Downloaded 22 times
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ç × ÖÚ
Ò ÒØ ×
ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö
ÓÒÓÞ
Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ ×
Ù× Ó× Ò
ÙÒ Ð × Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º
×Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ¸ ÒÓ× Ò× × ÑÔÐ
Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ a·0
Ù Ò Ó
Ô Ö
×ÙÑ Ó
ÓÒ a. ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò Ò Ö Ð × ÔÙ × ÑÔÐ
Ö
Ù Ò Ó ×Ø ×ÙÑ Ó
ÓÒ
Ù ÐÕÙ Ö
Ó× º
Î ÑÓ× ÓÖ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ´½º µ Ò Ò Ö Ðº Ä
Ð Ú ×
Ö Ô Ö
Ö
Ð ×ÙÑ a+a·0 ÕÙ Ý
ÓÒÓ
ÑÓ×
x+a·0 = x + [0 + a · 0]
= x + [(a + (−a)) + a · 0]
= x + [((−a) + a) + a · 0]
= x + [(−a) + (a + a · 0)] , ÕÙ Ô Ö
Ð ×ÙÑ
ÓÒÓ
= x + [(−a) + a]
= x + [a + (−a)]
= x+0=x
ÓÒ×
Ù Ò
ÍÒ
ÓÒ×
Ù Ò
ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ
× ÕÙ
ÆÇ ÁËÌ Ä ÁÆÎ ÊËÇ ÅÍÄÌÁÈÄÁ ÌÁÎÇ Ä ÊǺ
Ò
ØÓ¸ × Ü ×Ø Ö Ö
ÙÑÔÐ Ö 0 · 0−1 = 1 Ý Ø Ñ Ò Ð ÔÖÓÔ
0· 0−1 = 0¸ ÓÒ × Ó Ø Ò Ö 0 = 1, ÐÓ ÕÙ
ÓÒØÖ
Ð Ü ÓÑ Ð
Ò ÙØÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓº
Ë Ð Ñ Ò Ö ÑÓ× Ð Ö ×ØÖ
Ò 0=1 ÐÓ× Ü ÓÑ ×¸ ÒØÓÒ
× Ò ×
×Ó 0
Ø Ò Ö Ö
ÔÖÓ
Ó¸ Ô ÖÓ ÐÓ× Ö Ð × × Ö Ò ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ØÖ Ú Ð Ö Ù
Ó × ÐÓ Ð
ÖÓ¸ Ý ÕÙ
∀a, a = a · 1 = a · 0 = 0.
1.4. Otras Propiedades en R
ÈÖÓÔ ¾º Ò R¸ Ð ×
Ù
ÓÒ ×
µ a+x =b
µ a · x = b (a = 0)
Ì Ò Ò ×ÓÐÙ
Ò¸ Ý
×ÓÐÙ
Ò × Ò
º
À Ö ÑÓ× × ÐÓ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ð Ô ÖØ ´ µº ÓÑÓ Ö
Ó ÑÓ×¹
ØÖ Ö ÕÙ Ð ×ÓÐÙ
Ò Ò
Ð Ô ÖØ ´ µ × x = b · a−1 .
ÑÓ×ØÖ
Òº Î ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ü ×Ø Ò
Ð ×ÓÐÙ
Òº ÓÑ ÒÞ Ö ¹
ÑÓ× ÔÓÖ
Ö ÙÒ
Ð
ÙÐÓ ÓÖÑ Ð¸ ÕÙ
ÓÒ× ×Ø Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð
Ù
Ò
ÓÖ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ × Ú ÒØ º Î ÑÓ×](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-7-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
a+x b
ÓÑÓ a∈R ÒØÓÒ
× Ü ×Ø (−a) ∈ R
(−a) + (a + x) (−a) + b ×Ó
Ò Ó
[(−a) + a] + x (−a) + b Ô ÖÓ (−a) + a = 0 ÔÓÖ Ò
Ò Ð Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö×Ó
0+x (−a) + b Ô ÖÓ 0 + x = x ÔÓÖ Ò
Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ
x (−a) + b.
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø
Ð
ÙÐÓ ÓÖÑ Ð¸ × ÕÙ ÑÓ× ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó ÙÒ Ù Ð¹
ÕÙ ÒÓ × ÑÓ× × ×
ÖØ Ó ÒÓº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ× ÒØÖ ÙÒ Ù Ò
Ò ØÓ ×ÓÐÙ
Òº
Ä Ú Ö Ö ÑÓ×ØÖ
Ò
ÓÑ ÒÞ ÕÙ ¸
Ò Ó Ë α = (−a) + b¸
Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ö Ð × Ø ×
Ð
Ù
Òº
Ò
ØÓ
a + α = a + [(−a) + b] = [a + (−a)] + b = 0 + b = b.
×ØÓ
ÓÒ
ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ð Ü ×Ø Ò
Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò
Ð
Ù
Òº
ÓÖ Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ø ×ÓÐÙ
Ò × Ò
º È Ö ÐÐÓ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ×
Ò
ÓÒØÖ Ó ÐÓ× Ö Ð × x1 Ý x2 ¸ ÐÓ× ÕÙ ×ÓÒ ×ÓÐÙ
ÓÒ × a + x = b. Ä
ÙÒ
ÕÙ Ö ÑÓ×ØÖ ¸ ×
ÓÒ × ÐÓ ×Ø Ô Ø × ×¸ ×
ÓÒ
ÐÙÝ ÕÙ
x1 = x2 .
Î ÑÓ×
a + x1 = b Ý Ñ × a + x2 = b ÒØÓÒ
׸ a + x1 = a + x2
ÒØÓÒ
׸ (−a) + [a + x1 ] = (−a) + [a + x2 ]
ÒØÓÒ
׸ [(−a) + a] + x1 = [(−a) + a] + x2
ÒØÓÒ
׸ 0 + x1 = 0 + x2
ÒØÓÒ
׸ x1 = x2 .
ÓÒ ×ØÓ ×
ÓÒ
ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ð ÙÒ
×ÓÐÙ
ÓÒ ×º
1.5. Definiciones importantes
Ä ÙÒ
ÕÙ ÒÓ× Ð ÈÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓØ Ú Ð × × Ù ÒØ × Ò ¹
ÓÒ ×
Ò
Ò ½º½ ´ Ö Ò
Ý
ÙÓ
ÒØ µº
ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× Ö Ò
ÒØÖ a Ý b Ð Ö Ð x = b + (−a) Ý × ÒÓØ
ÔÓÖ x = b − a. ÓÒ ×ØÓ¸ Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ × Ö ×ÙÑ Ò
a + x = b × Ý × ÐÓ × x = b − a.](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-8-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÈÙ × Ò ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ a ×
Ó Ò Ñ ÖÓ¸ ×
Ö
Ⱥ ºÉ (−a) + a = 0.
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ú Þ ÕÙ × ÐÓ Ö
ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò Ú Ð¸ Ý
ÐÓ Ö ÑÓ× ÒØ
Ö ÕÙ × ÐÓ ÕÙ Ý ÕÙ ÔÖÓ Ö¸ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ñ ×Ñ
× × Ò
ÐÐ º
Ò
ØÓ × Ø Ò ÕÙ
(−a) + a = a + (−a) = 0.
Ä ÑÓ×ØÖ
Ò Ð
×Ó ´ µ × Ò ÐÓ Ý
ÖÐ
ÓÑÓ Ö
Óº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÕÙ ¸ × Ó Ø Ò Ð Ö Ð
ÓÒØ Ö ÐÓ× × ÒÓ× º × −(−(−(−(−a)))) =
−a¸ Ø
º
ÈÖÓÔ ´Ê Ð × ÐÓ× × ÒÓ×µº µ a · (−b) = −(a · b) = −ab
µ (−a) · (−b) = a · b
µ −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b
Úµ (a · b)−1 = a−1 · b−1
Úµ a − (b + c) = a − b − c
Ú µ a − (b − c) = a − b + c
ÑÓ×ØÖ
Òº ÓÑ Ò
ÑÓ× ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ´ µº Ë ÔÖÓ Ö × ÐÓ Ð
ÔÖ Ñ Ö Ù Ð ¸ Ý ÕÙ Ð × ÙÒ × ÙÒ ÒÓØ
Ò Ð × ÙÒ Ó Ø ÖÑ ÒÓº
×Ø Ù Ð ÔÖ Ø Ò ÕÙ Ä ÇÈÍ ËÌÇ (a · b) × Ð Ö Ð a · (−b).
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÐÓ × Ù ÒØ
Ⱥ ºÉº (a · b) + [a(−b)] = 0.
Î ÑÓ× × ×ØÓ ÐØ ÑÓ × Ó ÒÓ
ÖØÓ
(a · b) + [a(−b)] = a · [b + (−b)]
= a·0
= 0.
×ØÓ
ÓÒ
ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò ´ µº
½¼](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-10-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ç × ÖÚ
Ò ÒØ ×
ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö
ÓÒÓÞ
Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ ×
Ù× Ó× Ò
ÙÒ Ð × ¿ Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ´ µ Ù× ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ ´ µ Ó× Ú
× Ò ÓÖÑ
×Ù
× Ú º Ò
ØÓ
(−a) · (−b) = − [(−a) · b]
= − [b · (−a)]
= − [−(b · a)]
= ab.
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ´ µ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (a + b)
× Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð (−a) + (−b).
×
Ö¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ
Ⱥ ºÉº (a + b) + [(−a) + (−b)] = 0.
×ØÓ
Ø Ú Ñ ÒØ ×
ÖØÓ Ý ÕÙ
(a + b) + [(−a) + (−b)] = [(a + b) + (−a)] + (−b)
= [(b + a) + (−a)] + (−b)
= [b + (a + (−a))] + (−b)
= [b + 0] + (−b)
= b + (−b) = 0.
Ä ÔÖÓÔ ´ Úµ × Ò ÐÓ Ð ´ µ¸
Ñ Ò Ó Ð ÓÔ Ö
Ò ×ÙÑ ÔÓÖ
ÔÖÓ Ù
ØÓº
Ö×
ÓÑÓ Ö
Óº
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð × ÐØ Ñ × Ó× ÔÖÓÔ ×¸ Ò
ÓÑ Ò Ö× Ð ÔÖÓÔ ¹
× Ý ÑÓ×ØÖ ×º À ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ ´Úµº Ä ÔÖÓÔ ´Ú µ
Ö×
ÓÑÓ Ö
Óº
Ä ÑÓ×ØÖ
Ò × Ö Ð Þ ØÓÑ Ò Ó Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ý
ÓÒ
ÐÙÝ Ò Ó ÕÙ ×
Ù Ð Ð Ð Ó Ö
Óº
Î ÑÓ×
a − (b + c) = a + [−(b + c)]
= a + [(−b) + (−c)]
= a + (−b) + (−c)
= (a − b) − c.
½½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-11-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Ù ÈÖÓ Ð Ñ ×
Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ
× Ð Ø ÔÓ
ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö
Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ
Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ
ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй
Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö
ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ ×
Ð
Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð
Ð × ØÖ Ó
Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ ×
Ö Ö
ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ ×º
Ƚº Í× Ò Ó Ü
ÐÙ× Ú Ñ ÒØ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ö Ð × Ý Ñ Ò
ÓÒ Ò ÓÐÓ×
Ð Ö Ñ ÒØ
Ú Þ ÕÙ ÐÓ× Ù× ¸ ÑÙ ×ØÖ Ð × ÔÖÓÔ ×× Ù ÒØ ×º
Ë Ó
ÙÔ Ð ÙÒ ÓØÖ ÔÖÓÔ ÒØÓÒ
× Ö ÑÓ×ØÖ ÖÐ Ò
Ò Ó
ÐÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ Ù× Ò ÐÐÓº
µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀x, y ∈ Ê, x, y = 0, (x + y)(x−1 y −1 ) = x−1 + y −1
µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀x, y ∈ Ê, x, y = 0, (xy)−1 = y −1 x−1
µ ´¾¼ Ñ Òºµ Í× Ò Ó ´ µ¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ∀a, b, c, d ∈ Ê, b, d = 0, ab−1 +
−1 −1
cd = (ad + cb)(bd)
µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀a ∈ Ê, a2 = 0 ⇒ a = 0
Ⱦº Í× Ò Ó × ÐÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý Ð × ÙÒ
×
ÐÓ× ÒÚ Ö×Ó׸ ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ´× Ò
× Ø Ð ÙÒ
ÔÖÓÔ ÜØÖ ¸ ÑÓ×ØÖ ÖÐ µ
´ µ ´½ Ñ Òºµ È Ö ØÓ Ó x, y ∈ ʸ (−x) + (−y) × ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ
x + yº
´ µ ´¾ Ñ Òºµ Ë a, b, c, d ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ × Ú Ö
Ð Ö Ð
Ò
(ad) + (−(cb)) = 0 ÒØÓÒ
×
[(a + b)d] + [−((c + d)b)] = 0.
´
µ ´½ Ñ Òºµ È Ö a = 0¸ −(a−1 ) = (−a)−1 º
È¿º ´¾¼ Ñ Òº µ Í× Ò Ó ÔÖÓÔ × Ð Ñ ÒØ Ð × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ¹
ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x, y, z, w ∈ ʸ w = 0¸ z = 0 ÐÓ × Ù ÒØ ×
Ú Ö ÖÓ
(xw + yz)2 = (x2 + y 2 )(w2 + z 2 ) ⇒ ∃λ ∈ Ê ØºÕº x = λw, y = λz.
¾½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-21-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Px P(x+y)/2 Py
Ò
Ò ½º¾ ´ÁÒØ ÖÚ ÐÓ×µº Ë Ò a, b ∈ R Ø Ð × ÕÙ a ≤ bº ÄÓ× × Ù Ò¹
Ø × ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ× R × ÐÐ Ñ Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ×
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ a
ÓÑ b
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
¾º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ
ÖÖ Ó a
ÓÑ b
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
¿º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ a
ÓÑ b
ÖÖ Ó ÔÓÖ Ð Ö
Ý ÖØÓ ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ a
ÓÑ b
ÖÖ Ó ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ý ÖØÓ ÔÓÖ Ð Ö
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ× ÒÓ
ÓØ Ó×
(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}
[a, +∞) = {x ∈ R/a ≤ x}
(a, +∞) = {x ∈ R : a < x}
ÆÓØ
Ò
È Ö ÒÓØ Ö ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a, b) Ø Ñ Ò × ÔÙ Ó
ÙÔ Ö ÐÓ× Ô Ö Ò¹
Ø × × ]a, b[ .
Ç × ÖÚ
ÓÒ ×
½º Ë a=b ÒØÓÒ
× (a, a) = (a, a] = [a, a) = ∅ Ý [a, a] = {a}º
¾º Ë ÔÙ ÒÓØ Ö Ð
ÓÒ ÙÒØÓ R
ÓÑÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ
ÓØ Ó (−∞, +∞).
¿º Ë I ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ý x1 , x2 ∈ I ¸ Ø Ð × ÕÙ x1 ≤ x2 ¸ ÒØÓÒ
× [x1 , x2 ] ⊆
Iº
¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-27-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
È Ö x Ð ÔÙÒØÓ
Ö Ø
Ó × 0º
È Ö Ö Ð Þ Ö Ð ÔÙÒØÓ ¿µ Ý µ ×
Ö Ò Ð Þ Ö Ð × ÒÓ Ð ÜÔÖ × Ò
2x−4
ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó× ÓÖÑ Ñ × ÓÖ Ò ¸ ×
ÓÒ¹
x(x−1)
Ú Ò ÒØ ÓÖÑ Ö ÙÒ Ø Ð ÓÒ Ò Ð Þ Ö ÑÓ× ÔÓÖ Ô ÖØ Ð × ÒÓ ÔÓÖ
ÒØ ÖÚ ÐÓ
Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÓÖÑ ax + b ÕÙ Ô ÖØ
Ô ¸ Ý ÐÙ Ó Ú Ö
Ð × ÒÓ Ð ÜÔÖ × Ò ØÓØ Ð ÔÓÖ Ñ Ó Ð Ö Ð ÐÓ× × ÒÓ× Ô Ö Ð
ÑÙÐØ ÔÐ
Òº Ò ×Ø ÑÔÐÓ Ð Ø Ð × Ö
(−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +∞)
x (−) (+) (+) (+)
x−1 (−) (−) (+) (+)
2x − 4 (−) (−) (−) (+)
2x−4
x(x−1) (−) (+) (−) (+)
Ð
×Ó Ð ÔÙÒØÓ
Ö Ø
Ó x=2 Ð ÜÔÖ × Ò Ú Ð 0¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
ÙÑÔÐ
Ð × Ù Ð ¸ Ñ × Ò Ð Ù Ð ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ× Ö ÖÐ
ÒÙ ×ØÖÓ
ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ
Òº Ð
×Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× x = 0 Ý x = 1 ×
×Ø ÒØÓ¸ ÑÓ× ÕÙ Ø ÖÐÓ× Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ
Ò ÔÙ × Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ
× ÒÙÐ Ó Ø Ò Ò Ó Ú × Ò ÔÓÖ 0¸ ÐÓ
Ù Ð ÒÓ ÔÙ × Öº
ÈÓÖ ØÓ Ó ×ØÓ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ
Ò × Ö
(−∞, 0) (1, 2] .
1.10.4. Factorización de términos cuadráticos
Ë Ð Ò
Ù
Ò ÒÓ Ô Ö
ØÓÖ Þ ÔÓÖ
ØÓÖ × ÔÖ Ñ Ö Ö Ó¸ ×
ÔÙ ÒØ ÒØ Ö
ØÓÖ Þ Ö Ð ÜÔÖ × Ò¸ Ó Ò ÒØ ÒØ Ö
ÓÒÓ
Ö ´× Ò
ØÓÖ ¹
Þ Öµ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ ×ØÓ×
ØÓÖ ×
Ñ Ò × ÒÓº Ò ×Ø ÐØ ÑÓ
×Ó¸
× ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö Ð Ò
Ù
Ò
ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ò
Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º
ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö ÐÓ×
ØÓÖ × × ÙÒ Ó Ö Ó × Ø Ò
b c
ax2 + bx + c = a[x2 + x + ]
a a
b b2 c
= a[(x + )2 − 2 + ]
2a 4a a
b 2 b2 − 4ac
= a[(x + ) − ].
2a 4a2
ÄÐ Ñ ÑÓ× ∆ Ð
ØÓÖ b2 − 4acº Ô Ò Ò Ó Ð × ÒÓ ∆ × Ø Ò Ò ØÖ ×
ÔÓ× Ð ×
½º Ë ∆>0 ÒØÓÒ
× Ð ÜÔÖ × Ò ×
ØÓÖ Þ Ð × Ò
ØÓÖ × ÔÖ ¹
Ñ Ö Ö Ó Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¿¼](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-30-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
3
ÄÙ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
Ö Ø
Ó× ×ÓÒ 0 Ý
4º ÓÒ ×ØÓ
ÓÒ
ÓÒ ÑÓ× Ð Ø Ð × ¹
Ù ÒØ
3
(−∞, 0) (0, 4 ) ( 3 , +∞)
4
4x − 3 (−) (−) (+)
x (−) (+) (+)
4x−3
x (+) (−) (+)
3
Ñ × Ð ÔÙÒØÓ
Ö Ø
Ó x= 4 ÒÙÐ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ð Ö
Ò¸ ÐÙ Ó ×
Ø Ñ Ò ×ÓÐÙ
Ò Ð Ò
Ù
Òº
ÄÙ Ó Ð ×ÓÐÙ
Ò Ð Ò
Ù
Ò ×
3
x ∈ (−∞, 0) ∪ [ , ∞).
4
1.11. Módulo o valor absoluto
Ò
Ò ½º¿ ´Å ÙÐÓ Ó Ú ÐÓÖ ×ÓÐÙØÓµº Ë x ∈ R¸ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ñ ¹
ÙÐÓ x ÐÖ Ð Ò Ó ÔÓÖ
x, × x ≥ 0
|x| =
−x, × x < 0
ÑÔÐÓ×
µ |2| = 2
µ | − 2| = −(−2) = 2
1 − x2 , × 1 − x2 ≥ 0
µ |1 − x2 | =
x2 − 1, × 1 − x2 < 0
Ô ÖÓ
1 − x2 ≥ 0 ⇐⇒ (1 − x)(1 + x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [−1, 1]
ÄÙ Ó
1 − x2 × x ∈ [−1, 1]
|1 − x2 | =
x2 − 1 × x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
ÈÖÓÔ × ½º ½º |x| ≥ 0 ∀x ∈ R
¾º |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
¿º |x| = | − x|
¿¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-33-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
º |x | = |x| = x
2 2 2
º −|x| ≤ x ≤ |x|
º |xy| = |x| · |y|
º |x| =
y
|x|
|y|
º |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a]
º |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ∨ a ≤ x ⇐⇒ x ∈ (−∞, −a] ∪ [a, ∞)
½¼º |x − x0 | ≤ a ⇐⇒ x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ⇐⇒ x ∈ [x0 − a, x0 + a]
½½º |x − x0 | ≥ a ⇐⇒ x ≤ x0 − a ∨ x ≥ x0 + a ⇐⇒ x ∈ (−∞, x0 − a] ∪
[x0 + a, ∞)
½¾º (∀x, y ∈ R) |x + y| ≤ |x| + |y| ´ × Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Öµ
Ç × ÖÚ
Ò Å × ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ð × ÐØ Ñ × ÔÖÓÔ ¹
׸ × ÐÓ Ö Ö ÒØ Ò ÖÐ × ÒØ ÖÒ Ð Þ ÖÐ ×
Ð ¸ Ý ÕÙ × Ö Ò ÙÒ
ÖÖ Ñ ÒØ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö Ð Ö ×ÓÐÙ
Ò Ò
Ù
ÓÒ × ÕÙ
ÓÒ¹
Ø Ò Ò ÜÔÖ × ÓÒ ×
ÓÒ Ñ ÙÐÓº ÁÒ
Ù
ÓÒ × ÕÙ ÔÓÖ
ÖØÓ × Ö Ò ÑÙ
Ó
Ñ × ÒØ Ö × ÒØ × Ý
ÓÑÔ
× Ð Ú Þ ÕÙ Ð × Ú ×Ø × Ð
ÓÑ ÒÞÓº
1.11.1. Demostración de algunas propiedades del módulo
½º ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ (∀x ∈ R) |x| ≥ 0
x∈R =⇒ x≥0 ∨ x<0
=⇒ |x| = x ≥ 0 ∨ |x| = −x > 0
=⇒ |x| ≥ 0 ∨ |x| > 0
=⇒ |x| ≥ 0.
¾º ÑÓ× Ô ÖØ Ö Ð
Ó |x| = 0 Ý ÔÖÓ Ö ÕÙ x = 0¸ Ý ÐÙ Ó Ô ÖØ Ö
x=0Ý Ô ÖØ Ö ×Ø
Ó ÔÖÓ Ö ÕÙ |x| = 0º ÓÒ ×ØÓ Ö ÑÓ×
ÔÖÓ Ó Ð ÕÙ Ú Ð Ò
º
¹x = 0 ⇒ |x| = x = 0 ⇒ |x| = 0
¹|x| = 0 ⇒ x = 0 ∨ −x = 0 ⇒ x = 0º
º ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö (∀x ∈ R) − |x| ≤ x ≤ |x|
x∈R =⇒ x≥0 ∨ x<0
=⇒ x = |x| ∨ −x = |x|
=⇒ −|x| ≤ x = |x| ∨ −|x| = x < |x|
=⇒ −|x| ≤ x ≤ |x| ∨ −|x| ≤ x ≤ |x|
=⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|.
¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-34-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
º ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a]
Ë a<0 Ð ÕÙ Ú Ð Ò
× Ú ÒØ ÔÙ ×
|x| ≤ a ⇐⇒ x ∈ Φ ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
Ë a ≥ 0¸ ÒØÓÒ
× × Ø Ò ÕÙ
|x| ≤ a ⇐⇒ [x ≥ 0 ∨ x < 0] ∧ |x| ≤ a
⇐⇒ 0 ≤ x = |x| ≤ a ∨ −a ≤ −|x| = x < 0
⇐⇒ 0 ≤ x ≤ a ∨ −a ≤ x < 0
⇐⇒ [0 ≤ x ∧ −a ≤ x ≤ a] ∨ [x < 0 ∧ −a ≤ x ≤ a]
⇐⇒ [0 ≤ x ∨ x < 0] ∧ −a ≤ x ≤ a
⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
ÑÔÐÓ ½º¿º
Ê ×ÓÐÚ ÑÓ×
2|x| < |x − 1|
È Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø Ø ÔÓ Ò
Ù
ÓÒ ×¸ × ÔÙ Ò Ù× Ö Ó× Ñ ØÓ Ó× ÐØ Ö¹
Ò Ø ÚÓ׺ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ Ù× Ð × ÔÖÓÔ × Ð Ñ ÙÐÓ Ò ÓÖÑ Ö Ø Ö º
Ð × ÙÒ Ó Ñ ØÓ Ó
ÓÒ× ×Ø Ò × Ô Ö Ö Ð Ò
Ù
Ò
ÓÒ Ñ ÙÐÓ Ò ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ Ò
Ù
ÓÒ ×
Ð × × Ò ÑÓ ÙÐÓº Î ÑÓ× Ò ÓÖÑ Ø ÐÐ
ÓÑÓ Ù× Ö ×Ø × Ó× Ø
Ò
× Ò ×Ø Ö
Óº
Ì
Ò
½ ´Ù×Ó Ð × ÔÖÓÔ × Ð Ñ ÙÐÓµ
×Ø Ø
Ò
× Ù× Ð ÑÓ Ó × Ù ÒØ
2|x| < |x − 1| ⇐⇒ −|x − 1| < 2x < |x − 1|
⇐⇒ |x − 1| > −2x ∧ |x − 1| > 2x
⇐⇒ [x − 1 < 2x ∨ x − 1 > −2x] ∧ [x − 1 < −2x ∨ x − 1 > 2x]
⇐⇒ [x > −1 ∨ 3x > 1] ∧ [3x < 1 ∨ x < −1]
1
⇐⇒ [x > −1] ∧ [x < ]
3
1
⇐⇒ x ∈ (−1, ).
3
ÑÔÐÓ ½º º
Ì
Ò
¾ ´Ù×Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
Ö Ø
Ó×µ
×Ø Ø
Ò
ÓÑ ÒÞ Ù×
Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò ÐÓ×
Ù Ð × ÐÓ×
¹
ØÓÖ × Ó ÐÓ× Ñ ÙÐÓ×
Ñ Ò × ÒÓº
Ë Ñ Ö ÑÓ× Ð ÜÔÖ × Ò
2|x| < |x − 1|,
Ú ÑÓ×
Ð Ö Ñ ÒØ ÕÙ ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
Ö Ø
Ó× ×ÓÒ Ð 0Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ÙÐÓ
Ý Ð 1 Ô Ö Ð × ÙÒ Óº ×ØÓ× ÔÙÒØÓ×
Ö Ø
Ó× × ÓÖ Ò Ò Ñ ÒÓÖ
Ñ ÝÓÖ Ý
ÓÒ ÐÐÓ× × ÓÖÑ Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× (−∞, 0], (0, 1] Ý ¸(1, +∞).
¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-35-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÓÒ ×ØÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× × ÔÙ
Ö ÕÙ Ð Ò
Ù
Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ×
Ö × × Ð
× × Ù ÒØ ×
À Ý ÕÙ Ò
ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × ÕÙ
ÙÑÔÐ Ò 2|x| < |x − 1|.
À Ý ÕÙ Ò
ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò (−∞, 0] ∪ (0, 1] ∪ (1, +∞)
ÕÙ
ÙÑÔÐ Ò 2|x| < |x − 1|º
À Ý ÕÙ Ò
ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò (−∞, 0] ÕÙ 2|x| <
ÙÑÔÐ Ò
|x − 1|¸ Ñ × ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò (0, 1] ÕÙ
ÙÑÔÐ Ò 2|x| < |x − 1|¸
Ñ × ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò (1, +∞) ÕÙ
ÙÑÔÐ Ò 2|x| < |x − 1|º
Ò Ð ÐØ Ñ Ö × Ð
ÒØ Ö ÓÖ ×Ø Ð
Ð Ú Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ò
ØÓ ÐÓ
ÕÙ
Ö× × Ö ×ÓÐÚ Ö Ð Ò
Ù
Ò Ò
ÙÒÓ ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ×
ÓÒ× Ö Ó× Ý Ð Ò Ð Ö ÙÒ Ö× ØÓ × Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ ×º ÄÓ ÒØ Ö × ÒØ × ÕÙ
Ò
ÒØ ÖÚ ÐÓ¸ ÐÓ× Ñ ÙÐÓ× ÔÙ Ò Ð Ñ Ò Ö× ¸ Ý ÕÙ ÐÓ× Ö ÙÑ ÒØÓ×
ÕÙ ÐÐÓ× Ò
ÖÖ Ò Ø Ò Ò × ÒÓ×
ÓÒ×Ø ÒØ ×º
Î ÑÓ×
ÓÑÓ ÓÔ Ö ×Ø Ñ ØÓ Ó Ò
ÒØ ÖÚ ÐÓº
½º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, 0] ÐÓ×
ØÓÖ × x Ý x − 1 ×ÓÒ Ñ Ó× Ñ ÒÓÖ × Ó
Ù Ð ×
ÖÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò
Ù
Ò× ×
Ö
2|x| < |x − 1| ⇐⇒ −2x < −(x − 1)
⇐⇒ 2x > x − 1
⇐⇒ x > −1.
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ×ÓÐÙ
Ò × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ (−1, 0]º
¾º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (0, 1] Ð
ØÓÖ x × ÔÓ× Ø ÚÓ Ô ÖÓ Ð
ØÓÖ x−1 ×
Ò Ø ÚÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò
Ù
Ò × ×
Ö
2|x| < |x − 1| ⇐⇒ 2x < −(x − 1)
⇐⇒ 3x < 1
1
⇐⇒ x< .
3
1
ÄÙ Ó Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ×ÓÐÙ
Ò × (0, 3 )º
¿º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (1, ∞) ÐÓ×
ØÓÖ × x Ý x − 1 ×ÓÒ Ñ Ó×
ÔÓ× Ø ÚÓ׸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò
Ù
Ò × ×
Ö
2|x| < |x − 1| ⇐⇒ 2x < (x − 1)
⇐⇒ x < −1.
×Ø Ò
Ù
Ò Ø Ò ×ÓÐÙ
Ò (−∞, −1) Ò R¸ Ô ÖÓ
ÓÑÓ Ð ×Ø ¹
ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ Ò Ó Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (1, ∞)¸ × Ù
ÕÙ Ð ×ÓÐÙ
Ò
× ∅.
Ò
ÓÒ×
Ù Ò
Ð ×ÓÐÙ
Ò Ò Ð ×Ø Ò
Ù
Ò ×
1 1
(−1, 0] ∪ (0, ) ∪ Φ = −1,
3 3
¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-36-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÑÔÐÓ ½º º
|x2 − |3 + 2x|| < 4
ËÓÐÙ
Ò ½ ´Í× Ò Ó Ð × ÔÖÓÔ × Ñ ÙÐÓµ
|x2 − |3 + 2x|| < 4 ⇐⇒ −4 < x2 − |3 + 2x| < 4
⇐⇒ |3 + 2x| < x2 + 4 ∧ |3 + 2x| > x2 − 4
⇐⇒ [−x2 − 4 < 3 + 2x ∧ 3 + 2x < x2 + 4] ∧ [3 + 2x < −x2 + 4 ∨ 3 + 2x > x2 − 4]
⇐⇒ x2 + 2x + 7 > 0 ∧ x2 − 2x + 1 > 0 ∧ [x2 + 2x − 1 < 0 ∨ x2 − 2x − 7 < 0].
Ò
Ò
Ù
Ò × ÙÒ Ó Ö Ó × Ø Ò
∆ = −24 < 0 =⇒ ax2 + bx + c = x2 + 2x + 7 Ø Ò Ð × ÒÓ a ∀x ∈ R¸
Ò ×Ø
×Ó a = 1¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ
ÕÙ Ð ×ÓÐÙ
Ò × ØÓ Ó Rº
∆ = 0 =⇒ Ð ×ÓÐÙ
Ò ÒÓ Ò
ÐÙ Ö x = 1Ý ÕÙ Ð ÜÔÖ × Ò x2 − 2x + 1
2
× ÒÙÐ Ý ×ØÓ ÒÓ ÔÙ × Öº Ñ × Ð × ÒÓ x − 2x + 1 ÒÙ Ú Ñ ÒØ
× Ö Ð × ÒÓ a = 1¸ Ð
Ù Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÓÐÙ
Ò × Ö
R {1}º
√ √
∆ = 8 =⇒ Ð ×ÓÐÙ
Ò × (−1 − 2, −1 + 2)¸ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ð × ÒÓ
x2 + 2x − 1 × Ð × ÒÓ −a ÓÒ a = 1¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ
ÓÒ x2 + 2x − 1 < 0º
√ √
∆ = 32 =⇒ Ð ×ÓÐÙ
Ò ×(1 − 2 2, 1 + 2 2)º
ÄÙ Ó Ð ×ÓÐÙ
Ò Ò Ð Ð Ò
Ù
Ò ×
√ √ √ √
R ∩ R {1} ∩ [(−1 − 2, −1 + 2) ∪ (1 − 2 2, 1 + 2 2)
√ √
= (−1 − 2, 1) ∪ (1, 1 + 2 2)
ÑÔÐÓ ½º º
ËÓÐÙ
Ò ¾ ´Í× Ò Ó ÔÙÒØÓ×
Ö Ø
Ó×µ
3
ÄÓ ÔÖ Ñ ÖÓ × Ú Ö Ð ÔÙÒØÓ
Ö Ø
Ó 3 + 2x, Ð
Ù Ð × − 2 ¸ ÐÙ Ó Ð × ÒÓ
3
3 + 2x Ô Ö x < − 2 × Ö Ò Ø ÚÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ× ÒØ ÔÓÒ Ö
3
ÙÒ × ÒÓ (−) Ð ÜÔÖ × Ò Ý ×
Ö Ð Ñ ÙÐÓº Ë x > − 2 ¸ Ð ÜÔÖ × Ò
× Ö ÔÓ× Ø Ú Ý × ÐÓ ÑÓ× Ö Ø Ö Ö Ð Ñ ÙÐÓº ÓÒ ×ØÓ Ø Ò Ö ÑÓ× ÐÓ
× Ù ÒØ
3 3
|x2 − |3 + 2x|| < 4 ⇐⇒ [x < − ∧ |x2 + 3 + 2x| < 4] ∨ [x ≥ − ∧ |x2 − 3 − 2x| < 4].
2 2
ÓÖ
ÓÑÔÐ Ø Ö ÑÓ×
Ù Ö Ó Ò Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ÙÐÓ
3 3
⇐⇒ [x < − ∧ |(x + 1)2 + 2| < 4] ∨ [x ≥ − ∧ |(x − 1)2 − 4| < 4].
2 2
¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-37-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÄÙ Ó Ù×
ÑÓ× ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
Ö Ø
Ó× (x + 1)2 + 2 Ý (x − 1)2 − 4º Ä ÔÖ ¹
Ñ Ö ÜÔÖ × Ò × Ö × ÑÔÖ ÔÓ× Ø Ú × ÕÙ × ÔÙ Ö Ø Ö Ö Ð Ñ ÙÐÓº
Ä × ÙÒ ÜÔÖ × Ò Ø Ò Ö Ó× ÔÙÒØÓ×
Ö Ø
Ó× x = −1 Ý x = 3.
ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
Ö Ø
Ó× ×
Ö Ö Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ý ×
Ö ÐÓ ÕÙ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ
ÓÒ Ð Ñ ÙÐÓ Ô Ò Ò Ó Ð × ÒÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ
(x − 1)2 − 4 Ò
ÒØ ÖÚ ÐÓº Ê Ð Þ Ò Ó ×ØÓ Ø Ò Ö ÑÓ×
3 3
⇐⇒ [x < − ∧ (x + 1)2 < 2] ∨ [x ∈ [− , −1) ∧ (x − 1)2 − 4 < 4]
2 2
∨[x ∈ [−1, 3] ∧ −(x − 1)2 + 4 < 4] ∨ [x ∈ (3, ∞) ∧ (x − 1)2 − 4 < 4].
ÓÒ ×ØÓ ÐØ ÑÓ Ý ÒÓ Ø Ò ÑÓ× Ò Ò ÙÒ ÜÔÖ × Ò
ÓÒ Ñ ÙÐÓ¸ ÓÖ
× ÐÓ ÐØ Ö Ù×
Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ×ÓÐÙ
Ò
ÓÑÓ × Ò× Ò ÙÒ
ÓÑ ÒÞÓ
3 √ √ 3 √ √
⇐⇒ [x < − ∧ x ∈ (−1 − 2, −1 + 2)] ∨ [x ∈ [− , −1) ∧ x ∈ (1 − 2 2, 1 + 2 2)]
2 2√ √
∨[x ∈ [−1, 3] ∧ x = 1] ∨ [x ∈ (3, ∞) ∧ x ∈ (1 − 2 2, 1 + 2 2)],
ÖÖ Ð Ò Ó ÙÒ ÔÓ
Ó ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ×ÓÐÙ
Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ×
√ 3 3 √
⇐⇒ [x ∈ (−1 − 2, − )] ∨ [x ∈ [− , −1)] ∨ [x ∈ [−1, 3] {1}] ∨ [x ∈ (3, 1 + 2 2)]
√ 2 √ 2
⇐⇒ x ∈ (−1 − 2, 1 + 2 2) {1}.
¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-38-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
¿ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÒØÖ × ¸ Ñ Ó× ×غ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ó
Ñ Ó× ×غ Ò Ø ÚÓ׸ × ÔÙ Ó Ø Ò Ö Ø ÒØÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×غ ÔÓ× Ø ÚÓ
ÓÑÓ ÙÒÓ ×غ Ò Ø ÚÓº
¿ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÒØÖ × ¸ Ñ Ó× ×غ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ó
Ñ Ó× ×غ Ò Ø ÚÓ׸ × Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº
¿ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÒØÖ × ¸ Ñ Ó× ×غ Ò Ø ÚÓ׸ ×
Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×غ Ò Ø ÚÓº
¿ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×
ÙÝ Ö ×Ø ÒÓ × ¼¸ × Ó Ø Ò
× ÑÔÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº
¼º Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×
ÙÝ Ö ×Ø ÒÓ × ¼¸ × ÔÓ× Ð
Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº
½º Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ñ Ó× ÒÓ Ô ÖØ Ò
ÒØ × Ê∗ ¸
+
× ÑÔÖ × Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº
¾º Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ
× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº
¿º Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ
× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº
º Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ ÔÓÖ ×Ù ÒÚ Ö×Ó ÑÙй
Ø ÔÐ
Ø ÚÓ¸ × Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº
º Ë Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x, y × Ø ×
Ò ÕÙ 0 < x < y ¸ ×Ù× ÒÚ Ö×Ó×
−1
ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ× × Ø ×
Ò Ð Ö Ð
Ò ÓÔÙ ×Ø ¸ ×
Ö x > y −1 º
º Ë Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x, y × Ø ×
Ò ÕÙ 0 < x < y¸ ×Ù× ÒÚ Ö×Ó×
ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ× × Ø ×
Ò x−1 < y −1 º
º Ë x ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×غ Ò Ø ÚÓº ÓÑÓ x < 0¸ ÐÙ Ó x−1 > 0º
º Ó× a, b ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ a ≤ b¸ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b)
ÓÒØ Ò b Ô ÖÓ
ÒÓ aº
º Ó× a, b ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ a ≤ b¸ ÒØÓÒ
× [a, b)
ÓÒØ Ò × ÑÔÖ
b − aº
¼º Ó× a, b ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ a < b¸ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b)
ÓÒØ Ò a Ô ÖÓ
ÒÓ bº
½º Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I¸ × x1 , x2 ∈ I ÒØÓÒ
×
x1 +x2
2 ∈ Iº
¾º Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I ¸ x1 , x2 ∈ I Ý α ∈ [0, 1]¸ ÒØÓÒ
× αx1 + (1 −
α)x2 ∈ I º
¿º Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I ¸ x1 , x2 ∈ I Ý α1 , α2 ∈ (0, 1]¸ ÒØÓÒ
× α1 x1 +
α2 x2 ∈ I º
½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-41-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
º Ë Ò a, b ∈ ʺ Ë a > 0¸ Ð Ò
Ù
Ò ax + b < 0 Ø Ò
ÓÑÓ ×ÓÐÙ
Ò
b b
(−∞, − a ] ∪ [ a , ∞)º
º Ë Ò a, b ∈ ʺ Ë a < 0¸ Ð Ò
Ù
Ò ax + b ≥ 0 Ø Ò
ÓÑÓ ×ÓÐÙ
Ò
b b
[− a , a ]º
º Ë Ò a, b ∈ ʺ Ë a < 0¸ Ð Ò
Ù
Ò ax + b < 0 Ø Ò
ÓÑÓ ×ÓÐÙ
Ò
b
(− a , ∞)º
º Ë Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð × ¼¸ ÒØÓÒ
× Ò
× Ö Ñ ÒØ
Ó
Ò Ñ ÖÓ × ¼º
º Ë Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð × ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ÒØÓÒ
×
Ó Ò Ñ ÖÓ × ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº
º Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ
Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × × Ù Ð Ð
ÑÙÐØ ÔÐ
Ò ÐÓ× Ñ ÙÐÓ×
Ó× Ö Ð ×º
¼º Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ ×ÙÑ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × × Ù Ð Ð ×ÙÑ ÐÓ×
Ñ ÙÐÓ×
Ó× Ö Ð ×º
½º Ü ×Ø ÙÒ Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ø Ð × ÕÙ Ð Ñ ÙÐÓ ×Ù ×ÙÑ ×
Ñ ÝÓÖ ×ØÖ
Ø ÕÙ Ð ×ÙÑ ×Ù× Ñ ÙÐÓ׺
¾º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x ÕÙ × Ø ×
Ò |x − 1| ≥ 3 ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× Ð
ÓÒ ÙÒØÓ [−2, 3]º
¿º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x ÕÙ × Ø ×
Ò |x − 1| ≥ 3 ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× Ð
ÓÒ ÙÒØÓ (−∞, −3] ∪ [3, ∞)º
º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x ÕÙ × Ø ×
Ò |x − 1| ≥ 3 ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× Ð
ÓÒ ÙÒØÓ (−∞, −2] ∪ [4, ∞)º
¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-42-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Y Y‘
S S‘
yo
O‘ X‘
O xo X
ÙÖ ¾ ÌÖ ×Ð
Ò × ×Ø Ñ
ÓÓÖ Ò ×º
Ð Ô Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ð¸ Ô ÖÓ ØÖ ×Ð × x0 y0 Ò ÐÓ× × ÒØ Ó×
ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ú ÖØ
Ð Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ º
3.1.3. Ecuación general de la parábola
Ì ÓÖ Ñ ¿º½º Ä
Ù
Ò y = ax2 + bx + c
ÓÒ a = 0 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ
Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ
Ð
ÓÒ Ö
ØÖ Þ D : y = −1−△ ¸ Ó
Ó F = ( −b , 1−△ ) Ý
4a 2a 4a
Ú ÖØ
V = ( 2a , 4a )¸ ÓÒ △ = b2 − 4ac.
−b −△
ÑÓ×ØÖ
Òº ´ ÑÓ×ØÖ
Òµ
Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ð
Ù
Ò y = ax2 +
bx+c ÔÙ ÓÖ Ò Ö×
ÓÑÔÐ Ø Ò Ó
Ù Ö Ó× Ô Ö
ØÓ× Ð× Ù ÒØ ÑÓ Ó
b c
y = ax2 + bx + c ⇐⇒ y = a[x2 + x + ]
a a
b b b c
⇐⇒ y = a[x2 + 2 x + ( )2 − ( )2 + ]
2a 2a 2a a
b b2 c
⇐⇒ y = a[(x + )2 − 2 + ]
2a 4a a
b b2 − 4ac
⇐⇒ y = a(x + )2 −
2a 4a
b2 − 4ac b
⇐⇒ (y + ) = a(x + )2
4a 2a
b b2 − 4ac
⇐⇒ (y − y0 ) = a(x − x0 )2 , ÓÒ x0 = − , y0 = − .
2a 4a
×
Ö¸ × ØÖ Ø ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ
и
ÓÒ Ú ÖØ
×ÔÐ Þ Ó
1
Ð ÔÓ×
Ò (x0 , y0 )º ÓÑÓ Ý Ú ÑÓ× ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸p = 4a Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð
Ó
Ó × Ö
¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-73-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
√
f (x) = x =⇒ Dom(f ) = Ê∗ ∪ {0}º
+
Ë f (x) = x + 2|x − 5| − x2 + |3x − 2|
ÒØÓÒ
× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÑ Ò Ó f Ö ×ÓÐÚ Ö× ÙÒ Ò ¹
Ù
Ò
ÓÒ Ñ ÙÐÓº
Ç × ÖÚ
Ò Ä Ð Ý ÙÒ ÙÒ
Ò (y = f (x)) ÔÙ × Ö Ò
ÑÙÐØ ÔÐ × ÓÖÑ × Ò
ÙÒ ÐÐ ×
ÙÑÔÐ Ö× Ð
ÓÒ
Ò ×
¸
ÕÙ Ô Ö x Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò ÔÙ
Ð
ÙÐ Ö× ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ
Ñ Ò xº
y = f (x) Ø Ð ÕÙ y + x2 = 5
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÙÒ
Òº
y = f (x) Ø Ð ÕÙ x2 + y 2 = r2 ÒÓ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÙÒ
Òº
y = f (x) Ø Ð ÕÙ y ≥ 0 ∧ x2 + y 2 = r2
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÙÒ
Ò
ÓÒ
Dom(f ) = [−r.r]º
y = f (x) Ø Ð ÕÙ y < 0 ∧ x2 + y 2 = r2
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÙÒ
Ò
ÓÒ
Dom(f ) = (−r.r)º
4.2. Gráfico de una función
Ò
Ò º½º ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× Ö
Ó ÙÒ ÙÒ
Ò f Ð
ÓÒ ÙÒØÓ
ÔÙÒØÓ× Ð ÔÐ ÒÓ Gf Ò Ó ÔÓÖ
Gf = {(x, y) ∈ Ê2 | x ∈ Dom(f ) ∧ y = f (x)}.
Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× Ö
Ó×
2
sin(x)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-10 -5 0 5 10
ÙÖ ÑÔÐÓ ½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-90-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÑÔÐÓ º½º
ÓÑÓ ÑÔÐÓ Ú ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÙÒ
Ò
f (x) = |x − 5|
× × Ñ ØÖ
Ö ×Ô
ØÓ Ð Ö
Ø x=5 Ý ÕÙ
f (5 − t) = |(5 − t) − 5| = | − t| = |t|
f (5 + t) = |(5 + t) − 5| = |t|
È Ö
ØÓ× ÔÖ
Ø
Ó׸
Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ
Ò × Ô Ö¸ ÑÔ Ö Ó ÔÖ × ÒØ Ð Ù¹
Ò × Ñ ØÖ ¸ ÒØÓÒ
× ÔÙ ×ØÙ Ö× × ÐÓ Ò ÙÒ Ñ Ø ×Ù ÓÑ Ò Ó
Ý ÐÙ Ó
ÓÒ×ØÖÙ Ö ×Ù Ö
Ó
ÓÑÔÐ ØÓ Ù× Ò Ó
× Ñ ØÖ º
4.5. Funciones Periódicas
Ò
Ò º ´ ÙÒ
Ò Ô Ö
µº Ë f : A ⊆ Ê → ʺ Ö ÑÓ× ÕÙ
f × ÔÖ
×× (∃p ∈ Ê+ ) Ø Ð ÕÙ
(∀x ∈ A) x + p ∈ Aº
(∀x ∈ A) f (x + p) = f (x)º
Ò ×Ø
×Ó p × ÐÐ Ñ Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ
Òº
Ò
Ò º ´È Ö Ó Ó Ñ Ò ÑÓµº Ë ÐÐ Ñ Ô Ö Ó Ó Ñ Ò ÑÓ Ð ÙÒ¹
Ò f Ð Ö Ð p Ø Ð ÕÙ f × Ô Ö
Ô Ö Ó Ó p ݸ × f × Ô Ö
Ô Ö Ó Ó p¸ ÒØÓÒ
× p ≥ pº
ÑÔÐÓ×
f (x) = a × Ô Ö
Ô Ö Ó Ó p > 0,
Ù ÐÕÙ Ö º ÆÓ Ø Ò
Ô Ö Ó Ó Ñ Ò ÑÓº
f (x) = x − [x]¸ ÓÒ [x] × Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ ÖÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ xº
× Ô Ö
Ô Ö Ó Ó ½¸ ¾ Ó ¿º p=1 × ×Ù Ô Ö Ó Ó Ñ Ò ÑÓº
Ç × ÖÚ
Ò
Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ
Ò ×Ô Ö Ó
Ô Ö Ó Ó p¸ Ð ×ØÙ Ó ×Ù Ö
Ó ÔÙ
Ö ×ØÖ Ò Ö× × ÐÓ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ p Ò ×Ù ÓÑ Ò Ó Ý ÐÙ Ó
ÓÒ×ØÖÙ Ö
Ð Ö
Ó ØÓØ Ð
Ò Ó Ù×Ó Ð Ô Ö Ó
º
¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-93-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ë n × Ô Ö ÒØÓÒ
× Dom(f ) = [0, ∞)º
Ë n × ÑÔ Ö ÒØÓÒ
× Dom(f ) = ʺ
√ √
Ë n × ÑÔ Ö ÒØÓÒ
× f (−x) = n −x = − n x = −f (x)
ÄÙ Ó × n ÑÔ Ö × ØÖ Ø ÙÒ ÙÒ
Ò ÑÔ Öº
Ë n Ô Ö¸ ÔÓÖ × Ñ ØÖ Ö ×Ô
ØÓ Ð Y¸ ÁÑ (f ) = [0, ∞)º
Ë n ÑÔ Ö¸ ÔÓÖ × Ñ ØÖ Ö ×Ô
ØÓ Ð ÓÖ Ò O¸ ÁÑ (f ) = ʺ
ºÄ ÙÒ
Ò
Ò Ó Ô ÖØ ÒØ Ö
×Ø Ò ÔÓÖ f (x) = [x] = m´x{k ∈ /k ≤ x}º
a
Ì Ò Dom(f ) = Ê Ý ÁÑ (f ) = º
ËÙ×
ÖÓ× ×ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, 1)º
ÆÓ × ÙÒ ÙÒ
Ò Ô Ö Ò ÑÔ Öº
× ÙÒ ÙÒ
Ò
Ö
ÒØ ¸ Ô ÖÓ ÒÓ ÓÖÑ ×ØÖ
Ø º
º ÙÒ
Ò ÓÔÙ ×Ø
Ë f : A ⊆ Ê → Ê ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒ
Ò ÓÔÙ ×Ø f Ð ÙÒ
Ò (−f )
Ò ÔÓÖ
−f : A ⊆ Ê → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ A)(−f )(x) = −(f (x))
Ð Ö
Ó Ð ÙÒ
Ò (−f ) × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ × Ñ ØÖ
Ó
ÓÒ Ö ×Ô
ØÓ Ð
OX Ð Ö
Ó fº
º Å ÙÐÓ ÙÒ ÙÒ
Ò
Ë f :A⊆Ê→Ê ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒ
Ò Ñ ÙÐÓ f Ð ÙÒ
Ò |f |
Ò ÔÓÖ
f (x) × f (x) ≥ 0
|f | : A ⊆ Ê → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ A)|f |(x) = |f (x)| =
−f (x) × f (x) < 0
Ð Ö
Ó Ð ÙÒ
Ò Ñ ÙÐÓ f ÔÙ Ó Ø Ò Ö×
ÐÑ ÒØ × ×
ÓÒÓ
Ð Ö
Ó f¸ Ý ÕÙ
ÓÔ Ö× × Ñ ØÖ
Ñ ÒØ Ö ×Ô
ØÓ Ð
OX ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ö
Ó f ÕÙ ÕÙ Ò Ó Ð OX Ý Ö
ÒØ
ØÓ× ÕÙ ÐÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò ×Ó Ö Ð OX º ×
Ö¸ Ð ØÓÑ Ö
Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÙÒ
Ò¸ ×Ù Ö
Ó × Ö Ò Ð OX
Ð ÔÖ Ñ Ö
Ó × ÙÒ Ó
Ù Ö ÒØ º
º Ê ×ØÖ
Ò ÙÒ ÙÒ
Ò
Ë f : A ⊆ Ê → Ê ÙÒ ÙÒ
Ò Ý × B ⊆ Aº Ë ÐÐ Ñ Ö ×ØÖ
Ò f
B Ð ÙÒ
Ò f |B Ò ÔÓÖ
f |B : B ⊆ Ê → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ B)f |B (x) = f (x).](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-96-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ì Ò Dom f = Ê {−1, 1}
× ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð y = 1º
× ÒØÓØ × Ú ÖØ
Ð × ´ÔÓ×ØÙÐ ÒØ × x = −1 Ý x = 1µº
Ë Ò Ñ x = 1 × Ö Þ Ð ÒÙÑ
Ö Ó Ö ÓÖº
x−2
Ñ × × x ∈ Dom(f ) =⇒ f (x) = x+1 ¸
ÐÙ Ó¸ × x ×Ø
Ö
1¸ Ð ÙÒ
Ò Ò
Ö
Ò
Ö
× Ò
ÓØ º
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò
× ÒØÓØ Ú ÖØ
Ð × x = −1º
4.12. Composición de Funciones
Ê
ÓÖ ÑÓ× ÕÙ A¸ B Ý C ×ÓÒ
ÓÒ ÙÒØÓ×
Ò Ò Ö Ð × Ò ØÙÖ Ð Þ Ö ¹
ØÖ Ö Ý f¸ g f : A → B Ý g : B → C ÒØÓÒ
× ×
×ÓÒ ÙÒ
ÓÒ × Ò Ð
ÓÑÔÓ×
Ò f Ý g
ÓÑÓ Ð ÙÒ
Ò g ◦ f Ò ÔÓÖ g ◦ f : A → C Ø Ð
ÕÙ (∀x ∈ A)(g ◦ f )(x) = g(f (x))º
Ò ÒÙ ×ØÖÓ
×Ó¸ × Ó× ÙÒ
Ò × f :A⊆Ê→Ê Ý g : B ⊆ Ê → ʸ ÒÓ
× ÑÔÖ ×
ÙÑÔÐ ÕÙ ÁÑ (f ) ⊆ B ¸ ÐÙ Ó Ð Ò
Ò Ð
ÓÑÔÓ×
Ò
ÒÓ × ÑÔÖ × ÔÙ
Ö ÔÓÖ ×Ø
Ñ ÒÓº
Ò
ÓÒ×
Ù Ò
Ò Ö ÑÓ× Ð
ÓÑÔÓ×
Ò × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð Ð Ý¸
ÓÑÓ ×
Ö
Ù ÒØ Ñ ÒØ
ÓÒ Ð × ÙÒ
ÓÒ × Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ð¸ ×
Ö
g ◦ f (x) = g(f (x))
ÑÓ Ó ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó × Ö
Dom(gof ) = {x ∈ Dom(f ) : f (x) ∈ Dom(g)}.
4.13. Funciones invertibles
Ë f :A⊆Ê→ Ó (f )
Ö ÑÓ× ÕÙ f × ÒÝ
Ø Ú ×× [f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 ]º
Ö
Ñ ÒØ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð
Ö ÕÙ ØÓ Ö
Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÒØ Ö×
Ø
ÐÓ Ñ × Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö
Ó fº
Ö ÑÓ× ÕÙ f × Ô Ý
Ø Ú ×× ÁÑ (f ) = Ó (f )
Ö
Ñ ÒØ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð
Ö ÕÙ ØÓ Ö
Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð
Ó ÓÑ Ò Ó f ÒØ Ö×
Ø Ð Ñ ÒÓ× Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö
Ó fº
Ö ÑÓ× ÕÙ f × Ý
Ø Ú ×× f × ÒÝ
Ø Ú Ý Ô Ý
Ø Ú º
Ö
Ñ ÒØ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð
Ö ÕÙ ØÓ Ö
Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð
Ó ÓÑ Ò Ó f ÒØ Ö×
Ø Ò Ü
Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö
Ó fº
½¼¼](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-101-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ë f × Ý
Ø Ú ÒØÓÒ
× ∀y ∈ Ó (f ) Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò
ÓÒØÖ Ö x ∈
Dom(f ) Ø Ð ÕÙ y = f (x) Ø Ò ×ÓÐÙ
Ò Ò
º
×ØÓ ÑÓØ Ú Ð Ò
Ò ÙÒ ÙÒ
Ò ÐÐ Ñ ÙÒ
Ò ÒÚ Ö× º
4.13.1. Función inversa
Ò
Ò º½ ´ ÙÒ
Ò ÒÚ Ö× µº Ë f : Dom(f ) → Ó (f ) ÙÒ
ÙÒ
Ò Ý
Ø Ú º × Ò Ð ÙÒ
Ò ÒÚ Ö× f
ÓÑÓ Ð ÙÒ
Ò f −1
Ò ÔÓÖ
f −1 : Ó (f ) → Dom(f ) Ø Ð ÕÙ [y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y)].
Ç × ÖÚ
Ò
Ò Ð
×Ó ÙÒ
ÓÒ × Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ð Ü ×Ø Ò Ú Ö × ÐÐ × ÕÙ
ÒÓ ×ÓÒ ÒÝ
Ø Ú × Ó ÒÓ ×ÓÒ Ô Ý
Ø Ú × Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÓ Ø Ò Ò ÒÚ Ö× º × Ò
Ñ Ö Ó¸ × ÔÙ
ÓÒØÖÙ Ö ÙÒ ÙÒ
Ò ÒÚ Ö× ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Óº
Ë f :A⊆Ê→Ê ÙÒ ÙÒ
Ò
Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ ÒÚ ÖØ Ð º
Ë Ø ÖÑ Ò B⊆A Ø Ð ÕÙ f |B × ÒÝ
Ø Ú º
Ù Ð ÑÓ Ó × Ö ×ØÖ Ò Ð
Ó ÓÑÓÒ Ó Ê ÁÑ (f |B )º ÓÒ ×ØÓ f |B
×
Ý
Ø Ú Ý ÐÙ Ó ÒÚ ÖØ Ð º
½¼½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-102-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
´
µ g(x) = f (|x|)º
´ µ g(x) = |f (x − 1)|º
´ µ g(x) = f (f (x + 1) − f (|x|))º
√
(−1)1+|x| 1 − x2 si −1 ≤ x ≤ 0
º
x−1 1
ÓÒ× Ö Ð × Ò
Ò f (x) = si 0 < x ≤ 2
|x|−1
1 1
|2x−1| si x < −1 o x > 2
´ µ Ò
ÓÒØÖ Ö Ð ÓÑ Ò Ó Ð × Ò
Òº
´ µ ×ØÙ Ö Ð
Ö
Ñ ÒØÓº
´
µ ×ØÙ Ö Ð Ô Ö º
´ µ Ò
ÓÒØÖ Ö
ÖÓ× ÒØ Ö×
Ò
ÓÒ Ð OY º
´ µ Ó×ÕÙ Ö ÙÒ Ö
Óº
º Ë f : R {−1, 1} → R Ø Ð ÕÙ f (x) = x+1
|x|−1 º
´ µ ÅÙ ×ØÖ ÕÙ f ÒÓ × ÒÝ
Ø Ú º
´ µ Ð
ÙÐ f −1
([−1, 1])º
´
µ Ë g : [0, 1) → R Ò ÔÓÖ g(x) = f (x)º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ g ×
ÒÝ
Ø Ú º
´ µ Ê ×ØÖ Ò Ð Ö
ÓÖÖ Ó ÑÓ Ó Ó Ø Ò Ö Ô ÖØ Ö g ÙÒ ÙÒ
Ò
Ý
Ø Ú º
´ µ Ð
ÙÐ Ð ÒÚ Ö× º
º Ë f : R → R ÒÓ ÒØ
Ñ ÒØ ÒÙÐ ¸ Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x, y ∈ R¸ ×
Ø Ò ÕÙ f (x + y) = f (x) + f (y) Ý f (xy) = f (x)f (y)º
´ µ ÈÖÓ Ö ÕÙ f (0) = 0 Ý ÕÙ f (1) = 1º
´ µ Ð
ÙÐ Ö f (x)¸ Ô Ö x ∈ N¸ ÐÙ Ó Ô Ö x ∈ Z Ý ÔÓÖ ÐØ ÑÓ Ô Ö
x ∈ Qº
´
µ ÈÖÓ Ö ÕÙ x≥0 ÑÔÐ
ÕÙ f (x) ≥ 0º Ù
Ö ÕÙ f × ×ØÖ
Ø ¹
Ñ ÒØ
Ö
ÒØ º
½¼](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-107-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
5.2. Funciones trigonométricas
Ç × ÖÚ
Ò ÍÒ Ý
Ò ÒØÖ Ò ÙÐÓ× Ý Ö Ð × ´ÒÓ × Ð Ò
µº Ó
x ∈ ʸ × Px Ð ÔÙÒØÓ Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
ÒØÖÓ (0, 0) Ý Ö Ó ½¸
ÕÙ × Ó Ø Ò Ð Ö Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ
ÙÝ Ñ Ò Ö Ò × × x ¸ Ô ÖØ Ò Ó
× Ð ÔÙÒØÓ (1, 0)º ÒØÓÒ
× × x > 0 ×Ø Ö ÑÓ× ÖÓØ Ò Ó Ò Ð × ÒØ Ó
ÓÒØÖ Ö Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ Ý × x < 0 ÐÓ ×Ø Ö ÑÓ×
Ò Ó Ò Ð
× ÒØ Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ º
Í× Ò Ó Px Ò Ö ÑÓ× Ð × ÙÒ
ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
׺
Ò
Ò º¿ ´ ÙÒ
Ò
Ó× ÒÓµº Ò ÑÓ× Ð ÙÒ
Ò
Ó× ÒÓ ´
Ó×: Ê →
ʵ
ÓÑÓ ÕÙ ÐÐ ÕÙ
xÐ ×Ó
Ð ×
× Ð ÔÙÒØÓ Px º
Ò
Ò º ´ ÙÒ
Ò × ÒÓµº Ä ÙÒ
Ò × ÒÓ ´× Ò: Ê → ʵ ÕÙ
Ò
ÓÑÓ ÕÙ ÐÐ ÕÙ
x ×Ó
Ð ÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ Px º
1
P =(cos(x),sen(x))
x
sen(x)
-1 cos(x) 1
-1
Ð Ò
Ò Ð × ÙÒ
ÓÒ × × ÒÓ Ý
Ó× ÒÓ × Ù
ÕÙ ÐÐ × × Ø ×
Ò
Ð × ÐÐ Ñ Á ÒØ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ
ÙÒ Ñ ÒØ Ð
∀x ∈ Ê, × Ò
2
(x) +
Ó×2 (x) = 1.
Ä ×× Ù ÒØ × × Ú Ö
ÓÒ ×
Ö
Ð × ÙÒ
ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÔÙ Ò
Ù×Ø
Ö×
ÐÑ ÒØ Ý ÕÙ Ò
ÓÑÓ Ö
Óº
ÈÖÓÔ × ¾ ´ ÙÒ
Ò
Ó× ÒÓµº ¶¶¶Ê È ÌÁÊ
Ä ÙÒ
Ò × Ô Ö
Ô Ö Ó Ó 2π.
× ÙÒ ÙÒ
Ò Ô Öº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×Ø Ö
ÓÒ
ÓÒÓ
ÖÐ Ò I = [0, π] Ô Ö
Ø Ò Ö ×Ù
ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ðº
Ì Ò ÙÒ
ÖÓ Ò x = π ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ cos−1 ({0}) = x =
2
π
2 + kπ : k ∈ .
Ò [0, π ] × ÔÓ× Ø Ú Ý × Ò
2 ØÚ Ò π
2,π º
Ö
Ò [0, π]º
ÈÖÓÔ × ¿º ÙÒ
Ò × ÒÓ
Ä ÙÒ
Ò × Ô Ö
Ô Ö Ó Ó 2π.
× ÙÒ ÙÒ
Ò ÑÔ Öº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×Ø Ö
ÓÒ
ÓÒÓ
ÖÐ Ò I = [0, π] Ô Ö
Ø Ò Ö ×Ù
ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ðº
½½½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-112-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ì Ò ÙÒ
ÖÓ Ò x = 0 Ý ÓØÖÓ Ò x = π. ÄÙ Ó × Ò ({0}) = {x = kπ : k ∈ } . −1
Ò I × × ÑÔÖ ÔÓ× Ø Ú º
Ö
Ò [0, π ] Ý
2
Ö
Ò π
2,π .
Î ÑÓ× Ò Ð Ö
Ó
× ÙÒ
ÓÒ × ´× ÒÓ Ý
Ó× ÒÓ Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ µ¸
Ð × ÔÖÓÔ × ÒØ Ö ÓÖ ×º
1
0
2π 3 π π π π π 3π 2 π
2 2 2 2
-1
1
0
2π 3 π π π π π 3π 2 π
2 2 2 2
-1
ÇØÖ ÙÒ
Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ×
Ò
Ò º ´ ÙÒ
Ò Ø Ò ÒØ µº Ë Ò Ð ÙÒ
Ò Ø Ò ÒØ ÔÓÖ
Ø Ò : A → ʸ ÓÒ A = {x ∈ Ê
Ó×(x) = 0} ÕÙ x ×Ó
Ø Ò(x) =
× Ò(x) º
Ó×(x)
Ð ÙÒ × ÔÖÓÔ ×
ÈÖÓÔ × º Ä ÙÒ
Ò Ø Ò × Ô Ö
Ô Ö Ó Ó πº
ËÙ×
ÖÓ× ×ÓÒ ÐÓ×
ÖÓ× Ð ÙÒ
Ò × Òº
× ÙÒ ÙÒ
Ò ÑÔ Öº
× ÔÓ× Ø Ú Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ 0, π .
2
× ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ
Ö
ÒØ Ò
ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ÓÖÑ − π + kπ, π + kπ .
2 2
−π π
− π
0 3π
2 2
Ç × ÖÚ
Ò Ä
ÒØ tan(x)
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö
Ø
ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ý Ð ÔÙÒØÓ Px ×Ó
Ó¸
ÓÑÓ Ú ÑÓ× Ò Ð ÙÖ
½½¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-113-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
α
ÓÒ Ö ×Ô
ØÓ ÐÓ× × OX Ý OY Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ º Ë
ÕÙ {O′ X ′ Y ′ }
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÖÓØ
Ò Ð × ×Ø Ñ {OXY } Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ αº
ÌÖ
ÑÓ× ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
ÙÒ Ø Ö ⊙
ÓÒ
ÒØÖÓ Ò O Ý
ÓÒ× Ö ÑÓ×
Ó× ÔÙÒØÓ× P Ý Q Ò ⊙ ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ ∠P OX = α Ý ∠QOX = β º
ÓÒ ×ØÓ
Ð
ÙÐ ÑÓ× Ð ×Ø Ò
PQ Ò Ñ Ó× × ×Ø Ñ ×
Ò Ð × ×Ø Ñ Ç
P = (cos α, × Òα)
Q = (cos β, × Òβ).
ÄÙ Ó
2
PQ = [cos β − cos α]2 + [sen β − sen α]2
= cos2 β − 2 cos β cos α + cos2 α
+ sen2 β − 2 sen β sen α + sen2 α
= 2 − 2 cos β cos α − 2 sen β sen α.
Ò Ð × ×Ø Ñ Ç³ ³ ³
P = (1, 0)
Q = (cos(β − α), sen(β − α)).
ÄÙ Ó
2
PQ = [1 − cos(β − α)]2 + [0 − sen(β − α)]2
= 1 − 2 cos(β − α) + cos2 (β − α) + sen2 (β − α)
= 2 − 2 cos(β − α).
ÓÑÓ Ð ×Ø Ò
PQ × Ò Ô Ò ÒØ Ð × ×Ø Ñ
ÓÓÖ Ò × ÙØ Ð ¹
Þ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ×
Ö Ö ÕÙ
2 − 2 cos β cos α − 2 sen β sen α = 2 − 2 cos(β − α)
ÓÒ × Ù
ÕÙ
ÈÖÓÔ ´ Ö Ò
Ò ÙÐÓ× Ò
Ó× ÒÓµº
cos(β − α) = cos β cos α + sen β sen α.
×Ø ÖÑÙÐ
ÓÒØ Ò ÙÒ ØÖ Ñ Ò
ÒØ Ò ÓÖÑ
Òº Ô Ò Ò Ó
ÐÓ× Ò ÙÐÓ α Ý β Ú ÑÓ× Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ú Ö
ÒØ ÒØ ×
ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÕÙ ÐÙ Ó Ó
ÙÔ Ö ÑÓ× Ô Ö
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÒÙ ×ØÖ ÑÓ×¹
ØÖ
Ò Ò
ÙÖ×Óº
½½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-116-320.jpg)
![Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ
ØØÔ »»ÛÛÛº ѺÙ
Ð º
л
Ð
ÙÐÓº
Ingeniería Matemática Ò
ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö
Ó×
FACULTAD DE CIENCIAS
Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ
Ò
ÁÒ Ò Ö ÅÖ
Ø Ñ
ÙØ Ð
Ö
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
× Ð Ò Ñ
Ð
ÙÖ×Óº
Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð
SEMANA 7: TRIGONOMETRÍA
Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð
Ñ Ö Ò Ô Ö
ÓÒ¹
×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö
5.9. Funciones trigonométricas inversas Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹
Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹
È Ö ÕÙ ÙÒ ÙÒ
Ò ÔÓ× ÙÒ
Ò ÒÚ Ö× ¸ ×Ø × Ö ÔÖ Ñ ÖÓ Ý
Ø Ú ¸ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ ×
ÒÓØ
ÓÒ ×º
×
Ö¸ Ô Ý
Ø Ú ÒÝ
Ø Ú Ð Ú Þº
ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ×
ÓÒØ ÒÙ
Ò¸ Ð × ÙÒ
ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× Ð × Ö Ô Ö ¹
× ÒÓ ×ÓÒ ÒÝ
Ø Ú × Ò R¸ × Ñ ×¸ Ð × Ö ×Ø ×
ÓØ × Ø ÑÔÓ
Ó ×ÓÒ
Ô Ý
Ø Ú ×¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× Ò
Ð ÖÓ ÕÙ ×Ø × ÙÒ
ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×
ÒÓ ×ÓÒ Ý
Ø Ú × Ò Rº
ÓÒØ ÒÙ
Ò Ú ÑÓ× Ö Ò Ö Ø ÒØÓ Ð ÓÑ Ò Ó
ÓÑÓ Ð
Ó ÓÑ Ò Ó
×Ø × ÙÒ
ÓÒ × Ô Ö × ÐÓ Ö Ö Ý
Ø Ú Ý ÔÓ Ö Ò
ÓÒØÖ ÖÐ × ÙÒ
Ò
ÒÚ Ö× º
ÓÒ× Ö ÑÓ× f (x) = sen xº ÄÙ Ó ÁÑ f (x) = [−1, 1] = Ê ÐÓ ÕÙ ÒÓ×
ÕÙ f (x) × ÙÒ ÙÒ
Ò ÒÓ Ô Ý
Ø Ú º
Ê ×ØÖ Ò ÑÓ× Ð
Ó ÓÑ Ò Ó Ó f (x) = [−1, 1] Ý
ÓÒ ×ØÓ Ð ÙÒ
Ò
f (x) × Ô Ý
Ø Ú º
ÓÑÓ Ð ÙÒ
Ò ÒÓ × ÒÝ
Ø Ú Ò Ê Ó ÕÙ ØÓÑ Ò Ò Ø × Ú
×
Ú ÐÓÖ Ð × Ö 2π Ô Ö
¸ Ú ÑÓ× Ö ×ØÖ Ò Ù Ö Ð ÓÑ Ò Óº
Ð ÓÑ Ò Ó ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ× × Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [−π/2, +π/2] Ó ÕÙ
Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ f (x) ØÓÑ ×ÓÐÓ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ô Ö
x Ý Ð Ñ ×ÑÓ
Ø ÑÔÓ Ñ ÒØ Ò ÑÓ× Ð Ô Ý
Ø Ú
ÓÒ Ð
Ó ÓÑ Ò Ó Ö ×ØÖ Ò Ó Ò¹
Ø Ö ÓÖÑ ÒØ º
× Ð ÙÒ
Ò f : [−π/2, π/2] → [−1, 1] Ø Ð ÕÙ f (x) = sen(x) ×
Ý
Ø Ú Ý Ò
ÓÒ×
Ù Ò
ÔÓ× ÒÚ Ö× ¸ Ð
Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ×
Ò
Ò º ´ Ö
Ó× ÒÓµº ÄÐ Ñ ÑÓ× Ö
Ó× ÒÓ Ð ÙÒ
Ò ÒÚ Ö×
f¸ ×
Ö arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2] Ø Ð ÕÙ y = arcsin x ⇐⇒ x =
sen y
Ë f (x) = cos xº ÄÙ Ó ÁÑ f (x) = [−1, 1] = Ê Ý
ÓÑÓ Ú ÑÓ× ÒØ ¹
Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÑÙ ×ØÖ ÒÓ Ô Ý
Ø Ú º
Ë Ù Ò Ó Ð Ô ×Ó
ØÙ Ó Ô Ö × Ò¸ Ö ×ØÖ Ò ÑÓ× Ð
Ó ÓÑ Ò Ó
Ó f (x) = [−1, 1] Ý
ÓÒ ×ØÓ ÐÓ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÙÒ
Ò f (x) × Ô ¹
Ý
Ø Ú º
Ð Ù Ð ÕÙ × Ò¸
Ó× × 2π Ô Ö
ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓ× ÒÝ
Ø Ú
Ò Rº Ö Ò
Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ×Ø Ú × × Ö ×ØÖ Ò Ð ÓÑ ¹
Ò Ó Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, +π] Ý ÕÙ × Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ð
Ù Ð f (x) ØÓÑ
×ÓÐÓ ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö
x Ø Ò Ò Ó × ÒÝ
Ø Ú º
× Ð ÙÒ
Ò f : [0, π] → [−1, 1] Ø Ð ÕÙ f (x) = cos(x) × Ý
Ø Ú Ý
Ò
ÓÒ×
Ù Ò
Ø Ò ÒÚ Ö× ¸ ÐÐ Ñ
½¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-127-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ò
Ò º ´ Ö
Ó
Ó× ÒÓµº ÄÐ Ñ ÑÓ× Ö
Ó
Ó× ÒÓ Ð ÙÒ
Ò ÒÚ Ö¹
× f¸ Ó ×
arc cos : [−1, 1] → [0, π] Ø Ð ÕÙ y = arc cos x ⇐⇒ x = cos y
Ë f (x) = tan xº ÄÙ Ó ÁÑ (tan x) = Ê ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × Ò
× Ö Ó
Ö ×ØÖ Ò Ö Ð
Ó ÓÑ Ò Ó Ý Ð ÙÒ
Ò f (x) × Ô Ý
Ø Ú Ò Rº
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð ÙÒ
Ò¸ Ð× ÖÔ Ö
¸ ÒÓ × ÒÝ
Ø Ú Ò Ê¸ ÐÙ Ó×
Ö ×ØÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−π/2, π/2) Ô Ö ÐÓ Ö Ö ÒÝ
Ø Ú º
× Ð ÙÒ
Ò f : (−π/2, π/2) → Ê Ø Ð ÕÙ f (x) = tan(x) × Ý
Ø Ú
Ý Ò
ÓÒ×
Ù Ò
Ø Ò ÒÚ Ö× ¸ ÐÐ Ñ
Ò
Ò º½¼ ´ Ö
ÓØ Ò ÒØ µº ÄÐ Ñ ÑÓ× Ö
ÓØ Ò ÒØ Ð ÙÒ
Ò
ÒÚ Ö× f¸ Ó ×
arctan : Ê → (−π/2, π/2) Ø Ð ÕÙ y = arctan x ⇐⇒ x = tan y
5.9.1. Gráficos
ÓÒØ ÒÙ
Ò Ú ÑÓ× ÐÓ× Ö
Ó× ×Ø × ÙÒ
ÓÒ ×
1.5 3
asin(x) acos(x)
1 2.5
0.5 2
0 1.5
-0.5 1
-1 0.5
-1.5 0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
ÓÖ Ð Ö
Ó Ö
Ø Ò
1.5
atan(x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
½¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-128-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
5.10. Ecuaciones trigonométricas
ÓÒØ ÒÙ
Ò Ò Ð Þ Ö ÑÓ× Ð × ÙÒ
ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×
Ù Ò Ó ×Ø × ×ÓÒ
ÙØ Ð Þ × Ò
Ù
ÓÒ × Ý Ú Ö ÑÓ×
ÓÑÓ Ò
ÓÒØÖ ÖÐ × ×ÓÐÙ
Òº
½º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð
Ù
Ò sen x = a ÓÒ a∈Ê
µ |a| > 1 ⇒ ÒÓ Ü ×Ø ×ÓÐÙ
Òº
µ |a| ≤ 1¸ ×
Ð Ò
ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò α ∈ [−π/2, π/2]¸ ÕÙ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ α = arcsin aº
Ë Ò Ñ Ö Ó
ÓÑÓ Ð ÙÒ
Ò sen ÒÓ × Ô Ý
Ø Ú ¸ ×Ø ×ÓÐÙ
Ò
ÒÓ × Ò
º
Ä ×ÓÐÙ
Ò Ò Ö Ð ×Ù Ð ×
Ö Ö× Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
x = kπ + (−1)k α
ÓÒ k∈ º × ØÓÑ ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÓ× Ð × Ú ÐÓÖ × x
Ð Ô Ö Ó
× Òº
¾º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð
Ù
Ò cos x = a ÓÒ a∈Ê
µ |a| > 1 ⇒ ÒÓ Ü ×Ø ×ÓÐÙ
Òº
µ |a| ≤ 1¸ ×
Ð Ò
ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò α ∈ [0, π]¸ ÕÙ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
α = arc cos aº
Ë Ò Ñ Ö Ó
ÓÑÓ Ð ÙÒ
Ò cos ÒÓ × Ô Ý
Ø Ú ¸ ×Ø ×ÓÐÙ
Ò
ÒÓ × Ò
º
Ä ×ÓÐÙ
Ò Ò Ö Ð ×Ù Ð ×
Ö Ö× Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
x = 2kπ ± α
ÓÒ k∈ º × ØÓÑ ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÓ× Ð × Ú ÐÓÖ × x
Ð Ô Ö Ó
Ó׺
¿º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð
Ù
Ò tan x = a ÓÒ a∈Ê
∀a ∈ ʸ ×
Ð Ò
ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò α ∈ (−π/2, π/2)¸ ÕÙ
ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ α = arctan aº
Ë Ò Ñ Ö Ó
ÓÑÓ Ð ÙÒ
Ò tan ÒÓ × Ô Ý
Ø Ú ¸ ×Ø ÒÓ × Ð Ò
×ÓÐÙ
Òº
Ä ×ÓÐÙ
Ò Ò Ö Ð ×Ù Ð ×
Ö Ö× Ò Ð
Ù
Ò
x = kπ + α ÓÒ k∈ .
ÓÒØ ÒÙ
Ò Ú ÑÓ× Ú Ö ¿ ÑÔÐÓ×
ÓÒ
Ö ØÓ× ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ
ÑÔÐÓ×
½º sen 2x + cos x = 0
¾º 1 + sen x + cos x + sen 2x + cos 2x = 0
¿º sen x + cos x = 1
½¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-129-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÅÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ô ×Ó Ô ×Ó
ÓÑÓ ÔÓ Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø ×
Ù
ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ¹
ØÖ
×
½µ sen 2x + cos x = 0
⇐⇒ 2 sen x cos x + cos x = 0
⇐⇒ cos x[2 sen x + 1] = 0
π π
µ cos x = 0 ⇒ α = 2 ⇒ x = 2kπ ± 2
µ 2 sen x + 1 = 0 ⇐⇒ sen x = −1/2, α = − π
6
π
x = kπ + (−1)k (− )
6
π
x = kπ − (−1)k
6
¾µ 1 + sen x + cos x + sen 2x + cos 2x = 0
⇔ 1 + sen x + cos x + 2 sen x + cos2 x − sen2 x = 0
⇔ sen x + cos x + 2 sen x cos x + 2 cos2 x = 0
⇔ [sen x + cos x] + 2 cos x[sen x + cos x] = 0
⇔ [sen x + cos x][1 + 2 cos x] = 0
È Ö ÕÙ ×ØÓ × Ø Ò ¸ Ð ÙÒÓ× ÐÓ× × Ù ÒØ ×
×Ó× × Ø Ò Ö
µ sen x + cos x = 0 ⇒ x = − cos x
⇒ tan = −1; α = − π 4
π
x = kπ −
4
µ 1 + 2 cos x = 0 ⇐⇒ cos x = −1/2; α = 2π/3
2π
x = 2kπ ±
3
¿µ sen x + cos x = 1
√ √ √
2 2 2
sen x( 2 )+ cos x( 2 ) = 2
sen x +π =
4 kπ + (−1)k π/4
⇒ x = kπ + (−1)π/4 = π/4
×Á k Ô Ö¸ x = 2kπ = 2nπ
×Á k ÑÔ Ö¸ x = kπ − π/2 = (2n − 1)π − π/2
½¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-130-320.jpg)
![Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ
ØØÔ »»ÛÛÛº ѺÙ
Ð º
л
Ð
ÙÐÓº
Ingeniería Matemática Ò
ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö
Ó×
FACULTAD DE CIENCIAS
Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ
Ò
ÁÒ Ò Ö ÅÖ
Ø Ñ
ÙØ Ð
Ö
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
× Ð Ò Ñ
Ð
ÙÖ×Óº
Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð
SEMANA 8: AXIOMA DEL SUPREMO
Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð
Ñ Ö Ò Ô Ö
ÓÒ¹
×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö
Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹
6. Acotamiento de subconjuntos de R Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹
Ò ØÙ× ÔÖÓÔ ×
6.1. Cota Superior e Inferior ÒÓØ
ÓÒ ×º
ÒØ × ÔÖ × ÒØ ÖÐ × Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ¸ Ü ÓÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸
ÑÓ× ×ØÙ Ö ÙÒ × Ö Ò
ÓÒ × ÕÙ × ÖÚ Ò Ô Ö
ÓØ Ö
ÓÒ ÙÒØÓ×
ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × Ò Ö ÓÖ ×¸ Ñ Ü ÑÓ× Ý Ñ Ò ÑÓ׸ ×ÙÔÖ ÑÓ× Ò ÑÓ׺
Ò
Ò º½ ´
ÓØ Ó ËÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ µº ÍÒ
ÓÒ ÙÒØÓ A ×
ÓØ Ó
×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ × Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð M ÕÙ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð
ÓÒ ÙÒØÓ A¸ ×
Ö
(∃M ∈ R) (∀x ∈ A) Ø Ð ÕÙ x ≤ M.
×Ø Ò Ñ ÖÓ M ¸ × Ð ÐÐ Ñ Ö
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A.
Ç × ÖÚ
Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö Ð Ñ ÝÓÖ ÕÙ M¸ Ø Ñ Ò × Ö ÙÒ
ÓØ
×ÙÔ Ö ÓÖ A.
Ò
Ò º¾ ´
ÓØ Ó ÁÒ Ö ÓÖÑ ÒØ µº ÍÒ
ÓÒ ÙÒØÓ A ×
ÓØ Ó
Ò Ö ÓÖÑ ÒØ × Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð m ÕÙ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ×
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ A¸ ×
Ö
(∃m ∈ R) (∀x ∈ A) Ø Ð ÕÙ m ≤ x.
×Ø Ò Ñ ÖÓ m × Ð ÐÐ Ñ Ö
ÓØ Ò Ö ÓÖ A.
Ç × ÖÚ
Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö Ð Ñ ÒÓÖ ÕÙ m¸ Ø Ñ Ò × Ö ÙÒ
ÓØ
Ò Ö ÓÖ A.
Ò
Ò º¿º ÍÒ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ×
ÓØ Óº
ÑÔÐÓ×
½º A = (−∞, 5)º ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ ×
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÙÒ
ÓØ
× 5¸ Ý
×ÙÔ Ö ÓÖ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ Ð ×
ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × [5, ∞)º
×
ÆÓ Ý
ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × m < 5¸ Ý ÕÙ × ÑÔÖ Ü ×Ø ε > 0 Ø Ð
ÕÙ m+ǫ∈A Ý m < m + εº
Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ×
ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÙ × Ó ÙÒ Ö Ð m < 5¸
ÙÒ
ÓØ Ò Ö ÓÖ Ô Ö m × Ö m − 1¸ Ô ÖÓ m − 1 ∈ A.
¾º A = [−1, 3] . ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ ×
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º Ð
ÓÒ ÙÒØÓ Ð ×
ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × × Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [3, ∞)º Ð Ð ×
ÓØ × Ò Ö ÓÖ × × Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, −1] .
½¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-138-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ç × ÖÚ
Ò ÍÒ ÓÖÑ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÙÒ Ö Ð c × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ
Ô Ö ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ A¸ × ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò Ò Ò Ö Ð x>c Ô ÖØ Ò
A.
ÑÔÐÓ º½º
A = x ∈ R : x2 ≤ 2
3 3 3 2
Î ÑÓ× × c =
2 ×
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Aº Ë x > 2, ÒØÓÒ
× x2 > 2 =
9
4 > 2. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ x ∈ A. ×ØÓ ÕÙ
/ Ö
Ö ÕÙ Ò Ò Ò Ö Ð Ñ ÝÓÖ ÕÙ
3
×Ø Ö Ò A.
2 ÔÙ
6.1.1. Máximo y Mínimo
Ò
Ò º ´Å Ü ÑÓµº Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× Ñ Ü ÑÓ¸ ×
ÔÓ× ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ ÕÙ Ô ÖØ Ò
Ð
ÓÒ ÙÒØÓº
Ò
Ò º ´Å Ò ÑÓµº Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× Ñ Ò ÑÓ¸ ×
ÔÓ× ÙÒ
ÓØ Ò Ö ÓÖ ÕÙ Ô ÖØ Ò
Ð
ÓÒ ÙÒØÓº
Ç × ÖÚ
Ò
×Ø × Ó× Ò
ÓÒ × ÒÓ×
Ò ÕÙ Ð Ñ Ü ÑÓ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ × Ð
Ñ ÝÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ Ý ÕÙ Ð Ñ Ò ÑÓ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ × Ð
Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ð
ÓÒ ÙÒØÓº
Ë Ð Ñ Ü ÑÓ Ü ×Ø ¸ ×Ø × Ò
Óº ÄÓ Ñ ×ÑÓ Ó
ÙÖÖ
ÓÒ Ð Ñ Ò ÑÓº
ÑÔÐÓ º¾º
½º A = (−∞, 5) . ÆÓ ÔÓ× Ñ Ü ÑÓ¸ Ý ÕÙ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ × Ð ×
ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × × [5, ∞) Ý (−∞, 5] ∩ [5, ∞) = ∅º
¾º A = [−1, 3] . ÈÓ×
ÓÑÓ Ñ Ò ÑÓ −1 Ý
ÓÑÓ Ñ Ü ÑÓ 3.
