Cours sur les suites, niveau terminale, par WinAkademy Soutien Scolaire http://winakademy.com

1. CHAPITRE : SUITE REELLE
A. Démonstration par récurrence.
Soit ܲ une propriété dépendant d’un entier naturel ݊, et ݊଴ un entier naturel fixé.
Méthode
Pour démontrer que ܲ est vraie pour tout entier ݊ ൒ ݊଴ on procède en trois étapes.
Initialisation de la propriété : On vérifie que la propriété ܲ est vraie pour
l’entier ݊଴ .
1.
vraie pour un entier ݊ ൒ ݊଴ (hypothèse de récurrence) alors elle est vraie
2. Caractère héréditaire de la propriété On démontre que si la propriété P est
pour l’entier ݊ ൅ 1.
propriété P est vraie pour tout entier ݊ ൒ ݊଴ .
3. Conclusion On peut conclure, d’après l’axiome de récurrence, que la
1. Définition d’une suite Une suite est une fonction définie sur l’ensemble Գ
B. Quelques rappels sur les suites
des entiers naturels ou à partir du rang ݊଴ , ݊଴ ‫ א‬Գ.
2. Deux façons de définir une suite
Par la donnée explicite de Un en fonction de n
Exemples
• ܷ௡ ൌ ௡ିଷ définie à partir du rang 4.
௡!
• ܷ௡ ൌ ݂ሺ݊ሻ avec ݂ሺ݊ሻ ൌ √‫ ݔ‬൅ 3 définie sur Գ.On dit alors que ܷ௡ est une
suite fonctionnelle.
ܷ଴ ൌ 1
Par la donnée du premier terme et d’une relation de récurrence
Exemple : la suite ሺܷ௡ ሻ௡‫א‬Գ avec ݂ሺ݊ሻ ൌ √‫ ݔ‬൅ 3 définie par ൜
ܷ௡ାଵ ൌ 2ܷ௡ െ 3
Remarque : cette suite récurrente est telle que pour tout ݊ de Գ, ܷ௡ାଵ ൌ ݂ሺܷ௡ ሻ avec
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 2‫ ݔ‬െ 3
C. Sens de variation d’une suite
1) Définition
Soit ሺܷ௡ ሻ௡‫א‬Գ une suite définie sur Գ. On dit que ሺܷ௡ ሻest
2)
- croissante si pour tout ݊ ‫ א‬Գ, ܷ௡ାଵ ൒ ܷ௡
- décroissante si pour tout ݊ ‫ א‬Գ, ܷ௡ାଵ ൑ ܷ௡
- constante si pour tout ݊ ‫ א‬Գ,ܷ௡ାଵ ൌ ܷ௡ .
- monotone si elle est soit croissante soit décroissante
Remarques
• on adaptera les définitions si la suite est définie à partir du rang ݊଴
• la suite ሺܷ௡ ሻ définie sur par ܷ௡ ൌ ሺെ1ሻ௡ n’est pas monotone : elle prend
alternativement les valeurs + 1 et - 1.

2. Méthodes d’étude de la monotonie d’une suite
• Pour déterminer le sens de variation d’une suite ሺܷ௡ ሻ définie à partir du rang ݊଴
• Montrer que , pour tout ݊ ൒ ݊଴ , la différence ܷ௡ାଵ െ ܷ௡ garde le même signe,
on peut utiliser l’une des méthodes suivantes en choisissant la mieux adaptée
suites du type ܷ௡ାଵ ൌ ݂ሺܷ௡ ሻ dans le cas ou ݂ est croissante sur un intervalle
éventuellement à l’aide d’une démonstration par récurrence (en particulier pour les
contenant tous les termes ܷ௡
௎೙శభ
• Si la suite est à termes strictement positifs, étudier la place du quotient ௎೙
par
rapport à 1.
• La suite ሺܷ௡ ሻ est alors croissante si pour tout ݊ ൒ ݊଴ , ൒ 1 ; décroissante si
௎೙శభ
௎೙
0൑ ൑1
௎೙శభ
௎೙
• pour les suites (fonctionnelles) du typeܷ௡ ൌ ݂ሺ݊ሻ, si ݂ est monotone sur ሾ݊଴ ; ൅∞ሾ
alors la suite ሺܷ௡ ሻ est monotone et varie dans le même sens que ݂ (Attention :
condition suffisante mais pas nécessaire !)
D. Suite majorée, minorée, bornée.
1) Définitions
Une suite ሺܷ௡ ሻ définie à partir du rang n0 est :
- majorée s’il existe un réel M tel que pour tout ݊ ൒ ݊଴ ,ܷ௡ ൑ ‫; ܯ‬
- minorée s’il existe un réel m tel que pour tout ݊ ൒ ݊଴ ,ܷ௡ ൒ ݉
- bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Une suite croissante est minorée par son premier terme.
• Une suite décroissante est majorée par son premier terme
2) Théorème Pour les suites du type ܷ௡ ൌ ݂ሺ݊ሻ si ݂ est bornée sur ሾ݊଴ ; ൅∞ሾ alors
la suite ሺܷ௡ ሻ l’est aussi.
E. Convergence des suites monotones.
Théorème
Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
F. Suites adjacentes.
1) Définition Deux suites ሺܷ௡ ሻ et ሺܸ ሻ sont dites adjacentes si l’une d’elles
௡
est croissante, l’autre décroissante, et silim௡՜ାஶ ሺܷ௡ െ ܸ ሻ ൌ 0.
௡
2) Si deux suites ሺܷ௡ ሻ et ሺܸ ሻ définies sur Գ sont adjacentes, ሺܷ௡ ሻ étant
௡
Théor la suite croissante et ሺܸ ሻ la suite décroissante, alors :
௡
ème - Pour tout ݊ de Գ, ܷ௡ ൑ ܸ ௡
- Les suites ሺܷ௡ ሻ et ሺܸ ሻ convergent vers la même limite L
௡
- Pour tout ݊ de Գ , ܷ௡ ൑ ‫ ܮ‬൑ ܸ ௡

