Bevezetés a matematikába 1

Bevezetés a matematikába (1. rész)
matematika BSc el˝ adás és gyakorlat
o

Nagy Gábor Péter

Szegedi Tudományegyetem
Bolyai Intézet, Geometria Tanszék

2010/2011-os tanév I. féléve

1 / 48

Tagolás

1 Matematikai alapfogalmak

2 Halmazok és leképezések

2 / 48

Matematikai alapfogalmak



3 / 48


Mi a matematika?

A matematika a természettudománynak az a része, amely a mennyiségek,
a struktúrák, a tér és a változások rendszerét leírja és kutatja.
Pontosan definiált elvont fogalmakkal állításokat mondunk ki, és ezeket
a következtetési szabályok szigorú alkalmazásával bizonyítjuk.
A matematika eredetileg a számolásból, a számításból és a mérésb˝ l
o
származik, és ezekt˝ l mind a mai napig elválaszthatatlan.
o
A matematikus a struktúrák szabályosságait és rejtett összefüggéseit
keresi.
ALAPELV: A matematikában minden fogalmat definiálunk, és minden
állítást bizonyítunk. Ez nyilván nem lehetséges.
FONTOS: Semelyik fogalmat nem definiálhatom önmagával, és
semelyik állítást nem bizonyíthatom önmagával (tautológia).

4 / 48


Axiómák és alapfogalmak

Alapfogalom: Olyan fogalom, amit nem deﬁniálunk. Pl. a halmaz, vagy a
geometriában a pont és az egyenes. Általában elvárjuk, hogy az
alapfogalmak egyszer˝ ek, és szemléletesen ismertek legyenek.
u
Axióma: Olyan állítás, amit nem bizonyítunk. Pl. az üres halmaz
létezése, vagy hogy két pontra pontosan egy egyenes illeszkedik.
Axiómák esetében is általános elvárás, hogy rövidek és egyszer˝ ek
u
legyenek.
Az, hogy mit értünk matematikailag korrekt bizonyításon, er˝ sen függ a
o
kulturális közegt˝ l, és ezt a matematika maga csak korlátozott mértékben
o
tudja meghatározni.
Megjegyzés. A jelen kurzusban nem célunk a matematikának egy precíz
axiomatikus felépítését megadni.

5 / 48


Logikai m˝ veletek
u

A fontosabb állításokat tételeknek, míg a kevésbé fontosakat
segédtételnek vagy lemmának.
A matematikai állítások kifejezésekb˝ l és köztük fennálló logikai
o
kapcsolatokból állnak.
A fontosabb logikai m˝ veletek:
u
A ∨ B VAGY m˝ veletu igaz, ha A vagy B igaz,
A ∧ B ÉS m˝ velet
u igaz, ha A és B igaz,
¬A NEGÁCIÓ m˝ velet
u igaz, ha A nem igaz,
A→B A-ból következik B,
ugyanaz, mint ¬A ∨ B,
A↔B A ekvivalens B-vel,
azaz (A → B) ∧ (B → A).

6 / 48


De Morgan-azonosságok

Tétel: Logikai m˝ veletek azonosságai
u
A logikai m˝ veletek az alábbi azonosságoknak tesznek eleget:
u
 A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C


asszociativitás:

 A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C


 A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)


disztibutivitás:

 A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)


 ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)


De Morgan-azonosságok:

 ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)


kontrapozíció: A → B = (¬B) → (¬A)
tagadás tagadása: ¬(¬A) = A.

7 / 48


Logikai azonosságok bizonyítása
Bizonyítás. A kontrapozícióra vonatkozóan:

(¬B) → (¬A) = ¬(¬B) ∨ ¬A = ¬A ∨ B = A → B.

A disztributivitást az értéktáblázat felhasználásával mutatjuk meg:

A B C A∧B A∧C B∨C A ∧ (B ∨ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
i i i i i i i i
i i h i h i i i
i h i h i i i i
i h h h h h h h
h i i h h i h h
h i h h h i h h
h h i h h i h h
h h h h h h h h

8 / 48


Szükséges és elegend˝ feltételek
o

Feladat
A következ˝ állítások (ítéletek) közül melyik szükséges/elegend˝ feltétele a
o o
másiknak?
1 Az egész szám nullára végz˝ dik. Az egész szám 5-tel osztható.
o
2 A természetes szám 2-vel és 3-mal osztható. A természetes szám 6-tal
osztható.
3 Ma kedd van. Holnap szerda van.
4 A háromszög derékszög˝ . A háromszög két oldalhosszának a
u
négyzetösszege egyenl˝ a harmadik oldalhosszának négyzetével.
o
5 A sokszög szabályos. A sokszög csúcsai egy körvonalon vannak.
6 A két négyszög hasonló. A két négyszög megfelel˝ oldalainak aránya
o
egyenl˝ .
o

9 / 48


A görög ábécé

α A alfa ν N n˝u
β B béta ξ Ξ kszi
γ Γ gamma o O omikron
δ ∆ delta π, Π pí
,ε E epszilon ρ, P ró
ζ Z zéta σ, ς Σ szigma
η H éta τ T tau
θ, ϑ Θ téta υ Υ upszilon
ι I ióta φ, ϕ Φ fí
κ K kappa χ X khí
λ Λ lambda ψ Ψ pszí
µ M m˝u ω Ω omega

10 / 48


Számhalmazok jelölése

N a természetes számok (natural) halmaza, {1, 2, . . .}
N0 a természetes számok halmaza és a 0, {0, 1, 2, . . .}
Z az egész számok (Zahlen, német) halmaza,
Q a racionális számok (quotient) halmaza,
R a valós számok (real) halmaza,
R≥0 a nemnegatív valós számok halmaza,
R>0 a pozitív valós számok halmaza,
P a prímszámok halmaza.

