Mamematica

1. Academia Navală Mircea cel Bătrân, Constanța
Facultatea de Marină Civilă
Specializare: Inginerie și Management Naval și Portuar
Disciplina : Complemente de matematici în transporturi
Metode matematice aplicate în practica navală
Studiu de caz privind vasele de croazieră
Autori:
Coordonatori:

2. Folosirea metodelor matematice în practica navală tehnică și economică,
de orice nivel, constituie o preocupare cu efecte benefice în rezolvarea
problemelor actuale specifice domeniului.
Utilizarea matematicii în problemele specifice domeniului naval, tehnic
sau economic presupune de fapt accesarea cât mai adecvată a
modelelor matematice.
Elaborarea unui model matematic trebuie să respecte etapele:
• Obţinerea modelului descriptiv
• Formularea și elaborarea matematică a modelului descriptiv
• Studierea (cercetarea) modelului, etapă care presupune rezolvarea
practică a problemei pe model utilizând în mod special calculatorul.

3. “Croaziere Costa” realizează o croazieră în Marea
Mediterană, între Europa și Africa cu plecarea din Seville , Spania și
sosirea în Alexandria , Egipt.

4. 819
481
475
410
a
f
885
b
645
d
472
1108
1001
541
1045
c
384
e
Legenda:
a – Spania , Seville
b – Franța , Marseille
c – Algeria , Algiers
d – Italia , Napoli
g
579
e – Tunisia , Tunis
f – Grecia , Patras
g – Egipt , Alexandria

5. L
a
b
c
d
e
f
g
a
0
ab
b
ac
c
0
0
0
0
b
0
0
bc
c
0
be
e
0
0
c
0
0
0
cd
d
0
0
0
d
da
a
db
b
0
0
0
df
f
0
e
0
0
ec
c
0
0
0
eg
g
f
0
fb
b
0
0
0
0
0
g
0
0
0
gd
d
0
gf
f
0

6. L
a
b
c
d
e
f
g
a b c d e f g
0 ab ac 0 0 0 0
0 0 bc 0 be 0 0
0 0 0 cd 0 0 0
da db 0 0 0 df 0
0 0 ec 0 0 0 eg
0 fb 0 0 0 0 0
0 0 0 gd 0 gf 0
a
0
0
0
a
0
0
0
a
b
c
d
e
f
g
b
b
0
0
b
0
b
0
c
c
c
0
0
c
0
0
d
0
0
d
0
0
0
d
e
0
e
0
0
0
0
0
a
b
c
d
e
f
g
0
0
abc
acd
abe
0
0
a
b
c
0
0
bec
bcd
0
0
beg
cda
cdb
0
0
0
cdf
0
d
0
dab
dfb
dac
dbc
0
dbe
0
0
e
0
0
0
ecd
egd
0
egf
0
f
0
0
fbc
0
fbe
0
0
g
gda
gdb
gfb
0
0
0
gdf
0
f
0
0
0
f
0
0
f
g
0
0
0
0
g
0
0

7. a
b
c
d
e
f
g
acdbe acdfbe
gf
g
0
0
cdabe
0
gf
0
0
a
0
0
0
0
0
b
0
0
0
0
0
c
0
0
0
0
0
d
0
egfbcd
a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
e
f
0
0
fbegd
ac
g
gfbecd
a
0
0

8. 819
481
475
410
a
f
885
b
645
d
472
1108
1001
g
579
541
1045
c
384
e

9. Problema determinării fluxului optim într-o reţea de transport
Posibilităţile de onorare a acestei cereri sunt limitate de
disponibilitatea fiecărei persoane deținută de cele 3 agenții de
crewing așa cum reiese din tabelul următor:
15
8
10
15
15
6
12
10
14
7
16
8

10. 15
15
14
19
8
21
6
18
7
20
12
22
20
10
16
21
10
8
15

11. C
Γ
φ
C
Γ
φ
21
20
22
15
8
10
15
15
6
12
8
7
7
2
2
2
2
2
1
2
10
14
7
16
8
19
18
20
21
2
2
2
1
2
6
5
5
6
Se observă că fluxul φ este incomplet deoarece drumurile de mai
jos sunt nesaturate :

12. C
Γ
φ
C
Γ
φ
21
20
22
15
8
10
15
15
6
12
8
7
7
2
2
2
2
2
1
2
10
14
7
16
8
19
18
20
21
2
2
2
1
2
6
5
5
6
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător
cu:
k1=min(21-8, 15-2, 196)=13
k2=min(21-8, 8-2, 18-5)=6
k3=min(21-8, 10-2, 20-5)=8
k4=min(21-8, 15-2, 216)=13
k5=min(20-7, 15-2, 196)=13
k6=min(20-7, 6-1, 18-5)=5
k7=min(20-7, 12-2, 205)=10
k8=min(20-7, 10-2, 21-6)=8

