sobre la recta −2x + y − 9 = 0.
Figura 8. Halla la ecuacion de la circunferencia Γ3
Solución 3.5. La ecuación de la familia de circunferencias se escribe
Γ1 + kΓ2 = 0
o sea : x2
+ y2
− 8x − 4y + k(x2
+ y2
+ 4x − 16) = 0
(1 + k)x2
+ (1 + k)y2
− (8 − 4k)x − 4y − 16k = 0
Al dividir por 1 + k : x2
+ y2
−
(8 − 4k)x
1 + k
−
4y
1 + k
−
16k
1 + k
= 0
Las coordenadas del centro de la familia de circunferencias se hallan por
D = −
8 − 4k
1 + k
, E = −
4
1 + k
xC3 = −
D
2
= −
−(8 − 4k)
2(1 + k)
=
4 − 2k
1 + k
yC3 = −
E
2
= −
−4
2(1 + k)
=
2
1 + k
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 21
32. El centro C3 se encuentra sobre la recta −2x + y − 9 = 0, y verica entonces la
ecuación,
−2xC3 + yC3 − 9 = 0
−2(4 − 2k)
1 + k
+
2
1 + k
− 9 = 0
Al multiplicar por 1 + k : − 2(4 − 2k) + 2 = 9(1 + k)
−8 + 4k + 2 = 9 + 9k
4k − 9k = 9 − 2 + 8 = 15
k = −
15
5
= −3
Cálculo del centro,
xC3 =
4 − 2k
1 + k
=
4 − 2 · (−3)
1 − 3
=
4 + 6
−2
= −5
yC3 =
2
1 + k
=
2
1 − 3
= −1
Cálculo del radio,
D = −
8 − 4k
1 + k
, E = −
4
1 + k
, F = −
16k
1 + k
= −
8 − 4k
1 + k
= −
8 + 4 · 3
1 − 3
= −
20
−2
= 10
E = −
4
1 + k
= −
4
1 − 3
= 2
F = −
16k
1 + k
= −
−3 · 16
1 − 3
= −
−48
−2
= −24
Radio : R =
√
D2 + E2 − 4F
2
=
√
102 + 22 + 4 · 24
2
=
√
100 + 4 + 96
2
= 5
√
2
La ecuación de la circunferencia Γ3 cuyo el centro es sobre −2x + y − 9 = 0
y pasando por las intersecciones de Γ1 y Γ2 es,
Γ3 ≡ x2
+ y2
+ 10x + 2y − 24 = 0 .
22 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
33. 3.3.1. Familia de circunferencias pasando por 2 puntos
Ver fórmula (5.2) pagina 272 Nuevos Métodos de Geometría Analítica
Problema 14. Hallar la ecuación de la familia de circunferencia pasando por
P1(−1, 3) y P2(1, −1).
Solución 3.6. Al aplicar las fórmulas tenemos,
x1 = −1, y1 = 3, x2 = 1, y2 = −1
D(x1 − x2) + E(y1 − y2) = x2
2 + y2
2 − x2
1 − y2
1
−x2
1 − y2
1 − Dx1 − Ey1 = F
D(−1 − 1) + E[3 − (−1)] = 12
+ (−1)2
− (−1)2
− 32
−(−1)2
− 32
+ D − 3E = F
−2D + 4E = 1 + 1 − 1 − 9
D − 3E − 1 − 9 = F
−2D + 4E = −8
D − 3E = 10 + F
La solución del sistema de ecuaciones,
D =
−8 4
10 + F −3
−2 4
1 −3
=
(−8) · (−3) − (10 + F) · 4
(−2) · (−3) − (1) · (4)
=
24 − 40 − 4F
−16 − 4F
= −8 − 2F
E =
−2 −8
1 10 + F
−2 4
1 −3
=
(−2) · (10 + F) − (1) · (−8)
(−2) · (−3) − (1) · (4)
=
−20 − 2F + 8
6 − 4
= −6 − F
La ecuación de la familia de circunferencias pasando por los puntos P1 y P2 es
x2
+ y2
− x(8 + 2F) − y(6 + F) + F .
