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Centro de gravidade, centro de massa e centroide
- 1. Centro de Gravidade, Centrode Massa e Centroide Profª Fernanda Mazuco Clain Universidade Federal do Rio Grande – FURG Mecânica Geral
- 2. Cargas pontuais • Cargaspontuais são abstrações de cargas distribuídas em domínios com dimensões características pequenas comparadas com as do elemento estrutural ao qual estão aplicadas ou de representação de um sistema resultante equivalente de forças distribuídas. Mecânica Geral – FURG 2
- 3. Centro de Gravidade(G), Centro de Massa (CM) e Centroide (C) Mecânica Geral – FURG 3
- 4. Sistema de Partículas MecânicaGeral – FURG 4
- 5. Sistema de Partículas •As partículas com pesos W1, ..., Wn podem ser substituídas por uma força resultante WR localizada no centro de gravidade (G): • Força resultante: Σ F = WR = Σ W Mecânica Geral – FURG 5
- 6. Sistema de Partículas •Centro de Gravidade: Σ My = ҧ 𝑥.WR = 𝑥1.W1+ 𝑥2.W2+ 𝑥n.Wn Σ Mx = ത 𝑦.WR = 𝑦1.W1+ 𝑦2.W2+ 𝑦n.Wn Mecânica Geral – FURG 6
- 7. Sistema de Partículas •Centro de Gravidade: • Rotacionando o sistema em torno de x: Mecânica Geral – FURG z x y z x y 7
- 8. Sistema de Partículas •Centro de Gravidade: Σ Mx = ҧ 𝑧.WR = ǁ 𝑧1.W1+ ǁ 𝑧2.W2+ ǁ 𝑧n.Wn Mecânica Geral – FURG 8
- 9. Sistema de Partículas •Centro de Gravidade: WR = Σ W ҧ 𝑥.WR = 𝑥1.W1+ 𝑥2.W2+ 𝑥n.Wn ത 𝑦.WR = 𝑦1.W1+ 𝑦2.W2+ 𝑦n.Wn ҧ 𝑧.WR = ǁ 𝑧1.W1+ ǁ 𝑧2.W2+ ǁ 𝑧n.Wn ഥ 𝒙 = 𝜮 𝒙.𝑾 𝜮𝑾 ഥ 𝒚 = 𝜮 𝒚.𝑾 𝜮𝑾 ത 𝒛 = 𝜮 𝒛.𝑾 𝜮𝑾 Mecânica Geral – FURG 9
- 10. Corpo Rígido • Númeroinfinito de partículas: WR = dW ഥ 𝒙 = 𝒙.𝒅𝑾 𝒅𝑾 ഥ 𝒚 = 𝒚.𝒅𝑾 𝒅𝑾 ത 𝒛 = 𝒛.𝒅𝑾 𝒅𝑾 Mecânica Geral – FURG 10
- 11. Corpo Rígido • Como:W = γ V ⁖ dW = γ.dV ഥ 𝒙 = 𝒙.𝜸𝒅𝑽 𝜸𝒅𝑽 ഥ 𝒚 = 𝒚.𝜸𝒅𝑽 𝜸𝒅𝑽 ത 𝒛 = 𝒛.𝜸𝒅𝑽 𝜸𝒅𝑽 • Para um corpo homogêneo: γ = Cte ഥ 𝒙 = 𝒙.𝒅𝑽 𝒅𝑽 ഥ 𝒚 = 𝒚.𝒅𝑽 𝒅𝑽 ത 𝒛 = 𝒛.𝒅𝑽 𝒅𝑽 Mecânica Geral – FURG 11
- 12. Placa plana homogênea •Centroide (C) e baricentro (G) coincidem: dV = e .dA e = espessura ഥ 𝒙 = 𝒙.𝒅𝑨 𝒅𝑨 ഥ 𝒚 = 𝒚.𝒅𝑨 𝒅𝑨 ത 𝒛 = 𝒛.𝒅𝑨 𝒅𝑨 Mecânica Geral – FURG 12
- 13. Arame com áreaconstante • Centroide (C) e baricentro (G) coincidem: dV = A.L A = área da seção transversal ഥ 𝒙 = 𝒙.𝒅𝑳 𝒅𝑳 ഥ 𝒚 = 𝒚.𝒅𝑳 𝒅𝑳 ത 𝒛 = 𝒛.𝒅𝑳 𝒅𝑳 Mecânica Geral – FURG 13
- 14. Corpos Compostos • Umcorpo pode ser dividido em corpos com centroide e/ou baricentro conhecido • Dessa forma, cada parte pode ser tratada como uma partícula ഥ 𝒙 = 𝜮 𝒙.𝑾 𝜮𝑾 ഥ 𝒚 = 𝜮 𝒚.𝑾 𝜮𝑾 ത 𝒛 = 𝜮 𝒛.𝑾 𝜮𝑾 Mecânica Geral – FURG x y + _ = 1 2 3 14
- 15. Exemplos 9.9 – Hibbeler.12ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG 15
- 16. Exemplos 9.9 – Hibbeler.12ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG y y ~ x ~ dx dA y ~ = _y_ 2 x ~ = x dA= y.dx 16
- 17. Exemplos 9.9 – Hibbeler.12ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG y y ~ x ~ dx dA 17
- 18. Exemplos 9.9 – Hibbeler.12ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG y y ~ x ~ dx dA 18
- 19. Exemplos 9.26 – Hibbeler.12ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG 19
- 20. Exemplos 9.26 – Hibbeler.12ª Ed. Localize o x do centroide da área. Mecânica Geral – FURG y1-y2 x ~ y ~ dx 𝒚𝟏 = 𝒙 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 𝒅𝑨 = (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐). 𝒅𝒙 𝐝𝐀 = ( 𝒙 − 𝒙𝟐). 𝒅𝒙 x ~ = x 20
- 21. Exemplos 9.26 – Hibbeler.12ª Ed. Localize o x do centroide da área. Mecânica Geral – FURG y1-y2 x ~ y ~ dx 21
- 22. Exemplos 5.6 – Beer.10ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG 22
- 23. Exemplos 5.6 – Beer.10ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG 23
- 24. Exemplos 5.9 – Beer.10ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG 24
- 25. Exemplos 5.9 – Beer.10ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG 25
- 26. Exemplos 5.9 – Beer.10ª Ed. Determine a área e o centroide (x, y) da área. Mecânica Geral – FURG 26
- 27. Exemplos Mecânica Geral –FURG 27 Determine a área e o centroide (x, y) das áreas.