6.1.2. Supremo e Infimo
Ò
Ò º ´ËÙÔÖ ÑÓµº Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓ¸
× Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð s ÕÙ × Ø ×
Ð × Ó× × Ù ÒØ ×
ÓÒ
ÓÒ ×
½º s × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A.
¾º Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A × Ñ ÝÓÖ ÕÙ s.
ÆÓØ
Ò Ð ×ÙÔÖ ÑÓ A, × ÒÓØ ÔÓÖ sup A.
Ò
Ò º ´ Ò ÑÓµº Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× Ò ÑÓ¸ ×
Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð u ÕÙ × Ø ×
Ð × Ó× × Ù ÒØ ×
ÓÒ
ÓÒ ×
½º u × ÙÒ
ÓØ Ò Ö ÓÖ A.
¾º Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ
ÓØ Ò Ö ÓÖ A × Ñ ÒÓÖ ÕÙ u.
ÆÓØ
Ò Ð Ò ÑÓ A, × ÒÓØ ÔÓÖ ´ A.
ınf
½¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-139-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÑÔÐÓ º¿º
½º A = (−∞, 5) . Ì Ò
ÓÑÓ ×ÙÔÖ ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ 5¸ Ý ÕÙ 5 ×
ÓØ
×ÙÔ Ö ÓÖ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ Ý
Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A × Ö
Ñ ÝÓÖ ÕÙ 5. ÆÓ Ø Ò Ò ÑÓ ÔÙ × ÒÓ ×Ø
ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º
¾º A = [−1, 3] . ×Ø
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ý Ø Ò −1
ÓÑÓ Ò ÑÓ Ý 3
ÓÑÓ ×ÙÔÖ ÑÓ ´−1 × Ñ Ò ÑÓ Ý 3 × Ñ Ü ÑÓ µº
6.2. Características de intervalos
Ê ×ÙÑ ÑÓ× ÓÖ Ð ×
Ö
Ø Ö ×Ø
× ÒØ Ö ÓÖ × Ò Ð
×Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ׸
Ó× a, b ∈ Ê
ÓÒ a<b
Ñ Ò Ñ Ü Ò ×ÙÔ
[a, b] a b a b
(a, b) ∄ ∄ a b
[a, b) a ∄ a b
(a, b] ∄ b a b
(−∞, b] ∄ b ∄ b
(−∞, b) ∄ ∄ ∄ b
(a, ∞) ∄ ∄ a ∄
[a, ∞) a ∄ a ∄
ÉÙ ÔÖÓÔÙ ×ØÓ
ÓÑÓ Ö
Ó¸ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ð Ø Ð ÒØ Ö ÓÖº
6.3. Propiedades del supremo
Ç × ÖÚ
Ò Ë ÑÔÖ × Ø Ò Ö ÕÙ × Ð Ñ Ò ÑÓ m ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ A
Ü ×Ø ÒØÓÒ
× Ð Ò ÑÓ u A Ø Ñ Ò Ü ×Ø Ý ×ÓÒ Ù Ð ×º ×ØÓ × ÔÓÖ¹
ÕÙ ¸ Ð Ñ Ò ÑÓ m × ÙÒ
ÓØ Ò Ö ÓÖ A Ý ÔÓÖ Ð Ò
Ò Ò ÑÓ
Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ m < u.
ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸
ÓÑÓ m Ô ÖØ Ò
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ¸ ØÓ
ÓØ Ò Ö ÓÖ × Ö
Ñ ÒÓÖ Õ٠и Ò Ô ÖØ
ÙÐ Ö Ð Ò ÑÓ u, ×
Ö u < m. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ m = u.
ÄÓ Ñ ×ÑÓ × Ø Ò Ö Ô Ö Ñ Ü ÑÓ Ý ×ÙÔÖ ÑÓº
ÈÖÓÔ × º Ë Ò A Ý B Ó×
ÓÒ ÙÒØÓ׸ Ò ÑÓ× A+B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}
Ý A · B = {x · y : x ∈ A, y ∈ B}¸ ÒØÓÒ
×
sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
sup(A · B) = sup(A) · sup(B). È Ö A, B ⊆ [0, ∞)º
ÑÓ×ØÖ
Òº Ë ÐÓ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ¸ Ð × ÙÒ
ÕÙ Ö
ÓÑÓ Ö
Óº
ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ð ÔÖÑ Ö ÔÖÓÔ ÑÓ×ØÖ Ò Ó Ð × Ó× × Ù Ð ×
ÕÙ ÒÓ× Ö Ò Ð Ù Ð º
ÈÖ Ñ ÖÓ sup(A + B) ≤ sup(A) + sup(B) : ÍÒ Ð Ñ ÒØÓ A + B × ×
Ö
ÓÑÓ x+y, Ý ×Ø Ò Ñ ÖÓ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ sup(A)+sup(B), ÔÙ × x ≤ sup(A)
½¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-140-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
y ≤ sup(B). ÓÒ ÐÓ
Ù Ð Ø Ò ÑÓ× ÕÙ sup(A) + sup(B) × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ
A + Bº
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÒØÓÒ
× Ð ×ÙÔÖ ÑÓ A+B × Ö Ñ ÒÓÖ ÕÙ
sup(A) + sup(B). ÄÙ Ó × Ø Ò Ð × Ù Ð sup(A + B) ≤ sup(A) +
sup(B).
Ë ÙÒ Ó sup(A + B) ≥ sup(A) + sup(B) : Ë ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x ∈ A
y ∈ B, x + y ≤ sup(A + B), ×
Ö Ô Ö ØÓ Ó x ∈ A × Ø Ò x ≤
sup(A + B) − y, ÐÓ ÕÙ ÕÙ Ú Ð
Ö ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó y ∈ B, × Ø Ò ÕÙ
Ð Ö Ð sup(A + B) − y ¸ ×
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A. ÒØÓÒ
× Ô Ö ØÓ Ó y ∈ B
× Ø Ò ÕÙ sup(A) ≤ sup(A + B) − y. ÓÑÓ × Ô Ö ØÓ Ó y ∈ B, ÒØÓÒ
×
Ø Ò ÑÓ× y ≤ sup(A + B) − sup(A). ÄÙ Ó sup(B) ≤ sup(A + B) − sup(A).
ÓÒ ÐÓ
Ù Ð × Ø Ò Ð ÓØÖ × Ù Ð º
6.4. Axioma del Supremo
Ò Ð Ô ÖØ ÒØ Ö ÓÖ Ú ÑÓ× ÕÙ Ý
ÓÒ ÙÒØÓ×
ÓØ Ó× ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÕÙ
ÒÓ ÔÓ× Ò Ñ Ü ÑÓº Ò ×ØÓ×
×Ó×
ÓÑÓ Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, 5) ,
Ð
Ò ØÓ × Ö Ñ Ü ÑÓ Ö 5, Ô ÖÓ ×Ø ÒÓ Ô ÖØ Ò
Ð
ÓÒ ÙÒØÓº
Ë Ò Ñ Ö Ó ÒÙ ×ØÖ ÒØÙ
Ò ÒÓ×
ÕÙ ØÓ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ¹
Ñ ÒØ ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓº
Ó¸ Ð Ò
ÓÖÑ ÕÙ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ ÔÓ×
×ÙÔÖ ÑÓ Ô Ö
× Ö¸ ÕÙ ÒÓ ×
ÓØ Óº
Ë Ò Ñ Ö Ó ×Ø ÒØÙ
Ò ÒÓ × ÔÙ Ù
Ö Ð × ÔÖÓÔ × ÐÓ×
Ö Ð ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Ö Ö
ÓÑÓ Ü ÓÑ º
Ü ÓÑ º ´ Ü ÓÑ Ð ËÙÔÖ ÑÓµ ܺ º ËÙÔÖ ÑÓ
ÌÓ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú
Ó Ý
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓ× ÙÒ ×ÙÔÖ ÑÓº
Ç × ÖÚ
Ò
Ë ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ØÓ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú
Ó
ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ
ÔÓ× Ò ÑÓº Ò
ØÓ¸ ×Ø Ú Ö
Ö ÕÙ ınf(A) = − sup(−A)º
´
ÆÓ ×
ÖØ Ð ÔÖÓÔ × ×
Ñ ×ÙÔÖ ÑÓ ÔÓÖ Ñ Ü ÑÓº Ò
ØÓ
(−∞, 5) ÒÓ Ø Ò Ñ Ü ÑÓ Ô ÖÓ × ×ÙÔÖ ÑÓº
6.5. Aplicaciones del Axioma de Supremo
ÔÐ
Ò ½
È Ö ÐÙ×ØÖ Ö ÙÒ Ð × ÔÐ
ÓÒ × Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ¸ Ú ÑÓ× Ò Ö
Ð Ô ÖØ ÒØ Ö ÙÒ Ö Ð x > 0.
Ò
Ò º ´È ÖØ ÒØ Ö µº Ä Ô ÖØ ÒØ Ö ÙÒ Ö Ð x > 0¸ ×
Ò Ö
ÓÑÓ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ A = {n ∈ N : n ≤ x} . ×ØÓ ×Ø Ò
Ò Ó ÔÙ × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ A ×
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ x Ý Ñ × 0 ∈ Aº
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÓÖ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ¸ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓº ×Ø
×ÙÔÖ ÑÓ × Ö ÒÓØ Ó ÔÓÖ [x] Ý × ÐÐ Ñ Ö
Ò Ò Ö ÓÖ x Ó Ô ÖØ
ÒØ Ö x.
½ ¼](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-141-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÑÔÐÓ º º
Ä Ô ÖØ ÒØ Ö Ð Ö Ð 3, 5 × [3, 5] = 3.
ÓÖ Ú ÑÓ× ÕÙ [x] × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ðº
1
ÓÑÓ [x] = sup(A), Ð Ö Ð [x] − , ÒÓ ÔÙ × Ö ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A.
2
1
ÄÙ Ó Ü ×Ø Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ n0 Ò A Ø Ð ÕÙ [x]− < n0 º ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸
2
ÓÑÓ [x] × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A × Ø Ò ÕÙ n0 ≤ [x] .
Î ÑÓ× ÕÙ n0 × ÙÒ Aº ×ØÓ ÐÓ Ø Ò Ö ÑÓ× × ØÓ Ó Ò ØÙÖ Ð
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ
n ÕÙ × Ñ ÝÓÖ n0 ¸ ÒÓ Ô ÖØ Ò
×ØÖ
ØÓ ÕÙ A.
1
Ë n > n0 , × Ù
ÕÙ n ≥ n0 + 1. È ÖÓ × ÑÓ× ÕÙ n0 + 1 > [x] + º
2
1
ÓÒ ×ØÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ n > [x] + 2 > [x]º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ n × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð
×ÙÔÖ ÑÓ A Ý ÒØÓÒ
× n ∈ A. ÓÒ ×ØÓ
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ n0 × ÙÒ
ÓØ
/
×ÙÔ Ö ÓÖ A. ÓÑÓ n0 ∈ A¸
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ × ÙÒ Ñ Ü ÑÓ Ý ÔÓÖ Ò ×
Ù Ð [x] .
Ç × ÖÚ
Ò ÍÒ
ÓÒ×
Ù Ò
ÑÔÓÖØ ÒØ ×ØÓ ÐØ ÑÓ × ÕÙ [x] ≤
x < [x] + 1.
ÔÐ
Ò ¾
ÇØÖ ÓÖÑ ÙØ Ð Þ Ö Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ × Ù
Ö ÔÖÓÔ ×
Ö
R.
Ì ÓÖ Ñ º½º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × ÒÓ× ×ÓÒ
ÓØ Ó× ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º
ÑÓ×ØÖ
Òº ÄÓ Ö ÑÓ× ÔÓÖ
ÓÒØÖ
Ò¸ ×
Ö¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ
N ×
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ×ØÓ ÑÔÐ
Ö ÔÓÖ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ
ÕÙ N ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓ¸ Ð
Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× sº È Ö ×Ø ×ÙÔÖ ÑÓ × Ø Ò Ö
ÕÙ [s] ≤ s < [s] + 1, ÓÒ [s] + 1 ∈ N. ÄÓ
Ù Ð
ÓÒØÖ
ÕÙ s ×
ÓØ
×ÙÔ Ö ÓÖ N.
Ì ÓÖ Ñ º¾ ´ÈÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò µº Ð
ÓÒ ÙÒØÓ R × ÖÕÙ Ñ ¹
ÒÓ¸ ×
Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó Ö Ð x > 0¸ Ü ×Ø ÙÒ Ò ØÙÖ Ð n ∈ N¸ Ø Ð ÕÙ
n · x > 1.
ÑÓ×ØÖ
Òº ÄÓ Ö ÑÓ× ÔÓÖ
ÓÒØÖ
Ò¸ ×
Ö¸ × ÒÓ × ØÙÚ × Ð
ÔÖÓÔ ¸ Ü ×Ø Ö ÙÒ Ö Ð ÔÓ× Ø ÚÓ xØ Ð ÕÙ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ {n · x : n ∈ N} ,× Ö
L
ÓØ Ó ÔÓÖ 1, × Ò Ó ÒÓ Ú
Ó¸ Ø Ò Ö ÙÒ ×ÙÔÖ ÑÓ L. È ÖÓ ÒØÓÒ
×
x × Ö
ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ò ØÙÖ Ð ×¸ ÐÓ
Ù Ð
ÓÒØÖ
Ð Ø ÓÖ Ñ Ö
Ò
Ú ×ØÓº
Ç × ÖÚ
Ò Ð ÐØ ÑÓ Ø ÓÖ Ñ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö×
ÓÑÓ ×ÙÑ Ö ÙÒ
ÒØ ×Ù
ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ú
× x
ÓÒ× Ó Ñ ×ÑÓ ÓÖ Ò ÙÒ
Ö Ð ÕÙ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ 1, × Ò ÑÔÓÖØ Ö ÕÙ Ø Ò Ô ÕÙ Ó × x. Ñ × Ð
Ú ÐÓÖ 1 ÔÙ
Ñ Ö× ÔÓÖ
Ù ÐÕÙ Ö Ö Ð ÔÓ× Ø ÚÓº
½ ½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-142-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÑÔÐÓ º º
ınf 1
´ n , n ∈ Æ = 0º Ë ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ×ØÓ ÒÓ ×
ÖØÓ¸ ×
Ö Ü ×Ø
1
m > 0 Ø Ð ÕÙ ∀n ∈ Æ, m ≤ nº
ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò ¸ Ü ×Ø n0 ∈ Æ Ø Ð ÕÙ mn0 > 1¸ ÐÓ
Ù Ð
1
ÕÙ Ú Ð m> n0 º ÄÓ
Ù Ð × ÙÒ
ÓÒØÖ
Òº
Ì ÓÖ Ñ º¿ ´∗µº ÄÓ× Ö
ÓÒ Ð × ×ÓÒ Ò×Ó× Ò ÐÓ× Ö Ð ×º ×ØÓ × Ò
ÕÙ Ó× Ó× Ö Ð × x, y
ÓÒ x < y, ÒØÓÒ
× Ü ×Ø ÙÒ Ö
ÓÒ Ð r Ø Ð ÕÙ
x < r < y.
x+y
ÑÓ×ØÖ
Òº ¹ Ë x y ×ÓÒ Ö
ÓÒ Ð × ÔÓ ÑÓ× ×
Ó Ö r= 2 .
¹ Ë Ð ÙÒÓ ÐÐÓ× ÒÓ × Ö
ÓÒ Ð Ò Ð Þ Ö ÑÓ× Ó× × ØÙ
ÓÒ ×
ÈÖ Ñ ÖÓ¸ × y−x ≥ 1 y ÒÓ Ö
ÓÒ Ð¸ ÒØÓÒ
× ÔÓ ÑÓ×
ÓÒ ×
Ó Ö
r = [y]º ÈÙ × × x ≤ y − 1 < r = [y] < y. Ë y × Ö
ÑÓ× ÕÙ
ÓÒ Ð¸
ÒØÓÒ
× ÔÓ ÑÓ× ×
Ó Ö r = [x] + 1, ÔÙ × Ò ×Ø
×Ó Ø Ò ÑÓ×
x < [x] + 1 = r ≤ x + 1 < y º
n
Ë ÙÒ Ó¸ × y−x<1
ÓÒ y ÒÓ Ö
ÓÒ Ð¸ ÔÓ ÑÓ× Ò Ö r= m ¸
ÓÒ
1
m= y−x + 1 Ý n = [my] . Ë r × Ø ×
Ð ÔÖÓÔ
ÑÙ ×ØÖ ÕÙ
×Ø Ð
Ò Ó Ð × Ù ÒØ × Ö Ð
ÓÒ × my − mx > 1 ´× Ó Ø Ò
1
m> y−x µ n + 1 > my ¸ ÒØÓÒ
× my > n > mx ´y ÒÓ × Ö
ÓÒ Ðµº
ÔÐ
Ò ¿
ÇØÖ ÔÐ
Ò × Ó
ÙÔ Ö Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ
ÓÑÓ
ÓÒ×ØÖÙ
ØÓÖ
Ò Ñ ÖÓ׺
Î ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ö ÓÖ × Ô Ö Ò Ö Ð Ö Þ
Ù Ö
ÙÒ Ò Ñ ÖÓº Ù×
Ö ÑÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ s>0 Ø Ð ÕÙ s2 = 2.
2
ÓÒ× Ð
ÓÒ ÙÒØÓ A = r ∈ R : r ≤ 2 .
Ö ÑÓ× ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ú ÑÓ× ÕÙ
3
ÕÙ A ×
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ ¸ Ñ × A × ÒÓ Ú
Ó ÔÙ × 0 ∈ A.
2
ÈÓÖ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ A ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓº ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ×
2 2
ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ó
ÙÖÖ Ö ÕÙ s < 2¸ Ò Ø ÑÔÓ
Ó ÕÙ s > 2.
ÆÓ ÔÙ Ó
ÙÖÖ Ö ÕÙ s2 < 2
ÈÖÓ ÑÓ× ÕÙ × s2 < 2 ¸ ÒØÓÒ
× ∃ε ∈ (0, 1) Ø Ð ÕÙ (s + ε)2 < 2º Ò
ØÓ
(s + ε)2 = s2 + 2sε + ε2
≤ s2 + (2s + 1)ε
½ ¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-143-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Ù Ö
Ó×
½º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ m´ 1
ın{x, y} = 2 (x + y − |x − y|)º
¾º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ a 1
m´x{x, y} = 2 (x + y + |x − y|)º
¿º È Ö
ÙÒÓ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
ÓÒ ÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò ×Ù
ÓØ Ñ ÒØÓ¸ Ð
Ü ×Ø Ò
Ò ÑÓ× Ý ×ÙÔÖ ÑÓ× Ý Ð Ü ×Ø Ò
Ñ Ò ÑÓ× Ý Ñ Ü ÑÓ׺
´ µ {x ∈ Ê : |x| ≥ a}º
´ µ {x ∈ Ê : |x2 + 3x| < 4}º
´
µ 1
{x ∈ Ê : x + x < 2}º
´ µ {x ∈ Ê : [x] < 2}¸ ÓÒ [x] × Ð Ô ÖØ ÒØ Ö xº
´ µ {x ∈ : x2 < 7}º
´µ {x ∈ : 2x > 2}º
√ √
´ µ A = É ∩ [− 2, 2)º
´ µ {x ∈ É : x2 ≤ x + 1}º
´µ 1
{ n , n ∈ Æ∗ } º
´µ 1
{(−1)n + n : n ∈ Æ∗ }º
´ µ 1 1
{x ∈ Ê : ∃n ∈ Æ, x ∈ [1 − n , 1 + n ]}º
´Ðµ {x ∈ Ê : ∃n ∈ Æ, x · n > 1}º
º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ [0, 1) ÒÓ Ø Ò Ñ Ü ÑÓº
º Ë A ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú
Ó Êº Ë a ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖA Ý c ≥ 0º
ÈÖÙ ÕÙ ca × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ {cx : x ∈ A} ´ÕÙ ×
ÒÓØ cAµº Ð
ÙÐ sup(cA) Ò Ø ÖÑ ÒÓ× sup(A) Ý cº
º Ë Ò AÝB ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú
Ó× Ê+ º Ë a ÙÒ
ÓØ Ò Ö ÓÖ A
Ý b ÙÒ
ÓØ Bº
Ò Ö ÓÖ
ÑÙ ×ØÖ ÕÙ a + b × ÙÒ
ÓØ Ò Ö ÓÖ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ {x+ y : x ∈ A, y ∈ B}¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ A+ B º Ð
ÙÐ ´
ınf(A+ B)
Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ´ınf(A) Ý ´ınf(B)º
º Ë Ò A Ý B ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú
Ó× Êº ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × a × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ A Ý b × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ B
ÒØÓÒ
× m´x{a, b} × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ
a A B Ý m´ ın{a, b} × ÙÒ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A Bº Ð
ÙÐ sup(A B) Ý sup(A ∩ B)¸ Ò Ø ÖÑ ÒÓ×
sup(A) Ý sup(B)º
√
º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ 5 × ÖÖ
ÓÒ Ðº
½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-149-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Ù ÈÖÓ Ð Ñ ×
Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ
× Ð Ø ÔÓ
ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö
Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ
Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ
ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй
Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö
ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ ×
Ð
Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð
Ð × ØÖ Ó
Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ ×
Ö Ö
ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ ×º
Ƚº ´½¼ Ñ Òºµ ÈÖÓ Ö ÕÙ ınf{ 1
´ 2n+1 : n ∈ Æ} = 0º
Ⱦº ´¿¼ Ñ Òºµ Ë f ÙÒ ÙÒ
Ò
Ö
ÒØ
ÙÝÓ ÓÑ Ò Ó × Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, 1]º
ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ f ([0, 1]) ×
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ð
ÙÐ
Ð ×ÙÔÖ ÑÓ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ f ([0, 1]) Ý Ø ÖÑ Ò × ÔÓ× Ñ Ü ÑÓº
È¿º ´¿¼ Ñ Òºµ a Ý b Ö Ð ×¸
Ó× ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × Ô Ö
Ù ÐÕÙ Ö ǫ>0
×
ÙÑÔÐ a ≤ b + ǫ ÒØÓÒ
ÕÙ × a ≤ bº È Ö Ö ÙÑ ÒØ Ö¸ ×ØÙ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ {ǫ > 0 : ǫ ≥ a − b}º
È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò S Ý T ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú
Ó× ÊØ Ð × ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó
x∈S Ý Ô Ö ØÓ Ó y ∈ T x ≤ y º ÈÖÓ Ö ÕÙ S Ø Ò ×ÙÔÖ ÑÓ¸ ÕÙ T
Ø Ò Ò ÑÓ Ý ÕÙ sup(S) ≤ ´nf(T )º
ı
È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò AÝB ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú
Ó× Ê¸ ÐÓ×
Ù Ð ×Ú Ö
Ò
Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ ×
´ µ A ∪ B = ʺ
´ µ ÌÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ A × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ B
ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð α ÕÙ × × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ
A Ý
ÓØ Ò Ö ÓÖ Bº ÈÖÙ ¸ Ñ ×¸ ÕÙ
Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð α
× Ò
Óº
È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò A, B C ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ×
Ý Ê ÒÓ Ú
Ó× Ý
ÓØ Ó׺
ÈÖÙ ÕÙ × Ô Ö x ∈ A Ý ØÓ Ó y ∈ B Ü ×Ø z ∈ C Ø Ð
ØÓ Ó ÕÙ
x+y ≤z ÒØÓÒ
× sup(A) + sup(B) ≤ sup(C)º
È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë A⊆Ê ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ý Ø Ð ÕÙ ×Ù
ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ×
ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º ÅÙ ×ØÖ ÕÙ ınf(Ac ) = sup(A)
´
× Ý × ÐÓ × A = (−∞, a] Ó A = (−∞, a)
ÓÒ a ∈ ʺ
½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-150-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
sn = (−1)n
(sn ) = (1, ∃, 1, ∃, 1, ∃, 1, . . .)
×Ø ÙÒ
Ò ÒÓ ×Ø Ò Ô Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × n ÑÔ Ö Ý ×ØÓ ÒÓ
× ÙÒ
ÒØ Ò Ø Ø ÖÑ ÒÓ׺ ×
Ö¸ ÒÓ × ÙÒ ×Ù
× Òº
Ç × ÖÚ
Ò Ä × ×Ù
× ÓÒ ×
ÓÑÓ
Ù ÐÕÙ Ö ÙÒ
Ò ÔÙ Ò Ö
Ö× Ò
ÙÒ × ×Ø Ñ
ÓÓÖ Ò Ó{OXY }º Ë Ò Ñ Ö Ó ×Ø Ñ ØÓ Ó × ÔÓ
Ó ÙØ Ð Þ Ó
Ý ÕÙ ×Ù× ÓÑ Ò Ó× ×ÓÒ × ÑÔÖ N ÕÙ × ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ× ×Ð Ó׺
Ñ × ×Ø Ø ÔÓ Ö
Ó ÒÓ ÔÖ × ÒØ ÒØ Ö × ÔÖ
Ø
Ó
ÓÑÓ × Ú Ö Ñ ×
Ð ÒØ Ò Ð × ÔÐ
ÓÒ ×º
Ð Ø ÔÓ Ö
Ó Ñ × ÙØ Ð Þ Ó
ÓÒ× ×Ø Ò Ö
Ö × ÐÓ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ Ñ Ò
Ò ÙÒ Ö
Ø ¸ Ò
Ò Ó ×Ó Ö
ÔÙÒØÓ Ð ÓÖ Ò
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ º
7.1. Convergencia de sucesiones
Ò
Ò º¾ ´ ÓÒÚ Ö Ò
´ Ò
Ò Ò ÓÖÑ Ðµµº Ë (sn ) ÙÒ ×Ù¹
× Ò Ö Ð Ý × ℓ ∈ Rº Ö ÑÓ× ÕÙ (sn )
ÓÒÚ Ö ℓ¸ Ó Ò ÕÙ ÐÓ× Ø Ö¹
Ñ ÒÓ× sn Ø Ò Ò ℓ ´ÐÓ ÕÙ × ÒÓØ sn → ℓµ¸ × Ó
Ù ÐÕÙ Ö ÒØ ÖÚ ÐÓ
ÖÖ Ó Ð Ø ÔÓ [ℓ − ε, ℓ + ε]
ÓÒ ε > 0¸ × ÐÓ ÙÒ
ÒØ ÒØ Ø ÖÑ ÒÓ×
Ð ×Ù
× Ò ÕÙ Ò Ù Ö Ðº ×
Ö¸ ØÓ Ó Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ×
×Ø ×Ù
× Ò ×Ø Ò ÒØÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓº
ÑÔÐÓ º½º
1
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ×Ù
× Ò (sn ) Ò ÔÓÖ sn = n ¸ ×
Ö (sn ) = (
∃, 1, 1 , 1 ,
2 3
1 1 1
4 , 5 , 6 , . . .)º
× ÑÔÐ Ú ×Ø Ô Ö
Ö ÕÙ Ð
Ö
Ö n¸ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × sn × Ô Ö
Ò
Ú Þ Ñ × 0º
×ØÓ ÒÓ× ØÖ × Ö × ×Ó×Ô
× ÕÙ ×Ø ×Ù
× Ò Ø Ò ℓ = 0º
È Ö Ú Ö
Ö ×ØÓ¸
ÓÒ× Ö ÑÓ× ε > 0 Ö ØÖ Ö Ó Ý Ò Ð
ÑÓ×
Ù Ð ×
Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù
× Ò ÕÙ Ò ÒØÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0 − ε, 0 + ε] Ý
Ù Ð ×
ÕÙ Ò Ù Ö º
Î ÑÓ× ÕÙ sn ∈ [−ε, ε] ⇐⇒ −ε ≤ sn ≤ ε
1
⇐⇒ −ε ≤ n ≤ ε
1
⇐⇒ n ≤ ε
⇐⇒ n ≥ 1.
ε
Ä ÐØ Ñ × Ù Ð × Ú Ö
∀n¸ × ÐÚÓ Ô Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓº ÓÒ
×ØÓ¸ ×
Ð ÖÓ ÕÙ × ÐÓ ÙÒ
ÒØ Ò Ø Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù
× Ò
ÕÙ Ò Ù Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [−ε, ε]¸ ÕÙ Ò Ó ØÓ Ó Ð Ö ×ØÓ ÒØÖÓ Ðº
× ÑÔÓÖØ ÒØ Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ð Ñ ÕÙ ε × Ñ × Ý Ñ × Ô ÕÙ Ó¸
Ð Ò Ñ ÖÓ Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù
× Ò ÕÙ ÕÙ Ò Ù Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ
[−ε, ε] ×
Ú Þ Ñ × Ö Ò ¸ × Ò Ñ Ö Ó × ÑÔÖ × Ö Ò ÙÒ
ÒØ
Ò Ø º
½ ½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-152-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
È Ö ÓÖÑ Ð Þ Ö Ð Ò
Ò Ò ÓÖÑ Ð ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ × Ü¹
ÔÐ
Ø Ö ÕÙ × Ò
¸ Ñ Ø Ñ Ø
Ñ ÒØ ¸ ÕÙ × ÐÓ ÙÒ
ÒØ Ò Ø
Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù
× Ò ÕÙ Ò Ù Ö [ℓ − ε, ℓ + ε] º ×ØÓ ×
×
Ö ¹
Ò Ó ÕÙ Ô ÖØ Ö ÙÒ
ÖØÓ Ø ÖÑ ÒÓ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÕÙ × Ù Ò ×Ø Ò ÒØÖÓ
Ð ÒØ ÖÚ ÐÓº ×
Ö¸
(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) sn ∈ [ℓ − ε, ℓ + ε].
ÓÒ ×Ø
ÓÒ× Ö
Ò¸ Ð Ò
Ò ÓÖÑ Ð
ÓÒÚ Ö Ò
× Ð ÕÙ × Ù
Ò
Ò º¿ ´ ÓÒÚ Ö Ò
µº Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù
× Ò (sn )
ÓÒÚ Ö
ℓÓ Ò ÕÙ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× sn Ø Ò Ò ℓ ´ÐÓ
Ù Ð ÒÓØ Ö ÑÓ× sn → ℓµ ×
×
ÙÑÔÐ ÕÙ
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) sn ∈ [ℓ − ε, ℓ + ε].
Ç × ÖÚ
Ò Ä × × Ù ÒØ × ÜÔÖ × ÓÒ × ×ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ð ÒØ Ö ÓÖ
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) ℓ − ε ≤ sn ≤ ℓ + ε
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) |sn − ℓ| ≤ ε
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) |sn − ℓ| < ε
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ R)(∀n ≥ n0 ) |sn − ℓ| ≤ ε
Ç × ÖÚ
Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ℓ − ε, ℓ + ε] ×Ù Ð ÐÐ Ñ Ö× Ò Ð
ÓÒØ ÜØÓ Ð
ÌÓÔÓÐÓ ¸ Ú
Ò Ò ØÓÖÒÓ ℓº ÄÙ Ó¸
Ö ÕÙ sn → ℓ × ÕÙ Ú Ð ÒØ
Ö ÕÙ Ô ÖØ Ö
ÖØÓ Ò ØÙÖ Ð n0 ´ ×
Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó n ≥ n0 µ¸ ÐÓ×
Ø ÖÑ ÒÓ× sn ×Ø Ò ØÓ Ó× ÒØÖÓ ×Ø Ú
Ò Ò ØÓÖÒÓ ℓº
Ð
ØÓÖ |sn − ℓ| × Ð ×Ø Ò
ÒØÖ sn Ý ℓ¸ ÐÙ Ó
Ö ÕÙ sn → ℓ ×
ÕÙ Ú Ð ÒØ
Ö ÕÙ Ô ÖØ Ö
ÖØÓ n0 Ð ×Ø Ò
ÒØÖ sn Ý ℓ ×
Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ εº ÓÑÓ ×ØÓ ÐØ ÑÓ Ó
ÙÖÖ Ö ∀ε¸ ×
ÓÒ
ÐÙÝ ÕÙ
Ù Ò Ó sn → ℓ ¸ Ð ×Ø Ò
ÒØÖ sn Ý ℓ ÔÙ
Ö× Ø Ò Ô ÕÙ
ÓÑÓ
× × º
Ù Ò Ó ÙÒ ×Ù
× Ò ÒÓ
ÓÒÚ Ö Ö Ð Ð ÙÒÓ¸ ×
ÕÙ × ÙÒ ×Ù
× Ò
Ú Ö ÒØ º
ÑÔÐÓ×
ÈÖÓ Ö ÕÙ 1
n → 0ÈÓÖ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥
1
n0 ) | n − 0| ≤ ε.
½ ¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-153-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÓÑÓ
1 1
−0 ≤ε ⇐⇒ ≤ε
n n
1
⇐⇒ n≥ ,
ε
1
×Ø ØÓÑ Ö n0 = ε + 1¸ Ý × Ø Ò Ö ÕÙ
1
n ≥ n0 ⇒ n ≥ .
ε
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ò Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ø Ñ Ò ÔÙ Ó Ö× Ð Ó
n0 = 1 + 1000 ´Ó Ð Ó × Ñ Ð Öµº ÆÓØ ÑÓ× ÒØÓÒ
× ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ
ε
n0 ÒÓ × Ò
Ó¸ Ý ÕÙ ØÓÑ Ö
Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ú ÐÓÖ Ñ ÝÓÖ ÕÙ
и Ø Ñ Ò × Ø Ð Ô Ö Ð ÔÖÙ º ×
Ö¸ Ò Ð ÑÓ×ØÖ
Ò
Ð
ÓÒÚ Ö Ò
× ÐÓ ÑÓ× ÔÖÓ Ö Ð Ü ×Ø Ò
Ð Ò n0 ¸
× Ò Ó ÕÙ Ö Ò ÓØÖÓ× ÕÙ Ø Ñ Ò ÔÙ Ò × Ö Ù× Ó׺
× ÔÓ× Ð Ö ÙÒ ÑÓ×ØÖ
Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö
ÓÖ Ò Ó ÕÙ Ð
ÔÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N) n0 ε > 1.
ÆÓØ Ò Ó ÕÙ (∀n ≥ n0 ) ×
ÙÑÔÐ Ñ × ÕÙ nε ≥ n0 ε > 1¸ ×
Ö¸ nε > 1¸ Ð ÔÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò ÔÙ ×
Ö Ö× ¸
ÓÒÚ ¹
Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) nε > 1.
×Ø ÜÔÖ × Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÕÙ × ÑÓ× ÔÖÓ Öº
ÈÖÓ Ö Ù× Ò Ó Ð Ò
Ò ÕÙ ÒÓ ×
ÖØÓ ÕÙ 1
n →2
ÔÖÓ Ö× ÕÙ
1
∼ [(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) − 2 ≤ ε],
n
×
Ö
1
(∃ε > 0)(∀n0 ∈ N)(∃n ≥ n0 ) − 2 > ε.
n
1 1
È ÖÓ n −2 =2− n ≥ 1, ∀n ∈ Nº
1
ÄÙ Ó ×Ø ØÓÑ Ö ε=2 ¸
ÓÒ ÐÓ
Ù Ð Ó
Ù ÐÕÙ Ö n 0 ∈ N¸ × ×
ØÓÑ n = n0 Ð ÔÖÓÔÓ×
Ò ×
ÖØ º
Ò Ð ÔÖ Ü ÑÓ Ì ÓÖ Ñ Ú Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ×Ø ÑÔÐÓ × Ñ ×
½ ¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-154-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÈÖÓÔÓ×
Ò º º Ë (sn ) × ÙÒ ×Ù
× Ò ÒÙÐ ÒØÓÒ
× Ð ×Ù
× Ò ¸ ( s1 )
n
×Ø Ö Ò Ò ¸ × ÒÓ
ÓØ Ý Ò
ÓÒ×
Ù Ò
ÒÓ ×
ÓÒÚ Ö ÒØ º
ÑÓ×ØÖ
Òº ÈÓÖ
ÓÒØÖ
Ò¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ( s1 )
n
×
ÓØ ¸ Ò¹
ØÓÒ
× Ð ×Ù
× Ò (vn ) Ò ÔÓÖ vn = sn · s1 ×
n
Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ ÙÒ
×Ù
× Ò ÒÙÐ ÔÓÖ ÙÒ
ÓØ º
×ØÓ ÑÔÐ
ÕÙ (vn ) × ÙÒ ×Ù
× Ò ÒÙÐ ¸ ×
Ö¸ vn → 0º
1
Ë Ò Ñ Ö Ó¸
Ð Ö Ñ ÒØ ¸ vn = sn · sn = 1 × Ð ×Ù
× Ò
ÓÒ×Ø ÒØ ÕÙ
ÓÒÚ Ö 1º ×ØÓ × ÙÒ
ÓÒØÖ
Ò¸ Ý ÕÙ 1 = 0º
1
ÄÙ Ó sn ÒÓ × ÙÒ ×Ù
× Ò
ÓØ º
ÈÖÓÔÓ×
Ò º º Ë (sn ) ÙÒ ×Ù
× Ò Ö Ðº Ë (sn )
ÓÒÚ Ö ℓ = 0
ÒØÓÒ
×
½º (∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ), sn Ø Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒÓ ℓ´ ×
Ö sn · ℓ > 0
µº
¾º Ä ×Ù
× Ò ( s1 ) ×
ÓØ
n
º
ÈÖÓÔÓ×
Ò º ´Ä ×Ù
× Ò ((−1)n ) ÒÓ
ÓÒÚ Ö µº ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ
× ÐÓ
¸ ×
Ö¸ ÕÙ Ü ×Ø ℓ Ø Ð ÕÙ (−1)n → ℓº
Ë ℓ > 0 ÒØÓÒ
׸ × ÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù
× Ò ÔÓ Ö
× Ö Ò Ø ÚÓº ×ØÓ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ý ÕÙ (−1)n = −1 Ô Ö ØÓ Ó n ÑÔ Öº
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ × ℓ < 0 ÒØÓÒ
× × ÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ø ÖÑ ÒÓ× ÔÓ Ö
× Ö ÔÓ× Ø ÚÓº ×ØÓ Ø ÑÔÓ
Ó × ÔÓ× Ð ÔÙ × (−1)n = 1 Ô Ö ØÓ Ó n Ô Öº
ÆÓ× ÕÙ
ÓÑÓ Ò
ÔÓ× Ð ÕÙ ℓ = 0º Ò ×Ø
×Ó¸ ×
Ð Ú Ö
ÕÙ Ô Ö ǫ = 1 ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ
2 Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù
× Ò Ù Ö Ð ÒØ ÖÚ ¹
ÐÓ [−ǫ + 0, 0 + ǫ] × Ò Ò ØÓ¸
ÓÒØÖ
Ò Ó Ð Ò
Ò
ÓÒÚ Ö Ò
º
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ô × Ö × Ö
ÓØ Ð ×Ù
× Ò (−1)n Ú Ö º
ÑÓ×ØÖ
Òº È Ö Ö ×¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ℓ > 0º
ÉÙ sn → ℓ × Ò
ÕÙ
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) ℓ − ε ≤ sn ≤ ℓ + ε
ℓ
ÄÙ Ó ØÓÑ Ò Ó ε= 2 >0 × Ø Ò ÕÙ Ü ×Ø n0 ∈ N Ø Ð ÕÙ
ℓ ℓ
(∀n ≥ n0 ) ≤ sn ≤ 3 .
2 2
ℓ
ÓÒ ×ØÓ × ÔÖÓ Ó ´½µ Ý ÕÙ
2 > 0.
È Ö ÔÖÓ Ö ´¾µ ×
Ö ÑÓ× ÐÓ × Ù ÒØ
2 1 2
(∀n ≥ n0 ) ≤ ≤
3ℓ sn ℓ
1 1 1
Ý
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö Ð M = m´x{| s1 |, | s2 |, . . . , | sn |}.
a
0
1 1
ÓÒ ×ØÓ ×
Ð ÖÓ ÕÙ (∀n ∈ N) sn ≤ M¸ ×
Ö¸ Ð ×Ù
× Ò( s
n
) ×Ø Ò
Ò Ý ×
ÓØ º
½ ½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-162-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
7.4.2. Cuociente
ÈÖÓÔÓ×
Ò º º Ë Ò (un ) Ý (vn ) Ó× ×Ù
× ÓÒ ×
ÓÒÚ Ö ÒØ × u Ý v
Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ º Ë v = 0¸ Ð ×Ù
× Ò (un /vn ) ×
ÓÒÚ Ö ÒØ (u/v)º
×
Ö
un l´ un
ım
l´
ım = .
vn l´ vn
ım
ÑÓ×ØÖ
Òº Î ÑÓ× ÕÙ un → u
vn v
un
Ë wn = vn − u .
v
ÇÖ Ò Ò Ó ×Ø ÜÔÖ × Ò¸ ×
Ð ÖÓ ÕÙ
un v − uvn 1 1
wn = = ( )( )[un v − uvn ].
vn v v vn
1
ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ×
Ò ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ù
ÕÙ × ÙÒ ×Ù
× ÓÒ
ÓØ
vn
Ý ÔÓÖ Ð Ö × Ø Ò ÕÙ (un v − uvn ) × ÙÒ ×Ù
× Ò ÒÙÐ ¸ ÐÙ Ó(wn ) ×
ÙÒ ×Ù
× Ò ÒÙÐ º
ÓÒ ×ØÓ × ÔÖÓ Ó Ð ÔÖÓÔÓ×
Òº
Ç × ÖÚ
Ò Ë Ð ×Ù
× Ò (vn ) × ÒÙÐ ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö× Ö ÒØ ×
×Ó׸
Ô Ò Ò Ó
Ù Ð × Ð ×Ù
× Ò Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ (un )º Ð ÙÒÓ×
×Ó× ×ÓÒ
ÐÓ× × Ù ÒØ ×
Ë (un )
ÓÒÚ Ö ℓ=0 ÒØÓÒ
× (un /vn ) ÒÓ ×
ÓØ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ
(vn /un ) × ÒÙÐ º
Ë (un ) ×Ø Ñ Ò ÒÙÐ ¸ ÒÓ ÝÖ Ð Ô Ö Ð
ÙÓ
ÒØ º Ð ÙÒÓ× Ñ¹
ÔÐÓ× × Ò
ÐÐÓ× ×ÓÒ
1 1
• Ë un = n Ý vn = n ÒØÓÒ
× (un /vn )
ÓÒÚ Ö ℓ = 1º
1 1
• Ë un = n Ý vn = n2 ÒØÓÒ
× (un /vn ) ÒÓ ×
ÓØ Ý ÐÙ Ó ÒÓ
ÓÒÚ Ö º
1 1
• Ë un =n2 Ý vn = n ÒØÓÒ
× (un /vn ) × ÙÒ ×Ù
× Ò ÒÙÐ º
(−1)n 1
• Ë un =
n Ý vn =
n ÒØÓÒ
× (un /vn ) × ÙÒ ×Ù
× Ò
ÓØ
Ô ÖÓ ÒÓ
ÓÒÚ Ö ÒØ º
7.5. Límites importantes (1)
Í× Ò Ó ÐÓ× Ø ÓÖ Ñ × Ð Ö ×Ù
× ÓÒ × × ÔÖÙ Ò
ÐÑ ÒØ ÐÓ×
× Ù ÒØ × Ö ×ÙÐØ Ó׺
sn = a¸ Ô Ö a ∈ R¸ × Ø ×
l´ sn = aº
ım
ım 1
l´ n = 0º
ım 1
l´ nk = 0¸ Ô Ö k ∈ Nº
½ ¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-163-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Ù ×
Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö
Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ
ÓÒ ×
√
½º ( 9 − n2 ) × ÙÒ ×Ù
× Òº
√
¾º ( n2 − 4n − 1) × ÙÒ ×Ù
× Òº
¿º ([ 1])
1 × ÙÒ ×Ù
× Òº
n
º 1
([ n ]) × ÙÒ ×Ù
× Òº
º Ä Ò
Ò
ÓÒÚ Ö Ò
(an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö
ØÓ Ó a>0 Ð
ÓÒ ÙÒØÓ {n ∈ Æ : |an − l| > a} × Ò Ò ØÓº
º Ä Ò
Ò
ÓÒÚ Ö Ò
(an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö
ØÓ Ó a>0 Ð
ÓÒ ÙÒØÓ {n ∈ Æ : |an − l| > a} × Ò ØÓº
º Ä Ò
Ò
ÓÒÚ Ö Ò
(an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö
ØÓ Ó a>0 Ü ×Ø b∈Æ Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n≥b ×
ÙÑÔÐ |an − l| ≤ aº
º Ä Ò
Ò
ÓÒÚ Ö Ò
(an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö
ØÓ Ó a>0 Ü ×Ø b∈Ê Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n≥b ×
ÙÑÔÐ |an − l| ≤ aº
º Ä Ò
Ò
ÓÒÚ Ö Ò
(an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö
ØÓ Ó a>0 Ð
ÓÒ ÙÒØÓ {n ∈ Æ : |an − l| ≤ a} × Ò ØÓº
½¼º ÍÒ ×Ù
× Ò (un ) Ú Ö × Ô Ö ØÓ Ó l ∈ Ê ÒÓ ×
ÖØÓ ÕÙ (un ) →
lº
½½º Ä ×Ù
× Ò
1
n
ÓÒÚ Ö ¼º
½¾º Ä ×Ù
× Ò
1
n ÒÓ
ÓÒÚ Ö ½º
½¿º Ä ×Ù
× Ò un = 2
ÓÒÚ Ö ¾º
½ º Ä ×Ù
× Ò un = 0
ÓÒÚ Ö ¾º
½ º Ü ×Ø Ò ×Ù
× ÓÒ ×
ÓÒ ØÓ Ó× ×Ù× Ø ÖÑ ÒÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× Ý
ÙÝÓ Ð Ñ Ø ×
−1º
½ º Ë Ð ×Ù
× Ò (un )
ÓÒÚ Ö l=1 ÒØÓÒ
× Ð ×Ù
× Ò 6un
ÓÒÚ Ö
º
½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-165-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
7.7. Desigualdad de Bernoulli (I).
ÈÖÓÔ ½¼ ´ × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´Áµµº Ä × Ù ÒØ ÔÖÓÔ
ÓÒÓ
ÓÑÓ × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ¸ ÒÓ× × Ö ÑÙÝ Ø Ð Ò Ð Ù×Ó Ð
Ì ÓÖ Ñ ÐË Ò Û
º
(∀n ∈ N)(∀h > −1)(1 + h)n ≥ 1 + nh.
ÑÓ×ØÖ
Òº Ä ÔÖÓÔ × ÑÙ ×ØÖ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ö Ù¹
Ñ ÒØÓ Ò Ù
Òº Ð Ö Ñ ÒØ Ð × Ù Ð × Ú Ð Ô Ö n = 0º Ë
ÔØ ÑÓ× ÕÙ ×
ÖØ Ô Ö Ð Ò n ÒØÓÒ
× Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ Ô Ö h > −1
×
ÙÑÔÐ ÕÙ
(1 + h)n ≥ 1 + nh.
ÓÑÓ 1+h>0 ÔÓ ÑÓ× Ù
Ö ÕÙ
(1 + h)n (1 + h) ≥ (1 + nh) (1 + h)
n+1 n
Ë ÑÓ× ÕÙ (1 + h) = (1 + h) (1 + h) Ý ÕÙ (1 + nh) (1 + h) = 1 +
(n + 1) h + nh2 º
2
ÒØÓÒ
׸
ÓÑÓ nh ≥ 0¸
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ (∀h > −1),
(1 + h)n+1 ≥ (1 + nh) (1 + h)
= 1 + (n + 1) h + nh2
≥ 1 + (n + 1) h
7.7.1. La sucesión (q n ), para q ∈ R.
ÈÖÓÔ ½½º ½º l´ q n = 1¸ × q = 1º
ım
¾º l´ q n = 0¸ × |q| < 1º
ım
¿º l´ q n ÒÓ Ü ×Ø × q ∈ (−∞, −1] ∪ (1, ∞)º
ım
Ë Ù Ö ÑÓ× Ð Ò Ð × × ÔÓÖ
×Ó×
×Ó q ∈ (0, 1]º
Ð ÔÖ Ñ Ö
×Ó¸ q = 1¸ × Ö
ØÓº
n
È Ö Ð
×Ó q ∈ (0, 1) ÔÐ
ÑÓ× Ð × Ù Ð (1 + h) ≥ 1 + nh¸
1 1
ÓÒ h Ø Ð ÕÙ
1+h = q ¸ ×
Ö
q = 1 + h¸ Ý ÒÓ× ÕÙ
n
1 1
≥1+n −1 .
q q
ÓÑÓ q ∈ (0, 1)¸ Ð × Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ ÑÔÐ
Ð × × Ù Ð ×
1
≥ q n ≥ 0.
1
1+n q −1
ÐÐ Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð ÐØ Ñ × Ù Ð × ÙÒ ×Ù
× Ò
ÓÒÚ Ö ÒØ
ÖÓº
ËÙ Ð Ó Ö
Ó × Ð ×Ù
× Ò
ÓÒ×Ø ÒØ ÕÙ
ÓÒÚ Ö
ÖÓº
n
ÔÐ
Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ Ð Ë Ò Û
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ (q ) → 0º
½ ¼](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-171-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Ù Ö
Ó×
½º Ð
ÙÐ Ö
n
µ ım a
l´ (n−1)2 ¸ Ô Ö a ÙÒ Ö Ð
ÓÒ |a| < 1º
n n
µ l´ an+1 +bn+1
ım a +b
ÓÒ 0 < a ≤ bº
ım( 2n−3 )n º
µ l´
3n+7
2
µ ım( 1−n
l´ 5n2 +1 )n º
√
µ l´ 2 n−2n )n º
ım( √ n+n
√
n
a+b
µ l´
ım √
n a+ n b º
√
n2 +1
µ l´
ım n
3n3 −1 º
2
µ l´
ım n
nn º
√
µ l´ n n3 + n2 + nº
ım
√
µ l´ n+1 an ¸ a > 0º
ım
√
µ l´ n an + bn ¸ a, b > 0º
ım
Ð µ l´ x
−n
+y −n − n
1
ım( 2 ) ¸ x > y > 0º
n
Ñ µ l´ n21 +
ım( +1 1
n2 +2 + ···+ 1
n2 +n ) = l´
ım 1
n2 +k
k=1
Ò µ l´ n
ım a n
b ¸ Ô Ö a, b > 0 Ý ÓÒ [x] ÒÓØ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö xº
1+n(−1)n
µ l´
ım n2 ¸ ÓÒ [x] ÒÓØ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö xº
¾º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ
n(n − 1) 2
∀n ∈ N, ∀h > 0 (1 + h)n ≥ 1 + nh + h .
2
¿º Ë (an ) ÙÒ ×Ù
× Ò
Ö
ÒØ Ô ÖØ Ö n0 Ý
ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º
ÑÙ ×ØÖ ÕÙ (an )
ÓÒÚ Ö º
√
º √ Ø ÖÑ Ò × Ð ×Ù
× Ò Ò ÔÓÖ Ð Ö
ÙÖÖ Ò
a0 = 2 Ý an+1 =
2an ¸ n ≥ 0¸ ÔÓ× Ð Ñ Ø ¸ Ò
ÙÝÓ
×Ó¸
Ð
Ð ÐÓº Ê Ô Ø ×Ø Ö
Ó
4+u2
Ô Ö Ð ×Ù
× Ò Ò ÔÓÖ u2 = 1 Ý un+1 = n
2 ¸ n ≥ 2º
½ ¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-184-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ý
x 1 n 1
= 1− < < 1, Ô Ö n+x>0
(n + 1) (n + x) n+1 n+x n+1
´ º¾µ
È Ö ÔÖÓ Ö ÕÙ (sn ) ×
Ö
ÒØ Ô ÖØ Ö n0 = ⌈|−x|⌉ + 1 Ú Ö ÑÓ×
sn+1
ÕÙ
sn ≥ 1¸ Ô Ö n ≥ n0 º
sn+1
Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × sn+1 Ý sn Ò
sn Ý ÔÐ
Ö ´ º½µ ×
Ó Ø Ò º
n+1
x
sn+1 1 + n+1 x
n+1
n+x
= x n = 1− .
sn 1+ n (n + 1) (n + x) n
x
ÔÐ
Ò Ó Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´Áµ Ô Ö h = − (n+1)(n+x) ¸ ÕÙ
× Ò ´ º¾µ × > −1¸ × Ó Ø Ò
sn+1 x n+x
≥ 1− = 1.
sn n+x n
¾º Ä ×Ù
× Ò (sn ) ×
ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ
ÓÑÓ Ý ÑÓ×
Ó¸ ×Ø
ÓÒ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ü ×Ø Ò M Ý n0 ∈ N Ø Ð ÕÙ
Ô Ö ØÓ Ó n ≥ n0
sn ≤ M.
x
Ó x ∈ R × k ∈ N Ø Ð ÕÙ n ∈ N
k < 1º ÒØÓÒ
׸ Ô Ö ØÓ Ó
x x 1
kn < 1¸ ×
Ö¸
kn ∈ −1, n º ÔÐ
Ò Ó Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ
x
´ÁÁÁµ Ô Ö a =
kn Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
x n 1 k
1+ ≤ x = .
kn 1 − n kn k−x
Ú ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù
× Ò ×
Ö
ÒØ Ô ÖØ Ö n0 = [|−x|] + 1º Ò¹
ØÓÒ
׸ Ô Ö n ≥ n0 ¸ sn ≤ skn º
k
k
ÌÓÑ Ò Ó M= k−x
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ô Ö n ≥ n0
kn k
1 k
sn ≤ skn = 1+ ≤ .
kn k−x
Ò
Ò º½º Ä ÙÒ
Ò ÜÔÓÒ Ò
Ð ×Ø Ò Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ ¹
× Ò x n
exp(x) = l´ (1 +
ım ) .
n→∞ n
ÈÖÓÔÓ×
Ò º½º Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò ÜÔÓÒ Ò
Ð × Rº
ÑÓ×ØÖ
Òº Ú ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù
× Ò ×
Ö
ÒØ Ô ÖØ Ö n0 Ý
Ó¹
Ø ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ò Ú ÖØÙ Ð Ì ÓÖ Ñ Ð × ËÙ
× ÓÒ × ÅÓÒ ØÓÒ ×¸
x n
Ð × ×Ù
× ÓÒ 1 +
n
ÓÒÚ Ö sup {sn : n ≥ n0 }º
½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-188-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
9.2. Primera extensión hacia −∞
×
и ÔÓÖ × Ñ ØÖ ×ØÙ Ö Ð
ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÙÒ
Ò
Ù Ò Ó
x → −∞. ×Ø ÑÓ Ó × Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ò
Ò
Ò
Ò º¾ ´Ä Ñ Ø
Ù Ò Ó x → −∞µº Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ
ÙÒ
Ò
ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ
ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º Ë ℓ ÙÒ Ö Ð Óº
Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò ℓ
Ù Ò Ó x Ø Ò −∞ × ×
ÙÑÔÐ ÕÙ
∀ε > 0, ∃m < 0, ∀x ∈ A ∩ (−∞, m], |f (x) − ℓ| ≤ ε.
×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ×
Ò Ó ÕÙ
l´
ım f (x) = ℓ.
x→−∞
Ç × ÖÚ
Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ
l´
ım f (x) = l´
ım f (−x)
x→−∞ x→+∞
ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð × ÔÖÓÔ × ×ØÓ× Ð Ñ Ø × ×ÓÒ Ò ÐÓ × ÕÙ ÐÐ × Ð
ÔÖ Ñ Ö Ò
Òº
Ò Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸
1
l´
ım = 0
x→−∞ x
an xn + · · · + a1 x + a0 0 × n<m
an
l´
ım = bm × n=m
x→−∞ bm xm + · · · + b1 x + b0
∃ × n>m
9.2.1. Asíntotas (I)
Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ
Ò Ø Ò Ð Ñ Ø ℓ
±∞, ×Ù Ö
Ó × ÔÖÓÜ Ñ
Ð Ö
Ø y = ℓ. ÈÓÖ ×Ø Ö Þ Ò¸ ×Ø Ö
Ø × ÐÐ Ñ × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f.
Å × ÔÖ
× Ñ ÒØ × Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ò
Ò
Ò
Ò º¿ ´ × ÒØÓØ × ÓÖ ÞÓÒØ Ð ×µº ½º Ë l´ f (x) = ℓ1 Ò¹
ım
x→+∞
ØÓÒ
× Ð Ö
Ø y = ℓ1 × ÐÐ Ñ × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f º
¾º Ë ım f (x) = ℓ2 ÒØÓÒ
× Ð Ö
Ø y = ℓ2 × ÓØÖ
l´ × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð
x→−∞
fº
Ç × ÖÚ
Ò
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÙÒ
Ò
ÓÒ ÓÑ Ò Ó ÒÓ
ÓØ Ó
±∞ ÔÙ Ø Ò Ö
Ó× × ÒØÓØ × ÓÖ ÞÓÒØ Ð ×¸ ÙÒ
+∞ Ý ÓØÖ
−∞º
Ò ÑÙ
Ó×
×Ó× ×Ø × × ÒØÓØ ×
Ó Ò
Ò¸
ÓÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ò Ð × ÙÒ
Ó¹
Ò × Ö
ÓÒ Ð ×º Î ÑÓ× Ð × Ù ÒØ
×Ó Ô ÖØ
ÙÐ Ö
f (x) = 2x+1 Ø Ò
x+2 Ð × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð y=2
Ù Ò Ó x → +∞ Ý
Ù Ò Ó
x → −∞.
¾¼½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-202-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
9.2.2. Límites infinitos
Ò
Ò º ´Ä Ñ Ø × Ù Ð +∞µº ½º Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ
ÙÒ
Ò
ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º
Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò +∞
Ù Ò Ó x Ø Ò +∞ × ×
ÙÑÔÐ
ÕÙ
∀M > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ A ∩ [m, +∞), f (x) ≥ M.
×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ×
Ò Ó ÕÙ
l´
ım f (x) = +∞.
x→+∞
¾º Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ
Ò
ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ
ÓØ Ó Ò Ö ÓÖ¹
Ñ ÒØ º
Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò +∞
Ù Ò Ó x Ø Ò −∞ × ×
ÙÑÔÐ
ÕÙ
∀M > 0, ∃m < 0, ∀x ∈ A ∩ (−∞, m], f (x) ≥ M.
×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ×
Ò Ó ÕÙ
l´
ım f (x) = +∞.
x→−∞
Ç × ÖÚ
Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ
l´
ım f (x) = +∞ ⇐⇒ l´
ım f (−u) = +∞.
x→−∞ u→+∞
×
Ö¸ Ð Ð Ñ Ø
Ù Ò Ó x → −∞¸
ÓÒ Ú ÐÓÖ +∞ × Ö Ú Ó Ð
ÓÒ
ÔØÓ
l´
ım f (x) = +∞ Ñ ÒØ Ð
Ñ Ó Ú Ö Ð u = −x.
x→+∞
Ò
Ò º ´Ä Ñ Ø × Ù Ð −∞µº ½º Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ
ÙÒ
Ò
ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º
Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò −∞
Ù Ò Ó x Ø Ò +∞ × ×
ÙÑÔÐ
ÕÙ
∀M < 0, ∃m > 0, ∀x ∈ A ∩ [m, +∞), f (x) ≤ M.
×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ×
Ò Ó ÕÙ
ım f (x) = −∞.
l´
x→+∞
¾º Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ
Ò
ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ
ÓØ Ó Ò Ö ÓÖ¹
Ñ ÒØ º
Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò −∞
Ù Ò Ó x Ø Ò −∞ × ×
ÙÑÔÐ
ÕÙ
∀M < 0, ∃m < 0, ∀x ∈ A ∩ (−∞, m], f (x) ≤ M.
×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ×
Ò Ó ÕÙ
ım f (x) = −∞.
l´
x→−∞
¾¼¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-203-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÓÑ Ò
ÑÓ× ÔÓÖ ÒÓØ Ö ÕÙ
1
u ∈ Dom(g) ⇐⇒ x = x0 + ∈ Dom(f ).
u
×Ø
Ó Ô ÖÑ Ø Ö Ð Þ Ö Ð × Ù ÒØ ×
Ù Ò
ÕÙ Ú Ð Ò
׸ ÕÙ ÒÓ×
Ò× Ò ÕÙ × Ò
ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó g ÒÓ ×
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ò
Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ÓÑ Ò Ó fº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ
Dom(g) ÒÓ ×
ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ
1
⇐⇒ ∀m > 0, ∃u ≥ m, x = x0 + ∈ Dom(f )
u
1
⇐⇒ ∀m > 0, ∃x ∈ Dom(f ), ≥m x > x0 ∧ u =
x − x0
1
⇐⇒ ∀m > 0, ∃x ∈ Dom(f ), x0 < x ≤ x0 +
m
⇐⇒ ∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ].
Ä ÐØ Ñ ÔÖÓÔÓ×
Ò ÒÓ×
ÕÙ Ô Ö ÔÓ Ö ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø f (x)
Ù Ò Ó x → x+
0 × Ò
× Ö Ó ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò f ÔÓ× Ö Ð ×
Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ
Ö
ÒÓ× x0 ÔÓÖ Ð Ö
к
ÑÔÐÓ×
Î ÑÓ× Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× ÓÒ ×
ÙÑÔÐ Ý ÓÒ ÒÓ ×
ÙÑÔÐ Ð
ÓÒ
Ò
∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ].
½º Ë Dom(f ) = R Ð
ÓÒ
Ò ËÁ ×
ÙÑÔÐ º
Ó ∀δ > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = (x0 , x0 + δ] ÓÒ ×Ø
ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð ÔÙÒØÓ x = x0 + δ.
¾º Ë Dom(f ) = Q Ð
ÓÒ
Ò ËÁ ×
ÙÑÔÐ º
×ØÓ × Ó ÕÙ ¸ ÔÓÖ Ð Ò× ÐÓ× Ö
ÓÒ Ð × Ò R¸ Ò Ð
ÒØ ÖÚ ÐÓ (x0 , x0 + δ] × ÑÔÖ Ý Ö
ÓÒ Ð × Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
∀δ > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = Q ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅
1
¿º Ë Dom(f ) = x0 + n : n ∈ N∗ Ð
ÓÒ
Ò ËÁ ×
ÙÑÔÐ º
×ØÓ × Ó ÕÙ Ù×Ø Ñ ÒØ ¸ Ð Ö
x0 Ü ×Ø Ò ÐÓ×
1
ÔÙÒØÓ× Ð ÓÖÑ x0 + n ÐÓ× ÕÙ
ÓÒÚ Ö Ò x0 º
1 1
∀δ > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = x0 + : n ≥ , n ∈ N∗
n δ
¾½½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-212-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
º Ë Dom(f ) = (−∞, x0 ] Ð
ÓÒ
Ò ÆÇ ×
ÙÑÔÐ º
Ò ×Ø
×Ó¸ ÒÓ Ý Ö Ð × Ð Ö
x0 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
∀δ > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅
º Ë Dom(f ) = {x0 + k : k ∈ Z∗ } Ð
ÓÒ
Ò ÆÇ ×
ÙÑÔÐ º
Ò ×Ø
×Ó¸ Ý Ö Ð × Ð Ö
Ý Ð ÞÕÙ Ö x0 Ô ÖÓ Ð
Ñ ×
Ö
ÒÓ ×Ø 1 x0 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
∀δ ∈ (0, 1), Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅.
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ × δ > 1, Ð ÒØ Ö×
Ò ÒÓ ×Ú
¸ Ô ÖÓ Ð ÔÖÓÔ
ÙÑÔÐ Ö× Ô Ö ØÓ Ó δ > 0º
Ç × ÖÚ
Ò Ò ÓÖÑ Ò ÐÓ Ð ×ØÙ Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ ÒÓ ×
Ð
ÓÒÚ Ò¹
Ö× ÕÙ ¸ Ô Ö ÔÓ Ö ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ò x0 ×
Ò
× Ö Ó ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó × Ø × Ð
ÓÒ
Ò
∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 ).
ÄÓ× ÑÔÐÓ× Ó× ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÙ Ò ÒÚ ÖØ Ö×
ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö ÓÖÑ Ö
ÑÔÐÓ× ÓÑ Ò Ó× ÓÒ ×
ÙÑÔÐ Ò x0 . Ð
ÓÒ
Ò ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö
√
ÍÒ ÑÔÐÓ Ñ × × Ð
×Ó Ð ÙÒ
Ò f (x) = xº Ò ×Ø
×Ó ×Ù ÓÑ Ò Ó
+
Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø
Ù Ò Ó x → 0 Ô ÖÓ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ð ×ØÙ Ó Ð
−
Ð Ñ Ø
Ù Ò Ó x → 0 . ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸
Ù Ò Ó x0 > 0 × ÔÙ Ò ×ØÙ Ö ÐÓ×
+ −
Ó× Ð Ñ Ø ×¸
Ù Ò Ó x → x0 Ý
Ù Ò Ó x → x0 . Ò ÐÑ ÒØ ¸ × x0 < 0 ÒÓ ×
ÔÓ× Ð
Ö
Ö× x0 Ò ÔÓÖ Ð Ö
Ò ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ü ×Ø Ò
Ó
×Óº
Ò
Ò º º ÓÒ× Ö ÑÓ× x0 ∈ R. Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó f Ô Ö¹
ÑØ ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø
Ù Ò Ó x → x+ × ×
ÙÑÔÐ ÕÙ
0
∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ].
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø
Ù Ò¹
Ó x → x− × ×
ÙÑÔÐ ÕÙ
0
∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 ).
Ç × ÖÚ
Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð ÙÒÓ ÐÓ×
Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × × ×
ÙÑÔÐ ÕÙ
∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 + δ] {x0 } .
Ò
ØÓ¸ × Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ù Ö ×ØÙ Ð ¸ ×
ÙÑÔÐ Ö
ÕÙ
∃δ1 > 0, Dom(f ) ∩ [x0 − δ1 , x0 ) = ∅
¾½¾](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-213-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ý
∃δ2 > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ2 ] = ∅.
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ØÓÑ Ò Ó δ = m´ {δ1, , δ2 }
ın × Ø Ò Ö ÕÙ
∃δ > 0, Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 + δ] {x0 } = ∅.
ÄÓ ÕÙ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ò
Ò Ð ÔÖÓÔÓ×
Ò Ö ÕÙ Ö ºÄ
ÓÒ
ÐÙ× Ò
Ð Ó × ÖÚ
Ò × Ó Ø Ò ØÓÑ Ò Ó Ð
ÓÒØÖ Ö
ÔÖÓ
Ó Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ
ÒØ Ö ÓÖº
ÑÔÐÓ×
1
l´ ln(x)
ım = l´
ım ln
x→0+ u→+∞ u
= − l´
ım ln u
u→+∞
= −∞.
1
l´ − e x
ım = ım e−u
l´
x→0 u→+∞
u
1
= l´
ım
u→+∞ e
= 0.
1
l´ + e x
ım = ım eu
l´
x→0 u→+∞
= +∞.
9.3.2. Definición de límite
Ò
Ò º½¼º Ë Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö ÐÓ× Ó×
Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ò x0 ¸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ Ø Ð ÙÒ
Ò Ü ×Ø
Ù Ò Ó
Ñ Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ü ×Ø Ò Ý × Ò Ù Ð ×º Ò Ø Ð
×Ó ÒÓØ Ö ÑÓ×
l´ f (x) = l´ f (x) = l´ f (x).
ım ım ım
x→x0 x→x+ x→x−
0 0
Ò Ð
×Ó Ò ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò Ô ÖÑ Ø × ÐÓ Ð ×ØÙ Ó ÙÒÓ
ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð ×¸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ Ø f (x)
Ù Ò Ó x → x0 Ü ×Ø ¸ ×
Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð Ü ×Ø º ØÖ Ø Ö× × ÐÓ Ð Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð Ö
× ÒÓØ Ö
l´ f (x) = l´ + f (x),
ım ım
x→x0 x→x0
Ý ØÖ Ø Ö× × ÐÓ Ð Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö × ÒÓØ Ö
l´ f (x) = l´ − f (x).
ım ım
x→x0 x→x0
¾½¿](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-214-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ò Ð
×Ó Ò ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò ÒÓ Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö ÒÒ Ò
Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð¸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ Ø ÒÓ Ü ×Ø º
Ç × ÖÚ
Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ × Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ¹
Ö Ñ Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð ×
Ù Ò Ó x → x0 , Ô ÖÓ × ÐÓ ÙÒÓ ÐÐÓ× Ü ×Ø ¸
ÒØÓÒ
× Ð Ð Ñ Ø ×
× ÆÇ Ü ×Ø º
ÑÔÐÓ×
ÄÓ× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø × ×ÓÒ × Ò
ÐÐÓ× Ú Ö
Ö
l´ x
ım = x0
x→x0
l´ P (x)
ım = P (x0 )
x→x0
P (x) P (x0 )
l´
ım =
x→x0 Q(x) Q(x0 )
1
l´ ln
ım = ∃
x→0 x
1
l´ e x
ım = ∃
x→0
9.3.3. Asíntotas verticales
Ò
Ò º½½º Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÙÒ
Ò f Ø Ò ÙÒ × ÒØÓØ Ú ÖØ
Ð
Ò x0 × Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × × ±∞, ×
Ö¸ × ×
ÙÑÔÐ Ð ÙÒ
Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ ×
1
l´
ım f (x0 + ) = +∞
u→+∞ u
1
ım f (x0 + )
l´ = −∞
u→+∞ u
1
ım f (x0 − )
l´ = +∞
u→+∞ u
1
ım f (x0 − )
l´ = −∞
u→+∞ u
Ö
Ñ ÒØ
Ù Ò Ó ÐÓ× Ú ÐÓÖ × x × ÔÖÓÜ Ñ Ò x0 ÔÓÖ ÓÒ
ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ ¸ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð ÙÒ
Ò
Ö
Ò Ó
Ö
Ò × Ò
ÓØ º
9.3.4. Caracterizeción ǫ − δ del límite
Ì ÓÖ Ñ º º Ë Ð ÓÑ Ò Ó ÙÒ ÙÒ
Ò Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð ÐÑØ
Ù Ò Ó x → x0 ÒØÓÒ
× ×
ÙÑÔÐ ÕÙ
ℓ = l´ f (x) ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈
ım ÓÑ(f )∩[x0 −δ, x0 +δ]{x0 } , |f (x) − ℓ| ≤ ε
x→x0
¾½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-215-320.jpg)
![ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÑÓ×ØÖ
Òº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ò Ð
×Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð Ö
× Ø Ò ÕÙ
ℓ = l´ f (x)
ım
x→x+
0
1
⇐⇒ ℓ = l´
ım f (x0 + )
u→+∞ u
1
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀u ≥ m,
∈ Dom(f ) =⇒ |f (x) − ℓ| ≤ ε
x = x0 +
u
1
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + ] |f (x) − ℓ| ≤ ε
m
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] |f (x) − ℓ| ≤ ε.
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ò Ð
×Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö × Ø Ò ÕÙ
ℓ = l´ − f (x)
ım
x→x0
1
⇐⇒ ℓ = l´
ım f (x0 − )
u→+∞ u
1
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∈ Dom(f ) =⇒ |f (x) − ℓ| ≤ ε
∀u ≥ m, x = x0 −
u
1
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − , x0 ) |f (x) − ℓ| ≤ ε
m
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 ) |f (x) − ℓ| ≤ ε.
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ × Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ
Ò Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö ÐÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×
Ð Ø Ö Ð × × Ø Ò ÕÙ
ℓ = l´ f (x)
ım
x→x0
⇐⇒ ℓ = l´ + f (x) = l´ − f (x)
ım ım
x→x0 x→x0
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ1 > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ1 ] |f (x) − ℓ| ≤ ε,
∀ε > 0, ∃δ2 > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 + δ2 , x0 ) |f (x) − ℓ| ≤ ε
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ A ∩ [x0 − δ, x0 + δ] {x0 } , |f (x) − ℓ| ≤ ε.
Ò Ð
×Ó Ò ÕÙ Ð ÙÒ
Ò Ô ÖÑ Ø Ð ×ØÙ Ó × ÐÓ ÙÒ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð¸ Ð
ÕÙ Ú Ð Ò
× Ö
Ø º
¾½](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-216-320.jpg)
![Ò Ò ¸
ÓÒ
x→−∞
l´
ım f (x) = ℓ Ý ∀x ∈ × Ø Ò
f (x) > ℓ¸ ÒØÓÒ
× ım f (x) = ℓ+ º
l´
x→−∞
1
º Ë l´
ım f (x0 + )=ℓ ÒØÓÒ
× l´ f (x) = ℓº
ım
u→+∞ u x→x+
0
1
º Ë ım f (x0 −
l´ )=ℓ ÒØÓÒ
× l´ f (x) = ℓº
ım
u→+∞ u x→x+
0
1
¼º Ë ım f (x0 −
l´ )=ℓ ÒØÓÒ
× l´ f (x) = ℓº
ım
u→+∞ u x→x−
0
½º Ë ∃δ > 0 Ø Ð ÕÙ ÓÑ(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅ ÒØÓÒ
× Ð ÓÑ Ò Ó
f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-238-320.jpg)
![Ñ Ø f
Ù Ò Ó x → x+ º
0
¾º Ë ∃δ > 0 Ø Ð ÕÙ ÓÑ(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅ ÒØÓÒ
× Ð ÓÑ Ò Ó
f ÒÓ Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-239-320.jpg)
![Ñ Ø f
Ù Ò Ó x → x+ º
0
¿º Ë ∀δ > 0¸ ÓÑ(f )∩(x0 , x0 +δ] = ∅ ÒØÓÒ
× Ð ÓÑ Ò Ó f Ô ÖÑ Ø
×ØÙ Ö Ð Ð](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-240-320.jpg)
![Ò
ÙÝÓ ÓÑ Ò Ó Ò
ÐÙÝ
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ [a, x0 ) ∪ (x0 , b]º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ
l´ f (x) = ℓ ⇐⇒ l´ + f (x) = l´ − f (x) = ℓ.
ım ım ım
x→x0 x→x0 x→x0
¿º Ò ÐÓ×
ÓÒ
ÔØÓ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× × Ù ÒØ ×º
µ l´ f (x) = +∞
ım
µ l´ + f (x) = −∞
ım µ l´
ım f (x) = ℓ
x→0+ x→0 x→+∞
µ l´ f (x) = +∞
ım µ l´ f (x) = −∞
ım µ l´
ım f (x) = ℓ
x→0− x→0− x→−∞
º Ð
ÙÐ Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø ×
√
x2 +5 x− x+2 √ax+b
µ l´
ım µ l´
ım √ µ l´
ım
x→2 x−3 x→2 4x+1−3 x→+∞ cx2 +d
√ 1
xe x
µ
(x−1) 2−x
l´
ım x2 −1
µ ım a b
l´ [ x ] x µ l´
ım 1
x→1 x→+∞ x→0−1 ex
√
q √ √
x2 x+ x+ x
µ l´
ım x−b−a−b
x2 −a2
µ l´
ım 2
x→+∞ x −1
µ l´
ım
x→+∞
√
x+1
x→a
√
2− x+3
× x>1
º ×ØÙ Ö × Ü ×Ø l´ f (x)¸
ım Ô Ö f (x) = x−1
2x2 −3
x→1
x2 +3 × x<1
º Ð
ÙÐ Ö Ð × × ÒØÓØ × Ó Ð
Ù × Ô Ö Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ
ÓÒ ×
¾¾¼](https://image.slidesharecdn.com/calculoiudechile-110119125828-phpapp02/85/Calculo-i-u-de-chile-246-320.jpg)
![[DEFCON] Bypassing preboot authentication passwords by instrumenting the BIOS...](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/prebootwhitepaper-100929045158-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Algebra[ufro]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/algebraufro-110119125653-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Cálculo i [usach]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/clculoiusach-110119125838-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Mecánica clásica [usach]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/mecnicaclsicausach-110119125457-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Cálculo ii [usach]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/clculoiiusach-110119125927-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Física i [usach]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/fsicaiusach-110119130021-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Cálculo avanzado y aplicaciones [u de chile]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/clculoavanzadoyaplicacionesudechile-110119125734-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![áLgebra lineal [u de chile]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/lgebralinealudechile-110119125610-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Calculo ii [u de chile]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/calculoiiudechile-110119125902-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Algebra lineal [ufro]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/algebralinealufro-110119125636-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Calculo i correcciones [u de chile]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/calculoicorreccionesudechile-110119125852-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![áLgebra [u de chile]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/lgebraudechile-110119125530-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Calculo i [u de chile]
- 1. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 1: NÚMEROS REALES Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 1. Números Reales Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × ÒÓØ ÓÒ ×º 1.1. Introducción Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ R¸ × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÙÝÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × ÐÐ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ò Ð Ù Ð × Ò Ò Ó× ÓÔ Ö ÓÒ × ÐÐ Ñ × ×ÙÑ Ó Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÖÓ Ù ØÓº Ð ÓÒ ÙÒØÓ R ÓÒ ×Ø × ÓÔ Ö ÓÒ × × Ø × ÔÖÓÔ × ÕÙ ÐÓ Ò Ò Óº Ò R Ü ×Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ× × ÔÖÓÔ × ÕÙ Ò × Ó Ù× × ÙÖ ÒØ ÐÓ× Ó× Ò× ÒÞ × Ý Ñ º ×Ø × ÔÖÓÔ × ÔÙ Ò ÖÙÔ Ö× Ò ØÖ × Ñ Ð × Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙÔÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÕÙ ÐÐ × ×Ó × Ð Ù Ð Ý Ð × Ù ÓÒ × Ð × ÙÒ Ó ÖÙÔÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð × ÔÖÓÔ × Ò ØÓÖÒÓ Ð × Ù Ð Ý Ð × Ò Ù ÓÒ × Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ü ×Ø ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖÓ¹ Ô × Ú ÒÞ × ÕÙ Ñ Ö Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý ÐÓ× Ö ÓÒ Ð × ´Ð × Ö ÓÒ ×µ¸ ×Ø × ÔÖÓÔ × × ÔÖ Ó ÙÔ Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÒØ ÖÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ×Ø × ÐØ Ñ × ÔÖÓÔ × × ÓÒÓ Ò ÓÑÓ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓº ÍÒ ÔÓ× Ð ×ØÙ Ö Ð × ÔÖÓÔ × R × Ö Ö ÙÒ Ð Ö Ó Ð ×Ø Ó ØÓ × ÐÐ × ÑÓ Ó ÕÙ Ù Ò Ó × ÒÓ× ÔÖ ÙÒØ × ÙÒ ÔÖÓÔ × ÖØ Ó ÒÓ¸ ×Ø Ö ÓÒ Ö × ¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÔÖÓÔ ½ ¿ ´ÔÓÖ ÑÔÐÓµ º ×ØÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð ÙÖ×Ó Ñ Ø Ñ Ø × Ò ÙÒÓ ÓÒ × ÐÓ Ö ÕÙ Ñ ÑÓÖ Þ Ö Ò Ò Ø × ÔÖÓÔ ×º Ò ×Ø ÙÖ×Ó¸ × Ó Ö ÑÓ× ÙÒ Ú × Ò ÓÔÙ ×Ø Ð ÒØ Ö ÓÖº × Ö¸ ØÓ × Ð × ÔÖÓÔ × Ò × Ö ÙÒ ÓÒ× Ù Ò ÖØÓ× ÔÓ×ØÙÐ Ó× × Ó× Ð Ñ ÒØ Ð ×º ÄÓ× ÔÓ×ØÙÐ Ó× × Ó× Ð Ñ ÒØ Ð × × ÐÐ Ñ Ò Ü ÓÑ Ý × Ö Ò ÐÓ× Ô Ð Ö × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ÒÙ ×ØÖ Ø ÓÖ º Ä × ÔÖÓÔ × R × Ö Ò × ÐÓ ÕÙ ÐÐ × ÕÙ ÔÙ Ò × Ö Ù ×¸ Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ð Ó¹ Ñ Ø Ñ Ø Ó¸ Ô ÖØ Ö ÐÓ× ÁÇŠ˺ ÖÙÔ Ö ÑÓ× ÐÓ× Ü ÓÑ × Ò ØÖ × ÖÙÔÓ× ÄÓ× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓ ´ ×Ó Ó× Ð Ù Ð µ¸ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÓÖ Ò ´ ×Ó Ó× Ð × Ù Ð µÝ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ ´ÕÙ Ñ Ö Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ö Ð × Ý ÐÓ× Ö ÓÒ Ð ×µº ÂÙÒØ Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ × Ø × R¸ ×Ù Ð Ö× ¸ Ò ÔÓ × Ô Ð Ö × ÕÙ R × ÙÒ Ù ÖÔÓ ÇÖ Ò Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ý ÖÕÙ Ñ ÒÓº 1.2. Axiomas de Cuerpo de los Reales ÄÓ× Ü ÓÑ × R Ò ØÓÖÒÓ Ð Ù Ð Ø Ñ Ò ×ÓÒ ÐÐ Ñ Ó× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓ ÐÓ× Ö Ð ×º ÄÓ× ÖÙÔ Ö ÑÓ× Ò ÙÒ ØÓØ Ð ¸ ÐÓ× Ù Ð × ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× ×ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ü ÓÑ ½º ´ ÓÒÑÙØ Ø Ú µ ܺ ½º ÓÒÑÙØ Ø Ú µ Ù Ð ×ÕÙ Ö ÕÙ × Ò ÐÓ× Ö Ð × x, y Ó׸ ×Ù ×ÙÑ × ÙÒ Ö Ð ½
- 2. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ × Ù× Ò ÐÓ× Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸ × Ö (∀x, y ∈ R) x + y = y + x. µ È Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ × ÙÑÔÐ Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓÔ Ð Ñ ÒØ Ð¸ × Ö (∀x, y ∈ R) x · y = y · x. Ü ÓÑ ¾º ´ ×Ó Ø Ú µ ܺ ¾º ×Ó Ø Ú µ (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z µ (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ð Ü ÓÑ Ð ×Ó Ø Ú ÆÇ Á ÕÙ x + (y + z) = (x + z) + y º Ë Ò Ñ Ö Ó ×Ø ÐØ Ñ Ù Ð × ÙÒ ÔÖÓÔ ÖØ ¸ Ö × Ð ÓÑ Ò Ò ÔÖÓÔ ÐÓ× Ó× Ü ÓÑ × ÒØ Ö ÓÖ ×º Ò ØÓ¸ Ú ÑÓ× Ð × Ù ÒØ × ÖÖÓÐÐÓ x + (y + z) = x + (z + y); Ö × Ð Ü ÓÑ ½ = (x + z) + y; Ö × Ð Ü ÓÑ ¾. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ÓÑ Ò Ò Ó ÐÓ× Ó× Ü ÓÑ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ ÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ó× ÙÒ ØÖ ÔÐ ×ÙÑ ¸ × ÔÙ Ò Ö ÓÖ Ò Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓÖÑ ÕÙ × × ¸ × Ò Ñ Ö Ð Ö ×ÙÐØ Óº × ÔÓÖ ×Ø Ö Þ Ò¸ ÕÙ Ò Ò Ö Ð¸ Ù Ò Ó Ý Ú Ö Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸ ÒÓ × Ù× Ò ÐÓ× Ô Ö ÒØ × ×¸ ÒÓ × Ö ÕÙ × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò × Ö Óº Ö Ó× ½º½ ÑÓ×ØÖ Ö Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð ×¸ Ù× Ò Ó ×ÓÐÓ ÐÓ× Ü Ó¹ Ñ × ½ Ý ¾º ½º (a+b)+c = (a+c)+b = (b+a)+c = (b+c)+a = (c+a)+b = (c+b)+aº ÕÙ × Ò × Ö ØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ× ÔÓ× Ð × ÐÓ× Ö Ð × a¸ b Ý cº ¾º (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z). Ð Ø Ö Ö Ü ÓÑ ¸ ÕÙ × Ù ¸ ÓÑÔÐ Ø Ð × ÔÖÓÔ × Ñ Ò ÔÙÐ Ò Ð Ö Ð ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù ØÓº Ü ÓÑ ¿º ´ ×ØÖ ÙØ Ú µ ܺ ¿º ×ØÖ ÙØ Ú µ (∀x, y, z ∈ R) x(y + z) = xy + xz µ (∀x, y, z ∈ R) (x + y)z = xz + yz ¾
- 3. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø Ø Ö Ö Ü ÓÑ ¸ Ð ÔÖÓÔ ´ µ × ÙÒ ÓÒ× Ù Ò¹ Ð ´ µ Ñ × ÐÓ× Ü ÓÑ × ÔÖ Ú Ó× ´Ñ × ÔÖ × Ñ ÒØ ¸ Ð ÓÒÑÙØ Ø ¹ Ú Ð ÔÖÓ Ù ØÓµº × Ö¸ ×Ø Ü ÓÑ × Ö ÙÒ ÒØ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÓ Ö × Ö Ü ÓÑ º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ñ × ÔÖÓÔ × Ü ÓÑ ×¸ ÔÙ Ò Ó× ÙØ Ð Þ Ö Ð Ö Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ó Ð ÓØÖ ¸ Ò Ð × ÑÓ×ØÖ ÓÒ ×º ÄÓ× Ü ÓÑ × Ý ÒØÖ Ò Ð Ü ×Ø Ò ÖØÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ô Ð × Ò Ê. ÍÒ ÓÒ× Ù Ò Ö Ø ÐÐÓ× × ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÒÓ × Ú Óº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× Ñ × Ð ÒØ ¸ ÓÒ ×ØÓ× Ü ÓÑ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ØÓ Ú ÔÓ Ö Ø Ò Ö ÑÙÝ ÔÓ Ó× Ð Ñ ÒØÓ׺ Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ×µ ܺ º РѺ Ò ÙØÖÓ ×ÙÑ Ò R Ü ×Ø Ò ÖØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒÓØ Ó× ÔÓÖ Ð Ð ØÖ e ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÓÔ Ö Ò ×ÙÑ º × Ö (∀x ∈ R) x + e = x. ÌÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× e ÕÙ ÙÑÔÐ Ò ×Ø ÔÖÓÔ × ÐÐ Ñ Ò Ò ÙØÖÓ× Ô Ö Ð ×ÙÑ º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ü ÓÑ ÒÓ× Ö ÒØ Þ Ð Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ× Ô Ö Ð ×ÙÑ º Ë Ò Ñ Ö Ó ÒÓ Ù ÒØÓ× Ý ´ Ò Ö Ð ÕÙ Ý ÙÒ ÒØ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÙÒÓµº Ë Ö Ú × ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ× ÒØ ÙÓ× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ× R¸ Ö ÓÖ Ö ÑÓ× ÕÙ Ý × ÐÓ ÙÒ Ò ÙØÖÓº ×Ø ÐØ Ñ ÖÑ Ò ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö× Ù× Ò Ó ÐÓ× Ü Ó¹ Ñ ×¸ Ý Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ´ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ÙÖ×Óµº Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ × Ò Óº Ç × ÖÚ Ò ÍÒ Ú Þ ÑÓ×ØÖ Ó Ð Ø ÓÖ Ñ ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÔÓÒ ÖÐ ÙÒ ÒÓѹ Ö ×Ô Ð Ð Ò Ó Ò ÙØÖÓ Ø ÚÓº ÄÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÖÓ Ý ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× 0º Î ÑÓ× Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ ÑÓ×ØÖ Òº Í× Ò Ó Ð Ü ÓÑ ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø Ò Ð Ñ Ò¹ ØÓ× Ò ÙØÖÓ׺ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó ÙÒÓ Ý ÐÓ ÐÐ Ñ ÑÓ× e1 º ×Ø Ö Ð × Ø × Ð ÔÖÓÔ (∀x ∈ R) x + e1 = x. ´½º½µ È Ò× ÑÓ× ÕÙ ÔÓÖ Ð Ò ÓØÖÓ Ñ ÒÓ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó ÙÒ Ò ÙØÖÓ e2 ¸ Ô ÖÓ ÒÓ × ÑÓ× × × Ó ÒÓ Ð Ñ ×ÑÓ ÒØ Ö ÓÖº ×Ø Ò ÙØÖÓ × Ø × Ð ÔÖÓÔ (∀x ∈ R) x + e2 = x. ´½º¾µ È Ö ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð Ò ÙØÖÓ × Ò Ó¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò × Ö Ñ ÒØ e1 = e2 ¸ Ý × × Ö ÑÓ× ÕÙ Ú Þ ÕÙ Ò ÓÒØÖ ÑÓ× ÙÒ Ò ÙØÖÓ¸ ×Ø × Ö × ÑÔÖ Ð Ñ ×ÑÓº ¿
- 4. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Í× Ò Ó e2 Ò Ð Ù Ð ´½º½µ Ý e1 Ò Ð Ù Ð ´½º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ e2 + e1 = e2 e1 + e2 = e1 . Ð Ñ Ö Ö ×Ø Ó× ÜÔÖ × ÓÒ × Ú ÑÓ× ÕÙ ÐÓ Ò Ó ÕÙ ÐØ Ô Ö ÓÒ ÐÙ Ö Ð Ù Ð ¸ × Ù× Ö Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸ ÕÙ ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÙÒ ×ÙÑ × Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò ÐÓ× ×ÙÑ Ò Ó׺ × × Ó Ø Ò Ð Ö ×ÙÐØ Óº Ò ÙÒ Ð Ò ¸ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ö ×ÙÑ Ò e1 = e1 + e2 = e2 + e1 = e2 . ÓÒØ ÒÙ Ò ÒÙÒ ÑÓ× Ð Ü ÓÑ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÔÖÓ Ù ØÓº Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ×µ ܺ º РѺ Ò ÙØÖÓ ÔÖÓ Ò R Ü ×Ø Ò ÖØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒÓØ Ó× ÔÓÖ Ð Ð ØÖ e ÕÙ ¸ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ó ×ÓÒ Ö ÒØ × ¼ Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ ÒÓ Ø Ò Ò Ð ÓÔ Ö Ò ÔÖÓ Ù ØÓº × Ö (∀x ∈ R) x · e = x. ÌÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× e ÕÙ ÙÑÔÐ Ò ×Ø ÔÖÓÔ × ÐÐ Ñ Ò Ò ÙØÖÓ× Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓº ÆÙ Ú Ñ ÒØ ¸ ×Ø Ü ÓÑ × ÐÓ ÒÓ× Ö ÒØ Þ Ð Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ× Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓº Ò ×Ø ×Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ × ÔÙ ÔÖÓ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÕÙ ÕÙ ÐÓ× Ò ÙØÖÓ× ×ÓÒ Ò Ó׸ × Ö Ì ÓÖ Ñ ½º¾º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ × Ò Óº Ç × ÖÚ Ò Ä ÑÓ×ØÖ Ò ×Ø Ø ÓÖ Ñ × Ò ÐÓ Ð ×Ó Ð ×ÙÑ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÔÖÓÔÓÒ ÓÑÓ Ö Óº Ð Ò Ó Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÐÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒÓ Ý ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× 1. Ð Ü ÓÑ Ñ × ÕÙ 1 = 0. Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× ÒÚ Ö×Ó×µ ܺ º Ð Ñ׺ ÒÚ Ö×Ó×
- 5. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð µ È Ö x ∈ R¸ Ü ×Ø Ò Ö Ð × ×Ó Ó× x¸ ÕÙ × ÐÐ Ñ Ò ÓÔÙ ×¹ ØÓ× Ó ÒÚ Ö×Ó× Ø ÚÓ× x¸ ÕÙ × Ø × Ò x + ÓÔÙ ×ØÓ(x) = 0. µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ô Ö x∈R ÓÒ x = 0¸ Ü ×Ø Ò ÒÚ Ö×Ó× ÑÙÐØ ¹ ÔÐ Ø ÚÓ× Ó Ö ÔÖÓ Ó× x¸ ÕÙ × Ø × Ò x·Ö ÔÖÓ Ó(x) = 1. Ì ÓÖ Ñ ½º¿º ½º ∀x ∈ R, ×Ù Ð Ñ ÒØÓ ÓÔÙ ×ØÓ × Ò Óº ¾º ∀x ∈ R, x = 0¸ ×Ù Ð Ñ ÒØÓ Ö ÔÖÓ Ó × Ò Óº ÑÓ×ØÖ Òº Ë Ò p1 Ý p2 ÓÔÙ ×ØÓ× Ð Ñ ×ÑÓ Ö Ð Ö ØÖ Ö Ó x. ÐÐÓ× × Ø × Ò Ð × Ù ÓÒ × x + p1 = 0 ´½º¿µ x + p2 = 0. ´½º µ ÄÓ ÕÙ ÑÓ× ÔÖÓ Ö × Èº ºÉ p1 = p2 . Ò ØÓ¸ Ù× Ò Ó Ð × Ù ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × Ý ÐÓ× Ü ÓÑ ×¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ p1 = p1 + 0, ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ¸ = p1 + (x + p2 ), ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ù Ò ´½º µ, = (p1 + x) + p2 , ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ×Ó Ø Ú , = (x + p1 ) + p2 , ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸ = 0 + p2 , ÑÓ× Ù× Ó Ð Ù Ò ´½º¿µ, = p2 + 0, ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸ = p2 , ÑÓ× Ù× Ó ÒÙ Ú Ñ Ð Ü ÓÑ Ð ºÆº
- 6. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò Ä ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÙÒ Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ × Ò ÐÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÔÖÓÔÙ ×Ø ÓÑÓ Ö Óº ÄÓ× ÒÚ Ö×Ó× Ø ÚÓ× Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ× x × ÒÓØ Ò × ÑÔÐ Ñ ÒØ −1 ÔÓÖ −x Ý x ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÒÙÒ Ó× ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÕÙ R ÓÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × + Ý · ÓÖÑ ÙÒ Ù ÖÔÓº Ë ÒÓØ ÓÒ Ò× Ñ ÒØ ÓÑÓ (R, +, ·) × ÙÒ Ù ÖÔÓº 1.3. Propiedades en R relacionadas con la igualdad ÓÒØ ÒÙ Ò ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ÓØÖ × ÔÖÓÔ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ÅÙ × ÐÐ × ×ÓÒ ÓÒÓ × Ð ÓÐ Óº ÆÓ× ÒØ Ö × Ö Ö Ú × ÖÐ × ÔÓÖ ÙÒ Ó Ð Ó Ø ÚÓº ÈÓÖ ÙÒ Ð Ó × Ù ÒÓ Ö ÓÖ ÖÐ × ´Ý»Ó ÔÖ Ò ÖÐ ×µ¸ Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ ÕÙ Ö ÑÓ× Ú Ö ÔÓÖ ÕÙ ×ÓÒ ÖØ × Ý ÓÑÓ × Ù Ò ÐÐ × Ô ÖØ Ö ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓ ÒØ Ö ÓÖ ×º ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ Ñ × Ñ Ð Ñ Ø ×Ø Ô ØÙÐÓ¸ ÕÙ ÐÐ ÕÙ ØÓ Ó Ð ÑÙÒ Ó ÓÒÓ ¸ Ð ÙÒÓ× Ô Ò× Ò ÕÙ × ÙÒ Ü ÓÑ Ô ÖÓ Ò Ö ¹ Ð × ÙÒ ÔÖÓÔ ÕÙ × Ù ÐÓ× Ü ÓÑ ×º Ë ØÖ Ø Ð Ø Ð Ð ÖÓº ÈÖÓÔ ½º ∀a ∈ R × ÙÑÔÐ a · 0 = 0. ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Ð Ð ÙÒÓ¸ ÕÙ a·1 = a. Ç × ¸Ð Ø Ð ÙÒÓ × ÙÒ Ü ÓÑ ´úÖ Ù Ö Ù Ð µº È ÖÓ Ð Ø Ð Ð ÖÓ Ë ÍÆ ÈÊÇÈÁ º ÑÓ×ØÖ Òº Ë a ∈ R ÙÒ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö º ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ a·0 = 0. Ç × ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ð a·0 × Ð Ò ÙØÖÓ Ø ÚÓ Ò R. È Ö ÓÒ ÐÙ Ö ×ØÓ¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ð a·0 × Ø × Ð ÔÖÓÔ ∀x ∈ R, x+a·0=x ´½º µ ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ´½º µ × ÖØ Ô Ö Ð Ö Ð a ´ Ò ÐÙ Ö xµ¸ Ó × ÕÙ a + a · 0 = a. Ò ØÓ¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ a+a·0 = a·1+a·0 = a · (1 + 0) = a·1 = a.