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 23
34. Figura 9. Familia de circunferencias pasando por los puntos P1 y P2
24 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
35. 4 La parábola
4.1 Denición de la parábola
Problema 15. Hallar la parábola conociendo la directriz y = 2x − 4 y las coor-
denadas del foco F(−2, 1).
Solución 4.1. Se aplica la denición de la parábola como lugar geométrico de
los puntos equidistantes de una recta (la directriz) y de un punto jo (el foco).
Coordenadas del foco : xF = −2, yF = 1
Directriz : y − 2x + 4 = 0
Denición de la parábola : (x − xF )2 + (y − yF )2 =
y − 2x + 4
12 + (−2)2
La distancia de punto (x, y) al foco F(xF , yF ) = la distancia de este punto a una
recta.
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 =
y − 2x + 4
12 + (−2)2
(x + 2)2
+ (y − 1)2
=
(y − 2x + 4)2
5
5[(x + 2)2
+ (y − 1)2
] = (y − 2x + 4)2
5(x2
+ 4x + 4 + y2
− 2y + 1) = (y − 2x)2
+ 8(y − 2x) + 16
5x2
+ 20x + 5y2
− 10y + 25 = y2
− 4xy + 4x2
+ 8y − 16x + 16
x2
+ 4y2
+ 4xy + 36x − 18y + 9 = 0
La ecuación de la parábola es x2
+ 4y2
+ 4xy + 36x − 18y + 9 = 0 .
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 25
36. 4.2 Hallar los parámetros de cualquiera parábola
A partir de la ecuación general de una parábola, hallar las coordenadas del vértice,
del foco, distancia focal p, así que la ecuación de la directriz.
Ver las fórmulas (1.10) pagina 352 de Nuevos Métodos de Geometría Analítica.
Problema 16. Hallar el valor de la distancia focal p así que la ecuación de la
directriz de la parábola 4x2
+ 4xy + y2
+ 28x − 36y + 24 = 0.
Solución 4.2. Identicación de los coecientes,
A = 4, B = 4, C = 1, D = 28, E = −36, F = 24
Cálculo de la pendiente del eje :
tg θ =
−(A − C) ± (A − C)2 + B2
B
=
−(4 − 1) − (4 − 1)2 + 42
4
=
−3 −
√
9 + 16
4
=
−3 − 5
4
= −2
Cálculo de la distancia focal :
p = −
E tg θ + D
4(A + C) 1 + tg2
θ
= −
[(−36) · (−2) + 28]
4(4 + 1) 1 + (−2)2
= −
(72 + 28)
20
√
5
= −
5
√
5
p = −
√
5
26 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
37. Fórmula intermediaria 1 :
y v =
D tg θ − E
2(A + C) 1 + tg2
θ
=
28 · (−2) − (−36)
2(4 + 1) 1 + (−2)2
=
−56 + 36
10
√
5
= −
2
√
5
Fórmula intermediaria 2 :
x v =
F − (A + C)y 2
v
4p(A + C)
=
24 − (1 + 4) ·
−2
√
5
2
−4(1 + 4)
√
5
=
24 − 4
−20
√
5
= −
1
√
5
Coordenadas del vértice :
xv =
x v − y v tg θ
1 + tg2
θ
=
−
1
√
5
− (−
2
√
5
) · (−2)
1 + (−2)2
=
−1 − 4
5
= −1
yv =
x v tg θ + y v
1 + tg2
θ
=
−1
√
5
· (−2) −
2
√
5
1 + (−2)2
=
2 − 2
5
= 0
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 27
38. Coordenadas del foco :
xF = xv +
p
1 + tg2
θ
= −1 +
−
√
5
1 + (−2)2
= −1 − 1 = −2
yF = yv +
p tg θ
1 + tg2
θ
= 0 +
(−
√
5) · (−2)
1 + (−2)2
=
2
√
5
√
5
= 2
Ecuación de la directriz :
x + y tg θ = (x v − p) 1 + tg2
θ = [−
1
√
5
− (−
√
5)] 1 + (−2)2
x − 2y = (−
1
√
5
+
√
5)
√
5 = −1 + 5 = 4
x − 2y = 4
Figura 10. Hallar los parámetros de la parábola dada
28 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
39. 4.3 Hallar la ecuación de la parábola a partir de la distancia
focal p, y de las coordenadas del foco
Problema 17. Hallar la ecuación de la parábola conociendo la directriz 2x+y −
3 = 0, el foco F(5, 3) y la distancia focal p =
√
5.