13. C
Γ
φ
C
Γ
φ
21
20
22
15
8
10
15
15
6
12
21
8
7
7
15
2
2
2
2
2
1
2
10
14
7
16
8
19
18
20
21
2
2
2
1
2
19
6
5
5
6
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător
cu:

14. C
Γ
φ
C
Γ
φ
21
20
22
15
8
10
15
15
6
12
21
12
7
7
15
2
2
2
2
1
6
2
10
14
7
16
8
19
18
20
21
2
2
2
1
2
19
10
5
5
6
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător
cu:

15. C
Γ
φ
C
Γ
φ
21
20
22
15
8
10
15
15
6
12
21
20
12
7
15
2
2
2
2
6
2
10
14
7
16
8
19
18
20
21
10
2
2
2
1
2
19
10
5
14
6
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător
cu:

16. C
Γ
φ
C
Γ
φ
21
20
22
15
8
10
15
15
6
12
21
20
22
7
15
2
2
2
2
6
2
10
14
7
16
8
19
18
20
21
10
2
2
16
1
2
19
10
20
5
14
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător
cu:

17. C
Γ
φ
21
20
22
15
8
10
15
15
6
12
21
20
22
15
2
2
2
2
6
2
C
Γ
φ
10
14
7
16
8
19
18
20
21
10
2
2
16
2
19
10
20
14
Numărul de
persoane disponibile
15
2
2
2
21
Numărul de
persoane
angajate
21
2
6
2
10
20
20
2
2
16
2
22
22
19
18
20
21
19
10
20
14
Cj
Dj
Cererile
angajatorului
Cererile
satisfăcute

18. Problema amestecului optim sau a nutriției(dietei)
Se caută ca această dietă să conțină substanțe nutritive –
proteine, glucide, lipide și vitamine (calciu), în cantitățile minimale 80g,
250g, 80g și respectiv 5g regăsite în alimentele: carne, peste, lactate,
fructe și/sau legume, cu prețul corespunzător pe unitate 20, 15, 12
respectiv 10.
Alimentul
Substanța
Preț alimente
Unități de consum
Minim necesar
din substanța
nutritiva

19. (max)f(x) = - min(-f(x))

20. c
-20
-15
-12
-10
0
0
0
0
80
3
2
0
3
1
0
0
0
250
0
1
2
1
0
1
0
0
80
3
5
0
2
0
0
1
0
5
0
3
6
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
/
-20
-15
-12
-10
0
0
0
0
0
0
80
0
3
3
2
0
1
3
1
0
-1
0
0
0
250
0
1
2
1
0
1
0
0
-20
80/3
1
5/3
0
2/3
0
0
1/3
0
0
5
0
3
6
1
0
0
0
1
-1600/3
-20
-100/3
0
-40/3
0
0
-20/3
0
0
/
0
0
0
55/3
3
-12
0
10/3
1
0
1
0
0
120/3
-1
0
0
0
25
0
0
0
2/3
0
1
0
-1/3
-20
80/3
1
5/3
0
2/3
0
0
1/3
0
-12
5/3
0
1/2
1
1/6
0
0
0
1/6
-1660/3
-20
-118/3
-12
-46/3
0
0
-20/3
-2
/
0
73/3
0
16/3
0
0
20/3
2
(max)f(x) = - min(-f(x))

21. Problema de transport privind minimizarea costurilor
LEGENDĂ
P1=1100t PĂCURĂ
F1=ALGERIA
B1=500t
P2=300t MOTORINĂ F2=ITALIA
B2=210t
P3=10t ULEI
F3=TUNISIA
B3=400t
F4=EGIPT
B4=300t
Prețurile celor trei produse diferă de la țară la țară și se prezintă astfel:
PRODUS
FURNIZOR
F1-ALGERIA
F2-ITALIA
F3-TUNISIA
F4-EGIPT
PACURĂ
($/tona)
DIESEL
($/tona)
ULEI
($/tona)
650
640
660
645
355
345
350
455
300
310
290
295

22. Așadar, problema tratată este o problemă de transport cu capacități
limitate, iar forma tabelară arată astfel:
PRODUS
PACURĂ
DIESEL
ULEI
DISPONIBIL
FURNIZOR
F1 – Port 3
F2 – Port 4
F3 – Port 5
F4 – Port 6
NECESAR
650
355
300
640
345
310
660
350
290
645
455
295
500
500
210
400
300
300
1100
300
10
1410