- 7. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò ÒØ × ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö ÓÒÓÞ Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù× Ó× Ò ÙÒ Ð × Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º ×Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ¸ ÒÓ× Ò× × ÑÔÐ Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ a·0 Ù Ò Ó Ô Ö ×ÙÑ Ó ÓÒ a. ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò Ò Ö Ð × ÔÙ × ÑÔÐ Ö Ù Ò Ó ×Ø ×ÙÑ Ó ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ó× º Î ÑÓ× ÓÖ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ´½º µ Ò Ò Ö Ðº Ä Ð Ú × Ö Ô Ö Ö Ð ×ÙÑ a+a·0 ÕÙ Ý ÓÒÓ ÑÓ× x+a·0 = x + [0 + a · 0] = x + [(a + (−a)) + a · 0] = x + [((−a) + a) + a · 0] = x + [(−a) + (a + a · 0)] , ÕÙ Ô Ö Ð ×ÙÑ ÓÒÓ = x + [(−a) + a] = x + [a + (−a)] = x+0=x ÓÒ× Ù Ò ÍÒ ÓÒ× Ù Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ × ÕÙ ÆÇ ÁËÌ Ä ÁÆÎ ÊËÇ ÅÍÄÌÁÈÄÁ ÌÁÎÇ Ä ÊǺ Ò ØÓ¸ × Ü ×Ø Ö Ö ÙÑÔÐ Ö 0 · 0−1 = 1 Ý Ø Ñ Ò Ð ÔÖÓÔ 0· 0−1 = 0¸ ÓÒ × Ó Ø Ò Ö 0 = 1, ÐÓ ÕÙ ÓÒØÖ Ð Ü ÓÑ Ð Ò ÙØÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓº Ë Ð Ñ Ò Ö ÑÓ× Ð Ö ×ØÖ Ò 0=1 ÐÓ× Ü ÓÑ ×¸ ÒØÓÒ × Ò × ×Ó 0 Ø Ò Ö Ö ÔÖÓ Ó¸ Ô ÖÓ ÐÓ× Ö Ð × × Ö Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ØÖ Ú Ð Ö Ù Ó × ÐÓ Ð ÖÓ¸ Ý ÕÙ ∀a, a = a · 1 = a · 0 = 0. 1.4. Otras Propiedades en R ÈÖÓÔ ¾º Ò R¸ Ð × Ù ÓÒ × µ a+x =b µ a · x = b (a = 0) Ì Ò Ò ×ÓÐÙ Ò¸ Ý ×ÓÐÙ Ò × Ò º À Ö ÑÓ× × ÐÓ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð Ô ÖØ ´ µº ÓÑÓ Ö Ó ÑÓ×¹ ØÖ Ö ÕÙ Ð ×ÓÐÙ Ò Ò Ð Ô ÖØ ´ µ × x = b · a−1 . ÑÓ×ØÖ Òº Î ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ü ×Ø Ò Ð ×ÓÐÙ Òº ÓÑ ÒÞ Ö ¹ ÑÓ× ÔÓÖ Ö ÙÒ Ð ÙÐÓ ÓÖÑ Ð¸ ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ × Ú ÒØ º Î ÑÓ×
- 8. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð a+x b ÓÑÓ a∈R ÒØÓÒ × Ü ×Ø (−a) ∈ R (−a) + (a + x) (−a) + b ×Ó Ò Ó [(−a) + a] + x (−a) + b Ô ÖÓ (−a) + a = 0 ÔÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö×Ó 0+x (−a) + b Ô ÖÓ 0 + x = x ÔÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ x (−a) + b. Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ð ÙÐÓ ÓÖÑ Ð¸ × ÕÙ ÑÓ× ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó ÙÒ Ù Ð¹ ÕÙ ÒÓ × ÑÓ× × × ÖØ Ó ÒÓº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ× ÒØÖ ÙÒ Ù Ò Ò ØÓ ×ÓÐÙ Òº Ä Ú Ö Ö ÑÓ×ØÖ Ò ÓÑ ÒÞ ÕÙ ¸ Ò Ó Ë α = (−a) + b¸ Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ö Ð × Ø × Ð Ù Òº Ò ØÓ a + α = a + [(−a) + b] = [a + (−a)] + b = 0 + b = b. ×ØÓ ÓÒ ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ×ÓÐÙ Ò Ð Ù Òº ÓÖ Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ø ×ÓÐÙ Ò × Ò º È Ö ÐÐÓ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó ÐÓ× Ö Ð × x1 Ý x2 ¸ ÐÓ× ÕÙ ×ÓÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × a + x = b. Ä ÙÒ ÕÙ Ö ÑÓ×ØÖ ¸ × ÓÒ × ÐÓ ×Ø Ô Ø × ×¸ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ x1 = x2 . Î ÑÓ× a + x1 = b Ý Ñ × a + x2 = b ÒØÓÒ ×¸ a + x1 = a + x2 ÒØÓÒ ×¸ (−a) + [a + x1 ] = (−a) + [a + x2 ] ÒØÓÒ ×¸ [(−a) + a] + x1 = [(−a) + a] + x2 ÒØÓÒ ×¸ 0 + x1 = 0 + x2 ÒØÓÒ ×¸ x1 = x2 . ÓÒ ×ØÓ × ÓÒ ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ×º 1.5. Definiciones importantes Ä ÙÒ ÕÙ ÒÓ× Ð ÈÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓØ Ú Ð × × Ù ÒØ × Ò ¹ ÓÒ × Ò Ò ½º½ ´ Ö Ò Ý ÙÓ ÒØ µº ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× Ö Ò ÒØÖ a Ý b Ð Ö Ð x = b + (−a) Ý × ÒÓØ ÔÓÖ x = b − a. ÓÒ ×ØÓ¸ Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ × Ö ×ÙÑ Ò a + x = b × Ý × ÐÓ × x = b − a.
- 9. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ù Ò ´ µ x = b · a × ÒÓÑ Ò ÙÓ ÒØ −1 b ÔÓÖ a Ý × ÒÓØ ÔÓÖ Ð Ö Ò x = a ¸ Ó Ò ÔÓÖ Ð ÙÓ ÒØ b x = b : a. ÄÙ Ó × a = 0 × Ø Ò ÕÙ b a · x = b × Ý × ÐÓ × x = . a Ç × ÖÚ Ò Ð ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × ×Ø × Ù ÓÒ × × Ù Ò Ú Ö × Ú Ö ÒØ × Ø Ð × Ò ÔÖÓ ×Ó× Ð Ö Ó× ½º Ä Ý Ò Ð Ò Ô Ö Ð ×ÙÑ a+b=a+c ÒØÓÒ × b = c. Ò ØÓ¸ ÔÙ Ö× ÕÙ b Ý c ×ÓÒ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð Ñ ×Ñ Ù Ò a + x = a + c. ÓÑÓ Ð ×ÓÐÙ Ò ×Ø Ù Ò × Ò ¸ ÒØÓÒ × b = c. ¾º Ä Ý Ò Ð Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ù Ò Ó a = 0¸ a·b=a·c ÒØÓÒ × b = c. Ò ØÓ¸ Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ×Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÙ Ö× ÕÙ b Ý c ×ÓÒ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð Ñ ×Ñ Ù Ò a · x = a · c. ¿º Ê ×ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð a · x + b = 0, ÓÒ a = 0. ÓÑ Ò Ò Ó Ð × Ó× Ô ÖØ × Ð ÔÖÓÔÓ× Ò ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ó Ø Ò ÕÙ ¸ ÔÖ Ñ ÖÓ ´Ù× Ò Ó Ð Ô ÖØ Ð ×ÙÑ µ a · x = −b Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ b x=− . a ÈÖÓÔ ¿ ´Ê Ð ÐÓ× ÒÚ Ö×Ó×µº µ −(−a) = a ∀a ∈ R µ (a−1 )−1 = a ∀a ∈ R∗ ; R∗ = R {0} ÑÓ×ØÖ Òº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó ÔÖÓ Ö× ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (−a) × a. Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (−a) × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ p ÕÙ ÙÑÔÐ Ð Ö Ð Ò (−a) + p = 0.
- 10. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÈÙ × Ò ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ a × Ó Ò Ñ ÖÓ¸ × Ö Èº ºÉ (−a) + a = 0. ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ú Þ ÕÙ × ÐÓ Ö ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò Ú Ð¸ Ý ÐÓ Ö ÑÓ× ÒØ Ö ÕÙ × ÐÓ ÕÙ Ý ÕÙ ÔÖÓ Ö¸ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ñ ×Ñ × × Ò ÐÐ º Ò ØÓ × Ø Ò ÕÙ (−a) + a = a + (−a) = 0. Ä ÑÓ×ØÖ Ò Ð ×Ó ´ µ × Ò ÐÓ Ý ÖÐ ÓÑÓ Ö Óº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÕÙ ¸ × Ó Ø Ò Ð Ö Ð ÓÒØ Ö ÐÓ× × ÒÓ× º × −(−(−(−(−a)))) = −a¸ Ø º ÈÖÓÔ ´Ê Ð × ÐÓ× × ÒÓ×µº µ a · (−b) = −(a · b) = −ab µ (−a) · (−b) = a · b µ −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b Úµ (a · b)−1 = a−1 · b−1 Úµ a − (b + c) = a − b − c Ú µ a − (b − c) = a − b + c ÑÓ×ØÖ Òº ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ´ µº Ë ÔÖÓ Ö × ÐÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ð ¸ Ý ÕÙ Ð × ÙÒ × ÙÒ ÒÓØ Ò Ð × ÙÒ Ó Ø ÖÑ ÒÓº ×Ø Ù Ð ÔÖ Ø Ò ÕÙ Ä ÇÈÍ ËÌÇ (a · b) × Ð Ö Ð a · (−b). ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÐÓ × Ù ÒØ Èº ºÉº (a · b) + [a(−b)] = 0. Î ÑÓ× × ×ØÓ ÐØ ÑÓ × Ó ÒÓ ÖØÓ (a · b) + [a(−b)] = a · [b + (−b)] = a·0 = 0. ×ØÓ ÓÒ ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Ò ´ µº ½¼
- 11. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò ÒØ × ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö ÓÒÓÞ Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù× Ó× Ò ÙÒ Ð × ¿ Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ´ µ Ù× ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ ´ µ Ó× Ú × Ò ÓÖÑ ×Ù × Ú º Ò ØÓ (−a) · (−b) = − [(−a) · b] = − [b · (−a)] = − [−(b · a)] = ab. È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ´ µ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (a + b) × Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð (−a) + (−b). × Ö¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö Õ٠Ⱥ ºÉº (a + b) + [(−a) + (−b)] = 0. ×ØÓ Ø Ú Ñ ÒØ × ÖØÓ Ý ÕÙ (a + b) + [(−a) + (−b)] = [(a + b) + (−a)] + (−b) = [(b + a) + (−a)] + (−b) = [b + (a + (−a))] + (−b) = [b + 0] + (−b) = b + (−b) = 0. Ä ÔÖÓÔ ´ Úµ × Ò ÐÓ Ð ´ µ¸ Ñ Ò Ó Ð ÓÔ Ö Ò ×ÙÑ ÔÓÖ ÔÖÓ Ù ØÓº Ö× ÓÑÓ Ö Óº È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð × ÐØ Ñ × Ó× ÔÖÓÔ ×¸ Ò ÓÑ Ò Ö× Ð ÔÖÓÔ ¹ × Ý ÑÓ×ØÖ ×º À ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ ´Úµº Ä ÔÖÓÔ ´Ú µ Ö× ÓÑÓ Ö Óº Ä ÑÓ×ØÖ Ò × Ö Ð Þ ØÓÑ Ò Ó Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ý ÓÒ ÐÙÝ Ò Ó ÕÙ × Ù Ð Ð Ð Ó Ö Óº Î ÑÓ× a − (b + c) = a + [−(b + c)] = a + [(−b) + (−c)] = a + (−b) + (−c) = (a − b) − c. ½½
- 12. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÈÖÓÔ º x · y = 0 ⇒ (x = 0) ∨ (y = 0) ÑÓ×ØÖ Òº Ä ÔÖÓÔ ÕÙ Ú Þ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ó× Ö Ð × × ÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÒÓ ÐÓ× ØÓÖ × × Ö ÖÓº È Ö ÑÓ×ØÖ ÖÐ × ØÓÑ Ð Ù Ð x · y = 0 ÓÑÓ ÙÒ ØÓ Ý × Ö ÞÓÒ ×Ø ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ × ÖØÓ ÕÙ x = 0 Ó Ò y = 0. ´ × × ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ö Ð ÙÒ ÑÔÐ Òµº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÑÓ× ÕÙ x · y = 0. Ⱥ ºÉº x=0 Ó Ò y = 0. Ð Ö Ñ ÒØ x ÔÙ Ó ÒÓ × Ö ÖÓº Ë ÐÓ Ù Ö ¸ ÒØÓÒ × Ð ÑÓ×ØÖ Ò ×Ø Ö ÓÒ ÐÙ º ËÓÐÓ ÒÓ× ÐØ Ö Ú Ö ÕÙ Ô × × x = 0. Ò ×Ø ×Ó Ð Ù Ð x·y =0 × Ú ÓÑÓ ÙÒ Ù Ò¸ Ò Ð Ù Ð × ÔÙ ×Ô Ö y Ú Ò Ó ÔÓÖ x ´ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ x−1 µº À Ò Ó ×ØÓ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ y = 0. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ó Ò x = 0, Ó Ò x = 0, Ô ÖÓ Ò ×Ø ×Ó y = 0. ÓÒ ÐÙ× Ò Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ö Ð × × Ö ÖÓº 1.5.1. Propiedades adicionales ac a ½º = ∀a, b, c, ∈ R¸ ÓÒ b, c = 0 bc b a c ad ± bc ¾º ± = ∀a, b, c, d ∈ R¸ ÓÒ b, d = 0 b d bd a c ac ¿º · = ∀a, b, c, d ∈ R¸ ÓÒ b, d = 0 b d bd a c ad º : = ∀a, b, c, d ∈ R¸ ÓÒ b, c, d = 0 b d bc º (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ½¾
- 13. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 3 3 2 2 3 º (a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b º (a + b)(a − b) = a2 − b2 º (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 º (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 Ç × ÖÚ Ò Ò ×Ø × ÔÖÓÔ × × Ò Ù× Ó Ð × ÒÓØ ÓÒ × × Ù ÒØ × ab = a · b 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, Ø . 2 2 3 a·a= a , a ·a= a , a · a = a4 , 3 Ø . Ñ ×¸ Ð × Ñ ÓÐÓ ± Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÕÙ Ð ÔÖÓÔ × ÖØ × × Ö ¹ ÑÔÐ Þ Ò ØÓ × Ð × Ô Ö ÓÒ × ± ÔÓÖ +¸ Ó × × Ö ÑÔÐ Þ Ò ØÓ × ÔÓÖ −. ÑÓ×ØÖ Òº ½º ac = ac(bc)−1 bc = ac(b−1 c−1 ) = ac(c−1 b−1 ) = a(cc−1 )b−1 = a · 1 · b−1 = ab−1 a = b ¾º a c ± = ab−1 ± cd−1 b d = ab−1 dd−1 ± cbb−1 d−1 = ad(bd)−1 ± bc(bd)−1 = (ad ± bc)(bd)−1 ad ± bc = bd ¿º a c · = ab−1 cd−1 b d = ac(bd)−1 ac = bd ½¿
- 14. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º a c : = ab−1 : cd−1 b d = ab−1 · (cd−1 )−1 = ab−1 · (c−1 d) = ad(bc)−1 ad = bc º (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 º (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a + b) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Ê Ü Ò ÒØ × ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö ÓÒÓÞ Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ý ÔÖÓ¹ Ô × Ù× Ó× Ò ÙÒ Ð × Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º Ä ÑÓ×ØÖ Ò Ð × ÔÖÓÔ × Ö ×Ø ÒØ × Ö× ÓÑÓ Ö Óº 1.5.2. Otros Cuerpos ÓÒ× Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó× Ð Ñ ÒØÓ× × Ù ÒØ A = {♥, △} . Ò ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ × Ò Ò Ó× ÓÔ Ö ÓÒ × ◦, ∗ Ñ ÒØ Ð ×Ø Ð ×× Ù Ò¹ Ø × ◦ ♥ △ ∗ ♥ △ ♥ ♥ △ ♥ ♥ ♥ △ △ ♥ △ ♥ △ ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × × Ö Ø ×¸ Ó × (A, ◦, ∗)¸ × Ø × ØÓ Ó× ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓº ÈÓ ÑÓ× ÒØ Ö ◦ ÓÒ Ð ×ÙÑ ¸ ∗ ÓÒ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò¸ ♥ ÓÒ 0 Ý △ ÓÒ ½º Í× Ò Ó ×Ø ÒØ Ò¸ Ó ÙÖÖ ÕÙ 1 + 1 = 0¸ 1 + 1 + 1 = 1¸ Ø º Î ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓ ×ÓÒ ÒØ Ö × ÒØ ×¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ò Ò ÓÑÔÐ ¹ Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ R ÕÙ ×Ô Ö ÑÓ׺ ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ A Ó× Ð Ñ ÒØÓ× × Ø × ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ R. ½
- 15. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º Ü ×Ø Ò Ó× Ò Ñ ÖÓ× ×Ø ÒØÓ× x, y ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ x+y = x Ý y+x = y º ¾º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x + y = y + xº ¿º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x + y = xº º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x · y = y · xº º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) + z = (x + z) + (y + z)º º Ò ÙÒ × Ö ×ÙÑ × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ×Ø × × Ö Ð Þ Ò × ×ÙÑ ÑÔÓÖØ Ò º º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) + z = x + (y + z)º º (∀x, y, z ∈ Ê) (x − y) · z = x · (−z) + y · (−z)º º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) · z = y · z + x · z º ½¼º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) · z = (x + z) · (y + z)º ½½º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ×ÙÑ Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ×Ø ÐØ ÑÓº ½¾º Ó a ∈ Ê {0}¸ Ð Ù Ò a−x =a ÒÓ Ø Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ½¿º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ ¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º ½ º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ò ÐÓ× Ö Ð × Ô Ö Ð ×ÙÑ × Ò Óº Ë Ð ÒÓØ ¼º ½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ ¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º ½ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð¸ ×Ø ÒØÓ ¼¸ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ×Ø ÐØ ÑÓº ½
- 16. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º ½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º ½ º Ó a∈Ê Ð Ù Ò a·x=a × ÑÔÖ Ø Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ¾¼º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ò ÐÓ× Ö Ð × Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò × Ò Óº Ë Ð ÒÓØ ½º ¾½º Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö x¸ Ü ×Ø ÓØÖÓ ÕÙ Ð ×ÙÑ ÖÐÓ ÓÒ x Ö ×ÙÐØ ¼º ¾¾º Ó x∈Ê Ð Ù Ò x+y = 0 Ø Ò Ñ × ÙÒ ×ÓÐÙ Ò y ∈ ʺ ¾¿º Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò Óº Ë ÒÓØ −xº ¾ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê ÕÙ × ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ñ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº ¾ º Ü ×Ø Ò x1 , x2 , x3 ∈ Ê ØÓ Ó× ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × ¸ Ø Ð × ÕÙ x1 × Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ x2 Ý x2 × Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ x3 º ¾ º Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö x ÓÒ x = 0¸ Ü ×Ø ÓØÖÓ ÕÙ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÖÐÓ ÔÓÖ x Ö ×ÙÐØ ½º ¾ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x∈Ê ÕÙ × ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ñ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº ¾ º Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x¸ ×Ø ÒØÓ ¼¸ −1 × Ò Óº Ë ÒÓØ x º ¾ º Ó x∈Ê Ð Ù Ò x·y =1 × ÑÔÖ Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ Ò y ∈ ʺ ¿¼º ÆÓ Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x∈Ê Ø Ð ÕÙ x · x = x + x = 0º ¿½º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö ×ÙÐØ Ò Ð Ñ ×ÑÓº ¿¾º Ð ¼ ÒÓ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓº ¿¿º Ð ¼ ÔÓ× ÙÒ ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ¸ Ô ÖÓ ÒÓ × Ò Óº ¿ º Ð ¼ ÒÓ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓº ¿ º Ð ½ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓº ¿ º Ü ×Ø Ò x1 , x2 , x3 ∈ Ê ØÓ Ó× ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × ¸ Ø Ð × ÕÙ x1 × Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ x2 Ý x2 × Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ x3 º ¿ º Ó× a, b ∈ ʸ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð Ù Ò a+x = b × ÑÔÖ Ô ÖØ Ò Ò Ê {0}º ½
- 17. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¿ º Ó× a, b ∈ ʸ Ð Ù Ò a+x = b Ø Ò ÙÒ Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ¿ º Ó× a, b ∈ Ê ÓÒ a = 0¸ Ð Ù Ò a·x = b Ø Ò ÙÒ Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ¼º Ó× a, b ∈ ʸ Ð Ù Ò a · x = b ÔÙ Ø Ò Ö Ñ × ÙÒ ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ½º Ë a, b, c ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ a + b = a + c¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ b = cº ¾º Ë a, b, c ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ a · b = a · c¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ b = cº ¿º Ó× a, b ∈ Ê ÓÒ a = 0¸ × Ø Ò ÕÙ ¼ × × ÑÔÖ ×ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò a · x + b = 0º º Ó× a, b ∈ Ê ÓÒ a = 0¸ Ð ×ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò a·x+b=0 × b x = −aº º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x + y = 0¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ x=0 y = 0º º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x · y = 0¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ x=0 y = 0º º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x + y = 1¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ x=0 y = 0º ½
- 18. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÔÖÓÔÙ ×Ø × Ò Ð ØÙØÓÖ ´ µ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ × Ò Óº ´ µ Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð × Ò Óº ´ µ Ä Ù Ò ax = b¸ ÓÒ a = 0¸ Ø Ò ÙÒ Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ×Ø ÔÓÖ x = ba−1 º ´ µ Ó a ∈ Ê {0}¸ (a−1 )−1 = aº ¾º ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × × Ú Ö Ö Ò Ð × ×Ø Ñ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ÁÒ ÕÙ Ð Ö Þ Ò ×Ù Ú Ö ¸ Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ý ÔÖÓÔ × Ú ×ØÓ׺ ´ µ 2 + (3 + 5) = (2 + 5) + 3º ´ µ 0 + 5 = 5º ´ µ (x + y) + z = z + (y + x)º ´ µ (x + 2) · y = y · x + 2 · y º ´ µ (4−1 · 4) − 1 = 0º ¿º Ò Ð Ù ÖÔÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×× Ò 2 = 1+1¸ 3 = 2+1¸ 4 = 3+1¸ 5= 4+1 Ý 6 = 5 + 1º Í× Ò Ó × ÐÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý Ð Ó ÕÙ 2 = 0¸ ÔÖÙ Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ ×¸ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ô ×Ó× Ý Ñ Ò ÓÒ Ò Ó Ð Ü ÓÑ Ó Ò Ò ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò ÙÒÓ× ÐÐÓ× ´ µ 3 + 2 = 5º ´ µ 3 · 2 = 6º ´ µ 4 · 2−1 = 2º ´ µ 5 − 3 = 2º ´ µ (4 · 3) · 2−1 − 2 = 4º ½
- 19. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º × Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ù Ð ×¸ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× Ü ÓÑ × Ý Ð × ÔÖÓÔ × ÕÙ Ð × Ò ÓÖÖ Ø × ´ µ Ó× a, b ∈ ʸ (ab) + (a(−b)) = a · (b + (−b)) =a·0 =0 ´ µ Ó× x, y ∈ ʸ (1 − x)y + yx = (1 · y + (−x)y) + yx = (y + −(xy)) + yx = y + (−xy + yx) = y + (−xy + xy) =y+0 =y ´ µ Ó× a, b ∈ ʸ (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 ´ µ Ó a ∈ ʸ a+0·a=a·1+a·0 = a(1 + 0) =a·1 =a ´ µ Ó× a, b, c, d ∈ ʸ ÓÒ b, d = 0¸ a c + = ab−1 + cd−1 b d = (ab−1 ) · 1 + (c · 1)d−1 = (ab−1 )(dd−1 ) + (c(bb−1 ))d−1 = (ab−1 )(d−1 d) + cb(b−1 d−1 ) = ad(b−1 d−1 ) + cb(b−1 d−1 ) = ad(bd)−1 + bc(bd)−1 = (ad + bc)(bd)−1 ad + bc = bd ½
- 20. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ò Ò Ó Ð Ö ¹ Ñ ÒØ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ó ÔÖÓÔ × Ù× Ó× ´ µ a + a = 2 · aº ´ µ a − (b − c) = a + (−b) + c ´ µ (a + b)(a − b) = a2 − b2 ´ µ (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 ´ µ (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) = a4 − b4 ´µ (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 ´ µ b b (x + 2 )2 + c − ( 2 )2 = x2 + bx + c º Ê ×Ù ÐÚ Ð × × Ù ÒØ × Ù ÓÒ × ´x × Ð Ò Ò Ø µº µ 2x + 3 = 0º µ 3x + a = 2(x + a) ´ ×Ù Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ× aµº µ (x + 1) = (x + 2)(x − 4)º 2 µ (x + a)(x − a) = x2 − ax ´ ×Ù Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ× aµº µ x(−x + 2) − 3(x − 6) = −x(x − 1) − (−(x + 2) − 7)º µ (2x − 7)2 − x(3 − x) = 3(x + 1)2 + 2(1 − x)2 º µ ax = 0¸ Ô Ö a = 0º 2 µ (x − 2) = 0º µ (x + 2)(x − 3) = 0º º Ë C ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÕÙ × Ø × ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ ¹ × ´ Ü ÓÑ ×µ ´ ½µ 2 ∈ Cº ´ ¾µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ × 3x + 1 ∈ C º ´ ¿µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × x + y ∈ Cº ´ µ 3 ∈ Cº / ÑÙ ×ØÖ ÒØÓÒ × Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × Ò Ò Ó ÕÙ Ü ÓÑ ×¸ Ý × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ó ÐÓ× Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ó׸ ÙØ Ð Þ ´ µ 9 ∈ Cº ´ µ 1 ∈ Cº / ´ µ Ë 5 ∈ C¸ ÒØÓÒ × 22 ∈ C º ´ µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × 3x + 1 + 3y ∈ C º ´ µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ × −x ∈ C º / ¾¼
- 21. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ × Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ × Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ × Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ƚº Í× Ò Ó Ü ÐÙ× Ú Ñ ÒØ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ö Ð × Ý Ñ Ò ÓÒ Ò ÓÐÓ× Ð Ö Ñ ÒØ Ú Þ ÕÙ ÐÓ× Ù× ¸ ÑÙ ×ØÖ Ð × ÔÖÓÔ ×× Ù ÒØ ×º Ë Ó ÙÔ Ð ÙÒ ÓØÖ ÔÖÓÔ ÒØÓÒ × Ö ÑÓ×ØÖ ÖÐ Ò Ò Ó ÐÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ Ù× Ò ÐÐÓº µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀x, y ∈ Ê, x, y = 0, (x + y)(x−1 y −1 ) = x−1 + y −1 µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀x, y ∈ Ê, x, y = 0, (xy)−1 = y −1 x−1 µ ´¾¼ Ñ Òºµ Í× Ò Ó ´ µ¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ∀a, b, c, d ∈ Ê, b, d = 0, ab−1 + −1 −1 cd = (ad + cb)(bd) µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀a ∈ Ê, a2 = 0 ⇒ a = 0 Ⱦº Í× Ò Ó × ÐÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý Ð × ÙÒ × ÐÓ× ÒÚ Ö×Ó׸ ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ´× Ò × Ø Ð ÙÒ ÔÖÓÔ ÜØÖ ¸ ÑÓ×ØÖ ÖÐ µ ´ µ ´½ Ñ Òºµ È Ö ØÓ Ó x, y ∈ ʸ (−x) + (−y) × ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ x + yº ´ µ ´¾ Ñ Òºµ Ë a, b, c, d ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ × Ú Ö Ð Ö Ð Ò (ad) + (−(cb)) = 0 ÒØÓÒ × [(a + b)d] + [−((c + d)b)] = 0. ´ µ ´½ Ñ Òºµ È Ö a = 0¸ −(a−1 ) = (−a)−1 º È¿º ´¾¼ Ñ Òº µ Í× Ò Ó ÔÖÓÔ × Ð Ñ ÒØ Ð × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ¹ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x, y, z, w ∈ ʸ w = 0¸ z = 0 ÐÓ × Ù ÒØ × Ú Ö ÖÓ (xw + yz)2 = (x2 + y 2 )(w2 + z 2 ) ⇒ ∃λ ∈ Ê ØºÕº x = λw, y = λz. ¾½
- 22. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð È Ö ÐÐÓ ÒÓØ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ù Ð Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ô Ö¹ Ñ Ø Ù Ö ÕÙ x z + y w2 = 2xwyz º 2 2 2 ÄÙ Ó¸ Ú ÕÙ ×ØÓ ÐØ ÑÓ ÑÔÐ ÕÙ xz = ywº Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ ÙÞ Ð ÓÒ ÐÙ× Òº È º Ë C ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÕÙ × Ø × ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÖÓ¹ Ô × ´ Ü ÓÑ ×µ ´ ½µ 3 ∈ Cº ´ ¾µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ × 3x + 1 ∈ C º ´ ¿µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × x + y ∈ Cº ´ µ 7 ∈ Cº / ÑÙ ×ØÖ ÒØÓÒ × Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × Ò Ò Ó ÕÙ Ü ÓÑ ×¸ Ý × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ó ÐÓ× Ö Ò Ñ ÓÒ Ó׸ ÙØ Ð Þ ´ µ ´ Ñ Òºµ 1 ∈ Cº / ´ µ ´ Ñ Òºµ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × 3x + 2y + 4 ∈ C ´ µ ´ Ñ Òºµ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × 4 − x − y ∈ Cº / ´ µ ´ Ñ ÒºµË 3y + z + 4 ∈ C ¸ / ÒØÓÒ × (y ∈ C ∨ / z 2 ∈ C)º / ´ µ ´ Ñ Òº µÆÓ Ü ×Ø x∈C Ø Ð ÕÙ 3(2x − 1) = 39º ¾¾
- 23. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö 1.6. Axiomas de Orden de los Reales Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ È Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÓÖ Ò Ò ÐÓ× Ö Ð × Ý ÔÓ Ö ØÖ Ö ÓÒ ×¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × ÒÓØ ÓÒ ×º ٠Р׸ Ü ×Ø Ò Ú Ö× × ÓÖÑ × Ô Ö ÓÑ ÒÞ Öº Ò ×Ø ÔÙÒØ ÑÓ× × Ó ÓÐ Ú Ö× Ò ÕÙ ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ Ð Ò Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ö Ð × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ý Ò × ÐÐÓ× × Ó Ø Ò Ò Ð × Ò ÓÒ × Ð × × Ù Ð × Ý ØÓ × Ð × ÔÖÓÔ ×º Ò R Ü ×Ø ÙÒ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÐÐ Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ð × ´ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ µ ÔÓ× Ø ÚÓ× (R∗ )¸ + Ð Ù Ð × Ø × ÐÓ× × Ù ÒØ × Ü ÓÑ × Ó Ö Ð ×º Ü ÓÑ º´ Ð ØÖ ÓØÓÑ µ ܺ º ÌÖ ÓØÓÑ ∀x ∈ R¸ ÙÒ Ý ×ÓÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö Ö µ x ∈ R∗ + µ (−x) ∈ R∗ + µ x=0 Ç × ÖÚ Ò ÙÑÔÐ Ö× ´ µ × ÕÙ x × ÙÒ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ Ý × × ÙÑÔÐ ´ µ Ö ÑÓ× ÕÙ x × ÙÒ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº Ü ÓÑ º ´ Ð Ù×ÙÖ µ ܺ º Ð Ù×ÙÖ ÐÓ× (∀x, y ∈ R∗ ) + × ÙÑÔÐ ÕÙ Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ× (x + y) ∈ R∗ + x · y ∈ R∗ + × Ö¸ R∗ + × ÖÖ Ó Ô Ö Ð ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù ØÓº 1.7. Relaciones de orden ÓÖ ÕÙ ÓÒÓ ÑÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ R∗ ¸ ×Ø ÑÓ× + Ò ÓÒ ÓÒ × Ò ÓÖÔÓÖ Ö Ð × Ò ÓÒ × ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× <, >, ≤, ≥º Ê Ð ÓÒ × ÓÖ Ò Ë Ò x, y ∈ R × Ò Ð Ö Ð ÓÒ × <¸ >¸ ≤¸ ≥¸ ÔÓÖ ½º x < y ⇐⇒ (y − x) ∈ R∗ + ¾º x > y ⇐⇒ y < x ⇐⇒ (x − y) ∈ R∗ + ¿º x ≤ y ⇐⇒ (x < y) ∨ (x = y) º x ≥ y ⇐⇒ (x > y) ∨ (x = y) ¾¿
- 24. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 1.8. Propiedades de la desigualdad ÈÖÓÔ ½ x > 0 ⇐⇒ x ∈ R∗ + ÑÓ×ØÖ Òº x > 0 ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò Ò (x−0) ∈ R∗ ¸ + ÐÓ ÕÙ × ÒØ Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ × ∗ Ò x ∈ R+ º ÓÒ ×ØÓ ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ð ÕÙ Ú Ð Ò Ð × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ×º ÈÖÓÔ ¾ x × Ò Ø ÚÓ ⇐⇒ x < 0. ÑÓ×ØÖ Òº x < 0 ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò Ò (0−x) ∈ R∗ ¸ ÓÒ ÐÓ Ù + Ð× Ø Ò ÕÙ −x ∈ R∗ ¸ ÓÒ ÐÓ Ù + Ð× Ø Ò ÕÙ x ×Ò Ø ÚÓº ÈÖÓÔ ¿ ´ØÖ ÓØÓÑ µ È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö ÒÙÑ ÖÓ× Ö Ð × x y¸ ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö Ö µ x<y µ x>y µ x=y ÑÓ×ØÖ Òº Ë Ò Ð Ü ÓÑ ½ Ð ØÖ ÓØÓÑ ¸ ÓÑÓ (y − x) ∈ R ÒØÓÒ × ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö Ö ∗ µ(y − x) ∈ R+ ¸ µ −(y − x) ∈ R∗ , Ó + Ò µ (y − x) = 0º Ë Ò Ñ Ö Ó µ × Ò x < y º µ × Ò (x − y) ∈ R∗ ¸ Ó × ¸ + x > yº Ò ÐÑ ÒØ µ × Ò x = yº ÓÒ ÐÓ Ù Ð × Ø Ò Ð ÑÓ×ØÖ Òº ÈÖÓÔ x<y Ý a ∈ R =⇒ x + a < y + a. ÑÓ×ØÖ Òº Î ÑÓ× ÕÙ (y + a) − (x + a) ∈ R∗ + × Ö ÕÙ (y + a) − (x + a) > 0 (y + a) − (x + a) = y + a + ((−x) + (−a)) = y + (−x) + a + (−a) = y − x, Ô ÖÓ ÔÓÖ Ô Ø × × × ÑÓ× ÕÙ x < y ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ y − x > 0, ÐÙ Ó (y + a) − (x + a) > 0 ÓÒ x + a < y + aº Ç × ÖÚ Ò ÓÒ ×Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ñ Ó× Ð Ó× Ð × Ù Ð Ý ×Ø ÒÓ Ñ º ÈÖÓÔ µ x < y ∧ a > 0 ⇒ ax < ay ¾
- 25. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð µ x < y ∧ a < 0 ⇒ ax > ay ÑÓ×ØÖ Òº µ ÈÓÖ Ô Ø × × (y − x) ∈ R+ Ý a ∈ R∗ ¸ ∗ + ÔÓÖ ÐÓ× Ü Ó¹ Ñ × Ý ¿ Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ a(y − x) = ay − ax ∈ R∗ ¸ + ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ax < ay º µ ax − ay = a(x − y) = (−a)(y − x) ∈ R∗ =⇒ ax > ay º + Ç × ÖÚ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ñ¹ Ó× Ð Ó× Ð × Ù Ð Ý × ×Ø Ð ÐÑ ÒØÓ × ÔÓ× Ø ÚÓ Ð × Ù Ð ÒÓ Ñ ¸ Ô ÖÓ × Ð Ð Ñ ÒØÓ × Ò Ø ÚÓ Ð × Ù Ð × Ñ Ö º ÈÖÓÔ ∀x ∈ R ⇒ x2 ≥ 0º ÑÓ×ØÖ Òº ÈÓÖ Ð Ü ÓÑ ½ ØÖ ÓØÓÑ × ÑÓ× x ∈ R =⇒ x ∈ R∗ ∨ x = 0 ∨ (−x) ∈ R∗ + + =⇒ x · x ∈ R∗ ∨ x2 = 0 ∨ (−x)(−x) ∈ R∗ + + =⇒ x2 ∈ R+ ∨ x2 = 0 ∨ x2 ∈ R∗ ∗ + =⇒ x2 > 0 ∨ x2 = 0 =⇒ x2 ≥ 0. ÓÑ ÒØ Ö Ó 1 = 1 · 1 = 12 ≥ 0¸ Ô ÖÓ 1 = 0¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 1 > 0ÐÙ Óº ÓÒ ∈ R∗ º ×ØÓ1 + ÈÖÓÔ Ë x<y Ý u < v =⇒ x + u < y + v º ÑÓ×ØÖ Òº ÈÓÖ Ð Ò Ò <Ø Ò ÑÓ× Ó× Ó× × x < y ⇒ (y − x) ∈ R∗ Ý u < v ⇒ (v − u) ∈ R∗ º + + ∗ ∗ ÓÑÓ R+ × ÖÖ Ó Ô Ö Ð ×ÙÑ Ø Ò Ö ÑÓ× (y − x) + (v − u) ∈ R+ ¸ ∗ ÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ò Ó ÐÓ× Ô Ö ÒØ × × Ó Ø Ò Ö ÑÓ× (y + v) − (x + u) ∈ R+ º ÄÙ Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð Ò Ò <¸ ÐÓ ÐØ ÑÓ ÕÙ Ú Ð x+ u < y + v. Ç × ÖÚ Ò ×Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ÒÓ× ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö Ð × × Ù Ð ×º ÈÖÓÔ Ë 0<x<yÝ0<u<v ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð × × Ù Ð ×¸ × Ö xu < yv º ÑÓ×ØÖ Òº ÈÓÖ Ð Ò Ò <Ý ÔÓÖ Ð ÖÖ ÙÖ R∗ Ô + Ö +Ý ·¸ Ó Ø Ò Ö ÑÓ× 0 < x < y =⇒ (y − x) ∈ R∗ + =⇒ v(y − x) + (v − u)x ∈ R∗ , 0 < u < v =⇒ (v − u) ∈ R∗ + + × ÖÖÓÐÐ Ò Ó Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ × Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ× vy − ux ∈ R∗ ¸ + ÓÒ ÐÓ Ù Ð ÔÓÖ Ð Ò Ò <× Ø Ò Ö xu < yv. ¾
- 26. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò ×Ø ÔÖÓÔ ÒÓ× ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð × ×¹ Ù Ð × Ò R∗ × Ò + ÕÙ Ñ Ð × Ù Ð º ÈÖÓÔ µ (x < 0) ∧ (y > 0) ⇒ xy < 0 µ (x < 0) ∧ (y < 0) ⇒ xy > 0 ÑÓ×ØÖ Òº ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔ ½¸ Ð ÖÖ ÙÖ Ô Ö ·Ó Ø Ò Ö ÑÓ× ÐÓ× Ó× Ö ×ÙÐØ Ó׸ × Ö µ (−x) ∈ R∗ ∧ y ∈ R∗ ⇒ −xy ∈ R∗ ⇒ xy < 0º + + + µ (−x) ∈ R∗ ∧ (−y) ∈ R∗ ⇒ (−x)(−y) ∈ R∗ ⇒ xy > 0º + + + ÈÖÓÔ ½¼ µ x > 0 ⇒ x−1 > 0 µ x < 0 ⇒ x−1 < 0 ÑÓ×ØÖ Òº µ x−1 = x−1 ·x−1 ·x = (x−1 )2 ·x¸ ÐÙ Ó ÓÑÓ (x−1 )2 > −1 0 Ý x > 0¸ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò Ö ÑÓ× x = (x−1 )2 ·x > 0 µ x−1 = x−1 x−1 x = (x−1 )2 · x < 0 Ý ÕÙ (x−1 )2 > 0 ∧ x < 0º ÈÖÓÔ ½½ Ë 0<x<y ÒØÓÒ × x−1 > y −1 º −1 ÑÓ×ØÖ Î ÑÓ× ÕÙ x − y −1 ∈ R∗ Òº + 1 y−x 1 x − y = − y = xy = (y − x) · x−1 y −1 −1 −1 x ∗ −1 Ô ÖÓ 0 < x < y =⇒ (y − x) ∈ R+ , x ∈ R∗ y −1 ∈ + R∗ + ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ð −1 ÐØ Ñ ÜÔÖ × Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ× x − y −1 ∈ R∗ ¸ × + Ö¸ −1 y −1 <x º 1.9. Gráfico de subconjuntos de R. Ò Ú ÖØÙ Ð Ö Ð Ò Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð Ò Ò R × ÔÙ Ô Ò× Ö Ò ÓÖ Ò Ö ×ÕÙ Ñ Ø Ñ ÒØ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ñ ÒÓÖ Ñ ÝÓÖº ÄÓ× Ò Ñ ¹ ÖÓ× Ö Ð ×× Ö ÔÖ × ÒØ Ò ×Ó Ö ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ð ÕÙ x Ò R× Ð ×Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ Px ×Ó Ö Ð Ö Ø × Ù Ò Ó Ð × × Ù ÒØ × ÓÒÚ Ò ÓÒ × µ Ë x<y ÒØÓÒ × Px ×Ø Ð ÞÕÙ Ö Py µ Ë x<y ÒØÓÒ × P x+y × ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð ØÖ ÞÓ Px Py º 2 ¾
- 27. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Px P(x+y)/2 Py Ò Ò ½º¾ ´ÁÒØ ÖÚ ÐÓ×µº Ë Ò a, b ∈ R Ø Ð × ÕÙ a ≤ bº ÄÓ× × Ù Ò¹ Ø × ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× R × ÐÐ Ñ Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ× ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ a ÓÑ b (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} ¾º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó a ÓÑ b [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ¿º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ a ÓÑ b ÖÖ Ó ÔÓÖ Ð Ö Ý ÖØÓ ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ a ÓÑ b ÖÖ Ó ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ý ÖØÓ ÔÓÖ Ð Ö [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ× ÒÓ ÓØ Ó× (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} (−∞, a) = {x ∈ R : x < a} [a, +∞) = {x ∈ R/a ≤ x} (a, +∞) = {x ∈ R : a < x} ÆÓØ Ò È Ö ÒÓØ Ö ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a, b) Ø Ñ Ò × ÔÙ Ó ÙÔ Ö ÐÓ× Ô Ö Ò¹ Ø × × ]a, b[ . Ç × ÖÚ ÓÒ × ½º Ë a=b ÒØÓÒ × (a, a) = (a, a] = [a, a) = ∅ Ý [a, a] = {a}º ¾º Ë ÔÙ ÒÓØ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ R ÓÑÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ÓØ Ó (−∞, +∞). ¿º Ë I ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ý x1 , x2 ∈ I ¸ Ø Ð × ÕÙ x1 ≤ x2 ¸ ÒØÓÒ × [x1 , x2 ] ⊆ Iº ¾
- 28. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 1.10. Inecuaciones 1.10.1. Introducción ÍÒ Ò Ù Ò × ÙÒ × Ù Ð Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ò Ð ÕÙ ÒØ ÖÚ ¹ Ò Ò ÙÒ Ó Ñ × ÒØ × Ò Ö ×º Ê ×ÓÐÚ Ö ÙÒ Ò Ù Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ × Ö Ð × Ð × Ò Ò Ø × Ò Ö × × × Ø × Ð × Ù Ð º Ô Ò Ò Ó Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ × Ò Ö × Ý Ò Ù ÓÒ × 1, 2 Ó Ñ × Ò Ò Ø × Ý ÒØÖ Ð × ÙÒ Ò Ò Ø Ð × Ý ÔÖ Ñ Ö¸ × ÙÒ Ó¸ Ø Ö Ö Ó Ñ ÝÓÖ Ö Óº Ð Ö ×ÓÐÚ Ö ÙÒ Ò Ù Ò ½ Ò Ò Ø ×Ù Ð Ù× Ö× Ð Ñ ÝÓÖ ×Ù ÓÒ ÙÒ¹ ØÓ R ÓÒ Ð × Ù Ð × ÙÑÔÐ º ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ × ÐÐ Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Òº 1.10.2. Inecuaciones de primer grado ËÓÒ Ð ÓÖÑ ax + b < 0 ÓÒ a Ý b ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÓÒ×Ø ÒØ × Ý a = 0º ÓÒ Ð × ÒÓ < ÔÙ × Ö Ø Ñ Ò >¸ ≤ Ó ≥. ËÓÐÙ Ò ax + b < 0 ⇐⇒ ax < −b µ Ë a>0 ÒØÓÒ × Ð Ò Ù Ò ÕÙ b x < −a ÙÝ ×ÓÐÙ Ò Ú Ò¹ b Ø Ñ ÒØ × x∈ (−∞, − a )º µ Ë a<0 ÒØÓÒ × Ð Ò Ù Ò ÕÙ b x > −a ÙÝ ×ÓÐÙ Ò Ú Ò¹ b Ø Ñ ÒØ × x ∈ (− , ∞)º a ÑÔÐÓ ½º½º 5(x − 1) > 2 − (17 − 3x) ËÓÐÙ Ò 5(x − 1) > 2 − (17 − 3x) ⇐⇒ 5x − 5 > −15 + 3x ⇐⇒ 2x > −10 ⇐⇒ x > −5 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÓÐÙ Ò × Ö x ∈ (−5, ∞)º ¾
- 29. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 1.10.3. Inecuaciones de grado mayor a 1 ÒÙÒ Ö ÑÓ× ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÙÒ × Ò Ù ÓÒ × Ð Ø ÔÓ P (x) < 0, Q(x) ÓÒ Ð × ÒÓ < ÔÙ × Ö Ø Ñ Ò >¸ ≤ Ó ≥º ÆÓ× Ö Ñ Ø Ö ÑÓ× ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÐÓ× ×Ó× Ù Ò Ó P (x) Ý Q(x) ×ÓÒ ÔÖÓ Ù ¹ ØÓ× ØÓÖ × ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð Ø ÔÓ ax + bº ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ó × ÖÚ Ö b ÕÙ ×Ø Ø ÔÓ ØÓÖ × Ñ × ÒÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ x = − º ÒÓÑ Ò ¹ a Ö ÑÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× ×ØÓ× Ú ÐÓÖ ×º Ð Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø × Ò Ù ÓÒ × × Ò ÓÒ× Ù Ò Ð × Ù ÒØ b ½º Ø ÖÑ Ò Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× Ñ ÒØ Ð Ù Ò x = −aº ¾º ÇÖ Ò Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× Ñ ÒÓÖ Ñ ÝÓÖ Ý ÓÖÑ Ö ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÖØÓ× Ò ÖÖ Ó× ÒØÖ ÐÐÓ× Ñ × ÐÓ× Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÒÓ ÓØ Ó× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×º P (x) ¿º Ò Ð Þ Ö Ð × ÒÓ Ð ÜÔÖ × Ò Q(x) Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× Ò ´¾ºµ Ý × Ó Ö ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ Ò Ù Ò ÑÓ Ó Ð Ò Ù Òº º Ò ÐÓ× ×Ó Ò ÕÙ ÐÓ× × ÒÓ× Ð Ò Ù Ò × Ò ≤ Ó ≥ Ò Ö Ö× Ð ×ÓÐÙ Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ¸ Ý ÕÙ Ò ×Ó× ÔÙÒØÓ× × ÒÙÐ Ð Ö Òº ÑÔÐÓ ½º¾º ÔÐ ÕÙ ÑÓ× ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð × Ù ÒØ ÑÔÐÓ x+1 x+1 3 ≤ − x x−1 x ËÓÐÙ Ò x+1 x+1 3 x ≤ x−1 − x x+1 x+1 3 ⇐⇒ x − x−1 + x ≤ 0 x+4 x+1 ⇐⇒ x − x−1 ≤ 0 x2 −x+4x−4−x2 −x ⇐⇒ x(x−1) ≤ 0 2x−4 ⇐⇒ x(x−1) ≤ 0. ÄÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× × Ö Ò È Ö 2x − 4 Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó × 2º È Ö x−1 Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó × 1. ¾
- 30. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð È Ö x Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó × 0º È Ö Ö Ð Þ Ö Ð ÔÙÒØÓ ¿µ Ý µ × Ö Ò Ð Þ Ö Ð × ÒÓ Ð ÜÔÖ × Ò 2x−4 ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ÓÖÑ Ñ × ÓÖ Ò ¸ × ÓÒ¹ x(x−1) Ú Ò ÒØ ÓÖÑ Ö ÙÒ Ø Ð ÓÒ Ò Ð Þ Ö ÑÓ× ÔÓÖ Ô ÖØ Ð × ÒÓ ÔÓÖ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÓÖÑ ax + b ÕÙ Ô ÖØ Ô ¸ Ý ÐÙ Ó Ú Ö Ð × ÒÓ Ð ÜÔÖ × Ò ØÓØ Ð ÔÓÖ Ñ Ó Ð Ö Ð ÐÓ× × ÒÓ× Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Òº Ò ×Ø ÑÔÐÓ Ð Ø Ð × Ö (−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +∞) x (−) (+) (+) (+) x−1 (−) (−) (+) (+) 2x − 4 (−) (−) (−) (+) 2x−4 x(x−1) (−) (+) (−) (+) Ð ×Ó Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó x=2 Ð ÜÔÖ × Ò Ú Ð 0¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÙÑÔÐ Ð × Ù Ð ¸ Ñ × Ò Ð Ù Ð ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ× Ö ÖÐ ÒÙ ×ØÖÓ ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Òº Ð ×Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× x = 0 Ý x = 1 × ×Ø ÒØÓ¸ ÑÓ× ÕÙ Ø ÖÐÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò ÔÙ × Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ × ÒÙÐ Ó Ø Ò Ò Ó Ú × Ò ÔÓÖ 0¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ ÔÙ × Öº ÈÓÖ ØÓ Ó ×ØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò × Ö (−∞, 0) (1, 2] . 1.10.4. Factorización de términos cuadráticos Ë Ð Ò Ù Ò ÒÓ Ô Ö ØÓÖ Þ ÔÓÖ ØÓÖ × ÔÖ Ñ Ö Ö Ó¸ × ÔÙ ÒØ ÒØ Ö ØÓÖ Þ Ö Ð ÜÔÖ × Ò¸ Ó Ò ÒØ ÒØ Ö ÓÒÓ Ö ´× Ò ØÓÖ ¹ Þ Öµ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ ×ØÓ× ØÓÖ × Ñ Ò × ÒÓº Ò ×Ø ÐØ ÑÓ ×Ó¸ × ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö Ð Ò Ù Ò ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ò Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö ÐÓ× ØÓÖ × × ÙÒ Ó Ö Ó × Ø Ò b c ax2 + bx + c = a[x2 + x + ] a a b b2 c = a[(x + )2 − 2 + ] 2a 4a a b 2 b2 − 4ac = a[(x + ) − ]. 2a 4a2 ÄÐ Ñ ÑÓ× ∆ Ð ØÓÖ b2 − 4acº Ô Ò Ò Ó Ð × ÒÓ ∆ × Ø Ò Ò ØÖ × ÔÓ× Ð × ½º Ë ∆>0 ÒØÓÒ × Ð ÜÔÖ × Ò × ØÓÖ Þ Ð × Ò ØÓÖ × ÔÖ ¹ Ñ Ö Ö Ó Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ ¿¼
- 31. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð b b2 − 4ac ax2 + bx + c = a (x + )2 − 2a 4a2 √ 2 b 2 ∆ = a (x + ) − . 2a 2a ÔÐ Ò Ó Ð ØÓÖ Þ Ò ×ÙÑ ÔÓÖ ×Ù Ö Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ× Ð Ü¹ ÔÖ × Ò Ò ØÓÖ × ÔÖ Ñ Ö Ö Ó √ √ 2 b+ ∆ b− ∆ ax + bx + c = a(x + )(x + ). 2a 2a √ √ −b− ∆ −b+ ∆ ÄÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ × Ò ×ÓÒ x1 = 2a ¸ x2 = 2a ¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð ÚÓÐÚ ÑÓ× Ð ×Ó Ý ×ØÙ Óº × Ö ax2 + bx + c Ø Ò Ð × ÒÓ a × x ∈ (−∞, x1 ) ∪ (x2 , ∞)º ax2 + bx + c Ø Ò Ð × ÒÓ −a × x ∈ (x1 , x2 )º ¾º Ë ∆=0 ÒØÓÒ × ×ÓÐÓ Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó ÕÙ × b x∗ = − 2a Ý × Ø Ò ÕÙ ax2 + bx + c Ø Ò Ð × ÒÓ a × x ∈ (−∞, x∗ ) ∪ (x∗ , ∞). ¿º Ë ∆<0 ÒØÓÒ × ÒÓ Ý ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× Ý Ò ×Ø ×Ó 2 ax + bx + c Ø Ò Ð × ÒÓ a ∀x ∈ R. ÄÙ Ó Ð ØÓÖ ax2 +bx+c ÔÙ × Ö × ÑÔÐ Ó ÒÐ Ò Ù Ò¸ Ù Ò Ó Ð ØÓ ÕÙ Ð × ÒÓ ×Ø ØÓÖ ÔÖÓ Ù Ò Ð × ÒØ Ó Ð × Ù Ð º Ë Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ö Ò ØÓÖ × Ñ ÝÓÖ Ö Ó¸ ×Ù Ö ×ÓÐÙ Ò ×Ø Ö ÓÒ ÓÒ Ð Ó × ÔÙ Ó ÒÓ ØÓÖ Þ Ö ×Ø ØÓÖ × ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ö Ó Ó × × ÓÒÓ Ò ×Ù× Ñ Ó× × ÒÓº Ö Ó× ½º¾ ½º Ê ×ÓÐÚ Ö Ð × × Ù ÒØ × Ò Ù ÓÒ × µ 2x2 + 3x + 1 < 0 µ 4x − 5 − x2 > 0 µ x3 < x 22 23x+26 51 Úµ 2x−3 + 4x2 −9 > 2x+3 6 3 4 Úµ 6x − x < x 4x−3 8x−6 Ú µ 6x ≤ 5x x9 +x Ú µ x2 −3x+2<0 ¿½
- 32. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¾º Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× R 8 7 6 µ {x ∈ R/ x x2 −4x+3 > 0} +2x −8x µ {x ∈ R/x3 − 11x2 + 10x < 10x3 − 12x2 + 82x > 0} 40 µ {x ∈ R/ x2 +x−12 < −4} 1.10.5. Algunas soluciones 2 µ 2x + 3x + 1 < 0 ∆ = b2 − 4ac = 9 − 4 · 2 · 1 = 1 > 0 √ x1 = −1 x1,2 = −b± ∆ = −3±1 ⇒ 2a 4 1 x2 = − 2 ÄÙ Ó 2x2 + 3x + 1 < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, −1/2). µ 4x − 5 − x2 > 0 ⇐⇒ −x2 + 4x − 5 > 0 ∆ = b2 − 4ac = 16 − (4 · −1 · −5) = 16 − 20 = −4 < 0 ÄÙ Ó Ð × ÒÓ Ð ØÓÖ × ÓÒ×Ø ÒØ Ù Ð Ð × ÒÓ a = −1¸ × Ö × ÑÔÖ Ò Ø ÚÓº ÄÙ Ó Ð ×ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò × 4x − 5 − x2 > 0 ⇐⇒ x ∈ Φ. µ x3 < x ⇐⇒ x3 − x < 0 ⇐⇒ x(x2 − 1) < 0 ⇐⇒ x(x − 1)(x + 1) < 0 ÄÙ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× ×ÓÒ 0¸ 1 Ý −1º ÓÒ ×ØÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× ÓÒ ÓÒ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ø Ð (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, +∞) x (−) (−) (+) (+) x−1 (−) (−) (−) (+) x+1 (−) (+) (+) (+) x3 − x (−) (+) (−) (+) ÄÙ Ó Ð ×ÓÐÙ Ò × x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1). 4x−3 8x−6 4x−3 8x−6 Ú µ 6x ≤ 5x ⇐⇒ 6x − 5x ≤ 0 (20x−15)−(48x−36) ⇐⇒ 30x ≤0 −28x+21 ⇐⇒ 30x ≤0 ⇐⇒ ( −7 )( 4x−3 ) ≤ 0 30 x 4x−3 ⇐⇒ x ≥0 ¿¾
- 33. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 3 ÄÙ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× ×ÓÒ 0 Ý 4º ÓÒ ×ØÓ ÓÒ ÓÒ ÑÓ× Ð Ø Ð × ¹ Ù ÒØ 3 (−∞, 0) (0, 4 ) ( 3 , +∞) 4 4x − 3 (−) (−) (+) x (−) (+) (+) 4x−3 x (+) (−) (+) 3 Ñ × Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó x= 4 ÒÙÐ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ð Ö Ò¸ ÐÙ Ó × Ø Ñ Ò ×ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Òº ÄÙ Ó Ð ×ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò × 3 x ∈ (−∞, 0) ∪ [ , ∞). 4 1.11. Módulo o valor absoluto Ò Ò ½º¿ ´Å ÙÐÓ Ó Ú ÐÓÖ ×ÓÐÙØÓµº Ë x ∈ R¸ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ñ ¹ ÙÐÓ x ÐÖ Ð Ò Ó ÔÓÖ x, × x ≥ 0 |x| = −x, × x < 0 ÑÔÐÓ× µ |2| = 2 µ | − 2| = −(−2) = 2 1 − x2 , × 1 − x2 ≥ 0 µ |1 − x2 | = x2 − 1, × 1 − x2 < 0 Ô ÖÓ 1 − x2 ≥ 0 ⇐⇒ (1 − x)(1 + x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [−1, 1] ÄÙ Ó 1 − x2 × x ∈ [−1, 1] |1 − x2 | = x2 − 1 × x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ÈÖÓÔ × ½º ½º |x| ≥ 0 ∀x ∈ R ¾º |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 ¿º |x| = | − x| ¿¿
- 34. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º |x | = |x| = x 2 2 2 º −|x| ≤ x ≤ |x| º |xy| = |x| · |y| º |x| = y |x| |y| º |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a] º |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ∨ a ≤ x ⇐⇒ x ∈ (−∞, −a] ∪ [a, ∞) ½¼º |x − x0 | ≤ a ⇐⇒ x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ⇐⇒ x ∈ [x0 − a, x0 + a] ½½º |x − x0 | ≥ a ⇐⇒ x ≤ x0 − a ∨ x ≥ x0 + a ⇐⇒ x ∈ (−∞, x0 − a] ∪ [x0 + a, ∞) ½¾º (∀x, y ∈ R) |x + y| ≤ |x| + |y| ´ × Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Öµ Ç × ÖÚ Ò Å × ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð × ÐØ Ñ × ÔÖÓÔ ¹ ׸ × ÐÓ Ö Ö ÒØ Ò ÖÐ × ÒØ ÖÒ Ð Þ ÖÐ × Ð ¸ Ý ÕÙ × Ö Ò ÙÒ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö Ð Ö ×ÓÐÙ Ò Ò Ù ÓÒ × ÕÙ ÓÒ¹ Ø Ò Ò ÜÔÖ × ÓÒ × ÓÒ Ñ ÙÐÓº ÁÒ Ù ÓÒ × ÕÙ ÔÓÖ ÖØÓ × Ö Ò ÑÙ Ó Ñ × ÒØ Ö × ÒØ × Ý ÓÑÔ × Ð Ú Þ ÕÙ Ð × Ú ×Ø × Ð ÓÑ ÒÞÓº 1.11.1. Demostración de algunas propiedades del módulo ½º ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ (∀x ∈ R) |x| ≥ 0 x∈R =⇒ x≥0 ∨ x<0 =⇒ |x| = x ≥ 0 ∨ |x| = −x > 0 =⇒ |x| ≥ 0 ∨ |x| > 0 =⇒ |x| ≥ 0. ¾º ÑÓ× Ô ÖØ Ö Ð Ó |x| = 0 Ý ÔÖÓ Ö ÕÙ x = 0¸ Ý ÐÙ Ó Ô ÖØ Ö x=0Ý Ô ÖØ Ö ×Ø Ó ÔÖÓ Ö ÕÙ |x| = 0º ÓÒ ×ØÓ Ö ÑÓ× ÔÖÓ Ó Ð ÕÙ Ú Ð Ò º ¹x = 0 ⇒ |x| = x = 0 ⇒ |x| = 0 ¹|x| = 0 ⇒ x = 0 ∨ −x = 0 ⇒ x = 0º º ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö (∀x ∈ R) − |x| ≤ x ≤ |x| x∈R =⇒ x≥0 ∨ x<0 =⇒ x = |x| ∨ −x = |x| =⇒ −|x| ≤ x = |x| ∨ −|x| = x < |x| =⇒ −|x| ≤ x ≤ |x| ∨ −|x| ≤ x ≤ |x| =⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|. ¿
- 35. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a] Ë a<0 Ð ÕÙ Ú Ð Ò × Ú ÒØ ÔÙ × |x| ≤ a ⇐⇒ x ∈ Φ ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a Ë a ≥ 0¸ ÒØÓÒ × × Ø Ò ÕÙ |x| ≤ a ⇐⇒ [x ≥ 0 ∨ x < 0] ∧ |x| ≤ a ⇐⇒ 0 ≤ x = |x| ≤ a ∨ −a ≤ −|x| = x < 0 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ a ∨ −a ≤ x < 0 ⇐⇒ [0 ≤ x ∧ −a ≤ x ≤ a] ∨ [x < 0 ∧ −a ≤ x ≤ a] ⇐⇒ [0 ≤ x ∨ x < 0] ∧ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ÑÔÐÓ ½º¿º Ê ×ÓÐÚ ÑÓ× 2|x| < |x − 1| È Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø Ø ÔÓ Ò Ù ÓÒ ×¸ × ÔÙ Ò Ù× Ö Ó× Ñ ØÓ Ó× ÐØ Ö¹ Ò Ø ÚÓ׺ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ Ù× Ð × ÔÖÓÔ × Ð Ñ ÙÐÓ Ò ÓÖÑ Ö Ø Ö º Ð × ÙÒ Ó Ñ ØÓ Ó ÓÒ× ×Ø Ò × Ô Ö Ö Ð Ò Ù Ò ÓÒ Ñ ÙÐÓ Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ù ÓÒ × Ð × × Ò ÑÓ ÙÐÓº Î ÑÓ× Ò ÓÖÑ Ø ÐÐ ÓÑÓ Ù× Ö ×Ø × Ó× Ø Ò × Ò ×Ø Ö Óº Ì Ò ½ ´Ù×Ó Ð × ÔÖÓÔ × Ð Ñ ÙÐÓµ ×Ø Ø Ò × Ù× Ð ÑÓ Ó × Ù ÒØ 2|x| < |x − 1| ⇐⇒ −|x − 1| < 2x < |x − 1| ⇐⇒ |x − 1| > −2x ∧ |x − 1| > 2x ⇐⇒ [x − 1 < 2x ∨ x − 1 > −2x] ∧ [x − 1 < −2x ∨ x − 1 > 2x] ⇐⇒ [x > −1 ∨ 3x > 1] ∧ [3x < 1 ∨ x < −1] 1 ⇐⇒ [x > −1] ∧ [x < ] 3 1 ⇐⇒ x ∈ (−1, ). 3 ÑÔÐÓ ½º º Ì Ò ¾ ´Ù×Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó×µ ×Ø Ø Ò ÓÑ ÒÞ Ù× Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò ÐÓ× Ù Ð × ÐÓ× ¹ ØÓÖ × Ó ÐÓ× Ñ ÙÐÓ× Ñ Ò × ÒÓº Ë Ñ Ö ÑÓ× Ð ÜÔÖ × Ò 2|x| < |x − 1|, Ú ÑÓ× Ð Ö Ñ ÒØ ÕÙ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× ×ÓÒ Ð 0Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ÙÐÓ Ý Ð 1 Ô Ö Ð × ÙÒ Óº ×ØÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× × ÓÖ Ò Ò Ñ ÒÓÖ Ñ ÝÓÖ Ý ÓÒ ÐÐÓ× × ÓÖÑ Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× (−∞, 0], (0, 1] Ý ¸(1, +∞). ¿
- 36. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÓÒ ×ØÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× × ÔÙ Ö ÕÙ Ð Ò Ù Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð × Ö × × Ð × × Ù ÒØ × À Ý ÕÙ Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2|x| < |x − 1|. À Ý ÕÙ Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò (−∞, 0] ∪ (0, 1] ∪ (1, +∞) ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2|x| < |x − 1|º À Ý ÕÙ Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò (−∞, 0] ÕÙ 2|x| < ÙÑÔÐ Ò |x − 1|¸ Ñ × ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò (0, 1] ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2|x| < |x − 1|¸ Ñ × ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò (1, +∞) ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2|x| < |x − 1|º Ò Ð ÐØ Ñ Ö × Ð ÒØ Ö ÓÖ ×Ø Ð Ð Ú Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ò ØÓ ÐÓ ÕÙ Ö× × Ö ×ÓÐÚ Ö Ð Ò Ù Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÓÒ× Ö Ó× Ý Ð Ò Ð Ö ÙÒ Ö× ØÓ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º ÄÓ ÒØ Ö × ÒØ × ÕÙ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ¸ ÐÓ× Ñ ÙÐÓ× ÔÙ Ò Ð Ñ Ò Ö× ¸ Ý ÕÙ ÐÓ× Ö ÙÑ ÒØÓ× ÕÙ ÐÐÓ× Ò ÖÖ Ò Ø Ò Ò × ÒÓ× ÓÒ×Ø ÒØ ×º Î ÑÓ× ÓÑÓ ÓÔ Ö ×Ø Ñ ØÓ Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÓº ½º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, 0] ÐÓ× ØÓÖ × x Ý x − 1 ×ÓÒ Ñ Ó× Ñ ÒÓÖ × Ó Ù Ð × ÖÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò Ù Ò× × Ö 2|x| < |x − 1| ⇐⇒ −2x < −(x − 1) ⇐⇒ 2x > x − 1 ⇐⇒ x > −1. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ×ÓÐÙ Ò × Ð ÓÒ ÙÒØÓ (−1, 0]º ¾º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (0, 1] Ð ØÓÖ x × ÔÓ× Ø ÚÓ Ô ÖÓ Ð ØÓÖ x−1 × Ò Ø ÚÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò Ù Ò × × Ö 2|x| < |x − 1| ⇐⇒ 2x < −(x − 1) ⇐⇒ 3x < 1 1 ⇐⇒ x< . 3 1 ÄÙ Ó Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ×ÓÐÙ Ò × (0, 3 )º ¿º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (1, ∞) ÐÓ× ØÓÖ × x Ý x − 1 ×ÓÒ Ñ Ó× ÔÓ× Ø ÚÓ׸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò Ù Ò × × Ö 2|x| < |x − 1| ⇐⇒ 2x < (x − 1) ⇐⇒ x < −1. ×Ø Ò Ù Ò Ø Ò ×ÓÐÙ Ò (−∞, −1) Ò R¸ Ô ÖÓ ÓÑÓ Ð ×Ø ¹ ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ Ò Ó Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (1, ∞)¸ × Ù ÕÙ Ð ×ÓÐÙ Ò × ∅. Ò ÓÒ× Ù Ò Ð ×ÓÐÙ Ò Ò Ð ×Ø Ò Ù Ò × 1 1 (−1, 0] ∪ (0, ) ∪ Φ = −1, 3 3 ¿
- 37. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ ½º º |x2 − |3 + 2x|| < 4 ËÓÐÙ Ò ½ ´Í× Ò Ó Ð × ÔÖÓÔ × Ñ ÙÐÓµ |x2 − |3 + 2x|| < 4 ⇐⇒ −4 < x2 − |3 + 2x| < 4 ⇐⇒ |3 + 2x| < x2 + 4 ∧ |3 + 2x| > x2 − 4 ⇐⇒ [−x2 − 4 < 3 + 2x ∧ 3 + 2x < x2 + 4] ∧ [3 + 2x < −x2 + 4 ∨ 3 + 2x > x2 − 4] ⇐⇒ x2 + 2x + 7 > 0 ∧ x2 − 2x + 1 > 0 ∧ [x2 + 2x − 1 < 0 ∨ x2 − 2x − 7 < 0]. Ò Ò Ù Ò × ÙÒ Ó Ö Ó × Ø Ò ∆ = −24 < 0 =⇒ ax2 + bx + c = x2 + 2x + 7 Ø Ò Ð × ÒÓ a ∀x ∈ R¸ Ò ×Ø ×Ó a = 1¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð ×ÓÐÙ Ò × ØÓ Ó Rº ∆ = 0 =⇒ Ð ×ÓÐÙ Ò ÒÓ Ò ÐÙ Ö x = 1Ý ÕÙ Ð ÜÔÖ × Ò x2 − 2x + 1 2 × ÒÙÐ Ý ×ØÓ ÒÓ ÔÙ × Öº Ñ × Ð × ÒÓ x − 2x + 1 ÒÙ Ú Ñ ÒØ × Ö Ð × ÒÓ a = 1¸ Ð Ù Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÓÐÙ Ò × Ö R {1}º √ √ ∆ = 8 =⇒ Ð ×ÓÐÙ Ò × (−1 − 2, −1 + 2)¸ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ð × ÒÓ x2 + 2x − 1 × Ð × ÒÓ −a ÓÒ a = 1¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ x2 + 2x − 1 < 0º √ √ ∆ = 32 =⇒ Ð ×ÓÐÙ Ò ×(1 − 2 2, 1 + 2 2)º ÄÙ Ó Ð ×ÓÐÙ Ò Ò Ð Ð Ò Ù Ò × √ √ √ √ R ∩ R {1} ∩ [(−1 − 2, −1 + 2) ∪ (1 − 2 2, 1 + 2 2) √ √ = (−1 − 2, 1) ∪ (1, 1 + 2 2) ÑÔÐÓ ½º º ËÓÐÙ Ò ¾ ´Í× Ò Ó ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó×µ 3 ÄÓ ÔÖ Ñ ÖÓ × Ú Ö Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó 3 + 2x, Ð Ù Ð × − 2 ¸ ÐÙ Ó Ð × ÒÓ 3 3 + 2x Ô Ö x < − 2 × Ö Ò Ø ÚÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ× ÒØ ÔÓÒ Ö 3 ÙÒ × ÒÓ (−) Ð ÜÔÖ × Ò Ý × Ö Ð Ñ ÙÐÓº Ë x > − 2 ¸ Ð ÜÔÖ × Ò × Ö ÔÓ× Ø Ú Ý × ÐÓ ÑÓ× Ö Ø Ö Ö Ð Ñ ÙÐÓº ÓÒ ×ØÓ Ø Ò Ö ÑÓ× ÐÓ × Ù ÒØ 3 3 |x2 − |3 + 2x|| < 4 ⇐⇒ [x < − ∧ |x2 + 3 + 2x| < 4] ∨ [x ≥ − ∧ |x2 − 3 − 2x| < 4]. 2 2 ÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ö ÑÓ× Ù Ö Ó Ò Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ÙÐÓ 3 3 ⇐⇒ [x < − ∧ |(x + 1)2 + 2| < 4] ∨ [x ≥ − ∧ |(x − 1)2 − 4| < 4]. 2 2 ¿
- 38. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÄÙ Ó Ù× ÑÓ× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× (x + 1)2 + 2 Ý (x − 1)2 − 4º Ä ÔÖ ¹ Ñ Ö ÜÔÖ × Ò × Ö × ÑÔÖ ÔÓ× Ø Ú × ÕÙ × ÔÙ Ö Ø Ö Ö Ð Ñ ÙÐÓº Ä × ÙÒ ÜÔÖ × Ò Ø Ò Ö Ó× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× x = −1 Ý x = 3. ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó× × Ö Ö Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ý × Ö ÐÓ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ñ ÙÐÓ Ô Ò Ò Ó Ð × ÒÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ (x − 1)2 − 4 Ò ÒØ ÖÚ ÐÓº Ê Ð Þ Ò Ó ×ØÓ Ø Ò Ö ÑÓ× 3 3 ⇐⇒ [x < − ∧ (x + 1)2 < 2] ∨ [x ∈ [− , −1) ∧ (x − 1)2 − 4 < 4] 2 2 ∨[x ∈ [−1, 3] ∧ −(x − 1)2 + 4 < 4] ∨ [x ∈ (3, ∞) ∧ (x − 1)2 − 4 < 4]. ÓÒ ×ØÓ ÐØ ÑÓ Ý ÒÓ Ø Ò ÑÓ× Ò Ò ÙÒ ÜÔÖ × Ò ÓÒ Ñ ÙÐÓ¸ ÓÖ × ÐÓ ÐØ Ö Ù× Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ×ÓÐÙ Ò ÓÑÓ × Ò× Ò ÙÒ ÓÑ ÒÞÓ 3 √ √ 3 √ √ ⇐⇒ [x < − ∧ x ∈ (−1 − 2, −1 + 2)] ∨ [x ∈ [− , −1) ∧ x ∈ (1 − 2 2, 1 + 2 2)] 2 2√ √ ∨[x ∈ [−1, 3] ∧ x = 1] ∨ [x ∈ (3, ∞) ∧ x ∈ (1 − 2 2, 1 + 2 2)], ÖÖ Ð Ò Ó ÙÒ ÔÓ Ó ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ×ÓÐÙ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ× √ 3 3 √ ⇐⇒ [x ∈ (−1 − 2, − )] ∨ [x ∈ [− , −1)] ∨ [x ∈ [−1, 3] {1}] ∨ [x ∈ (3, 1 + 2 2)] √ 2 √ 2 ⇐⇒ x ∈ (−1 − 2, 1 + 2 2) {1}. ¿
- 39. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º ÌÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓ ÒÙÐÓ¸ × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ Ó Ñ Ó׺ ¾º ÌÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓ ÒÙÐÓ¸ × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ Ó ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ñ Ó׺ ¿º Ð ¼ × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ Ý ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ Ð Ú Þº º ÌÓ ×ÙÑ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ× × ×ØÖ Ø Ñ Ò¹ Ø ÔÓ× Ø Ú º º Ü ×Ø Ò Ô Ö × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ò Ê∗ + Ø Ð × ÕÙ ×Ù ×ÙÑ × ¼º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ý ×Ù ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓº º Ä ×ÙÑ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × × ÖÖ Ò Ê∗ º + º Ä ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × × ÖÖ Ò Ê Ê∗ º + º Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ ÒÓ ÔÙ × Ö ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ Ø Ñ Òº º ÌÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ× × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø Ú º ½¼º Ó× x, y ∈ ʸ × ÕÙ x<y × Ð Ö Ð y−x × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ½½º Ó× x, y ∈ ʸ × ÕÙ x<y × Ð Ö Ð y−x × ×Ø ÒØÓ ¼º ½¾º Ó× x, y ∈ ʸ × ÕÙ x<y × Ð Ö Ð x−y × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ½¿º Ó× x, y ∈ ʸ × ÕÙ x≥y × Ð Ö Ð x−y × ×Ø ÒØÓ ¼º ½ º Ó× x, y ∈ ʸ × ÕÙ x≥y × Ð Ö Ð x−y × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ¸ Ó ¼º ½ º Ó× x, y ∈ ʸ × ÕÙ x≥y × Ð Ö Ð x−y × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ¿
- 40. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º ÍÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ × x > 0º ½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x× Ø × ÕÙ x−1 > 0¸ ÒØÓÒ × × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ø × ÕÙ −x > 0¸ ÒØÓÒ × × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ½ º Ó× x, y ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ x < y¸ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö z∈Ê × Ø Ò ÕÙ x + y < zº ¾¼º Ó× x, y ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ x < y¸ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö z∈Ê × Ø Ò ÕÙ x − z < y − zº ¾½º Ó× x, y ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ x < y¸ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö z∈Ê × Ø Ò ÕÙ x + z < y + zº ¾¾º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x < y¸ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó× ÔÓÖ a<0 × Ó Ø Ò ax − ay > 0º ¾¿º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x < y¸ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó× ÔÓÖ a<0 × Ó Ø Ò ax > ay º ¾ º Ó× x, y ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ x < y¸ Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ a < 0 Ø Ð ÕÙ ax = ay º ¾ º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x < y¸ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó× ÔÓÖ a>0 × Ó Ø Ò ax ≥ ay º ¾ º Ó× x, y ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ x < y¸ Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ a > 0 Ø Ð ÕÙ ax = ay º ¾ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó× Ð Ó× ÙÒ Ö Ð Ò × Ù Ð ¸ ÔÓÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ×Ø ÒÓ Ñ º ¾ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ð ÕÙ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÖÐÓ ÔÓÖ × Ñ ×ÑÓ¸ × Ó Ø Ò Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ ½º ¾ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓ ÒÙÐÓ Ù ÐÕÙ Ö ÔÓÖ × Ñ ×ÑÓ¸ × Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ¿¼º Ë x, y, z, w ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x<y Ý z < w¸ ÒØÓÒ × x + y < z + wº ¿½º Ë x, y, z, w ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x<y Ý z < w¸ ÒØÓÒ × x + z < y + wº ¿¾º Ë x, y, z ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x<y Ý z < 0¸ ÒØÓÒ × x < y − zº ¿¿º Ë x, y, z, w ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x<y Ý z < w¸ ÒØÓÒ × xz < ywº ¿ º Ë x, y, z, w ∈ Ê ×ÓÒ ØÓ Ó× ÔÓ× Ø ÚÓ× Ý Ø Ð × ÕÙ x < y Ý z < w¸ ÒØÓÒ × xz < ywº ¿ º Ë x, y, z, w ∈ Ê ÓÒ x, z > 0 Ý Ø Ð × ÕÙ x<y Ý z < w¸ ÒØÓÒ × xz < ywº ¼
- 41. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¿ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÒØÖ × ¸ Ñ Ó× ×غ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ó Ñ Ó× ×غ Ò Ø ÚÓ׸ × ÔÙ Ó Ø Ò Ö Ø ÒØÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×غ ÔÓ× Ø ÚÓ ÓÑÓ ÙÒÓ ×غ Ò Ø ÚÓº ¿ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÒØÖ × ¸ Ñ Ó× ×غ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ó Ñ Ó× ×غ Ò Ø ÚÓ׸ × Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ¿ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÒØÖ × ¸ Ñ Ó× ×غ Ò Ø ÚÓ׸ × Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×غ Ò Ø ÚÓº ¿ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÙÝ Ö ×Ø ÒÓ × ¼¸ × Ó Ø Ò × ÑÔÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº ¼º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÙÝ Ö ×Ø ÒÓ × ¼¸ × ÔÓ× Ð Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ½º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ñ Ó× ÒÓ Ô ÖØ Ò ÒØ × Ê∗ ¸ + × ÑÔÖ × Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº ¾º Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº ¿º Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ ÔÓÖ ×Ù ÒÚ Ö×Ó ÑÙй Ø ÔÐ Ø ÚÓ¸ × Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº º Ë Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x, y × Ø × Ò ÕÙ 0 < x < y ¸ ×Ù× ÒÚ Ö×Ó× −1 ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ× × Ø × Ò Ð Ö Ð Ò ÓÔÙ ×Ø ¸ × Ö x > y −1 º º Ë Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x, y × Ø × Ò ÕÙ 0 < x < y¸ ×Ù× ÒÚ Ö×Ó× ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ× × Ø × Ò x−1 < y −1 º º Ë x ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ×غ Ò Ø ÚÓº ÓÑÓ x < 0¸ ÐÙ Ó x−1 > 0º º Ó× a, b ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ a ≤ b¸ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b) ÓÒØ Ò b Ô ÖÓ ÒÓ aº º Ó× a, b ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ a ≤ b¸ ÒØÓÒ × [a, b) ÓÒØ Ò × ÑÔÖ b − aº ¼º Ó× a, b ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ a < b¸ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b) ÓÒØ Ò a Ô ÖÓ ÒÓ bº ½º Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I¸ × x1 , x2 ∈ I ÒØÓÒ × x1 +x2 2 ∈ Iº ¾º Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I ¸ x1 , x2 ∈ I Ý α ∈ [0, 1]¸ ÒØÓÒ × αx1 + (1 − α)x2 ∈ I º ¿º Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I ¸ x1 , x2 ∈ I Ý α1 , α2 ∈ (0, 1]¸ ÒØÓÒ × α1 x1 + α2 x2 ∈ I º ½
- 42. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º Ë Ò a, b ∈ ʺ Ë a > 0¸ Ð Ò Ù Ò ax + b < 0 Ø Ò ÓÑÓ ×ÓÐÙ Ò b b (−∞, − a ] ∪ [ a , ∞)º º Ë Ò a, b ∈ ʺ Ë a < 0¸ Ð Ò Ù Ò ax + b ≥ 0 Ø Ò ÓÑÓ ×ÓÐÙ Ò b b [− a , a ]º º Ë Ò a, b ∈ ʺ Ë a < 0¸ Ð Ò Ù Ò ax + b < 0 Ø Ò ÓÑÓ ×ÓÐÙ Ò b (− a , ∞)º º Ë Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð × ¼¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ × ¼º º Ë Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ÒØÓÒ × Ó Ò Ñ ÖÓ × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓº º Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × × Ù Ð Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÐÓ× Ñ ÙÐÓ× Ó× Ö Ð ×º ¼º Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ ×ÙÑ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × × Ù Ð Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ñ ÙÐÓ× Ó× Ö Ð ×º ½º Ü ×Ø ÙÒ Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ø Ð × ÕÙ Ð Ñ ÙÐÓ ×Ù ×ÙÑ × Ñ ÝÓÖ ×ØÖ Ø ÕÙ Ð ×ÙÑ ×Ù× Ñ ÙÐÓ׺ ¾º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x ÕÙ × Ø × Ò |x − 1| ≥ 3 ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ [−2, 3]º ¿º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x ÕÙ × Ø × Ò |x − 1| ≥ 3 ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ (−∞, −3] ∪ [3, ∞)º º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x ÕÙ × Ø × Ò |x − 1| ≥ 3 ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ (−∞, −2] ∪ [4, ∞)º ¾
- 43. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð ÓÒ × × Ù Ð ´ µ È Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ (1 + x)2 ≥ 1 + 2xº ´ µ È Ö ØÓ Ó x, y ∈ ʸ x2 + y 2 ≥ 2xy º ´ µ È Ö ØÓ Ó x, y ∈ ʸ x2 − xy + y 2 ≥ 0º ´ µ È Ö ØÓ Ó x ∈ Ê∗ ¸ x + x−1 ≥ 2º + ´ µ È Ö ØÓ Ó x ∈ Ê∗ ¸ x3 > 0º + ¾º Ó× x, y, z ∈ Ê∗ ∪ {0}¸ + ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð ÓÒ × ×¹ Ù Ð ´ µ x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx ´ µ (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz ´ µ x3 + y 3 + z 3 ≥ 3xyz ´ µ (x + y)2 − z ≥ 4xy − z ¿º Ó× x, y, z ∈ Ê∗ ¸ + ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð ÓÒ × × Ù Ð ´ µ 1 (x + y + z)( x + 1 y + 1) ≥ 9 z ´ µ Ë x + y + z = 1¸ ÒØÓÒ × 1 1 1 ( x − 1)( y − 1)( x − 1) ≥ 8 ´ µ Ë xyz = 1¸ ÒØÓÒ × x+y+z ≥3 ´ µ (x + x + 1)(y + y + 1)(z 2 + z + 1) ≥ 27xyz 2 2 º Ê ×Ù ÐÚ Ð ×× Ù ÒØ × Ò Ù ÓÒ ×¸ Ò Ò Ó ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò ´ µ 5x − 3 ≥ 2x + 1 ´ µ 2x + 3 ≤ 0 ´ µ 4x + 1 > 3x ´ µ Ó b ∈ ʸ x + b ≤ 2x + 3b ´ µ Ó× a, b ∈ ʸ ax + b ≤ 2b + 4x ´ÁÒ ÕÙ ÑÓ Ô Ò Ð ×ÓÐÙ Ò a Ý bµ ¿
- 44. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º Ê ×Ù ÐÚ Ð ×× Ù ÒØ × Ò Ù ÓÒ ×¸ Ò Ò Ó ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò ´ µ (x − 2)(x − 3) ≤ 0 ´ µ Ó a ∈ Ê∗ ¸ (x + a)(x − a) < 0 + ´ µ 3x2 < x − 5 ´ µ 2x2 + 3x + 1 < 0 ´ µ 4x − 5 > x2 º Ê ×Ù ÐÚ Ð ×× Ù ÒØ × Ò Ù ÓÒ ×¸ Ò Ò Ó ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò ´ µ 2 6x−5 < 0 ´ µ x+2 2x2 −3x < 0 ´ µ 4 x−1 x + 5 < x 3 +1 ´ µ (x−a) (x+1)(x−a) > 0 ´ÁÒ ÕÙ ÑÓ Ð ×ÓÐÙ Ò Ô Ò aµ ´ µ 4x−3 6x ≤ 8x−6 5x º Ø ÖÑ Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× Ê ´ µ x ∈ Ê | x3 ≥ x ´ µ x∈Ê| x8 +2x7 −8x6 x2 −4x+3 >0 ´ µ x ∈ Ê | x3 − 11x2 + 10x < 10x3 − 12x2 + 82x ´ µ x∈Ê| 40 x2 +x−12 < −4 º Ê ×Ù ÐÚ Ð ×× Ù ÒØ × Ò Ù ÓÒ ×¸ Ò Ò Ó ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò ´ µ |x − 3| ≤ 1 2 ´ µ 2|x| < |x − 1| ´ µ |x − 8| < x − 2 ´ µ x − |x + 1| > 2 ´ µ 5x+3 x−1 ≥7
- 45. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ × Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ × Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ × Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ƚº ´ µ ´¾¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ∀x, y ∈ Ê, x, y > 0 (x + y)(x−1 + y −1 ) ≥ 4. ÁÒ ÕÙ ÕÙ Ü ÓÑ × Ó ÔÖÓÔ × Ð ÓÖ Ò ×Ø ÙØ Ð Þ Ò Óº ´ µ ½µ ´½ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ 2 ∀x ∈ Ê, x > 0, x2 + ≥ 3. x À ÒØ Ò Ð Ð ÔÖÓ Ù ØÓ (x − 1)2 (x + 2)º ¾µ ´½ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ¸ Ô Ö a, b ∈ Ê, a, b > 0¸ × Ø Ò a3 + 2b3 ≥ 3ab2 . À ÒØ ÍØ Ð Ð Ô ÖØ ÒØ Ö ÓÖº Ⱦº ´ µ ´¿¼ Ñ Òºµ Ë A Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò |x| ≤ |x − 1| Ý × B Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò |4x − 2| > x(1 − 2x)º Ê ×Ù ÐÚ Ð × Ò Ù ÓÒ ×¸ ×ØÓ ×¸ Ø ÖÑ Ò A Ý Bº Ð ÙÐ A ∪ B¸ A ∩ Bº ´ µ ´¿¼ Ñ Òºµ Ê ×Ù ÐÚ Ð Ò Ù Ò |x − 2| + |2x + 11| 1 < . (x − 2)|x + |x − 2|| 2 ´ µ ´¾¼ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò |x2 + 3x| + x|x + 3| + x2 ≥ 7 + |1 + x2 |.