Solución 4.3. Aplicar la fórmula Ver (1.11) pagina 362 de Nuevos Métodos de
Geometría Analítica usando la pendiente del eje focal tg θ, así que las coordenadas
del vértice V . Coordenadas del vértice V (xv, yv):
tg θ = −
1
mdir
= −
1
−2
=
1
2
xF = 5, yF = 3
xv = xF −
p
1 + tg2
θ
= 5 −
√
5
1 +
1
2
2
= 5 −
2
√
5
√
5
= 3
yv = yF −
p tg θ
1 + tg2
θ
= 3 −
√
5 ·
1
2
1 +
1
2
2
= 3 −
√
5
√
5
= 2
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 29
40. Ecuación de la parábola :
[−(x − xv) tg θ + (y − yv)]2
= 4p[(x − xv) + (y − yv) tg θ] 1 + tg2
θ
−(x − 3)
2
+ (y − 2)
2
= 4
√
5 (x − 3) +
y − 2
2
1 +
1
2
2
(−x + 3 + 2y − 4)2
4
=
4
√
5(2x − 6 + y − 2)
√
5
4
(−x + 2y − 1)2
= 4 · 5 · (2x + y − 8)
x2
− 2x(2y − 1) + (2y − 1)2
= 40x + 20y − 160
x2
− 2x(2y − 1) + 4y2
− 4y + 1 = 40x + 20y − 160
x2
− 4xy + 2x + 4y2
− 4y + 1 = 40x + 20y − 160
x2
− 4xy + 4y2
− 38x − 24y + 161 = 0
La ecuación de la parábola de distancia focal p =
√
5 y de foco F(5, 3) es
x2
− 4xy + 4y2
− 38x − 24y + 161 = 0
Figura 11. Hallar la ecuación de la parábola a partir de la distancia
focal p y las coordenadas del foco F
30 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
41. 5 La elipse
5.1 Hallar los parámetros y las coordenadas del foco a
partir de la ecuación de la elipse
El libro Nuevos Métodos de Geometría Analítica da un método para hallar las
coordenadas del centro y las longitudes de los ejes mayor y menor.
Problema 18. Hallar las coordenadas del centro C, las longitudes de los ejes
mayor a y menor b así que las coordenadas de los focos F1 y F2 de la elipse cuya la
ecuación es 6x2
+ 4xy + 9y2
− 20x − 40y = 0.
Solución 5.1. Las coordenadas del centro C se hallan por la fórmula (2.18)
pagina 459. Los coecientes de la ecuacion son,
A = 6, B = 4, C = 9, D = −20, E = −40, F = 0
xC =
2CD − BE
B2 − 4AC
=
2 · 9 · (−20) − 4 · (−40)
42 − 4 · 6 · 9
=
−360 + 160
16 − 216
=
−200
−200
= 1
yC =
2AE − BD
B2 − 4AC
=
2 · 6 · (−40) − 4 · (−20)
42 − 4 · 6 · 9
=
−480 + 80
16 − 216
=
−400
−200
= 2
Cálculo de la pendiente del eje focal tg θ, ver fórmulas (2.19) pagina 459.
La pendiente del eje focal debe ser negativa por B = 4 0.