3. Exemple classique : ces deux suites sont adjacentes et convergent vers݁ ൌ
ܷ௡ ൌ 1 ൅ ଵ! ൅ ଶ! ൅ ‫ ڮ‬௡! ൌ ∑௡ ௜!
ଵ ଵ ଵ ଵ
2,7182818 ቐ
௜ୀଵ
ܸ ൌ ܷ௡ ൅ ௡! ൌ ∑௡ ௜! ൅ ௡!
ଵ ଵ ଵ
௡ ௜ୀଵ
3) Théorèmes d’existence de limite
Si une suite ( U n ) est croissante et majorée, alors elle converge. On ne
sait rien de sa limite. Si une suite ( U n ) est décroissante et minorée,
alors elle converge
4) Théorèmes sur les limites
Composée :
Soit f définie sur I. ሺܸ ሻest une suite dont tous les termes appartiennent à
௡
I lim௡՜ஶ ܸ ൌ ܾ
௡ et si lim௡՜ஶ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ alors,
lim௡՜ஶ ݂ሺܸ ሻ ൌ ܿ
௡
5) Suite Arithmétique et suite géométrique :
Type de la suite Forme générale Somme Limites
ܷ௡ାଵ ൌ ܷ௡ ൅ ‫ݎ‬ ௡
݊ ൈ ሺ݊ ൅ 1ሻ Si ‫ ݎ‬ൌ 0
ܷ௡ ൌ ܷ଴ ൅ ݊‫ݎ‬ ෍ ܷ௜ ൌ ሺ݊ ൅ 1ሻ ൈ ܷ଴ ൅ ‫ ݎ‬ൈ lim ܷ௡ ൌ ‫ݎ‬
2
ܷ௣ ൌ ܷ௤ ൅ ሺ‫ ݌‬െ ‫ݍ‬ሻ‫ݎ‬
௡՜∞
௜ ୀ଴
Si ‫ ݎ‬൐ 0
‫݌‬൒‫ݍ‬
Suite
lim ܷ௡ ൌ ൅∞
Arithmétique
௡՜∞
Si ‫ ݎ‬൏ 0
lim ܷ௡ ൌ െ∞
௡՜∞
ܸ௡ାଵ ൌ ‫ܸݍ‬ ௡ Si ‫ ݍ‬ൌ 1 Si |‫ |ݍ‬൏ 1
ܸ ൌ ‫ ݍ‬௡ ܸ଴
௡
௡
lim ‫ ݍ‬௡ ൌ 0
ܸ ൌ ‫ ݍ‬௡ି௣ ܸ ෍ ܸ௜ ൌ ሺ݊ ൅ 1ሻ ൈ ܸ଴ ௡՜∞
௣ ௤ Si |‫ |ݍ‬൒ 1
݊൒‫݌‬
Suite
௜ ୀ଴
lim ‫ ݍ‬௡ ൌ ൅∞
Si ‫1 ് ݍ‬
géométrique
௡՜∞
௡
1െ‫ݍ‬ ௡ାଵ Si ‫ ݍ‬൏ െ1
෍ ܸ௜ ൌ ൈ ܸ଴
1െ‫ݍ‬
La limite n’existe pas
௜ ୀ଴
Dans ce tableau:
Les réels ‫ ݎ‬et ‫ ݍ‬sont les raisons respectifs de ሺܷ௡ ሻ௡‫א‬Գ et ሺܸ ሻ௡‫א‬Գ
௡
Les réels ܷ଴ et ܸ଴ sont les premiers termes respectifs de ሺܷ௡ ሻ௡‫א‬Գ et ሺܸ ሻ௡‫א‬Գ
௡

4. 6) Récurrence d’ordre 1
Soit ሺܷ௡ ሻ une suite définie de manière récurrente par :
ܷ଴
൜
ܷ௡ାଵ ൌ ݂ሺܷ௡ ሻ pour tout ݊ ‫ א‬Գ
Il faut étudier le sens de variations de f. Si f
est croissante sur I, si ݂ሺ‫ܫ‬ሻ ‫ ,ܫ ؿ‬alors, la suite ሺܷ௡ ሻest monotone. Si de plus
l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬admet une solution dans I, alors c’est la limite
de la suit ሺܷ௡ ሻ
7) Et pour finir :
Dans l’exemple ci dessus, on a tracé la courbe de f et la droite
d’équation ൌ ‫ . ݔ‬Ces deux courbes se coupent en un point d’abscisse inférieure
à 4. Si on prend u0 sur ሺܱ‫ݔ‬ሻ, le point d’abscisse u0 de Cff a comme
ordonnée. ܷଵ ൌ ݂ሺܷ଴ ሻ On projette alors ce point sur la droite d’équation ‫ ݕ‬ൌ ‫ݔ‬
f
puis sur ሺܱ‫ݔ‬ሻ. On a donc maintenant u1 sur ሺܱ‫ݔ‬ሻ. On réitère le processus et on
visualise ainsi ܷଶ ; ܷଷ et ܷସ On peut avoir l’intuition que la suite converge vers
le réel solution de l’équation ‫ ݔ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. Attention, on voit l’importance du
premier terme. Si u0 est supérieur à 4, il est clair que la suite tend vers l’infini.
Un deuxième exemple est fourni avec une fonction décroissante ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 1 ൅
; on définit ܷ௡ାଵ ൌ ݂ሺܷ௡ ሻ et ܷ଴ ൌ 1
ଵ
௫
1
f := x → 1 +
x