- 46. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ´ µ ´¾¼ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò Ð × Ù ÒØ Ò Ù ¹ Ò |x2 − 2x + 1| ≤ 1. |x2 − 3x + 2| ´ µ ´¾¼ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò |x2 − 2x| + x|x + 3| ≥ 3
- 47. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 2. Geometría Analítica Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × ÒÓØ ÓÒ ×º 2.1. Sistema de coordenadas cartesianas 2.1.1. Motivación y ecuaciones elementales À × Ó Ó Ð Ö ×Ó Ö ÒØ ÕÙ Ù Ö Þ × Ò Ø Ò Ö ÕÙ Ñ Ö Ö ÒÙÒ Ð Ø Ð ÖÓ Ë º ×ØÓ × ÔÓ× Ð ¸ Ý × Ð ÖÖ Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ÓÓÖ Ò × ÙÒ ÔÙÒØÓº Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ Ö Þ¸ × Ù× Ò Ð × Ð ØÖ × Ð Ð À Ô Ö ÒØ Ö Ð × ÓÐÙÑÒ × Ð Ø Ð ÖÓ Ý ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ð ½ Ð Ô Ö ÒØ Ö ×Ù× Ð ×º Ç × ÖÚ Ð ÙÖ Ð Ó¸ ÐÐ Ô Ö Ð Ø Ô Ó Ø Ð ÖÓ Ö Þ¸ ÓÒ ×Ù× ÓÐÙÑÒ × Ý Ð × ÖÓØÙÐ × × Ò Ð Ö Ð ÒÙÒ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º × ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ØÓÖÖ Ð Ò ÓÑ ÒÞ Ù Ò Ó× Ò Ð ÓÓÖ Ò ´½¸ µ Ð Ø Ð ÖÓº ÓÒ ×Ø Ø Ò ¸ ÐÓ× Ù ÓÖ × ÔÙ Ò ÒÓØ Ö ×Ù× Ù ×¸ Ò ÐÓ× Ô ÖØ Ó׸ Ó × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÙÒ ÖÐ ×Ù Ú Ö× Ö Ó Ð × ÓÓÖ Ò × Ð Ô Þ ÕÙ Ô Ò× ÑÓÚ Ö Ý ×Ø × Ü Ø Ñ ÒØ Ù Ð × Ö Ð ÒÙ Ú ÓÒ ÙÖ Ò Ð Ø Ð ÖÓ 8 7 6 5 4 3 2 1 A B C D E F G H ×Ø ÔÙ Ù× Ö× Ò ÓØÖ × × ØÙ ÓÒ ×¸ ÓÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÙÒ Ð × Ó Ù Ó Ø ÐÐ × Ò Ú Ð × ÓÒ ÐÓ× Ù ÓÖ × ÒØ ÒØ Ò ×ØÖÙ Ö Ð Ö Ó Ú Ö× Ö Ó Ò Ó ÓÓÖ Ò × ×Ù ÓÑ Ö Ó׺ ÍÒ ÑÔÐÓ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð ÈÐ ÒÓ ÓÑ ØÖ Óº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ô Ö Ù Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö × ØÖ Þ Ö Ö ØÖ Ö ¹ Ñ ÒØ Ó× Ö Ø × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×¸ ÕÙ × ÓÖØ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ÐÐ Ñ Ó ÓÖ Ò Oº ÆÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÙÒ Ð × Ö Ø × × ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý × ÒÓØ ÔÓÖ OX Ý Ð ÓØÖ × Ú ÖØ Ð Ý × ÒÓØ ÔÓÖ OY º
- 48. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÓÒ ×Ø ÓÒ×ØÖÙ Ò¸ ÙÒ ÔÙÒØÓ P × Ù Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ñ Ò Ó ×Ù ×¹ Ø Ò ÙÒ Ð × Ö Ø ×º È Ö Ö Ò Ö ÐÓ× Ö ÒØ × Ð Ó׸ ×Ø × ×Ø Ò × × Ð × Ò Ò × ÒÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ Ó Ò Ø ÚÓ¸ Ð ÑÓ Ó × Ù ÒØ Ä ×Ø Ò P Ð Ö Ø OY × ÒÓØ ÔÓÖ Ð Ð ØÖ xº x>0× P ×Ø Ð Ö OY ¸ × ÒÓ x× Ö Ò Ø ÚÓ Ð ÓØÖÓ Ð Óº Ä ×Ø Ò P Ð Ö Ø OX × ÒÓØ ÔÓÖ Ð Ð ØÖ yº y>0 × P ×Ø ÖÖ Ð Ö Ø OX ¸ Ó × Ù× y < 0º ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ø × Ý Ð ÓÖÑ Ò ÕÙ × Ù Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò × ÐР׸ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò Ð ÑÓ×Ó Ë Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò ×º Ë ×Ù Ð ÒÓØ Ö ×Ø × ×Ø Ñ ÔÓÖ Ð × Ñ ÓÐÓ {OXY } Ô Ö Ö ÓÖ Ö ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ× ×ØÓÖ ×º Ç × ÖÚ Ð Ö ÓÑÓ × Ù Ó Ð ÔÙÒØÓ P ÕÙ ×Ø x=3 Ð OY Ý ×Ø y=4 Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð OX º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× 3Ý4× ÐÐ Ñ Ò Ð × ÓÓÖ Ò × Ð ÔÙÒØÓ Pº ×ØÓ × ÒÓØ P = (3, 4)º Y =R 5 4 (x,y)= (3,4) 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X=R ÍÒ ÔÓ Ó Ñ × ÒÓÑ Ò Ð ØÙÖ Ä Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð OX × ×Ù Ð ÐÐ Ñ Ö Ð × x¸ Ó Ð × × × ×º Ä Ö Ø Ú ÖØ Ð OY × ÐÐ Ñ Ó Ð × y¸ Ó Ð × ÓÖ Ò ×º Ë P = (x, y)¸ ÒØÓÒ × × ÕÙ x × Ð × × P Ý ÕÙ y × Ð ÓÖ Ò Pº ÓÒ ÙÒØÓ× ×Ø Ó× Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò ×Ø Ñ Ò × ÖÚ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÓÒ¹ ÙÒØÓ× ÔÙÒØÓ׺ Ò Ò Ö Ð¸ ×ØÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× × ÒÓØ Ò ÔÓÖ ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ø ÔÓ A = {ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÓÖ Ò × (x, y) Ø Ð × ÕÙ ∈ C} , ÓÒ Ð Ð ØÖ C ÒÓØ Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÕÙ × Ø × Ò × ÓÓÖ Ò ×º
- 49. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ ¾º½º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× × ÓÓÖ Ò × × ÔÙ Ò × Ö Ö ÓÑÓ OX = {(x, y) : x ∈ R, y = 0} OY = {(x, y) : x = 0, y ∈ R} . ÄÓ× × Ù ÒØ × ÓÒ ÙÒØÓ× × ÐÐ Ñ Ò Ù Ö ÒØ × Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ½ Öº Ù Ö ÒØ = {(x, y) : x > 0, y > 0} ¾ Óº Ù Ö ÒØ = {(x, y) : x < 0, y > 0} ¿ Öº Ù Ö ÒØ = {(x, y) : x < 0, y < 0} ØÓº Ù Ö ÒØ = {(x, y) : x > 0, y < 0}. 2.1.2. Otras ecuaciones elementales Î ÑÓ× Ð ÙÒÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ð Ñ ÒØ Ð × Ð ÔÐ ÒÓ × Ö ØÓ× Ù× Ò Ó Ù Ó¹ Ò × Ð Ö ×º ½ {(x, y) : xy = 0} = {(x, y) : x = 0 o bien y = 0} ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÙÒ Ò Ó× ×º ¾ {(x, y) : y > 0} ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð × Ñ ÔÐ ÒÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ù Ó× ×Ó Ö Ð OX ¿ {(x, y) : x = a} ÓÒ a Ó¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (a, 0)º {(x, y) : y = b} ÓÒ b Ó¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (0, b)º 2.1.3. Lugares Geométricos Ò Ò ¾º½ ´ÄÙ Ö ÓÑ ØÖ Óµº Ò ×Ø ÓÒØ ÜØÓ¸ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ð ÔÐ ÒÓ ÕÙ × Ø × Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÓÑ ØÖ Ó Ð Ö ¸ ÐÓ× ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÄÙ Ö × ÓÑ ØÖ Ó׺ Ç × ÖÚ Ò Ò ÓÑ ØÖ × Ò ×ØÙ Ó ÑÙ Ó× ÐÙ Ö × ÓÑ ØÖ Ó× ÑÔÓÖØ ÒØ ×¸ Ø Ð × ÓÑÓ Ð × Ö Ø ×¸ Ö ÙÒ Ö Ò ×¸ Ø º¸ Ò Ó× ×Ù× Ö Ø Ö ×Ø × Ñ ¹ ÒØ Ð Ð Ò Ù Ð ÓÑ ØÖ º ÆÙ ×ØÖÓ Ó Ø ÚÓ × Ö ×ØÙ Ö Ó× ÐÙ Ö × ÓÑ ØÖ Ó׸ × Ö Ò Ó ×Ù× Ò ÓÒ × Ñ ÒØ Ù ÓÒ × Ð Ö × ÕÙ ÐÓ× ÒØ ÕÙ Ò ÔÐ Ò Ñ Ò¹ Ø º ÆÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ò ÒÙ ×ØÖÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ Ò ÓÒØÖ Ö × Ù ÓÒ × ÒØ Ö Ð ÓÒ ÔØÓ ÓÑ ØÖ Ó ÕÙ ÐÐ × Ö ÔÖ × ÒØ Òº
- 50. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 2.2. Distancia entre dos puntos y pitágoras Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× Ð ÔÐ ÒÓ A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 )º Ë C Ð ÔÙÒØÓ ÓÓÖ Ò × (x2 , y1 )º ÒØÓÒ × Ð ∆ACB × Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò Cº ÈÓÖ Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ × ÙÑÔÐ ÕÙ d(A, B)2 = d(A, C)2 + d(C, B)2 . Ð ÙÖ ¸ Ú ÑÓ× Ð ÖÓ ÕÙ Ð ×Ø Ò ÒØÖ A Ý C¸ Ý Ð ×Ø Ò ÒØÖ C Ý B ×Ø Ò × ÔÓÖ d(A, C) = |x2 − x1 | d(C, B) = |y2 − y1 |, Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ý × Ò Ó Ö Þ Ù Ö ¸ Ð ×Ø Ò d(A, B) Ú Ð Y B y2 y1 C A O x2 x1 X Ò Ò ¾º¾ ´ ×Ø Ò ÒØÖ Ó× ÔÙÒØÓ×µº d(A, B) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . ´¾º½µ Teorema de pitágoras Î ÑÓ× ÙÒ ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÑÓ×Ó Ø ÓÖ Ñ Ô Ø ÓÖ ×¸ ÓÒ Ð ÝÙ Ð × Ù ÒØ ÙÖ º ¼
- 51. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð a b b c c a a c c b b a Î ÑÓ× ÕÙ Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ð Ó a+b × Ù Ð Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ò Ð Ò Ó Ð Ó c Ñ × Ð Ö ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ׸ × Ö (ab) (a + b)2 = c2 + 4 × . 2 × ÖÖÓÐÐ Ò Ó Ð Ù Ö Ó Ð ÒÓÑ Ó Ð ÞÕÙ Ö Ý ÓÖ Ò Ò Ó Ø ÖÑ ÒÓ× Ð Ö × Ó Ø Ò a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab. Ò ÐÑ ÒØ ¸ × × ÑÔÐ Ò ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× 2ab Ý Ö ×ÙÐØ a 2 + b 2 = c2 . 2.3. Circunferencia 2.3.1. Ecuación de la circunferencia Ë Ò A = (a, b) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó ÓÒÓ Ó Ð ÔÐ ÒÓ Ý r ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒÓ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ 0º ÍÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ A Ý Ö Ó r¸ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× (x, y) Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð × ÕÙ ×Ù ×Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ A Ú Ð r¸ × Ö C = {P = (x, y) : d(P, A) = r}, ½
- 52. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ù× Ò Ó Ð Ù Ò ¾º½¸ Ó Ø Ò ÑÓ× C = {P = (x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 = r}, ÐÙ Ó Ð Ú Ò Ó Ð Ù Ö Ó C = {P = (x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 = r2 }. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (a, b) Ý Ö Ó r × Ö Ò Ò ¾º¿ ´ Ù Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò µº C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2 . × Ö¸ Ð Ù Ö Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÕÙ × Ø × Ò ×Ø Ù Ò × ÓÖÑ Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò º ÑÔÐÓ× x2 + y 2 = 82 , × Ö (x − 0)2 + (y − 0)2 = 64, ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ Ò (0, 0) Ý Ö Ó 8. C : x2 + y 2 − 2x = 0 2.3.2. Completación de cuadrados perfectos C : x2 + y 2 − 2x = 0 È Ö ÔÓ Ö Ú Ö ÕÙ Ø Ú Ñ ÒØ ×Ø ÐØ ÑÓ ÑÔÐÓ × ØÖ Ø ÙÒ Ö ÙÒ¹ Ö Ò ¸ × Ò × Ö Ó Ø Ò ÖÒÓ× Ô Ö ÔÖ Ò Ö Ð Ñ ØÓ Ó ÓÑÔÐ Ø Ò Ù Ö Ó׺ ÄÙ Ó Ð Ù Ò Ð ÑÔÐÓ C : x2 + y 2 − 2x = 0 × ÕÙ Ú Ð ÒØ x2 + y 2 − 2x = 0 ⇐⇒ x2 − 2x + y 2 = 0 ⇐⇒ (x2 − 2x + 1) − 1 + y 2 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 + y 2 = 1. × Ö ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò (1, 0) Ý Ö Ó r = 1º Ç × ÖÚ Ò ½º Ë C × ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ù Ò (x−a)2 +(y −b)2 = r2 ÒØÓÒ × ×Ù Ù Ò ÔÙ × Ö Ö× (x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⇐⇒ x2 − 2ax + a2 + y 2 − 2by + b2 = r2 ⇐⇒ x2 + y 2 − 2ax − 2by + (a2 + b2 − r2 ) = 0, ¾
- 53. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 2 2 2 × Ö¸ × Ò ÑÓ× A = −2a¸ B = −2b¸ C = a +b −r ¸Ð Ù Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ø Ñ Ò × × Ö Ö Ð ÓÖÑ x2 + y 2 + Ax + By + C = 0. ¾º Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ¸ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ× Ð Ñ ØÓ Ó ÓÑÔÐ Ø Ò Ù Ö ¹ Ó׺ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ M = {(x, y) : x2 + y 2 + Ax + By + C = 0} ¸ ÓÒ A, B, C ×ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ × ×º Ä Ù Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ M ÔÙ × Ö Ö× x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 ⇐⇒ x2 + Ax + y 2 + By + C = 0 ⇐⇒ x2 + 2( A )x + y 2 + 2( B )y + C = 0 2 2 ⇐⇒ x2 + 2( A )x + ( A )2 − ( A )2 + 2 2 2 +y 2 + 2( B )y + ( B )2 − ( B )2 + C = 0 2 2 2 A 2 B 2 A2 B2 ⇐⇒ (x + 2) + (y + 2) +C− 4 − 4 +C =0 A 2 B 2 A2 +B 2 −4C ⇐⇒ (x + 2) + (y + 2) = 4 ÓÒÚ ÑÓ× ÕÙ M ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ (− A , − B ) 2 2 √ A2 +B 2 −4C 2 2 Ý Ö Ó Ù Ò Ó A + B − 4C ≥ 0º 2 Ë ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÐÓ× ØÓ× A¸ B Ý C Ù Ö Ò Ø Ð × ÕÙ A2 + B 2 − 4C < 0 ÒØÓÒ × Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ö Ò Ú ÐÓÖ × x y ÕÙ × Ø × Ò Ð Ù Ò M ¸ ÐÙ Ó M ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ú Ó¸ Ý ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÑÓ× Ö Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó Ò Ø ÚÓº {(x, y)/(x − a)2 + (y − b)2 > r2 } Ê ÔÖ × ÒØ Ð ÞÓÒ ÜØ Ö ÓÖ Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ Ò (a, b) Ý Ö Ó rº ¿
- 54. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø 111111111111111111111 000000000000000000000 ÍÒ Ú Ö× 111111111111111111111 000000000000000000000 Ð 111111111111111111111 000000000000000000000 Y 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 r 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 b 111111111111111111111 000000000000000000000 a X 111111111111111111111 000000000000000000000 O 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 ÑÔÐÓ ¾º¾º {(x, y)/(x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 } Ê ÔÖ × ÒØ Ð ÞÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ Ò (a, b) Ý Ö Ó rº
- 55. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Y 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 r 11111111 00000000 b 00000000 11111111 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 O 00000000 11111111 a X 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 2.4. Recta 2.4.1. Ecuación de la recta Ë Ò A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) Ó× ÔÙÒØÓ× Ù ÐÕÙ Ö Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð × ÕÙ A = Bº ÉÙ Ö ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ù Ò Ð Ò Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A Ý Bº Ò ÐÓ× ×Ó× x1 = x2 Ó y1 = y2 ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ö Ø × Ú ÖØ Ð Ý Ó¹ Ö ÞÓÒØ Ð Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ð Ù Ò × Ú ÒØ Ñ ÒØ x = x1 Ó y = y1 Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ò Ð ×Ó x1 = x2 y1 = y2 ÔÓ ÑÓ× Ú Ö ÕÙ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö P = (x, y) Ð ÔÐ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ A Ý B¸ × Ý ×ÓÐ Ñ ÒØ × Ð ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ × × ÙÑÔÐ ½µ P =A ¾µ P =B ¿µ P ×Ø Ò Ð × Ñ ÒØÓ AB µ B ×Ø Ò Ð × Ñ ÒØÓ AP µ A ×Ø Ò Ð × Ñ ÒØÓ PB ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ×Ø ÑÓ× Ò Ð ×Ó ´¿µº Ë Ò C = (x, y1 )Ý D (x2 , y1 )º Ö Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ×
- 56. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ð ÙÖ ÔÓ ÑÓ× Ú Ö ÕÙ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× ∆ACP Ý ∆ADB ×ÓÒ × Ñ Ò¹ Ø ×º Ä ÓÒ Ò × Ñ ÒÞ Ð × Ö ÑÓ× CP AC = DB AD y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 (x2 − x1 )(y − y1 ) = (x − x1 )(y2 − y1 ) (x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 ). ÉÙ ÓÑÓ Ö Ó Ú Ö ÕÙ Ð × ÓÒ ÓÒ × ´ µ Ý ´ µ ×ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ð Ñ ×Ñ Ù Òº ÓÒ ×ØÓ ÔÓ ÑÓ× Ú Ö ÕÙ Ð ÓÒ Ò Ò × Ö Ý ×Ù ÒØ Ô Ö ÕÙ ÙÒ ÔÙÒØÓ P = (x, y) ×Ø ×Ó Ö Ð Ö Ø L ÕÙ Ô × ÔÓÖ A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) × P = (x, y) ∈ L ⇐⇒ (x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 ). Y y2 B y P A C D y1 O x1 x x2 X ÑÔÐÓ ¾º¿º Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A = (−2, 3) Ý B = (5, 0)¸ Ð Ù Ò Ð Ö Ø L ÕÙ Ô × ÔÓÖ A Ý B × (x + 2)(0 − 3) = (y − 3)(5 + 2). Ë Ò Ñ Ö Ó¸ × ÑÔÐ Ò Ó ×Ø Ù Ò Ø Ñ Ò × × Ö L : 3x + 7y − 15 = 0.
- 57. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 2.4.2. Ecuación de la recta, forma 1 Ë L Ð Ö Ø Ù Ò (x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 )º Á Ù Ð ÕÙ Ò Ð ÑÔÐÓ¸ ÔÓ ÑÓ× × Ö Ö ×Ø Ù Ò Ò ÓÖÑ × ÑÔÐ (x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 ) ⇐⇒ (x − x1 )y2 − (x − x1 )y1 = (x2 − x1 )y − (x2 − x1 )y1 ⇐⇒ xy2 − xy1 − x1 y2 + x1 y1 = yx2 − yx1 − x2 y1 + x1 y1 ⇐⇒ (y2 − y1 )x − (x2 − x1 )y + (x2 y1 − x1 y2 ) = 0. Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ × × Ö ÑÓ× a = (y2 − y1 ), b = −(x2 − x1 ), c = (x2 y1 − x1 y2 )¸ Ð Ù Ò Ù ÐÕÙ Ö Ö Ø ÔÙ × Ö Ö× Ð ÓÖÑ Ò Ò ¾º ´ Ù Ò Ð Ö Ø ÓÖÑ ½µº L : ax + by + c = 0. Ò Ð ÑÓ× Ù Ð × ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× (x, y) ÕÙ × Ø × Ò ×Ø Ù Ò Ô Ö ×Ø ÒØÓ× Ú ÐÓÖ × a, b, cº × Ö¸ Ù Ð × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò ×Ø Ù Òº Ì ÓÖ Ñ ¾º½º Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò ax + by + c = 0 × µ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ú Ó × a = 0, b = 0, c = 0. µ ÌÓ Ó Ð ÔÐ ÒÓ R × R × a = b = c = 0. µ ÍÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð × a = 0 Ý b = 0. Úµ ÍÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð × a = 0 Ý b = 0. Úµ ÍÒ Ö Ø Ó Ð Ù ´ Ò Ð Ò µ × a = 0 Ý b = 0º ÑÓ×ØÖ Òº µ ÆÓ Ý ÔÙÒØÓ (x, y) ÕÙ ÙÑÔÐ Ð Ù Ò¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò × Ú Óº µ Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ (x, y) × Ø × Ð Ù Òº ÄÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð ×ÓÐÙ Ò × ØÓ Ó Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ × ÒÓº µ ÓÑÓ b=0 Ý a=0 ÒØÓÒ × Ð Ù Ò ÕÙ x = −c/a¸ Ð Ù Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ðº Úµ ÓÑÓ a= 0 Ý b=0 ÒØÓÒ × Ð Ù Ò ÕÙ y = −c/b¸ Ð Ù Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Úµ Ò ×Ø ×Ó Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð Ú Ö ÑÓ× Ò Ó× Ø Ô × Ø Ô ½º ÈÖ Ñ ÖÓ ÔÖÓ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ R = {(x, y) : ax + by + c = 0} ÓÒØ Ò Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÔÙÒØÓ× ×Ø ÒØÓ׺
- 58. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò ØÓ¸ × c = 0 ÒØÓÒ × A = (0, −c/b) Ý B = (−c/a, 0) ×ÓÒ Ó× ÔÙÒØÓ× R Ý × c = 0 ÒØÓÒ × A′ = (0, 0) Ý B ′ = (−b, a) ×ÓÒ Ó× ÔÙÒØÓ× Rº ÄÙ Ó¸ ÒÓ ÑÔÓÖØ Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ c¸ × Ø Ò ÕÙ R ÓÒØ Ò Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÔÙÒØÓ× ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × º Ø Ô ¾º ÓÑÓ ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÕÙ R ÔÓ× Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÔÙÒØÓ× ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × ¸ ÐÐ Ñ ÑÓ× ×ØÓ× ÔÙÒØÓ× (x1 , y1 ) Ý (x2 , y2 ), Ý × P = (x, y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ö ØÖ Ö Ó Rº ÈÖÓ Ö ÑÓ× ÕÙ P × Ø × Ð Ù Ò (x−x1 )(y2 −y1 ) = (y −y1 )(x2 −x1 ). Ò ØÓ¸ ÓÑÓ (x1 , y1 )¸ (x2 , y2 ) Ý (x, y) ×ÓÒ ÔÙÒØÓ× R¸ ÒØÓÒ × ÐÓ× ØÖ × ÔÙÒØÓ× × Ø × Ò Ð Ù Ò ax + by + c = 0, × Ö ax1 + by1 + c = 0 (1) ax2 + by2 + c = 0 (2) ax + by + c = 0 (3) ÐÙ Ó Ö ×Ø Ò Ó(2) − (1) Ý (3) − (1) × Ó Ø Ò a(x2 − x1 ) + b(y2 − y1 ) = 0 (2) − (1) = (4) a(x − x1 ) + b(y − y1 ) = 0 (3) − (1) = (5) ÐÙ Ó Ò Ó (y − y1 ) · (4) − (y2 − y1 ) · (5) × Ó Ø Ò (y − y1 )(x2 − x1 ) = (x − x1 )(y2 − y1 ). ÓÒ ×ØÓ ÑÓ× ÔÖÓ Ó ÕÙ R × ÙÒ Ö Ø º Ð Ø Ô ½ Ú ÑÓ× ÕÙ × c = 0 ÒØÓÒ × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A = (0, −c/b) Ý B= (−c/a, 0) Ô ÖØ Ò Ò R Ý ×ÓÒ ÔÙÒØÓ× × × × Ý ÓÖ Ò × ×Ø ÒØ ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ø R ÕÙ Ô × ÔÓÖ ×Ó× ÔÙÒØÓ× × Ó Ð Ù ¸ ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ô × Ô Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ÓÒ c = 0º Ç × ÖÚ Ò À ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ó ÕÙ Ð Ù Ò ax+by+c = 0 Ö ÔÖ × ÒØ × ÑÔÖ ÙÒ Ö Ø ¸ Ø Ò Ò Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó׺ Ë a=0 Ý b=0 ÒØÓÒ × Ð Ö Ø × ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Ë a=0 Ý b=0 ÒØÓÒ × Ð Ö Ø × Ú ÖØ Ðº Ò ÐÑ ÒØ ¸ × a=0 Ý b=0 ÒØÓÒ × Ð Ö Ø × Ò Ð Ò º ÈÖÓÔÓ× Ò ¾º½º Ë L : ax + by + c = 0 ÙÒ Ö Ø ÓÒ b = 0 ´ × Ö¸ ÒÓ Ú ÖØ Ðµº Ë A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) ×ÓÒ Ó× ÔÙÒØÓ× Ù Ð ×ÕÙ Ö Ð Ö Ø L¸ ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × ¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÓ ÒØ x2 −y1 × Ò Ô Ò ÒØ y 2 −x1 Ð × ÓÓÖ Ò × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A Ý B ¸ Ý Ú Ð a º b
- 59. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÓ×ØÖ Òº Ë ÑÓ× ÕÙ ax1 + by1 + c = 0 ax2 + by2 + c = 0, ÐÙ Ó Ö ×Ø Ò Ó × Ó Ø Ò a(x2 − x1 ) + b(y2 − y1 ) = 0, ÓÒ y2 − y1 a =− . x2 − x1 b Ò Ò ¾º ´È Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø µº Ë L ÙÒ Ö Ø ÒÓ Ú ÖØ Ðº Ë A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) ×ÓÒ Ó× ÔÙÒØÓ× Ö ÒØ × L¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ð m = x2 −y1 ¸ × Ð ÐÐ Ñ Ô Ò ÒØ y 2 −x1 Ð Ö Ø Lº ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× Ò ÑÓ×ØÖ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ × Ú ÕÙ Ð Ô Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø × Ò ¸ × Ö¸ ÒÓ Ô Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÑÔÐ Ó× Ò ×Ù Ð ÙÐÓº 2.4.3. Ecuación de una recta, forma 2 Ä × ÙÒ ÓÖÑ × Ö Ö Ð Ù Ò ÙÒ Ö Ø × Ö Ô ÖØ Ö Ð Ô ÒØ º Ë L Ð Ö Ø Ô Ò ÒØ m Ý ÕÙ Ô × ÔÓÖ A = (x0 , y0 ). Ä Ù Ò L × Ð ÓÖÑ ax + by + c = 0 ÓÒ b = 0¸ × Ö a c L: x + y + = 0. b b È ÖÓ m = −a b ÐÙ Ó Ð Ù Ò ÕÙ c L : y − mx + = 0. b c È ÖÓ ÓÑÓ A ∈ L ÒØÓÒ ×¸ y0 − mx0 + b = 0¸ ÓÒ ×Ô ÑÓ× c b = mx0 − y0 ¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ L : y − mx − y0 + mx0 = 0, × Ö Ò Ò ¾º ´ Ù Ò Ð Ö Ø ÓÖÑ ¾µº L : (y − y0 ) = m(x − x0 ).
- 60. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 2.4.4. Ecuación de una recta, forma 3 Ä Ø Ö Ö ÓÖÑ × Ö Ö Ð Ù Ò ÙÒ Ö Ø × Ö Ô ÖØ Ö Ó× ÔÙÒØÓ׺ Ë L Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) Ë x1 = x2 ÒØÓÒ × Ð Ù Ò L × L : x = x1 Ó Ò L : x = x2 Ë x1 = x2 ÒØÓÒ × ÐÓ Ñ × ÑÓ Ó × Ð ÙÐ Ö Ð Ô Ò ÒØ Ý ÙØ Ð Þ Ö Ð ÖÑÙÐ Ù ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º × Ö Ò Ò ¾º ´ Ù Ò Ð Ö Ø ÓÖÑ ¿µº y2 − y1 L : (y − y1 ) = (x − x1 ). x2 − x1 2.4.5. Ecuación de una recta, forma principal Ë L : ax + by + c = 0 ÙÒ Ö Ø ÒÓ Ú ÖØ Ð ´b = 0µº Ë m ×Ù Ô Ò ÒØ º ÒØÓÒ × Ú Ò Ó ÔÓÖ b Ð Ù L ÔÙ Ò × Ö Ö× c L : −mx + y + = 0 b Ó × c L : y = mx − , b ÓÒ ÐÐ Ñ ÑÓ× n = −c¸ b ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ò Ò ¾º ´ Ù Ò Ð Ö Ø ÓÖÑ ÔÖ Ò Ô Ðµº L : y = mx + n. Ç × ÖÚ Ò × Ð ÖÓ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ (0, n) × Ø × Ð Ù Ò Ð Ö Ø ¸ ÐÙ Ó Ð × Ò Ó ÓÑ ØÖ Ó Ð ÓÒ×Ø ÒØ n ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÐØÙÖ ÓÒ Ð Ö Ø ÓÖØ Ð OY º 2.4.6. Paralelismo y perpendicularidad È Ö ×ØÙ Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ×Ø × ÒØÙ Ø Ú × ÒÓ ÓÒ × ÓÑ ØÖ ×¸ Ò × Ø ¹ ÑÓ× Ò Ö ÔÖ Ñ ÖÓ Ò Ò ¾º ´Ë Ñ ØÖ Ðµº Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× P, Q ∈ R ×Ø ÒØÓ׸ ÐÐ Ñ ¹ ÑÓ× Ë Ñ ØÖ Ð P Ý Q¸ Ð Ö Ø L ⊆ R ÕÙ × Ø × (x, y) ∈ L ⇔ d(P, (x, y)) = d(Q, (x, y)). ¼
- 61. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ð ÙÖ ¸ L × × Ñ ØÖ Ð P Ý Qº Ò ÑÓ× ÓÖ Ð × ÒÓ ÓÒ × Ô Ö Ð Ð ×ÑÓ Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ò Ò ¾º½¼ ´È Ö Ð Ð ×ÑÓµº Ó× Ö Ø × L Ý L′ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð × ´ ÒÓ¹ Ø Ó L||L µ × ′ L = L′ L = L′ Ó Ò L ∩ L′ = ∅º Ò Ò ¾º½½ ´ Ù Ò Ð Ö Ø ÓÖÑ ÔÖ Ò Ô Ðµº L : y = mx + n. Ç × ÖÚ Ò × Ð ÖÓ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ (0, n) × Ø × Ð Ù Ò Ð Ö Ø ¸ ÐÙ Ó Ð × Ò Ó ÓÑ ØÖ Ó Ð ÓÒ×Ø ÒØ n ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÐØÙÖ ÓÒ Ð Ö Ø ÓÖØ Ð OY º ½
- 62. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º Ò Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò ×¸ Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ P¸ ÒÓ¹ Ñ Ò ÑÓ× x Ð ×Ø Ò P Ð Ö Ø OX º ¾º Ò Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò ×¸ Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ P¸ ÒÓ¹ Ñ Ò ÑÓ× x Ð ×Ø Ò P Ð Ö Ø OY º ¿º Ò Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò ×¸ Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ P¸ ÒÓ¹ Ñ Ò ÑÓ× y Ð ×Ø Ò P Ð ÓÖ Ò Oº º Ë Ò Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò × ÙÒ ÔÙÒØÓ P × Ò Ù ÒØÖ ÖÖ Ð Ö Ø OX ¸ ÒØÓÒ × y > 0º º Ë Ò Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò × ÙÒ ÔÙÒØÓ P × Ò Ù ÒØÖ ÖÖ Ð Ö Ø OX ¸ ÒØÓÒ × x > 0º º Ë Ò Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò × ÙÒ ÔÙÒØÓ P × Ò Ù ÒØÖ Ð ÞÕÙ Ö Ð Ö Ø OY ¸ ÒØÓÒ × x < 0º º Ð ÔÙÒØÓ P = (−4, 2) ×Ø ÙÒ ×Ø Ò Ð OX º º Ð ÔÙÒØÓ P = (−4, 2) ×Ø ÙÒ ×Ø Ò Ð OY º º Ð ÔÙÒØÓ P = (−4, 2) ×Ø ÙÒ ×Ø Ò ¹ Ð ÓÖ Ò Oº ½¼º Ð OY × ÒÓÑ Ò Ð × × × ×º ½½º Ð OX × ÒÓÑ Ò Ð × × × ×º ½¾º Ð OY × ÒÓÑ Ò Ð × ÓÖ Ò ×º ½¿º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x = y = 0}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð OX º ½ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x ∈ Ê, y = 0}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð OX º ½ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : y ∈ Ê, x = 0}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð OX º ½ º Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x ∈ Ê, y > 0}º ¾
- 63. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x < 0, y < 0}º ½ º Ð × ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ ×Ø Ò ÐÙ Ó Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x < 0, y ∈ Ê}º ½ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x = 0, ∨y = 0}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ò ÐÓ× Ó× × OX Ý OY º ¾¼º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : xy = 0}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÖ Ò Oº ¾½º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : xy = 0}¸ ÓÒØ Ò ØÓ Ó Ð ÔÐ ÒÓ ÓÑ ØÖ Ó¸ × ÐÚÓ Ð ÓÖ Òº ¾¾º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x = 3}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒ¹ Ø Ðº ¾¿º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x = 2}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (2, 54)º ¾ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : y = −1}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Õ Ù ×Ø Ó Ð OX º ¾ º Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 )¸ Ð ×Ø Ò ÒØÖ ÐÐÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ (x1 + x2 )2 − (y1 + y2 )2 º ¾ º Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 )¸ Ð ×Ø Ò ÒØÖ ÐÐÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 º ¾ º Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 )¸ Ð ×Ø Ò ÒØÖ ÐÐÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 º ¾ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x2 + y 2 = 3}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ¹ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ Òº ¾ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x2 + y 2 = x}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ¹ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ Òº ¿¼º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : (x + 1)2 + y 2 = 3}¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð Ð ÔÙÒØÓ (−1, 0)º ¿½º ÄÓ× ÔÙÒØÓ× (x, y) ÕÙ × Ø × Ò Ð Ù Ò (x − 1)2 + (x + 2)2 = 1¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÕÙ ÐÐÓ× Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ (−1, 2) Ý Ö Ó ½º ¿¾º ÄÓ× ÔÙÒØÓ× (x, y) ÕÙ × Ø × Ò Ð Ù Ò x2 + y 2 − 4y = 0¸ ÓÖÖ ×¹ ÔÓÒ Ò ÕÙ ÐÐÓ× Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ (0, 2) Ý Ö Ó ¾º ¿¿º ÄÓ× ÔÙÒØÓ× (x, y) ÕÙ × Ø × ÒÐ Ù Ò x2 −4y = 0¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÕÙ ÐÐÓ× Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ (0, 0) Ý Ö Ó ¾º ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x2 + y 2 + Ax + Bx + C = 0}¸ × ÑÔÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò º ¿
- 64. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ 2 2 A = {(x, y) : x + y + Ax + Bx + C = 0} ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò × ÐÓ Ò Ð ×Ó ÕÙ A¸ B Ý C ×ÓÒ ÔÓ× Ø ÚÓ׺ ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x2 + y 2 + Ax + Bx + C = 0} ÓÖÖ ×ÔÓÒ 2 2 ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò × A + B − 4C ≥ 0º ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x2 + y 2 > 4} ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð ÒØ Ö ÓÖ Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ (0, 0) Ý Ö Ó ¾º ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x2 + y 2 − 4 ≤ 0} ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð ÒØ Ö ÓÖ Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ (0, 0) Ý Ö Ó ¾º ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : x2 + (y − 1)2 − 5 ≤ 0} ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð ÒØ Ö ÓÖ Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ (0, 1) Ý Ö Ó º ¼º Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) ×Ø ÒØÓ׸ × x1 = x2 ÒØÓÒ × Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ A Ý B × ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ½º Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) ×Ø ÒØÓ׸ × x1 = x2 ÒØÓÒ × Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ A Ý B × Ú ÖØ Ðº ¾º Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) ×Ø ÒØÓ׸ × x1 = x2 = 0 Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ AÝB × Ð OY º ¿º Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) ×Ø ÒØÓ× Ò Ñ × ÓÓÖ Ò ×¸ × ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ô ÖØ Ò Ð × Ñ ÒØÓ AB ÒØÓÒ × Ô ÖØ ¹ Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ A Ý B º º Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) ×Ø ÒØÓ× Ò Ñ × ÓÓÖ Ò ×¸ × ÙÒ ÔÙÒØÓ P ÙÑÔÐ ÕÙ A Ô ÖØ Ò Ð × Ñ ÒØÓ PB ÒØÓÒ × Ô ÖØ Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ A Ý B º º Ä Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) × (x − x1 )(x2 − x1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 )º º Ä Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A = (x1 , y1 ) Ý B = (x2 , y2 ) × (x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 )º º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : ax + by + c = 0} × ÑÔÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø º º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : ax + by + c = 0} ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø × ÑÔÖ ÕÙ a = 0 Ó b = 0º º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : ax + by + c = 0} ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø × ÑÔÖ ÕÙ a = 0 Ý b = 0º ¼º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : ax + by + c = 0}¸ ÓÒ a= 0 Ý b = 0 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ò º ½º Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {(x, y) : ax + by + c = 0}¸ ÓÒ a= 0 Ý b = 0 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ò º
- 65. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¾º ÙÒ Ö Ø L : ax + by + c = 0¸ ÓÒ b = 0 Ý Ó× ÔÙÒØÓ× (x1 , y1 ) y2 −y1 Ý (x2 , y2 ) Ù Ð ×ÕÙ Ö Ò ÐÐ ¸ Ð ÙÓ ÒØ x2 −x1 × ÓÒ×Ø ÒØ º ¿º ÙÒ Ö Ø L : ax + by + c = 0¸ ÓÒ b = 0 Ý Ó× ÔÙÒØÓ× (x1 , y1 ) y2 −y1 Ý (x2 , y2 ) Ù Ð ×ÕÙ Ö Ò ÐÐ ¸ Ð ÙÓ ÒØ x2 −x1 × Ù Ð b − aº º Ë m × Ð Ô Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø L¸ ÒØÓÒ × ×Ø × ÔÙ × Ö Ö ÓÑÓ (y − y0 ) = m(x − x0 )¸ ÓÒ (x0 , y0 ) Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò Þ ÐÐ º º Ë m × Ð Ô Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø L¸ ÒØÓÒ × ×Ø × ÔÙ × Ö Ö ÓÑÓ m(y − y0 ) = (x − x0 )¸ ÓÒ (x0 , y0 ) Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò Þ ÐÐ º
- 66. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º Ð Ù Ò Ð Ö Ø y + 7x = 2y − 1¸ Ø ÖÑ Ò Ù Ð × ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÙÒØÓ× Ô ÖØ Ò Ò Ð Ö Ø ´ µ (1, 0)º ´ µ (0, 0)º ´ µ (1, 8)º ´ µ (15, 2)º ´ µ (1, 15)º ¾º Ð Ö ÙÒ Ö Ò (x − 1)2 + (y + 1)2 = 1¸ Ø ÖÑ Ò Ù Ð × ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÙÒØÓ× Ô ÖØ Ò Ò Ð Ö Ø ´ µ (1, −1)º ´ µ (1, 1)º ´ µ (2, −1)º ´ µ (1, 0)º ´ µ (0, −1)º ¿º Ø ÖÑ Ò Ð × Ù ÓÒ × Ð × × Ù ÒØ × Ö Ø × ´ µ Ì Ò Ô Ò ÒØ 0 Ý Ô × ÔÓÖ (−1, 2)º ´ µ È × ÔÓÖ (3, 2) Ý (9, 7)º ´ µ È × ÔÓÖ (−1, 0) Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ −8º ´ µ È × ÔÓÖ Ð ÒØ Ö× Ò L1 : x = 0 ÓÒ L2 : y = −1 Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ º ´ µ È × ÔÓÖ Ð ÒØ Ö× Ò L1 : 2x + y = 0 ÓÒ L2 : x = −2y Ý Ð ÒØ Ö× Ò L3 : 3x − 6y = 2 ÓÒ L4 : 4x + 1 = 0º º Ø ÖÑ Ò Ð × Ù ÓÒ × Ð × × Ù ÒØ × Ö ÙÒ Ö Ò × ´ µ Ê Ó 2 Ý ÒØÖÓ Ò (1, 2)º ´ µ È × ÔÓÖ (−2, 0)¸ Ø Ò Ö Ó 2 Ý Ð ÓÓÖ Ò x Ð ÒØÖÓ × 1º × Ò Ð ×ÓÐÙ Ò º ´ µ È × ÔÓÖ (0, 0)¸ (1, 0) Ý (0, 1)º × Ò Ð ×ÓÐÙ Ò º
- 67. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º ÓÒ× Ö Ð Ù Ò 2 2 Ax + By + Cx + Dy + E = 0º ´ µ Ó ÕÙ ÓÒ ÓÒ × ×Ó Ö ÐÓ× Ó ÒØ × A, B, C, D, E ¸ Ð Ù ¹ Ò Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö Ø º Ò ×Ø ×Ó¸ Ù Ð × Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø ´ µ Ó ÕÙ ÓÒ ÓÒ × ×Ó Ö ÐÓ× Ó ÒØ × A, B, C, D, E ¸ Ð Ù ¹ Ò Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò º Ò ×Ø ×Ó¸ Ù Ð × Ð ÒØÖÓ Ý Ð Ö Ó º ×Ð ×× Ù ÒØ × Ù ÓÒ ×¸ Ø ÖÑ Ò × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ö Ø × Ö ÙÒ¹ Ö Ò ×º ÜÔÐ Ø Ö Ô Ò ÒØ Ý Ó ÒØ ÔÓ× Ò¸ Ó Ò¸ ÒØÖÓ Ý Ö Ó¸ × Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ º ´ µ 2y + 3x2 = 3(y + x)2 − 3y 2 ´ µ 3x2 + 2y 2 = (y + 1)2 + 5 ´ µ 2 + y = 3(y + x) ´ µ (x + y)2 = x + y + 2xy ´ µ 2x2 + 3x + 2y 2 + 5y = 0 ´µ (x + y)2 = (x − y)2 ´ µ y + 2x = 2(y + x) − 1 º × Ö Ð × ØÖ × ÓÖÑ × ×Ø ÒØ ×¸ Ú ×Ø × Ò Ð × ¸ Ð × × Ù ÒØ × Ö Ø ×º Ò ×Ó¸ Ò ÕÙ Ô Ò ÒØ Ý Ó ÒØ ÔÓ× Ò ´ µ y = 3x + 2 ´ µ x = 2y + 1 ´ µ 2+y+x=0 ´ µ (y − 1) = 2(x − 2)
- 68. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ × Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ × Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ × Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º ÒØ × ÓÑ ÒÞ Ö¸ ÓÒ× Ö Ð × × Ù ÒØ × Ò ÓÒ × ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ×¸ ÕÙ Ò × Ø Ö Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ ×º ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ Ë ÕÙ Ó× Ö Ø × L Ý L′ ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö × × ×Ù× Ô Ò ÒØ × × Ø × Ò ÕÙ mL · mL ′ = −1º Ò Ð ×Ó × Ñ ÒØÓ׸ × ÓÒ× Ö Ð Ö Ø ÕÙ ÓÒØ Ò Ð × Ñ ÒØÓº ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ Ä Ù Ò Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ ÔÓÖ ÙÒ ÔÙÒØÓ P = (α, β) ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ù Ò x2 + y 2 = r2 × xα + yβ = r2 º P × ÐÐ Ñ ÔÙÒØÓ Ø Ò Ò º Ƚº ´½ Ñ Òºµ Ó Ð ÔÙÒØÓ P ÓÓÖ Ò × (a, b) Ý Ð Ö Ø L Ù ¹ Ò y = mx¸ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ P Ý Ø Ð ÕÙ Ð ØÖ ÞÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð ÒØ Ö× Ò ÐÐ ÓÒ ÐÓ× ×¸ ÕÙ Ñ Ó ÔÓÖ Lº Ⱦº ´½ Ñ Òºµ ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ABC × × Ð × ´AC = BC µ Ý Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò C¸ Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ù Ú ÖØ A Ô ÖÑ Ò Ó Ò Ð ÓÖ Ò Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × Ý ×Ù Ú ÖØ B × ÑÙ Ú ×Ó Ö Ð Ö Ø Ù Ò x = aº Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ù Ò Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÕÙ Ö ÓÖÖ Ð ÔÙÒØÓ C Ý Ö ÓÒÓ Ö Ð ÙÖ ÕÙ × Ö º È¿º ´½ Ñ Òºµ Ó× Ð ÔÙÒØÓ P = (a, b) Ý Ð Ö Ø L : y = mx¸ × ØÖ Þ Ò PH Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö OX ÝP K Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Lº Ë D × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó OP Ý M × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó HK ÔÖÓ Ö ÕÙ DM × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö HK Ý DK = DH º È º ´½ Ñ Òºµ Ó× Ö Ø × Ú Ö Ð × L1 Ý L2 ÕÙ Ô × Ò¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ Ó× ÔÙÒØÓ× Ó× A Ý B × ÓÖØ Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ ÖÑ ÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ Pº Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó Pº È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò L1 : x+2y+4 = 0¸ L2 : x−y−1 = 0¸ Ý L3 : −x+3y−3 = 0¸ ØÖ × Ö Ø × ÕÙ Ò Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC º Ø ÖÑ Ò Ö
- 69. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð µ È Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC º µ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC º µ Ä Ù Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ× Ö Ø º È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë ÓÒ× Ö Ò ØÖ × ÔÙÒØÓ× O, A, B × ØÙ Ó× ×Ó Ö ÙÒ Ö Ø Ý × ÓÒØÖÙÝ Ò Ó× × Ñ Ö ÙÒ Ö Ò × OA Ý OB ¸ Ö ×¹ Ñ ØÖÓ× Ô Ø Ú Ñ ÒØ º × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó M Ð ØÖ ÞÓ AB × Ð Ú ÒØ Ð Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö¸ ÓÖØ Ò Ó Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ñ ÝÓÖ Ò R Ý ÐÙ Ó × ØÖ ¹ Þ Ð Ø Ò ÒØ MP Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ñ ÒÓÖ¸ × Ò Ó P Ð ÔÙÒØÓ Ø Ò Ò º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ O, P Ý R × Ò Ù ÒØÖ Ò ×Ó Ö ÙÒ Ñ ×Ñ Ö Ø º È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ä × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ×Ø ¸ × Ò Ó ×Ù× Ú ÖØ × A= (0, 0)¸ B = (b, 0)º Ð Ú ÖØ C ×Ø ×Ó Ö Ð Ö Ø y = c¸ b > 0 Ý c > 0º Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÒØ Ö× Ò Ð × ØÖ × ÐØÙÖ ×º È º ´¿¼ Ñ Òºµ ÓÒ× Ö Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ù Ò x2 + y 2 = 1º ÍÒ Ö Ø Ú Ö Ð L ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò¸ ÒØ Ö× Ø Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Q Ý Sº Ø ÖÑ Ò Ö¸ Ò Ð Ø Ñ ÒØ ¸ Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó Ð ÒØ Ö× Ò Ð × Ø Ò ÒØ × Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× P Ý Qº
- 70. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 4: GEOMETRÍA ANALÍTICA Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 3. Secciones Cónicas Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × Ò Ò ¿º½ ´ Ò µº Ë Ò D Ý F ÙÒ Ö Ø Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ ÒÓØ ÓÒ ×º Ø Ð × ÕÙ F ∈ Dº Ë e ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº ÍÒ Ò × Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× P Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð × ÕÙ ×Ù ×Ø Ò F × e¹Ú × ×Ù ×Ø Ò Ð Ö Ø Dº × Ö P ∈ Ò ⇐⇒ d(P, F ) = e · d(P, D), e>0 F × ÐÐ Ñ Ó Ó Ó Ð Ò º D × ÐÐ Ñ Ö ØÖ Þ Ð Ò ´Ú Ö ÑÓ× × ÐÓ Ð ×Ó Ò ÕÙ × Ú ÖØ Ð Ù ÓÖ ÞÓÒØ Ðµº e × ÐÐ Ñ Ü ÒØÖ Ð Ò º Ñ × Ë e<1 Ð Ò × ÐÐ Ñ Ö Ð Ô× º Ë e=1 Ð Ò × ÐÐ Ñ Ö È Ö ÓÐ º Ë e>1 Ð Ò × ÐÐ Ñ Ö À Ô Ö ÓÐ º 3.1. Parábola Ò Ò ¿º¾ ´È Ö ÓÐ µº ÍÒ Ô Ö ÓÐ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ×Ó e = 1º È Ö × Ö Ö ×Ù Ù Ò ÓÒ× Ö Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ó Ó ×Ø Ò Ð Ù Ò F = (0, p) ÓÒ p = 0 Ý ÕÙ Ð Ö ØÖ Þ D × Ð Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ù Ò y = −pº ÓÒ ×ØÓ¸ Ð ÓÖ Ò × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÕÙ ×Ø ÙÒ ×Ø Ò |p| Ø ÒØÓ F ÓÑÓ Dº È Ö × Ö ÖÐ Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ P = (x, y) Ù ÐÕÙ Ö Ð ÔÐ ÒÓ ÑÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ×Ù ×Ø Ò F Ý D× Ò Ù Ð × P = (x, y) ∈ È Ö ÓÐ ⇐⇒ PF = PD ⇐⇒ x2 + (y − p)2 = |y + p|; Ð Ú Ò Ó Ð Ù Ö Ó¸ ⇐⇒ x + y − 2py + p = y + 2py + p2 2 2 2 2 ⇐⇒ x2 = 4py 1 2 ⇐⇒ y= x . 4p ¼
- 71. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 3.1.1. Gráfico de la parábola ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ×Ó p > 0º ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÔÖ Ö ÐÓ × Ù ÒØ ½º Ð ÔÙÒØÓ (0, 0) Ú ÒØ Ñ ÒØ × Ø × Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ¸ ÐÙ Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ô × ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò¸ ÓÑÓ Ý ÐÓ ÑÓ× Ó × ÖÚ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ¾º ÓÑÓ x2 ≥ 0 Ý p > 0 ÒØÓÒ ×¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ô Ö ÓÐ Ò Ø Ò Ö ÓÖ Ò ÒÓ Ò Ø Ú ´y ≥ 0µ¸ × Ö¸ Ð Ö Ó Ð Ô Ö ÓÐ ×Ø Ö ÓÒØ Ò Ó Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ ¸ Ñ × Ð ÓÖ Òº ¿º Ë P = (x, y) × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÒØÓÒ × ×Ù× ÓÓÖ Ò × × Ø × Ò Ð Ù Òº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÓÑÓ (−x)2 = x2 ¸ ′ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ P = (−x, y) Ø Ñ Ò × Ø × Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ¸ Ó × ¸ Ô ÖØ Ò ÐÐ º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ P′ × Ð ÔÙÒØÓ × Ñ ØÖ Ó P ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð OY º Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ Ð Ô Ö ÓÐ × ÙÒ ÙÖÚ × Ñ ØÖ ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð OY º Ä ÒØ Ö× Ò ÒØÖ Ð Ô Ö ÓÐ Ý Ð × Ñ ØÖ × ÐÐ Ñ Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º Ò ×Ø ×Ó Ð Ú ÖØ × Ð ÓÖ Ò (0, 0)º º Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × y Ó Ø Ò Ó× Ô Ö Ö ÒØ × Ú ÐÓÖ × xº Ë × ÓÒ× Ö Ò Ú ÐÓÖ × Ú Þ Ñ ÝÓ¹ Ö × x¸ × Ó Ø Ò Ò Ú ÐÓÖ × Ú Þ Ñ ÝÓÖ × y¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ × ÙÒ ÙÖÚ Ö ÒØ Ò ×Ø Ù Ö ÒØ º ÈÓÖ ØÓ Ó ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ö Ó × Ö Ç × ÖÚ Ò ½º Ð Ö Ó Ò Ð ×Ó p<0 × Ò ÐÓ Ó Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ Ô ÖÓ ÖØÓ Óº ¾º Ë × Ö Ö ÑÓ× Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ò Ð ×Ó Ö ØÖ Þ Ú Ö¹ Ø Ð x = −p Ý Ó Ó F = (p, 0)¸ Ö Ô Ø Ò Ó Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖÓ ×Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ 2 Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ö y = 4px¸ Ð Ù Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÖØ Ð Ö × p > 0 Ó ÖØ Ð ÞÕÙ Ö × p < 0º 3.1.2. Traslación paralela de ejes Ë ÒS = {OXY } Ý S ′ = {O′ X ′ Y ′ } Ó× × ×Ø Ñ × ÓÓÖ Ò × Ø Ð ′ ′ ÑÓ Ó ÕÙ ÐÓ× × OX Ý O X ×ÓÒ Ô Ö Ð ÐÓ× Ý Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó¸ ÐÓ ′ ′ ′ Ñ ×ÑÓ ÕÙ ÐÓ× × OY Ý O Y º Ð ÓÖ Ò O Ø Ò ÓÓÖ Ò × (x0 , y0 ) Ò ′ S ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º Ò ×Ø ×Ó Ö ÑÓ× ÕÙ Ð × ×Ø Ñ S × ÙÒ ØÖ ×Ð Ò Ô Ö Ð Ð Ð × ×Ø Ñ S º ÍÒ ÔÙÒØÓ P Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ò Ö ÓÓÖ Ò × (x, y) ÓÒ Ö ×Ô ØÓ S Ý ÓÓÖ¹ ′ ′ Ò × (x , y ) ÓÒ Ö ×Ô ØÓ S ′º Ç × ÖÚ Ò ÙÒ ×ÕÙ Ñ × Ò ÐÐÓ ÔÙ ÔÖ Ö× ÕÙ ½
- 72. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Y p F O X D −p ÙÖ ½ Ö Ó Ð Ô Ö ÓÐ º x = x′ + x0 x′ = x − x0 Ó Ò y = y ′ + y0 y ′ = y − y0 ×Ø ÑÓ Ó¸ Ú Þ ÕÙ Ò Ð Ù Ò ÙÒ ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó Ô Ö Þ¹ Ò Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × x − x0 Ó y − y0 ¸ ×Ø × ÔÙ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ Ð × ′ ÓÓÖ Ò × x y′ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÔÙÒØÓ× Ö ×Ô ØÓ ÙÒ × ×Ø Ñ ØÖ ×Ð Ó ÙÝÓ ÓÖ Ò ×Ø Ò (x0 , y0 )º ÑÔÐÓ× ½º L : y = mx × ÙÒ Ö Ø Ô Ò ÒØ m ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ý L′ : (y − y0 ) = m(x − x0 ) × ÙÒ Ö Ø Ð Ñ ×Ñ Ô Ò ÒØ ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (x0 , y0 )¸ × Ö ×Ø Ö Ø Ô × ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò ÙÒ × ×Ø Ñ ØÖ ×Ð Ó Ð ÔÙÒØÓ (x0 , y0 )º ¾º C : x2 + y 2 = r2 × ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó r ÒØÖ Ò Ð ′ 2 2 2 ÓÖ Ò Ý C : (x − xo ) + (y − yo ) = r Ø Ñ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó r Ô ÖÓ ÒØÖ Ò (x0 , y0 )º 1 2 ¿º P : y = 4p x × ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ò Ð ′ 1 2 ÓÖ Ò Ý P : y − y0 = 4p (x − x0 ) × ÓØÖ Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ò Ð ÔÙÒØÓ (x0 , y0 )º Ò Ð ÐØ ÑÓ ×Ó¸ Ð Ó Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ø Ò ÓÓÖ Ò × (x0 , y0 +p) Ý Ð Ö ØÖ Þ Ø Ò Ù Ò y = y 0 − pº × Ö¸ Ð × ÔÓ× ÓÒ × ×ØÓ× Ó ØÓ× ×ÓÒ Ð × Ñ ×Ñ × ¾
- 73. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Y Y‘ S S‘ yo O‘ X‘ O xo X ÙÖ ¾ ÌÖ ×Ð Ò × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò ×º Ð Ô Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ð¸ Ô ÖÓ ØÖ ×Ð × x0 y0 Ò ÐÓ× × ÒØ Ó× ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ú ÖØ Ð Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º 3.1.3. Ecuación general de la parábola Ì ÓÖ Ñ ¿º½º Ä Ù Ò y = ax2 + bx + c ÓÒ a = 0 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ð ÓÒ Ö ØÖ Þ D : y = −1−△ ¸ Ó Ó F = ( −b , 1−△ ) Ý 4a 2a 4a Ú ÖØ V = ( 2a , 4a )¸ ÓÒ △ = b2 − 4ac. −b −△ ÑÓ×ØÖ Òº ´ ÑÓ×ØÖ Òµ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ð Ù Ò y = ax2 + bx+c ÔÙ ÓÖ Ò Ö× ÓÑÔÐ Ø Ò Ó Ù Ö Ó× Ô Ö ØÓ× Ð× Ù ÒØ ÑÓ Ó b c y = ax2 + bx + c ⇐⇒ y = a[x2 + x + ] a a b b b c ⇐⇒ y = a[x2 + 2 x + ( )2 − ( )2 + ] 2a 2a 2a a b b2 c ⇐⇒ y = a[(x + )2 − 2 + ] 2a 4a a b b2 − 4ac ⇐⇒ y = a(x + )2 − 2a 4a b2 − 4ac b ⇐⇒ (y + ) = a(x + )2 4a 2a b b2 − 4ac ⇐⇒ (y − y0 ) = a(x − x0 )2 , ÓÒ x0 = − , y0 = − . 2a 4a × Ö¸ × ØÖ Ø ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ð¸ ÓÒ Ú ÖØ ×ÔÐ Þ Ó 1 Ð ÔÓ× Ò (x0 , y0 )º ÓÑÓ Ý Ú ÑÓ× ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸p = 4a Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ó Ó × Ö ¿
- 74. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð F = (x0 , y0 + p) b △ 1 = − ,− + 2a 4a 4a b 1−△ = − , . 2a 4a È Ö Ð Ö ØÖ Þ Ø Ò Ö ÑÓ× 1 y = y0 − 4a △ 1 = − − 4a 4a 1+△ = − . 4a △ Ð Ö Ñ ÒØ Ð × ÓÓÖ Ò × Ð Ú ÖØ × Ö Ò V = (x0 , y0 ) = (− −b , − 4a )¸ 2a ÓÒ △= b2 − 4acº 3.2. Elipse Ò Ò ¿º¿º Ä Ð Ô× ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ×Ó e < 1º È Ö × Ö Ö ×Ù Ù Ò Ò ÓÖÑ × ÑÔÐ ¸ ÓÒÚ Ò Ù Ö Ð Ó Ó ×Ó Ö Ð OX Ò Ð × ÓÓÖ Ò × F = (f, 0)¸ Ý Ð Ö ØÖ Þ Ú ÖØ Ð Ù Ò x = d¸ ÓÒ f = dº ÓÒ ×Ø Ð Ò¸ Ð Ù Ò Ð Ð Ô× × P = (x, y) ∈ Ð Ô× ⇐⇒ P F = eP D ⇐⇒ (x − f )2 + y 2 = e|x − d|; Ð Ú Ò Ó Ð Ù Ö Ó¸ ⇐⇒ x − 2f x + f 2 + y 2 = e2 x2 − 2dx + d2 2 ⇐⇒ x2 (1 − e2 ) + 2x(e2 d − f ) + y 2 = e2 d2 − f 2 . ÓÑÓ Ð Ð Ò Ð Ó Ó Ý Ð Ö ØÖ Þ × Ö Ð Þ ÓÔ Ö ÕÙ Ð Ù Ò × × ÑÔÐ ¸ ÑÔÓÒ Ö ÑÓ× ÕÙ f = e2 d¸ ÓÒ ×ØÓ Ð Ñ Ò ÑÓ× Ð ØÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ö Ó ÒÐ Ù Ò Ý ÒÓ× ÓÖÖ ÑÓ× ÙÒ ÓÑÔÐ Ø Ò Ù Ö Ó Ô Ö ØÓº ÓÒ ×ØÓ¸ Ð Ù Ò Ð Ð Ô× × Ö Ù x2 (1 − e2 ) + y 2 = e2 d2 (1 − e2 ). Ò Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ × Ò ÔÓ ÑÓ× Ú Ö ÔÓÖ e2 d2 (1 − e2 )¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ó ¹ Ø Ò Ö ÑÓ× ÐÓ × Ù ÒØ x2 y2 + 2 2 = 1. e2 d2 e d (1 − e2 ) √ Ë Ò ×Ø Ù Ò ÐÐ Ñ ÑÓ× a = ed Ý b = ed 1 − e2 ¸ ÒØÓÒ × Ø Ò Ö ÑÓ× Ù Ò Ò Ö Ð Ð Ð Ô× º x2 y2 2 + 2 = 1. a b
- 75. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÓÒ f = e2 d = ae Ý a d= . e Ñ × √ b a2 − b 2 = 1− e2 ⇒e= . a a Ò ÓÒ× Ù Ò x2 y2 + 2 =1 ÓÒ a > b. a2 b √ 2 2 Ü ÒØÖ e = a a−b ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ÑÔÖ ÙÒ Ð Ô× ÓÒ Ó Ó F = (ae, 0) Ö ØÖ Þ D:x= a e 3.2.1. Gráfico de la elipse ½º Ó ÕÙ Ò Ð Ù Ò Ô Ö Ò x2 y2¸ Ù ÑÓ× ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ ÙÖ Ó Ð Ñ ÒØ × Ñ ØÖ ÓÒ Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× ×º Ò ØÓ¸ × P = (x, y) × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ð Ô× ¸ ÒØÓÒ × ×Ù× ÓÓÖ ¹ 2 2 2 2 Ò × × Ø × Ò Ð Ù Òº È ÖÓ (−y) = y Ý Ñ × (−x) = x ¸ ÐÙ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× (x, −y), (−x, y), (−x, −y) ¸ Ø Ñ Ò × Ø × Ò Ð Ù Ò¸ ÐÙ Ó Ô ÖØ Ò Ò ÐÐ º ÓÑÓ ÓÒ× Ù Ò ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ×Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ð × × Ö Ó Ð Ð Ô× × ÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º ¾º Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÔÓ ÑÓ× ×Ô Ö y Ò Ø ÖÑ ÒÓ× x Ó Ø ¹ Ò Ò Ó b y= a2 − x2 . a ÕÙ Ú ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ÔÓ Ö Ð ÙÐ Ö y × Ò × Ö Ó ÕÙ x ≤ a¸ ÐÙ Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ô× Ö× × ÐÓ Ò Ð ÞÓÒ ÒØÖ x=0Ýx=a ´ Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ µº ¿º Ì Ñ Ò ÔÓ ÑÓ× ×Ô Ö x Ò Ø ÖÑ ÒÓ× y Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ó Ø Ò Ò Ó a x= b2 − y 2 . b ÕÙ Ú ÑÓ× ÕÙ y ×Ø Ö ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ y=0 y = bº º Ë ÑÔÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ó Ø Ò Ö Ð ÙÒÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ× Ö Ò Ó ÕÙ b y= a2 − x2 . a È ÖØ Ò Ó Ò x=0× Ó Ø Ò y = bº Ë x Ö 0 ×Ø a× Ú ÕÙ y Ö b ×Ø 0º Ð Ò Ð¸ Ù Ò Ó x=a × Ó Ø Ò y = 0º
- 76. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÄÙ Ó Ð Ö Ó × Ö Y D‘ D b F‘ F −a O a X −b ÙÖ ¿ Ö Ó Ð Ð Ô× º Ç × ÖÚ Ò ÈÓÖ Ð × Ñ ØÖ Ð Ö Ó¸ × ÔÖ ÐÑ ÒØ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ F ′ = (−ae, 0) Ý Ð Ö Ø D′ Ù Ò x = −a e ÙÒ ÓÒ Ò ÓÑÓ ÙÒ Ó Ó Ý Ö ØÖ Þ Ð Ð Ô× º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ð Ô× Ø Ò Ó× Ó Ó× Ý Ó× Ö ØÖ ×º ÈÖÓÔ ÑÔÓÖØ ÒØ x2 y2 Ë P ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ð Ô× a2 + b2 = 1 Ý × Ò P′ Ý P ′′ Ð × ÔÖÓÝ ÓÒ × P ×Ó Ö Ð × Ö ØÖ ×º Y D‘ D b P“ P P‘ F‘ F −a O a X −b ÒØÓÒ × × Ð ÖÓ ÕÙ P F = eP P ′ Ý P F ′ = eP P ′′ .
- 77. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÄÙ Ó 2a P F + P F ′ = e(P P ′ + P P ′′ ) = eP ′ P ′′ = e = 2a. e × Ö P F + P F ′ = 2a. Ç × ÖÚ Ò x2 y2 ½º Ë a<b ÒØÓÒ × Ð Ù a2 + b2 Ò = 1 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ð Ô× ÓÒ × Ò ÒØ Ö Ñ √ Ó ÐÓ× ÖÓÐ × x y Ý ÐÓ× ÖÓÐ × a Ý b¸ 2 2 ÑÓ Ó ÕÙ e = b b−a , b F = (0, be)¸ F ′ = (0, −be)¸ D : y = e Ý ′ b D : y = −e. x2 y2 ¾º Ò ÓÒ× Ù Ò Ð Ù Ò a2 + b2 = 1 ÓÒ a = b Ö ÔÖ × ÒØ × ÑÔÖ ÙÒ Ð Ô× × Ñ × a Ý b¸ ÕÙ × ÓÖ ÞÓÒØ Ð × a > b Ó Ú ÖØ Ð × a < bº ¿º Ë a = b ÒØÓÒ × Ð Ù Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó a Ý ÒÓ ÙÒ Ð Ô× º 3.3. Hipérbola Ò Ò ¿º º Ä Ô Ö ÓÐ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ×Ó e > 1º ÆÙ Ú Ñ ÒØ ¸ Ô Ö × Ö Ö ×Ù Ù Ò Ò ÓÖÑ × ÑÔÐ ¸ ÓÒÚ Ò Ù Ö Ð Ó Ó ×Ó Ö Ð OX Ò Ð × ÓÓÖ Ò × F = (f, 0)¸ Ý Ð Ö ØÖ Þ Ú ÖØ Ð Ù Ò x = d¸ ÓÒ f = dº ÓÒ ×Ø Ð Ò¸ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ × P = (x, y) ∈ À Ô Ö ÓÐ ⇐⇒ P F = eP D ⇐⇒ (x − f )2 + y 2 = e|x − d|; Ð Ú Ò Ó Ð Ù Ö Ó¸ ⇐⇒ x − 2f x + f 2 + y 2 = e2 x2 − 2dx + d2 2 ⇐⇒ −x2 (e2 − 1) + 2x(e2 d − f ) + y 2 = e2 d2 − f 2 . Ò ×Ø ×Ó Ø Ñ Ò Ð Ö ÑÓ× f = e2 d Ô Ö Ú Ø ÖÒÓ× ÙÒ ÓÑÔÐ Ø Ò Ù Ö Ó׺ ÓÒ ×ØÓ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ × Ö −x2 (e2 − 1) + y 2 = −e2 d2 (e2 − 1). Ò Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ × Ò ÔÓ ÑÓ× Ú Ö ÔÓÖ −e2 d2 (e2 − 1)¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ó Ø Ò Ö ÑÓ× ÐÓ × Ù ÒØ x2 y2 2 d2 − 2 2 2 = 1. e e d (e − 1) √ ÕÙ ¸ × ÐÐ Ñ ÑÓ× a = ed Ý b = ed e2 − 1¸ ÒØÓÒ × Ø Ò Ö ÑÓ×
- 78. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ò ¿º ´ Ù Ò Ò Ö Ð Ð Ô Ö ÓÐ µº x2 y2 2 − 2 =1 a b ÓÒ a f = e2 d = ae Ý d= e Ñ × √ b a2 + b 2 = e2 −1⇒e= . a a Ò ÓÒ× Ù Ò x2 y2 2 − 2 =1 ÓÒ a >b a b ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ÑÔÖ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÒ √ 2 2 Ü ÒØÖ e = a a+b Ó Ó F = (ae, 0) Ö ØÖ Þ D:x= a e 3.3.1. Gráfico de la hipérbola ½º ÓÑÓ Ò Ð Ù Ò Ô Ö Ò x2 y2¸ Ù ÑÓ× ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ ÙÖ Ó Ð Ñ ÒØ × Ñ ØÖ ÓÒ Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× ×º Ò ØÓ¸ × P = (x, y) × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ð Ô× ¸ ÒØÓÒ × ×Ù× ÓÓÖ Ò × × Ø × Ò Ð (−y)2 = y 2 Ù Òº È ÖÓ Ý 2 2 Ñ × (−x) = x ¸ ÐÙ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× (x, −y), (−x, y), (−x, −y) ¸ Ø Ñ Ò× Ø × ÒÐ Ù Ò¸ ÐÙ Ó Ô ÖØ Ò Ò ÐÐ º ÓÑÓ ÓÒ× Ù Ò ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ×Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ð × × Ö Ó Ð Ð Ô× × ÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º ¾º Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÔÓ ÑÓ× ×Ô Ö y Ò Ø ÖÑ ÒÓ× x Ó Ø ¹ Ò Ò Ó b y= x2 − a2 . a ÕÙ Ú ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ÔÓ Ö Ð ÙÐ Ö y × Ò × Ö Ó ÕÙ x ≥ a¸ ÐÙ Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ô× Ö× × ÐÓ Ò Ð ÞÓÒ Ð Ö x=a ´ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ µº ¿º Ì Ñ Ò ÔÓ ÑÓ× ×Ô Ö x Ò Ø ÖÑ ÒÓ× y Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ó Ø Ò Ò Ó a x= b2 + y 2 . b ÕÙ Ú ÑÓ× ÕÙ y ÔÙ ØÓÑ Ö Ù ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖº º Ë ÑÔÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ó Ø Ò Ö Ð ÙÒÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ¹ × Ö Ò Ó ÕÙ b y= x2 − a2 . a ÄÙ Ó Ô Ö x=a × Ó Ø Ò y = 0.