tg θ =
−(A − C) ± (A − C)2 + B2)
B
=
−(6 − 9) − (6 − 9)2 + 42
4
=
3 − (−3)2 + 42
4
=
3 − 5
4
= −
1
2
Cálculo de F , coeciente F de la elipse traslada al centro C,
A = 6, B = 4, C = 9, D = −20, E = −40, F = 0
xC = 1, yC = 2
F = Ax2
C + BxCyC + Cy2
C + DxC + EyC + F
= 6 · 12
+ 4 · 1 · 2 + 9 · 22
− 20 · 1 − 40 · 2
= 6 + 8 + 36 − 20 − 80 = 50 − 100 = −50
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 31
42. Cálculo de las longitudes de los ejes mayor a y menor b,
A = A = 6, B = B = 4, C = C = 9, F = −50, tg θ = −
1
2
a =
F (tg2
θ − 1)
A − C tg2
θ
=
−50 −
1
2
2
− 1
6 − 9 −
1
2
2 =
−50(1 − 4)
6 · 4 − 9
=
150
15
=
√
10
b =
F (tg2
θ − 1)
C − A tg2
θ
=
−50 −
1
2
2
− 1
9 − 6 −
1
2
2 =
−50(1 − 4)
9 · 4 − 6
=
150
30
=
√
5
Cálculo de la media distancia focal c,
c =
√
a2 − b2 =
√
10 − 5 =
√
5
Cálculo de las coordenadas del lo foco F1,
xC = 2, yC = 1, tg θ = −
1
2
xF1 = xC −
c
1 + tg2
θ
= 1 −
√
5
1 + −
1
2
2
= 1 −
2
√
5
√
5
= −1
yF1 = yC −
c tg θ
1 + tg2
θ
= 2 −
−
√
5
2
1 + −
1
2
2
= 2 −
−
√
5
√
5
= 3
32 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
43. Cálculo de las coordenadas del lo foco F2,
xC = 2, yC = 1, tg θ = −
1
2
xF2 = xC +
c
1 + tg2
θ
= 1 +
√
5
1 + −
1
2
2
= 1 +
2
√
5
√
5
= 3
yF1 = yC +
c tg θ
1 + tg2
θ
= 2 +
−
√
5
2
1 + −
1
2
2
= 2 −
√
5
√
5
= 1
Las coordenadas de los focos son F1(−1, 3) y F2(3, 1).
Figura 12. Hallar las coordenadas de los focos F1 y F2
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 33
44. 5.2 Hallar la ecuación de elipse por la directriz, por un foco
y un punto
Problema 19. Hallar la ecuación de la elipse conociendo una directriz de ecua-
ción −2x + y − 15 = 0 y el punto P(
5
2
, 5). Las coordenadas de un foco es F1(1, 2).
Solución 5.2. Tener los datos de la directriz, de un punto P, y de un foco nos
permite de conocer la excentricidad e =
c
a
.
Las directrices son perpendiculares al eje focal y se ubican a una distancia ±
a2
c
del
centro de la elipse.
El foco se ubica a una distancia c del centro de la elipse. La ecuación de la elipse se
halla entonces por la pendiente del eje focal igual a −
1
mdir
con mdir siendo la pen-
diente de la directriz, así que por los valores de a y b correspondiendo respectivamente
a las longitudes de los ejes mayor y menor.
Ver fórmula (2.20) pagina 471 del libro Nuevos Métodos de Geometría Analítica.
Figura 13. Hallar la ecuación de la elipse por la directriz, el foco y
un punto P
34 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
45. Cálculo de la excentricidad de la elipse, Distancia punto P foco F1 :
xP =
5
2
, yP = 5, xF1 = 1, yF1 = 2
e =
c
a
=
F1P
PM
F1P = (xF1 − xP )2 + (yF1 − yP )2 = 1 −
5
2
2
+ (2 − 5)2
= −
3
2
2
+ (−3)2 =
9
4
+ 9 =
9 + 36
4
=
√
45
2
=
3
√
5
2
Distancia punto P(
5
2
, 5) a la directriz −2x + y − 15 = 0 :
PM =
|−2xP + yP − 15|
(−2)2 + (12)
=
−2 ·
5
2
+ 5 − 15
√
5
=
|−5 + 5 − 15|
√
5
=
15
√
5
= 3
√
5
La excentricidad es igual a e =
F1P
PM
=
3
√
5
2
3
√
5
=
1
2
.
Cálculo de a, c y b.