23. PRODUS
PACURĂ
DIESEL
ULEI
DISPONIBIL
FURNIZOR
F1 – Port 3
F2 – Port 4
F3 – Port 5
F4 – Port 6
NECESAR
650
500
355
500
640
0
345
0
660
310
350
645
1100;800;300;0
0
290
90
455
300
0
210
300
300
300
10
295
0
300;90;0
0
10;0
500;0
210;0
400;390;90;0
300;0
1410

24. Având mai puține căsuțe ocupate decât m+n-1 rezultă că variabilele
duale (marginale) nu pot fi determinate.
Pentru înlăturarea acestui inconvenient se foloseşte metoda zerourilor
esențiale. Acesta constă în transformarea unor căsuțe libere în căsuțe ocupate cu
un 0*, numit zero esențial.
PRODUS
PACURĂ
DIESEL
ULEI
DISPONIBIL
FURNIZOR
F1 – Port 3
F2 – Port 4
F3 – Port 5
F4 – Port 6
NECESAR
650
500
355
500
640
0
345
0
660
310
350
645
1100;800;300;0
0
290
90
455
300
0
210
300
300
300
10
295
0*
300;90;0
0*
10;0
500;0
210;0
400;390;90;0
300;0
1410

25. PRODUS
FURNIZOR
PACURĂ
V1=650
F1 – Port 3
U1=0
650
650
500
500
F2 – Port 4
U2=5
640
655
F3 – Port 5
U3=10
660
F4 – Port 6
U4=-5
645
645
300
300
DIESEL
V2=340
NECESAR
355
345
280
345
0
310
285
210
350
300
1100;800;300;0
300
0
0
660
340
ULEI
V3=280
350
0
290
290
90
455
335
10
295
275
0*
300;90;0
0*
10;0
DISPONIBIL
500;0
210;0
400;390;90;0
300;0
1410

26. PRODUS
FURNIZOR
PACURĂ
V1=650
F1 – Port 3
U1=0
650
650
500
500
F2 – Port 4
U2=5
640
655
F3 – Port 5
U3=10
660
F4 – Port 6
U4=-5
645
645
300
300
DIESEL
V2=340
NECESAR
355
345
280
345
0
310
285
210
350
300
1100;800;300;0
300
0
0
660
340
ULEI
V3=280
350
0
290
290
90
455
335
10
295
275
0*
300;90;0
0*
10;0
DISPONIBIL
500;0
210;0
400;390;90;0
300;0
1410

27. Într-un ciclu marcăm alternativ cu + și – căsuțele, începând cu căsuța
liberă. Semnele se trec în colțul din stânga jos al căsuței.
PRODUS
FURNIZOR
PACURĂ
V1=650
DIESEL
V2=340
F1 – Port 3
U1=0
650
650
500
500
F2 – Port 4
U2=5
640
655
345
345
+
0
-
210
F3 – Port 5
U3=10
660
660
350
350
-
300
+
90
F4 – Port 6
U4=-5
645
645
455
335
300
300
ULEI
V3=280
NECESAR
1100;800;300;0
355
340
300
280
0
0
310
285
0
290
290
10
295
275
0*
300;90;0
0*
10;0
DISPONIBIL
500;0
210;0
400;390;90;0
300;0
1410

28. PRODUS
FURNIZOR
PACURĂ
V1=650
DIESEL
V2=340
F1 – Port 3
U1=0
650
650
500
500
F2 – Port 4
U2=-10
640
640
345
330
+
210
-
0
F3 – Port 5
U3=10
660
660
350
350
-
90
+
300
F4 – Port 6
U4=-5
645
645
455
335
300
300
ULEI
V3=280
NECESAR
1100;800;300;0
355
340
300
280
0
0
310
270
0
290
290
10
295
275
0*
300;90;0
0*
10;0
DISPONIBIL
500;0
210;0
400;390;90;0
300;0
1410
min(f) = 650 * 500 + 640 * 210 + 660 * 90 + 645 * 300 + 350 * 300 + 290 * 10 =
852.700$

29. Concluzii
În lucrarea de față au fost tratate probleme
specifice unui vas de croazieră, dar metodele
matematice pot fi cu ușurință folosite și în
rezolvarea unor probleme de optimizare a activităţii
unor instituții, întreprinderi, a unor societăţi de
comerţ sau cu preocupări agricole.
 Cu ajutorul elementelor de teorie, reduse la strictul
necesar și al exemplelor adecvate, bogat ilustrate,
prezenta lucrare are menirea să evidențieze o
parte din problemele reale cu care se confruntă
armatorii în planificarea unui voiaj și să aducă
soluții matematice, ușor aplicabile.


30. VĂ MULȚUMIM!