- 79. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ñ × × x Ö ÒØÓÒ × y Ø Ñ Ò Ö ÈÓÖ ÐØ ÑÓ × x ØÓÑ Ú ÐÓÖ × ÑÙÝ Ö Ò × ÔÓ ÑÓ× ÖÐ × Ù ÒØ ÔÖÓ¹ Ü Ñ Ò b a b y= x 1 − ( )2 ∼ x a x a b × Ö Ð Ô Ö ÓÐ × ÔÖÓÜ Ñ Ð Ö Ø y = a xº Ö Ø × ÐÐ Ñ × ÒØÓØ Ð Ô Ö ÓÐ º b ÈÓÖ × Ñ ØÖ Ú ÑÓ× ÕÙ Ð × Ö Ø × y = ±ax ×ÓÒ ØÓ × Ð × × ÒØÓØ × Ð Ô Ö ÓÐ º ÄÙ Ó Ð Ö Ó × Ö Y b −a O a X Ç × ÖÚ Ò ÈÓÖ Ð × Ñ ØÖ Ð Ö Ó¸ × ÔÖ ÐÑ ÒØ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ F ′ = (−ae, 0) Ý Ð Ö Ø D′ Ù Ò x = −a e ÙÒ ÓÒ Ò ÓÑÓ ÙÒ Ó Ó Ý Ö ØÖ Þ Ð Ô Ö ÓÐ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ø Ò Ó× Ó Ó× Ý Ó× Ö ØÖ ×º ÈÖÓÔ ÑÔÓÖØ ÒØ x2 y2 Ë P ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ô Ö ÓÐ a2 − b2 =1 Ý × Ò P′ Ý P ′′ Ð × ÔÖÓÝ ÓÒ × P ×Ó Ö Ð × Ö ØÖ ×º Y D‘ D P P ′′ P′ F‘ F −a O a X ÒØÓÒ × × Ð ÖÓ ÕÙ P F = eP P ′ Ý P F ′ = eP P ′′ ÄÙ Ó 2a P F − P F ′ = e(P P ′ − P P ′′ ) = eP ′ P ′′ = e = 2a e
- 80. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð × Ö P F − P F ′ = 2a. Ç × ÖÚ Ò y2 x2 ½º Ä Ù Ò a2 − b2 = 1 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÒ × Ò ÒØ Ö Ñ √ Ó ÐÓ× ÖÓÐ × x y Ý ÐÓ× ÖÓÐÓ × a Ý b¸ ÑÓ Ó ÕÙ 2 2 e = b b+a ¸ b b F (0, be)¸ F ′ (0, −be)¸ D : y = e Ý D′ : y = − e º Ä × × ÒØÓØ × × Ö Ò x = ±ay b × Ö b y = ± a x¸ Ó × Ð × Ñ ×Ñ × 2 2 x y × ÒØÓØ × ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ a2 − b2 =1 ×Ø × Ó× Ô Ö ÓÐ × ÕÙ ÓÑÔ ÖØ Ò Ð × × ÒØÓØ × × ÐÐ Ñ Ò Ô Ö ÓÐ × ÓÒ Ù × Ý ×Ù× Ù ÓÒ × × × Ö Ò x2 y2 − 2 = ±1 a2 b ¾º Ë a=b ÒØÓÒ × Ð Ô Ö ÓÐ x2 − y 2 = a2 × ÐÐ Ñ Ô Ö ÓÐ ÕÙ ¹ Ð Ø Ö º √ ×Ø × Ô Ö ÓÐ × Ø Ò Ò Ü ÒØÖ e= 2 Ý ×Ù× × ÒØÓØ × ×ÓÒ Ð × × ØÖ × ÐÓ× Ù Ö ÒØ ×º ¼
- 81. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º ÌÓ Ò C ÙÑÔÐ ÕÙ C ∈ R2 º ¾º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ò ÒÓ× ×Ø ÓÒÓ Ö ×Ù Ü ÒØÖ ¸ ¹ Ö ØÖ Þ Ý Ó Óº ¿º Ë ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ø Ò Ó Ó F = (0, p) ×Ù Ü ÒØÖ × e = pº º Ë ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú ÖØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ¸ ÓÒÓ Ò Ó Ð Ó Ó Ý Ð Ö ØÖ Þº º Ð × Ñ ØÖ ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ô × ÔÓÖ Ð Ú ÖØ Ý Ð Ó Óº º ÍÒ Ô Ö ÓÐ ÙÝ Ö Ø Ö ØÖ Þ × Ð OY × ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº º Ð Ó Ó × ÙÒ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ð Ô Ö ÓÐ º º Ë P ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ý D ×Ù Ö ØÖ Þº Ë ÙÑÔÐ ÕÙ P D = φº º ÌÓ Ô Ö ÓÐ ÙÝÓ Ú ÖØ × Ù Ò (xv , yv )¸ Ø Ò ÓÑÓ × Ñ ØÖ Ð Ö Ø y = yv º ½¼º ÌÓ Ô Ö ÓÐ Ø Ò ÙÒ × Ñ ØÖ º ½½º ÍÒ Ö Ø Ö ØÖ Þ Ú ÖØ Ð Ò Ö ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÙÝ Ù Ò × 2 Ð ÓÖÑ y = 4pxº ½¾º Ä Ö Ø Ö ØÖ Þ y= 1 2 4p x × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø Ö ØÖ Þ 2 y = 4px º ½¿º Ä Ù Ò 2y + 2x − x2 = 0 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ º ½ º Ä Ù Ò 2y + 2x − x2 = 0 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ú ÖØ Ò −1 (1, 2 )º ½ º Ä Ù Ò y + 3x = x2 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ú ÖØ Ò −1 (1, 2 )º ½
- 82. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º Ä Ù Ò 2y + 2x = x − 1 Ö 2 ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ú ÖØ Ò −1 (1, 2 )º ½ º Ëy0 = 0, x0 = 0¸ Ð × Ô Ö ÓÐ × P1 : (y − y0 ) = (x − x0 )2 Ý P2 : (y − y0 ) = x2 Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ Ö Ø Ö ØÖ Þº ½ º y0 = 0, x0 = 0¸ Ð × Ô Ö ÓÐ Ë × P1 : (y − y0 ) = (x − x0 )2 Ý P2 : y = (x − x0 )2 Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ Ö Ø Ö ØÖ Þº ½ º Ä × Ô Ö ÓÐ × P1 : (y − y0 ) = (x − x0 )2 Ý P2 : y = (x − x0 )2 Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ × Ñ ØÖ º ¾¼º Ä Ù Ò y = x2 + x + 1 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ó Ó ( −1 , 1)º 2 ¾½º Ò ÙÒ Ð Ô× Ð Ü ÒØÖ × × ÑÔÖ Ñ ÝÓÖ ÕÙ 1º ¾¾º Ä Ù Ò x + 2y 2 = 2 ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ù Ò ÙÒ Ð Ô× º ¾¿º ÌÓ Ð Ô× Ø Ò Ó× × × Ñ ØÖ º √ ¾ º 2 x2 Ä Ù Ò 4 +y =1 9 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ð Ô× ÓÒ Ü ÒØÖ 5 3 º √ ¾ º 2 x2 Ä Ù Ò 9 +y =1 4 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ð Ô× ÓÒ Ü ÒØÖ 5 3 º ¾ º Ä Ù Ò x2 2 + y2 8 = −1 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ð Ô× º ¾ º ÌÓ Ð Ô× ÒØ Ö× Ø Ð OY Ò Ó× ÔÙÒØÓ× ×Ø ÒØÓ׺ ¾ º Ä ÒØ Ö× Ò ÒØÖ ÙÒ Ð Ô× Ý ×Ù Ö Ø Ö ØÖ Þ × ÑÔÖ ×ÓÒ Ó× ÔÙÒØÓ× ×Ø ÒØÓ׺ ¾ º È Ö ØÓ Ó a, b ∈ Ê Ð Ù Ò x2 a + y2 b =1 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ð Ô× º ¿¼º 2 x2 È Ö ØÓ Ó a > 0, b < 0 Ð Ù Ò a − yb = 1 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ð Ô× º ¿½º È Ö ØÓ Ó a < 0, b < 0 Ð Ù Ò x2 a + y2 b = a+b Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ð Ô× º ¿¾º ÍÒ Ô Ö ÓÐ × ÑÔÖ Ø Ò ÙÒ Ü ÒØÖ Ñ ÝÓÖ Ð ÙÒ Ô Ö ÓÐ º ¿¿º ÍÒ Ô Ö ÓÐ × ÑÔÖ Ø Ò ÙÒ Ü ÒØÖ Ñ ÒÓÖ Ð ÙÒ Ð Ô× º ¿ º ÌÓ Ô Ö ÓÐ Ø Ò Ó× × × Ñ ØÖ º ¿ º ÌÓ Ô Ö ÓÐ Ø Ò Ó× Ö Ø × × ÒØÓØ ×º ¿ º Ä ÒØ Ö× Ò ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ý ×Ù× × ÒØÓØ × × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ù ØÖÓ Ð Ñ ÒØÓ׺ ¿ º Ä Ù Ò x2 = 1 + y 2 Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ù Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ º ¾
- 83. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¿ º È Ö ØÓ Ó a, b ∈ Ê Ð Ù Ò x2 a + y2 b =1Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ º ¿ º È Ö ØÓ Ó a > 0, b < 0 Ð Ù Ò x2 a + y2 b = 1 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ º ¼º È Ö ØÓ Ó a < 0, b < 0 Ð Ù Ò x2 a − y2 b = a+b Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ º ½º Ä Ù Ò x2 = 1 − y 2 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ º ¾º Ä Ö Ø y=x × × ÒØÓØ Ð Ô Ö ÓÐ 2x2 − y 2 = 1º ¿º Ä Ü ÒØÖ Ð Ô Ö ÓÐ x2 − 2y 2 = 1 × e= 3 2º º Ä Ö Ø Ö ØÖ Þ Ð Ô Ö ÓÐ x2 − 2y 2 = 1 × y= 2 3º º Ä Ö Ø Ö ØÖ Þ Ð Ô Ö ÓÐ x2 − 2y 2 = 1 × x = 0º º Ä Ö Ø Ö ØÖ Þ Ð Ô Ö ÓÐ x2 − 2y 2 = 1 × x= 2 3º √ º Ä Ù Ò y= x2 − 1 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ º √ º Ä Ù Ò y = x2 − 1 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ð Ô× º √ º Ä Ù Ò y = x2 − 1 Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ º ¼º ÌÓ Ô Ö ÓÐ Ø Ò Ó× Ö Ø × × ÒØÓØ ×º ½º Ð ÓÒ ÙÒØÓ C = {(x, y) ∈ Ê2 : 2x2 + y 2 = 1} × ÙÒ Ò º ¾º Ð ÓÒ ÙÒØÓ C = {(x, y) ∈ Ê2 : 2x2 + y = 1, |x| ≤ 10} × ÙÒ Ò º ¿º Ð ÓÒ ÙÒØÓ C = {(x, y) ∈ Ê2 : 2x2 + y 2 = 1, |x| ≤ 10} × ÙÒ Ò º º Ð ÓÒ ÙÒØÓ C = {(x, y) ∈ Ê2 : 2x2 − y 2 = 1, |x| ≤ 10} × ÙÒ Ò º º Ë Ó× Ò × Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ Ü ÒØÖ ¸ ÒØÓÒ × ×ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ò º º Ë Ó× Ò × Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ Ö ØÖ Þ¸ ÒØÓÒ × ×ÓÒ Ð Ñ ×Ñ ¹ Ò º º Ë Ó× Ò × Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ó Ó¸ ÒØÓÒ × ×ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ò º º Ë Ó× Ò × Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ó Ó Ý Ö ØÖ Þ¸ ÒØÓÒ × ×ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ò º ¿
- 84. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º È Ö Ð × × Ù ÒØ × Ð Ô× ×¸ Ò Ù ÒØÖ ×Ù ÒØ Ö× Ò ÓÒ ÐÓ× × OX Ý OY ¸ Ü ÒØÖ Ý Ó Ó׺ ´ µ (y − 2)2 + 2(x − 3)2 = 16º ´ µ (x − 2)2 + 2(y − 3)2 = 16º ´ µ y 2 + 4x2 − 3y = 12º ¾º È Ö Ð × × Ù ÒØ × Ô Ö ÓР׸ Ò Ù ÒØÖ ÐÓ× Ó Ó׸ Ö Ø × Ö ØÖ × Ý Ö Ø × × ÒØÓØ ×º ´ µ x2 − 2y 2 = 1º ´ µ (x − 1)2 − (y − 3)2 = 16º ´ µ 2y 2 − 4x2 = 12º ¿º È Ö Ð × × Ù ÒØ × Ô Ö ÓР׸ Ò Ù ÒØÖ Ð Ó Ó¸ Ö ØÖ Þ¸ Ú ÖØ ¸ × Ñ ØÖ ¸ ÒØ Ö× Ò ÓÒ ÐÓ× × OX Ý OY º ´ µ x2 − 2y = 1º ´ µ x − (y − 3)2 = 16º ´ µ 2x2 − 2x − 4y = 12º º Ð × × Ù ÒØ × Ù ÓÒ ×¸ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ð ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ º À ÙÒ Ö Ó Ò ÓÒ × ÑÙ ×ØÖ Ò ÐÓ× ×Ô ØÓ× Ö Ð Ú ÒØ × Ð Ò º ´ µ x2 + 2y 2 + 2x = 1º ´ µ x − y 2 + 3y = 16 − x2 º ´ µ 2x2 − 3x − 6y = 4º ´ µ 2x2 + 3x + 2y 2 − 4y − 1 = 0º º Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× x0 , y0 , p Ø Ð × ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ 4p(y − y0 ) = (x − x0 )2 ÙÑÔÐ ÐÓ × Ù ÒØ ´ µ È × ÔÓÖ ÐÓ× Ó Ó× Ð Ð Ô× 2x2 + y 2 = 1º ´ µ ËÙ Ö ØÖ Þ × Ð Ö Ø y = −5º
- 85. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ´ µ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ p × ÔÓ× Ø ÚÓº º Ð ÙÐ Ö Ð Ü ÒØÖ ÙÒ Ð Ô× Ò Ð ÕÙ Ð ×Ø Ò ÒØÖ ×Ù× Ó Ó× × Ð Ñ Ø Ð ×Ø Ò ÒØÖ ×Ù× Ö ØÖ ×º º Ð ÙÐ Ö Ð Ü ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ò Ð ÕÙ Ð ×Ø Ò ÒØÖ ×Ù× Ó Ó× × Ð Ó Ð Ð ×Ø Ò ÒØÖ ×Ù× Ö ØÖ ×º
- 86. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ × Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ × Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ × Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ƚº ´¾¼ Ñ Òºµ ÈÓÖ Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ y 2 = 4x × ØÖ Þ Ò Ó× Ö Ø × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö × ÕÙ ÓÖØ Ò Ò P Ý Q Ð Ô Ö ÓÐ ¸ P = Qº P Q ÓÖØ Ð × Ñ ØÖ Ð Ô Ö ÓÐ Ò Rº ÈÖÓ Ö ÕÙ Ð Ó Ó Ú Ð ØÖ ÞÓ OR Ò Ð Ö Þ Ò ½ ¿º Ⱦº ´¾¼ Ñ Òºµ ÓÒ× Ö Ð Ð Ô× Ù x2 y2 a2 + b2 = 1¸ Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ò ÔÙÒØÓ (x0 , y0 ) ∈ Ê2 Ø Ð ÕÙ + Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò× Ö ØÓ Ò Ð Ð Ô× ÕÙ Ø Ò (x0 , y0 ) ÓÑÓ Ú ÖØ Ý ×Ù× Ð Ó× Ô Ö Ð ÐÓ× ÐÓ× × ÓÓÖ ¹ Ò × Ø Ò Ö Ñ Ü Ñ º ÆÓØ ÙØ Ð ÔÖÓÔ × Ô Ö ÓÐ × Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ Ü ÑÓº È¿º ´¾¼ Ñ Òºµ È Ö Ð Ô Ö ÓÐ x2 y2 a2 − b2 = 1 ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ AP = BP = a2 ¸ ÓÒ P × ÙÒ ÔÙÒØÓ ×Ó Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ý A Ý B ×ÓÒ Ð × ÒØ Ö× ÓÒ × ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ P Ô Ö Ð Ð Ð X ¸ ÓÒ Ð × × ÒØÓØ × Ð Ô Ö ÓÐ º È º ´¾¼ Ñ Òºµ ÓÒ× Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ù x2 a2 Ò − y2 b2 =1 Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ P = (x0 , y0 ) Ù ÐÕÙ Ö ÐÐ º Ä Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Ð Ô Ö ÓÐ ÔÓÖ P ÓÖØ Ð OX Ò A Ý Ð OY Ò Bº ÑÙ ×ØÖ ÕÙ P Ú Ð ØÖ ÞÓ AB Ò ÙÒ Ö Þ Ò ÓÒ×Ø ÒØ º È º ÓÒ× Ö ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ý ÙÒ Ö Ø L ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð Ó Ó ×Ø º × Ó Ð ÔÓ× Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ñ × Ð ÓÒÚ Ò ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÓÒ Ö ØÖ Þ Ú ÖØ Ð Ó Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð¸ ÓÒ Ð Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ó Ò Ð Ó Ó Ò Ð ÓÖ Òº ËÙÔÓÒ ÕÙ L × ÒÓ Ú ÖØ Ð Ô Ò ÒØ m Ý ÕÙ ÒÓ × Ô Ö Ð Ð Ð × Ñ ØÖ Ð Ô Ö ÓÐ º ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ p>0 Ð ×Ø Ò ÒØÖ Ð Ó Ó Ý Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ × Ö Ò Ø ÖÑ ÒÓ× p Ý m ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÙÒ Ô Ö Lº ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ð ÙÐ ÐÓ× Ó× ÔÙÒØÓ× ÒØ Ö× Ò P Ý Q L ÓÒ Ð Ô Ö ÓÐ Ò ÙÒ Ò p Ý mº
- 87. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ´ µ ´ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó A Ð × Ñ ÒØÓ P Qº ´ µ ´¾¼ Ñ Òºµ ÈÖÙ ÕÙ dist(A, P ) = dist(A, D) ÓÒ D × Ð Ö Ø Ö ØÖ Þ Ð Ô Ö ÓÐ º ´ µ ´½ Ñ Òºµ ÈÖÙ ÕÙ Ð × Ö Ø × Ø Ò ÒØ × Ð Ô Ö ÓÐ Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× P Ý Q ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×º È º ´¾¼ Ñ Òºµ Ð Ö Ø L : y = kx Ý ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A = (a, 0) Ý B = (b, 0)¸ × ØÓÑ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö P ×Ó Ö L Ý ×Ù × Ñ ØÖ Ó Q ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖ Òº Ä × Ö Ø × P A Ý QB × ÓÖØ Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ M º Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó M Ù Ò Ó Ð ÔÙÒØÓ P × ×ÔÐ Þ ×Ó Ö Lº È º ´¾¼ Ñ Òºµ ÓÒ× Ö Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ x2 y2 a2 − b2 = 1º Ò Ù ÒØÖ Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ÐÓ× ØÖ ÞÓ× V Q¸ ÓÒ V × Ð Ú
- 88. ÖØ ÞÕÙ Ö Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ý Q ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö ÐÐ º È º ´¾¼ Ñ Òºµ ÓÒ× Ö Ð Ð Ô× Ù x2 y2 Ò a2 + b2 = 1º Ä Ö Ø b y = ax ÒØ Ö× Ø Ð Ð Ô× Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× P Ý R ´È ÓÒ ÓÓÖ Ò × ÔÓ× Ø Ú ×µº Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò× Ö ØÓ Ò Ð Ð Ô× ¸ ÕÙ Ø Ò ÓÑÓ ÓÒ Ð Ð ØÖ ÞÓ P R Ý ÙÝÓ× Ð Ó× ×ÓÒ Ô Ö Ð ÐÓ× ÐÓ× × ÓÓÖ Ò Ó׺
- 89. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 5: FUNCIONES DE VARIABLE REAL Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 4. Funciones Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × Ë Ò A ÝB Ó× ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú Ó× Ò ØÙÖ Ð Þ Ö ØÖ Ö º ÍÒ ÙÒ Ò ÒÓØ ÓÒ ×º A Ò B × ÙÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÒØÖ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× AÝ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× B Ø Ð ÑÓ Ó ÕÙ x∈A × Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ y ∈ Bº ÆÓØ Ò f :A −→ B x −→ y = f (x) Ç × ÖÚ Ò Ò Ð ×Ó Ò ÕÙ A ⊆ ʸ × ÕÙ Ð ÙÒ Ò × Ú Ö Ð Ö Ðº Ë Ñ × B = ʸ ÒØÓÒ × Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÙÒ Ò × Ö Ð Ú Ö Ð Ö Ðº × Ö¸ Ð × ÙÒ ÓÒ × Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ð ×ÓÒ f : A ⊆ Ê −→ Ê x −→ y = f (x) 4.1. Elementos básicos de una función A × ÐÐ Ñ ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Òº B = ʸ × ÐÐ Ñ Ó ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Òº y = f (x) × ÐÐ Ñ Ñ Ò x ÔÓÖ f Ó Ú Ö Ð Ô Ò ÒØ º x × ÐÐ Ñ ÚÖ Ð Ð ÙÒ Ò Ó Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ º Ç × ÖÚ Ò Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó ÙÒ ÙÒ Ò ÔÙ ×Ô Ö× Ò Ó × ÐÓ Ð Ð Ý y = f (x) ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð ÙÐ Ö Ð Ñ Ò xº Ù Ò Ó ×ØÓ ×Ù ¸ ÒØ Ò Ö ÖÑÓ× ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò × Ð Ñ ÝÓÖ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ê ÓÒ Ð Ð Ý × ÔÐ Ð Ô Ö Ð ÙÐ Ö f (x)¸ × Ö Dom(f ) = {x ∈ Ê | y = f (x) ∈ Ê}. ÑÔÐÓ× x f (x) = x2 −1 =⇒ Dom(f ) = Ê {−1, 1}º
- 90. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð √ f (x) = x =⇒ Dom(f ) = Ê∗ ∪ {0}º + Ë f (x) = x + 2|x − 5| − x2 + |3x − 2| ÒØÓÒ × Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÑ Ò Ó f Ö ×ÓÐÚ Ö× ÙÒ Ò ¹ Ù Ò ÓÒ Ñ ÙÐÓº Ç × ÖÚ Ò Ä Ð Ý ÙÒ ÙÒ Ò (y = f (x)) ÔÙ × Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ × ÓÖÑ × Ò ÙÒ ÐÐ × ÙÑÔÐ Ö× Ð ÓÒ Ò × ¸ ÕÙ Ô Ö x Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÔÙ Ð ÙÐ Ö× ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ñ Ò xº y = f (x) Ø Ð ÕÙ y + x2 = 5 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÙÒ Òº y = f (x) Ø Ð ÕÙ x2 + y 2 = r2 ÒÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÙÒ Òº y = f (x) Ø Ð ÕÙ y ≥ 0 ∧ x2 + y 2 = r2 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ Dom(f ) = [−r.r]º y = f (x) Ø Ð ÕÙ y < 0 ∧ x2 + y 2 = r2 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ Dom(f ) = (−r.r)º 4.2. Gráfico de una función Ò Ò º½º ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× Ö Ó ÙÒ ÙÒ Ò f Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ× Ð ÔÐ ÒÓ Gf Ò Ó ÔÓÖ Gf = {(x, y) ∈ Ê2 | x ∈ Dom(f ) ∧ y = f (x)}. Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× Ö Ó× 2 sin(x) 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -10 -5 0 5 10 ÙÖ ÑÔÐÓ ½
- 91. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 12000 1-exp(x)*sin(x) 10000 8000 6000 4000 2000 0 -2000 -4000 0 2 4 6 8 10 ÙÖ ÑÔÐÓ ¾ ÓÒØ ÒÙ Ò ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð ÙÒ × ÔÖÓÔ ×¸ ÕÙ ÔÙ Ò Ó ÒÓ Ùѹ ÔÐ Ö Ð × ÙÒ ÓÒ × Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ðº ÙÑÔÐ Ö× Ð ÙÒ × ×Ø × ÔÖÓÔ ×¸ Ð × ÙÒ ÓÒ × ØÓÑ Ö Ò ÒÓÑ Ö × ×Ô Ð × Ý ×ØÓ × Ö Ö Ò Ö Ø Ö ×Ø × ×Ô Ð × ×Ù Ö Óº ÒØ × ÓÑ ÒÞ Ö¸ Ú ÑÓ× ÙÒ Ô Ö Ò ÓÒ × ÑÔÓÖØ ÒØ × 4.3. Ceros de una función Ò Ò º¾ ´ ÖÓ× ÙÒ ÙÒ Òµº Ë f : A ⊆ Ê → ʺ ÄÐ Ñ ¹ Ö ÑÓ× ÖÓ× f ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × ×Ù ÓÑ Ò Ó Ø Ð × ÕÙ f (x) = 0º Ò ×ØÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ö Ó f ÓÖØ Ð OX º ÓÒ ÐÑ ÒØ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ∩ ÓÒ Ð Y Ð ÔÙÒØÓ ÓÖ Ò × (0, f (0))º ÑÔÐÓ ÄÓ× ÖÓ× f (x) = x(x − 1)(x − 2) ×ÓÒ 0¸ 1 Ý 2º Ò Ò º¿ ´ ÓÒ ÙÒØÓ ÁÑ Òµº Ë f : A ⊆ Ê → ʺ ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× ÓÒ ÙÒØÓ ÁÑ Ò f Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ó ÔÓÖ ÁÑ (f ) = f (A) = {y ∈ Ê/(∃x ∈ A) ÑÓ Ó ÕÙ y = f (x)}. Ç× ÁÑ (f ) = {f (x)/x ∈ A}. 4.4. Funciones pares e impares Ò Ò º ´ ÙÒ Ò Ô Öµº Ö ÑÓ× ÕÙ f : A ⊆ Ê → Ê × ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö ×× (∀x ∈ A) − x ∈ Aº ¼
- 92. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð (∀x ∈ A) f (−x) = f (x)º Ò Ò º ´ ÙÒ Ò ÑÔ Öµº Ö ÑÓ× ÕÙ f : A ⊆ Ê → Ê × ÙÒ ÙÒ Ò ÑÔ Ö ×× (∀x ∈ A) − x ∈ Aº (∀x ∈ A) f (−x) = −f (x)º ÑÔÐÓ× f (x) = 1 Ø Ò Dom(f ) = Ê ÄÙ ÓÐ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ò× ÙÑÔÐ º Ñ × f (−x) = 1 = f (x)º ÄÙ Ó f × Ô Öº f (x) = x Ø Ò Dom(f ) = Ê Ñ × f (−x) = −x = −f (x)º ÄÙ Ó f × ÑÔ Öº √ f (x) = x Ø Ò Dom(f ) = Ê+ ∪ {0}¸ ÐÙ Ó ÒÓ ÙÑÔÐ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ò¸ Ò ÓÒ× Ù Ò ÒÓ × Ô Ö Ò ÑÔ Öº 4.4.1. Características de una función par o impar Ë f × ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö ÒØÓÒ × (x, y) ∈ Gf ⇒ (−x, y) ∈ Gf . ÄÙ Ó Ð Ö Ó Ð ÙÒ Ò × × Ñ ØÖ Ó ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð OY º Ë f × ÙÒ ÙÒ Ò ÑÔ Ö ÒØÓÒ × (x, y) ∈ Gf ⇒ (−x, −y) ∈ Gf . ÄÙ Ó Ð Ö Ó Ð ÙÒ Ò × × Ñ ØÖ Ó ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖ Ò O Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò ×º Ò ÓÖÑ Ñ × Ò Ö Ð¸ ÔÙ Ó × ÖÚ Ö× ÕÙ Ð Ö Ó ÙÒ ÙÒ Ò × Ö × Ñ ØÖ Ó ÓÒ Ö ×Ô ØÓ ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð Ù Ò x=ℓ ×× × ÙÑÔÐ Ò Ð × × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ × ℓ + t ∈ Dom(f ) =⇒ ℓ − t ∈ Dom(f )º ℓ + t ∈ Dom(f ) =⇒ f (ℓ − t) = f (ℓ + t)º ½
- 93. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ º½º ÓÑÓ ÑÔÐÓ Ú ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÙÒ Ò f (x) = |x − 5| × × Ñ ØÖ Ö ×Ô ØÓ Ð Ö Ø x=5 Ý ÕÙ f (5 − t) = |(5 − t) − 5| = | − t| = |t| f (5 + t) = |(5 + t) − 5| = |t| È Ö ØÓ× ÔÖ Ø Ó׸ Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò × Ô Ö¸ ÑÔ Ö Ó ÔÖ × ÒØ Ð Ù¹ Ò × Ñ ØÖ ¸ ÒØÓÒ × ÔÙ ×ØÙ Ö× × ÐÓ Ò ÙÒ Ñ Ø ×Ù ÓÑ Ò Ó Ý ÐÙ Ó ÓÒ×ØÖÙ Ö ×Ù Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ù× Ò Ó × Ñ ØÖ º 4.5. Funciones Periódicas Ò Ò º ´ ÙÒ Ò Ô Ö µº Ë f : A ⊆ Ê → ʺ Ö ÑÓ× ÕÙ f × ÔÖ ×× (∃p ∈ Ê+ ) Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ A) x + p ∈ Aº (∀x ∈ A) f (x + p) = f (x)º Ò ×Ø ×Ó p × ÐÐ Ñ Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Òº Ò Ò º ´È Ö Ó Ó Ñ Ò ÑÓµº Ë ÐÐ Ñ Ô Ö Ó Ó Ñ Ò ÑÓ Ð ÙÒ¹ Ò f Ð Ö Ð p Ø Ð ÕÙ f × Ô Ö Ô Ö Ó Ó p ݸ × f × Ô Ö Ô Ö Ó Ó p¸ ÒØÓÒ × p ≥ pº ÑÔÐÓ× f (x) = a × Ô Ö Ô Ö Ó Ó p > 0, Ù ÐÕÙ Ö º ÆÓ Ø Ò Ô Ö Ó Ó Ñ Ò ÑÓº f (x) = x − [x]¸ ÓÒ [x] × Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ ÖÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ xº × Ô Ö Ô Ö Ó Ó ½¸ ¾ Ó ¿º p=1 × ×Ù Ô Ö Ó Ó Ñ Ò ÑÓº Ç × ÖÚ Ò Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò ×Ô Ö Ó Ô Ö Ó Ó p¸ Ð ×ØÙ Ó ×Ù Ö Ó ÔÙ Ö ×ØÖ Ò Ö× × ÐÓ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ p Ò ×Ù ÓÑ Ò Ó Ý ÐÙ Ó ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö Ó ØÓØ Ð Ò Ó Ù×Ó Ð Ô Ö Ó º ¾
- 94. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 4.6. Funciones Monótonas Ò Ò º ´ Ö Ñ ÒØÓ ÙÒ ÓÒ ×µº Ë f :A⊆Ê→Ê Ö ÑÓ× ÕÙ f × Ö ÒØ Ò B ⊆ A ×× (∀x1 , x2 ∈ B) x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )º Ö ÑÓ× ÕÙ f × Ö ÒØ Ò B ⊆ A ×× (∀x1 , x2 ∈ B) x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )º ÓÒ ÐÑ ÒØ Ö Ö ÑÓ× Ð Ô Ð Ö ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ó Ð × × Ù Ð¹ × ÒØ Ö ÓÖ × × × Ø × Ò Ò ÓÖÑ ×ØÖ Ø º Ë B=A × Ö ÕÙ f × Ö ÒØ Ó Ö ÒØ Ò ÐÙ Ö Ö ÕÙ × Ö ÒØ Ò A Ó Ö ÒØ Ò Aº Ö ÑÓ× ÕÙ f × ÑÓÒ ØÓÒ ×× × Ó Ò Ö ÒØ Ó Ö ÒØ º Ç × ÖÚ Ò Ä Ò Ò Ð Ö × f (x) × Ö ÒØ ÒÓ × Ð Ö × f × Ö ÒØ Ý ÕÙ Ü ×Ø Ò ÙÒ ÓÒ × Ö ÒØ × Ý Ö ÒØ × Ð Ú Þ Ý ÓØÖ × ÕÙ ÒÓ ×ÓÒ Ò Ö ÒØ × Ò Ö ÒØ ×º 4.7. Funciones Acotadas Ò Ò º ´ ÙÒ Ò ÓØ µº Ë f : A ⊆ Ê → ʺ Ö ÑÓ× ÕÙ f × ÓØ Ò Ö ÓÑ ÒØ ×× (∃a ∈ Ê) Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ Dom f ) a ≤ f (x) Ö ÑÓ× ÕÙ f × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÑ ÒØ ×× (∃b ∈ Ê) Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ Dom f ) f (x) ≤ b Ö ÑÓ× ÕÙ f × ÓØ ×× (∃a, b ∈ Ê) Ø Ð × ÕÙ (∀x ∈ Dom f ) a ≤ f (x) ≤ b Ç × ÖÚ Ò f × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ×× ÁÑ (f ) ⊆ Ê ÐÓ × º f × ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ×× ÁÑ (f ) ⊆ Ê ÐÓ × º f × ÓØ × ÐÓ × Ø ÒØÓ ×ÙÔ Ö ÓÖ ÓÑÓ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º ÈÖÓÔÓ× Ò º½º f × ÓØ ⇐⇒ (∃M ∈ Ê+ )(∀x ∈ Dom f )|f (x)| ≤ M Ç × ÖÚ ÓÒ × ÓÒ Ð × ¿
- 95. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ë f × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ý B ⊆ Dom(f ) ÒØÓÒ × × ÔÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ð × × Ù ÒØ × ÜÔÖ × ÓÒ × ın{f (x)/x ∈ B} m´ f (x) = m´ ın x∈B m´x f (x) = m´x{f (x)/x ∈ B} a a x∈B Ò Ò º½¼ ´Å Ò ÑÓ Ý Ñ Ü ÑÓµº ÈÓ ÑÓ× Ö ÕÙ x0 × ÔÙÒØÓ Ñ Ò ÑÓ f × x0 ∈ Dom(f )¸ Ý (∀x ∈ Dom(f )) f (x0 ) ≤ f (x). Ǹ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ x0 = m´ ın f (x)º x∈ ÓÑ(f ) Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö ¸ x0 ∈ Dom(f ) × ÔÙÒØÓ Ñ Ü ÑÓ f × (∀x ∈ Dom(f )) f (x0 ) ≥ f (x), Ó¸ x0 = m´x a f (x)º x∈ ÓÑ(f ) 4.8. Algunas Funciones Importantes ½º Ä ÙÒ Ò ÓÒ×Ø ÒØ ×Ø Ò ÔÓÖ f (x) = aº Ì Ò Dom(f ) = ʺ f (−x) = a = f (x)¸ ÐÙ Ó × ÙÒ ÙÒ Ò Ô Öº Ë a=0 ÒØÓÒ × f (−x) = −f (x) = 0 ÐÙ Ó × Ö Ø Ñ Ò ÑÔ Öº Ë a=0 ÒØÓÒ × ÒÓ Ø Ò ÖÓ׸ Ë a=0 ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × ×ÓÒ ×Ù× ÖÓ׺ ËÙ Ö Ó × Ð Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÕÙ Ô × ÔÓÖ (0, a) ¾º Ä ÙÒ Ò ÔÓØ Ò Ò ØÙÖ Ð ×Ø Ò Ñ ÒØ Ð Ù Ò f (x) = xn ÓÒ n ∈ ƺ Ì Ò Dom f = ʺ Ë n=1 Ð Ö Ó × Ð Ö Ø × ØÖ Þ Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º Ë n=2 Ð Ö Ó × ÙÒ Ô Ö ÓÐ º n ÈÙ ×ØÓ ÕÙ f (−x) = (−x) = (−1)n xn = (−1)n f (x)¸ ÐÙ Ó × ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö × n × Ô Ö Ý ÙÒ ÙÒ Ò ÑÔ Ö × n × ÑÔ Öº Ë x ∈ Ê+ ÒØÓÒ × xn ∈ Ê+ º (∀y ∈ Ê+ )(∃x ∈ Ê+ ) y = f (x)¸ ÐÙ Ó {f (x) | x ∈ Ê+ } = Ê+ º ¿º Ä ÙÒ Ò Ö Þ Ò × Ñ √ ×Ø Ò Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ × Ò f (x) = n x ÓÒ n ∈ ƺ ×Ø ÙÒ Ò Ø Ò Ú Ö × ÔÖÓÔ × Ô Ò Ò Ó Ð Ô Ö nº ËÙ ÓÑ Ò Ó Ô Ò n
- 96. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ë n × Ô Ö ÒØÓÒ × Dom(f ) = [0, ∞)º Ë n × ÑÔ Ö ÒØÓÒ × Dom(f ) = ʺ √ √ Ë n × ÑÔ Ö ÒØÓÒ × f (−x) = n −x = − n x = −f (x) ÄÙ Ó × n ÑÔ Ö × ØÖ Ø ÙÒ ÙÒ Ò ÑÔ Öº Ë n Ô Ö¸ ÔÓÖ × Ñ ØÖ Ö ×Ô ØÓ Ð Y¸ ÁÑ (f ) = [0, ∞)º Ë n ÑÔ Ö¸ ÔÓÖ × Ñ ØÖ Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖ Ò O¸ ÁÑ (f ) = ʺ ºÄ ÙÒ Ò Ò Ó Ô ÖØ ÒØ Ö ×Ø Ò ÔÓÖ f (x) = [x] = m´x{k ∈ /k ≤ x}º a Ì Ò Dom(f ) = Ê Ý ÁÑ (f ) = º ËÙ× ÖÓ× ×ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ð × Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, 1)º ÆÓ × ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö Ò ÑÔ Öº × ÙÒ ÙÒ Ò Ö ÒØ ¸ Ô ÖÓ ÒÓ ÓÖÑ ×ØÖ Ø º º ÙÒ Ò ÓÔÙ ×Ø Ë f : A ⊆ Ê → Ê ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒ Ò ÓÔÙ ×Ø f Ð ÙÒ Ò (−f ) Ò ÔÓÖ −f : A ⊆ Ê → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ A)(−f )(x) = −(f (x)) Ð Ö Ó Ð ÙÒ Ò (−f ) × Ð ÓÒ ÙÒØÓ × Ñ ØÖ Ó ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð OX Ð Ö Ó fº º Å ÙÐÓ ÙÒ ÙÒ Ò Ë f :A⊆Ê→Ê ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒ Ò Ñ ÙÐÓ f Ð ÙÒ Ò |f | Ò ÔÓÖ f (x) × f (x) ≥ 0 |f | : A ⊆ Ê → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ A)|f |(x) = |f (x)| = −f (x) × f (x) < 0 Ð Ö Ó Ð ÙÒ Ò Ñ ÙÐÓ f ÔÙ Ó Ø Ò Ö× ÐÑ ÒØ × × ÓÒÓ Ð Ö Ó f¸ Ý ÕÙ ÓÔ Ö× × Ñ ØÖ Ñ ÒØ Ö ×Ô ØÓ Ð OX ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ö Ó f ÕÙ ÕÙ Ò Ó Ð OX Ý Ö ÒØ ØÓ× ÕÙ ÐÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò ×Ó Ö Ð OX º × Ö¸ Ð ØÓÑ Ö Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÙÒ Ò¸ ×Ù Ö Ó × Ö Ò Ð OX Ð ÔÖ Ñ Ö Ó × ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º º Ê ×ØÖ Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ë f : A ⊆ Ê → Ê ÙÒ ÙÒ Ò Ý × B ⊆ Aº Ë ÐÐ Ñ Ö ×ØÖ Ò f B Ð ÙÒ Ò f |B Ò ÔÓÖ f |B : B ⊆ Ê → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ B)f |B (x) = f (x).
- 97. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 4.9. Algebra de Funciones. Ë Ò f Ý g Ó× ÙÒ ÓÒ × ÓÑ Ò Ó Df Ý Dg Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ý × λ∈Ê ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ º Ò ÑÓ× Ð × ÙÒ Ò × ×ÙÑ ¸ Ö Ò ¸ ÔÓÒ Ö Ò¸ ÔÖÓ Ù ØÓ Ý ÙÓ ÒØ ÔÓÖ Ò Ò º½½º ½º ÙÒ Ò ×ÙÑ f + g : Df ∩ Dg → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ Df ∩ Dg )(f + g)(x) = f (x) + g(x). ¾º ÙÒ Ò Ö Ò f − g = f + (−g)¸ × Ö f − g : Df ∩ Dg → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ Df ∩ Dg )(f − g)(x) = f (x) − g(x). ¿º ÈÓÒ Ö Ò ÙÒ ÙÒ Ò λf : Df → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ Df )(λf )(x) = λf (x). º ÙÒ Ò ÔÖÓ Ù ØÓ f · g : Df ∩ Dg → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ Df ∩ Dg )(f · g)(x) = f (x) · g(x). º ÙÒ Ò ÙÓ ÒØ f f f (x) : A → Ê Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ A) (x) = g g g(x) ÓÒ A = Df ∩ Dg | {x ∈ Dg /g(x) = 0}º Ç × ÖÚ Ò ÓÒ Ð × Ò ÓÒ × × ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö× ÙÒ ÓÒ × Ñ × ÓÑÔР׸ ØÓÑ Ò Ó Ñ ÙÐÓ Ù ÓÔ Ö Ò Ó Ð × ÙÒ ÓÒ × ÓÒÓ ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ × ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ × f (x) = |x| ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ñ ÙÐÓ Ð ÙÒ Ò g(x) = x¸ ÐÙ Ó × Ð × ØÖ Þ Ð ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º f (x) = |x−a| × Ò ÐÓ Ð ÒØ Ö ÓÖ Ô ÖÓ ×ÔÐ Þ ÓÖ ÞÓÒØ ÐÑ ÒØ Ò aº ÓÒ ×ØÓ × ÔÙ Ò Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÓÖÑ × Ò ÐÐ Ò Ù ÓÒ × ÓÑÓ |x − 2| + |x + 2| ≤ 5º ÇØÖ × ÙÒ ÓÒ × Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × × Ò Ò Ð × × Ù ÒØ × Ò ÓÒ ×º
- 98. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 4.10. Otras funciones importantes Ò Ò º½¾ ´ ÙÒ ÓÒ × ÔÓÐ ÒÑ ×µº ËÓÒ Ð ÓÖÑ f (x) = an xn + n−1 an−1 x + · · · + a1 x + a0 ÓÒ an , an−1 , . . . , a1 , a0 ×ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ × Ö Ð ×º ×Ø × ÙÒ ÓÒ × Ø Ò Ò × ÑÔÖ Dom(f ) = ʺ n × ÐÐ Ñ Ð Ö Óº Ë n=1 Ð Ö Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø º Ë n=2 Ð Ö Ó × ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ðº Ë n>2 Ð Ö Ó Ò Ò Ö Ð ÒÓ × ÑÙÝ × Ò ÐÐÓº Ò Ò º½¿ ´ ÙÒ ÓÒ × Ö ÓÒ Ð ×µº ËÓÒ Ð ÓÖÑ f (x) = P (x) Q(x) = an xn +···+a1 x+a0 bm xm +···+b1 x+b0 º ÓÒ P (x) Ý Q(x) ×ÓÒ ÙÒ ÓÒ × ÔÓÐ Ò Ñ ×º Ð ÓÑ Ò Ó ×Ø × ÙÒ ÓÒ × × Ê × ÐÚÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ Ð ÙÒ Ò Q × ÒÙÐ ¸ × Ö Dom(f ) = Ê {x ∈ Ê : Q(x) = 0}. ÑÔÐÓ× ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÙÒ Ò ÔÓÐ Ò Ñ f (x) = x3 − x Dom f = Ê ÁÑ f= È Ö f (−x) = (−x)3 − (−x) = −x3 + x = −(x3 − x) = −f (x) ÐÙ Ó f × ÑÔ Öº ÖÓ× f (x) = 0 ⇐⇒ x3 − x = 0 ⇐⇒ x(x2 − 1) = 0 ÐÙ Ó ÐÓ× ÖÓ× ×ÓÒ x = 0¸ x = 1 Ý x = −1 x ∈ (−∞, −1) f (x) < 0 x ∈ (−1, 0) f (x) > 0 Ë ÒÓ× Ð ÙÒ Ò x ∈ (0, 1) f (x) < 0 x ∈ (1, ∞) f (x) > 0 Ö Ó
- 99. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 100 x**3-x 50 0 -50 -100 -10 -5 0 5 10 ÑÔÐÓ× 1 ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÙÒ Ò Ö ÓÒ Ð f (x) = x−1 Dom(f ) = Ê {1} ÆÓ Ø Ò ÖÓ׺ x ∈ (−∞, 1) f (x) < 0 Ë ÒÓ× Ð ÙÒ Ò x ∈ (1, ∞) f (x) > 0 Ö Ñ ÒØÓ f ´ÔÓÖ ÒØ ÖÚ ÐÓ×µ 1 < x1 < x2 =⇒ 0 < x1 − 1 < x2 − 1 1 1 =⇒ < x2 − 1 x1 − 1 =⇒ f (x − 2) < f (x − 1) =⇒ f (x − 1) > f (x − 2) x1 < x2 < 1 =⇒ x1 − 1 < x2 − 1 < 0 =⇒ 1 − x1 > 1 − x2 > 0 1 1 =⇒ > 1 − x2 1 − x1 1 1 =⇒ < x2 − 1 x1 − 1 =⇒ f (x − 2) < f (x − 1) =⇒ f (x − 1) > f (x − 2) ÄÙ Ó f × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ò (−∞, 1) Ý Ò (1, ∞) ÔÓÖ × Ô Ö Óº 1 Ð Ö Ó Ð ÙÒ Ò f (x) = x−1 ×
- 100. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 100 1/(x-1) 50 0 -50 -100 -2 -1 0 1 2 3 4 4.11. Asíntotas de una función racional Ò Ò º½ ´ × ÒØÓØ × Î ÖØ Ð ×µº Ë P (x) an xn + · · · + a1 x + a0 f (x) = = . Q(x) bm xm + · · · + b1 x + b0 Ë x1 , x2 , · · · xr ×ÓÒ ØÓ × Ð × Ö × Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ¸ × Ö Ð ÙÒ Ò Q(x) Ô ÖÓ ÒÓ Ð ÆÙÑ Ö ÓÖ¸ Ó × Ð ÙÒ Ò P (x)¸ ÒØÓÒ × Ð × Ö Ø × x = x1 ¸ x = x2 , . . . , x = xr × ÐÐ Ñ Ò × ÒØÓØ × Ú ÖØ Ð × Ð ÙÒ Ò f (x) Ý × Ö Ø Ö Þ Ò ÔÓÖ ÕÙ Ô Ö Ú ÐÓÖ × x Ö ÒÓ× Ó× ÔÙÒØÓ× Ð ÙÒ Ò Ö Ó Ö × Ò ÓØ ×º Ò Ò º½ ´ × ÒØÓØ ÀÓÖ ÞÓÒØ Ðµº Ë P (x) an xn + · · · + a1 x + a0 f (x) = = . Q(x) bm xm + · · · + b1 x + b0 Ë n ≤ m Ð Ö Ø y = × ÐÐ Ñ × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð ÙÒ Ò f Ý am bm × Ö Ø Ö Þ ÔÓÖ ÕÙ Ô Ö Ú ÐÓÖ × x ÑÙÝ Ö Ò × Ó ÑÙÝ Ò Ø ÚÓ× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × f (x) × ÔÖÓÜ Ñ Ò Ö Ø º Ë n < m ÒØÓÒ × am = 0º ÄÙ Ó Ð × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð × y = 0º Ç × ÖÚ Ò Ð ÓÒ ÔØÓ × ÒØÓØ × ÓÖ ÞÓÒØ Ð × Ý Ú ÖØ Ð × ÔÙ ÜØ Ò Ö× ÙÒ ÓÒ × Ñ × Ò Ö Ð ×¸ Ô ÖÓ Ô Ö ÓÖÑ Ð Þ Ö ×Ø ÓÒ ÔØÓ Ö ÑÓ× ×Ô Ö Ö ×Ø Ð Ô ØÙÐÓ Ä Ñ Ø ÙÒ ÓÒ ×º ÈÓÖ Ð ÑÓÑ ÒØÓ × ØÖ Ö ÓÒ ÙÒ ÓÒ × Ö ÓÒ Ð × Ý Ð ÙÒ × ÓØÖ × ÓÒ Ð × × ÒØÓØ × × Ò Ú ÒØ × × Ò Ù× Ö ÙÒ Ò Ò Ö ÙÖÓ× º ÑÔÐÓ º¾º (x − 1)(x − 2) f (x) = x2 − 1
- 101. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ì Ò Dom f = Ê {−1, 1} × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð y = 1º × ÒØÓØ × Ú ÖØ Ð × ´ÔÓ×ØÙÐ ÒØ × x = −1 Ý x = 1µº Ë Ò Ñ x = 1 × Ö Þ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ö ÓÖº x−2 Ñ × × x ∈ Dom(f ) =⇒ f (x) = x+1 ¸ ÐÙ Ó¸ × x ×Ø Ö 1¸ Ð ÙÒ Ò Ò Ö Ò Ö × Ò ÓØ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò × ÒØÓØ Ú ÖØ Ð × x = −1º 4.12. Composición de Funciones Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ A¸ B Ý C ×ÓÒ ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ò Ö Ð × Ò ØÙÖ Ð Þ Ö ¹ ØÖ Ö Ý f¸ g f : A → B Ý g : B → C ÒØÓÒ × × ×ÓÒ ÙÒ ÓÒ × Ò Ð ÓÑÔÓ× Ò f Ý g ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò g ◦ f Ò ÔÓÖ g ◦ f : A → C Ø Ð ÕÙ (∀x ∈ A)(g ◦ f )(x) = g(f (x))º Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ × Ó× ÙÒ Ò × f :A⊆Ê→Ê Ý g : B ⊆ Ê → ʸ ÒÓ × ÑÔÖ × ÙÑÔÐ ÕÙ ÁÑ (f ) ⊆ B ¸ ÐÙ Ó Ð Ò Ò Ð ÓÑÔÓ× Ò ÒÓ × ÑÔÖ × ÔÙ Ö ÔÓÖ ×Ø Ñ ÒÓº Ò ÓÒ× Ù Ò Ò Ö ÑÓ× Ð ÓÑÔÓ× Ò × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð Ð Ý¸ ÓÑÓ × Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ ÓÒ Ð × ÙÒ ÓÒ × Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ð¸ × Ö g ◦ f (x) = g(f (x)) ÑÓ Ó ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó × Ö Dom(gof ) = {x ∈ Dom(f ) : f (x) ∈ Dom(g)}. 4.13. Funciones invertibles Ë f :A⊆Ê→ Ó (f ) Ö ÑÓ× ÕÙ f × ÒÝ Ø Ú ×× [f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 ]º Ö Ñ ÒØ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð Ö ÕÙ ØÓ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÒØ Ö× Ø ÐÓ Ñ × Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö Ó fº Ö ÑÓ× ÕÙ f × Ô Ý Ø Ú ×× ÁÑ (f ) = Ó (f ) Ö Ñ ÒØ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð Ö ÕÙ ØÓ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð Ó ÓÑ Ò Ó f ÒØ Ö× Ø Ð Ñ ÒÓ× Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö Ó fº Ö ÑÓ× ÕÙ f × Ý Ø Ú ×× f × ÒÝ Ø Ú Ý Ô Ý Ø Ú º Ö Ñ ÒØ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð Ö ÕÙ ØÓ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð Ó ÓÑ Ò Ó f ÒØ Ö× Ø Ò Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö Ó fº ½¼¼
- 102. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ë f × Ý Ø Ú ÒØÓÒ × ∀y ∈ Ó (f ) Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÒØÖ Ö x ∈ Dom(f ) Ø Ð ÕÙ y = f (x) Ø Ò ×ÓÐÙ Ò Ò º ×ØÓ ÑÓØ Ú Ð Ò Ò ÙÒ ÙÒ Ò ÐÐ Ñ ÙÒ Ò ÒÚ Ö× º 4.13.1. Función inversa Ò Ò º½ ´ ÙÒ Ò ÒÚ Ö× µº Ë f : Dom(f ) → Ó (f ) ÙÒ ÙÒ Ò Ý Ø Ú º × Ò Ð ÙÒ Ò ÒÚ Ö× f ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò f −1 Ò ÔÓÖ f −1 : Ó (f ) → Dom(f ) Ø Ð ÕÙ [y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y)]. Ç × ÖÚ Ò Ò Ð ×Ó ÙÒ ÓÒ × Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ð Ü ×Ø Ò Ú Ö × ÐÐ × ÕÙ ÒÓ ×ÓÒ ÒÝ Ø Ú × Ó ÒÓ ×ÓÒ Ô Ý Ø Ú × Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÓ Ø Ò Ò ÒÚ Ö× º × Ò Ñ Ö Ó¸ × ÔÙ ÓÒØÖÙ Ö ÙÒ ÙÒ Ò ÒÚ Ö× ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Óº Ë f :A⊆Ê→Ê ÙÒ ÙÒ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ ÒÚ ÖØ Ð º Ë Ø ÖÑ Ò B⊆A Ø Ð ÕÙ f |B × ÒÝ Ø Ú º Ù Ð ÑÓ Ó × Ö ×ØÖ Ò Ð Ó ÓÑÓÒ Ó Ê ÁÑ (f |B )º ÓÒ ×ØÓ f |B × Ý Ø Ú Ý ÐÙ Ó ÒÚ ÖØ Ð º ½¼½
- 103. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º ÌÓ Ò Ò R2 ÔÙ × Ö Ö ÔÖ × ÒØ ÔÓÖ ÙÒ ÙÒ Ò Ö Ð Ú Ö Ð Ö Ðº ¾º Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö ÙÒ ÓÒ × ÓÑ Ò Ó× ×Ø ÒØÓ× Ø Ò Ò Ñ Ò × ×Ø ÒØ ×º ¿º È Ö ÙÒ ÙÒ Ò f ÑÔ Ö¸ −f × ÑÔ Öº º ÌÓ ÙÒ Ò Ô Ö × × Ñ ØÖ ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ¹ Ò ×º º Ù ÐÕÙ Ö ÙÒ Ò ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ × ÑÔÖ × ÑÔ Öº º Ë Ð ÓÑ Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò × ÓØ Ó Ò Ö ÓÖ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ð ÁÑ Ò ÙÒ Ò × ÓØ Ò Ö ÓÖ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º º Ð Ñ Ü ÑÓ ÙÒ ÙÒ Ò Ö Ð f × Ù Ð Ð Ñ Ò ÑÓ −f º º Ä ×ÙÑ Ó× ÙÒ ÓÒ × Ô Ö × × Ô Öº º Ä ×ÙÑ Ó× ÙÒ ÓÒ × ÑÔ Ö × × ÑÔ Öº ½¼º Ä ×ÙÑ ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ô Ö ÓÒ ÙÒ ÑÔ Ö × ÑÔ Öº ½½º Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ ÓÒ × ÑÔ Ö × × ÑÔ Öº ½¾º Ä Ö ×ØÖ Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö × Ô Ö º ½¿º Ä Ö ×ØÖ Ò ÙÒ ÙÒ Ò ÓØ × ÓØ º ½ º Ð ÓÑ Ò Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓÑÔÓ× Ò ÙÒ ÓÒ × × × ÑÔÖ ÓØ Óº ½ º Ä ×ÙÑ ÙÒ ÓÒ × Ö ÒØ × × Ö ÒØ º ½ º Ä ÓÑÔÓ× Ò ÙÒ ÓÒ × Ö ÒØ × × Ö ÒØ º ½ º Ë f × Ô Ö ÒØÓÒ × g◦f × Ô Öº ½¼¾
- 104. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º Ä ÓÑÔÓ× Ò f ÓÒ ×Ù ÒÚ Ö× ´ Ù Ò Ó Ü ×Ø µ Ð ÙÒ Ò ÒØ º ½ º Ë f Ý g ×ÓÒ ÒÝ Ø Ú × ÒØÓÒ × g◦f × ÒÝ Ø Ú º ¾¼º Ë f × Ô Ý Ø Ú ÒØÓÒ × g◦f × Ô Ý Ø Ú º ¾½º Ë f −1 ÒÓ × ÑÔ Ö ÒØÓÒ × f Ø ÑÔÓ Ó ÐÓ ×º ¾¾º Ä Ú × Ò Ó× ÙÒ ÓÒ × ÓÒ×Ø ÒØ × Ù Ð ×ÕÙ Ö ¸ × Ø Ñ Ò ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ×Ø ÒØ º ¾¿º Ë f (x) = x x−1 ¸ ÒØÓÒ × Ð ÓÑ Ò Ó Ñ × Ö Ò ÔÓ× Ð f ÓÒ× ×Ø ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ü ÔØÓ Ð 0º ¾ º ÍÒ ÙÒ Ò ÒÝ Ø Ú ÔÓ× ÐÓ Ñ × ÙÒ ÖÓº ¾ º ÍÒ ÙÒ Ò Ô Ý Ø Ú Ò Ò ØÓ Ó R ÔÓ× Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÖÓº ¾ º Ä ÙÒ Ò f (x) = x+1 1−|x| ÒÓ ÔÓ× ÖÓ׺ ¾ º Ä ÙÒ Ò f (x) = x+1 1−|x| × ÑÔ Öº ¾ º Ä ÙÒ Ò f (x) = x+1 1−|x| ¸ Ö ×ØÖ Ò (−∞, 1) × ÓÒ×Ø ÒØ º ¾ º Ä ÙÒ Ò f (x) = x+1 1−|x| × ÓØ º ¿¼º Ä ÙÒ Ò f (x) = x+1 1−|x| ¸ −f ÒÓ × ÒÝ Ø Ú º √ ¿½º Ä ÙÒ Ò f (x) = (x2 − 4) 1 − x2 ÔÓ× ÓÑ Ò Ó ÓØ Óº √ ¿¾º Ä ÙÒ Ò f (x) = (x2 − 4) 1 − x2 × Ô Öº √ ¿¿º Ä ÙÒ Ò f (x) = (x2 − 4) 1 − x2 × Ô Ö º √ ¿ º Ä ÙÒ Ò f (x) = (x2 − 4) 1 − x2 × Ô Ý Ø Ú º ¿ º √ Ü ×Ø ÙÒ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ B Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò f (x) = (x2 − 4) 1 − x2 ¸ Ø Ð ÕÙ f (x) > 0 ∀x ∈ B º ¿ º Ä ×ÙÑ ÙÒ ÓÒ × Ô Ý Ø Ú × × Ô Ý Ø Ú º ¿ º Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ ÓÒ × ÒÝ Ø Ú × × ÙÒ ÙÒ Ò ÒÝ Ø Ú º ¿ º ÌÓ ÙÒ Ò Ô Ö × Ô Öº ¿ º Ä ×ÙÑ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö × Ù Ð Ô Ö Ó Ó¸ × Ô Ö º ¼º Ë ÙÒ ÙÒ Ò × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ó Ö ÒØ ¸ ÒØÓÒ × × ÒÝ Ø Ú º ½º Ë ÙÒ ÙÒ Ò × Ô Ö Ó Ô Ö ¸ ÒØÓÒ × ÒÓ ÔÙ × Ö ÒÝ Ø Ú º ½¼¿
- 105. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¾º Ë g × ÔÓ× Ø Ú ´g(x) ≥0 ∀x ∈ Dom(g)µ¸ ÒØÓÒ × g◦f Ø Ñ Ò ÐÓ ×º ¿º Ë ÙÒ ÙÒ f × ´ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ µ Ö Ò ÒØ Ý ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø Ú 1 ´f (x) >0 ∀x ∈ Dom(f )µ¸ ÒØÓÒ × f × ´ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ µ Ö ÒØ º º Ð Ö Ó ÙÒ ÙÒ Ò f ÒÙÒ × ÒØ Ö× Ø ÓÒ Ð Ö Ó f −1 º º ÍÒ ÙÒ Ò ÓÒ × ÒØÓØ x=0 ÒÓ ÔÓ× ÖÓ׺ º ÍÒ ÙÒ Ò Ô Ö ÒÓ ÔÙ Ø Ò Ö × ÒØÓØ ×º º ÍÒ ÙÒ Ò ÑÔ Ö¸ × Ø Ò × ÒØÓØ ×¸ Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× Ó׺ º Ä ÒÚ Ö× ÙÒ ÙÒ Ò ÔÓÐ Ò Ñ × ÙÒ ÙÒ Ò ÔÓÐ Ò Ñ º º ÄÓ× ÖÓ× f +g ×ÓÒ ÐÓ× ÖÓ× f ÒØ Ö× Ø Ó× ÓÒ ÐÓ× ÖÓ× gº ¼º ÄÓ× ÖÓ× fg ×ÓÒ ÐÓ× ÖÓ× f ÙÒ Ò ÓÒ ÐÓ× ÖÓ× gº ½º Ë Ð Ö ×ØÖ Ò f |B ÙÒ ÙÒ Ò f × Ô Ö¸ ÒØÓÒ × f × Ø Ñ Ò ÑÔ Öº ¾º Ä ÙÒ ÒÑ ÙÐÓ ØÓ ÙÒ Ò ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ × ÓØ º ¿º ÄÓ× ÖÓ× |f | ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÖÓ× fº º Ð Ö Ó Ð ÓÑÔÓ× Ò Ó× ÙÒ ÓÒ × f Ý g Ù Ð ×ÕÙ Ö g◦f × Ð Ö Ó g ×ÔÐ Þ Ó ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖ Òº º ÍÒ ÙÒ Ò Ô Ö ÒÓ ÔÙ × Ö ÒÚ ÖØ Ð º º Ä ÓÑÔÓ× Ò Ó× ÙÒ ÓÒ × ÔÓÐ Ò Ñ × × ÙÒ ÙÒ Ò ÔÓÐ Ò ¹ Ñ º º ÍÒ ÙÒ Ò f :A⊆R→R ÓÒ×Ø ÒØ ÒÙÒ × ÒÝ Ø Ú º º ÌÓ ÙÒ Ò ÔÓÐ Ò Ñ ÔÓ× ÖÓ׺ º ÌÓ Ð Ò Ò Ð ÔÐ ÒÓ × Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÔÓÖ ÙÒ ÙÒ Ò ÒÝ Ø Ú º ¼º ÍÒ ÙÒ Ò ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÒÓ ÔÙ × Ö ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ¹ ÒØ º ½¼
- 106. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º Ð × Ù ÒØ ÙÒ Ò f (x) = ax2 +bx+c px2 +qx+r ¸ Ò Ù ÒØÖ ÓÑ Ò Ó¸ ÁÑ Ò Ý ÖÓ× Ô Ö ´ µ c = r = 0¸ a = p = 1¸ b = −q = 1º ´ µ a = p = c = −q = 1¸ b = 2º ´ µ a = r = 2¸ e = 0¸ b = −c = d = 1º ´ µ a = 3¸ b = 2¸ c = p = 1¸ q = 0¸ r = 5º ´ µ a = 0¸ b = q = 1¸ c = p = 2¸ r = 3º ¾º È Ö Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ ×¸ Ò ÓÒØÖ Ö ÓÑ Ò Ó¸ ÖÓ׸ Ö Ñ ÒØÓ¸ Ô ¹ Ö ¸ ÒÝ Ø Ú Ý ÓØ Ñ ÒØÓ ´ µ f (x) = x3 º √ ´ µ f (x) = xº √ ´ µ f (x) = x3 − 1º ´ µ f (x) = x2 −1 x+1 º ´ µ f (x) = 1 |2x+1| º ¿º Î Ö ÕÙ × Ð ×× Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ × ×ÓÒ Ô Ö ×¸ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ × Ó ÒÝ Ø Ú × ´ µ f (x) = x2 1+x2 º ´ µ f (x) = 1 − (x − 1)(x + 1)º ´ µ f (x) = x+1 1+x4 º √ ´ µ f (x) = 1 − 1 − x2 º ´ µ f (x) = |x − 1| − 1º º Ë f (x) = 6x2 − x − 5 Ø ÖÑ Ò Ð Ô Ö ¸ ÖÓ× ¸ Ö Ñ ÒØÓ ÒÝ Ø Ú Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ × ´ µ g(x) = f (f (x))º ´ µ g(x) = f (x + 1)º ½¼
- 107. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ´ µ g(x) = f (|x|)º ´ µ g(x) = |f (x − 1)|º ´ µ g(x) = f (f (x + 1) − f (|x|))º √ (−1)1+|x| 1 − x2 si −1 ≤ x ≤ 0 º x−1 1 ÓÒ× Ö Ð × Ò Ò f (x) = si 0 < x ≤ 2 |x|−1 1 1 |2x−1| si x < −1 o x > 2 ´ µ Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÓÑ Ò Ó Ð × Ò Òº ´ µ ×ØÙ Ö Ð Ö Ñ ÒØÓº ´ µ ×ØÙ Ö Ð Ô Ö º ´ µ Ò ÓÒØÖ Ö ÖÓ× ÒØ Ö× Ò ÓÒ Ð OY º ´ µ Ó×ÕÙ Ö ÙÒ Ö Óº º Ë f : R {−1, 1} → R Ø Ð ÕÙ f (x) = x+1 |x|−1 º ´ µ ÅÙ ×ØÖ ÕÙ f ÒÓ × ÒÝ Ø Ú º ´ µ Ð ÙÐ f −1 ([−1, 1])º ´ µ Ë g : [0, 1) → R Ò ÔÓÖ g(x) = f (x)º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ g × ÒÝ Ø Ú º ´ µ Ê ×ØÖ Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó ÑÓ Ó Ó Ø Ò Ö Ô ÖØ Ö g ÙÒ ÙÒ Ò Ý Ø Ú º ´ µ Ð ÙÐ Ð ÒÚ Ö× º º Ë f : R → R ÒÓ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐ ¸ Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x, y ∈ R¸ × Ø Ò ÕÙ f (x + y) = f (x) + f (y) Ý f (xy) = f (x)f (y)º ´ µ ÈÖÓ Ö ÕÙ f (0) = 0 Ý ÕÙ f (1) = 1º ´ µ Ð ÙÐ Ö f (x)¸ Ô Ö x ∈ N¸ ÐÙ Ó Ô Ö x ∈ Z Ý ÔÓÖ ÐØ ÑÓ Ô Ö x ∈ Qº ´ µ ÈÖÓ Ö ÕÙ x≥0 ÑÔÐ ÕÙ f (x) ≥ 0º Ù Ö ÕÙ f × ×ØÖ Ø ¹ Ñ ÒØ Ö ÒØ º ½¼
- 108. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ × Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ × Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ × Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º √ Ƚº Ë f :A⊆Ê→Ê Ò ÔÓÖ f (x) = |x| − 1 − x2 º ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ø ÖÑ Ò A= ÓÑ f¸ Ö ÓÖÖ Ó Ý Ô Ö º ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ ÐÓ× ÖÓ× Ý × ÒÓ× fº ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ø ÖÑ Ò Ð × ÞÓÒ × Ö Ñ ÒØÓ Ý Ö Ñ ÒØÓº ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ ÅÙ ×ØÖ ÕÙ f ÒÓ × ÒÝ Ø Ú Ò ×Ó Ö Ý Ø Ú º ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ø ÖÑ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ B¸ B ⊆ A = ÓÑ(f ) Ø Ð ÕÙ f : B → f (B) × Ý Ø Ú Ý Ð ÙÐ f −1 (x)º ´µ ´½¼ Ñ Òºµ Ó×ÕÙ Ð Ö Ó f Ý |f |º Ⱦº Ë f (x) = x+1 2x+1 º ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ ×Ù ÓÑ Ò Ó A¸ ÖÓ× Ý × ÒÓ׺ ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ ÈÖÙ ÕÙ f × ÒÝ Ø Ú º ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó f × 1 Ê { 2 }º ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ Ð ÙÒ Ò ÒÚ Ö× 1 f : A → Ê {2} Ý ÜÔÐ Ø ×Ù ÓÑ Ò Ó Ý Ö ÓÖÖ Óº È¿º Ë Ð ÖÑÙÐ f (x) = 1− 2 1+x º ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ø ÖÑ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ A⊆ÊØ Ð ÕÙ f :A→Ê ÕÙ x Ð ×Ó f (x)¸ × ÙÒ ÙÒ Òº ´ µ ´ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ ÐÓ× ÖÓ× f Ý Ø ÖÑ Ò ×Ù× × ÒÓ׺ ´ µ ´ Ñ Òºµ Ø ÖÑ Ò Ð Ô Ö Ý Ô Ö Ó fº ´ µ ´ Ñ Òºµ Ø ÖÑ Ò Ð ÒÝ Ø Ú Ý Ô Ý Ø Ú fº ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÓÒ f Ö Ý ÕÙ ÐÐÓ× ÓÒ f Ö º ½¼
- 109. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ´µ ´ Ñ Òºµ Ö ÕÙ fº È º Ë Ò α¸ β ∈ ʸ Ý Ð ÙÒ Ò f : Ê → Ê Ò ÔÓÖ f (x) = x2 + α si x ≥ 0 º x+β si x < 0 ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ f × Ô Ý Ø Ú ×× α ≤ βº ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ f × ÒÝ Ø Ú ×× α ≥ βº ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ Ù Ð × Ð ÓÒ ÙÒØÓ B = {(α, β) ∈ Ê2 |f Ý Ø Ú } x si x∈Q È º ´½ Ñ Òºµ Ë Ð ÙÒ Ò g:R→R ÔÓÖ g(x) = 0 si x∈Q / º ÈÖÙ ÕÙ ∀x ∈ R, |g(x)| ≤ |x|º ½¼
- 110. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 6: TRIGONOMETRÍA Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 5. Trigonometría Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × ÒÓØ ÓÒ ×º 5.1. Medida de ángulos en radianes ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó ½ Ý ÒØÖ Ò Ð ÓÖ Ò Ð ÙÖ º P α A x Ò Ò º½ ´ýÒ ÙÐÓ ÔÓ× Ø ÚÓµº Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò¹ ¸ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ò ÙÐÓ ÔÓ× Ø ÚÓ AOP Ð Ò ÙÐÓ Ò Ð ÕÙ Ý ÕÙ ÖÓØ Ö Ð Ö ÝÓ OA¸ Ò Ð × ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ ¸ Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÝÓ OP. Ä Ñ ×Ø Ò ÙÐÓ ÒÖ Ò ×¸ × Ö Ð Ð Ö Ó Ð Ö Ó Ö ÙÒ¹ Ö Ò ÕÙ Ú × A ×Ø P¸ ÑÓÚ Ò Ó× Ò Ð × ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ º Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ P × Ó Ø Ò ÖÓØ Ö Ò Ð Ò ÙÐÓ ÔÓ× Ø ÚÓ AOP Ð ÔÙÒØÓ Aº Ð ÙÒÓ× Ò ÙÐÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× π 3π 2 π 2 y=x y=-x y=-x 3π 7π π 4 4 4 Ò Ò º¾ ´ýÒ ÙÐÓ Ò Ø ÚÓµº ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× Ò ÙÐÓ Ò Ø ÚÓ AOP Ð Ò ÙÐÓ Ò Ð ÕÙ Ý ÕÙ ÖÓØ Ö Ð Ö ÝÓ OA¸ Ò Ð × ÒØ Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ ¸ Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÝÓ OP. ½¼
- 111. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ä Ñ ×Ø Ò ÙÐÓ ÒÖ Ò ×¸ × Ö Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ð Ð Ö Ó Ð Ö Ó Ö ÙÒ Ö Ò ÕÙ Ú × A ×Ø P ÑÓÚ Ò Ó× Ò Ð × ÒØ Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ º Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ P × Ó Ø Ò ÖÓØ Ö Ò Ð Ò ÙÐÓ Ò Ø ÚÓ AOP Ð ÔÙÒØÓ Aº ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× 2π Ð Ð Ö Ó Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó ½º Ð ÙÒÓ× Ò ÙÐÓ× Ò Ø ÚÓ× - 3π - π 2 - π 2 y=x y=-x y=-x 3π - π - 7π - 4 4 4 Ù Ò Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ k ∈ Æ ÚÙ ÐØ × Ò Ð × ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ Ý ÐÙ Ó Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÔÓ× Ø ÚÓ AOP ×Ù Ñ Ò Ö Ò × × 2kπ + x¸ ÓÒ x × Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ ÔÓ× Ø ÚÓ AOP. Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ k∈Æ ÚÙ ÐØ × Ò Ð × ÒØ Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ Ý ÐÙ Ó Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò Ø ÚÓ AOP ¸ Ø Ò ÓÑÓ Ñ −2kπ + x¸ ÓÒ x × Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ Ò Ø ÚÓ AOP ´Ú Ö ÙÖ µº π 3π +2π +4 π 2 2 π π - -2 π − − 4π 4 2 Ò Ò Ö Ð¸ × Ð Ñ ÒÖ Ò × x, ÙÒ Ò ÙÐÓ × ÔÓ× Ø Ú × ÒØ Ò Ö ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ × Ó Ø Ò Ð Ö ÚÙ ÐØ × Ò × ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ Ý × x × Ò Ø ÚÓ ÓÑÓ Ö ÚÙ ÐØ × Ò Ð × ÒØ Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ º ×Ø ÓÖÑ Ñ Ö Ò ÙÐÓ× ×Ø Ð ÙÒ Ý Ò ÒØÖ Ò ÙÐÓ× Ý Ò ¹ Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ½½¼
- 112. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 5.2. Funciones trigonométricas Ç × ÖÚ Ò ÍÒ Ý Ò ÒØÖ Ò ÙÐÓ× Ý Ö Ð × ´ÒÓ × Ð Ò µº Ó x ∈ ʸ × Px Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ (0, 0) Ý Ö Ó ½¸ ÕÙ × Ó Ø Ò Ð Ö Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ Ò Ö Ò × × x ¸ Ô ÖØ Ò Ó × Ð ÔÙÒØÓ (1, 0)º ÒØÓÒ × × x > 0 ×Ø Ö ÑÓ× ÖÓØ Ò Ó Ò Ð × ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ Ý × x < 0 ÐÓ ×Ø Ö ÑÓ× Ò Ó Ò Ð × ÒØ Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ö ÐÓ º Í× Ò Ó Px Ò Ö ÑÓ× Ð × ÙÒ ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ×º Ò Ò º¿ ´ ÙÒ Ò Ó× ÒÓµº Ò ÑÓ× Ð ÙÒ Ò Ó× ÒÓ ´ Ó×: Ê → ʵ ÓÑÓ ÕÙ ÐÐ ÕÙ xÐ ×Ó Ð × × Ð ÔÙÒØÓ Px º Ò Ò º ´ ÙÒ Ò × ÒÓµº Ä ÙÒ Ò × ÒÓ ´× Ò: Ê → ʵ ÕÙ Ò ÓÑÓ ÕÙ ÐÐ ÕÙ x ×Ó Ð ÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ Px º 1 P =(cos(x),sen(x)) x sen(x) -1 cos(x) 1 -1 Ð Ò Ò Ð × ÙÒ ÓÒ × × ÒÓ Ý Ó× ÒÓ × Ù ÕÙ ÐÐ × × Ø × Ò Ð × ÐÐ Ñ Á ÒØ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ∀x ∈ Ê, × Ò 2 (x) + Ó×2 (x) = 1. Ä ×× Ù ÒØ × × Ú Ö ÓÒ × Ö Ð × ÙÒ ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ × ÔÙ Ò Ù×Ø Ö× ÐÑ ÒØ Ý ÕÙ Ò ÓÑÓ Ö Óº ÈÖÓÔ × ¾ ´ ÙÒ Ò Ó× ÒÓµº ¶¶¶Ê È ÌÁÊ Ä ÙÒ Ò × Ô Ö Ô Ö Ó Ó 2π. × ÙÒ ÙÒ Ò Ô Öº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×Ø Ö ÓÒ ÓÒÓ ÖÐ Ò I = [0, π] Ô Ö Ø Ò Ö ×Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ðº Ì Ò ÙÒ ÖÓ Ò x = π ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ cos−1 ({0}) = x = 2 π 2 + kπ : k ∈ . Ò [0, π ] × ÔÓ× Ø Ú Ý × Ò 2 ØÚ Ò π 2,π º Ö Ò [0, π]º ÈÖÓÔ × ¿º ÙÒ Ò × ÒÓ Ä ÙÒ Ò × Ô Ö Ô Ö Ó Ó 2π. × ÙÒ ÙÒ Ò ÑÔ Öº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×Ø Ö ÓÒ ÓÒÓ ÖÐ Ò I = [0, π] Ô Ö Ø Ò Ö ×Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ðº ½½½
- 113. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ì Ò ÙÒ ÖÓ Ò x = 0 Ý ÓØÖÓ Ò x = π. ÄÙ Ó × Ò ({0}) = {x = kπ : k ∈ } . −1 Ò I × × ÑÔÖ ÔÓ× Ø Ú º Ö Ò [0, π ] Ý 2 Ö Ò π 2,π . Î ÑÓ× Ò Ð Ö Ó × ÙÒ ÓÒ × ´× ÒÓ Ý Ó× ÒÓ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ¸ Ð × ÔÖÓÔ × ÒØ Ö ÓÖ ×º 1 0 2π 3 π π π π π 3π 2 π 2 2 2 2 -1 1 0 2π 3 π π π π π 3π 2 π 2 2 2 2 -1 ÇØÖ ÙÒ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ × Ò Ò º ´ ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ µº Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ ÔÓÖ Ø Ò : A → ʸ ÓÒ A = {x ∈ Ê Ó×(x) = 0} ÕÙ x ×Ó Ø Ò(x) = × Ò(x) º Ó×(x) Ð ÙÒ × ÔÖÓÔ × ÈÖÓÔ × º Ä ÙÒ Ò Ø Ò × Ô Ö Ô Ö Ó Ó πº ËÙ× ÖÓ× ×ÓÒ ÐÓ× ÖÓ× Ð ÙÒ Ò × Òº × ÙÒ ÙÒ Ò ÑÔ Öº × ÔÓ× Ø Ú Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ 0, π . 2 × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ÓÖÑ − π + kπ, π + kπ . 2 2 −π π − π 0 3π 2 2 Ç × ÖÚ Ò Ä ÒØ tan(x) ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ý Ð ÔÙÒØÓ Px ×Ó Ó¸ ÓÑÓ Ú ÑÓ× Ò Ð ÙÖ ½½¾
- 114. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 1 P sen(x) tg(x): pendiente de la recta por O y P. -1 cos(x) 1 -1 5.3. Trigonometría del triángulo rectángulo ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ú ÖØ × A¸ B Ý C ´ Ð Ú ÖØ A Ò Ð ÓÖ Ò Ý Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò C µ¸ Ð Ó× a, b Ý c¸ ÓÔÙ ×ØÓ× ÐÓ× Ú ÖØ × A, B Ý C Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ý Ò ÙÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × α, β Ý γ ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ B=(b,a) β E sen(α ) G α γ A= (0,0) C F=(cos(α),0) r=1 Ë Ø Ò ÕÙ Ì ÓÖ Ñ º½º Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ × × Ø × ÕÙ b a a Ó×(α) = , × Ò(α) = Ý Ø Ò(α) = . c c b ÑÓ×ØÖ Òº Ä Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A Ý B × a º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ AEF b Ð Ð Ó AE × Ø Ñ Ó ½¸ ÑÓ Ó ÕÙ a × Ò(α) AF = Ó× (α) Ý EF = × Ò (α) . ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ b × Ù Ð Ó×(α) =Ø Ò (α) . ÒØÓÒ ×¸ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EBG Ø Ò ×Ù× Ð Ó× Ù Ð × EB = c − 1, EG = b − Ó× (α) Ý BG = a − × Ò (α)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ (a − × Ò(α))2 + (b − Ó×(α))2 = (c − 1)2 . × ÖÖÓÐÐ Ò Ó ÐÓ× Ù Ö Ó׸ ÔÐ Ò Ó ÕÙ a 2 + b 2 = c2 Ý ÕÙ × Ò 2 (α) + 2 Ó× (α) = 1, × Ó Ø Ò ÕÙ −2× Ò (α) a − 2 Ó× (α) b = −2c. b × Ò (α) = Ë ÑÓ× ÕÙ a Ó× (α)º Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó ×ØÓ Ò Ð Ù Ò ÒØ ¹ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ×Ô Ö Ó× (α) . b a a ÄÙ Ó¸ Ó×(α) = c ¸ × Ò(x) = c Ý Ø Ò(x) = bº ½½¿
- 115. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð B=(b,a) β E sen(α ) G α γ A= (0,0) C F=(cos(α),0) r=1 5.4. Funciones recíprocas Ñ × × Ò Ò Ð × ÙÒ ÓÒ × ÓØ Ò ÒØ ¸ × ÒØ Ý Ó× ÒØ ÔÓÖ Ò Ò º ´ ÙÒ ÓÒ × Ö ÔÖÓ ×µº Ë Ò Ò cos x cot x = × Òx 1 sec x = cos x 1 csc x = × Òx Ð ÙÒ × ÔÖÓÔ × ÈÖÓÔ × º Ë cos x = 0¸ ÒØÓÒ × tan2 x + 1 = sec2 xº ×ØÓ × Ó Ø Ò Ð Ú ÖÐ ÒØ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓÖ cos2 xº Ë sen x = 0 ¸ ÒØÓÒ × ÓØ2 x + 1 = ÓØ Ò2 xº ×ØÓ × Ó Ø Ò Ð Ú Ö Ð ÒØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÓÖ sen2 xº ÁÒ× Ö Ò Ó ÔÖÓÔ Ñ ÒØ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× ×Ó× Ð × Ó ÕÙ Ð Ø ÖÓ× Ò Ð Ö ÙÐÓ ÙÒ Ø Ö Ó × ÔÙ Ó Ø Ò Ö Ð × Ù ÒØ Ø Ð Ú ÐÓÖ × x sen x cos x tan x cot x sec x csc x 0 0 1 0 ¹ 1 ¹ π 1 √ 3 √ 3 √ 2 6 2 2 3 3 √ 2 π √ 2 √ 2 √3 √ 4 2 2 1 1 2 2 π √ 3 1 √ √ 3 2 3 2 2 3 3 2 √ 3 π 2 1 0 − 1 − 1 π 0 −1 0 − −1 − 3π 2 −1 0 − 0 − −1 5.5. Independencia de sistemas de coordenadas ÓÒ× Ö ÑÓ× Ó× × ×Ø Ñ × ÓÓÖ Ò × Ò Ð ÔÐ ÒÓº Ð ÔÖ Ñ ÖÓ {OXY } × Ø Ô Ó¸ ÓÒ Ð OX × ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý ÐOY × Ú ÖØ Ðº Ð × ÙÒ Ó ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ {O X Y } Ø Ò ÓÖ Ò Ò O =O Ý ÐÓ× × O X Ý O Y ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ ½½
- 116. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð α ÓÒ Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× × OX Ý OY Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë ÕÙ {O′ X ′ Y ′ } ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÖÓØ Ò Ð × ×Ø Ñ {OXY } Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ αº ÌÖ ÑÓ× ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ⊙ ÓÒ ÒØÖÓ Ò O Ý ÓÒ× Ö ÑÓ× Ó× ÔÙÒØÓ× P Ý Q Ò ⊙ ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ ∠P OX = α Ý ∠QOX = β º ÓÒ ×ØÓ Ð ÙÐ ÑÓ× Ð ×Ø Ò PQ Ò Ñ Ó× × ×Ø Ñ × Ò Ð × ×Ø Ñ Ç P = (cos α, × Òα) Q = (cos β, × Òβ). ÄÙ Ó 2 PQ = [cos β − cos α]2 + [sen β − sen α]2 = cos2 β − 2 cos β cos α + cos2 α + sen2 β − 2 sen β sen α + sen2 α = 2 − 2 cos β cos α − 2 sen β sen α. Ò Ð × ×Ø Ñ Ç³ ³ ³ P = (1, 0) Q = (cos(β − α), sen(β − α)). ÄÙ Ó 2 PQ = [1 − cos(β − α)]2 + [0 − sen(β − α)]2 = 1 − 2 cos(β − α) + cos2 (β − α) + sen2 (β − α) = 2 − 2 cos(β − α). ÓÑÓ Ð ×Ø Ò PQ × Ò Ô Ò ÒØ Ð × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò × ÙØ Ð ¹ Þ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× × Ö Ö ÕÙ 2 − 2 cos β cos α − 2 sen β sen α = 2 − 2 cos(β − α) ÓÒ × Ù ÕÙ ÈÖÓÔ ´ Ö Ò Ò ÙÐÓ× Ò Ó× ÒÓµº cos(β − α) = cos β cos α + sen β sen α. ×Ø ÖÑÙÐ ÓÒØ Ò ÙÒ ØÖ Ñ Ò ÒØ Ò ÓÖÑ Òº Ô Ò Ò Ó ÐÓ× Ò ÙÐÓ α Ý β Ú ÑÓ× Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ú Ö ÒØ ÒØ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ × ÕÙ ÐÙ Ó Ó ÙÔ Ö ÑÓ× Ô Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÒÙ ×ØÖ ÑÓ×¹ ØÖ Ò Ò ÙÖ×Óº ½½
- 117. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 5.6. Propiedades importantes Ä Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ ÖÖÓ ÙÒ Ö Ò ÒØ Ò ÓÖÑ Ò ÕÙ Ú Ö ¹ ÑÓ× ÓÒØ ÒÙ Òº ÈÖÓÔ ´ Ö Ò Ò ÙÐÓ× Ò Ó× ÒÓµº cos(β − α) = cos β cos α + sen β sen α. Ú ÐÙ Ò Ó Ò β = 0 Ó Ø Ò ÑÓ× cos(−α) = cos 0 cos α + sen 0 sen α = Ó×α¸ × Ö cos(−α) = Ó×α¸ ÐÓ ÕÙ × Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ó× × Ô Öº Ú ÐÙ Ò Ó α = π/2 Ó Ø Ò ÑÓ× cos(β−π/2) = cos β cos π/2+sen β sen π/2 = × Òβ ¸ × Ö cos(β − π/2) = × Òβ. ÄÐ Ñ ÑÓ× γ = β + π/2º Ç ÙÔ Ò Ó ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ cos(β − π/2) = × Òβ Ý Ú ÐÙ Ò Ó β ÔÓÖ γ Ø Ò ÑÓ× cos(γ − π/2) = × Òγ Ó×β = × Ò(β + π/2). Ú ÐÙ ÑÓ× ÓÖ Ò α = −π/2º ÓÒ ×ØÓ Ó Ø Ò ÑÓ× cos(β + π/2) = cos(β − (−π/2)) = cos β cos(−π/2) + sen β sen(−π/2) = −× Òβ ¸ × Ö cos(β + π/2) = −× Òβ. ÓÑÓ cos(β + π/2) = −× Òβ ¸ ÐÐ Ñ ÑÓ× γ = β − π/2 Ý Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó β ÔÓÖ γ ¸ Ø Ò ÑÓ× Ó×(γ + π/2) = −× Òγ Ó×β = −× Ò(β − π/2) − Ó×β = × Ò(β − π/2). ÓÖ Ú ÑÓ× ÙÒ Ô ÕÙ Ó ØÖÙ Ó¸ Ò Ð Þ ÑÓ× Ð Ô Ö × Òº × Ò(−α) = × Ò(−α + π/2 − π/2) = × Ò((−α+ π/2) − π/2) Í× Ò Ó Ð ÔÖÓÔ Ö Ò Ú ×Ø = − Ó×(−α + π/2) ÈÓÖ Ô Ö Ó× Ø Ò ÑÓ× = − Ó×(α − π/2) ÈÓÖ Ð × ÙÒ ÔÖÓÔ ÒÓ× ÕÙ = −× Òα Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ × Ò × ÑÔ Öº ½½
- 118. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ä ÙÒ Ò Ø Ò¸ Ð × Ö Ð ÙÓ ÒØ ÒØÖ ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö Ý ÓØÖ ÑÔ Ö¸ × Ð Ú Ö ÕÙ ×Ø × ÑÔ Ö sen(−α) tan(−α) = cos(−α) sen α = − cos α = −Ø Òα 5.7. Suma y resta de ángulos Ê Ö × Ò Ó ÒÙ ×ØÖ ÑÓ×ØÖ Ò ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÑÓ× ÕÙ cos(β − α) = cos β cos α + sen β sen α Ñ × ÔÓÒ Ò Ó −α Ò ÐÙ Ö α × Ó Ø Ò ÈÖÓÔ × ´ËÙÑ Ò ÙÐÓ× Ò Ó× ÒÓµº cos(β + α) = cos β cos α − sen β sen α ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó sen(β + α) = cos(π/2 − (β + α)) = cos((π/2 − β) − α) = cos(π/2 − β) cos α + sen(π/2 − β) sen α = sen β cos α + cos β sen α ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ø Ò ÑÓ× ÈÖÓÔ ´ËÙÑ Ò ÙÐÓ× Ò × ÒÓµº sen(β + α) = sen β cos α + cos β sen α Ò ÐÑ ÒØ ÔÓÒ Ò Ó −α Ò ÐÙ Ö α × Ó Ø Ò ÈÖÓÔ ´ Ö Ò Ò ÙÐÓ× Ò × ÒÓµº sen(β − α) = sen β cos α − cos β sen α Ê Ð ÐÓ× Ù Ö ÒØ ×º ÓÖ ÕÙ × ÑÓ× Ð ÙÐ Ö × Ò(α ± β) Ý Ó×(α ± β)¸ Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ù Ù Ò Ó × Ð ÓØÓÖ Ð Ú ÐÓÖ 2π ÙÒÓ ×ØÓ× Ò ÙÐÓ׺ Ë ÑÓ× ÕÙ × Ò(2π) =0 Ý ÕÙ Ó×(2π) = 1¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ sen(2π + α) = sen α cos(2π + α) = cos α sen(2π − α) = − sen α cos(2π − α) = cos α ½½
- 119. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ù Ù Ò Ó ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× × 2π ¸ ÐÓ ÕÙ × Ò Ö ÙÒ ÚÙ ÐØ ÓÑÔÐ Ø º ÓÖ Ò Ð Þ Ö ÑÓ× ÕÙ ×Ù Ù Ò Ó × ÑÓ× ÙÒ Ñ Ó Ù Ö ÒØ ¸ × Ö¸ ×ÙÑ ÖÐ π Ó Ò π/2¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ½º sen(π + α) = − sen α cos(π + α) = − cos α ¾º sen(π − α) = sen α cos(π − α) = − cos α ¿º cos(π/2 − α) = sen α sen(π/2 − α) = cos α º cos(π/2 + α) = − sen α sen(π/2 + α) = cos α 5.8. Identidades útiles ÇØÖ × ÒØ × ×Ø ÒØ Ø Ð × × ×ÔÖ Ò Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ð ×ÙÑ Ý Ö ×Ø Ò ÙÐÓ× Ò Ð × ÙÒ ÓÒ × × Ò Ý Ó× Ý ×ÓÒ Ð × × Ù ÒØ × Á ÒØ ×º tan x+tan y ½º tan(x + y) = 1−tan x tan y tan x−tan y ¾º tan(x − y) = 1+tan x tan y ¿º sen(2x) = 2 sen x cos x º cos(2x) = cos2 x − sen2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x º sen2 x = 1 (1 + cos 2x) 2 cos2 x = 1 (1 − cos 2x) 2 º | sen x | = 2 1 2 (1 − cos x) | cos x | = 2 1 2 (1 + cos x) º | tan x | = 1−cos x 2 1+cos x tan x = 1+cos x 2 sen x 1−cos x tan 2 = sen x Ò ÑÓ× Ð Ó¹ ÙÒ Ò ÙÒ ÙÒ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð × Ù ÒØ Ñ ¹ Ò Ö Ò Ò º ´ Ó¹ ÙÒ Òµº f = sen ⇒ cof = cosº ½½