Distancia F1N =
a2
c
− c :
xF1 = 1, yF1 = 2
F1N =
|−2xF1 + yF1 − 15|
(−2)2 + 12
=
|−2 + 2 − 15|
√
5
=
15
√
5
= 3
√
5
F1N = 3
√
5 =
a2
c
− c =
a2
− c2
c
con c = ae
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 35
46. a2
− c2
c
=
a2
− a2
e2
ae
=
a(1 − e2
)
e
= 3
√
5 con e =
1
2
a =
3
√
5 · e
1 − e2
=
3
√
5 ·
1
2
1 −
1
2
2 =
3
√
5
2
·
4
3
a = 2
√
5
b =
√
a2 − c2 =
√
a2 − a2e2 = a
√
1 − e2
= 2
√
5 · 1 −
1
4
= 2
√
5 ·
√
3
2
=
√
15
Cálculo de la pendiente tg θ del eje focal,
tg θ = −
1
mdir
= −
1
2
Cálculo de las coordenadas del centro C,
c = ae = 2
√
5 ·
1
2
=
√
5
xC = xF1 +
c
1 + tg2
θ
= 1 +
√
5
1 + −
1
2
2
= 1 +
2
√
5
√
5
= 3
yC = yF1 +
c tg θ
1 + tg2
θ
= 2 +
−
√
5
2
1 + −
1
2
2
= 2 − 1 = 1
36 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
48. Observación 5.1. La ecuación se consigue también al aplicar la relación
(x − xF1)2 + (y − yF1)2 = e ·
−2x + y − 15
(−2)2 + 12
con xF1 = 1, yF1 = 2 y e =
1
2
(x − 1)2 + (y − 2)2 =
−2x + y − 15
2
√
5
o sea
(x − 1)2
+ (y − 2)2
=
(−2x + y − 15)2
20
5.3 Tangente a la elipse
Problema 20. Hallar la ecuación de la elipse de focos F1(2, −2) y F2(4, −1)
tangente a x − y − 3 = 0.
Solución 5.3. La ecuación de la elipse se halla al conocer las longitudes de los
ejes mayor a y menor b, así que la pendiente del eje focal tg θ.
Luego se aplica la fórmula (2.20) pagina 470 que da la ecuación de la elipse completa.
La fórmula de la tangente en un punto T de la elipse es
xxT
a2
+
yyT
b2
= 1. Ver (3.1) Pagina 476 de NUEVOS MÉTODO DE GEOMETRÍA
ANALÍTICA. La fórmula se aplica solamente para elipses centradas al origen. Te-
nemos entonces que hacer una traslación y una rotación de ejes para que la recta
x − y − 3 = 0 sea la tangente a la elipse centrada. El centro C(xC, yC) de la elipse
se calcula,
con xF1 = 2, yF1 = −2 y xF2 = 4, yF1 = −1
xC =
xF1 + xF2
2
=
2 + 4
2
= 3
yC =
yF1 + yF2
2
=
−2 − 1
2
= −
3
2
Pendiente del eje focal,
tg θ =
yF2 − yF1
xF2 − xF1
=
−1 − (−2)
4 − 2
=
1
2
sen θ =
tg θ
1 + tg2
θ
=
1
√
5
cos θ =
1
1 + tg2
θ
=
2
√
5
38 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
49. Figura 14. Hallar la ecuación de la elipse tangente a una recta dada
Traslación de ejes de la recta x − y − 3 = 0 en el sistema de coordenadas X Y
traslada en C(xC, yC),
xC = 3, yC = −
3
2
x = x + xC, y = y + yC
Ecuación de la recta en XY : x − y − 3 = 0
Se reemplaza x y y por sus valores
x + xC − (y + yC) − 3 = 0
x + 3 − y +
3
2
− 3 = 0
x − y +
3
2
= 0
Al multiplicar por 2 : 2x − 2y + 3 = 0
Rotación θ de ejes de la recta 2x − 2y + 3 = 0 en el sistema de coordenadas X Y ,
sen θ =
1
√
5
, cos θ =
2
√
5
x = x cos θ − y sen θ
y = x sen θ + y cos θ
Se reemplaza x y y por sus valores dentro
2x − 2y + 3 = 0
2(x cos θ − y sen θ) − 2(x sen θ + y cos θ) + 3 = 0
2x (cos θ − sen θ) − 2y (cos θ + sen θ) + 3 = 0
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 39
50. 2x (cos θ − sen θ) − 2y (cos θ + sen θ) + 3 = 0
con sen θ =
1
√
5
, cos θ =
2
√
5
2x (2 − 1)
√
5
−
2y (2 + 1)
√
5
+ 3 = 0
2x − 6y + 3
√
5 = 0
Al dividir por −3
√
5, obtenemos −
2x
3
√
5
+
6y
3
√
5
= 1 que debe ser igual a
x x T
a2
+
y y T
b2
= 1.
