24. некопипаста "Ф.I : Одновимiрна кiнематика 2/2 " EdEra Фiлiпов Iлля
2 Вертикальний рух пiд дiєю сили тяжiння
Закон всесвiтнього тяжiння - закон, що описує гравiтацiйну взаємодiю (притяга-
ння) тiл. У подальшому закон буде розглянуто бiльш детально.
Означення
Прискорення вiльного падiння ~g - прискорення, яке отримує тiло внаслiдок
гравiтацiйного притягання Землi.
Для спрощення вирiшення кiнематичних задач
• Бiля поверхнi Землi це прискорення вважають константою (хоча фiзично
це прискорення залежить вiд багатьох факторiв).
g ⇡ 9.8
м
c2
• Опором повiтря нехтують. За таких умов падiння тiла називають вiльним.
Єдине прискорення, яке дiє на тiло в такому випадку - прискорення ~g,
напрямлене вертикально вниз.
При вертикальному русi у бiльшостi пiдручникiв вiсь направляють вгору. В такому
випадку рiвняння руху виглядає таким чином:
x = x0 + v0xt −
gt2
2
Є декiлька цiкавих фактiв, пов’язаних з рухом, при якому нехтують опором повiтря.
1. Час пiдняття тiла з одного рiвня до iншого дорiвнює часу спуску з
другого на перший.
V=0
x
Hmax
0
g
V0
А. Петро жбурляє м’яч вертикально вго-
ру з початковою швидкiсть v0.
Рiвняння руху
x = x0 + v0xt −
gt2
2
Початкову точку приймемо за нуль, кiн-
цеву - Hmax
Hmax = v0xt −
gt2
2
Позначимо час пiдйому t0 i знайдемо його
з умови рiвностi нулю швидкостi у найви-
щiй точцi:
v(t0) = v0 − gt0 = 0 ) t0 =
v0x
g
v2
0x
2g
9
Пiдставимо у вираз для Hmax: Hmax =
25. некопипаста
"Ф.I : Двовимiрна кiнематика 2/2 " EdEra Фiлiпов Iлля
Задача 2 РОМАНТИЧНА
Уявiть ситуацiю: дiвчина бiжить назустрiч хлопцю зi швидкiстю 20 км/год. Яку
силу йому потрiно прикласти, щоб зупинити кохану на протязi двохметрової ди-
станцiї.
2 м
Розв’язок. Нам потрiбно записати рiвняння руху для дiвчини. За початкову ко-
ординату обереме координату зустрiчi цiєї пари. Вiсь напрямляємо влiво. Тодi по-
чаткова швидкiсть дiвчини буде дорiвнювати 20 км/год ⇡ 5.6 м/с. А гальмування
описується прискоренням, напрямленим в зворотньому напрямку. Це прискорення
з’являється внаслiдок сили, прикладеної злопцем.
x = vot −
at2
2
, v = v0 − at
Момент зупинки: v = 0 ) t0 =
v0
a
.
Пiдставляємо у рiвняння руху, врахувавши, що зупинка вiдбудеться на вiдстанi
два метри вiд початкової точки:
x(t0) =
v2
0
a −
v2
0
2a
=
v2
0
2a ) a =
v2
0
2x(t0)
=
v2
0
2x(t0)
=
5.62
2 · 2
= 7.84 (м/c2)
Для знаходження сили будемо вважати, що дiвчина саме цього хлопця має масу
52 кг.
F = ma = 52 · 7.84 ⇡ 408 (H)
Як бачите, треба бути доволi сильним, щоб зупинити свою кохану. Якщо порiвняти
цю силу з силою тяжiння mg, то стає зрозумiлим, що така сама сила вам би
знадобилася, щоб зупинити 40 кiлограмове тiло, яке падає на вас з висоти. Не
дарма є дiвчата, якi кажуть: "Мене легко зустрiти, але важко втримати")
26. некопипаста
"М I : Одночлени та многочлени" EdEra Олександр Оленєв
7 Бiном Ньютона
Означення
Сума вигляду (a + b)n називається бiномом Ньютона та обчислюється за насту-
пною формулою:
(a + b)n = an + 1an1b + 2an2b2 + · · · + n2a2bn2 + n1abn1 + bn,
де коефiцiєнти розкладу 1, . . . , n– елементи n-го рядка трикутнику Паскаля.
Трикутник Паскаля запам’ятовувати не потрiбно, треба лише знати, як його побу-
дувати. Кожен рядок починається та закiнчується одиницею, i має на один елемент
бiльше, нiж попереднiй. Всi числа мiж ними отримуються складанням двох чисел,
якi стоять над даним (лiворуч i праворуч). Наприклад, для (a + b)7 коефiцiєнти
розкладу беремо з сьомого рядка трикутника Паскаля:
1
n = 1 1 1
+
n = 2 1 2
1
+
n = 3 1 3
+
3
1
+
n = 4 1 4
+
6
+
4
1
+
n = 5 1 5
+
10
+
10
+
5
1
+
n = 6 1 6
+
15
+
20
+
15
+
6
1
+
n = 7 1 7
+
21
+
35
+
35
+
21
+
7
1
+
n = 8 1 8
+
28
+
56
+
70
+
56
+
28
+
8
1
+
n = 9 1 9
+
36
+
84
+
126
+
126
+
84
+
36
+
9
1
+
n = 10 1 10
+
45
+
120
+
210
+
252
+
210
+
120
+
45
+
10
1
+
n = 11 1 11
+
55
+
165
+
330
+
462
+
462
+
330
+
165
+
55
+
11
1
Наприклад: (a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b4 + 7ab6 + b7.
27. некопипаста
I.I : Поява та поселення людей на територiї України EdEra Роман Слухов
2 Пiвнiчне Причорномор’я та Крим (колонiї-полiси)
Через низку проблем соцiально-побутового характеру, у VII-VI ст. до н.е. греки по-
чали переселятися на узбережжя Середземного, Егейського, Чорного та Азовського
морiв. Цей процес має назву Велика грецька колонiзацiя.
Означення
Полiс мiсто-держава, мiська громада; особлива форма соцiально-економiчної
та полiтичної органiзацiї суспiльства, типова для Стародавньої Грецiї та Риму.
Першим давньогрецьким полiсом на територiї України стало мiсто Борисфенi-
да(о. Березань, Миколаївська обл.). Найбiльш вiдомими i крупними мiстами стали
Ольвiя, Тiра, Херсонес, Пантикапей та Феодосiя.
Ольвія
Пантікапей
Херсонес
Мілет
Візантій
Афіни
Спарта
Мiста – полiси були самостiйними рабовласницькими республiками, наслiдуючи тен-
денцiю Великої Грецiї. Перський вплив зумовив виникнення монархiї – Боспор-
ського царства, що об’єднувало Фанагорiю, Пантiкапей та деякi iншi полiси.
У перiод з другої половини VII до середини I ст. до н.е. дана територiї розвивалася
у тiсних зв’язках з Грецiєю, та майже в усьому копiюючи її суспiльно-полiтичний
лад. Урбанiзацiя, розвиток торгiвлi, карбування монет та мала вiйськова активнiсть
характернi для цього часу.
14