- 120. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð f = cos ⇒ cof = senº f = tan ⇒ cof = cotº f = cot ⇒ cof = tanº f = sec ⇒ cof = cscº f = csc ⇒ cof = sec . ÓÖ ¸ Ú Þ ÕÙ × × Ð ÙÐ Ö ÙÒ ÙÒ Ò ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ α Ð ÓÖÑ α = Ω±ϕ ÓÒ Ω = ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π, ±(2π+ π/2), . . .¸ × Ö¸ Ò ÙÐÓ× ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÔÙÒØÓ× ×Ó Ö ÐÓ× ×¸ × Ó Ø Ò ÐÓ × Ù ÒØ s·ϕ × Ω Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù Ó Ò Ð Ð × X. f (Ω±ϕ) = s · cof (ϕ) × Ω Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù Ó Ò Ð Ð × Y. ÓÒ s Ö ÔÖ × ÒØ Ð × ÒÓ ÕÙ ÒØ ÔÓÒ Ö× ¸ Ð Ù Ð × Ó Ø Ò Ö ¹ Ò Ó Ð Ò ÙÐÓ Ω ± ϕ×ÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ ϕ ×Ø ÒØÖ 0 Ý π/2¸ Ý Ñ Ö Ò Ó Ò Ð Ö ÙÐÓ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ð × ÒÓ Ð ÙÒ Ò f ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ö ÒØ º ÑÔÐÓ º½º tan(−5π/2 + π/6) = − cot(π/6) sec(3π − α) = − sec(α) ½½
- 121. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º Ð Ó× ÒÓ Ð Ò ÙÐÓ α = 180o × Ù Ð Ð β = 540o º ¾º ÍÒ Ö Ò ×ÓÒ 180oº ¿º 2π Ö Ò × ×ÓÒ 180oº º Ä × Ù ÒØ Ù Ò × ÖØ cos(180o + 20o + 160o) = 1º º Ä × Ù ÒØ Ù Ò × ÖØ cos(3π + π ) = cos( 3π )º 2 2 º Ä × Ù ÒØ Ù Ò × ÖØ π − 2π = 3π 2 º Ë ÑÔÖ Ó× Ò ÙÐÓ× Ñ Ó× Ò Ö Ò × ×ÓÒ Ù Ð × × ×Ù ÙÓ ÒØ × ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ º º Ë ÑÔÖ Ó× Ò ÙÐÓ× Ñ Ó× Ò Ö Ò × ×ÓÒ Ù Ð × × Ö Ò × ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ º º Ë ÑÔÖ Ó× Ò ÙÐÓ× Ñ Ó× Ò Ö Ò × Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ó× ÒÓ × ×Ù Ö Ò × Ñ ÐØ ÔÐÓ 2π º ½¼º Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó ½¸ ÙÒ Ò ÙÐÓ α ×Ù Ø Ò ÙÒ Ö Ó Ð Ö Ó αº ½½º Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó R = 1¸ ÙÒ Ò ÙÐÓ α ×Ù Ø Ò ÙÒ α Ö Ó Ð Ö Ó Rº ½¾º Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó R = 1¸ ÙÒ Ò ÙÐÓ α ×Ù Ø Ò ÙÒ Ö Ó Ð Ö Ó Rαº ½¿º Ë ∆ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B¸ × ÑÔÖ × ÙÑÔÐ ÕÙ AB BC = AC º ½ º Ë ∆ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B¸ ÓÒ α Ð Ò ÙÐÓ ×Ó Ó Ð Ú ÖØ A AB × ÙÑÔÐ ÕÙ sen α = BC º ½ º Ë ∆ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B¸ ÓÒ α Ð Ò ÙÐÓ ×Ó Ó Ð Ú ÖØ A AB × ÙÑÔÐ ÕÙ cos α = BC º ½¾¼
- 122. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º Ë ∆ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B¸ ÓÒ α Ð Ò ÙÐÓ ×Ó Ó Ð Ú ÖØ A BC × ÙÑÔÐ ÕÙ tan α = AB º ½ º Ë ∆ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B¸ ÓÒ α Ð Ò ÙÐÓ ×Ó Ó Ð Ú ÖØ A BC × ÙÑÔÐ ÕÙ cos α = AB º ½ º Ë ∆ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B¸ ÓÒ α Ð Ò ÙÐÓ ×Ó Ó Ð Ú ÖØ A AB × ÙÑÔÐ ÕÙ sen α = BC º ½ º Ë ∆ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B¸ ÓÒ α Ð Ò ÙÐÓ ×Ó Ó Ð Ú ÖØ A AB × ÙÑÔÐ ÕÙ cos α = AC º ¾¼º Ë ÓÒÓ ÑÓ× ÙÒ Ð Ó Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý ×Ù ÔÓØ ÒÙ× ¸ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö cos α, cos β, sen γ ¸ × Ò Ó α, β, γ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × Ð ØÖ Ò ÙÐÓº ¾½º Ë ÓÒÓ ÑÓ× ÙÒ Ð Ó Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý ×Ù ÔÓØ ÒÙ× ¸ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö tan α, tan β ¸ × Ò Ó α, β ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × ÒÓ Ö ØÓ× Ð ØÖ Ò ÙÐÓº ¾¾º Ë ÓÒÓ ÑÓ× ÙÒ Ð Ó Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý ×Ù ÔÓØ ÒÙ× ¸ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö sen α, sen β, sen γ ¸ × Ò Ó α, β, γ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × Ð ØÖ Ò ÙÐÓº ¾¿º ∀ǫ > 0, ∀M > 0, ∃α > M, Ø Ð ÕÙ sen α < ǫº ¾ º ∀ǫ > 0, ∀M > 0, ∃α > M, Ø Ð ÕÙ cos α < ǫº ¾ º ∀ǫ, ∀M > 0, ∃α > M, Ø Ð ÕÙ tan α < ǫº ¾ º ∀α, β × sen α = sen β ⇒ α = β º ¾ º ∀α, β × cos α = cos β ⇒ α = β º ¾ º ∀M > 0, ∃α Ø Ð ÕÙ sen α > M º ¾ º ∀M > 0, ∃α Ø Ð ÕÙ cos α > M º ¿¼º ∀M > 0, ∃α Ø Ð ÕÙ tan α > M º ¿½º ∃M > 0 Ø Ð ÕÙ ∀α × Ø Ò ÕÙ sen α < M º ¿¾º ∃M > 0 Ø Ð ÕÙ ∀α × Ø Ò ÕÙ cos α < M º ¿¿º ∃M > 0 Ø Ð ÕÙ ∀α × Ø Ò ÕÙ tan α < M º ¿ º ∃M > 0 Ø Ð ÕÙ ∀α, β × Ø Ò ÕÙ sen α + cos β < M º ¿ º ∃M > 0 Ø Ð ÕÙ ∀α, β × Ø Ò ÕÙ sen α cos β < M º ¿ º ∃M > 0 Ø Ð ÕÙ ∀α, β × Ø Ò ÕÙ cos α sen β < Mº ½¾½
- 123. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¿ º ∀y ∈ Ê, ∃x ∈ Ê Ø Ð ÕÙ sen x = y º ¿ º ∀y ∈ Ê, ∃x ∈ Ê Ø Ð ÕÙ cos x = y º ¿ º ∀y ∈ Ê, ∃x ∈ Ê Ø Ð ÕÙ tan x = y º ¼º ∃α Ø Ð ÕÙ sen α > cos α¸ sen(α + π) > cos(α + π)º ½º ∃α Ø Ð ÕÙ sen α > cos α¸ sen(α + π ) < cos(α + π )º 2 2 ¾º ∀α, × ÑÔÖ tan α ≥ sen αº ¿º ∀α, × ÑÔÖ tan α ≥ cos αº º sen α > 0 ⇒ cos α > 0º º cos α > 0 ⇒ sen α > 0º º Ë sen α = 0 ⇒ cos α = 0º º Ë cos α = 0 ⇒ sen α = 0º º Ë sen α = 0 ⇒ tan α = 0º º ∀α, β ¸ × sen α > sen β ¸ ÒØÓÒ × α > βº ¼º ∀α, β ¸ × cos α > cos β ¸ ÒØÓÒ × α > βº ½º ∀α, β ¸ × tan α > tan β ¸ ÒØÓÒ × α > βº ¾º ÆÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × ÙÑÔÐ ÕÙ sen2 α + cos α = 1º ¿º ÆÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × ÙÑÔÐ ÕÙ sen2 α + cos2 α = 1º ½¾¾
- 124. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× Ç × ÖÚ Ò Ò ×Ø Ù × ÙØ Ð Þ Ð ÒÓØ Ò csc = cosecº ½º ´ µ × Ö ¸ ¿ ÓÖÑ × ×Ø ÒØ ×¸ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ× Ò Ö Ò × 30o , 45o , 60o , 90o , 120o, 150o , 180o , 240o, 270o, 300o, 360o º ´ µ × Ö Ò Ö Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö Ò × π, 3π, π 3π 2, 2 º ¾º ÁÒ ÕÙ Ô Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ × x ∈ ʸ × Ø Ò Ò Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × ´ µ sen xcosx = 0º ´ µ cos x tan x = 0º ´ µ sen x = cos xº ´ µ sen x(1 − cos x) = 0º ¿º Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ¸ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B ÓÒ AB = 5¸ BC = 7º ´ µ Ø ÖÑ Ò Ð Ú ÐÓÖ AC º ´ µ Ë α × Ð Ò ÙÐÓ ×Ó Ó Ð Ú ÖØ A¸ Ð ÙÐ sen α Ý cos αº ´ µ Ë β × Ð Ò ÙÐÓ ×Ó Ó Ð Ú ÖØ C¸ Ð ÙÐ sen β Ý cos β º ´ µ Î Ö ÕÙ Ò ×Ø ×Ó ÕÙ sen α + cos α = sen β + cos2 β = 1º 2 2 2 ´ µ Î Ö ÕÙ ÕÙ sen α = cos β Ý ÕÙ cos α = sen β º ´µ Ð ÙÐ tan α Ý tan β º º Ð ÙÐ Ö ´ µ (sen(π/6) + cos(π/6))(sen(π/3) − cos(π/3)) sec(π/4)º ´ µ 1 2 cos(π/3) + 2 csc2 (π/6)º ´ µ cot2 (π/6) + 4 cos2 (π/4) + 3 sec2 (π/6)º ´ µ 3 tan2 (π/6) − 1 3 sen2 (π/3) − 1 2 csc2 (π/4) + 4 3 cos2 (π/6)º º Í× Ò Ó Ð Ó ÕÙ ∀x, sen2 x + cos2 x = 1¸ ÔÖÙ Ð × × Ù ÒØ × Ò¹ Ø × √ ´ µ sen x = 1 − cos2 xº ´ µ tan2 x + 1 = sec2 º ½¾¿
- 125. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð cos 2x + 1 ´ µ cos2 x = º ÁÒ Ò Ê Ù Ö ÕÙ cos(2x) = cos2 x − 2 2 sen xº 1 − cos 2x ´ µ sen2 x = º 2 2 tan x ´ µ sen 2x = º ÁÒ Ò Ê Ù Ö ÕÙ sen 2x = 2 sen x cos xº 1 + tan2 x 1 − tan2 x ´µ cos 2x = º 1 + tan2 x º ÈÖÙ Ð × × Ù ÒØ × ÒØ × sen x tanx sec x 2 cot x + 1 ´ µ + + = º cos x cotx csc x (cot x)2 sen3 α + cos3 α ´ µ + sen α cos α = 1º sen α + cos α ´ µ a ËÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ tan α = ¸ ÔÖÓ b 2 2 Ö ÕÙ a(cos α−sen α)+2b sen α cos α = aº ´ µ (sen α − csc α)2 + (cos α − sec α)2 = tan2 α + cot2 α − 1º º ÈÖÙ Ð × × Ù ÒØ × ÒØ × ´ µ sen2 x tan x + cos2 x cot x + 2 sen x cos x = tan x + cot xº ´ µ tan x + cot x = sec x cosec xº ´ µ sen 3x = 3 sen x − 4 sen3 xº ´ µ cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos xº 1 − cos x ´ µ (cosec x − cot x)2 = º 1 + cos x sen2 x sec2 − sec x tan x ´µ = º 1 + sen x cos2 x ½¾
- 126. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × È½º ´¿¼ Ñ Òºµ ÓÒ× Ö Ð ÙÒ Ò 1 + sen x f (x) = . 1 − cos x Ò Ù ÒØÖ ÓÑ ÒÓ¸ × ÒÓ׸ ÖÓ׸ Ô Ö ¸ Ô Ö Ó ÒÝ Ø Ú º Ⱦº ´ µ ´¿¼ Ñ Òºµ Ò Ù ÒØÖ ÐÓ× ÖÓ× Ð ÙÒ Ò f (x) = cos3 (x) + 1 sen3 (x) − 1 + sen(2x)º 2 ÁÒ Ò a − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )º 3 ´ µ ´¿¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ Ð ÒØ 1 1 − = cotg(2x). tg(3x) − tg(x) cotg(3x) − cotg(x) È¿º ´½¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ Ð × Ù ÒØ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ 1 x x sen x sec2 + cos x tan − sen x = 0. 2 2 2 È º´ µ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ∀β, γ ∈ Ê × ÙÑÔÐ Ò Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × ½º¹ ´½¼ Ñ Òºµ sen β sen γ = 1 2 (cos(β − γ) − cos(β + γ)) . ¾º¹ ´½¼ Ñ Òºµ cos β cos γ = 1 2 (sen(β + γ) + sen(β − γ)) . È º ´½ Ñ Òºµ ËÙÔÓÒ ÕÙ Ù×Ø ×Ø Ô Ö Ó ÙÒ ÐØÙÖ ×Ó Ö Ð Ò Ú Ð Ð Ñ Ö¸ Ñ Ö Ò Ó Ð ÓÖ ÞÓÒØ º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ð Ì ÖÖ × ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ó Rº Ð ÙÐ Ð ÒØ Ñ Ü Ñ Ð Ñ ØÖÓ× ÕÙ × ÔÓ× Ð Ú Ö¸ × Ö¸ Ð Ð Ö Ó Ð Ö Ó Ö ÙÒ Ö Ò ÕÙ × ÔÓ× Ð Ú Öº ½¾
- 127. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 7: TRIGONOMETRÍA Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö 5.9. Funciones trigonométricas inversas Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ È Ö ÕÙ ÙÒ ÙÒ Ò ÔÓ× ÙÒ Ò ÒÚ Ö× ¸ ×Ø × Ö ÔÖ Ñ ÖÓ Ý Ø Ú ¸ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × ÒÓØ ÓÒ ×º × Ö¸ Ô Ý Ø Ú ÒÝ Ø Ú Ð Ú Þº ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× ÓÒØ ÒÙ Ò¸ Ð × ÙÒ ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ × Ð × Ö Ô Ö ¹ × ÒÓ ×ÓÒ ÒÝ Ø Ú × Ò R¸ × Ñ ×¸ Ð × Ö ×Ø × ÓØ × Ø ÑÔÓ Ó ×ÓÒ Ô Ý Ø Ú ×¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× Ò Ð ÖÓ ÕÙ ×Ø × ÙÒ ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ × ÒÓ ×ÓÒ Ý Ø Ú × Ò Rº ÓÒØ ÒÙ Ò Ú ÑÓ× Ö Ò Ö Ø ÒØÓ Ð ÓÑ Ò Ó ÓÑÓ Ð Ó ÓÑ Ò Ó ×Ø × ÙÒ ÓÒ × Ô Ö × ÐÓ Ö Ö Ý Ø Ú Ý ÔÓ Ö Ò ÓÒØÖ ÖÐ × ÙÒ Ò ÒÚ Ö× º ÓÒ× Ö ÑÓ× f (x) = sen xº ÄÙ Ó ÁÑ f (x) = [−1, 1] = Ê ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÕÙ f (x) × ÙÒ ÙÒ Ò ÒÓ Ô Ý Ø Ú º Ê ×ØÖ Ò ÑÓ× Ð Ó ÓÑ Ò Ó Ó f (x) = [−1, 1] Ý ÓÒ ×ØÓ Ð ÙÒ Ò f (x) × Ô Ý Ø Ú º ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò ÒÓ × ÒÝ Ø Ú Ò Ê Ó ÕÙ ØÓÑ Ò Ò Ø × Ú × Ú ÐÓÖ Ð × Ö 2π Ô Ö ¸ Ú ÑÓ× Ö ×ØÖ Ò Ù Ö Ð ÓÑ Ò Óº Ð ÓÑ Ò Ó ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ× × Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [−π/2, +π/2] Ó ÕÙ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ f (x) ØÓÑ ×ÓÐÓ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ô Ö x Ý Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÑÔÓ Ñ ÒØ Ò ÑÓ× Ð Ô Ý Ø Ú ÓÒ Ð Ó ÓÑ Ò Ó Ö ×ØÖ Ò Ó Ò¹ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ º × Ð ÙÒ Ò f : [−π/2, π/2] → [−1, 1] Ø Ð ÕÙ f (x) = sen(x) × Ý Ø Ú Ý Ò ÓÒ× Ù Ò ÔÓ× ÒÚ Ö× ¸ Ð Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ò Ò º ´ Ö Ó× ÒÓµº ÄÐ Ñ ÑÓ× Ö Ó× ÒÓ Ð ÙÒ Ò ÒÚ Ö× f¸ × Ö arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2] Ø Ð ÕÙ y = arcsin x ⇐⇒ x = sen y Ë f (x) = cos xº ÄÙ Ó ÁÑ f (x) = [−1, 1] = Ê Ý ÓÑÓ Ú ÑÓ× ÒØ ¹ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÑÙ ×ØÖ ÒÓ Ô Ý Ø Ú º Ë Ù Ò Ó Ð Ô ×Ó ØÙ Ó Ô Ö × Ò¸ Ö ×ØÖ Ò ÑÓ× Ð Ó ÓÑ Ò Ó Ó f (x) = [−1, 1] Ý ÓÒ ×ØÓ ÐÓ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÙÒ Ò f (x) × Ô ¹ Ý Ø Ú º Ð Ù Ð ÕÙ × Ò¸ Ó× × 2π Ô Ö ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓ× ÒÝ Ø Ú Ò Rº Ö Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ×Ø Ú × × Ö ×ØÖ Ò Ð ÓÑ ¹ Ò Ó Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, +π] Ý ÕÙ × Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ð Ù Ð f (x) ØÓÑ ×ÓÐÓ ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö x Ø Ò Ò Ó × ÒÝ Ø Ú º × Ð ÙÒ Ò f : [0, π] → [−1, 1] Ø Ð ÕÙ f (x) = cos(x) × Ý Ø Ú Ý Ò ÓÒ× Ù Ò Ø Ò ÒÚ Ö× ¸ ÐÐ Ñ ½¾
- 128. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ò º ´ Ö Ó Ó× ÒÓµº ÄÐ Ñ ÑÓ× Ö Ó Ó× ÒÓ Ð ÙÒ Ò ÒÚ Ö¹ × f¸ Ó × arc cos : [−1, 1] → [0, π] Ø Ð ÕÙ y = arc cos x ⇐⇒ x = cos y Ë f (x) = tan xº ÄÙ Ó ÁÑ (tan x) = Ê ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × Ò × Ö Ó Ö ×ØÖ Ò Ö Ð Ó ÓÑ Ò Ó Ý Ð ÙÒ Ò f (x) × Ô Ý Ø Ú Ò Rº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð ÙÒ Ò¸ Ð× ÖÔ Ö ¸ ÒÓ × ÒÝ Ø Ú Ò Ê¸ ÐÙ Ó× Ö ×ØÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−π/2, π/2) Ô Ö ÐÓ Ö Ö ÒÝ Ø Ú º × Ð ÙÒ Ò f : (−π/2, π/2) → Ê Ø Ð ÕÙ f (x) = tan(x) × Ý Ø Ú Ý Ò ÓÒ× Ù Ò Ø Ò ÒÚ Ö× ¸ ÐÐ Ñ Ò Ò º½¼ ´ Ö ÓØ Ò ÒØ µº ÄÐ Ñ ÑÓ× Ö ÓØ Ò ÒØ Ð ÙÒ Ò ÒÚ Ö× f¸ Ó × arctan : Ê → (−π/2, π/2) Ø Ð ÕÙ y = arctan x ⇐⇒ x = tan y 5.9.1. Gráficos ÓÒØ ÒÙ Ò Ú ÑÓ× ÐÓ× Ö Ó× ×Ø × ÙÒ ÓÒ × 1.5 3 asin(x) acos(x) 1 2.5 0.5 2 0 1.5 -0.5 1 -1 0.5 -1.5 0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 ÓÖ Ð Ö Ó Ö Ø Ò 1.5 atan(x) 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 ½¾
- 129. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 5.10. Ecuaciones trigonométricas ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ð Þ Ö ÑÓ× Ð × ÙÒ ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ × Ù Ò Ó ×Ø × ×ÓÒ ÙØ Ð Þ × Ò Ù ÓÒ × Ý Ú Ö ÑÓ× ÓÑÓ Ò ÓÒØÖ ÖÐ × ×ÓÐÙ Òº ½º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ù Ò sen x = a ÓÒ a∈Ê µ |a| > 1 ⇒ ÒÓ Ü ×Ø ×ÓÐÙ Òº µ |a| ≤ 1¸ × Ð Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ Ò α ∈ [−π/2, π/2]¸ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ α = arcsin aº Ë Ò Ñ Ö Ó ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò sen ÒÓ × Ô Ý Ø Ú ¸ ×Ø ×ÓÐÙ Ò ÒÓ × Ò º Ä ×ÓÐÙ Ò Ò Ö Ð ×Ù Ð × Ö Ö× Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ x = kπ + (−1)k α ÓÒ k∈ º × ØÓÑ ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÓ× Ð × Ú ÐÓÖ × x Ð Ô Ö Ó × Òº ¾º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ù Ò cos x = a ÓÒ a∈Ê µ |a| > 1 ⇒ ÒÓ Ü ×Ø ×ÓÐÙ Òº µ |a| ≤ 1¸ × Ð Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ Ò α ∈ [0, π]¸ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹ α = arc cos aº Ë Ò Ñ Ö Ó ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò cos ÒÓ × Ô Ý Ø Ú ¸ ×Ø ×ÓÐÙ Ò ÒÓ × Ò º Ä ×ÓÐÙ Ò Ò Ö Ð ×Ù Ð × Ö Ö× Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ x = 2kπ ± α ÓÒ k∈ º × ØÓÑ ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÓ× Ð × Ú ÐÓÖ × x Ð Ô Ö Ó Ó׺ ¿º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ù Ò tan x = a ÓÒ a∈Ê ∀a ∈ ʸ × Ð Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ Ò α ∈ (−π/2, π/2)¸ ÕÙ ÓÖÖ ×¹ ÔÓÒ α = arctan aº Ë Ò Ñ Ö Ó ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò tan ÒÓ × Ô Ý Ø Ú ¸ ×Ø ÒÓ × Ð Ò ×ÓÐÙ Òº Ä ×ÓÐÙ Ò Ò Ö Ð ×Ù Ð × Ö Ö× Ò Ð Ù Ò x = kπ + α ÓÒ k∈ . ÓÒØ ÒÙ Ò Ú ÑÓ× Ú Ö ¿ ÑÔÐÓ× ÓÒ Ö ØÓ× ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÑÔÐÓ× ½º sen 2x + cos x = 0 ¾º 1 + sen x + cos x + sen 2x + cos 2x = 0 ¿º sen x + cos x = 1 ½¾
- 130. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÅÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ô ×Ó Ô ×Ó ÓÑÓ ÔÓ Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø × Ù ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ¹ ØÖ × ½µ sen 2x + cos x = 0 ⇐⇒ 2 sen x cos x + cos x = 0 ⇐⇒ cos x[2 sen x + 1] = 0 π π µ cos x = 0 ⇒ α = 2 ⇒ x = 2kπ ± 2 µ 2 sen x + 1 = 0 ⇐⇒ sen x = −1/2, α = − π 6 π x = kπ + (−1)k (− ) 6 π x = kπ − (−1)k 6 ¾µ 1 + sen x + cos x + sen 2x + cos 2x = 0 ⇔ 1 + sen x + cos x + 2 sen x + cos2 x − sen2 x = 0 ⇔ sen x + cos x + 2 sen x cos x + 2 cos2 x = 0 ⇔ [sen x + cos x] + 2 cos x[sen x + cos x] = 0 ⇔ [sen x + cos x][1 + 2 cos x] = 0 È Ö ÕÙ ×ØÓ × Ø Ò ¸ Ð ÙÒÓ× ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó× × Ø Ò Ö µ sen x + cos x = 0 ⇒ x = − cos x ⇒ tan = −1; α = − π 4 π x = kπ − 4 µ 1 + 2 cos x = 0 ⇐⇒ cos x = −1/2; α = 2π/3 2π x = 2kπ ± 3 ¿µ sen x + cos x = 1 √ √ √ 2 2 2 sen x( 2 )+ cos x( 2 ) = 2 sen x +π = 4 kπ + (−1)k π/4 ⇒ x = kπ + (−1)π/4 = π/4 ×Á k Ô Ö¸ x = 2kπ = 2nπ ×Á k ÑÔ Ö¸ x = kπ − π/2 = (2n − 1)π − π/2 ½¾
- 131. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 5.11. Aplicaciones en Triángulos 5.11.1. Teorema del seno ×Ø Ø ÓÖ Ñ ÒÓ× Ö Ú Ð Ö Ð Ö Ð Ò ÕÙ Ý ÒØÖ Ò ÙÐÓ Ý ×Ù Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ ÒØÖÓ Ù ÐÕÙ Ö ØÖ Ò ÙÐÓº Ç × ÖÚ ÑÓ× Ð ÙÖ × Ù ÒØ Ð ÙÖ × ÔÙ ÜØÖ Ö ×Ø ÒØ Ò ÓÖÑ Òº ÄÐ Ñ ÑÓ× h Ð ÐØÙÖ ÕÙ Ú × C ×Ø Ð AB º × ÓÑÓ Ý × ÑÓ׸ × Òβ = h/a º ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ú ÑÓ× ÕÙ × Òα = h/b¸ ÐÙ Ó h = b× Òα ¸ Ý × Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ× Ó Ø Ò ÑÓ× × Òβ = (b× Òα)/a × Òβ/b = × Òα/a Ë ØÙ ÑÓ× Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖÓ ×Ó Ô ÖÓ ×Ø Ú Þ Ó ÙÔ Ò Ó Ð Ò ÙÐÓ γ ÒØÓÒ × Ó Ø Ò ÑÓ× Ð Ö Ð Ò × Òα/a = × Òβ/b = × Òγ/c 5.11.2. Teorema del coseno ×Ø Ø ÓÖ Ñ × ÙÒ ÜÔ Ò× Ò Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ×¸ Ó ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ö Ð Ò ÒØÖ ÐÓ× Ð Ó× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ¸ Ô ÖÓ × Ò ÕÙ ×Ø × Ò × Ö Ñ ÒØ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓº Ç × ÖÚ ÑÓ× Ð ÙÖ ½¿¼
- 132. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ð ÙÖ Ú ÑÓ× ÐÓ × Ù ÒØ ×Ó ½ β = π/2¸ Ò ×Ø ×Ó Ú ÑÓ× ÕÙ × ÔÙ Ó ÙÔ Ö Ô Ø ÓÖ ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ a 2 + b 2 = c2 º ×Ó ¾ β = π/2¸ Ò ×Ø ×Ó Ó ÙÔ Ö ÑÓ× Ô Ø ÓÖ × Ô ÖÓ ÓÒ y 2 +x2 = 2 c ÓÒ y = b× Òγ ¸ Ý x = a − b Ó×γ º ÄÙ Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ c2 = b2 × Ò2 γ + a2 − 2ab Ó×γ + b2 Ó×2 γ = b2 (× Ò2 γ + Ó×2 γ) + a2 − 2ab Ó×γ = b2 + a2 − 2ab Ó×γ ½º Ë L : y = mx + n × Ð Ù Ò ÙÒ Ö Ø ¸ ÒØÓÒ × m = tan α ÓÒ α × Ð Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÒØÖ Ð Ö Ø Ý Ò OX º ¾º Ë L 1 : y = m1 x + n 1 Ý L 2 : y = m2 x + n 2 ×ÓÒ Ö Ø ×¸ ÒØÓÒ × Ð Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÒØÖ Ð × Ó× Ö Ø × ÔÙ Ð ÙÐ Ö× ÔÓÖ m1 = tan β Ý m2 = tan α tan α−tan β m2 −m1 tan γ = tan(α − β) = 1+tan α tan β = 1+m1 m2 Ì ÓÖ Ñ º¾ ´Ì ÓÖ Ñ Ð Ë ÒÓµº sen α sen β sen γ = = =k a b c Ì ÓÖ Ñ º¿ ´Ì ÓÖ Ñ Ð Ó× ÒÓµº c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ ½¿½
- 133. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × √ ½º sen α = 1 − cos2 α ¾º sen α = √ tan α 1+tan2 α ¿º sen α = 2 cos 2α º sen α = 2 tan α cos α−sec α º sen α = tan α csc α º cos α = √ 1 1+tan2 α º sen α = √ 1 1+cot2 α º cos α = tan α sen α º cos α = tan α csc α ½¼º tan α = sec α csc α ½½º cos α = √ cot α 1+cot2 α ½¾º tan α = 2 sen α cos α ½¿º sec α = 1 2 3 sen( 2 α) ½ º sen α = 1 csc α ½ º tan α = 1 cot α √ ½ º sen α = sec2 α−1 sec α ½ º cos α = 1 2 tan α csc α ½ º tan α = 3 sen 2α − cos α ½ º cos α = 1 sec α ¾¼º cos α = tan2 α ½¿¾
- 134. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð √ ¾½º tan α = sec2 α − 1 ¾¾º cot α = √ 1 sec2 α−1 ¾¿º sen α = cos α cot α ¾ º sec α = tan α sen α ¾ º sec α = csc α cot α ¾ º sen α = 1 csc α √ ¾ º cos α = csc2 α−1 csc α ¾ º tan α = √ 1 csc2 α−1 √ ¾ º cot α = csc2 α − 1 ¿¼º sec α = √ csc α csc2 α−1 ¿½º x= π 9 × ×ÓÐÙ Ò cos( 2π − x) = cos x 9 ¿¾º x= π 9 × ×ÓÐÙ Ò cos x = cos( π − x) 6 ¿¿º x= π 2 × ×ÓÐÙ Ò 2 sen x = 1 ¿ º x= π 6 × ×ÓÐÙ Ò 2 cos x = cot x ¿ º x= π 4 × ×ÓÐÙ Ò csc x = sec x ¿ º x=0 × ×ÓÐÙ Ò 3cos2 x + sen2 x = 3 ¿ º x=π × ×ÓÐÙ Ò 2sen2 x + senx = 0 ¿ º x = 2π × ×ÓÐÙ Ò cos x + 2sen2 x = 1 √ ¿ º x= π 2 × ×ÓÐÙ Ò cos x = 3 sen x ¼º x= π 4 × ×ÓÐÙ Ò sen x = cos x ½º Ð Ø ÓÖ Ñ Ð Ó× ÒÓ ÔÙ Ö Ù Ö× Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ × Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ¾º Ð Ø ÓÖ Ñ Ð × ÒÓ ÔÙ Ö Ù Ö× Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ × Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ¿º Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ð × ÒÓ × Ò × Ö Ó ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× × Ù Ó º Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ð Ó× ÒÓ × Ò × Ö Ó ÕÙ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× × Ù Ó º Ð Ø ÓÖ Ñ Ð × ÒÓ × ÔÐ Ð ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × × Ð × º Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ × × ÙÒ ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ð Ó× ÒÓº ½¿¿
- 135. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× Ç × ÖÚ Ò Ò ×Ø Ù × ÙØ Ð Þ Ð ÒÓØ Ò csc = cosecº ½º Ê ×Ù ÐÚ Ð × × Ù ÒØ × Ù ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ × ´ µ cos(2x) + cos(−x) = 0º ´ µ cos(x) = 2 tan(x) 1+tan2 (x) º √ ´ µ sen(x) + 2 = − sen(x)º ´ µ 2sen2 (x) − sen(x) − 1 = 0º ´ µ 1+sen(x) cos(x) + cos(x) 1+sen(x) = 4º ´µ csc(2x) − cot(2x) = tan(x)º ´ µ cos( x ) − sen( x )2 = 1 − sen(x)º 2 2 ´ µ cos(x) = 2 tan(x) 1+tan2 (x) º ¾º ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × ÒØ × ´ µ tan(α + β) = 1−tan α tanββ º tan α+tan ´ µ cos u + cos v = 2 cos( u−v ) cos( u+v )º 2 2 ´ µ cos u − cos v = −2 sen( u+v ) sen( u−v )º 2 2 ´ µ cos(x) = f (tan( x )) ´ Ò Ù ÒØÖ f µº 2 ´ µ sen(x) = f (tan( x )) ´ Ò Ù ÒØÖ f µº 2 ¿º ×ØÙ Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ ×¸ Ò Ò Ó ÓÑ Ò Ó¸ ÖÓ׸ Ô Ö Ó ¸ × ÒÓ׸ Ö Ñ ÒØÓ Ý Ö Ó ´ µ sec(x)º ´ µ cot(x)º ´ µ csc(x)º º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ò ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ó× a¸ b Ý c Ý Ò ÙÐÓ× ÓÔÙ ×ØÓ× α¸ b2 −c2 β¸ Ý γ × ÙÑÔÐ ÕÙ b cos(γ) − c cos(β) = a º º Ë Ò × Ø ÓÒÓ Ö Ð ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ù Ó Ò Ð Ð Ö ÙÒ ÖÖÓº È Ö ×ØÓ¸ × Ù Ò Ó× ÔÙÒØÓ× A Ý B ×Ó Ö Ð Ð Ö ´A Ñ × Ó ÕÙ Bµ ÙÒ ×Ø Ò dÝ ÓÐ Ò Ð × ÓÒ Ð × Ð Ö Óк ÄÓ× Ò ÙÐÓ× Ð Ú Ò × A Ý B ×Ø Ð ×Ô Ð Ö ÓÐ ×ÓÒ α Ý β¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ý Ð Ò ÙÐÓ Ò Ð Ò Ò Ð Ð Ö × γº Ð ÙÐ Ö Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ Ò ÙÒ Ò ÐÓ× ØÓ× α¸ β ¸ γ Ý dº ½¿
- 136. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ × Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ × Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ × Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ƚº ´¾¼ Ñ Òºµ Ê ×ÓÐÚ Ö Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ x sen 2x = cos . 2 3π Ö Ö Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × Ò Ð Ö ÙÐÓ ÓÑ ØÖ Ó Ý Ø ÖÑ Ò Ö × × 5 ×ÓÐÙ Òº Ⱦº ´ µ ´½¼ Ñ Òºµ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ cos α + cos β = 2 cos( α+β ) cos( α−β )º 2 2 ´ µ ´½ Ñ Òºµ ÍØ Ð Þ Ö ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö Ð Ù Ò 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 0º È¿º ´½ Ñ Òºµ Ê ×ÓÐÚ Ö Ð Ù Ò √ 3 cos x + sen x = 1. È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ò ÙÒ Ù Ö Ð Ø ÖÓ A¸ B ¸ C ¸ D ¸ ÓÒÓ ÑÓ× ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ABC ¸ BCD¸ α Ý β Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ñ × × × ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ ÐÓ× Ð Ó× AB ¸ BC Ý CD × ½º ÈÖÓ Ö ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ù ÖØÓ Ð Ó AD × Ù Ð 3 − 2 cos(α) − 2 cos(β) + 2 cos(α + β)º È º ÓÒ× Ö Ð × Ù ÒØ ÙÖ α a β d γ h b δ x ½¿
- 137. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ´½µ ´½¼ Ñ Òºµ Ò ÓÒØÖ Ö d Ò Ø ÖÑ ÒÓ× α¸ β Ý γº ´¾µ ´½¼ Ñ Òºµ Ò ÓÒØÖ Ö h Ò Ø ÖÑ ÒÓ× α¸ β Ý γº ´¿µ ´¾¼ Ñ Òºµ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ xº È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë ÕÙ Ö Ñ Ö Ð Ö Ó R ÙÒ ×Ø Ó ÓÖÑ Ö ÙÐ Ö¸ Ô Ö ÐÓ Ù Ð × ×ÔÓÒ Ð ×Ø Ò L ÒØÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A Ý B Ý ÐÓ× Ò ÙÐÓ× α¸ β ¸ γ ¸ δ ÒØÖ Ð × Ö Ø × Ø Ò ÒØ × Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÕÙ Ô × Ò ÔÓÖ A Ý B Ý Ð ØÖ ÞÓ AB ¸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º ÜÔÖ × R Ò Ø ÖÑ ÒÓ× L = AB Ý α¸ β ¸ γ ¸ δ º R O δ A α β γ B È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ä ÐØÙÖ H Ð ØÓÖÖ Ð ÙÖ × × ÓÒÓ º Ë ÓÒÓ Ò ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ð Ú Ò α Ý β Ñ Ó× × Ó× ÔÙÒØÓ× A Ý B Ð ×Ù ÐÓ¸ × Ô Ö Ó× ÔÓÖ ÙÒ ×Ø Ò L>0Ý ÓÖÑ Ò Ó ÓÒ Ð × Ð ØÓÖÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ γº Ë Ò Ó ÕÙ Ð ØÓÖÖ × Ú ÖØ Ð Ö ×Ô ØÓ Ð ×Ù ÐÓ¸ Ð ÙÐ H Ò Ø ÖÑ ÒÓ× L¸ α¸ β ¸ γ Ò ÐÓ× ×Ó× α > β ¸ α = β Ý α < βº ´ÆÓØ 0 < α < π¸ 0 2 < β < π ¸ −π < γ < π µº 2 H β α γ A L B ½¿
- 138. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 8: AXIOMA DEL SUPREMO Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 6. Acotamiento de subconjuntos de R Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × 6.1. Cota Superior e Inferior ÒÓØ ÓÒ ×º ÒØ × ÔÖ × ÒØ ÖÐ × Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ¸ Ü ÓÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÑÓ× ×ØÙ Ö ÙÒ × Ö Ò ÓÒ × ÕÙ × ÖÚ Ò Ô Ö ÓØ Ö ÓÒ ÙÒØÓ× ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × Ò Ö ÓÖ ×¸ Ñ Ü ÑÓ× Ý Ñ Ò ÑÓ׸ ×ÙÔÖ ÑÓ× Ò ÑÓ׺ Ò Ò º½ ´ ÓØ Ó ËÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ µº ÍÒ ÓÒ ÙÒØÓ A × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ × Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð M ÕÙ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ A¸ × Ö (∃M ∈ R) (∀x ∈ A) Ø Ð ÕÙ x ≤ M. ×Ø Ò Ñ ÖÓ M ¸ × Ð ÐÐ Ñ Ö ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A. Ç × ÖÚ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö Ð Ñ ÝÓÖ ÕÙ M¸ Ø Ñ Ò × Ö ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A. Ò Ò º¾ ´ ÓØ Ó ÁÒ Ö ÓÖÑ ÒØ µº ÍÒ ÓÒ ÙÒØÓ A × ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ × Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð m ÕÙ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ A¸ × Ö (∃m ∈ R) (∀x ∈ A) Ø Ð ÕÙ m ≤ x. ×Ø Ò Ñ ÖÓ m × Ð ÐÐ Ñ Ö ÓØ Ò Ö ÓÖ A. Ç × ÖÚ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö Ð Ñ ÒÓÖ ÕÙ m¸ Ø Ñ Ò × Ö ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ A. Ò Ò º¿º ÍÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ × ÓØ Óº ÑÔÐÓ× ½º A = (−∞, 5)º ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÙÒ ÓØ × 5¸ Ý ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð × ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × [5, ∞)º × ÆÓ Ý ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × m < 5¸ Ý ÕÙ × ÑÔÖ Ü ×Ø ε > 0 Ø Ð ÕÙ m+ǫ∈A Ý m < m + εº Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ × ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÙ × Ó ÙÒ Ö Ð m < 5¸ ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ Ô Ö m × Ö m − 1¸ Ô ÖÓ m − 1 ∈ A. ¾º A = [−1, 3] . ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð × ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × × Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [3, ∞)º Ð Ð × ÓØ × Ò Ö ÓÖ × × Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, −1] . ½¿
- 139. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò ÍÒ ÓÖÑ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÙÒ Ö Ð c × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ A¸ × ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò Ò Ò Ö Ð x>c Ô ÖØ Ò A. ÑÔÐÓ º½º A = x ∈ R : x2 ≤ 2 3 3 3 2 Î ÑÓ× × c = 2 × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Aº Ë x > 2, ÒØÓÒ × x2 > 2 = 9 4 > 2. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ x ∈ A. ×ØÓ ÕÙ / Ö Ö ÕÙ Ò Ò Ò Ö Ð Ñ ÝÓÖ ÕÙ 3 ×Ø Ö Ò A. 2 ÔÙ 6.1.1. Máximo y Mínimo Ò Ò º ´Å Ü ÑÓµº Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× Ñ Ü ÑÓ¸ × ÔÓ× ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓº Ò Ò º ´Å Ò ÑÓµº Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× Ñ Ò ÑÓ¸ × ÔÓ× ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓº Ç × ÖÚ Ò ×Ø × Ó× Ò ÓÒ × ÒÓ× Ò ÕÙ Ð Ñ Ü ÑÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ × Ð Ñ ÝÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ý ÕÙ Ð Ñ Ò ÑÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ × Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓº Ë Ð Ñ Ü ÑÓ Ü ×Ø ¸ ×Ø × Ò Óº ÄÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ Ð Ñ Ò ÑÓº ÑÔÐÓ º¾º ½º A = (−∞, 5) . ÆÓ ÔÓ× Ñ Ü ÑÓ¸ Ý ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ × Ð × ÓØ × ×ÙÔ Ö ÓÖ × × [5, ∞) Ý (−∞, 5] ∩ [5, ∞) = ∅º ¾º A = [−1, 3] . ÈÓ× ÓÑÓ Ñ Ò ÑÓ −1 Ý ÓÑÓ Ñ Ü ÑÓ 3. 6.1.2. Supremo e Infimo Ò Ò º ´ËÙÔÖ ÑÓµº Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓ¸ × Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð s ÕÙ × Ø × Ð × Ó× × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ × ½º s × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A. ¾º Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A × Ñ ÝÓÖ ÕÙ s. ÆÓØ Ò Ð ×ÙÔÖ ÑÓ A, × ÒÓØ ÔÓÖ sup A. Ò Ò º ´ Ò ÑÓµº Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× Ò ÑÓ¸ × Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð u ÕÙ × Ø × Ð × Ó× × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ × ½º u × ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ A. ¾º Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÓØ Ò Ö ÓÖ A × Ñ ÒÓÖ ÕÙ u. ÆÓØ Ò Ð Ò ÑÓ A, × ÒÓØ ÔÓÖ ´ A. ınf ½¿
- 140. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ º¿º ½º A = (−∞, 5) . Ì Ò ÓÑÓ ×ÙÔÖ ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ 5¸ Ý ÕÙ 5 × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ý Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A × Ö Ñ ÝÓÖ ÕÙ 5. ÆÓ Ø Ò Ò ÑÓ ÔÙ × ÒÓ ×Ø ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º ¾º A = [−1, 3] . ×Ø ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ý Ø Ò −1 ÓÑÓ Ò ÑÓ Ý 3 ÓÑÓ ×ÙÔÖ ÑÓ ´−1 × Ñ Ò ÑÓ Ý 3 × Ñ Ü ÑÓ µº 6.2. Características de intervalos Ê ×ÙÑ ÑÓ× ÓÖ Ð × Ö Ø Ö ×Ø × ÒØ Ö ÓÖ × Ò Ð ×Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ׸ Ó× a, b ∈ Ê ÓÒ a<b Ñ Ò Ñ Ü Ò ×ÙÔ [a, b] a b a b (a, b) ∄ ∄ a b [a, b) a ∄ a b (a, b] ∄ b a b (−∞, b] ∄ b ∄ b (−∞, b) ∄ ∄ ∄ b (a, ∞) ∄ ∄ a ∄ [a, ∞) a ∄ a ∄ ÉÙ ÔÖÓÔÙ ×ØÓ ÓÑÓ Ö Ó¸ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ð Ø Ð ÒØ Ö ÓÖº 6.3. Propiedades del supremo Ç × ÖÚ Ò Ë ÑÔÖ × Ø Ò Ö ÕÙ × Ð Ñ Ò ÑÓ m ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ A Ü ×Ø ÒØÓÒ × Ð Ò ÑÓ u A Ø Ñ Ò Ü ×Ø Ý ×ÓÒ Ù Ð ×º ×ØÓ × ÔÓÖ¹ ÕÙ ¸ Ð Ñ Ò ÑÓ m × ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ A Ý ÔÓÖ Ð Ò Ò Ò ÑÓ Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ m < u. ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸ ÓÑÓ m Ô ÖØ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ¸ ØÓ ÓØ Ò Ö ÓÖ × Ö Ñ ÒÓÖ Õ٠и Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ò ÑÓ u, × Ö u < m. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ m = u. ÄÓ Ñ ×ÑÓ × Ø Ò Ö Ô Ö Ñ Ü ÑÓ Ý ×ÙÔÖ ÑÓº ÈÖÓÔ × º Ë Ò A Ý B Ó× ÓÒ ÙÒØÓ׸ Ò ÑÓ× A+B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} Ý A · B = {x · y : x ∈ A, y ∈ B}¸ ÒØÓÒ × sup(A + B) = sup(A) + sup(B). sup(A · B) = sup(A) · sup(B). È Ö A, B ⊆ [0, ∞)º ÑÓ×ØÖ Òº Ë ÐÓ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ¸ Ð × ÙÒ ÕÙ Ö ÓÑÓ Ö Óº ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ð ÔÖÑ Ö ÔÖÓÔ ÑÓ×ØÖ Ò Ó Ð × Ó× × Ù Ð × ÕÙ ÒÓ× Ö Ò Ð Ù Ð º ÈÖ Ñ ÖÓ sup(A + B) ≤ sup(A) + sup(B) : ÍÒ Ð Ñ ÒØÓ A + B × × Ö ÓÑÓ x+y, Ý ×Ø Ò Ñ ÖÓ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ sup(A)+sup(B), ÔÙ × x ≤ sup(A) ½¿
- 141. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð y ≤ sup(B). ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ø Ò ÑÓ× ÕÙ sup(A) + sup(B) × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A + Bº Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÒØÓÒ × Ð ×ÙÔÖ ÑÓ A+B × Ö Ñ ÒÓÖ ÕÙ sup(A) + sup(B). ÄÙ Ó × Ø Ò Ð × Ù Ð sup(A + B) ≤ sup(A) + sup(B). Ë ÙÒ Ó sup(A + B) ≥ sup(A) + sup(B) : Ë ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x ∈ A y ∈ B, x + y ≤ sup(A + B), × Ö Ô Ö ØÓ Ó x ∈ A × Ø Ò x ≤ sup(A + B) − y, ÐÓ ÕÙ ÕÙ Ú Ð Ö ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó y ∈ B, × Ø Ò ÕÙ Ð Ö Ð sup(A + B) − y ¸ × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A. ÒØÓÒ × Ô Ö ØÓ Ó y ∈ B × Ø Ò ÕÙ sup(A) ≤ sup(A + B) − y. ÓÑÓ × Ô Ö ØÓ Ó y ∈ B, ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× y ≤ sup(A + B) − sup(A). ÄÙ Ó sup(B) ≤ sup(A + B) − sup(A). ÓÒ ÐÓ Ù Ð × Ø Ò Ð ÓØÖ × Ù Ð º 6.4. Axioma del Supremo Ò Ð Ô ÖØ ÒØ Ö ÓÖ Ú ÑÓ× ÕÙ Ý ÓÒ ÙÒØÓ× ÓØ Ó× ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÕÙ ÒÓ ÔÓ× Ò Ñ Ü ÑÓº Ò ×ØÓ× ×Ó× ÓÑÓ Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, 5) , Ð Ò ØÓ × Ö Ñ Ü ÑÓ Ö 5, Ô ÖÓ ×Ø ÒÓ Ô ÖØ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓº Ë Ò Ñ Ö Ó ÒÙ ×ØÖ ÒØÙ Ò ÒÓ× ÕÙ ØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ¹ Ñ ÒØ ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓº Ó¸ Ð Ò ÓÖÑ ÕÙ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓ Ô Ö × Ö¸ ÕÙ ÒÓ × ÓØ Óº Ë Ò Ñ Ö Ó ×Ø ÒØÙ Ò ÒÓ × ÔÙ Ù Ö Ð × ÔÖÓÔ × ÐÓ× Ö Ð ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Ö Ö ÓÑÓ Ü ÓÑ º Ü ÓÑ º ´ Ü ÓÑ Ð ËÙÔÖ ÑÓµ ܺ º ËÙÔÖ ÑÓ ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓ× ÙÒ ×ÙÔÖ ÑÓº Ç × ÖÚ Ò Ë ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓ× Ò ÑÓº Ò ØÓ¸ ×Ø Ú Ö Ö ÕÙ ınf(A) = − sup(−A)º ´ ÆÓ × ÖØ Ð ÔÖÓÔ × × Ñ ×ÙÔÖ ÑÓ ÔÓÖ Ñ Ü ÑÓº Ò ØÓ (−∞, 5) ÒÓ Ø Ò Ñ Ü ÑÓ Ô ÖÓ × ×ÙÔÖ ÑÓº 6.5. Aplicaciones del Axioma de Supremo ÔÐ Ò ½ È Ö ÐÙ×ØÖ Ö ÙÒ Ð × ÔÐ ÓÒ × Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ¸ Ú ÑÓ× Ò Ö Ð Ô ÖØ ÒØ Ö ÙÒ Ö Ð x > 0. Ò Ò º ´È ÖØ ÒØ Ö µº Ä Ô ÖØ ÒØ Ö ÙÒ Ö Ð x > 0¸ × Ò Ö ÓÑÓ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {n ∈ N : n ≤ x} . ×ØÓ ×Ø Ò Ò Ó ÔÙ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ A × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ x Ý Ñ × 0 ∈ Aº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÓÖ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ A ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓº ×Ø ×ÙÔÖ ÑÓ × Ö ÒÓØ Ó ÔÓÖ [x] Ý × ÐÐ Ñ Ö Ò Ò Ö ÓÖ x Ó Ô ÖØ ÒØ Ö x. ½ ¼
- 142. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ º º Ä Ô ÖØ ÒØ Ö Ð Ö Ð 3, 5 × [3, 5] = 3. ÓÖ Ú ÑÓ× ÕÙ [x] × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ðº 1 ÓÑÓ [x] = sup(A), Ð Ö Ð [x] − , ÒÓ ÔÙ × Ö ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A. 2 1 ÄÙ Ó Ü ×Ø Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ n0 Ò A Ø Ð ÕÙ [x]− < n0 º ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ 2 ÓÑÓ [x] × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A × Ø Ò ÕÙ n0 ≤ [x] . Î ÑÓ× ÕÙ n0 × ÙÒ Aº ×ØÓ ÐÓ Ø Ò Ö ÑÓ× × ØÓ Ó Ò ØÙÖ Ð ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ n ÕÙ × Ñ ÝÓÖ n0 ¸ ÒÓ Ô ÖØ Ò ×ØÖ ØÓ ÕÙ A. 1 Ë n > n0 , × Ù ÕÙ n ≥ n0 + 1. È ÖÓ × ÑÓ× ÕÙ n0 + 1 > [x] + º 2 1 ÓÒ ×ØÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ n > [x] + 2 > [x]º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ n × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ A Ý ÒØÓÒ × n ∈ A. ÓÒ ×ØÓ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ n0 × ÙÒ ÓØ / ×ÙÔ Ö ÓÖ A. ÓÑÓ n0 ∈ A¸ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ × ÙÒ Ñ Ü ÑÓ Ý ÔÓÖ Ò × Ù Ð [x] . Ç × ÖÚ Ò ÍÒ ÓÒ× Ù Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ×ØÓ ÐØ ÑÓ × ÕÙ [x] ≤ x < [x] + 1. ÔÐ Ò ¾ ÇØÖ ÓÖÑ ÙØ Ð Þ Ö Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ × Ù Ö ÔÖÓÔ × Ö R. Ì ÓÖ Ñ º½º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × ÒÓ× ×ÓÒ ÓØ Ó× ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÑÓ×ØÖ Òº ÄÓ Ö ÑÓ× ÔÓÖ ÓÒØÖ Ò¸ × Ö¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ N × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ×ØÓ ÑÔÐ Ö ÔÓÖ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ ÕÙ N ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓ¸ Ð Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× sº È Ö ×Ø ×ÙÔÖ ÑÓ × Ø Ò Ö ÕÙ [s] ≤ s < [s] + 1, ÓÒ [s] + 1 ∈ N. ÄÓ Ù Ð ÓÒØÖ ÕÙ s × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ N. Ì ÓÖ Ñ º¾ ´ÈÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò µº Ð ÓÒ ÙÒØÓ R × ÖÕÙ Ñ ¹ ÒÓ¸ × Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó Ö Ð x > 0¸ Ü ×Ø ÙÒ Ò ØÙÖ Ð n ∈ N¸ Ø Ð ÕÙ n · x > 1. ÑÓ×ØÖ Òº ÄÓ Ö ÑÓ× ÔÓÖ ÓÒØÖ Ò¸ × Ö¸ × ÒÓ × ØÙÚ × Ð ÔÖÓÔ ¸ Ü ×Ø Ö ÙÒ Ö Ð ÔÓ× Ø ÚÓ xØ Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ {n · x : n ∈ N} ,× Ö L ÓØ Ó ÔÓÖ 1, × Ò Ó ÒÓ Ú Ó¸ Ø Ò Ö ÙÒ ×ÙÔÖ ÑÓ L. È ÖÓ ÒØÓÒ × x × Ö ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ò ØÙÖ Ð ×¸ ÐÓ Ù Ð ÓÒØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ö Ò Ú ×ØÓº Ç × ÖÚ Ò Ð ÐØ ÑÓ Ø ÓÖ Ñ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ ×ÙÑ Ö ÙÒ ÒØ ×Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ú × x ÓÒ× Ó Ñ ×ÑÓ ÓÖ Ò ÙÒ Ö Ð ÕÙ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ 1, × Ò ÑÔÓÖØ Ö ÕÙ Ø Ò Ô ÕÙ Ó × x. Ñ × Ð Ú ÐÓÖ 1 ÔÙ Ñ Ö× ÔÓÖ Ù ÐÕÙ Ö Ö Ð ÔÓ× Ø ÚÓº ½ ½
- 143. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ º º ınf 1 ´ n , n ∈ Æ = 0º Ë ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ×ØÓ ÒÓ × ÖØÓ¸ × Ö Ü ×Ø 1 m > 0 Ø Ð ÕÙ ∀n ∈ Æ, m ≤ nº ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò ¸ Ü ×Ø n0 ∈ Æ Ø Ð ÕÙ mn0 > 1¸ ÐÓ Ù Ð 1 ÕÙ Ú Ð m> n0 º ÄÓ Ù Ð × ÙÒ ÓÒØÖ Òº Ì ÓÖ Ñ º¿ ´∗µº ÄÓ× Ö ÓÒ Ð × ×ÓÒ Ò×Ó× Ò ÐÓ× Ö Ð ×º ×ØÓ × Ò ÕÙ Ó× Ó× Ö Ð × x, y ÓÒ x < y, ÒØÓÒ × Ü ×Ø ÙÒ Ö ÓÒ Ð r Ø Ð ÕÙ x < r < y. x+y ÑÓ×ØÖ Òº ¹ Ë x y ×ÓÒ Ö ÓÒ Ð × ÔÓ ÑÓ× × Ó Ö r= 2 . ¹ Ë Ð ÙÒÓ ÐÐÓ× ÒÓ × Ö ÓÒ Ð Ò Ð Þ Ö ÑÓ× Ó× × ØÙ ÓÒ × ÈÖ Ñ ÖÓ¸ × y−x ≥ 1 y ÒÓ Ö ÓÒ Ð¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÓÒ × Ó Ö r = [y]º ÈÙ × × x ≤ y − 1 < r = [y] < y. Ë y × Ö ÑÓ× ÕÙ ÓÒ Ð¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× × Ó Ö r = [x] + 1, ÔÙ × Ò ×Ø ×Ó Ø Ò ÑÓ× x < [x] + 1 = r ≤ x + 1 < y º n Ë ÙÒ Ó¸ × y−x<1 ÓÒ y ÒÓ Ö ÓÒ Ð¸ ÔÓ ÑÓ× Ò Ö r= m ¸ ÓÒ 1 m= y−x + 1 Ý n = [my] . Ë r × Ø × Ð ÔÖÓÔ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ×Ø Ð Ò Ó Ð × Ù ÒØ × Ö Ð ÓÒ × my − mx > 1 ´× Ó Ø Ò 1 m> y−x µ n + 1 > my ¸ ÒØÓÒ × my > n > mx ´y ÒÓ × Ö ÓÒ Ðµº ÔÐ Ò ¿ ÇØÖ ÔÐ Ò × Ó ÙÔ Ö Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ ÓÑÓ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ò Ñ ÖÓ׺ Î ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ö ÓÖ × Ô Ö Ò Ö Ð Ö Þ Ù Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓº Ù× Ö ÑÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ s>0 Ø Ð ÕÙ s2 = 2. 2 ÓÒ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = r ∈ R : r ≤ 2 . Ö ÑÓ× ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ú ÑÓ× ÕÙ 3 ÕÙ A × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ ¸ Ñ × A × ÒÓ Ú Ó ÔÙ × 0 ∈ A. 2 ÈÓÖ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ A ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓº ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× 2 2 ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö ÕÙ s < 2¸ Ò Ø ÑÔÓ Ó ÕÙ s > 2. ÆÓ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö ÕÙ s2 < 2 ÈÖÓ ÑÓ× ÕÙ × s2 < 2 ¸ ÒØÓÒ × ∃ε ∈ (0, 1) Ø Ð ÕÙ (s + ε)2 < 2º Ò ØÓ (s + ε)2 = s2 + 2sε + ε2 ≤ s2 + (2s + 1)ε ½ ¾
- 144. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ë × × Ó ε Ø Ð ÕÙ s2 + (2s + 1)ε < 2 × Ö ÔÖÓ Ó Ð ÔÖÓÔ º 2−s2 ×Ø Ô Ö ÐÐÓ ØÓÑ Ö ε= 2(2s+1) º ÄÙ Ó (s + ε)2 < 2¸ ÐÓ Ù Ð ÑÔÐ ÕÙ s + ε ∈ Aº ÄÓ Ù Ð ÓÒØÖ ÕÙ s × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ¸ Ý ÕÙ s + ε > sº ÄÙ Ó¸ ÒÓ ÔÙ × Ö ÕÙ 2 s < 2º ÆÓ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö ÕÙ s2 > 2 Ë ÔÖÙ ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A Ñ ÒÓÖ ÕÙ s¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ× Ö ÙÒ ÓÒØÖ Ò ÔÙ × s ÒÓ × Ö Ð Ñ ÒÓÖ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ aº ×ØÓ × ÔÙ Ö Ö Ð Þ Ò Ó ÙÒ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ × Ñ Ð Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ 2 ÐÐ Ò Ó ÕÙ (∃ε ∈ (0, 1)) (s − ε) > 2, ÐÓ Ù Ð ÑÔÐ ÕÙ s−ε × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A Ñ ÒÓÖ ÕÙ s. Ò ÐÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ s2 = 2 º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÓ ÑÓ× Ò Ö ÐÓ × Ù ÒØ Ò Ò º ´Ê Þ Ù Ö ¾µº √ 2 = sup r ∈ R : r2 ≤ 2 . √ √ ÓÖ Ú Ö ÑÓ× ÕÙ 2 ∈ R Q, × Ö Ú ÑÓ× ÕÙ 2 ∈ Q. / √ √ ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ 2 ∈ Q¸ ÒØÓÒ × Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ 2 = p ¸ ÓÒ p, q ∈ N q Ý Ð Ö Ò × ÖÖ Ù Ø Ð ´p Ý q ÒÓ Ø Ò Ò ØÓÖ × ÒØ ÖÓ× ÓÑÙÒ ×µº ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ p Ó q × ÑÔ Ö¸ × ÒÓ Ø Ò Ö Ò Ð Ò Ñ ÖÓ 2 ÓÑÓ ØÓÖ ÓÑ Òº √ p p 2 ÄÙ Ó 2= q ÕÙ Ú Ð q =2 ´ÔÓÖ Ð Ò Ò Ö Þ Ù Ö µº 2 2 2 ÒØÓÒ × p = 2q , ÐÓ Ù Ð ÑÔÐ ÕÙ p × Ô Ö¸ ÐÙ Ó p × Ô Öº Ò ØÓ × p Ù × ÑÔ Ö p = 2m + 1, ÒØÓÒ × p2 = 4m2 + 4m + 1¸ Ð Ù Ð × ÑÔ Ö¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ ÔÙ × Öº ÒØÓÒ × ×p × Ô Ö¸ ÐÓ ÔÓ ÑÓ× × Ö Ö p = 2k ¸ ÓÒ k ∈ N. ÄÙ Ó p2 = 4k = 2q√ ⇒ q 2 = 2k 2 ⇒ q × 2 2 Ô Ö, ÐÓ Ù Ð ÑÓ× ÕÙ ÒÓ ÔÓ × Öº ÒØÓÒ × 2 ∈ Q. / ÜØ Ò× ÓÒ × ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ Ô ÖÑ Ø Ò Ö ÐÓ × Ù ÒØ Ò Ò º½¼ ´Ê Þ Ù Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ× Ø ÚÓµº √ x = sup r ∈ R : r2 ≤ x . Ñ Ò Ö Ñ × Ò Ö Ð Ò Ò º½½ ´Ê Þ n¹ × Ñ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ× Ø ÚÓµº √ n x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} . Ç × ÖÚ Ò Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ Ð Ö Ò ÒØÖ R Ý Q. ½ ¿
- 145. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 6.6. Números irracionales Ç × ÖÚ Ò ÊÉ × ÒÓÑ Ò Á Ý × ÐÐ Ñ Ò ÖÖ ÓÒ Ð ×º Ä × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ÕÙ Ò ÔÖÓÔÙ ×Ø × ÓÑÓ Ö Ó׺ ÈÖÓÔ × º x, y ∈ É ⇒ x ± y ∈ ɺ x ∈ ɸ y ∈ Á ⇒ x + y ∈ Á. x ∈ É∗ , y ∈ Á ⇒ x · y ∈ Á. Ð Ø ÓÖ Ñ (∗)¸ ÔÙ ÜØ Ò Ö× Á ÈÖÓÔÓ× Ò º½º ∀x, y ∈ É, x < y, ∃i ∈ Á, x < i < y. ÑÓ×ØÖ Òº Ë ÑÓ׸ ÔÓÖ (∗) ÕÙ ∃p, q ∈ É, x < q < p < y. ÓÒ ×ØÓ Ò ÑÓ× √ 3 i=q+ (p − q), 2 ÕÙ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ Ô ÖØ Ò Áº ½
- 146. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º Ð Ñ Ü ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ {0, 1} × ½º ¾º Ð Ñ Ò ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ {0, 1} × ½º ¿º È Ö ØÓ Ó Ô Ö Ö Ð × a Ý b¸ ÓÒ a < b¸ Ð Ñ Ü ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ [a, b) × bº º È Ö ØÓ Ó Ô Ö Ö Ð × a Ý b¸ ÓÒ a < b¸ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ [a, b) × bº º È Ö ØÓ Ó Ô Ö Ö Ð × a Ý b¸ ÓÒ a < b¸ Ð Ñ Ò ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ (a, b) × aº º È Ö ØÓ Ó Ö Ð a¸ Ð Ò ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ [a, ∞) × aº º ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓ º ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓ× Ñ Ü ÑÓº º ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓ× Ò ÑÓº ½¼º ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓ× Ñ Ò ÑÓº ½½º ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓº ½¾º ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ÔÓ× Ñ Ü ÑÓº ½¿º ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓº ½ º ÌÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓØ Ó ÔÓ× Ò ÑÓº ½ º 1 × Ð ×ÙÔÖ ÑÓ (1, ∞) ½ º −1 × Ð Ñ Ü ÑÓ (−2, −1)º ½ º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × ×ÓÒ ÓØ Ó× Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º ½ º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ×ÓÒ ÓØ Ó׺ ½
- 147. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ö Ð × x<y Ü ×Ø ÙÒ ÒØ ÖÓ q Ø Ð ÕÙ x< q < yº ¾¼º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ö Ð × x < y Ü ×Ø ÙÒ Ö ÓÒ Ð q Ø Ð ÕÙ x < q < yº ¾½º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ö Ð × x < y Ü ×Ø ÙÒ ÖÖ ÓÒ Ð q Ø Ð ÕÙ x < q < yº ¾¾º È Ö Ù ÐÕÙ ÖÔ Ö Ö Ð × x<y Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð q Ø Ð ÕÙ x < q < yº ¾¿º Ë ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ A = ∅ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÒØÓÒ × × Ø × ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó M ∈ Ê Ü ×Ø ÙÒ x ∈ A ÓÒ M < xº ¾ º Ë ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ A = ∅ ÒÓ Ø Ò ×ÙÔÖ ÑÓ ÒØÓÒ × ÒÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º ¾ º È Ö s > 0 ÕÙ × Ø × s2 < 2 Ü ×Ø a>0Ø Ð ÕÙ (s+a)2 < 2º ¾ º È Ö s > 0 ÕÙ × Ø × s2 > 2 Ý a > 0 × ÙÑÔÐ 2 (s − a) > 2º ¾ º È Ö s > 0 ÕÙ × Ø × s2 < 2 Ý a > 0 × ÙÑÔÐ 2 (s + a) > 2º ¾ º È Ö s > 0 ÕÙ × Ø × s2 > 2 Ü ×Ø a>0Ø Ð ÕÙ (s−a)2 > 2º ¾ º È Ö s>0 Ü ×Ø n∈Æ Ø Ð ÕÙ sn > 1º ¿¼º È Ö s>0 Ý Ô Ö n∈Æ × ÙÑÔÐ sn > 1º ¿½º È Ö s>0 Ü ×Ø n ∈ Æ, n > 0 Ø Ð ÕÙ sn < 1º ¿¾º È Ö s>0 Ý Ô Ö n∈Æ × ÙÑÔÐ sn < 1º ¿¿º Ð ÓÒ ÙÒØÓ {x ∈ É : x2 ≤ 2} ÒÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ {x ∈ É : x2 ≤ 2} Ø Ò Ñ Ü ÑÓº ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ {x ∈ É : x2 ≤ 2} × ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º ¿ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ {x ∈ É : x2 ≤ 2} Ø Ò Ñ Ò ÑÓº ¿ º Ä ×ÙÑ Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö ÓÒ Ð × × ÑÔÖ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ðº ¿ º Ä ×ÙÑ Ó× Ò Ñ ÖÓ× ÖÖ ÓÒ Ð × × ÑÔÖ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ðº ¿ º Ä ×ÙÑ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ý ÓØÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð × ÑÔÖ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ðº ¼º Ä ×ÙÑ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ý ÓØÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð × ÑÔÖ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ðº ½
- 148. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½º Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö ÓÒ Ð × × ÑÔÖ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ó¹ Ò Ðº ¾º Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ó× Ò Ñ ÖÓ× ÖÖ ÓÒ Ð × × ÑÔÖ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ¹ ÓÒ Ðº ¿º Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ý ÓØÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð × ÑÔÖ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ðº º Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÒÓ ÒÙÐÓ Ý ÓØÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð × ÑÔÖ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ðº ½
- 149. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ m´ 1 ın{x, y} = 2 (x + y − |x − y|)º ¾º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ a 1 m´x{x, y} = 2 (x + y + |x − y|)º ¿º È Ö ÙÒÓ ÐÓ× × Ù ÒØ × ÓÒ ÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò ×Ù ÓØ Ñ ÒØÓ¸ Ð Ü ×Ø Ò Ò ÑÓ× Ý ×ÙÔÖ ÑÓ× Ý Ð Ü ×Ø Ò Ñ Ò ÑÓ× Ý Ñ Ü ÑÓ׺ ´ µ {x ∈ Ê : |x| ≥ a}º ´ µ {x ∈ Ê : |x2 + 3x| < 4}º ´ µ 1 {x ∈ Ê : x + x < 2}º ´ µ {x ∈ Ê : [x] < 2}¸ ÓÒ [x] × Ð Ô ÖØ ÒØ Ö xº ´ µ {x ∈ : x2 < 7}º ´µ {x ∈ : 2x > 2}º √ √ ´ µ A = É ∩ [− 2, 2)º ´ µ {x ∈ É : x2 ≤ x + 1}º ´µ 1 { n , n ∈ Æ∗ } º ´µ 1 {(−1)n + n : n ∈ Æ∗ }º ´ µ 1 1 {x ∈ Ê : ∃n ∈ Æ, x ∈ [1 − n , 1 + n ]}º ´Ðµ {x ∈ Ê : ∃n ∈ Æ, x · n > 1}º º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ [0, 1) ÒÓ Ø Ò Ñ Ü ÑÓº º Ë A ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ú Ó Êº Ë a ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖA Ý c ≥ 0º ÈÖÙ ÕÙ ca × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ {cx : x ∈ A} ´ÕÙ × ÒÓØ cAµº Ð ÙÐ sup(cA) Ò Ø ÖÑ ÒÓ× sup(A) Ý cº º Ë Ò AÝB ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú Ó× Ê+ º Ë a ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ A Ý b ÙÒ ÓØ Bº Ò Ö ÓÖ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ a + b × ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ {x+ y : x ∈ A, y ∈ B}¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ A+ B º Ð ÙÐ ´ ınf(A+ B) Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ´ınf(A) Ý ´ınf(B)º º Ë Ò A Ý B ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú Ó× Êº ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × a × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ A Ý b × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ B ÒØÓÒ × m´x{a, b} × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ a A B Ý m´ ın{a, b} × ÙÒ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A Bº Ð ÙÐ sup(A B) Ý sup(A ∩ B)¸ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× sup(A) Ý sup(B)º √ º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ 5 × ÖÖ ÓÒ Ðº ½
- 150. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ × Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ × Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ × Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ƚº ´½¼ Ñ Òºµ ÈÖÓ Ö ÕÙ ınf{ 1 ´ 2n+1 : n ∈ Æ} = 0º Ⱦº ´¿¼ Ñ Òºµ Ë f ÙÒ ÙÒ Ò Ö ÒØ ÙÝÓ ÓÑ Ò Ó × Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, 1]º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ f ([0, 1]) × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ð ÙÐ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ f ([0, 1]) Ý Ø ÖÑ Ò × ÔÓ× Ñ Ü ÑÓº È¿º ´¿¼ Ñ Òºµ a Ý b Ö Ð ×¸ Ó× ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ǫ>0 × ÙÑÔÐ a ≤ b + ǫ ÒØÓÒ ÕÙ × a ≤ bº È Ö Ö ÙÑ ÒØ Ö¸ ×ØÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ {ǫ > 0 : ǫ ≥ a − b}º È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò S Ý T ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú Ó× ÊØ Ð × ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x∈S Ý Ô Ö ØÓ Ó y ∈ T x ≤ y º ÈÖÓ Ö ÕÙ S Ø Ò ×ÙÔÖ ÑÓ¸ ÕÙ T Ø Ò Ò ÑÓ Ý ÕÙ sup(S) ≤ ´nf(T )º ı È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò AÝB ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ Ú Ó× Ê¸ ÐÓ× Ù Ð ×Ú Ö Ò Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ´ µ A ∪ B = ʺ ´ µ ÌÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ A × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ B ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð α ÕÙ × × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A Ý ÓØ Ò Ö ÓÖ Bº ÈÖÙ ¸ Ñ ×¸ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð α × Ò Óº È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò A, B C ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× Ý Ê ÒÓ Ú Ó× Ý ÓØ Ó׺ ÈÖÙ ÕÙ × Ô Ö x ∈ A Ý ØÓ Ó y ∈ B Ü ×Ø z ∈ C Ø Ð ØÓ Ó ÕÙ x+y ≤z ÒØÓÒ × sup(A) + sup(B) ≤ sup(C)º È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë A⊆Ê ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ý Ø Ð ÕÙ ×Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ × ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º ÅÙ ×ØÖ ÕÙ ınf(Ac ) = sup(A) ´ × Ý × ÐÓ × A = (−∞, a] Ó A = (−∞, a) ÓÒ a ∈ ʺ ½
- 151. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 9: SUCESIONES Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 7. Sucesiones Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × Ò Ò º½ ´ËÙ × Òµº ÍÒ ×Ù × Ò Ö Ð × ÙÒ ÙÒ Ò ÒÓØ ÓÒ ×º f :N → R n → f (n) Ç × ÖÚ Ò È Ö ×Ø Ò Ù Ö ÙÒ ×Ù × Ò Ð × Ñ × ÙÒ ÓÒ ×¸ × Ó ÙÔ Ö Ô Ö ÒÓØ Ö Ð × ×Ù × ÓÒ × Ð × Ð ØÖ × s¸u¸v ¸w¸a¸b¸c¸ Ø º Ò ÐÙ Ö f¸ Ñ ×Ð Ñ Ò n¸ × Ö¸ s(n) × ÒÓØ sn Ò ÓÖÑ ×Ù Ò Ðº Ò ÐÙ Ö × Ö Ö s:N → R n → sn ÒÓØ Ö ÑÓ× Ð ÙÒ Ð ×× Ù ÒØ × ÓÖÑ × (sn )¸ {sn }¸ (sn )n∈N ¸ {sn }n∈N ¸ {sn }∞ ¸ (sn )∞ º n=0 n=0 ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ × ÒÓØ ÐÓ × Ù ÒØ (sn ) = (s0 , s1 , s2 , · · · , sj , sj+1 , · · · ) ÓÒ j ∈ Nº Ä Ñ Ò n ∈ N¸ × Ö sn ¸ × ÐÐ Ñ Ø ÖÑ ÒÓ n Ð ×Ù × Òº ÔØ Ö ÑÓ× ÑÙ × Ú × ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò ÒÓ ×Ø Ò Ò Ó׸ Ó × ¸ ÙÒ ÓÒ × ÙÝÓ ÓÑ Ò Ó ÒÓ × Ü ¹ Ø Ñ ÒØ Nº ÑÔÐÓ× n2 +8 √ sn = n2 +5 +2 n (sn ) × Ð ×Ù × Ò Ò Ò ÓÖÑ Ö ÙÖ× Ú ÔÓÖ s 0 = 1 ¸ s1 = 1 ¸ sn+2 = sn+1 + sn . (sn ) × Ð ×Ù × Ò Ø Ð ÕÙ ×Ù Ø ÖÑ ÒÓ n × Ð Ò × ÑÓ Ñ Ð π ´π = 3, 141592654 . . .µ s0 ∃¸ s1 = 1¸ s2 = 4¸ s3 = 1¸ s4 = 5¸. . . √ sn = n 2 − 9 √ s0 ∃ s1 ∃¸ s2 = ∃¸ s3 = 0¸ s4 = 7¸ . . . ×Ø × ÙÒ ×Ù × Ò ÔÓÖÕÙ × ÐÓ ØÖ × Ø ÖÑ ÒÓ× ÒÓ ×Ø Ò Ò Ó׺ ½ ¼
- 152. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð sn = (−1)n (sn ) = (1, ∃, 1, ∃, 1, ∃, 1, . . .) ×Ø ÙÒ Ò ÒÓ ×Ø Ò Ô Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × n ÑÔ Ö Ý ×ØÓ ÒÓ × ÙÒ ÒØ Ò Ø Ø ÖÑ ÒÓ׺ × Ö¸ ÒÓ × ÙÒ ×Ù × Òº Ç × ÖÚ Ò Ä × ×Ù × ÓÒ × ÓÑÓ Ù ÐÕÙ Ö ÙÒ Ò ÔÙ Ò Ö Ö× Ò ÙÒ × ×Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó{OXY }º Ë Ò Ñ Ö Ó ×Ø Ñ ØÓ Ó × ÔÓ Ó ÙØ Ð Þ Ó Ý ÕÙ ×Ù× ÓÑ Ò Ó× ×ÓÒ × ÑÔÖ N ÕÙ × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ× ×Ð Ó׺ Ñ × ×Ø Ø ÔÓ Ö Ó ÒÓ ÔÖ × ÒØ ÒØ Ö × ÔÖ Ø Ó ÓÑÓ × Ú Ö Ñ × Ð ÒØ Ò Ð × ÔÐ ÓÒ ×º Ð Ø ÔÓ Ö Ó Ñ × ÙØ Ð Þ Ó ÓÒ× ×Ø Ò Ö Ö × ÐÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ñ Ò Ò ÙÒ Ö Ø ¸ Ò Ò Ó ×Ó Ö ÔÙÒØÓ Ð ÓÖ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ º 7.1. Convergencia de sucesiones Ò Ò º¾ ´ ÓÒÚ Ö Ò ´ Ò Ò Ò ÓÖÑ Ðµµº Ë (sn ) ÙÒ ×Ù¹ × Ò Ö Ð Ý × ℓ ∈ Rº Ö ÑÓ× ÕÙ (sn ) ÓÒÚ Ö ℓ¸ Ó Ò ÕÙ ÐÓ× Ø Ö¹ Ñ ÒÓ× sn Ø Ò Ò ℓ ´ÐÓ ÕÙ × ÒÓØ sn → ℓµ¸ × Ó Ù ÐÕÙ Ö ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó Ð Ø ÔÓ [ℓ − ε, ℓ + ε] ÓÒ ε > 0¸ × ÐÓ ÙÒ ÒØ ÒØ Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò ÕÙ Ò Ù Ö Ðº × Ö¸ ØÓ Ó Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× ×Ø ×Ù × Ò ×Ø Ò ÒØÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓº ÑÔÐÓ º½º 1 ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ×Ù × Ò (sn ) Ò ÔÓÖ sn = n ¸ × Ö (sn ) = ( ∃, 1, 1 , 1 , 2 3 1 1 1 4 , 5 , 6 , . . .)º × ÑÔÐ Ú ×Ø Ô Ö Ö ÕÙ Ð Ö Ö n¸ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × sn × Ô Ö Ò Ú Þ Ñ × 0º ×ØÓ ÒÓ× ØÖ × Ö × ×Ó×Ô × ÕÙ ×Ø ×Ù × Ò Ø Ò ℓ = 0º È Ö Ú Ö Ö ×ØÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× ε > 0 Ö ØÖ Ö Ó Ý Ò Ð ÑÓ× Ù Ð × Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò ÕÙ Ò ÒØÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0 − ε, 0 + ε] Ý Ù Ð × ÕÙ Ò Ù Ö º Î ÑÓ× ÕÙ sn ∈ [−ε, ε] ⇐⇒ −ε ≤ sn ≤ ε 1 ⇐⇒ −ε ≤ n ≤ ε 1 ⇐⇒ n ≤ ε ⇐⇒ n ≥ 1. ε Ä ÐØ Ñ × Ù Ð × Ú Ö ∀n¸ × ÐÚÓ Ô Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓº ÓÒ ×ØÓ¸ × Ð ÖÓ ÕÙ × ÐÓ ÙÒ ÒØ Ò Ø Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò ÕÙ Ò Ù Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [−ε, ε]¸ ÕÙ Ò Ó ØÓ Ó Ð Ö ×ØÓ ÒØÖÓ Ðº × ÑÔÓÖØ ÒØ Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ð Ñ ÕÙ ε × Ñ × Ý Ñ × Ô ÕÙ Ó¸ Ð Ò Ñ ÖÓ Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò ÕÙ ÕÙ Ò Ù Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [−ε, ε] × Ú Þ Ñ × Ö Ò ¸ × Ò Ñ Ö Ó × ÑÔÖ × Ö Ò ÙÒ ÒØ Ò Ø º ½ ½
- 153. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð È Ö ÓÖÑ Ð Þ Ö Ð Ò Ò Ò ÓÖÑ Ð ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ × Ü¹ ÔÐ Ø Ö ÕÙ × Ò ¸ Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ¸ ÕÙ × ÐÓ ÙÒ ÒØ Ò Ø Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò ÕÙ Ò Ù Ö [ℓ − ε, ℓ + ε] º ×ØÓ × × Ö ¹ Ò Ó ÕÙ Ô ÖØ Ö ÙÒ ÖØÓ Ø ÖÑ ÒÓ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÕÙ × Ù Ò ×Ø Ò ÒØÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓº × Ö¸ (∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) sn ∈ [ℓ − ε, ℓ + ε]. ÓÒ ×Ø ÓÒ× Ö Ò¸ Ð Ò Ò ÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò × Ð ÕÙ × Ù Ò Ò º¿ ´ ÓÒÚ Ö Ò µº Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù × Ò (sn ) ÓÒÚ Ö ℓÓ Ò ÕÙ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× sn Ø Ò Ò ℓ ´ÐÓ Ù Ð ÒÓØ Ö ÑÓ× sn → ℓµ × × ÙÑÔÐ ÕÙ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) sn ∈ [ℓ − ε, ℓ + ε]. Ç × ÖÚ Ò Ä × × Ù ÒØ × ÜÔÖ × ÓÒ × ×ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ð ÒØ Ö ÓÖ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) ℓ − ε ≤ sn ≤ ℓ + ε (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) |sn − ℓ| ≤ ε (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) |sn − ℓ| < ε (∀ε > 0)(∃n0 ∈ R)(∀n ≥ n0 ) |sn − ℓ| ≤ ε Ç × ÖÚ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ℓ − ε, ℓ + ε] ×Ù Ð ÐÐ Ñ Ö× Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ Ð ÌÓÔÓÐÓ ¸ Ú Ò Ò ØÓÖÒÓ ℓº ÄÙ Ó¸ Ö ÕÙ sn → ℓ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ÕÙ Ô ÖØ Ö ÖØÓ Ò ØÙÖ Ð n0 ´ × Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó n ≥ n0 µ¸ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× sn ×Ø Ò ØÓ Ó× ÒØÖÓ ×Ø Ú Ò Ò ØÓÖÒÓ ℓº Ð ØÓÖ |sn − ℓ| × Ð ×Ø Ò ÒØÖ sn Ý ℓ¸ ÐÙ Ó Ö ÕÙ sn → ℓ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ÕÙ Ô ÖØ Ö ÖØÓ n0 Ð ×Ø Ò ÒØÖ sn Ý ℓ × Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ εº ÓÑÓ ×ØÓ ÐØ ÑÓ Ó ÙÖÖ Ö ∀ε¸ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ Ù Ò Ó sn → ℓ ¸ Ð ×Ø Ò ÒØÖ sn Ý ℓ ÔÙ Ö× Ø Ò Ô ÕÙ ÓÑÓ × × º Ù Ò Ó ÙÒ ×Ù × Ò ÒÓ ÓÒÚ Ö Ö Ð Ð ÙÒÓ¸ × ÕÙ × ÙÒ ×Ù × Ò Ú Ö ÒØ º ÑÔÐÓ× ÈÖÓ Ö ÕÙ 1 n → 0ÈÓÖ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ 1 n0 ) | n − 0| ≤ ε. ½ ¾