Identicación de los parámetros a y b,
xF1 = 2, yF1 = −2, xC = 3, yC = −
3
2
c2
= a2
− b2
= (xF1 − xC)2
+ (yF1 − yC)2
= (2 − 3)2
+ −2 +
3
2
2
= 1 +
−4 + 3
2
2
= 1 +
1
4
=
5
4
c2
= a2
− b2
=
5
4
Por identicación de los coecientes de la tangente :
x T
a2
= −
2
3
√
5
a2
= −
3x T
√
5
2
y T
b2
=
6
3
√
5
b2
=
y T
√
5
2
a2
− b2
= −
3x T
√
5
2
−
y T
√
5
2
=
5
4
= −3x T − y T =
√
5
2
40 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
51. Para hallar los valores de las coordenadas de punto de tangencia T, x T e y T ,
tenemos que resolver el sistema de ecuaciones,
−3x T − y T =
√
5
2
El punto T pertenece a la recta : 2x T − 6y T = −3
√
5
x T =
√
5
2
−1
−3
√
5 −6
−3 −1
2 −6
=
−3
√
5 − 3
√
5
18 + 2
= −
3
√
5
10
y T =
−3
√
5
2
2 −3
√
5
−3 −1
2 −6
=
9
√
5 −
√
5
18 + 2
=
2
√
5
5
Se halla los valores de a y b,
x T = −
3
√
5
10
, y T =
2
√
5
5
a2
= −
3x T
√
5
2
= −
3
√
5
2
· −
3
√
5
10
=
9 · 5
20
=
9
4
b2
=
y T
√
5
2
=
√
5
2
·
2
√
5
5
=
2
√
5 ·
√
5
2 · 5
= 1
a =
9
4
=
3
2
, b = 1
La ecuación de la elipse se halla por la fórmula
(x − xC) + (y − yC) tg θ
a
2
+
−(x − xC) tg θ + (y − yC)
b
2
= 1 + tg2
θ
con xC = 3, yC = −
3
2
, tg θ =
1
2
, a =
3
2
, b = 1
(x − 3) + (y +
3
2
) ·
1
2
3
2
2
+ −(x − 3) ·
1
2
+ y +
3
2
2
= 1 +
1
2
2
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 41
52. x − 3 +
2y + 3
4
2
·
4
9
+ −
x − 3
2
+
2y + 3
2
2
=
5
4
Después desarrollo obtenemos la ecuación de la elipse
5x2
− 4xy + 8y2
− 36x + 36y + 72 = 0 tangente a x − y − 3 = 0
42 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
53. 6 La hipérbola
6.1 Hallar la ecuación de la hipérbola conociendo las
asintotas y la excentricidad
Problema 21. Hallar las longitudes de los ejes mayor a, y menor b de la hipér-
bola cuyas las asintotas son Asy1 ≡ −3x + 4y = 0 y Asy2 ≡ 5x + 12y = 0. El valor
de la media distancia focal c = 3
Solución 6.1. Los focos F1 y F2 se encuentran sobre la bisetrices formadas por
Asy1 y Asy2.
Cálculo de las bisectrices,
−3x + 4y
(−3)2 + 42
= −
5x + 12y
√
52 + 122
−3x + 4y
5
= −
5x + 12y
13
−39x + 52y = −25x − 60y
14x = 112y
x − 8y = 0
Las bisectrices son Bis1 ≡ x − 8y = 0 y Bis2 ≡ y + 8x = 0. Cálculo de las asintotas.
Las ecuaciones de las asintotas se hallan por la fórmula (2.15) pagina 558 de Nuevos
Métodos de Geometría Analítica.