- 154. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÓÑÓ 1 1 −0 ≤ε ⇐⇒ ≤ε n n 1 ⇐⇒ n≥ , ε 1 ×Ø ØÓÑ Ö n0 = ε + 1¸ Ý × Ø Ò Ö ÕÙ 1 n ≥ n0 ⇒ n ≥ . ε Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ò Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ø Ñ Ò ÔÙ Ó Ö× Ð Ó n0 = 1 + 1000 ´Ó Ð Ó × Ñ Ð Öµº ÆÓØ ÑÓ× ÒØÓÒ × ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ ε n0 ÒÓ × Ò Ó¸ Ý ÕÙ ØÓÑ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ú ÐÓÖ Ñ ÝÓÖ Õ٠и Ø Ñ Ò × Ø Ð Ô Ö Ð ÔÖÙ º × Ö¸ Ò Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÓÒÚ Ö Ò × ÐÓ ÑÓ× ÔÖÓ Ö Ð Ü ×Ø Ò Ð Ò n0 ¸ × Ò Ó ÕÙ Ö Ò ÓØÖÓ× ÕÙ Ø Ñ Ò ÔÙ Ò × Ö Ù× Ó׺ × ÔÓ× Ð Ö ÙÒ ÑÓ×ØÖ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö ÓÖ Ò Ó ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N) n0 ε > 1. ÆÓØ Ò Ó ÕÙ (∀n ≥ n0 ) × ÙÑÔÐ Ñ × ÕÙ nε ≥ n0 ε > 1¸ × Ö¸ nε > 1¸ Ð ÔÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò ÔÙ × Ö Ö× ¸ ÓÒÚ ¹ Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) nε > 1. ×Ø ÜÔÖ × Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÕÙ × ÑÓ× ÔÖÓ Öº ÈÖÓ Ö Ù× Ò Ó Ð Ò Ò ÕÙ ÒÓ × ÖØÓ ÕÙ 1 n →2 ÔÖÓ Ö× ÕÙ 1 ∼ [(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) − 2 ≤ ε], n × Ö 1 (∃ε > 0)(∀n0 ∈ N)(∃n ≥ n0 ) − 2 > ε. n 1 1 È ÖÓ n −2 =2− n ≥ 1, ∀n ∈ Nº 1 ÄÙ Ó ×Ø ØÓÑ Ö ε=2 ¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ó Ù ÐÕÙ Ö n 0 ∈ N¸ × × ØÓÑ n = n0 Ð ÔÖÓÔÓ× Ò × ÖØ º Ò Ð ÔÖ Ü ÑÓ Ì ÓÖ Ñ Ú Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ×Ø ÑÔÐÓ × Ñ × ½ ¿
- 155. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ö Ð¸ Ý ÕÙ × ÑÔÖ × ÙÑÔÐ ÕÙ Ù Ò Ó ÙÒ ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö ÙÒ Ö Ð ℓ, ÒÓ ÓÒÚ Ö ÓØÖÓ Ö Ð ×Ø ÒØÓº Ì ÓÖ Ñ º½º Ë (sn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÕÙ ÓÒÚ Ö ℓ1 ∈ R Ý Ø Ñ Ò ℓ2 ∈ R¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ ℓ1 = ℓ2 º ÑÓ×ØÖ Òº ÓÑÓ Ð ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö ℓ1 Ý Ø Ñ Ò ℓ2 ¸ × Ùѹ ÔÐ Ò × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ð × × Ù ÒØ × Ó× ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × (∀ε > 0)(∃n′ ∈ N)(∀n ≥ n′ ) |sn − ℓ1 | ≤ ε 0 0 Ý (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n′′ ) |sn − ℓ2 | ≤ ε. ′′ 0 ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ× ÔÙ ×ØÓ n′ 0 Ý n′′ 0 Ò Ð × Ó× Ö × × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ò ÐÙ Ö ÙÒ Ò Ó n0 Ô Ö Ñ ×º Ä Ö Þ Ò ×ØÓ × ÕÙ ÓÑÓ¸ Ò Ò Ö Ð¸ n0 Ô Ò Ð ×Ù × Ò¸ ε Ý Ð ÔÙÒØÓ Ð Ù Ð Ð ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö ¸ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ö × ¸ ÐÓ× n0 ÒÓ Ø Ò Ò ÔÓÖÕÙ × Ö Ù Ð × ÒØÖ × º Ó¸ × ×ÙÔÙ× Ö ÑÓ× ÔÖ ÓÖ ÕÙ Ð n0 × Ð Ñ ×ÑÓ¸ Ð ÑÓ×ØÖ Ò ÒÓ × Ö ÓÖÖ Ø º ÓÑÓ Ð × Ó× Ö × × ÒØ Ö ÓÖ × ×ÓÒ ØÓ׸ Ó ε>0 Ö ØÖ Ö Ó¸ × ØÓÑ ÑÓ× n0 = m´x{n′ , n′′ } a 0 0 × ÙÑÔÐ × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÕÙ (∀n ≥ n0 ) |sn − ℓ1 | ≤ ε ∧ |sn − ℓ2 | ≤ ε Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ ØÓÑ Ò Ó n = n0 , × Ù ÕÙ |ℓ1 − ℓ2 | = |ℓ1 − sn0 + sn0 − ℓ2 | ≤ |ℓ1 − sn0 | + |sn0 − ℓ2 | ≤ ε+ε = 2ε ℓ1 −ℓ2 × Ö ∀ε ∈ (0, ∞), 2 ≤ ε. |ℓ1 −ℓ2 | ×ØÓ ÐÓ ÔÓ ÑÓ× ÒØ ÖÔÖ Ø Ö¸ Ò Ó ÕÙ × ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ 2 (0, ∞)¸ ÙÝÓ Ò ÑÓ × 0º |ℓ1 −ℓ2 | ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ 2 ≤ 0. Ñ ×¸ × Ò × Ó ÕÙ |ℓ1 −ℓ2 | 2 ≥ 0º |ℓ1 −ℓ2 | ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ 2 = 0, × Ö¸ ÕÙ ℓ1 = ℓ2 º 7.2. Límite Ò Ò º ´ Ò Ò ÐÑØ ÙÒ ×Ù × Òµº Ë (sn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÕÙ ÓÒÚ Ö ℓ¸ ÒØÓÒ × ℓ × ÐÐ Ñ Ð Ñ Ø Ð ×Ù × Ò¸ ÐÓ Ù Ð × ÒÓØ Ö ℓ = l´ sn ım Ó Ò ℓ = l´ sn ım Ó Ò ℓ = l´ sn . ım n n→∞ ½
- 156. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò Ä ÔÖÓÔÓ× Ò ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ Ø ÙÒ ×Ù ¹ × Ò Ù Ò Ó Ü ×Ø ¸ × Ò Óº ÑÔÐÓ º¾º ÈÖÓ Ö ÕÙ ım( n+1 l´ 2n+3 ) = 1 2 ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ n+1 1 (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) − ≤ ε. ´ º½µ 2n + 3 2 È Ö Ö ×Ø ÑÓ×ØÖ Ò¸ ÓÑ Ò ÑÓ× ÒÓØ Ò Ó ÕÙ n+1 1 2n+2−(2n+3) 2n+3 − 2 = 2(2n+3) −1 = 4n+6 1 = 4n+6 1 ≤ 4n . Í× Ò Ó ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ÑÓ×ØÖ Ö ´ º½µ¸ ×Ø ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× Ò ÙÜ Ð Ö 1 (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) ≤ ε. 4n 1 Ò ØÓ¸ ×Ø ÐØ Ñ ÑÔÐ ´ º½µ Ý ÕÙ × 4n ≤ε ÒØÓÒ × ÔÓÖ n+1 1 Ð × ÖÖÓÐÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ø Ò Ö ÕÙ 2n+3 − 2 ≤ ε. Ä ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔÓ× Ò ÙÜ Ð Ö × ÑÙÝ Ð¸ Ý ÕÙ ×Ø ÓÒ ÙØ Ð Þ Ö Ð ÔÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò ¸ ÔÓÒ Ò Ó Ò ÐÐ 4ε Ò ÐÙ Ö εº ÑÔÐÓ º¿º √ ÈÖÓ Ö ÕÙ l´ ım 2+ 1 n = 2 ÕÙ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ 1 √ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) 2+ − 2 ≤ ε. n Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÓÑ Ò ÑÓ× ×ØÙ Ò Ó Ð ¹ Ö Ò ÒØÖ Ñ ÙÐÓº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ “√ √ ”“√ √ ” 1 √ 1 2+ n − 2 1 2+ n + 2 “√ 2+ n − 2 = 1 √ ” 2+ n + 2 1 = √ n 1 √ 2+ n + 2 1 ≤ √n 2 1 ≤ n. ½
- 157. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Í× Ò Ó ×Ø × ÖÖÓÐÐÓ¸ Ú ÑÓ× ÕÙ Ô Ö Ö Ð Þ Ö Ð ÑÓ×ØÖ Ò¸ ×Ø ÓÒ ×ØÙ Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× Ò ÙÜ Ð Ö 1 (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) ≤ ε. n ×Ø ÔÖÓÔÓ× Ò × ÖØ Ò Ú ÖØÙ Ð ÔÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò º 7.3. Álgebra de sucesiones nulas y acotadas Ò Ò º ´ Ò Ò ×Ù × Ò ÒÙÐ µº (sn ) × ÐÐ Ñ Ö ×Ù × Ò ÒÙÐ × sn → 0º Ê ÓÖ Ò Ó ÕÙ ÙÒ ×Ù × Ò × ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÙÒ ÓÑ Ò Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ð × × Ù ÒØ × Ò ÓÒ × ×ÓÒ ÙÒ ÔØ Ò Ð × Ò ÓÒ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹ ÒØ × Ý × Ô Ö Ð × ÙÒ ÓÒ × Ò Ò Ö Ðº Ò Ò º ´Ê Ù Ö Ó ×Ù × Ò ÓØ µº (sn ) × ÐÐ Ñ Ö ×Ù¹ × Ò ÓØ × (∃M > 0) (∀n ∈ N) |sn | ≤ M. Ò Ò º ´Ê Ù Ö Ó Ð Ð Ö ×Ù × ÓÒ ×µº Ë Ò (un ) Ý (vn ) ×Ù × ÓÒ × Ý × λ ∈ Rº Ë Ò Ò Ð × ÒÙ Ú × ×Ù × ÓÒ × (un + vn )¸(un − vn )¸(un · vn )¸(un /vn ) Ý (λun ) Ð ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð¸ × Ö (un + vn ) = (u0 + v0 , u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 , . . . , un + vn , . . .)º (un − vn ) = (u0 − v0 , u1 − v1 , u2 − v2 , u3 − v3 , . . . , un − vn , . . .)º (un · vn ) = (u0 · v0 , u1 · v1 , u2 · v2 , u3 · v3 , . . . , un · vn , . . .)º (un /vn ) = (u0 /v0 , u1 /v1 , u2 /v2 , u3 /v3 , . . . , un /vn , . . .)º Ç × ×Ø × ÙÒ ×Ù × Ò × ÐÓ Ù Ò Ó vn = 0 × ÐÓ Ô Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ø ÖÑ ÒÓ׺ (λun ) = (λu1 , λu2 , λu3 , . . . , λun , . . .)º Ì ÓÖ Ñ º¾º Ë Ò (un ), (vn ) ×Ù × ÓÒ ×º Ä × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ×ÓÒ ÖØ × ½º (un ) × ÒÙÐ × Ý × ÐÓ × (|un |) × ÒÙÐ º ¾º Ë (un ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ ÒØÓÒ × (un ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÓØ º ¿º Ë (un ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ Ý ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , |vn | ≤ un ÒØÓÒ × (vn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ½
- 158. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º Ë (un ) Ý (vn ) ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÒÙÐ × ÒØÓÒ × (un + vn ) Ý (un · vn ) ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÒÙР׺ º Ë (un ) Ý (vn ) ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÓØ × ÒØÓÒ × (un + vn ) Ý (un · vn ) ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÓØ ×º º Ë (un ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ Ý (vn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÓØ ÒØÓÒ × (un · vn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ÍÒ ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ×ØÓ × Ù Ò Ó vn = c ÓÒ×Ø ÒØ º ÑÔÐÓ º º 1 un = n →0 Ý vn = cos( nn n! n ) tan × ÓØ ¸ ÐÙ Ó 1 n cos( nn n! n ) → 0º tan ÑÓ×ØÖ Òº ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔ ½º ÉÙ (un ) Ý ÕÙ (|un |) × Ò ÒÙÐ × ÕÙ Ú Ð Ö Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) |un − 0| ≤ ε Ý (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) ||un | − 0| ≤ ε. Ä × ÕÙ Ð Ö Ñ ÒØ ×ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ×º ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔ ¾º ÓÑÓ (un ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ × Ø Ò ÕÙ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) |un | ≤ ε. ÄÙ Ó ØÓÑ Ò Ó ε = 1¸ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø n0 ∈ N ÑÓ Ó ÕÙ (∀n ≥ n0 ) |un | ≤ 1º ×Ø Ö × ÕÙ {un : n ≥ n0 } × ÓØ Óº È Ö ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò × ÓØ Ó¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö Ð M = m´x{|u1 |, |u2 |, . . . , |un0 |, 1}. a Ð Ö Ñ ÒØ ¸ × Ó Ø Ò ÕÙ (∀n ∈ N) |un | ≤ M ÐÓ ÕÙ × Ò ÕÙ (un ) × ÓØ º ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔ ¿º ÓÑÓ (un ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ × Ø Ò ÕÙ (∀ε > 0) (∃n′ ∈ N) (∀n ≥ n′ ) |un | ≤ ε. 0 0 Ñ × Ð ÓØ Ñ ÒØÓ Ð ÒÙÒ Ó ÕÙ ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , |vn | ≤ un . ½
- 159. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ′′ ÄÙ Ó¸ Ô Ö ØÓ Ó ε > 0¸ Ü ×Ø n0 = m´x {n0 , n′ } Ø Ð ÕÙ a 0 Ô Ö ØÓ Ó n≥ n′′ 0 × ÙÑÔÐ Ò × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÕÙ |vn | ≤ un ≤ ε. ÄÓ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ò Ò Ñ ×Ñ ÕÙ (vn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔ º Ë Ò (un ) Ý (vn ) ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÒÙР׸ × Ö (∀ε′ > 0) (∃n′ ∈ N) (∀n ≥ n′ ) |un | ≤ ε′ 0 0 Ý (∀ε′ > 0) (∃n′′ ∈ N) (∀n ≥ n′ ) |vn | ≤ ε′ . 0 0 ÌÓÑ Ò Ó n0 = m´x {n′ , no } a o ′′ Ù ÑÓ× ÕÙ × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ × ÙÑÔÐ ÕÙ (∀ε′ > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) |un | ≤ ε′ ∧|vn | ≤ ε′ . ′ ÓÑÓ ×Ø ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó ε > 0¸ ÔÓ ÑÓ× × Ó Ö Ú ÐÓÖ × ′ ÔÖÓÔ Ó× Ô Ö ε ÕÙ Ð Ø Ò Ð ÑÓ×ØÖ Òº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ò Ð ×Ó ×ÙÑ ×Ù × ÓÒ ×¸ Ó ε > 0 Ö ØÖ Ö Ó¸ ′ ε ØÓÑ Ö ÑÓ× ε = 2 ÑÓ Ó ÕÙ × ÙÑÔÐ ÕÙ ε ε (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) |un | ≤ ∧|vn | ≤ . 2 2 ÕÙ ¸ ×ÙÑ Ò Ó Ð × × Ù Ð × Ý ÓÒ× Ö Ò Ó ÕÙ |un + vn | ≤ |un | + |vn |, Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) |un + vn | ≤ ε, ÐÓ ÕÙ × Ò ÕÙ Ð ×Ù × Ò (un + vn ) × ÒÙÐ º Ò Ð ×Ó √ ÔÖÓ Ù ØÓ ×Ù × ÓÒ ×¸ Ó ε > 0 Ö ØÖ Ö Ó¸ ØÓÑ Ö ÑÓ× ′ ε = ε ÑÓ Ó ÕÙ × ÙÑÔÐ ÕÙ √ √ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) |un | ≤ ε ∧|vn | ≤ ε. ÕÙ ¸ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ð × × Ù Ð × Ý ÓÒ× Ö Ò Ó ÕÙ |un vn | = |un | · |vn |, Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n ≥ n0 ) |un vn | ≤ ε, ÐÓ ÕÙ × Ò ÕÙ Ð ×Ù × Ò (un · vn ) × ÒÙÐ º ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔ º ÓÑÓ (un ) Ý (vn ) ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÓØ × ÒØÓÒ × Ü ×Ø Ò M1 > 0 Ý M2 > 0 Ø Ð × ÕÙ (∀n ∈ N) |un | ≤ M1 ∧ |vn | ≤ M2 ÄÙ Ó¸ ×ÙÑ Ò Ó Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ð × × Ù Ð × × Ó Ø Ò ÕÙ (∀n ∈ N) |un + vn | ≤ |un | + |vn | ≤ M1 + M2 ½
- 160. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ý (∀n ∈ N) |un · vn | = |un | · |vn | ≤ M1 · M2 ÄÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð × ×Ù × ÓÒ × (un + vn ) Ý (un · vn ) ×ÓÒ ÓØ ×º ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔ º ÓÑÓ Ð ×Ù × Ò (vn ) × ÓØ ÒØÓÒ × Ü ×Ø M >0 Ø Ð ÕÙ (∀n ∈ N) |vn | ≤ M ÓÑÓ Ñ × (un ) × ÒÙÐ ÒØÓÒ ×¸ Ó ε>0 Ö ØÖ Ö Ó¸ Ü ×Ø n0 ∈ N Ø Ð ÕÙ ε (∀n ≥ n0 ) |un | ≤ M ÄÙ Ó (∀n ≥ n0 ), |un · vn | = |un | · |vn | ≤ ε¸ ÐÓ ÕÙ × Ò ÕÙ (un · vn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º 7.4. Álgebra de sucesiones convergentes È Ö ÔÖÓÚ Ö Ð Ð Ö ×Ù × ÓÒ × ÒÙÐ × Ô Ö ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö ÒØ × Ù ÐÕÙ Ö Ö Ð¸ Ù× ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× Ò ÈÖÓÔÓ× Ò º½º Ë (sn ) ÙÒ ×Ù × Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÒØÓÒ × sn → ℓ ⇐⇒ (sn − ℓ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ÑÓ×ØÖ Òº ×Ø ÓÒ Ñ Ö Ö Ð × Ù ÒØ Ò ÕÙ Ú Ð Ò × sn → ℓ ⇐⇒ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) |sn − ℓ| ≤ ε ⇐⇒ (sn − ℓ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ÈÖÓÔÓ× Ò º¾º Ë (sn ) ÙÒ ×Ù × Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º Ë (sn ) × ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓÒ × (sn ) × ÓØ º ÑÓ×ØÖ Òº Ë ℓ = l´ sn º ÓÑÓ sn → ℓ ım ÒØÓÒ × (sn − ℓ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ ¸ ÐÙ Ó (sn − ℓ) × ÓØ ¸ × Ö (∃M > 0)(∀n ∈ N)|sn − ℓ| ≤ M ÄÙ Ó (∀n ∈ N)|sn | = |sn − ℓ + ℓ| ≤ |sn − ℓ| + |ℓ| ≤ M + |ℓ| ÌÓÑ Ò Ó M ′ = M + |ℓ| > 0 × Ù ÕÙ (sn ) × ÓØ º ýÐ Ö Ð Ñ Ø × ÈÖÓÔÓ× Ò º¿ ´ýÐ Ö Ð Ñ Ø ×µº Ë Ò (un ) Ý (vn ) Ó× ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö ÒØ × u Ý v¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë λ ∈ R¸ ÒØÓÒ × Ð × ×Ù × ÓÒ × (un + vn )¸ (un − vn )¸ (un · vn ) Ý (λun ) ×ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÒÚ Ö ÒØ × u + v ¸ u − v ¸ u · v Ý λu¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º × Ö¸ × un → u Ý vn → v ÒØÓÒ × ½
- 161. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð l´ ım(un + vn ) = l´ un + l´ vn ım ım ım(un − vn ) = l´ un − l´ vn l´ ım ım ım(un · vn ) = l´ un · l´ vn l´ ım ım ım(λun ) = λ l´ un º l´ ım ÑÓ×ØÖ Òº À Ý ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ (un + vn ) → u + v º Ë wn = (un + vn ) − (u + v). Ê ÓÖ Ò Ò Ó¸ × Ð ÖÓ ÕÙ wn = (un − u) + (vn − v)¸ ÕÙ ÜÔÖ × ÓÑÓ Ð ×ÙÑ ×Ù × ÓÒ × ÒÙР׺ ÄÙ Ó × ÒÙÐ º ÓÒ ×ØÓ × ÔÖÓ Ó ÕÙ (un + vn ) → u + v º Ë ÔÖÓ Ö ÕÙ (un − vn ) → u − v Ë wn = (un − vn ) − (u − v)º × Ð ÖÓ ÕÙ wn = (un − u) − (vn − v) × Ð Ö Ò ×Ù × ÓÒ × ÒÙР׸ ÐÙ Ó × ÒÙÐ º ÓÒ ×ØÓ × ÔÖÓ Ó ÕÙ (un − vn ) → u − v º Ë ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ (un · vn ) → u · v º Ë wn = (un · vn ) − (u · v). Ê ÓÖ Ò Ò Ó × Ø Ò ÕÙ wn = un · vn − u · vn + u · vn − u · v = (un − u)vn + u(vn − v). Ç × (wn ) × ÙÒ ÓÑ Ò Ò ×Ù × ÓÒ × ÒÙÐ × Ý ÓØ ×¸ ÐÙ Ó × ÒÙÐ º ÓÒ ×ØÓ × ÔÖÓ Ó ÕÙ (un · vn ) → u · v º Ë ÔÖÓ Ö ÕÙ (λun ) → λuº ×Ø ÓÒ× Ö Ö Ð Ù Ð λ = vn , ∀n ∈ N¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð ×Ø ÔÖÓÔÓ¹ × Ò × ÙÒ ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ×Ó ÒØ Ö ÓÖº 7.4.1. Cuociente de Sucesiones ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ Ò Ð ÙÐ Ö× ÐÓ× Ð Ñ Ø × ×Ù × ÓÒ × ÓÖÑ × ÓÑÓ ×ÙÑ ×¸ Ö Ò ×¸ ÔÖÓ Ù ØÓ Ó ÔÓÒ Ö Ò ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö Ò¹ Ø ×º ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÙÐ Ö Ð Ð Ñ Ø ÙÒ ×Ù × Ò Ó Ø Ò ÓÑÓ Ð ÙÓ ÒØ ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö ÒØ ×º ÓÒ Ö ×Ô ØÓ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ò Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ×ÙÐØ Ó׺ ½ ¼
- 162. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÈÖÓÔÓ× Ò º º Ë (sn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ ÒØÓÒ × Ð ×Ù × Ò ¸ ( s1 ) n ×Ø Ö Ò Ò ¸ × ÒÓ ÓØ Ý Ò ÓÒ× Ù Ò ÒÓ × ÓÒÚ Ö ÒØ º ÑÓ×ØÖ Òº ÈÓÖ ÓÒØÖ Ò¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ( s1 ) n × ÓØ ¸ Ò¹ ØÓÒ × Ð ×Ù × Ò (vn ) Ò ÔÓÖ vn = sn · s1 × n Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ ÔÓÖ ÙÒ ÓØ º ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ (vn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ ¸ × Ö¸ vn → 0º 1 Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð Ö Ñ ÒØ ¸ vn = sn · sn = 1 × Ð ×Ù × Ò ÓÒ×Ø ÒØ ÕÙ ÓÒÚ Ö 1º ×ØÓ × ÙÒ ÓÒØÖ Ò¸ Ý ÕÙ 1 = 0º 1 ÄÙ Ó sn ÒÓ × ÙÒ ×Ù × Ò ÓØ º ÈÖÓÔÓ× Ò º º Ë (sn ) ÙÒ ×Ù × Ò Ö Ðº Ë (sn ) ÓÒÚ Ö ℓ = 0 ÒØÓÒ × ½º (∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ), sn Ø Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒÓ ℓ´ × Ö sn · ℓ > 0 µº ¾º Ä ×Ù × Ò ( s1 ) × ÓØ n º ÈÖÓÔÓ× Ò º ´Ä ×Ù × Ò ((−1)n ) ÒÓ ÓÒÚ Ö µº ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ × ÐÓ ¸ × Ö¸ ÕÙ Ü ×Ø ℓ Ø Ð ÕÙ (−1)n → ℓº Ë ℓ > 0 ÒØÓÒ ×¸ × ÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò ÔÓ Ö × Ö Ò Ø ÚÓº ×ØÓ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ý ÕÙ (−1)n = −1 Ô Ö ØÓ Ó n ÑÔ Öº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ × ℓ < 0 ÒØÓÒ × × ÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ø ÖÑ ÒÓ× ÔÓ Ö × Ö ÔÓ× Ø ÚÓº ×ØÓ Ø ÑÔÓ Ó × ÔÓ× Ð ÔÙ × (−1)n = 1 Ô Ö ØÓ Ó n Ô Öº ÆÓ× ÕÙ ÓÑÓ Ò ÔÓ× Ð ÕÙ ℓ = 0º Ò ×Ø ×Ó¸ × Ð Ú Ö ÕÙ Ô Ö ǫ = 1 ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ 2 Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò Ù Ö Ð ÒØ ÖÚ ¹ ÐÓ [−ǫ + 0, 0 + ǫ] × Ò Ò ØÓ¸ ÓÒØÖ Ò Ó Ð Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò º ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ô × Ö × Ö ÓØ Ð ×Ù × Ò (−1)n Ú Ö º ÑÓ×ØÖ Òº È Ö Ö ×¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ℓ > 0º ÉÙ sn → ℓ × Ò ÕÙ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) ℓ − ε ≤ sn ≤ ℓ + ε ℓ ÄÙ Ó ØÓÑ Ò Ó ε= 2 >0 × Ø Ò ÕÙ Ü ×Ø n0 ∈ N Ø Ð ÕÙ ℓ ℓ (∀n ≥ n0 ) ≤ sn ≤ 3 . 2 2 ℓ ÓÒ ×ØÓ × ÔÖÓ Ó ´½µ Ý ÕÙ 2 > 0. È Ö ÔÖÓ Ö ´¾µ × Ö ÑÓ× ÐÓ × Ù ÒØ 2 1 2 (∀n ≥ n0 ) ≤ ≤ 3ℓ sn ℓ 1 1 1 Ý ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö Ð M = m´x{| s1 |, | s2 |, . . . , | sn |}. a 0 1 1 ÓÒ ×ØÓ × Ð ÖÓ ÕÙ (∀n ∈ N) sn ≤ M¸ × Ö¸ Ð ×Ù × Ò( s n ) ×Ø Ò Ò Ý × ÓØ º ½ ½
- 163. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 7.4.2. Cuociente ÈÖÓÔÓ× Ò º º Ë Ò (un ) Ý (vn ) Ó× ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö ÒØ × u Ý v Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë v = 0¸ Ð ×Ù × Ò (un /vn ) × ÓÒÚ Ö ÒØ (u/v)º × Ö un l´ un ım l´ ım = . vn l´ vn ım ÑÓ×ØÖ Òº Î ÑÓ× ÕÙ un → u vn v un Ë wn = vn − u . v ÇÖ Ò Ò Ó ×Ø ÜÔÖ × Ò¸ × Ð ÖÓ ÕÙ un v − uvn 1 1 wn = = ( )( )[un v − uvn ]. vn v v vn 1 ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× Ò ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ù ÕÙ × ÙÒ ×Ù × ÓÒ ÓØ vn Ý ÔÓÖ Ð Ö × Ø Ò ÕÙ (un v − uvn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ ¸ ÐÙ Ó(wn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ÓÒ ×ØÓ × ÔÖÓ Ó Ð ÔÖÓÔÓ× Òº Ç × ÖÚ Ò Ë Ð ×Ù × Ò (vn ) × ÒÙÐ ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö× Ö ÒØ × ×Ó׸ Ô Ò Ò Ó Ù Ð × Ð ×Ù × Ò Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ (un )º Ð ÙÒÓ× ×Ó× ×ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ë (un ) ÓÒÚ Ö ℓ=0 ÒØÓÒ × (un /vn ) ÒÓ × ÓØ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ (vn /un ) × ÒÙÐ º Ë (un ) ×Ø Ñ Ò ÒÙÐ ¸ ÒÓ ÝÖ Ð Ô Ö Ð ÙÓ ÒØ º Ð ÙÒÓ× Ñ¹ ÔÐÓ× × Ò ÐÐÓ× ×ÓÒ 1 1 • Ë un = n Ý vn = n ÒØÓÒ × (un /vn ) ÓÒÚ Ö ℓ = 1º 1 1 • Ë un = n Ý vn = n2 ÒØÓÒ × (un /vn ) ÒÓ × ÓØ Ý ÐÙ Ó ÒÓ ÓÒÚ Ö º 1 1 • Ë un =n2 Ý vn = n ÒØÓÒ × (un /vn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º (−1)n 1 • Ë un = n Ý vn = n ÒØÓÒ × (un /vn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÓØ Ô ÖÓ ÒÓ ÓÒÚ Ö ÒØ º 7.5. Límites importantes (1) Í× Ò Ó ÐÓ× Ø ÓÖ Ñ × Ð Ö ×Ù × ÓÒ × × ÔÖÙ Ò ÐÑ ÒØ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ×ÙÐØ Ó׺ sn = a¸ Ô Ö a ∈ R¸ × Ø × l´ sn = aº ım ım 1 l´ n = 0º ım 1 l´ nk = 0¸ Ô Ö k ∈ Nº ½ ¾
- 164. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð k sn = n ¸ Ô Ö k ∈ N¸ ÒÓ × ÓØ ÐÙ Ó Ú Ö º ap np + ap−1 np−1 + · · · + a1 n + a0 sn = , bq nq + bq−1 nq−1 + · · · + b1 n + b0 Ô Ö p, q ∈ N ∪ {0}º • × p < q¸ ÒØÓÒ × sn → 0 ap • × p = q¸ ÒØÓÒ × sn → bq 1 • × p > q¸ ÒØÓÒ × sn → 0º ÒØÓÒ × (sn ) ÒÓ × ÓØ Ý ÐÙ Ó Ú Ö º ım n! l´ nn = 0º n l´ a = 0¸ ım n! Ô Ö a ∈ Rº ½ ¿
- 165. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × √ ½º ( 9 − n2 ) × ÙÒ ×Ù × Òº √ ¾º ( n2 − 4n − 1) × ÙÒ ×Ù × Òº ¿º ([ 1]) 1 × ÙÒ ×Ù × Òº n º 1 ([ n ]) × ÙÒ ×Ù × Òº º Ä Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò (an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó a>0 Ð ÓÒ ÙÒØÓ {n ∈ Æ : |an − l| > a} × Ò Ò ØÓº º Ä Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò (an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó a>0 Ð ÓÒ ÙÒØÓ {n ∈ Æ : |an − l| > a} × Ò ØÓº º Ä Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò (an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó a>0 Ü ×Ø b∈Æ Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n≥b × ÙÑÔÐ |an − l| ≤ aº º Ä Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò (an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó a>0 Ü ×Ø b∈Ê Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n≥b × ÙÑÔÐ |an − l| ≤ aº º Ä Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò (an ) l × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó a>0 Ð ÓÒ ÙÒØÓ {n ∈ Æ : |an − l| ≤ a} × Ò ØÓº ½¼º ÍÒ ×Ù × Ò (un ) Ú Ö × Ô Ö ØÓ Ó l ∈ Ê ÒÓ × ÖØÓ ÕÙ (un ) → lº ½½º Ä ×Ù × Ò 1 n ÓÒÚ Ö ¼º ½¾º Ä ×Ù × Ò 1 n ÒÓ ÓÒÚ Ö ½º ½¿º Ä ×Ù × Ò un = 2 ÓÒÚ Ö ¾º ½ º Ä ×Ù × Ò un = 0 ÓÒÚ Ö ¾º ½ º Ü ×Ø Ò ×Ù × ÓÒ × ÓÒ ØÓ Ó× ×Ù× Ø ÖÑ ÒÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× Ý ÙÝÓ Ð Ñ Ø × −1º ½ º Ë Ð ×Ù × Ò (un ) ÓÒÚ Ö l=1 ÒØÓÒ × Ð ×Ù × Ò 6un ÓÒÚ Ö º ½
- 166. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º Ë (un ) ÓÒÚ Ö ÖÓ Ý (vn ) ÓÒÚ Ö l = 0 ÒØÓÒ × (un vn ) ÓÒÚ Ö lº ½ º Ë p(n) Ý q(n) ×ÓÒ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× Ö Ó ½¼ Ý ½½¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ p(n) ÒØÓÒ × q(n) ÒÓ × ÓØ º ½ º Ë p(n) Ý q(n) ×ÓÒ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× Ö Ó ½¼½ Ý ½½¼¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ q(n) ÒØÓÒ × p(n) ÒÓ × ÓØ º ¾¼º Ë p(n) Ý q(n) ×ÓÒ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× Ö Ó ÒØÓÒ ×¸ p(n) q(n) ÓÒÚ Ö ¼º ¾½º ım n+1 l´ 2n+3 = 0º ¾¾º l´ ım 2+ 1 n = 1º ¾¿º n l´ sen(n ım n ) = 0º ¾ º Ä ×Ù × ÓÒ sen(n) n Ú Ö º ¾ º Ë Ò (un ) Ý (vn ) Ó× ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö ÒØ × a Ý b = 0¸ Ö ×Ô Ø ¹ v a Ú Ñ ÒØ º ÒØÓÒ × Ð ×Ù × Ò ( n ) ÓÒÚ Ö un b ¾ º Ð Ð Ñ Ø ÙÒ ×Ù × Ò Ù Ò Ó Ü ×Ø × Ò Óº ¾ º ÌÓ ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö ÒØ × ÓØ º ¾ º ÌÓ ×Ù × Ò ÓØ × ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾ º Ä ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö ÒØ × × ÓÒÚ Ö ÒØ º ¿¼º Ä ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö ÒØ × ÖÓ ×ÓÒ ×Ù ¹ × ÓÒ × ÒÙР׺ ¿½º Ä ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ×Ù × ÓÒ × ÓØ × ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÓØ ¹ ׺ ¿¾º Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ ×Ù × Ò ÓØ ÔÓÖ ÙÒ ÓÒÚ Ö ÒØ × ÓÒÚ Ö¹ ÒØ º ¿¿º Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ ×Ù × Ò ÓØ ÔÓÖ ÙÒ ÓÒÚ Ö ÒØ ÖÓ × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ¿ º ım(−1)n = 1º l´ ¿ º È Ö a ∈ ʸ Ð Ð Ñ Ø Ð ×Ù × Ò an n! =0 ¿ º È Ö a ∈ ʸ Ð ×Ù × Ò n! an × ÓØ º ¿ º È Ö ØÓ Ó Ô Ö ×Ù × ÓÒ × ÒÙÐ × (un ) Ý (vn )¸ Ð ×Ù × Ò un vn ÓÒÚ Ö ½º ½
- 167. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º ÓÒ× Ö Ð ×Ù × 1 an = n ÙÝÓ Ð Ñ Ø × l = 0º È Ö Ò 1 ǫ ∈ {1, 100 } Ò Ù ÒØÖ Ð Ò n0 ∈ Æ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n ≥ n0 × Ø × |an − l| ≤ ǫº 2 Ê Ô Ø Ð Ö Ó Ô Ö an = 2 − 1 Ý l = −1º n ¾º Í× Ð Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò ÙÒ ×Ù × Ò Ô Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð ×º µ ım 2n−5 l´ 2n−7 = 1º 2 µ l´ 3n2n +1 = ım 2 +6n+2 2 3º µ l´ cos(n!πx) = 1¸ Ô ım Ö x ∈ ɺ 1 µ l´ n(|x + ım n| − |x|) = −1¸ Ô Ö x < 0º a n µ l´ ım n b = 0º 1 µ l´ ım n = 0º ¿º Ð ÙÐ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø ×º µ ım 2n+4 l´ 3n+1 º 4 µ l´ 5n4n +2 º ım 5 −6n+1 µ l´ n−n +3 º 3 ım n3 +n−7 √ µ l´ nn2n−n+3 ım +n−7 ´ÔÙ Ù× Ö ¾´ µµº n µ l´ (−1) ım n º n n+1 µ l´ m´x{ (−1) , (−1) ım a n n }º n(−1)n µ l´ ım 1−(n+3)4 º µ l´ n−sen(n) º ım n2 −16 º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × l´ an = l ÒØÓÒ × l´ an+1 = l ¸ l´ an+2 = l ¸ ım ım ım l´ an−1 = l¸ l´ a2n = l Ý l´ a2n+1 = lº ım ım ım √ √ º √ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × an × ÙÒ ×Ù × Ò ÓÒ l´ an = l ÒØÓÒ × l´ ım ım an = lº Ë ×Ù Ö ÕÙ × Ô Ö ×Ù Ò Ð × × Ò ÐÓ× ×Ó× l = 0 Ý l > 0º Ò Ð ÔÖ ¹ Ñ ÖÓ ×Ó ÑÙ ×ØÖ Ð ÔÖÓÔ Ù× Ò Ó Ð Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò º ½
- 168. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð √ √ 1 √ Ò Ð × ÙÒ Ó ×Ó¸ × Ö an − l ÓÑÓ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ √ (a − l)¸ an + l n ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ ÒÓ × ÙÒ ×Ù × Ò ÓØ Ý ÒÓØ ÕÙ Ð × ÙÒ Ó × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º Ì ÖÑ Ò Ð Ò Ð × × ×Ø ×Ó Ù× Ò Ó Ð Ð Ö Ð Ñ Ø ×º ÈÓÖ ÕÙ Ö Ò × Ö Ó × Ô Ö Ö ÐÓ× ×Ó× l=0 Ý l>0 º º Ð ÙÐ Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø ×º √√ µ ım( n + n − n − n)º l´ √ √ √ µ ım( n + 1 − n) n + 3º l´ º Ë (un ) ÙÒ ×Ù × Ò ÕÙ Ú Ö (∃n0 )(∀ǫ > 0) n > n0 ⇒ |un − u| < ǫº ÈÖÓ Ö ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ø ÖÑ ÒÓ× ×Ø ÒØÓ× Ð ×Ù × Ò × Ò ØÓº ½
- 169. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × È½º ´½ Ñ Òºµ Ð ÙÐ Ö n 2 3 n + √ n cos( n ) + n! 2n+1 3−3n l´ ım (−1)n 2n 1 n! + n + n! 1− nn Ⱦº n a ´¿¼ Ñ Òºµ Ð ÙÐ l´ p(n) nn ¸ ım Ô Ö p(n) ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó k¸ k ∈ ƺ ÈÙ × Ö ÙØ Ð ÓÑ ÒÞ Ö ÓÒ× Ö Ò Ó Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó p(n) = nk Ý ÐÙ Ó ÙØ Ð Þ Ö Ð Ð Ö Ð Ñ Ø ×º È¿º ´¿¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × l´ nan ım Ü ×Ø l´ an = 0º ım ÒØÓÒ × √ È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë × × ÕÙ Ô Ö α Ý β ÔÓ× Ø ÚÓ× l´ n( n2 + n + 1 − ım (αn + β)) Ü ×Ø ¸ × Ô Ð ÙÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ α Ý β ¸ Ý ÐÙ Ó Ð Ú ÐÓÖ Ð Ð Ñ Ø º È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò (an ) Ý (bn ) Ø Ð ÕÙ l´ an = l ım Ý l´ bn = rº ım ÑÙ ×ØÖ ÕÙ l´ m´x{an , bn } = m´x{l, r}º ım a a È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë t : Æ → Æ ÙÒ ÙÒ Ò Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n¸ t(n) ≥ n Ý an ÙÒ ×Ù × Ò ÓÒ l´ an = l º ım ÑÙ ×ØÖ ÕÙ l´ at(n) = l º ım ½
- 170. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 10: SUCESIONES Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö 7.6. Límites y Orden. Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × Ì ÓÖ Ñ º¿º Ë Ò (un) Ý (wn ) ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö ÒØ × u Ý w¸ Ö ×Ô ¹ ÒÓØ ÓÒ ×º Ø Ú Ñ ÒØ º Ë ∃n0 Ø Ð ÕÙ Ô Ö n ≥ n0 × ÙÑÔÐ ÕÙ un ≤ wn ÒØÓÒ × u ≤ wº ÑÓ×ØÖ Òº Í× Ò Ó Ð Ð Ö Ð Ñ Ø × ÔÓ ÑÓ× ×ÙÔÓÒ Ö ÕÙ un = 0 Ý ÒØÓÒ × ÕÙ u = 0º Ë w < 0 ÒØÓÒ × Ô ÖØ Ö Ð Ò n0 ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×Ù × Ò (wn ) Ò × Ö ØÓ Ó× Ò Ø ÚÓ׸ ÐÓ ÕÙ × ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ô Ø × × Ð Ø ÓÖ Ñ º Ç × ÖÚ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ ÕÙ ÙÒ ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö ÒØ ÙÝÓ× Ø ÖÑ ¹ ÒÓ× ×ÓÒ ÔÓ× Ø ÚÓ׸ ÐÓ ÙÒ Ð Ñ Ø ℓ ≥ 0º Ê ÓÖ Ò Ó ÕÙ ım 1 l´ n = 0¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ñ Ö Ð ÓÒ ÐÙ× Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓÖ ℓ > 0º Ð Ø ÓÖ Ñ Ô ÖÑ Ø (un )¸ (vn ) Ý (wn ) ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÓÒÚ Ö¹ ÔÖÓ Ö ÕÙ × ÒØ × u¸ v Ý w¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ý¸ un ≤ vn ≤ wn ¸ ÒØÓÒ × u ≤ v ≤ wº Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ × u = w ÒØÓÒ × v = u = wº Ð ÔÖ Ü ÑÓ Ø ÓÖ Ñ Ö ÒØ Þ ×Ø Ñ ×Ñ ÓÒ ÐÙ× Ò¸ × Ò ×ÙÑ Ö ÕÙ Ð ×Ù × Ò (vn ) × ÓÒÚ Ö ÒØ º Ì ÓÖ Ñ º º Ë Ò (un )¸ (vn ) Ý (wn ) ×Ù × ÓÒ × Ö Ð ×º Ë (un ) Ý (wn ) ÓÒÚ Ö Ò Ð Ö Ð ℓ Ý Ñ × ∃n0 ∈ N Ø Ð ÕÙ ∀n ≥ n0 , un ≤ vn ≤ wn , ÒØÓÒ × Ð ×Ù × Ò (vn ) Ø Ñ Ò ÓÒÚ Ö Ý l´ vn = ℓº ım ÑÓ×ØÖ Òº Ð × Ö Ð × ×Ù × ÓÒ × (un ) Ý (wn ) ÓÒÚ Ö ÒØ × ℓØ Ò ÑÓ× ÕÙ (∀ε > 0) (∃n′ ∈ N) (∀n ≥ n′ ) |un − ℓ| ≤ ε 0 0 Ý (∀ε > 0) (∃n′′ ∈ N) (∀n ≥ n′ ) |wn − ℓ| ≤ ε. 0 0 È Ö ε>0 Ý n ≥ m´x {n′ , n′′ } a 0 0 × ÙÑÔÐ Ò × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ð × × Ù Ð¹ × −ε ≤ un − ℓ Ý wn − ℓ ≤ ε. ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ô Ö n ≥ m´x {n0 , n′ , n′′ } × ÙÑÔÐ ÕÙ un ≤ vn ≤ wn º a 0 0 ′ ′′ ×Ø ÑÓ Ó Ô Ö ØÓ Ó ε > 0 Ü ×Ø n0 = m´x {n0 , nn , n0 } ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ˆ a n ≥ n0 ˆ × Ø × −ε ≤ un − ℓ ≤ vn − ℓ ≤ wn − ℓ ≤ ε. ×ØÓ ÔÖÙ Ð ÓÒÚ Ö Ò (vn ) ℓº ½
- 171. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 7.7. Desigualdad de Bernoulli (I). ÈÖÓÔ ½¼ ´ × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´Áµµº Ä × Ù ÒØ ÔÖÓÔ ÓÒÓ ÓÑÓ × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ¸ ÒÓ× × Ö ÑÙÝ Ø Ð Ò Ð Ù×Ó Ð Ì ÓÖ Ñ ÐË Ò Û º (∀n ∈ N)(∀h > −1)(1 + h)n ≥ 1 + nh. ÑÓ×ØÖ Òº Ä ÔÖÓÔ × ÑÙ ×ØÖ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ö Ù¹ Ñ ÒØÓ Ò Ù Òº Ð Ö Ñ ÒØ Ð × Ù Ð × Ú Ð Ô Ö n = 0º Ë ÔØ ÑÓ× ÕÙ × ÖØ Ô Ö Ð Ò n ÒØÓÒ × Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ Ô Ö h > −1 × ÙÑÔÐ ÕÙ (1 + h)n ≥ 1 + nh. ÓÑÓ 1+h>0 ÔÓ ÑÓ× Ù Ö ÕÙ (1 + h)n (1 + h) ≥ (1 + nh) (1 + h) n+1 n Ë ÑÓ× ÕÙ (1 + h) = (1 + h) (1 + h) Ý ÕÙ (1 + nh) (1 + h) = 1 + (n + 1) h + nh2 º 2 ÒØÓÒ ×¸ ÓÑÓ nh ≥ 0¸ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ (∀h > −1), (1 + h)n+1 ≥ (1 + nh) (1 + h) = 1 + (n + 1) h + nh2 ≥ 1 + (n + 1) h 7.7.1. La sucesión (q n ), para q ∈ R. ÈÖÓÔ ½½º ½º l´ q n = 1¸ × q = 1º ım ¾º l´ q n = 0¸ × |q| < 1º ım ¿º l´ q n ÒÓ Ü ×Ø × q ∈ (−∞, −1] ∪ (1, ∞)º ım Ë Ù Ö ÑÓ× Ð Ò Ð × × ÔÓÖ ×Ó× ×Ó q ∈ (0, 1]º Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó¸ q = 1¸ × Ö ØÓº n È Ö Ð ×Ó q ∈ (0, 1) ÔÐ ÑÓ× Ð × Ù Ð (1 + h) ≥ 1 + nh¸ 1 1 ÓÒ h Ø Ð ÕÙ 1+h = q ¸ × Ö q = 1 + h¸ Ý ÒÓ× ÕÙ n 1 1 ≥1+n −1 . q q ÓÑÓ q ∈ (0, 1)¸ Ð × Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ ÑÔÐ Ð × × Ù Ð × 1 ≥ q n ≥ 0. 1 1+n q −1 ÐÐ Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð ÐØ Ñ × Ù Ð × ÙÒ ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö ÒØ ÖÓº ËÙ Ð Ó Ö Ó × Ð ×Ù × Ò ÓÒ×Ø ÒØ ÕÙ ÓÒÚ Ö ÖÓº n ÔÐ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ Ð Ë Ò Û ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ (q ) → 0º ½ ¼
- 172. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ×Ó q ∈ (−1, 1) Ê Ù ÑÓ× ×Ø ×Ó Ð ÒØ Ö ÓÖ Ó × ÖÚ Ò Ó ÕÙ × q ∈ (−1, 1) ÒØÓÒ × |q| ∈ [0, 1)º ÓÑÓ Ý Ú ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø × ØÙ Ò × ÙÑÔÐ ÕÙ n (|q| ) → 0, ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ (q n ) → 0º ×Ó q ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) n 1 1 È Ö q ∈ (−∞, −1)∪(1, ∞) Ð ×Ù × Ò q × ÒÙÐ ¸ ÔÙ × q ∈ (−1, 1)º Í× Ò Ó ÐÓ ÕÙ × ÑÓ× Ô Ö ÐÓ× Ö ÔÖÓ Ó× ×Ù × ÓÒ × ÒÙÐ × ÓÒ¹ n ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù × Ò (q ) Ú Ö º ×Ó q = −1 n ×Ø ×Ó × Ö ØÓ Ý ÕÙ × ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù × Ò (−1) ÒÓ ÓÒÚ Ö º ÑÔÐÓ× 1 n ÄÓ× × Ù ÒØ × ×Ó× ×ÓÒ Ô ÖØ ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ö ÓÖ × l´ ım 2 = 0¸ 3 n n l´ ım − 5 = 0¸ l´ 2n ÒÓ Ü ×Ø ım Ý l´ (−3) ım Ø ÑÔÓ Ó Ü ×Ø º 7.7.2. La sucesión (qn )n , para (qn ) → q, con |q| < 1. Í× Ò Ó Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ×ØÙ Ö Ð ×Ù × Ò ((qn )n ) Ù Ò Ó (qn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ð q ∈ (−1, 1)º Ò ØÓ¸ Ü ×Ø n0 ∈ N, Ø Ð ÕÙ ∀n ≥ n0 × ÙÑÔÐ ÕÙ |q| + 1 0 ≤ |qn | ≤ . 2 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð Ú Ò Ó Ð ÔÓØ Ò n × Ó Ø Ò ÕÙ n |q| + 1 0 ≤ |qn |n ≤ . 2 ÕÙ ¸ ØÓÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ¸ ÔÐ Ò Ó × Ò Û ×Ù × ÓÒ × Ý ÓÒ× Ö Ò Ó |q|+1 ÕÙ 2 ∈ (0, 1)¸ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ l´ |qn |n = 0. ım n→∞ 7.7.3. La sucesión (qn )n , para (qn ) → q, con |q| > 1. n ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ × |q| > 1¸ Ð ×Ù × Ò ((qn ) ) ÒÓ × ÓØ ¸Ý ÕÙ ×Ù Ö ÔÖÓ Ó ÓÒÚ Ö ÖÓº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ × ÙÒ ×Ù × Ò Ú Ö ÒØ º ÑÔÐÓ× ÄÓ× × Ù ÒØ × ×Ó× ×ÓÒ Ô ÖØ ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ö ÓÖ × n 1 1 n 1 n l´ ım 2 + n2 = 0¸ l´ım 2n+1 3n+5 = 0¸ l´ 2 − ım n2 ÒÓ Ü ×Ø Ý n 3n+2 l´ ım 1−n Ø ÑÔÓ Ó Ü ×Ø º ½ ½
- 173. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð √ 7.7.4. La sucesión ( a), para a ∈ (0, ∞) n √ ÈÖÓ Ö ÑÓ× ÕÙ ( n a) → 1 × Ô Ö Ò Ó Ð Ò Ð × × Ò ÐÓ× ×Ó× a > 1 Ý a ∈ (0, 1) Ð ×Ó a = 1 × Ú ÒØ º ×Ó a > 1º a−1 Ð ÔÐ Ö Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ÓÒ h= n × Ó Ø Ò º n a−1 (a − 1) 1+ ≥1+n = a. n n √ Í× Ò Ó Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ð ÙÒ Ò n x × Ó Ø Ò a−1 √ 1+ ≥ n a. n ÓÑÓ a>1 × ÐÓ Ö Ð ÓØ Ñ ÒØÓ a−1 √ 1+ ≥ n a ≥ 1, n ÓÒ Ð × ×Ù × ÓÒ × ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÓÒÚ Ö Ò 1. Í× Ò Ó Ð Ì ÓÖ ¹ Ñ Ð Ë Ò Û ¸ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ √ n a → 1. ×Ó a ∈ (0, 1)º ÓÑÓ √ n 1 a= n 1 a 1 1 Ý a > 1 ÔÓ ÑÓ× ÔÐ Ö Ð ×Ó ÒØ Ö ÓÖ Ý Ó Ø Ò Ö ÕÙ n a → 1 º √ÔÐ Ò Ó Ð Ð Ö Ð Ñ Ø × ×Ù × ÓÒ ×¸ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ l´ n a = 1º ım ÑÔÐÓ× 1 √n ÓÑÓ ÒØ ×¸ Ø Ò ÑÓ× ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó× l´ ım n 10 ım 1010 = 1º = 1 Ý l´ √ √ Ò Ð× Ù ÒØ Ò Ð × ×× ÜØ Ò Ö ÐÓ ÓÔ Ö ( n a) Ð ×Ó n a n 1 1 ÓÒ (an ) → a > 0º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ö ÑÓ× ÕÙ l´ ım n 10 + n2 = 1¸ 1 1 1 1 n8 −7n2 +1 n l´ ım n 1010 − n2 = 1¸ l´ 1 + ım n n =1 Ý l´ ım 3n8 +1 = 1º √ 7.7.5. La sucesión ( n an ), para (an ) → a > 0. √ Í× Ò Ó Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ×ØÙ Ö Ð ×Ù × Ò n an Ù Ò Ó (an ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ð a > 0º Ò ØÓ¸ Ü ×Ø n0 ∈ N, Ø Ð ÕÙ ∀n ≥ n0 × ÙÑÔÐ ÕÙ a 3a ≤ an ≤ . 2 2 ½ ¾
- 174. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ØÓÑ Ò Ó Ö Þ n¹ × Ñ × Ó Ø Ò ÕÙ n a √ n 3a ≤ n an ≤ . 2 2 ÕÙ ¸ ØÓÑ Ò Ó Ð Ñ Ø Ý ÔÐ Ò Ó × Ò Û ×Ù × ÓÒ ×¸ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ √ l´ ım n an = 1. n→∞ Ç × ÖÚ Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø ÑÔÐÓ¸ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ a > 0º 1 ûÉÙ Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó a = 0 º ÍÒ ÑÔÐÓ ×ØÓ × Ð ×Ù × Ò n n º Ì Ò Ö ÑÓ× ÕÙ ÔÓ×ÔÓÒ Ö Ð Ò Ð × × Ð ÓÒÚ Ö Ò ×Ø ×Ù × Ò¸ ×Ø × ÙØ Ö Ð Ú Ö ÒØ Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ÕÙ Ú Ö ÑÓ× ÓÒØ ÒÙ Òº 7.8. Desigualdad de Bernoulli (II). È Ö ÐÓ Ö Ö ×ØÙ Ö ÐÓ× ÔÖ Ü ÑÓ× ÑÔÐÓ× Ò × Ø Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ú ¹ Ö ÒØ Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ º ÈÖÓÔÓ× Ò º º n n (n − 1) 2 ∀n ∈ N ∀h > 0, (1 + h) ≥ 1 + nh + h 2 Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ 1 1 ∀n ∈ N ∀h > 0, ≤ . (1 + h)n 1 + nh + n(n−1) h2 2 ËÙ ÑÓ×ØÖ Ò × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ð Ö Ð Þ Ô Ö Ð × Ù Ð Ö¹ ÒÓÙÐÐ Ý ÕÙ ÓÑÓ Ö Óº √ 7.8.1. La sucesión ( n n). 2 À Ò Ó Ù×Ó Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´ÁÁµ¸ Ô Ö h= √ Ý n n>0 × Ó Ø Ò n 2 2 n (n − 1) 4 1+ √ ≥ 1 + n√ + ≥ 1 + 2 (n − 1) ≥ n n n 2 n ×Ø ÑÓ Ó¸ 2 √ 1+ √ ≥ nn≥1 n √ ÓÑÓ Ñ Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÓÒÚ Ö Ò ½¸ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ ( n n) → 1º Ç × ÖÚ Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÑÔÐ ÕÙ Ð ×Ù × Ò n 1 n → 1¸ ÐÓ ÕÙ Ö ×ÔÓÒ ÒÙ ×ØÖ ÒØ ÖÖÓ ÒØ Ô Ò ÒØ º ½ ¿
- 175. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð k n 7.8.2. La sucesión n q . Ä ×Ù × Ò (nqn )¸ Ô Ö q ∈ (−1, 1)º n Î ÑÓ× ÕÙ (|nq |) → 0¸ Ô Ö q ∈ (−1, 1)º ÓÒ ×ØÓ Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ n (nq n ) → 0¸ Ô Ö q ∈ (−1, 1)º ÓÑÓ n (0) = 0 ÔÓ ÑÓ× ×ÙÔÓÒ Ö ÕÙ q = 0º Í× Ò Ó Ð × ÙÒ ÓÖÑ Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´ÁÁµ Ô Ö 1 h= |q| − 1 Ó Ø Ò ÑÓ× 1 1 n ≤ (1 + h) 1 + nh + n(n−1) h2 2 Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö ×Ø ÜÔÖ × Ò ÔÓÖ n Ý Ö ÑÔÐ Þ Ö Ð Ú ÐÓÖ h Ò Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó¸ × Ó Ø Ò ÕÙ n 0 ≤ n |q|n ≤ n(n−1) 2 . 1 + nh + 2 h Ë Ò Ó h ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ ¸ Ñ Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÓÒÚ Ö Ò ÖÓº ÓÒ ÐÙ ¹ ÑÓ× ÕÙ (n |q|n ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ÑÔÐÓ× ÓÑÓ ÒØ ×¸ Ø Ò ÑÓ× ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó× ım n l´ 2n = 0 Ý n l´ (1,000001)n = ım 0º Ò Ð × Ù ÒØ Ò Ð × × × ÜØ Ò Ö ÐÓ Ó ÒØ × Ð ×Ó ÔÓ¹ Ø Ò × nº ÌÓ × ×Ø × ×Ù × ÓÒ × Ö ×ÙÐØ Ö Ò × Ö ÒÙР׺ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ö ÑÓ× ÕÙ 10 n10 l´ ım n = 0. (1, 000001) Ä ×Ù × Ò (nk qn )¸ Ô Ö k∈N Ý q ∈ (−1, 1)º ×Ø ×Ó × Ö Ò Ð Þ Ó Ò Ó Ù×Ó Ð Ð Ö Ð Ñ Ø × ×Ù ¹ × ÓÒ × ÒÙР׺ ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ × ÙÑÔÐ Ð × Ù ÒØ Ù Ð º n k n nk |q| = n k |q| . ÓÑÓ q′ = k |q| ∈ [0, 1)¸ × Ò ÐÓ ÒØ × Ò Ð Þ Ó × × Ø × ÕÙ n n (q ′ ) → 0. Ä ÓÒ ÐÙ× Ò × Ó Ø Ò Ð Ö ÓÖ Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔ Ð Ð × ×Ù × ÓÒ × ÒÙР׸ n n k n (q ′ ) →0⇒ n (q ′ ) → 0. ½
- 176. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 7.9. Desigualdad de Bernoulli (III) Í× Ò Ó Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ÔÓ ÑÓ× Ù Ö Ð Ú Ð Þ ÓØÖ ¹ × Ù Ð ÕÙ × Ö Ø Ð Ò Ð ÔÐ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ð × Ò Û Ð ×ØÙ Ó n Ð ×Ù × Ò ((1 + hn ) )¸ Ù Ò Ó (hn ) → 0º Ä × Ù Ð × ÈÖÓÔÓ× Ò º º 1 1 (∀n ∈ N) ∀u, u ∈ −1, , (1 + u)n ≤ n 1 − nu 1 ÑÓ×ØÖ Òº Ð ÔÐ Ö Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ÓÒ h= 1+u − 1¸ ÕÙ Ô Ö 1+u>0 ÙÑÔÐ ÕÙ h > −1¸ × Ó Ø Ò n n 1 1 (1 + h) = ≥1+n −1 . 1+u 1+u 1 nu Ä ÜÔÖ × Ò n 1+u − 1 = − 1+u ≥ −nu Ù Ò Ó 1 + u > 0º ÓÒ ×ØÓ n 1 ≥ 1 − nu. 1+u Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÓÑÓ 1 − nu > 0¸ × ÔÓ× Ð ØÓÑ Ö ÐÓ× Ö ÔÖÓ Ó× Ý Ó Ø Ò Ö Ð ÓÒ ÐÙ× Òº n 1 (1 + u) ≤ . 1 − nu n 7.9.1. La sucesión (1 + hn ) , para (hn ) y (nhn ) nulas. ÈÖÓÔÓ× Ò º½¼º Ë Ø Ò ÕÙ l´ (1 + hn )n = 1, ım Ù Ò Ó (hn ) Ý (nhn ) ×ÓÒ ×Ù × ÓÒ × ÒÙР׺ ÑÓ×ØÖ Òº ÓÑÓ (hn ) → 0¸ Ü ×Ø n0 ∈ N Ø Ð ÕÙ hn ∈ (−1, 1)¸ Ô Ö n ≥ n0 º Ð ÔÐ Ö Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´Áµ ÓÒ h = hn > −1 × Ó Ø Ò 1 + nhn ≤ (1 + hn )n . ÓÑÓ (nhn ) → 0¸ Ü ×Ø n′ 0 Ø Ð ÕÙ nhn ∈ (−1, 1)¸ Ô Ö n ≥ n′ º 0 Ð ÔÐ Ö Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´ÁÁÁµ ÓÒ u = hn × Ó Ø Ò 1 (1 + hn )n ≤ . 1 − nhn ×Ø ÑÓ Ó¸ Ô Ö n ≥ m´x {n0 , n′ } a 0 × Ó Ø Ò Ð ÓØ Ñ ÒØÓ × Ù ÒØ º n 1 1 + nhn ≤ (1 + hn ) ≤ 1 − nhn ÒØÓÒ ×¸ ÓÑÓ (nhn ) → 0¸ Ð × ×Ù × ÓÒ × Ò ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÓÒÚ Ö Ò ½º ÔÐ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ Ð Ë Ò Û × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ l´ (1 + hn )n = 1º ım ½
- 177. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð n 7.9.2. La sucesión ((an ) ) ÑÔÐÓ× ÓÒ ÐÓ Ö Ò Ó × ÔÓ× Ð Ð ÙÐ Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø × n n 1 1 l´ 1 + n2 ım = 1¸ l´ 1 − ım (n+1)2 = 1 Ý Ñ ×¸ Ò Ö ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö ØÓ Ó x y¸ n xy ım 1 − l´ = 1. (n + x) (n + y) Ç × ÖÚ Ò À ×Ø ÓÖ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ó Ð ÓÒÚ Ö Ò ×Ù ¹ n × ÓÒ × Ð ÓÖÑ (1 + hn ) Ò Ó× ×Ó× (hn ) → h¸ ÓÒ h = 0, −2¸ Ý (hn ) → 0 Ý (nhn ) → 0º n ÓÑÓ Ö Ó × Ð Ô Ö Ò Ð Þ Ö Ð ×Ó ÙÒ ×Ù × Ò (1 + hn ) ÕÙ 1 × Ø × (hn ) → 0 Ý nhn →0 Ò Ó× × ØÙ ÓÒ × ×Ô Ð × Ù Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× (hn ) ×ÓÒ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ý Ù Ò Ó ØÓ Ó× ×ÓÒ Ò Ø ÚÓ׺ ÓÒ Ð ÝÙ Ð Ø ÓÖ Ñ Ð × Ò × Ù ÒØ × ÔÖÓ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò x n x Ð ×Ù × 1+ n Ò ¸ Ô Ö x ∈ Rº ×Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ö hn = n Ý ÓÒ ×ØÓ (nhn ) → xº Ð ×Ó x = 0 Ý Ù ÓÒ× Ö Óº Ð Ò Ð ×Ø × Ñ Ò Ú Ö ÑÓ× Ð ×Ó x = 1º Ð ×ØÙ Ó ÐÓ× ×Ù × ÓÒ × Ö ×Ø ÒØ × ×Ø Ñ Ð Ý ÓØÖ × Ñ × ÓÑÔР׸ × Ö Ð Þ Ö Ò Ð Ô ØÙÐÓ Ð ÙÒ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð Ò Ð × Ñ Ò ½½º 7.10. Sucesiones monótonas 7.10.1. Definiciones y ejemplos. Ò Ò º º Ë (sn ) ÙÒ ×Ù × Ò Ö Ðº ÒØÓÒ × Ö ÑÓ× ÕÙ (sn ) × ÙÒ ×Ù × Ò Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 × ∀n ≥ n0 × Ø Ò sn+1 ≥ sn º Ö ÑÓ× ÕÙ (sn ) × ÙÒ ×Ù × Ò Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 × ∀n ≥ n0 × Ø Ò sn+1 ≤ sn º Ç × ÖÚ Ò Í×Ù ÐÑ ÒØ ÓÑ Ø Ö ÑÓ× Ð ÜÔÖ × Ò Ô ÖØ Ö n0 Ò Ó × ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ ÕÙ Ð ×Ù × Ò × Ö ÒØ Ó ÕÙ × Ö ÒØ º ×ØÓ ÓÒÐÐ Ú ÙÒ Ù×Ó Ð Ò Ù ÔÙ × ÒÓ × ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ö ÕÙ ÙÒ ×Ù × Ò × Ö ÒØ ÕÙ Ö ÕÙ ÙÒ ÙÒ Ò × Ö ÒØ º Ë Ð × × Ù Ð × × × Ø × Ò Ò ÓÖÑ ×ØÖ Ø ¸ × Ö > Ó <¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ÑÓ× ×Ù × ÓÒ × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ × Ó ×ØÖ ¹ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ ×¸ × Ò × Ð ×Óº Ë ÙÒ ×Ù × Ò × Ö ÒØ ¸ Ö ÒØ ¸ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ó ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ ¸ ÒØÓÒ × Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ×Ù × Ò ÑÓÒ ØÓÒ º ½
- 178. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ º º Ä ×Ù × Ò 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) tn = . 2 · 4 · 6 · 8 · · · (2n) × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º Ò ØÓ¸ 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) (2n + 1) 2n + 1 tn+1 = · = tn < tn . 2 · 4 · 6 · 8 · · · (2n) (2n + 2) 2n + 2 Ñ × ×Ø ×Ù × Ò × ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ ¼ Ý ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ 1 ÔÓÖ t1 = 2º ÑÔÐÓ º º √ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ×Ù × Ò (sn ) Ò ÔÓÖ Ð Ö ÙÖÖ Ò s1 = 2 Ý √ sn+1 = 2 + sn . (sn ) × ÓØ º Î ÑÓ× ÕÙ × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ 2¸ ÔÖÓ Ò Ó ÕÙ ∀n ∈ N, sn ≤ 2. √ È Ö n=1 × ÖØÓ Ý ÕÙ s1 = 2º ËÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ sn ≤ 2 Ø Ò ÑÓ× ÕÙ 2 + sn ≤ 4 ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ √ √ sn+1 = 2 + sn ≤ 4 = 2. (sn ) × Ö ÒØ º Î ÑÓ× ÓÖ ÕÙ × Ö ÒØ ¸ ÔÖÓ Ò Ó ÕÙ ∀n ∈ N, sn+1 ≥ sn . Ð Ò Ò sn+1 × Ø Ò ÕÙ s2 − s2 = 2 + sn − s2 . n+1 n n ÒØÓÒ ×¸ s2 − s2 = (2 − sn ) (1 + sn ) . n+1 n Ð Ð Ó Ö Ó Ð ÐØ Ñ Ù Ð × Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÖÓ¸ Ý ÕÙ 0 ≤ sn ≤ 2 º ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ s2n+1 − s2 ≥ 0. n ×ØÓ ÐØ ÑÓ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ sn+1 ≥ sn º ½
- 179. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 7.10.2. Teorema de las Sucesiones Monótonas. Ì ÓÖ Ñ º ºË (sn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ´ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ µ Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 Ý ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÒØÓÒ × × ÓÒÚ Ö ÒØ Ý l´ sn = sup {sn : n ≥ n0 } . ım Ë (sn ) × ÙÒ ×Ù × Ò ´ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ µ Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 Ý ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ÒØÓÒ × × ÓÒÚ Ö ÒØ Ý l´ sn = ´nf {sn : n ≥ n0 } . ım ı ÑÓ×ØÖ Òº Ë ÐÓ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÑ Òº Ä × ÙÒ × Ö Ô ÖØ ÐÓ× Ö Ó׺ ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ (sn ) × Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 º Ð ÓØ Ñ ÒØÓ Ð ×Ù × Ò (sn ) ÒÓ× ÕÙ Ð × Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ A × ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º A = {sn : n ∈ N, n ≥ n0 } . Ò Ú ÖØÙ Ð Ü ÓÑ Ð ËÙÔÖ ÑÓ Ü ×Ø s¸ ×ÙÔÖ ÑÓ A¸ ÕÙ ÙÑÔÐ ∀n ∈ N, n ≥ n0 sn ≤ s. Ó ε > 0 Ð Ö Ð s − ε ÒÓ × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Aº ÒØÓÒ ×¸ Ü ×Ø m0 ≥ n0 ÓÒ s − ε < sm0 . Ð Ö Ñ ÒØÓ (sn ) ÑÔÐ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n ≥ m0 ¸ × ÙÑÔÐ ÕÙ sm0 ≤ sn . × ¸ Ô Ö ØÓ Ó n ≥ m0 ¸ s − ε ≤ sn ≤ s ≤ s + ε. ×ØÓ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ (sn ) ÓÒÚ Ö sº 7.10.3. Aplicaciones. ÑÔÐÓ º º ÓÑÓ Ý Ú ÑÓ× Ð ×Ù × Ò 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) tn = , 2 · 4 · 6 · 8 · · · (2n) × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ý ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ 0º Ò Ú ÖØÙ Ð Ì ÓÖ Ñ Ð × ËÙ × ÓÒ × ÅÓÒ ØÓÒ × Ð ×Ù × Ò ÓÒÚ Ö º ½
- 180. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ º º È Ö Ð ×Ù × Ò (sn ) Ò ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ × ÑÓ× ÕÙ × Ö ÒØ Ý ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ò Ú ÖØÙ Ð Ì ÓÖ Ñ Ð × ËÙ × ÓÒ × ÅÓÒ ¹ ØÓÒ × × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ (sn ) × ÓÒÚ Ö ÒØ º Î Ö ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ö ÙÖÖ Ò √ sn+1 = 2 + sn , Ô ÖÑ Ø Ð ÙÐ Ö ℓ = l´ sn º ım Ê ÓÖ Ò Ó ÙÒ Ö Ó Ð × Ñ Ò Ô × ¸ × ÑÓ× ÕÙ × (sn ) → ℓ ÒØÓÒ × √ (sn+1 ) → ℓ Ý √ 2 + sn → 2 + ℓ º ×Ø ÑÓ Ó¸ × Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ù Ò Ô Ö ℓº √ ℓ= 2 + ℓ. ×Ø Ù Ò Ø Ò ÓÑÓ Ò ×ÓÐÙ Ò ℓ = 2º Ë ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ (sn ) → 2. 7.11. El número e ÓÑÓ ÐØ ÑÓ ÑÔÐÓ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð ×Ù × Ò (sn ) ÓÒØ ÒÙ Ò¸ n ÕÙ Ô ÖØ Ò Ð Ñ Ð ×Ù × ÓÒ × Ð ÓÖÑ ((1 + hn ) )¸ ÓÒ (hn ) → 0º n 1 sn = 1+ n (sn ) × Ö ÒØ 1 n+1 1 n+2 sn+1 ÓÑÓ 1+ n = n Ý 1 + n+1 = n+1 ¸ Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö sn+1 Ý sn Ò sn × Ó Ø Ò º n+1 1 sn+1 1 + n+1 n (n + 2) n+1 1 = 1 n = 1+ . sn 1+ n (n + 1) (n + 1) n n (n+2) 1 1 Ä ÜÔÖ × Ò n+1 (n+1) × Ù Ð 1− n+1 1+ n+1 ¸ ÕÙ ×Ù Ú Þ 1 × Ù Ð 1 − (n+1)2 º ÒØÓÒ ×¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ Ö Ð × Ù Ð 1 ÖÒÓÙÐÐ ¸ Ô Ö h = − (n+1)2 Ý Ó Ø Ò Ö n+1 sn+1 1 1 1 1 = 1− 2 1+ ≥ 1− 1+ =1 sn (n + 1) n n+1 n (sn ) × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÓÑÓ Ý Ú ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù × Ò × Ö ÒØ ¸ × ÑÓ× ÕÙ sn ≤ s2n º 1 1 Í× Ò Ó Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´ÁÁÁµ Ô Ö u = 2n ∈ −1, n Ó Ø Ò ÑÓ× ÐÓ × Ù ÒØ º n 1 1 1+ ≤ 1 = 2. 2n 1 − n 2n ½
- 181. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÕÙ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ 2n 1 sn ≤ s2n = 1+ ≤ 4. 2n 1 n Ð Ì ÓÖ Ñ Ð × ËÙ × ÓÒ × ÅÓÒ ØÓÒ × Ô ÖÑ Ø ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ l´ 1 + ım n Ü ×Ø º Ë Ò n 1 e = l´ ım 1 + . n Ê ÓÖ Ò Ó ÕÙ (sn ) × Ö ÒØ Ý Ö Ò Ó Ð ÑÓ×ØÖ Ò ×Ù Ó¹ Ø Ñ ÒØÓ¸ × Ó Ø Ò k k k+1 k ∀k ∈ N, k ≥ 2, 2 ≤ ≤e≤ ≤ 4. k k−1 e ≈ 2,718281828 . . . ½ ¼
- 182. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º Ë Ò (an ) Ý (cn ) ×Ù × ÓÒ × ÒÙÐ × Ý (bn ) ÙÒ ×Ù × Ò Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n ∈ Ƹ an ≤ bn ≤ cn º ÒØÓÒ ×¸ bn × ÒÙÐ º ¾º l´ 21 = 0º ım n ¿º ım(− 3 )n l´ 5 ÒÓ Ü ×Ø º º l´ 2n = 1º ım º ım(−3)n = 0º l´ º l´ n 21 = 0º ım n º n l´ (1,00001)n = 0º ım 1010 º ım n l´ (1,000001)n ÒÓ Ü ×Ø º º l´ 2n+1 )n = 1º ım( 3n+5 ½¼º l´ 1 + ım( 2 1 n n2 ) ÒÓ Ü ×Ø º ½½º ım(2 − l´ 1 n n2 ) ÒÓ Ü ×Ø º ½¾º l´ ım(1 + 1 n n2 ) ÒÓ Ü ×Ø º ½¿º ım(1 − l´ 1 (n+1)2 ) n = 1º ½ º ım(1 − l´ 2x n (n+x)(n+2) ) ÒÓ Ü ×Ø º ½ º l´ 3n+2 )n = 1º ım( 1−n ½ º l´ ım n 1 10 = 2º √ ½ º l´ ım n 1010 = 0º ½ º l´ ım n 1 10 + 1 n2 = 1º ½ ½
- 183. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º l´ ım n 1010 − 1 n2 = 1º ¾¼º l´ 1 ım(1 + n )n ÒÓ Ü ×Ø º ¾½º l´ ım n 1 10 + 1 n2 = 1º ¾¾º 1 ım(1 + n ) n = 1º l´ 1 ¾¿º 8 2 1 l´ n 3n8 +1 ) n ım( −7n +1 ÒÓ Ü ×Ø º ¾ º ÌÓ ×Ù × Ò ÑÓÒ ØÓÒ Ý ÓØ × ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾ º ÌÓ ×Ù × Ò ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ý ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ ÖÓ¸ ÓÒÚ Ö ÖÓº ¾ º È Ö ØÓ Ó n∈Æ Ý Ô Ö ØÓ Ó h > −1 × ÙÑÔÐ (1 + h)n ≥ 1 + nhº ¾ º È Ö ØÓ Ó n∈Æ Ý Ô Ö ØÓ Ó h<1 × ÙÑÔÐ (1 − h)n ≥ 1 + nhº ¾ º È Ö ØÓ Ó n∈Æ Ý Ô Ö ØÓ Ó h<1 × ÙÑÔÐ (1 − h)n ≥ 1 − nhº ¾ º È Ö ØÓ Ó n∈Æ Ý Ô Ö ØÓ Ó h>0 × ÙÑÔÐ (1 + h)n ≥ 1 + nh + n(n−1) 2 2 h º ¿¼º È Ö ØÓ Ó n∈ÆÝÔ Ö ØÓ Ó 1 h ∈ (−1, n ) × ÙÑÔÐ (1+h)n ≤ 1 1−nh º ½ ¾
- 184. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º Ð ÙÐ Ö n µ ım a l´ (n−1)2 ¸ Ô Ö a ÙÒ Ö Ð ÓÒ |a| < 1º n n µ l´ an+1 +bn+1 ım a +b ÓÒ 0 < a ≤ bº ım( 2n−3 )n º µ l´ 3n+7 2 µ ım( 1−n l´ 5n2 +1 )n º √ µ l´ 2 n−2n )n º ım( √ n+n √ n a+b µ l´ ım √ n a+ n b º √ n2 +1 µ l´ ım n 3n3 −1 º 2 µ l´ ım n nn º √ µ l´ n n3 + n2 + nº ım √ µ l´ n+1 an ¸ a > 0º ım √ µ l´ n an + bn ¸ a, b > 0º ım Ð µ l´ x −n +y −n − n 1 ım( 2 ) ¸ x > y > 0º n Ñ µ l´ n21 + ım( +1 1 n2 +2 + ···+ 1 n2 +n ) = l´ ım 1 n2 +k k=1 Ò µ l´ n ım a n b ¸ Ô Ö a, b > 0 Ý ÓÒ [x] ÒÓØ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö xº 1+n(−1)n µ l´ ım n2 ¸ ÓÒ [x] ÒÓØ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö xº ¾º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ n(n − 1) 2 ∀n ∈ N, ∀h > 0 (1 + h)n ≥ 1 + nh + h . 2 ¿º Ë (an ) ÙÒ ×Ù × Ò Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 Ý ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ (an ) ÓÒÚ Ö º √ º √ Ø ÖÑ Ò × Ð ×Ù × Ò Ò ÔÓÖ Ð Ö ÙÖÖ Ò a0 = 2 Ý an+1 = 2an ¸ n ≥ 0¸ ÔÓ× Ð Ñ Ø ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó¸ Ð Ð ÐÓº Ê Ô Ø ×Ø Ö Ó 4+u2 Ô Ö Ð ×Ù × Ò Ò ÔÓÖ u2 = 1 Ý un+1 = n 2 ¸ n ≥ 2º ½ ¿
- 185. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º Ë (hn ) ÙÒ ×Ù × Ò ÒÙÐ º ÒØÓÒ ×¸ ( hn 1−hn ) → 0º º Ë (vn ) ÓÒ vn > 0 Ý ( v1 ) → 0º n ÒØÓÒ ×¸ 1 ( 1+vn ) → 0º ½
- 186. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × È½º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë 1 un = 2 (1 + (−1)n )º Ð ÙÐ Ö l´ u1 +···+un º ım n Ⱦº ´¿¼ Ñ Òºµ Ó k ∈ Ƹ ×ØÙ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ð ×Ù × Ò (nk qn )¸ n ÓÒ (qn ) → q ÓÒ |q| < 1º È¿º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë 1 (hn ) ÓÒ hn > 0 Ý ( nhn ) → 0º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ 1 l´ (1+hn )n = ım 0º È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë 1 (vn ) ÓÒ vn ∈ (0, 1) Ý ( nvn ) → 0º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ım(1 − l´ vn )n = 0º È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë (un ) ÙÒ ×Ù × Ò Ö ÒØ º ÈÖÓ Ö ÕÙ Ð ×Ù × Ò ¹ 1 Ò ÔÓÖ vn = n (u1 + · · · + un ) × Ö ÒØ º √ È º ´¿¼ Ñ Òºµ È Ö 0 ≤ a ≤ b × x1 = a¸ xn+1 = xn yn y1 = b¸ yn+1 = xn +yn º 2 ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ñ × ×Ù × ÓÒ × ÔÓ× Ò Ð Ñ Ø ¸ ÕÙ l´ xn = l´ yn Ý ÕÙ ım √ ım × ÐÐ Ñ ÑÓ× l ×Ø ÐØ ÑÓ Ð Ñ Ø ¸ × ÙÑÔÐ ÕÙ ab ≤ l ≤ a+b º 2 È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë u1 = a Ý un+1 = ab2 +u2 a+1 n ÓÒ 0 < a < bº ÅÙ ×ØÖ ÕÙ (un ) × ÓØ ¸ ÕÙ × ÓÒÚ Ö ÒØ Ý Ð ÙÐ ×Ù Ð Ñ Ø º ½
- 187. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 11: FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMO Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 8. La función exponencial Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × Ë ÑÓ× ÐÓ × Ù ÒØ Ô Ö Ð ×Ù × Ò ÒÓØ ÓÒ ×º n an = (1 + hn ) ½º Ë l´ hn ∈ (−2, 0) ım ÒØÓÒ × l´ an = 0º ım ¾º Ë l´ hn ∈ (−2, 0) ım / ÒØÓÒ × l´ an ım ÒÓ Ü ×Ø º ¿º Ë l´ hn = 0 ım Ý l´ nhn = 0 ım ÒØÓÒ × l´ an = 1º ım º Ë l´ hn = 0¸ hn < 0 ım Ý ım 1 l´ nhn = 0 ÒØÓÒ × l´ an = 0º ım º Ë l´ hn = 0¸ hn > 0 ım Ý ım 1 l´ nhn = 0 ÒØÓÒ × l´ an ım ÒÓ Ü ×Ø º 1 n º l´ 1 + ım n = e, ÓÒ e × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ 2 Ý Ñ ÒÓÖ ÕÙ 4º 1 ÓÖ Ú Ö ÑÓ× ÕÙ Ù× Ò Ó ÙÒ Ö ÙÑ ÒØÓ × Ñ Ð Ö Ð ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö hn = n¸ x n × ÔÓ× Ð ÔÖÓ Ö ÕÙ Ô Ö x∈R Ð ×Ù × Ò 1+ n × ÓÒÚ Ö ÒØ º x n 8.1. El límite l´ 1 + ım n existe Ì ÓÖ Ñ º½º È Ö ØÓ Ó x ∈ R, Ð ×Ù × Ò x n sn := 1 + n ÓÒÚ Ö º ÑÓ×ØÖ Òº Î Ö ÑÓ× ÕÙ Ô Ö x¸ Ð ×Ù × Ò x n sn := 1 + n × Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 = ⌈|−x|⌉ + 1¸ Ý ÕÙ × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Í× Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ Ð × ËÙ × ÓÒ × ÅÓÒ ØÓÒ × ÓÒ ÐÙ Ö ÑÓ× ÕÙ (sn ) ÓÒÚ Ö º ½º Ä ×Ù × Ò (sn ) × Ö ÒØ º Ä ÑÓ×ØÖ Ò Ù×Ó Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ÕÙ ×ÓÒ Ð × Ú Ö Öº x 1+ n+1 n (n + 1 + x) (n + x ) (n + 1) − x x x = = = 1− . 1 +n (n + x) (n + 1) (n + x) (n + 1) (n + 1) (n + x) ´ º½µ ½
- 188. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ý x 1 n 1 = 1− < < 1, Ô Ö n+x>0 (n + 1) (n + x) n+1 n+x n+1 ´ º¾µ È Ö ÔÖÓ Ö ÕÙ (sn ) × Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 = ⌈|−x|⌉ + 1 Ú Ö ÑÓ× sn+1 ÕÙ sn ≥ 1¸ Ô Ö n ≥ n0 º sn+1 Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × sn+1 Ý sn Ò sn Ý ÔÐ Ö ´ º½µ × Ó Ø Ò º n+1 x sn+1 1 + n+1 x n+1 n+x = x n = 1− . sn 1+ n (n + 1) (n + x) n x ÔÐ Ò Ó Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ ´Áµ Ô Ö h = − (n+1)(n+x) ¸ ÕÙ × Ò ´ º¾µ × > −1¸ × Ó Ø Ò sn+1 x n+x ≥ 1− = 1. sn n+x n ¾º Ä ×Ù × Ò (sn ) × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÓÑÓ Ý ÑÓ× Ó¸ ×Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ü ×Ø Ò M Ý n0 ∈ N Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó n ≥ n0 sn ≤ M. x Ó x ∈ R × k ∈ N Ø Ð ÕÙ n ∈ N k < 1º ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö ØÓ Ó x x 1 kn < 1¸ × Ö¸ kn ∈ −1, n º ÔÐ Ò Ó Ð × Ù Ð ÖÒÓÙÐÐ x ´ÁÁÁµ Ô Ö a = kn Ø Ò ÑÓ× ÕÙ x n 1 k 1+ ≤ x = . kn 1 − n kn k−x Ú ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù × Ò × Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 = [|−x|] + 1º Ò¹ ØÓÒ ×¸ Ô Ö n ≥ n0 ¸ sn ≤ skn º k k ÌÓÑ Ò Ó M= k−x ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ô Ö n ≥ n0 kn k 1 k sn ≤ skn = 1+ ≤ . kn k−x Ò Ò º½º Ä ÙÒ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð ×Ø Ò Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ ¹ × Ò x n exp(x) = l´ (1 + ım ) . n→∞ n ÈÖÓÔÓ× Ò º½º Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð × Rº ÑÓ×ØÖ Òº Ú ÑÓ× ÕÙ Ð ×Ù × Ò × Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 Ý Ó¹ Ø ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ò Ú ÖØÙ Ð Ì ÓÖ Ñ Ð × ËÙ × ÓÒ × ÅÓÒ ØÓÒ ×¸ x n Ð × ×Ù × ÓÒ 1 + n ÓÒÚ Ö sup {sn : n ≥ n0 }º ½
- 189. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 8.1.1. Propiedades de la función exponencial. ÈÖÓÔÓ× Ò º¾ ´ × Ù Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ðµº Ä ÙÒ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð × Ø × Ð × Ù ÒØ × Ù Ð º È Ö ØÓ Ó x ∈ R¸ exp (x) ≥ 1 + x. ÑÓ×ØÖ Òº Ä ×Ù × Ò (sn ) × Ö ÒØ Ô ÖØ Ö n0 > −x Ý ÓÒ¹ Ú Ö exp (x)º ÒØÓÒ × n0 x exp (x) ≥ 1+ n0 x Ñ ×¸ n0 > −1º ÒØÓÒ × n0 x x exp (x) ≥ 1+ ≥ 1 + n0 = 1 + x. n0 n0 ÈÖÓÔÓ× Ò º¿ ´ÈÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ×µº È Ö ØÓ Ó x, y ∈ R¸ exp (x) · exp (y) = exp (x + y) . x+y n+x+y x n+x y n+y ÑÓ×ØÖ Òº ÓÑÓ 1+ n = n ¸ 1+ n = n Ý 1+ n = n × Ø Ò ÕÙ x+y n n n 1+ n n (n + x + y) xy x n y n = = 1− → 1. 1+ n 1+ n (n + x) (n + y) (n + x) (n + y) Ä Ù Ð × Ó Ø Ò Ñ ÒØ Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒ × Ð Ö ×ÝÐ ÓÒÚ Ö Ò¹ ÕÙ Ý Ù Ò Ð Þ Ð × Ñ Ò ÒØ Ö ÓÖº Ò Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ÔÓ ÑÓ× ÔÐ Ö Ð Ö Ð Ñ Ø × Ô Ö ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ exp (x + y) = 1. exp (x) exp (y) ÈÖÓÔÓ× Ò º ´ ÓØ Ñ ÒØÓ Ý ÖÓ×µº È Ö ØÓ Ó x ∈ R¸ exp (x) > 0. Ò ÓÒ× Ù Ò Ð ÙÒ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð × ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ý ÒÓ Ø Ò ÖÓ׺ x 2 ÑÓ×ØÖ Òº Ë ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x ∈ R¸ exp (x) = exp 2 ≥ 0º Ë exp (a) = 0¸ Ô Ö Ð Ò a ∈ R¸ ÒØÓÒ × × Ó Ø Ò Ð × Ù ÒØ ÓÒØÖ ¹ Ò 1 = exp (0) = exp (a) exp (−a) = 0. ½