La pendiente de Bis1 es mbis1 = tg θ =
1
8
.
y = x
±
b
a
+ tg θ
1
b
a
tg θ
Al llamar
b
a
= ρ la fórmula se escribe
y = x
±ρ + tg θ
1 ρ tg θ
y = x
±ρ +
1
8
1
ρ
8
= x
±8ρ + 1
8 ρ
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 43
54. Las pendientes de las asintotas son
3
4
y −
5
12
, lo que corresponde a
8ρ + 1
8 − ρ
=
3
4
o sea : 4(8ρ + 1) = 3(8 − ρ)
32ρ + 4 = 24 − 3ρ
35ρ = 20
ρ =
b
a
=
4
7
Cálculo de la longitud del eje mayor a,
b =
4a
7
c2
= a2
+ b2
= 9
a2
+
16a2
49
= 9
a2
· (
49 + 16
49
) = 9
a2
=
49 · 9
65
a =
7 · 3
√
65
=
21
√
65
b =
4
7
·
21
√
65
=
12
√
65
Longitud del eje mayor a =
21
√
65
Longitud del eje menor b =
12
√
65
44 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
55. 6.2 Hallar una hipérbola conociendo un punto P, así que su
asintotas
Problema 22. Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera (a = b) pasando por
P(2, 4) y teniendo por asintotas y = 3 y el eje Y .
Solución 6.2. El libro de Nuevos Métodos de Geometría Analítica provee la
fórmula (2.20) pagina 580.
(x − xC) + (y − yC) tg θ
a
2
−
−(x − xC) tg θ + (y − yC)
b
2
= 1 + tg2
θ
donde las coordenadas del centro son (0, 3) y tg θ = 1.
El punto P(2, 4) pertenece a la hipérbola, podemos entonces escribir,
(xP − xC) + (yP − yC) tg θ
a
2
−
−(xP − xC) tg θ + (yP − yC)
b
2
= 1 + tg2
θ
con xC = 0, yC = 3, a = b, tg θ = 1
xP + (yP − 3)
a
2
−
−xP + (yP − 3)
a
2
= 2
donde xP = 2, yP = 4
2 + (4 − 3)
a
2
−
−2 + (4 − 3)
a
2
= 2
9
a2
−
1
a2
= 2
8
a2
= 2
de donde a =
√
4 = 2
De donde a = b = 2. La ecuación de la hipérbola es entonces
x + (y − 3)
2
2
−
−x + (y − 3)
2
2
= 2
[x + (y − 3)]2
− [−x + (y − 3)]2
= 8
x2
+ 2x(y − 3) + (y − 3)2
− x2
+ 2x(y − 3) − (y − 3)2
= 8
4x(y − 3) = 8
La ecuación de la hipérbola equilátera de asintotas x = 0, y − 3 y pasando por P(2, 4) es
x(y − 3) = 2
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 45
56. Figura 15. Hipérbola equilátera pasando por P(2, 4)
Problema 23. Hallar los ejes mayor a y menor b de la hipérbola conociendo los
focos F1(0, 0), F2(8, −4) y un punto P(11, 2). Utilizar la propiedad de la tangente.
Solución 6.3. El problema se reere a las fórmulas (4.1) pagina 629 de Nuevos
Métodos de Geometría Analítica.
Usando la propiedad de la tangente en un punto de la hipérbola que corresponde a la
bisectriz entre los radio vectores trazados del punto P a los focos.
Cálculo de la pendiente de la bisectriz.
Llamemos mRV 1 la pendiente del radio vector uniendo F1 al punto P, y mRV 2 la
pendiente del radio vector uniendo F2 al punto P.