- 190. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÈÖÓÔ × ºÅ ÒØ Ð ÔÐ Ò Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × × ÔÖÙ ÕÙ (∀x ∈ R) exp(−x) = 1 exp(x) º (∀x, y ∈ R) exp(x − y) = exp(x) exp(y) º È Ö x < 1¸ exp (x) ≤ 1 1−x º −1 ÑÓ×ØÖ Òº Ä Ù Ð exp (x) exp (−x) = exp (0) = 1 ÑÔÐ (exp (x)) = exp (−x)º Ä Ù Ð ÔÖ Ú Ô ÖÑ Ø Ù× Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × ÓÒÚ Ò ÒØ ¹ Ñ ÒØ º exp (x) exp (x − y) = exp (x) exp (−y) = . exp (y) Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö x<1 × Ø Ò ÕÙ 1 1 exp (x) = ≤ . exp (−x) 1−x ÈÖÓÔÓ× Ò º ´ Ö Ñ ÒØÓ ÁÒÝ Ø Ú µº È Ö ØÓ Ó x, y ∈ R¸ x < y ⇒ exp (x) < exp (y) . Ò ÓÒ× Ù Ò Ð ÙÒ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÝ Ø Ú º ÑÓ×ØÖ Òº Í× Ò Ó Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × Ý Ð × Ù Ð exp (x) ≥ 1 + x × Ó Ø Ò exp (y) = exp (x) exp (y − x) ≥ exp (x) (1 + y − x) > exp (x) . Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó x > 0¸ exp (x) > exp (0) = 1 Ý Ô Ö ØÓ Ó x < 0¸ exp (x) < exp (0) = 1º ÈÖÓÔÓ× Ò º ´ ÙÒ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð Ý ÜÔÓÒ ÒØ ×µº Å ÒØ Ð ÔÐ Ò Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × × ÔÖÙ ÕÙ È Ö ØÓ Ó x ∈ R Ý ØÓ Ó p ∈ N¸ exp (px) = (exp (x))p º l´ exp (−n) = l´ e1 = 0º ım ım n È Ö ØÓ Ó x ∈ R Ý ØÓ Ó q ∈ N¸ exp x q = q exp (x)º 1 √ l´ exp ım n = l´ ım n e = 1. ½
- 191. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÓ×ØÖ Òº Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × Ô ÖÑ Ø ÔÖÓ Ö ÕÙ Ô Ö p ∈ N¸ exp (px) = exp (x + · · · + x) = (exp (x))p . n 1 Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö exp (−n) = (exp (−1)) = en º ÒØÓÒ ×¸ l´ exp (−n) = 0. ım ÇØÖ Ú Þ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × ÑÔÐ ÕÙ 1 1 q 1 x q x q x (exp (x)) q = exp q · = exp = exp . q q q x 1 1 ÓÒ ×ØÓ exp n = n exp (x)º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ l´ exp ım n = l´ exp − n = ım 1º ÈÖÓÔÓ× Ò º ´ Ý Ø Ú µº Ä ÙÒ Ò exp : R → (0, ∞) × ×Ó Ö ¹ Ý Ø Ú º ÑÓ×ØÖ Òº È Ö y>0 × Ò A = {x ∈ R : exp (x) ≤ y} Ý s = sup Aº ÓÑÓ l´ exp (−n) = 0¸ ÒØÓÒ × Ü ×Ø n Ø Ð ÕÙ exp (−n) < y ¸ ÐÙ Ó ım −n ∈ Aº 1 Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ü ×Ø m Ø Ð ÕÙ exp (−m) < y Ó × ¸ exp (m) > y º Ë Ø Ò ÕÙ × x > m ÒØÓÒ × exp (x) > exp (m) > y º ÄÙ Ó m × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Aº ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ A × ÒÓ Ú Ó Ý ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ý Ò Ú ÖØÙ Ð Ü ÓÑ Ð ËÙÔÖ ÑÓ ÔÓ× ×ÙÔÖ ÑÓ sº Î ÑÓ× ÓÖ ÕÙ exp (s) = y º Ë n ∈ N, n > 0º 1 1 s + n ÒÓ Ô ÖØ Ò A Ý ÕÙ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ sº ÓÒ ×ØÓ exp s + n > y º 1 s − n ÒÓ × ÓØ ×ÙÔ Ö ÓÖ A Ý ÕÙ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ sº ÓÒ ×ØÓ Ü ×Ø x ∈ R 1 ÓÒ s − < x Ý exp (x) ≤ y º n 1 ÙÒ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð¸ exp s − ÈÓÖ Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ð n < yº À Ò Ó Ù×Ó Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × × Ó Ø Ò Ð × Ù ÒØ ÓØ ¹ Ñ ÒØÓº 1 1 1 1 exp (s) exp − = exp s − < y < exp s + = exp (s) exp n n n n 1 1 Ë ÑÓ× ÕÙ l´ exp ım n = l´ exp − n = 1º ım ÔÐ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ Ð Ë Ò Û × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ exp (s) = y º ½ ¼
- 192. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 8.2. Función Logaritmo natural. Ò Ò º¾ ´ÄÓ Ö ØÑÓ Æ ØÙÖ Ðµº Ä ÙÒ Ò exp : R → R+ × Ò¹ Ý Ø Ú Ý Ô Ý Ø Ú Ò ÓÒ× Ù Ò Ý Ø Ú º ËÙ ÙÒ Ò ÒÚ Ö× × ÐÐ Ñ ÙÒ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ Ò ØÙÖ Ð Ó Æ ÔÔ Öº ln : (0, ∞) → R x → ln(x) = exp−1 (x). Ç × ÖÚ Ò È Ö ØÓ Ó x ∈ (0, ∞)¸ exp (ln (x)) = xº È Ö ØÓ Ó x ∈ R¸ ln (exp (x)) = xº Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ln (e) = 1 Ý ln (1) = 0º Ä ÙÒ Ò ln × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ ÔÙ × × Ð ÒÚ Ö× ÙÒ ÙÒ Ò ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º Ð Ò Ó ÖÓ Ð ÙÒ Ò ln × 1º ln ÒÓ × ÓØ Ò ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ln (0, ∞) = Rº ÈÖÓÔÓ× Ò º ´ËÙÑ Ý Ö Ò ÐÓ Ö ØÑÓ×µº ∀x, y ∈ (0, ∞)¸ x ln(x) + ln(y) = ln (xy) Ý ln(x) − ln(y) = ln . y ÑÓ×ØÖ Òº Ë Ò u = ln (x) Ý v = ln (y)º Ð ÔÐ Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × ln (x) + ln (y) = u + v = ln (exp (u + v)) = ln (exp (u) exp (v)) = ln (xy) . Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó exp (u) x ln (x) − ln (y) = u − v = ln (exp (u − v)) = ln = ln . exp (v) y ÈÖÓÔÓ× Ò º ´ × Ù Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ðµº Ä ÙÒ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ Ò ¹ ØÙÖ Ð × Ø × Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ð ×º È Ö ØÓ Ó x ∈ (0, ∞)¸ ln (x) ≤ x − 1 Ý 1 1− ≤ ln (x) . x ÑÓ×ØÖ Òº Ä ÔÖ Ñ Ö × Ö Ø Ð ØÓÑ Ö x = exp (u) Ý ÔÐ Ö Ð × Ù Ð 1 + u ≤ exp (u)º 1 1 Ä × ÙÒ × Ó Ø Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ú ÐÙ Ö ln x ≤ x −1 Ý Ö ÓÖ Ö 1 ÕÙ ln x = − ln (x)º ½ ½
- 193. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ò º¿ ´ Ò Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÁÖÖ ÓÒ Ðµº È Ö ØÓ Ó a ∈ √ (0, ∞) Ý n ∈ N Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × an ¸ a−n Ý a n = n a Ø Ò Ò ÙÒ × Ò Óº 1 ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× ÜØ Ò Ö ×Ø Ò Ò Ô Ö aα ¸ ÓÒ α ∈ Rº Ë Ò a ∈ (0, ∞) Ý α ∈ Rº Ë Ò aα ÓÑÓ aα = exp(α ln a). Ç × ÖÚ Ò ÓÒ× ×Ø Ò 1 n ln(a) ÓÑÓ exp (n ln (a)) = (exp (ln (a))) = an Ý exp n = (exp (ln (a))) n = 1 an ¸ Ð Ò Ò ÜØ Ò R Ð × Ò Ó ÕÙ ÑÓ× × Ò Ó ÒØ ¹ Ö ÓÖÑ ÒØ aα º ÈÖÓÔ × ½¼º Ä × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ×ÓÒ ÓÒ× Ù Ò Ö Ø Ð Ò Ò aα º ½º ∀a ∈ (0, ∞) Ý ∀α ∈ R¸ ln(aα ) = α ln (a)º ¾º È Ö ØÓ Ó α, β ∈ R¸ aα+β = aα aβ º ¿º È Ö ØÓ Ó α ∈ R¸ (aα )−1 = a−α º º È Ö ØÓ Ó α, x ∈ R¸ (exp(x))α = exp(αx)¸ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö exp (α) = eα º º È Ö ØÓ Ó α, β ∈ R¸ (aα )β = aαβ º 8.3. La función ax Ò Ò º º È Ö a>0 × Ò Ð ÙÒ Ò ax ÔÓÖ Ð ÖÑÙÐ ax = exp (x ln (a)) . ÈÖÓÔ × ½½º ½º ËÙ ÓÑ Ò Ó × Rº ¾º È Ö a > 0 Ý a = 1¸ Ð ÙÒ Ò ax × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÓÒ ¸ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö × ÒÝ Ø Ú º È Ö a ∈ (0, 1)¸ ln (a) < 0º ÒØÓÒ × Ð ÙÒ Ò ax × ×ØÖ Ø ¹ Ñ ÒØ Ö ÒØ º È Ö a > 1¸ ln (a) > 0º ÒØÓÒ × Ð ÙÒ Ò ax × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º ¿º Ä ÙÒ Ò ax : R → (0, ∞) × Ý Ø Ú Ô Ö ØÓ Ó y ∈ (0, ∞)¸ x = ln(y) ln(a)× Ø × ÕÙ ax = y º 8.4. Logaritmos con base a > 0, a = 1. Ò Ò º º Ë a ∈ (0, ∞)¸ a = 1º Ë Ò Ð ÙÒ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ Ò × a ÔÓÖ ln (x) loga x = . ln (a) ½ ¾
- 194. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò Ä ÙÒ Ò loga × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ × a > 1º Ä ÙÒ Ò loga × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ × a ∈ (0, 1)º x Ä ÙÒ Ò loga × Ð ÒÚ Ö× Ð ÙÒ Ò a º ÈÖÓÔ ½¾ ´ËÙÑ ÄÓ Ö ØÑÓ×µº È Ö ØÓ Ó x, y, a ∈ (0, ∞) Ý a = 1 × ÙÑÔÐ ÕÙ loga x + loga y = loga (xy)º ´ Ñ Ó × µ È Ö ØÓ Ó x, a, b ∈ (0, ∞) Ý a, b = 1 × ÙÑÔÐ ÕÙ logb x = loga x loga b º ÑÓ×ØÖ Òº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó × ×Ù ÒØ ÓÒ Ö ÓÖ Ö Ð Ò Ò logb Ý Ù× Ö Ð ×ÙÑ ÐÓ Ö ØÑÓ× Ò ØÙÖ Ð × ln (xy) ln (x) ln (y) logb (xy) = = + = logb (x) + logb (y) . ln (b) ln (b) ln (b) Ò Ð × ÙÒ Ó ×Ó¸ Ù× ÑÓ× ÕÙ ln (x) ln (x) 1 loga (x) logb (x) = = ln(b) = . ln (b) ln (a) loga (b) ln(a) 8.5. Límites exponenciales y logarítmicos ÈÖÓÔÓ× Ò º½¼º È Ö ØÓ ×Ù × Ò (an ) → 0 × ÙÑÔÐ ÕÙ º exp (an ) → 1, ln (1 + an ) → 0, ÑÓ×ØÖ Òº ÓÑÓ (an ) → 0¸ Ô ÖØ Ö ÙÒ ÖØÓ ÑÓÑ ÒØÓ an < 1 º ×Ø ÑÓ Ó¸ 1 1 + an ≤ exp (an ) ≤ . 1 − an Ä × ×Ù × ÓÒ × ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÓÒÚ Ö Ò ½º ÈÓÖ Ð Ì ÓÖ Ñ Ð Ë Ò Û (exp (an )) → 1º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ 1 1− ≤ ln (1 + an ) ≤ an . 1 + an Ò ×Ø ×Ó Ð × ×Ù × ÓÒ × ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÓÒÚ Ö Ò ¼º ÈÓÖ Ð Ì ÓÖ Ñ Ð Ë Ò Û (ln (1 + an )) → 0º Ç × ÖÚ Ò Í× Ò Ó Ð ×ÙÑ ÐÓ Ö ØÑÓ׸ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð × Ý Ð × ÓÒÚ Ö Ò × ÒØ × × Ö Ø ×¸ × Ó Ø Ò l´ exp (an ) = l´ exp (an − a) exp (a) = exp (a) l´ exp (an − a) = exp (a) , ım ım ım Ù Ò Ó (an ) → a an an l´ ln (an ) = l´ ln ım ım a = l´ ln ım + ln (a) = ln (a) , a a ½ ¿
- 195. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ù Ò Ó (an ) → a > 0º Ò ×ØÓ× Ó× ×Ó× Ú ÑÓ× ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ð Ñ Ø × ÐÓ Ô Ò a Ý ÒÓ Ð ×Ù × Ò (an ) → aº Å × Ò Ð Ú ÐÓÖ Ð Ð Ñ Ø × Ó Ø Ò Ð Ú ÐÙ Ö Ð ÙÒ Ò Ò aº ×Ø Ò Ñ ÒÓ Ø Ñ Ò Ó ÙÖÖ Ô Ö Ð × ÙÒ ÓÒ × × ÒÓ Ý Ó× ÒÓº È Ö ×ØÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ú Ö ÑÓ× ÕÙ × (an ) → 0 ÒØÓÒ × (sen (an )) → 0º ÓÑÓ |sen (an )| = sen (|an |) Ô Ö an ∈ − π , π Ý sen (|an |) ≤ |an |¸ Ù Ò Ó (an ) → 2 2 0× Ó Ø Ò ÕÙ (sen (an )) → 0º Ë ÑÓ× ÕÙ an − a an + a sen (an ) − sen (a) = 2 sen cos 2 2 ÓÑÓ an − a → 0 Ý cos × ÓØ × Ó Ø Ò ÕÙ (sen (an )) → sen (a)º Ä × ØÙ Ò Ô Ö Ð Ó× ÒÓ × Ù Ù× Ò Ó Ð ÔÖÓÔ Ý Ú ×Ø º Ò ØÓ¸ π π cos (an ) = sen an + → sen a + = cos (a) . 2 2 ½
- 196. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º È Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ l´ ım(1 − x n) = exp(x)º ¾º exp(0) = 0º ¿º È Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ exp(2x) = 2 exp(x)º º 2 ım(1 + n ) = e2 º l´ º È Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ exp( x ) = 2 exp(x)º º È Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ 1 exp(x) = exp(−x)º º Ü ×Ø Ò x y ÓÒ x<y Ý exp(x) ≥ exp(y)º º Ü ×Ø x ÓÒ exp(x) < 1 + xº √ º Ä Ù Ò exp(x) = 2 Ø Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº √ ½¼º Ä Ù Ò exp(x) = − 2 Ø Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ½½º Ð ÓÒ ÙÒØÓ {exp(x) : x ∈ Ê} × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º ½¾º 1 l´ exp( n ) = 0º ım ½¿º l´ exp(−n) = 0º ım ½ º Ä ÜÔÖ × Ò ln(x) ×Ø Ò Ô Ö ØÓ Ó x ∈ ʺ ½ º ln(e) = 0º ½ º ln(1) = eº ½ º ln(1) = 0º ½ º ln(e) = 1º ½ º È Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ ln( x ) = 2 1 2 ln(x)º ¾¼º È Ö ØÓ Ó x, y ∈ ʸ ln( x ) = ln(x) − ln(y)º y ½
- 197. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ¾½º È Ö ØÓ Ó x, y ∈ (0, ∞)¸ ln( x ) y = ln(x) − ln(y)º ¾¾º È Ö ØÓ Ó x ∈ (0, ∞)¸ ln(x−1 ) = (ln(x))−1 º ¾¿º È Ö ØÓ Ó x ∈ (0, ∞)¸ ln(x) < x − 1º ¾ º È Ö ØÓ Ó x ∈ (0, ∞)¸ ln(x) ≤ x − 1º ¾ º È Ö ØÓ Ó x ∈ (0, ∞)¸ ln(x) > 1 − 1 xº ¾ º È Ö ØÓ Ó x ∈ (0, ∞)¸ ln(x) ≥ 1 − 1 xº ¾ º È Ö ØÓ Ó a>0 Ý Ô Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ ax = exp(a ln(x))º ¾ º È Ö ØÓ Ó a>0 Ý Ô Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ ax = ln(a exp(x))º ¾ º È Ö ØÓ Ó a>0 Ý Ô Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ ax = exp(x ln(a))º ¿¼º È Ö ØÓ Ó α>0 Ý Ô Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ xα = exp(x ln(a))º ¿½º È Ö ØÓ Ó α>0 Ý Ô Ö ØÓ Ó x ∈ (0, ∞)¸ xα = exp(a ln(x))º ¿¾º È Ö ØÓ Ó a > 0¸ a = 1¸ Ð ÙÒ Ò ax × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º ¿¿º È Ö ØÓ Ó a>1 Ð ÙÒ Ò ax × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º ¿ º È Ö ØÓ Ó a ∈ (0, 1) Ð ÙÒ Ò ax × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º ¿ º È Ö ØÓ Ó a>1 Ð ÙÒ Ò loga (x) × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º ¿ º È Ö ØÓ Ó a ∈ (0, 1) Ð ÙÒ Ò loga (x) × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º ¿ º Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò loga (x) × Êº ¿ º È Ö ØÓ Ó a, x > 0¸ loga (x) = ln(x) ln(a) º ¿ º È Ö ØÓ Ó a, b, x > 0¸ loga (x) = logb (x) logb (a) º ¼º È Ö ØÓ Ó x, y ∈ Ê Ý a > 0 ax+y = ax · ay º ½º È Ö ØÓ Ó x∈Ê Ý a>0 ax ≥ 0 º ¾º È Ö ØÓ Ó a>0 Ð ÙÒ Ò ax : Ê → (0, ∞) ÒÓ × Ý Ø Ú º ¿º È Ö ØÓ Ó x ∈ ʸ aloga (x) = xº º È Ö ØÓ Ó a, x, y > 0¸ loga (xy) = loga (x) − loga (y)º º 1 l´ ln(1 + n ) = 0º ım º È Ö ØÓ Ó x∈ʸx<1 ÑÔÐ ex ≤ 1 1−x º º È Ö ØÓ Ó 1 x ∈ (0, ∞) ¸ − ln(x) = ln( x )º ½
- 198. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º Ó× a, b, c > 0¸ Ò Ù ÒØÖ ÙÒ ×ÓÐÙ Ò x>0 Ð Ù Ò logx (a) + logx2 (b) = cº ¾º Ê ×Ù ÐÚ Ð Ù Ò (exp(x))10 = 2 exp(2x)º ¿º Ê ×Ù ÐÚ Ð Ù Ò exp(−x) = exp(x)º º Ê ×Ù ÐÚ Ð Ù Ò e−x −ex ex +e−x = 0, 5º º Ò Ù ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × x yØ Ð × ÕÙ (x+y)log10 (x+y) = 1000(x+ y)2 Ý x ≤ 1º y º Ë (an ) ÙÒ ×Ù × Ò ÕÙ ÓÒÚ Ö aº ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó b > 0¸ l´ ban = ba º ım Ê Ù Ö ÕÙ x b = exp(x ln(b))º º Ë (an ) ÙÒ ×Ù × Ò ÕÙ ÓÒÚ Ö a > 0º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó b ∈ ʸ l´ ab = ab º ım n º Ð ÙÐ √ 2 sen(n) 2 n 3 n2 l´ ım 1 . 1 − ( 2n+2 )π 3n+1 º Ð ÙÐ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø × Ô Ö an = 1 n Ý 1 an = − n2 º µ l´ exp(2an )−1 º ım an µ l´ exp(−2an )−1 º ım an µ l´ ln(1−an ) º ım an µ l´ exp(−4ann ) º ım ln(1−5a )−1 1 µ l´ ım(1 + 2an ) an º ½¼º Ð ÙÐ ım(1 − l´ 1 n ln(6) n2 ) Ý ım(1 − ln(e + l´ 1 2 n2 ))n º ½½º Ê ×Ù ÐÚ Ð Ù Ò 3x = (2x )x º ½¾º an a Ë (an ) → a ÓÒ an = aº Ð ÙÐ ım −e l´ ean −a ½¿º Ë (an ) → a ÓÒ an = aº Ð ÙÐ l´ ln(aan −a ım n )−ln(a) ½
- 199. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × È½º Ð ÙÐ n 1 1 l´ ım ln(1 + ). n k k=1 n Ⱦº ÑÙ ×ØÖ ÕÙ xn = 1 k − ln(n) yn = xn − 1 n ×ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ × Ý k=1 ÕÙ Ø Ò Ò Ù Ð Ð Ñ Ø º √ È¿º È Ö x > 0¸ Ð ÙÐ l´ n( n x − 1)º ım È º 1 Ð ÙÐ l´ ım(1 + an ) exp(2an )−1 ¸ ÓÒ (an ) × ÙÒ ×Ù × Ò ÕÙ ÓÒÚ Ö ÖÓº È º Ä × Ø × × ÒØ Ö × Ò ØÖ × Ò×Ø ØÙ ÓÒ × ×ÓÒ 6% Ò٠и 0, 5 % Ñ Ò¹ ×Ù Ð Ý 100(e0,3α − 1) % Ò Ó Ó׸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÇÖ Ò Ð × Ò×Ø ØÙ ÓÒ × Ù Ö Ó Ð Ö ÒØ Ð Ó Ø Ò Ò ÙÒ Ô × ØÓ Ò Ó Ó׸ Ô Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ú ÐÓÖ × α ln(3)º Ê Ù Ö ¼¸ ½ Ý ÕÙ × Ò ÙÒ Ô Ö Ó Ó Ø ÑÔÓ Ð Ø × t % ÒØÓÒ ×¸ Ð ÒØ Ö × × Ô Ø Ð ÙÑ ÒØ Ò × Ô Ö Ó Ó Ò ÙÒ ØÓÖ (1 + t/100)º È º È Ö Ð ÙÒ Ò f (x) = ln(1 + ex )¸ Ø ÖÑ Ò ÓÑ Ò Ó¸ ÖÓ׸ Ö ¹ Ñ ÒØÓ Ý × ÒÓ׺ Ñ ×¸ Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ × y Ð Ù Ò f (x) = y Ø Ò ×ÓÐÙ Òº Í× ×Ø Ò ÓÖÑ Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÙÒ Ò 1 x ÒÚ Ö× º Ê Ô Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ð ÙÒ Ò f (x) = 2 (e − e−x )º ½
- 200. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 12: LÍMITE DE FUNCIONES Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ 9. Límite de Funciones Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × Ò ×Ø Ô ØÙÐÓ ÒÓ× ÒØ Ö × ÜØ Ò Ö Ð ÓÒ ÔØÓ Ð Ñ Ø ×Ù × ÓÒ × ÒÓØ ÓÒ ×º ÙÒ ÓÒ × Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ðº 9.1. Límite de Funciones hacia el infinito Ä ÔÖ Ñ Ö ÜØ Ò× Ò Ò ØÙÖ Ð ÓÒ× ×Ø Ò ×ØÙ Ö l´ ım f (x)¸ Ò Ð Ð Ñ ¹ x→+∞ ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò f ÒÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ò Ò º½ ´Ä Ñ Ø Ù Ò Ó x → +∞µº Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ë ℓ ÙÒ Ö Ð Óº Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò ℓ Ù Ò Ó x Ø Ò +∞ × × ÙÑÔÐ ÕÙ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ A ∩ [m, ∞), |f (x) − ℓ| ≤ ε ×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× Ò Ó ÕÙ l´ ım f (x) = ℓ. x→+∞ × Ð Ú Ö ÕÙ Ð Ò ÐÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ð Ñ Ø ×Ù × ÓÒ × ÑÔÐ ÕÙ ÐÓ× Ø ÓÖ Ñ × ÙÒ Ð Ð Ñ Ø ¸ Ð Ö Ð Ñ Ø ×¸ × Ò Û Ý Ð Ñ Ø × ÑÔÓÖØ ÒØ × × Ù Ò × Ò Ó Ú Ð Ó× Ò Ð Ñ Ø ÙÒ ÓÒ ×º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ 1 l´ ım = 0 x→+∞ x an xn + · · · + a1 x + a0 0 × n<m an l´ ım = bm × n=m x→+∞ bm xm + · · · + b1 x + b0 ∃ × n>m 9.1.1. Teoremas Ì ÓÖ Ñ º½ ´ Ò Ð Ð Ñ Ø µº Ë f : A ⊆ R → R × ÙÒ ÙÒ Ò Ø Ð ÕÙ ım f (x) = ℓ1 Ý l´ l´ ım f (x) = ℓ2 ÒØÓÒ × ℓ1 = ℓ2 . x→+∞ x→+∞ Ì ÓÖ Ñ º¾ ´ýÐ Ö µº Ë f : A ⊆ R → R Ý g : B ⊆ R → R ×ÓÒ ÙÒ ÓÒ × Ø Ð × ÕÙ l´ ım g(x) = ℓ2 Ý A∩B × ÒÓ ÓØ Ó ım f (x) = ℓ1 , l´ x→+∞ x→+∞ ½
- 201. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÒØÓÒ × l´ (f + g)(x) ım = ℓ1 + ℓ2 x→+∞ l´ (f − g)(x) ım = ℓ1 − ℓ2 x→+∞ l´ (f · g)(x) ım = ℓ1 · ℓ2 x→+∞ f ℓ1 l´ ( )(x) ım = , × ℓ2 = 0. x→+∞ g ℓ2 Ì ÓÖ Ñ º¿ ´Ë Ò Û µº Ë ØÖ × ÙÒ ÓÒ × f, g, h ÓÒ ÓÑ Ò Ó× A, B, C Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ ∃m, Ø Ð ÕÙ ∀x ∈ B ∩ [m, ∞) × ÙÑÔÐ f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)º ÒØÓÒ ×¸ × l´ f (x) = l´ h(x) = ℓ¸ × Ø Ò ÕÙ ım ım x→∞ x→∞ l´ g(x) = ℓ. ım x→∞ ÑÓ×ØÖ Òº Ä × ÑÓ×ØÖ ÓÒ × ×ÓÒ Ö ÐÑ ÒØ Ò ÐÓ × Ð × Ö Ð Þ ¹ × Ò ×Ù × ÓÒ × Ý × ÔÖÓÔÓÒ Ò ÓÑÓ Ö Óº ÑÔÐÓ º½º 1 1 Ð ÙÐ Ö ÐÓ× Ð Ñ Ø × l´ ım e x Ý ım x(e x − 1). l´ x→+∞ x→+∞ Ê ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÓÖÑ Ð ÒØ × Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ× ÙÒ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÔÙÖ Ñ ÒØ ÓÖ¹ Ñ Ð Ý × Ò Ñ ÝÓÖ Ù×Ø Ò 1 ÈÓ ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ù Ò Ó x → +∞ × Ø Ò ÕÙ x → 0 Ý ÔÓÖ ÐÓ 1 Ø ÒØÓ e x → e0 = 1 º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð × ÙÒ Ó Ð Ñ Ø × Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ ÙÒ Ò ÒÓ ÓØ ´xµ ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ ÙÒ ÕÙ ÓÒÚ Ö ÖÓ 1 ´e x − 1µº ËÓÐÙ Ò Í× ÑÓ× Ð × Ù Ð Ð ÜÔÓÒ Ò Ð ÑÓ Ó ÕÙ × x>1 × Ø Ò ÕÙ 1 1 1 + 1 ≤ ex ≤ 1 . x 1− x ÕÙ ¸ Ú ÑÓ× ÕÙ Ù Ò Ó x → +∞¸ Ð × Ó× ÓØ × ÓÒÚ Ö Ò 1º ÈÓÖ 1 ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ù× Ò Ó Ë Ò Û ÙÒ ÓÒ × × ÓÒ ÐÙÝ l´ ım e x = 1. x→+∞ È Ö Ð × ÙÒ Ó Ð Ñ Ø ¸ Ù× ÑÓ× Ð Ñ ×Ñ × Ù Ð ¸ Ö ×Ø Ò Ó ½ Ý ÑÙй Ø ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ x. ×Ø ÑÓ Ó × Ø Ò ÕÙ 1 1 1 ≤ x(e x − 1) ≤ 1 . 1− x 1 ÕÙ ¸ ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ù× Ò Ó Ë Ò Û × Ó Ø Ò ÕÙ ım x(e x − 1) = 1. l´ x→+∞ ¾¼¼
- 202. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 9.2. Primera extensión hacia −∞ × Ð¸ ÔÓÖ × Ñ ØÖ ×ØÙ Ö Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÙÒ Ò Ù Ò Ó x → −∞. ×Ø ÑÓ Ó × Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ò Ò Ò Ò º¾ ´Ä Ñ Ø Ù Ò Ó x → −∞µº Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ ÓØ Ó Ò Ö ÓÖÑ ÒØ º Ë ℓ ÙÒ Ö Ð Óº Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò ℓ Ù Ò Ó x Ø Ò −∞ × × ÙÑÔÐ ÕÙ ∀ε > 0, ∃m < 0, ∀x ∈ A ∩ (−∞, m], |f (x) − ℓ| ≤ ε. ×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× Ò Ó ÕÙ l´ ım f (x) = ℓ. x→−∞ Ç × ÖÚ Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ l´ ım f (x) = l´ ım f (−x) x→−∞ x→+∞ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð × ÔÖÓÔ × ×ØÓ× Ð Ñ Ø × ×ÓÒ Ò ÐÓ × ÕÙ ÐÐ × Ð ÔÖ Ñ Ö Ò Òº Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ 1 l´ ım = 0 x→−∞ x an xn + · · · + a1 x + a0 0 × n<m an l´ ım = bm × n=m x→−∞ bm xm + · · · + b1 x + b0 ∃ × n>m 9.2.1. Asíntotas (I) Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ø Ò Ð Ñ Ø ℓ ±∞, ×Ù Ö Ó × ÔÖÓÜ Ñ Ð Ö Ø y = ℓ. ÈÓÖ ×Ø Ö Þ Ò¸ ×Ø Ö Ø × ÐÐ Ñ × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f. Å × ÔÖ × Ñ ÒØ × Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ò Ò Ò Ò º¿ ´ × ÒØÓØ × ÓÖ ÞÓÒØ Ð ×µº ½º Ë l´ f (x) = ℓ1 Ò¹ ım x→+∞ ØÓÒ × Ð Ö Ø y = ℓ1 × ÐÐ Ñ × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f º ¾º Ë ım f (x) = ℓ2 ÒØÓÒ × Ð Ö Ø y = ℓ2 × ÓØÖ l´ × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð x→−∞ fº Ç × ÖÚ Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ó ÒÓ ÓØ Ó ±∞ ÔÙ Ø Ò Ö Ó× × ÒØÓØ × ÓÖ ÞÓÒØ Ð ×¸ ÙÒ +∞ Ý ÓØÖ −∞º Ò ÑÙ Ó× ×Ó× ×Ø × × ÒØÓØ × Ó Ò Ò¸ ÓÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ò Ð × ÙÒ Ó¹ Ò × Ö ÓÒ Ð ×º Î ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö f (x) = 2x+1 Ø Ò x+2 Ð × ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð y=2 Ù Ò Ó x → +∞ Ý Ù Ò Ó x → −∞. ¾¼½
- 203. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 9.2.2. Límites infinitos Ò Ò º ´Ä Ñ Ø × Ù Ð +∞µº ½º Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò +∞ Ù Ò Ó x Ø Ò +∞ × × ÙÑÔÐ ÕÙ ∀M > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ A ∩ [m, +∞), f (x) ≥ M. ×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× Ò Ó ÕÙ l´ ım f (x) = +∞. x→+∞ ¾º Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ ÓØ Ó Ò Ö ÓÖ¹ Ñ ÒØ º Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò +∞ Ù Ò Ó x Ø Ò −∞ × × ÙÑÔÐ ÕÙ ∀M > 0, ∃m < 0, ∀x ∈ A ∩ (−∞, m], f (x) ≥ M. ×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× Ò Ó ÕÙ l´ ım f (x) = +∞. x→−∞ Ç × ÖÚ Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ l´ ım f (x) = +∞ ⇐⇒ l´ ım f (−u) = +∞. x→−∞ u→+∞ × Ö¸ Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó x → −∞¸ ÓÒ Ú ÐÓÖ +∞ × Ö Ú Ó Ð ÓÒ ÔØÓ l´ ım f (x) = +∞ Ñ ÒØ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð u = −x. x→+∞ Ò Ò º ´Ä Ñ Ø × Ù Ð −∞µº ½º Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò −∞ Ù Ò Ó x Ø Ò +∞ × × ÙÑÔÐ ÕÙ ∀M < 0, ∃m > 0, ∀x ∈ A ∩ [m, +∞), f (x) ≤ M. ×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× Ò Ó ÕÙ ım f (x) = −∞. l´ x→+∞ ¾º Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ó A ÒÓ ÓØ Ó Ò Ö ÓÖ¹ Ñ ÒØ º Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) Ø Ò −∞ Ù Ò Ó x Ø Ò −∞ × × ÙÑÔÐ ÕÙ ∀M < 0, ∃m < 0, ∀x ∈ A ∩ (−∞, m], f (x) ≤ M. ×ØÓ ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× Ò Ó ÕÙ ım f (x) = −∞. l´ x→−∞ ¾¼¾
- 204. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ım f (x) = −∞ l´ ⇐⇒ ım −f (x) = +∞ l´ x→+∞ x→+∞ ım f (x) = −∞ l´ ⇐⇒ ım −f (−x) = +∞ l´ x→−∞ x→+∞ × Ö¸ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ù Ò Óx → ±∞ Ó ÓÒ Ú ÐÓÖ −∞ ÔÙ Ò × Ö Ö Ú Ó× Ð ÓÒ ÔØÓ l´ ım f (x) = +∞ Ñ ÒØ Ñ Ó× Ð Ö Ó× ÔÖÓÔ Ó׺ x→+∞ Ç × ÖÚ Ò ½º Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ø Ò Ð Ñ Ø Ù Ð +∞ Ó Ù Ð −∞ × ×Ù Ð Ö ÕÙ ÔÓ× Ð ÑØ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ R Ò Ó ÓÑÓ R = R ∪ {+∞, −∞} ÕÙ ×Ù Ð ÐÐ Ñ Ö× R¹ ÜØ Ò Óº ¾º ÓÑÓ Ð × ×Ù × ÓÒ × ×ÓÒ ÙÒ ÓÒ ×¸ Ð × Ò ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × Ô ÖÑ ¹ Ø Ò ×Ø Ð Ö Ð × Ò Ó Ð × Ö × × sn → +∞ Ý sn → −∞. ÑÔÐÓ× ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓ Ö Ù× Ò Ó Ð Ò Ò ÕÙ l´ ım x = +∞. x→+∞ ËÓÐÙ Ò Ò ØÓ¸ Ù× Ò Ó Ð Ò Ò¸ È É ∀M > 0, ∃m > 0, ∀x ≥ m, f (x) = x ≥ M. Ä ÔÖÓÔÓ× Ò ÒØ Ö ÓÖ × Ð Ö Ñ ÒØ ÖØ × × ØÓÑ m= M. ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓ Ö Ù× Ò Ó Ð ÑÔÐÓ ½ ÕÙ ım x = −∞. l´ x→−∞ ËÓÐÙ Ò Ò ×Ø ×Ó ×Ø ÓÒ Ó × ÖÚ Ö ÕÙ l´ ım −x = −∞. ım x = l´ x→−∞ x→+∞ ÑÔÐÓ ¿º ÈÖÓ Ö Ù× Ò Ó Ð Ò Ò¸ ÕÙ × l´ ım f (x) = +∞ Ý ¹ x→+∞ Ñ × ∃m, Ø Ð ÕÙ f (x) ≤ g(x) Ô Ö ØÓ Ó x ∈ Dom(g)∩[m, ∞) ÒØÓÒ × l´ ım g(x) = +∞. x→+∞ ËÓÐÙ Ò Ë ÑÓ× ÕÙ I) ∀M > 0, ∃m′ > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [m′ , ∞), f (x) ≥ M II) ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(g) ∩ [m, ∞), f (x) ≤ g(x). ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ ∀M > 0, ∃m′′ > 0, ∀x ∈ Dom(g) ∩ [m′′ , ∞), g(x) ≥ M. ×Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔÓ× Ò × Ú Ö Ö ¸ Ý ÕÙ × M > 0 × Ö ØÖ Ö Ó¸ ´Áµ × Ù Ð Ü ×Ø Ò m′ > 0¸ Ô ÖØ Ö ¾¼¿
- 205. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ð Ù Ð × ÙÑÔÐ f (x) ≥ M º ´II µ × Ù ÕÙ Ü ×Ø m > 0 Ô ÖØ Ö Ð Ù Ð × ÙÑÔÐ f (x) ≤ g(x). ÌÓÑ Ò Ó m′′ = m´x {m, m′ } × Ø Ò Ö ÕÙ m′′ > 0 Ý a Ñ × ∀x ∈ Dom(g) ∩ [m′′ , ∞), g(x) ≥ f (x) ≥ M. ×ØÓ × ÐÓ ÕÙ × ÕÙ Ö ÑÓ×ØÖ Öº ÑÔÐÓ º ÈÖÓ Ö ÕÙ l´ ım exp(x) = +∞. x→+∞ ËÓÐÙ Ò Ò ×Ø ×Ó ×Ø ÓÒ Ù× Ö Ð ÓØ exp(x) ≥ 1 + x ≥ x, ∀x ∈ R. ÓÑÓ x → +∞, Ù× Ò Ó Ð ÑÔÐÓ ¿ × Ø Ò ÕÙ exp(x) → +∞. ÑÔÐÓ º ÓÑ Ò Ò Ó ÐÓ× ÑÔÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×¸ l´ ım exp(x) = l´ ım exp(−x) x→−∞ x→+∞ 1 = l´ ım x→+∞ exp(x) = 0. Ò Ð ÐØ Ñ Ð Ò ÑÓ× Ù× Ó Ð Ö ×ÙÐØ Ó 1 l´ ım f (x) = +∞ =⇒ l´ ım = 0. x→+∞ x→+∞ f (x) ×ØÓ ÐÓ ÔÖÓ Ö ÑÓ× ÓÑÓ ÙÒ ÔÖÓÔ º ÈÖÓÔ ½¿º 1 l´ ım f (x) = +∞ =⇒ l´ ım = 0. x→+∞ x→+∞ f (x) ÑÓ×ØÖ Òº Ò ØÓ¸ × Ö ÓÖ ÑÓ× Ð × Ò ÓÒ × × Ø Ò ÕÙ l´ ım f (x) = +∞ x→+∞ ⇐⇒ ∀M > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [m, +∞),f (x) ≥ M 1 1 ⇐⇒ ∀M > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [m, +∞), 0 < ≤ f (x) M 1 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [m, +∞), 0 < ≤ε f (x) 1 =⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [m, +∞), −ε ≤ ≤ε f (x) 1 ⇐⇒ l´ ım = 0. x→+∞ f (x) ¾¼
- 206. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ º ÈÖÓ Ö ÕÙ l´ ım ln(x) = +∞. x→+∞ ËÓÐÙ Ò È Ö ×Ø ÑÔÐÓ Ù× Ö ÑÓ× Ð Ò Ò¸ × Ö¸ ÔÖÓ Ö ÑÓ× ÕÙ ∀M > 0, ∃m > 0, ∀x ≥ m, ln(x) ≥ M. È Ö ÐÐÓ¸ Ú ÑÓ× ÕÙ ln(x) ≥ M ⇐⇒ x ≥ exp(M ) ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ó M > 0 Ö ØÖ Ö Ó¸ ×Ø ØÓÑ Ö m = exp(M ) Ý × ÙÑÔÐ Ö ÕÙ × x≥m ÒØÓÒ × ln(x) ≥ M. 9.2.3. Asíntotas (II) Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ø Ò ±∞ Ù Ò Ó x → ±∞, × ÔÓ× Ð ÕÙ ×Ù Ö Ó × ÔÖÓÜ Ñ ÙÒ Ö Ø Ó Ð Ù º Ò ×Ø ×Ó Ð Ö Ø × ÐÐ Ñ × ÒØÓØ Ó Ð Ù Ð ÙÒ Òº Ä Ò Ò ÔÖ × ×Ø ÓÒ ÔØÓ × Ð × Ù ÒØ Ò Ò º ´ × ÒØÓØ × Ó Ð Ù ×µº ½º Ä Ö Ø y = m1 x + n1 × ÙÒ × ÒØÓØ Ó Ð Ù f Ù Ò Ó x → +∞ × × ÙÑÔÐ ÕÙ ım f (x) − (m1 x + n1 ) = 0. l´ x→+∞ ¾º Ë l´ f (x) − (m2 x + n2 ) = 0 ÒØÓÒ × Ð Ö Ø y = m2 x + n2 × ım x→−∞ ÙÒ × ÒØÓØ Ó Ð Ù f Ù Ò Ó x → −∞º Ç × ÖÚ Ò È Ö Ð ÙÐ Ö Ð × ÓÒ×Ø ÒØ × m, n ÙÒ Ú ÒØÙ Ð × ÒØÓØ Ó Ð Ù ÔÓ ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö ÕÙ ım f (x) − (mx + n) = 0 l´ ⇐⇒ ım f (x) − mx n = l´ x→+∞ x→+∞ f (x) − mx =⇒ l´ ım =0 x→+∞ x f (x) ⇐⇒ m = l´ ım . x→+∞ x ×Ø Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÒØÖ Ó× ÖÑÙÐ × Ô Ö Ð ÙÐ Ö m Ý n f (x) m = l´ ım , ım f (x) − mx. n = l´ x→+∞ x x→+∞ Ë Ñ Ó× Ð Ñ Ø × Ü ×Ø Ò ´ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð × ÙÒ Óµ ÒØÓÒ × y = mx + n × Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ × ÒØÓØ Ó Ð Ù fº Ð Ñ ×ÑÓ Ð ÙÐÓ × ÔÙ Ö Ð Þ Ö Ù Ò Ó x → −∞. ¾¼
- 207. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÔÐÓ º¾º 1 Ò ÓÒØÖ Ö Ð × × ÒØÓØ × Ó Ð Ù × Ð ÙÒ Ò f (x) = xe x ËÓÐÙ Òº ×ØÙ ÑÓ× Ð ÙÒ Ò f (x) =e . x ÑÓ× Ú ×ØÓ Ò Ð Ô Ò 1 x ÕÙ ×Ø ÙÒ Ò Ø Ò → +∞. Ì Ñ Ò ×ØÓ Ó ÙÖÖ × 1 × x x → −∞ ´ÔÖÓÔÙ ×ØÓµº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ m = 1. 1 ÓÖ ×ØÙ ÑÓ× Ð ÜÔÖ × Ò f (x) − mx = x(e x − 1)º Ì Ñ Ò ÑÓ× ×ØÙ Ó ×Ø Ð Ñ Ø Ý × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ n = 1. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ×Ø ÙÒ Ò Ø Ò ÓÑÓ × ÒØÓØ Ó Ð Ù Ð Ö Ø y = x+1 Ù Ò Ó x → ±∞. 9.2.4. Teorema de composición (I) Ì ÓÖ Ñ º º Ë Ò f : A ⊆ R → R Ý g : B ⊆ R → R Ó× ÙÒ ÓÒ × Ø Ð × ÕÙ l´ f (x) = ℓ Ý l´ g(x) = +∞. ım ım x→+∞ x→+∞ ÒØÓÒ ×¸ × Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÓÑÔÓ× Ò f ◦g ÒÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ × ÙÑÔÐ ÕÙ ım (f ◦ g) (x) = ℓ. l´ x→+∞ Ç × ÖÚ Ò Ò Ò Ö Ð¸ Ð Ü ×Ø Ò ÐÓ× Ó× Ð Ñ Ø × ÔÓÖ × Ô Ö Ó ÒÓ Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÓÑÔÓ× Ò ÒÓ × ÓØ Ó¸ Ò ØÓ¸ × ÔÓÖ √ ÑÔÐÓ × A=B=Q Ý g(x) = x 2¸ ÒØÓÒ × ÓÑ´f ◦ g µ {0} . ÈÓÖ ×Ø Ö Þ Ò¸ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ × Ö Ó Ð Ô Ø × × Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÓÑÔÓ× Ò f ◦g ÒÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÑÓ×ØÖ Òº Ë ÑÓ× ÕÙ l´ ım f (x) = ℓ Ý l´ ım g(x) = +∞, × x→+∞ x→+∞ Ö ÕÙ I) ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ A ∩ [m, ∞) |f (x) − ℓ| ≤ ε II) ∀M > 0, ∃m′ > 0, ∀x ∈ B ∩ [m′ , +∞) g(x) ≥ M. ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ l´ (f ◦ g) (x) = ℓ, ım × Ö¸ × ÐÐ Ñ ÑÓ× C = x→∞ ÓÑ(f ◦ g) È Éº ∀ε > 0, ∃m′′ > 0, ∀x ∈ C ∩ [m′′ , ∞) |(f ◦ g) (x) − ℓ| ≤ ε ÒØ × ÓÑ ÒÞ Ö Ð ÑÓ×ØÖ Ò¸ Ö ÓÖ ÑÓ× Ð Ò Ò C= ÓÑ(f ◦ g) C = {x ∈ B : g(x) ∈ A} . Ë ε>0 Ö ØÖ Ö Ó¸ Ù× Ò Ó Ð ØÓ ´I µ × ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø m > 0, Ô Ö Ð Ù Ð × ÙÑÔÐ ∀z ∈ A ∩ [m, ∞) |f (z) − ℓ| ≤ ε. Í× Ò Ó ÓÖ Ð ØÓ ´II µ Ò Ð ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò ÕÙ M = m, × Ø Ò ÕÙ Ü ×Ø m′ > 0 ÑÓ Ó ÕÙ ∀x ∈ B ∩ [m′ , ∞), g(x) ≥ m. ¾¼
- 208. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ′ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ∀x ∈ C ∩ [m , ∞) ÔÓ ÑÓ× Ö Ð Þ Ö ÐÓ × Ù ÒØ ½º x ∈ B ∩ [m′ , +∞), ÓÒ × Ù ÕÙ g(x) ≥ m. ¾º ÓÑÓ x ∈ C × ÙÑÔÐ Ñ × ÕÙ g(x) ∈ A¸ × Ö z = g(x) ∈ A ∩ [m, ∞)¸ × ÓÒ × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ |f (g(x)) − ℓ| ≤ ε. ÓÒ ×ØÓ ÓÒ ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Ò ÓÒ m′′ = m′ . ÑÔÐÓ º¿º Ò ×Ù × ÓÒ × × ×ØÙ Ó Ð ×Ù × Ò sn = an Ò ÓÒØÖ Ò Ó× ÕÙ Ð Ð Ñ Ø Ô Ò Ð Ú ÐÓÖ aº ÓÖ Ò ÙÒ ÓÒ × ×ØÙ ÑÓ× Ð ÙÒ Ò f (x) = ax ÓÒ a > 0º Ë ÑÓ× ÕÙ ÔÓÖ Ò Ò¸ × ÙÑÔÐ f (x) = exp(x ln a). ÄÙ Ó¸ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó x → +∞ ÑÓ× Ð Ñ Ó Ú Ö Ð ´Ù×Ó Ð Ø ÓÖ Ñ Ð ÓÑÔÓ× Òµ u = x ln aº Ë ÑÓ× ÕÙ +∞ × a>1 l´ ım u = −∞ × a<1 x→+∞ 0 × a=1 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð Ð Ñ Ø Ö ÕÙ Ö Ó × Ö Ù Ð l´ ım exp(u) × a>1 u→+∞ l´ ım f (x) = l´ ım exp(u) × a<1 x→+∞ u→−∞ 1 a=1 × +∞ × a > 1 = 0 × a < 1 1 × a = 1 × Ö¸ +∞ × a>1 ım ax = l´ 0 × a<1 x→+∞ 1 × a=1 ÑÔÐÓ º º ÇØÖ ×Ù × ÓÒ ÒØ Ö × ÒØ × sn = nan Ù Ò Ó |a| < 1º ÓÖ Ò ÙÒ ÓÒ × ×ØÙ ÑÓ× Ð ÙÒ Ò f (x) = xax ÓÒ a ∈ (0, 1) Ù Ò Ó x → +∞º ¾¼
- 209. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ë ÑÓ× ÕÙ ÔÓÖ Ò Ò¸ × ÙÑÔÐ x f (x) = x exp(x ln a) = . exp(−x ln a) ÕÙ ¸ Ø ÒØÓ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÑÓ Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ Ø Ò Ò +∞º ÈÓÖ ×Ø Ö Þ Ò¸ Ò × Ø ÑÓ× ÙÒ × Ù Ð ÓÒ × ÓÑÔ Ö Ð ÜÔÓÒ Ò Ð ÓÒ Ð × ÔÓØ Ò × x Ù Ò Ó x → +∞º ÍÒ ÔÖ Ñ Ö × Ù Ð × exp u ≥ 1 + u, Ô ÖÓ ÕÙ Ð ÓØ × Ð Ò Ð Ò uº ÍÒ × Ù Ð Ñ × Ù ÖØ Ù Ò Ó u>0 × Ð × Ù ÒØ u 2 u 2 u2 u2 exp u = exp ≥ (1 + ) =1+u+ ≥ . 2 2 2 2 ÓÒ ×Ø × Ù Ð ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ ¸ Ô Ö u = −x ln a > 0 × Ø Ò ÕÙ x 2x 0≤ ≤ . exp(−x ln a) x2 ln2 a ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ù× Ò Ó Ë Ò Û × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ ım xax = 0, l´ Ù Ò Ó x→+∞ a ∈ (0, 1)º ÓÑÓ ×Ó× Ô ÖØ ÙÐ Ö × × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ x ln u l´ ım = 0, l´ ım = 0. x→+∞ ex u→+∞ u ´ Ò Ð ÐØ ÑÓ¸ × Ù× Ð Ñ Ó Ú Ö Ð x = ln u Ô Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ ÖÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ ÖÓµº 9.2.5. ’? Puede cortarse una asíntota horizontal? Ò ÑÙ Ó× ÑÔÐÓ× × Ó × ÖÚ ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× Ð × ÙÒ ÓÒ × × ÔÖÓ¹ Ü Ñ Ò ×Ù× × ÒØÓØ × ÓÖ ÞÓÒØ Ð × Ò ÓÖÑ × ÒØ Ø × Ò ÓÖØ ÖР׺ Ç × f (x) → ℓ Ù Ò Ó x → +∞ Ô ÖÓ ÒÓ Ó ÙÖÖ ÕÙ f (x) = ℓ. ×ØÓ ÕÙ Ó ÙÖÖ Ò Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× ÒÓ × ÙÒ Ò Ö Ð ¸ × Ò Ñ Ö Ó ÔÙ × Ö Ø Ð Ô Ö Ð × ÔÐ ÓÒ × ÕÙ × Ù Òº 1 ÍÒ ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö × Ð Ð ÙÒ Ò xº Ò ×Ø ×Ó × ÑÓ× ÕÙ 1 l´ ım = 0. x→±∞ x Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÔÓ ÑÓ× × Ö Ñ × ÔÖ ×Ó× Ý Ú Ö ÕÙ Ù Ò Ó x >0 × Ø Ò 1 1 ÕÙ x > 0 Ý ÕÙ Ù Ò Ó x < 0 × Ø Ò ÕÙ x < 0º ¾¼
- 210. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 1 × Ð ÔÙÒØÓ Ú ×Ø Ö Ó¸ ×ØÓ ÕÙ x × ÔÖÓÜ Ñ Ð Ö Ø y=0 ÔÓÖ ÖÖ ´ Ù Ò Ó x → +∞) Ý ÔÓÖ Ó ´ Ù Ò Ó x → −∞)º È Ö Ò Ø Þ Ö ×Ø ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ö ÑÓ× ÕÙ 1 l´ ım = 0+ x→+∞ x 1 l´ ım = 0− . x→−∞ x ×Ø ÒÓØ Ò × ÔÙ ÔÖ × Ö Ñ × Ò Ð × Ù ÒØ Ò Ò Ò Ò º ´Ä Ñ Ø Ù Ð ℓ+ Ó ℓ− µº ½º Ö ÑÓ× ÕÙ l´ ım f (x) = x→+∞ ℓ + × × ÙÑÔÐ ÕÙ l´ ım f (x) = ℓ Ý ∃m > 0, ∀x ∈ ÓÑ(f ) ∩ [m, +∞), f (x) > ℓ. x→+∞ ¾º Ö ÑÓ× ÕÙ ım f (x) = ℓ− × × ÙÑÔÐ ÕÙ l´ x→+∞ l´ ım f (x) = ℓ Ý ∃m > 0, ∀x ∈ ÓÑ(f ) ∩ [m, +∞), f (x) < ℓ. x→+∞ ¿º Ò ÐÓ Ñ ÒØ × Ò Ò ÐÓ× Ð Ñ Ø × l´ f (x) = ℓ+ Ý l´ f (x) = ım ım x→−∞ x→−∞ ℓ− . ÑÔÐÓ× ÍÒ ÑÔÐÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ÒÓ× × Ö Ø Ð Ò Ð × Ò × Ù ÒØ × 1 l´ ım x0 + = x+ 0 u→+∞ u 1 l´ ım x0 − = x− 0 u→+∞ u ×Ø ÑÔÐÓ ÒÓ× ÑÙ ×ØÖ Ó× ÓÖÑ × ÔÖÓÜ Ñ Ö× Ð ÔÙÒØÓ x0 º ÍÒ ÔÓÖ Ð Ö Ý ÓØÖ ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ðº 9.3. Límites laterales hacia un real À ×Ø Ð ÑÓÑ ÒØÓ¸ ÓÒ Ð × Ó× Ò ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÐØ Ñ Ð Ñ Ø ÙÒ¹ ÓÒ × × ÓØ Ö Ñ ÒØ × Ñ Ð Ö ´Ø ÓÖ Ñ × Ò ÐÓ Ó׸ ÓÒ Ð × ØÖ Ù ÓÒ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×µ Ð Ø Ñ Ð Ñ Ø ×Ù × ÓÒ ×º À ÑÓ× Ú ×ØÓ ÕÙ ÙÒ Ö Ò ×ÙØ Ð × ÕÙ Ð Ú Ö Ð x¸ Ñ × ÑÓÚ Ö× +∞ ´ ÓÑÓ Ò Ð × ×Ù × ÓÒ ×µ¸ Ø Ñ Ò ÔÙ ÖÐÓ −∞º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ó× Ð Ñ Ø × Ò Ó× ÒÓ × ÑÙÝ Ö Ò º ÍÒ Ö Ò Ñ ÝÓÖ ÑÔÓÖØ Ò ¸ × ÕÙ ÓÖ Ð Ú Ö Ð × ÔÓ Ö Ö Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ x0 ∈ Rº È Ö Ö ×ØÓ¸ Ù× Ö ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × Ò ÓÒ ×º ¾¼
- 211. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ò º ´Ä Ñ Ø Ù Ò Ó x → x0 ÔÓÖ Ð Ö Ý ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö µº Ë f : A ⊂ R → R ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÑ Ò Ó Aº Ë Ò x0 Ý ℓ Ó× Ö Ð × Ó׺ ½º Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) → ℓ Ù Ò Ó x Ø Ò x+ ´ÔÓÖ Ð 0 Ö x0 µ × × ÙÑÔÐ ÕÙ 1 l´ ım f x0 + = ℓ. u→+∞ u ¾º Ö ÑÓ× ÕÙ f (x) → ℓ Ù Ò Ó x Ø Ò x− ´ÔÓÖ Ð 0 ÞÕÙ Ö x0 µ × × ÙÑÔÐ ÕÙ 1 l´ ım f x0 − =ℓ u→+∞ u ÆÓØ Ò 1 l´ f (x) ım = l´ ım f x0 + x→x+ 0 u→+∞ u 1 l´ − f (x) ım = l´ ım f x0 − x→x0 u→+∞ u ÑÔÐÓ× Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ù× Ò Ó Ð Ò Ò × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ 1 l´ x = ım l´ ım x0 + x→x+ 0 u→+∞ u = x+ 0 Ý 1 l´ − x ım = ım x0 − l´ x→x0 u→+∞ u − = x0 . 9.3.1. Como debe ser el dominio de f en torno a x0 Ç × ÖÚ Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ò Ò × Ö ´Ô ÖÓ ÒÓ ×Ù ÒØ µ Ô Ö ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ Ø × ÒØ Ö ÓÖ × Ø Ò Ò × ÒØ Ó × ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð × 1 1 ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö × g(u) = f x0 + u Ý h(u) = f (xo − u ) × Ò ÒÓ ÓØ Ó× ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º ×Ø Ó× ØÖ Ù Ò ÔÖÓÔ × ×Ô × Ð ÓÑ Ò Ó A Ð ÙÒ Ò f (x) Ò ØÓÖÒÓ Ð ÔÙÒØÓ x0 º È Ö ÒØ Ò Ö ×Ø × ÔÖÓÔ ×¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ×Ó Ð ÙÒ Ò g(u)º ¾½¼
- 212. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ ÒÓØ Ö ÕÙ 1 u ∈ Dom(g) ⇐⇒ x = x0 + ∈ Dom(f ). u ×Ø Ó Ô ÖÑ Ø Ö Ð Þ Ö Ð × Ù ÒØ × Ù Ò ÕÙ Ú Ð Ò ×¸ ÕÙ ÒÓ× Ò× Ò ÕÙ × Ò ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó g ÒÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ÓÑ Ò Ó fº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Dom(g) ÒÓ × ÓØ Ó ×ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ 1 ⇐⇒ ∀m > 0, ∃u ≥ m, x = x0 + ∈ Dom(f ) u 1 ⇐⇒ ∀m > 0, ∃x ∈ Dom(f ), ≥m x > x0 ∧ u = x − x0 1 ⇐⇒ ∀m > 0, ∃x ∈ Dom(f ), x0 < x ≤ x0 + m ⇐⇒ ∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ]. Ä ÐØ Ñ ÔÖÓÔÓ× Ò ÒÓ× ÕÙ Ô Ö ÔÓ Ö ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø f (x) Ù Ò Ó x → x+ 0 × Ò × Ö Ó ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò f ÔÓ× Ö Ð × Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö ÒÓ× x0 ÔÓÖ Ð Ö Ðº ÑÔÐÓ× Î ÑÓ× Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× ÓÒ × ÙÑÔÐ Ý ÓÒ ÒÓ × ÙÑÔÐ Ð ÓÒ Ò ∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ]. ½º Ë Dom(f ) = R Ð ÓÒ Ò ËÁ × ÙÑÔÐ º Ó ∀δ > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = (x0 , x0 + δ] ÓÒ ×Ø ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð ÔÙÒØÓ x = x0 + δ. ¾º Ë Dom(f ) = Q Ð ÓÒ Ò ËÁ × ÙÑÔÐ º ×ØÓ × Ó ÕÙ ¸ ÔÓÖ Ð Ò× ÐÓ× Ö ÓÒ Ð × Ò R¸ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (x0 , x0 + δ] × ÑÔÖ Ý Ö ÓÒ Ð × Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∀δ > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = Q ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅ 1 ¿º Ë Dom(f ) = x0 + n : n ∈ N∗ Ð ÓÒ Ò ËÁ × ÙÑÔÐ º ×ØÓ × Ó ÕÙ Ù×Ø Ñ ÒØ ¸ Ð Ö x0 Ü ×Ø Ò ÐÓ× 1 ÔÙÒØÓ× Ð ÓÖÑ x0 + n ÐÓ× ÕÙ ÓÒÚ Ö Ò x0 º 1 1 ∀δ > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = x0 + : n ≥ , n ∈ N∗ n δ ¾½½
- 213. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º Ë Dom(f ) = (−∞, x0 ] Ð ÓÒ Ò ÆÇ × ÙÑÔÐ º Ò ×Ø ×Ó¸ ÒÓ Ý Ö Ð × Ð Ö x0 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∀δ > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅ º Ë Dom(f ) = {x0 + k : k ∈ Z∗ } Ð ÓÒ Ò ÆÇ × ÙÑÔÐ º Ò ×Ø ×Ó¸ Ý Ö Ð × Ð Ö Ý Ð ÞÕÙ Ö x0 Ô ÖÓ Ð Ñ × Ö ÒÓ ×Ø 1 x0 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∀δ ∈ (0, 1), Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅. ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ × δ > 1, Ð ÒØ Ö× Ò ÒÓ ×Ú ¸ Ô ÖÓ Ð ÔÖÓÔ ÙÑÔÐ Ö× Ô Ö ØÓ Ó δ > 0º Ç × ÖÚ Ò Ò ÓÖÑ Ò ÐÓ Ð ×ØÙ Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ ÒÓ × Ð ÓÒÚ Ò¹ Ö× ÕÙ ¸ Ô Ö ÔÓ Ö ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ò x0 × Ò × Ö Ó ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó × Ø × Ð ÓÒ Ò ∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 ). ÄÓ× ÑÔÐÓ× Ó× ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÙ Ò ÒÚ ÖØ Ö× ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö ÓÖÑ Ö ÑÔÐÓ× ÓÑ Ò Ó× ÓÒ × ÙÑÔÐ Ò x0 . Ð ÓÒ Ò ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö √ ÍÒ ÑÔÐÓ Ñ × × Ð ×Ó Ð ÙÒ Ò f (x) = xº Ò ×Ø ×Ó ×Ù ÓÑ Ò Ó + Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó x → 0 Ô ÖÓ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ð ×ØÙ Ó Ð − Ð Ñ Ø Ù Ò Ó x → 0 . ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ù Ò Ó x0 > 0 × ÔÙ Ò ×ØÙ Ö ÐÓ× + − Ó× Ð Ñ Ø ×¸ Ù Ò Ó x → x0 Ý Ù Ò Ó x → x0 . Ò ÐÑ ÒØ ¸ × x0 < 0 ÒÓ × ÔÓ× Ð Ö Ö× x0 Ò ÔÓÖ Ð Ö Ò ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ü ×Ø Ò Ó ×Óº Ò Ò º º ÓÒ× Ö ÑÓ× x0 ∈ R. Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó f Ô Ö¹ ÑØ ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó x → x+ × × ÙÑÔÐ ÕÙ 0 ∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ]. Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ø Ù Ò¹ Ó x → x− × × ÙÑÔÐ ÕÙ 0 ∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 ). Ç × ÖÚ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × × × ÙÑÔÐ ÕÙ ∀δ > 0, ∃x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 + δ] {x0 } . Ò ØÓ¸ × Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ù Ö ×ØÙ Ð ¸ × ÙÑÔÐ Ö ÕÙ ∃δ1 > 0, Dom(f ) ∩ [x0 − δ1 , x0 ) = ∅ ¾½¾
- 214. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ý ∃δ2 > 0, Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ2 ] = ∅. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ØÓÑ Ò Ó δ = m´ {δ1, , δ2 } ın × Ø Ò Ö ÕÙ ∃δ > 0, Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 + δ] {x0 } = ∅. ÄÓ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ò Ò Ð ÔÖÓÔÓ× Ò Ö ÕÙ Ö ºÄ ÓÒ ÐÙ× Ò Ð Ó × ÖÚ Ò × Ó Ø Ò ØÓÑ Ò Ó Ð ÓÒØÖ Ö ÔÖÓ Ó Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÒØ Ö ÓÖº ÑÔÐÓ× 1 l´ ln(x) ım = l´ ım ln x→0+ u→+∞ u = − l´ ım ln u u→+∞ = −∞. 1 l´ − e x ım = ım e−u l´ x→0 u→+∞ u 1 = l´ ım u→+∞ e = 0. 1 l´ + e x ım = ım eu l´ x→0 u→+∞ = +∞. 9.3.2. Definición de límite Ò Ò º½¼º Ë Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö ÐÓ× Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ò x0 ¸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ Ø Ð ÙÒ Ò Ü ×Ø Ù Ò Ó Ñ Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ü ×Ø Ò Ý × Ò Ù Ð ×º Ò Ø Ð ×Ó ÒÓØ Ö ÑÓ× l´ f (x) = l´ f (x) = l´ f (x). ım ım ım x→x0 x→x+ x→x− 0 0 Ò Ð ×Ó Ò ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ô ÖÑ Ø × ÐÓ Ð ×ØÙ Ó ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð ×¸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ Ø f (x) Ù Ò Ó x → x0 Ü ×Ø ¸ × Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð Ü ×Ø º ØÖ Ø Ö× × ÐÓ Ð Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð Ö × ÒÓØ Ö l´ f (x) = l´ + f (x), ım ım x→x0 x→x0 Ý ØÖ Ø Ö× × ÐÓ Ð Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö × ÒÓØ Ö l´ f (x) = l´ − f (x). ım ım x→x0 x→x0 ¾½¿
- 215. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ð ×Ó Ò ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö ÒÒ Ò Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð¸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ Ø ÒÓ Ü ×Ø º Ç × ÖÚ Ò ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ × Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ¹ Ö Ñ Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ù Ò Ó x → x0 , Ô ÖÓ × ÐÓ ÙÒÓ ÐÐÓ× Ü ×Ø ¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ Ø × × ÆÇ Ü ×Ø º ÑÔÐÓ× ÄÓ× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø × ×ÓÒ × Ò ÐÐÓ× Ú Ö Ö l´ x ım = x0 x→x0 l´ P (x) ım = P (x0 ) x→x0 P (x) P (x0 ) l´ ım = x→x0 Q(x) Q(x0 ) 1 l´ ln ım = ∃ x→0 x 1 l´ e x ım = ∃ x→0 9.3.3. Asíntotas verticales Ò Ò º½½º Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÙÒ Ò f Ø Ò ÙÒ × ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ò x0 × Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × × ±∞, × Ö¸ × × ÙÑÔÐ Ð ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × 1 l´ ım f (x0 + ) = +∞ u→+∞ u 1 ım f (x0 + ) l´ = −∞ u→+∞ u 1 ım f (x0 − ) l´ = +∞ u→+∞ u 1 ım f (x0 − ) l´ = −∞ u→+∞ u Ö Ñ ÒØ Ù Ò Ó ÐÓ× Ú ÐÓÖ × x × ÔÖÓÜ Ñ Ò x0 ÔÓÖ ÓÒ ÓÖÖ ×¹ ÔÓÒ ¸ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð ÙÒ Ò Ö Ò Ó Ö Ò × Ò ÓØ º 9.3.4. Caracterizeción ǫ − δ del límite Ì ÓÖ Ñ º º Ë Ð ÓÑ Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð ÐÑØ Ù Ò Ó x → x0 ÒØÓÒ × × ÙÑÔÐ ÕÙ ℓ = l´ f (x) ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ ım ÓÑ(f )∩[x0 −δ, x0 +δ]{x0 } , |f (x) − ℓ| ≤ ε x→x0 ¾½
- 216. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ÑÓ×ØÖ Òº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ò Ð ×Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð Ö × Ø Ò ÕÙ ℓ = l´ f (x) ım x→x+ 0 1 ⇐⇒ ℓ = l´ ım f (x0 + ) u→+∞ u 1 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀u ≥ m, ∈ Dom(f ) =⇒ |f (x) − ℓ| ≤ ε x = x0 + u 1 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + ] |f (x) − ℓ| ≤ ε m ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] |f (x) − ℓ| ≤ ε. Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ò Ð ×Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö × Ø Ò ÕÙ ℓ = l´ − f (x) ım x→x0 1 ⇐⇒ ℓ = l´ ım f (x0 − ) u→+∞ u 1 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∈ Dom(f ) =⇒ |f (x) − ℓ| ≤ ε ∀u ≥ m, x = x0 − u 1 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃m > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − , x0 ) |f (x) − ℓ| ≤ ε m ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 − δ, x0 ) |f (x) − ℓ| ≤ ε. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ × Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö ÐÓ× Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × × Ø Ò ÕÙ ℓ = l´ f (x) ım x→x0 ⇐⇒ ℓ = l´ + f (x) = l´ − f (x) ım ım x→x0 x→x0 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ1 > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ (x0 , x0 + δ1 ] |f (x) − ℓ| ≤ ε, ∀ε > 0, ∃δ2 > 0, ∀x ∈ Dom(f ) ∩ [x0 + δ2 , x0 ) |f (x) − ℓ| ≤ ε ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ A ∩ [x0 − δ, x0 + δ] {x0 } , |f (x) − ℓ| ≤ ε. Ò Ð ×Ó Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ô ÖÑ Ø Ð ×ØÙ Ó × ÐÓ ÙÒ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð¸ Ð ÕÙ Ú Ð Ò × Ö Ø º ¾½
- 217. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × 1 ½º l´ ım = 1º x→+∞ x 1 ¾º l´ ım = +∞º x→+∞ x 1 ¿º l´ ım = 0º x→+∞ x 1 º l´ ım = −∞º x→+∞ x x+1 1 º l´ ım = º x→+∞ 2+x 2 x+1 º l´ ım = 1º x→+∞ 2+x x+1 º l´ ım = 0º x→+∞ 2+x x+1 º l´ ım = +∞º x→+∞ 2+x x+1 º l´ ım = −∞º x→+∞ 2+x ½¼º Ë f :Ê→Ê × Ø Ð ÕÙ ∀x > 0, 1 x ≤ f (x) ÒØÓÒ × l´ ım f (x) = 0º x→+∞ ½½º Ëf : Ê → Ê × Ø Ð ÕÙ ∀x > 0, 1 x+1 ≤ f (x) ≤ 1 x ÒØÓÒ × l´ ım f (x) = 0º x→+∞ ½¾º Ë f :Ê→Ê × Ø Ð ÕÙ ∀x < 0, 1 x ≤ f (x) ÒØÓÒ × l´ ım f (x) = 0º x→−∞ ½¿º Ëf : Ê → Ê × Ø Ð ÕÙ ∀x < 0, 1 x+1 ≤ f (x) ≤ 1 x ÒØÓÒ × l´ ım f (x) = 0º x→−∞ ½ º Ä Ö Ø y=2 × ×
- 218. ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f (x) = x2 +1 x+1 º ¾½
- 219. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð ½ º Ä Ö Ø y=2 × ×
- 220. ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f (x) = x2 +1 x+1 º ½ º Ä Ö Ø y=1 × ×
- 221. ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f (x) = ex º ½ º Ä Ö Ø y=0 × ×
- 222. ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f (x) = ex º ½ º Ë x → +∞ ÒØÓÒ × ex → 0 º ½ º Ë x → +∞ ÒØÓÒ × ex → +∞º ¾¼º Ë x → −∞ ÒØÓÒ × ex → −∞º ¾½º Ë x → −∞ ÒØÓÒ × ex → 0 º ¾¾º Ä ×Ù ×
- 223. Ò sn = n Ø Ò +∞º ¾¿º Ä ×Ù ×
- 224. Ò sn = n 2 Ø Ò +∞º ¾ º Ä ×Ù ×
- 225. Ò sn = e n Ø Ò −∞º ¾ º Ä ×Ù ×
- 226. Ò sn = ln(n) Ø Ò −∞º ¾ º Ä ×Ù ×
- 227. Ò sn = ln(n) Ø Ò +∞º ¾ º Ë ım f (x) − 2x − 1 = +∞ l´ x→+∞ ÒØÓÒ × Ð Ö Ø y = 2x + 1 × ÙÒ ×
- 228. ÒØÓØ Ó Ð Ù fº ¾ º Ë ım f (x) − 2x − 1 = 1 l´ x→+∞ ÒØÓÒ × Ð Ö Ø y = 2x + 1 × ÙÒ ×
- 229. ÒØÓØ Ó Ð Ù fº ¾ º Ë ım f (x) − 2x − 1 = 1 l´ x→−∞ ÒØÓÒ × Ð Ö Ø y = 2x − 1 × ÙÒ ×
- 230. ÒØÓØ Ó Ð Ù fº ¿¼º Ë ım f (x) − 2x − 1 = 0 l´ x→+∞ ÒØÓÒ × Ð Ö Ø y = 2x + 1 × ÙÒ ×
- 231. ÒØÓØ Ó Ð Ù fº ¿½º Ë ım f (x) − 2x − 1 = 0 l´ x→−∞ ÒØÓÒ × Ð Ö Ø y = −2x − 1 × ÙÒ ×
- 232. ÒØÓØ Ó Ð Ù fº 1 ¿¾º l´ ım = 1º x→+∞ ex 1 ¿¿º l´ ım = +∞º x→+∞ ex 1 ¿ º l´ ım = 0º x→+∞ ex 1 ¿ º l´ ım x→+∞ ex = −∞º x ¿ º l´ ım x→+∞ ex = 1º ¾½
- 233. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 2 x ¿ º l´ ım = 1º x→+∞ ex x ¿ º l´ ım x→+∞ ex = 0º xn ¿ º Ó n ∈ Ƹ l´ ım x→+∞ ex = +∞º xn ¼º Ó n ∈ Ƹ l´ ım x→+∞ ex = 0º x ½º l´ ım = 1º x→+∞ ex x2 ¾º l´ ım x→+∞ ex = 0º ¿º Ë f ×Ø
- 234. Ò Ò ¸ ÓÒ x→+∞ l´ ım f (x) = ℓ Ý ∀x ∈ × Ø Ò + f (x) > ℓ¸ ÒØÓÒ × l´ ım f (x) = ℓ º x→+∞ º Ë f ×Ø
- 235. Ò Ò Ê¸ ÓÒ x→+∞ l´ ım f (x) = ℓ Ý ∀x ∈ × Ø Ò + f (x) > ℓ¸ ÒØÓÒ × l´ ım f (x) = ℓ º x→+∞ º Ë f ×Ø
- 236. Ò Ò ¸ ÓÒ x→+∞ l´ ım f (x) = ℓ Ý ∀x ∈ × Ø Ò − f (x) < ℓ¸ ÒØÓÒ × l´ ım f (x) = ℓ º x→+∞ º Ë f ×Ø
- 237. Ò Ò ¸ ÓÒ x→−∞ l´ ım f (x) = ℓ Ý ∀x ∈ × Ø Ò − f (x) > ℓ¸ ÒØÓÒ × l´ ım f (x) = ℓ º x→−∞ º Ë f ×Ø
- 238. Ò Ò ¸ ÓÒ x→−∞ l´ ım f (x) = ℓ Ý ∀x ∈ × Ø Ò f (x) > ℓ¸ ÒØÓÒ × ım f (x) = ℓ+ º l´ x→−∞ 1 º Ë l´ ım f (x0 + )=ℓ ÒØÓÒ × l´ f (x) = ℓº ım u→+∞ u x→x+ 0 1 º Ë ım f (x0 − l´ )=ℓ ÒØÓÒ × l´ f (x) = ℓº ım u→+∞ u x→x+ 0 1 ¼º Ë ım f (x0 − l´ )=ℓ ÒØÓÒ × l´ f (x) = ℓº ım u→+∞ u x→x− 0 ½º Ë ∃δ > 0 Ø Ð ÕÙ ÓÑ(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅ ÒØÓÒ × Ð ÓÑ Ò Ó f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð
- 239. Ñ Ø f Ù Ò Ó x → x+ º 0 ¾º Ë ∃δ > 0 Ø Ð ÕÙ ÓÑ(f ) ∩ (x0 , x0 + δ] = ∅ ÒØÓÒ × Ð ÓÑ Ò Ó f ÒÓ Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð
- 240. Ñ Ø f Ù Ò Ó x → x+ º 0 ¿º Ë ∀δ > 0¸ ÓÑ(f )∩(x0 , x0 +δ] = ∅ ÒØÓÒ × Ð ÓÑ Ò Ó f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð
- 241. Ñ Ø f Ù Ò Ó x → x+ º 0 ¾½
- 242. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º Ë Ð ÓÑ Ò Ó f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð
- 243. Ñ Ø f Ù Ò Ó x → x0 ÒØÓÒ × Ó ÓÑ Ò Ó Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ð
- 244. Ñ Ø ×Ð Ø Ö Ð × fº ¾½
- 245. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó× ½º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ µ l´ f (x) ım = ℓ ⇐⇒ l´ f (x3 ) = ℓ ım x→x0 x→0 l´ f (x0 + h) = ℓ ım h→0 µ l´ f (x) = l´ f (−x) ım ım µ l´ f (x) ım = ℓ ⇐⇒ x→0+ x→0− x→x0 l´ (f (x) − ℓ) = 0 ım µ l´ f (x) = l´ f (|x|) ım ım x→x0 x→0+ x→0 µ l´ f (x) ım = ℓ ⇐⇒ µ l´ f (x) = l´ f (x2 ) ım ım x→0 x→0 x→0+ ¾º Ë Ò a, x0 , b Ø Ð × ÕÙ a < x0 < b Ýf ÙÒ ÙÒ
- 246. Ò ÙÝÓ ÓÑ Ò Ó Ò ÐÙÝ Ð ÓÒ ÙÒØÓ [a, x0 ) ∪ (x0 , b]º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ l´ f (x) = ℓ ⇐⇒ l´ + f (x) = l´ − f (x) = ℓ. ım ım ım x→x0 x→x0 x→x0 ¿º Ò ÐÓ× ÓÒ ÔØÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× × Ù ÒØ ×º µ l´ f (x) = +∞ ım µ l´ + f (x) = −∞ ım µ l´ ım f (x) = ℓ x→0+ x→0 x→+∞ µ l´ f (x) = +∞ ım µ l´ f (x) = −∞ ım µ l´ ım f (x) = ℓ x→0− x→0− x→−∞ º Ð ÙÐ Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø × √ x2 +5 x− x+2 √ax+b µ l´ ım µ l´ ım √ µ l´ ım x→2 x−3 x→2 4x+1−3 x→+∞ cx2 +d √ 1 xe x µ (x−1) 2−x l´ ım x2 −1 µ ım a b l´ [ x ] x µ l´ ım 1 x→1 x→+∞ x→0−1 ex √ q √ √ x2 x+ x+ x µ l´ ım x−b−a−b x2 −a2 µ l´ ım 2 x→+∞ x −1 µ l´ ım x→+∞ √ x+1 x→a √ 2− x+3 × x>1 º ×ØÙ Ö × Ü ×Ø l´ f (x)¸ ım Ô Ö f (x) = x−1 2x2 −3 x→1 x2 +3 × x<1 º Ð ÙÐ Ö Ð × × ÒØÓØ × Ó Ð Ù × Ô Ö Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ × ¾¾¼
- 247. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð √ µ f (x) = x2 +a x µ f (x) = x2 − a2 µ f (x) = (1 − e−x )(mx + n) º ×ØÙ Ð Ü ×Ø Ò ×
- 248. ÒØÓØ × ÚÖØ Ð × Ò Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ ×º µ f (x) = 1 x µ f (x) = 1 1−x2 µ f (x) = 1 x2 −3x+2 f (x) = 1 x2 −1 1 µ √ x µ f (x) = x2 +1 µ f (x) = |x|−1 º Í× Ò Ó Ð Ö Ø Ö Þ
- 249. Ò (ǫ − δ) Ð Ð
- 250. Ñ Ø ¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ √ µ ım 5 = 5 l´ µ l´ ım x + 1 = 3 µ 1 l´ xsen( x ) = 0 ım x→3 x−2 x→8 x→0 √ x−2 1 √1 1 x ım x−4 = 4 µ l´ µ l´ ım = µ l´ ım 2 =0 x→4 x→0 x+4 2 x→0 1+sen x º ×ØÙ Ö Ð × ×
- 251.
- 252. Ñ Ø ×ÑÔÓÖØ ÒØ × Ô Ö Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ¹ x3 x4 +1 ÓÒ × f (x) = e−1 + xe1/x ¸ f (x) = (1+x)2 Ý f (x) = x2 −1 º ¾¾½
- 253. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ × È½º ´¿¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð × Ö Ø × b y = ±ax ×ÓÒ Ð × ×
- 254. ÒØÓØ × ÓÐ ¹ 2 2 x y Ù × Ð × Ô
- 255. Ö ÓÐ ×a2 − b2 = ±1º Ⱦº ´¿¼ Ñ Òºµ Ë f :A⊆Ê→Ê × ÙÒ ÙÒ
- 256. Ò¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó A f Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ð Ð
- 257. Ñ Ø f Ù Ò Ó x → x+ ×× Ü ×Ø Ð 0 Ñ ÒÓ× ÙÒ ×Ù ×
- 258. Ò (sn ) Ò A ÕÙ ÙÑÔÐ sn → x0 Ý sn > x0 , ∀nº Í× ×Ø Ö ×ÙÐØ ÓÔ Ö ×ØÙ Ö× Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó׸ ÐÓ× ÓÑ Ò Ó× Ð × ÙÒ ÓÒ × Ô ÖÑ Ø Ò Ó ÒÓ ×ØÙ Ö Ð Ð
- 259. Ñ Ø Ù Ò Ó x → x+ 0 µ A = (x0 , x0 + 1) µ A = (x0 , x0 + 1) ∩ É 1 µ A = {x0 + ; n ∈ Æ} n µ A=É µ A = {x0 + n+1 ; n ∈ Æ} n m+n 1 µ A = {x0 + mn ; m, n ∈ Æ} µ A = {x0 + sen( n ); n ∈ Æ} È¿º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò f, g : Ê → Ê Ó× ÙÒ ÓÒ × Ø Ð × ÕÙ l´ ım f (x) = x→+∞ l´ ım g(x) = ℓ. x→+∞ Í× Ò Ó Ð Ò
- 260. Ò Ð
- 261. Ñ Ø Ù Ò Ó x → +∞¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ l´ ım m´x{f (x), g(x)} = ℓ a 1 µ x→+∞ µ l´ m´x{f (x), ℓ + ım a } = x→+∞ x + µ l´ ım m´x{f (x), ℓ} = ℓ a ℓ x→+∞ È º ´¿¼ Ñ Òºµ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × ÙÒ ÙÒ
- 262. Ò f :Ê→Ê × Ø × Ð ÔÖÓ¹ Ô ´Èµ ∃L > 0, ∀x1 , x2 ∈ Ê, |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L|x1 − x2 |, ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö ØÓ Ó x0 ∈ Ê × ÙÑÔÐ ÕÙ l´ f (x) = l´ − f (x) = f (x0 ). ım ım x→x+ 0 x→x0 Î Ö ÕÙ ÕÙ Ð × ÙÒ ÓÒ × f (x) = x Ý f (x) = sen(x) × Ø × Ò Ð ÔÖÓÔ ´Èµ Ô ÖÓ Ð ÙÒ
- 263. Ò f (x) = x2 ÒÓº ¾¾¾
- 264. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð È º ´¾¼ Ñ Òºµ ÓÒ× Ö ÙÒ ÙÒ
- 265. Ò f : Ê → Ê ÕÙ × Ø × Ð × × Ù Ò¹ Ø × ÔÖÓÔ × ∀x1 , x2 ∈ Ê, f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) Ý l´ f (x) = f (0) ım x→0+ ÈÖÙ ÕÙ µ ∀x0 ∈ Ê × ÙÑÔÐ ÁÒ
- 266. Ò ÔÖÙ ÔÓÖ Ò¹ l´ f (x) = f (x0 ) ım Ù
- 267.
- 268. ÖÑÙÐ Ô Ö x→x+ 0 q ∈ Æ, Ý ÐÙ Ó ÜØ
- 269. Ò Ð ∀x0 ∈ Ê q∈ Ýq= n , ÓÒ n ∈ ƺ µ × (qn ) × ÙÒ ×Ù ¹ 1 ×
- 270. Ò ÕÙ ÓÒÚ Ö x0 Ø Ð ÕÙ ∀n ∈ Æ qn > x0 ¸ ÒØÓÒ¹ µ ∀x0 ∈ Ê × ÙÑÔÐ f (x0 ) = × l´ f (qn ) = f (x0 ) ım x0 f (1). µ ∀q ∈ É × ÙÑÔÐ f (q) = ÁÒ
- 271. Ò Ù× Ð Ò× qf (1). ÐÓ× Ö ÓÒ Ð × Ò Êº È º ´¿¼ Ñ Òºµ Ë Ò f, g : Ê → Ê Ó× ÙÒ ÓÒ × ÕÙ × Ø × Ò Ð Ö Ð
- 272. Ò ∀x1 , x2 ∈ Ê, f (x2 ) ≥ f (x1 ) + g(x1 )(x1 − x2 ). µ ÅÙ ×ØÖ ÕÙ ∀x1 , x2 ∈ Ê, g(x2 )(x1 − x2 ) ≥ f (x2 ) − f (x1 ) ≥ g(x1 )(x1 − x2 ). µ ÈÖÓ Ö ÕÙ × g × ÙÒ ÙÒ
- 273. Ò ÓØ ÒØÓÒ × ∀x0 ∈ Ê × ÙÑÔÐ l´ f (x) = l´ − f (x) = f (x0 ) ım ım x→x+ 0 x→x0 µ ÈÖÓ Ö ÕÙ × l´ g(x) = l´ g(x) = g(a) ım ım x→a+ x→a− ÒØÓÒ × f (x) − f (a) f (x) − f (a) l´ ım = l´ − ım = −g(a) x→a+ x−a x→a x−a ¾¾¿
- 274. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠Рº л Ð ÙÐÓº Ingeniería Matemática Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 13: LÍMITES x → x0 Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö 9.4. Límites x → x0 en general Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ È Ö Ú Ö Ö ÕÙ l´ f (x) = ℓ ım × Ò ÓÖ Ö Ó× ×Ô ØÓ׺ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × x→x0 ÒÓØ ÓÒ ×º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ó ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ò x0 ÕÙ Dom (f ) Ô ÖÑ Ø ×ØÙ¹ Öº Ë Dom (f ) ÒÓ Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ò Ò ÙÒÓ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ Ø ÒÓ Ü ×Ø º Î Ö Ö ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ Ø × ÕÙ Dom (f ) Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ü ×Ø Ò Ý Ú Ð¹ Ò ℓº Ë ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ Ø × ÕÙ Dom (f ) Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö ÒÓ Ü ×Ø ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ Ø ÒÓ Ü ×Ø º Ë ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ Ø × ÕÙ Dom (f ) Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ü ×Ø Ò Ô ÖÓ Ø Ò Ò Ú ÐÓÖ × ×Ø ÒØÓ× ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ Ø ÒÓ Ü ×Ø º ÑÔÐÓ× l´ x = x0 º ım x→x0 Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò x × Rº ×Ø Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ñ Ó× Ð ¹ Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ò Ù ÐÕÙ Ö x0 º 1 Ð Ö Ñ ÒØ l´ x = ım l´ = x0 Ý l´ − x = ım x0 + u ım x→x+ u→+∞ x→x0 0 1 ım x0 − l´ u = x0 ÓÒ ÐÓ ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ü ×Ø Ò Ý Ú Ð Ò u→+∞ x0 º 1 l´ 1 − x = ım 0º x→1 1 Ð ÓÑ Ò Ó ÙÒ Ò 1 − Ð x Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ñ Ó× Ð Ñ Ø × 1 Ð Ø Ö Ð × Ò 1 ÔÙ × , +∞ × Ô ÖØ ×Ù ÓÑ Ò Óº 2 1 1 1 Ð Ö Ñ ÒØ l´ + 1 − x = l´ 1 − 1+ 1 = 0 Ý l´ − 1 − x = ım ım ım x→1 z→+∞ z x→1 1 l´ 1 − 1− 1 = 0º ım z→+∞ z ım 1 = l´ 0º x→0 ln(x) 1 Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ln(x) Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö × ÐÓ Ð Ð Ñ Ø ÔÓÖ Ð Ö Ò 0º 1 Ð × Ù ÒØ Ð ÙÐÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÖÑ Ò l´ ım ln(x) = x→0+ 1 1 l´ ım = ım − ln(u) l´ = 0º u→+∞ ln( u ) 1 u→+∞ l´ 1 = +∞º ım x→0 |x| 1 Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò |x| × R {0} Ý Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ñ Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ò 0º ÓÑÓ l´ ım 1 = l´ |z| = +∞ Ý ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ Ð Ð Ñ Ø ım x→0+ |x| z→+∞ ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ Ð Ð Ñ Ø ÒÓ Ü ×Ø Ô ÖÓ × Ü ×Ø Ò {−∞, +∞} Ý Ú Ð +∞º ¾¾
- 275. ÁÒ Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 1 l´ e x ım ÒÓ Ü ×Ø º x→0 1 Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò × R {0}º ×Ø Ô ÖÑ Ø ex ×ØÙ Ö Ñ¹ Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö Ð × Ò 0º 1 ÓÑÓ l´ e x = ım ım eu = +∞ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ Ø ÒÓ l´ Ü ×¹ x→0+ u→+∞ Ø º Î ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ò × ÕÙ Ö Ü ×Ø Ò {−∞, +∞}º Ò ØÓ¸ 1 l´ e x = l´ ım ım e−u = 0º ÓÑÓ × ×Ø ÒØÓ Ð Ð Ñ Ø ÔÓÖ Ð ¹ x→0− u→+∞ Ö Ð Ð Ñ Ø Ø ÑÔÓ Ó Ü ×Ø Ò {−∞, +∞}º √ l´ ln (x) + ım −x ÒÓ Ü ×Ø º x→0 √ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ln (x) + −x × {0}º ×Ø ÒÓ Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö Ò Ò Ò Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð Ò 0º Ò ×Ø × ØÙ Ò Ð Ð Ñ Ø ÒÓ Ü ×Ø º ÈÖÓÔ ½ ´ÀÓÑÓ Ò µº Ë l´ g (x) Ü ×Ø Ý α ∈ R ÒØÓÒ ×¸ ım x→x+ 0 l´ αg (x) = α l´ + g (x) . ım ım x→x+ 0 x→x0 ÑÓ×ØÖ Òº Ä ÑÓ×ØÖ Ò × Ö Ø ÐÓ ÕÙ × ÑÓ× Ô Ö Ð Ñ Ø × Ò Ò ØÓ׺ 1 1 l´ αg (x) = l´ ım ım αg x0 + = α l´ ım g x0 + = α l´ g (x) . ım x→x+ 0 u→+∞ u u→+∞ u x→x+ 0 ÑÔÐÓ× È ÖØ Ò Ó ÓÒ Ð ÙÒÓ× Ð Ñ Ø × ÓÒÓ Ó× ÔÓ ÑÓ× ÔÐ Ö Ð ÓÑÓ Ò ¹ Ô Ö Ð ÙÐ Ö ÓØÖÓ׺ l´ x = x0 ım ÒØÓÒ × l´ x0 x = x2 . ım 0 x→x+ 0 x→x+ 0 1 1 1 1 l´ ım ln(x) =0 ÒØÓÒ × l´ ım ln(x10 ) = l´ + ım 10 ln(x) = 10 · 0 = 0. x→0+ x→0+ x→0 1 1 ln(10) l´ ım ln(x) =0 ÒØÓÒ × l´ ım = l´ ım = ln (10) · 0 = 0. x→0+ x→0+ log10 (x) x→0+ ln(x) ÈÖÓÔ ½ ´ ÜØ Ò× ÓÒ × ´Áµµº Ä ÔÖÓÔ Ø Ñ ÒÚ Ð Ô Ö Ðѹ Ø × ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ý Ô Ö Ð Ñ Ø ×º Ë l´ − g (x) Ü ×Ø Ý α ∈ R ÒØÓÒ ×¸ l´ − αg (x) = α l´ − g (x) . ım ım ım x→x0 x→x0 x→x0 Ë l´ g (x) Ü ×Ø Ý α ∈ R ÒØÓÒ ×¸ l´ αg (x) = α l´ g (x) . ım ım ım x→x0 x→x0 x→x0 ×ØÓ× ØÖ × ×Ó׸ ×Ó Ó× Ð × ÓÒÚ Ö Ò × x → x+ ¸ x → x− Ý x → x0 ¸ 0 0 ÙÒØÓ ÐÓ× Ó× ×Ó× Ð × ÓÒÚ Ö Ò × x → +∞ Ý x → −∞¸ ÔÙ Ò Ö ×ÙÑ Ö× Ò Ð ×ÕÙ Ñ Ë l´ g (x) Ü ×Ø Ý α ∈ R ÒØÓÒ ×¸ l´ αg (x) = α l´ g (x) , ÓÒ ım ım ım x→B x→B x→B B ∈ +∞, −∞, x0 , x+ , x− º 0 0 Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ×Ø Ø ÔÓ ×ÕÙ Ñ × × Ù× Ö Ô Ö Ö ×ÙÑ Ö Ð × ÔÖÓÔ × ÕÙ ×ÓÒ Ú Ð × Ô Ö ØÓ Ó Ø ÔÓ ÓÒÚ Ö Ò º ¾¾