Los valores de las pendientes mRV 1 y mRV 2 se calculan,
xP = 11, yP = 2, xF1 = 0, yF1 = 0
mRV 1 =
yP − yF1
xP − xF1
=
2 − 0
11 − 0
=
2
11
xF2 = 8, yF2 = −4
mRV 2 =
yP − yF2
xP − xF2
=
2 − (−4)
11 − 8
= 2
46 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
57. El centro de la hipérbola es
xC =
xF1 + xF2
2
=
0 + 8
2
= 4
yC =
yF1 + yF2
2
=
0 − 4
2
= −2
La pendiente del eje focal es
tg θ =
yF2
xF2
=
−4
8
= −
1
2
Según las fórmulas dando la pendiente mbisec de la bisectriz positiva en este caso,
mbisec = tg
ω1 + ω2
2
=
tg
ω1
2
+ tg
ω2
2
1 − tg
ω1
2
tg
ω2
2
mRV 1 =
2
11
, mRV 2 = 2
tg
ω1
2
= mRV 1 + m2
RV 1 + 1 =
2 +
√
112 + 5
11
tg
ω2
2
= mRV 2 − m2
RV 2 + 1 = 2 −
√
5
mbisec =
2 + 5
√
5
11
+ 2 −
√
5
1 −
2 + 5
√
5
11
· (2 −
√
5)
=
6(4 −
√
5)
8(4 −
√
5)
=
3
4
La pendiente de la tangente pasando por P(11, 2) es
3
4
. La ecuación de la tangente
es
y − yP = mbisec(x − xP )
y − 2 =
3(x − 11)
4
4y − 8 = 3x − 33
4y − 3x = −25
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 47
58. La identicación de los coeciente de la fórmula de la tangente ny + mx = k, nos da
n = 4, m = −3, k = −25
k = k − nyC − mxC donde xC = 4, yC = −2
k = −25 − 4 · (−2) − (−3) · 4 = −25 + 8 + 12 = −5
Los valores de M y N valen
M = xP − xC + (yP − yC) tg θ con xP = 11, yP = 2
M = 11 − 4 + [2 − (−2)] ·
−1
2
= 11 − 4 − 2 = 5
N = −(xP − xC) tg θ + yP − yC
N = −(11 − 4) ·
−1
2
+ 2 − (−2) =
7
2
+ 4 =
15
2
Resolver el sistema de ecuaciones,
M
a2
+
N tg θ
b2
=
m(1 + tg2
θ)
k
M tg θ
a2
−
N
b2
=
n(1 + tg2
θ)
k
con M = 5, N =
15
2
, m = −3 n = 4, tg θ = −
1
2
, k = −5
Al reemplazar los valores :
5
a2
+
15
2b2
·
−1
2
=
−3 1 + −
1
2
2
−5
−5
2a2
−
15
2b2
=
4 1 + −
1
2
2
−5
Después desarrollo,
5
a2
−
15
4b2
=
3
4
−
5
2a2
−
15
2b2
= −1
48 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica
59. Después simplicación, obtenemos
20
a2
−
15
b2
= 3
5
a2
+
15
b2
= 2
Solución por el método de Cramer,
1
a2
=
3 −15
2 15
20 −15
5 15
=
3 · 15 − [2 · (−15)]
20 · 15 − [5 · (−15)]
=
45 + 30
300 + 75
=
75
375
=
1
5
1
b2
=
20 3
5 2
20 −15
5 15
=
20 · 2 − 5 · 3
20 · 15 − [5 · (−15)]
=
40 − 15
300 + 75
=
25
375
=
1
15
Las longitudes de los ejes mayor y menor valen a =
√
5 y b =
√
15
Figura 16. Hallar las longitudes de los ejes mayor a y menor b de la
hipérbola a partir de un punto P y de los focos
Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica 49
60. Se verica los valores de a y de b, por los siguientes cálculos,
F1P − F2P = 2a
F1P = x2
P + y2
P =
√
112 + 22 =
√
125 = 5
√
5
F2P = (xP − xF2)2 + (yP − yF2)2 = (11 − 8)2 + [2 − (−4)]2 =
√
9 + 36 =
√
45 = 3
√
5
F1P − F2P = 5
√
5 − 3
√
5 = 2
√
5 = 2a
y a =
√
5
Media distancia focal : c = x2
C + y2
C = 42 + (−2)2 =
√
20
b =
√
c2 − a2 =
√
20
2
−
√
5
2
=
√
15
50 Más Informaciones a Nuevos Métodos de Geometría Analítica