Deﬁníció: prímszám
Azokat a természetes számokat, melyeknek pontosan két osztójuk van,
prímszámoknak nevezzük.

11 / 48


Szumma és produktum jelölés
m
Summa (latin) = összeg: ai = an + an+1 + · · · + am−1 + am .
i=n
(Ejtsd: Szumma ái, i megy n-t˝ l m-ig.)
o
100
101 · 100
k= k = 1 + 2 + · · · + 100 = = 5050.
k=1 1≤k≤100
2

m
Productum (latin) = szorzat: ai = an an+1 · · · am−1 am .
i=n

15
k= k = 15! = 1 307 674 368 000.
k=1 k∈{1,...,15}

12 / 48


Egzisztenciális és univerzális kvantorok

Jelölés
Minden (all, angol): ∀, létezik (exists, angol): ∃.

Példa: A számelmélet alaptétele
Minden egynél nagyobb egész szám el˝ áll prímszámok szorzataként.
o
∀n ∈ Z>1 ∃p1 , . . . , pk ∈ P, ∃ai , . . . , ak ∈ N : n = pa1 pa2 · · · pak .
1 2 k

Példa: Thalész-tétel
Legyen k az AB szakaszra, mint átmér˝ re rajzolt kör. Ekkor ∀C ∈ k, C
o A, B
esetén ACB = 90◦ .

13 / 48


Kvantált kifejezések tagadása

Példák
Minden gyakorlaton röpdolgozatot írunk.
−→ Van olyan gyakorlat, amikor nem írunk röpdolgozatot.
Van páros prímszám.
−→ Minden prímszám páratlan.
A Szigeten minden nap van olyan koncert, ami nekem nem tetszik.
−→ A Szigeten van olyan nap, amikor minden koncert tetszik nekem.

¬(∀N∃K : ¬T) = ∃N∀K : T.

Észrevétel
Az olyan kifejezések tagadásakor, amelyek tartalmaznak egzisztenciális vagy
univerzális kvantort, a ∀ és a ∃ felcserél˝ dik.
o

14 / 48


A természetes számok Peano-féle axiómarendszere
(Giuseppe Peano 1858-1932, olasz matematikus)
A természetes számok Peano-féle axiómarendszere
Alapfogalmak: Természetes számok, 1, rákövetkezés.
1 Az 1 természetes szám.
2 Minden n természetes számhoz létezik egy n -vel jelölt természetes
szám, amelyet az n rákövetkez˝ jének nevezünk.
o
3 Nincsen olyan n természetes szám, amelyre n = 1.
4 Különböz˝ természetes számok rákövetkez˝ je is különböz˝ .
o o o
5 Ha az 1 természetes számnak megvan valamely T tulajdonsága, és
valahányszor az n természetes számnak megvan a T tulajdonsága,
mindannyiszor n -nek is megvan, akkor minden természetes számnak
megvan a T tulajdonsága.

Megj. Általában, történeti okból, 0 N.
15 / 48


A rekurziós elv

Példa: Fibonacci-számok
a1 = a2 = 1 és an = an−1 + an−2 : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . ..

(Leonardo Fibonacci, kb. 1170-1250, olasz matematikus.)
Tétel: A rekurziós elv
Legyen M1 , M2 , . . . halmazok sorozata, a ∈ M1 és f1 , f2 , . . . függvényeknek
egy sorozata, fk : Mk → Mk+1 . Ekkor pontosan egy olyan a1 , a2 , . . . sorozat
létezik, melyre a1 = a és an+1 = fn (an ) minden n természetes számra.

Bizonyítás. A tétel leegyszer˝ sítve azt mondja, hogy ha az a1 , a2 , . . .
u
sorozatnak adott az els˝ tagja, és minden továbbit egy jól meghatározott
o
módon kiszámolhatunk a korábbiakból, akkor a sorozat egyértelm˝ en u
meghatározott. A probéma az, hogy... (folyt. köv.)

16 / 48


A rekurziós elv (folyt.)

A rekurzió alkalmazhatóságánál az alábbi kérdések merülnek fel:
1 Igaz-e, hogy minden 1-t˝ l különböz˝ természetes számnak van
o o
o o ˝
megel˝ z˝ je, azaz olyan természetes szám, melynek o a rákövetkez˝ je?
o
2 Lehet-e egy természetes számnak több megel˝ z˝ je?
o o
3 Igaz-e, hogy minden természetes szám különbözik a rákövetkez˝ jét˝ l,
o o
˝
illetve az ot megel˝ z˝ természetes számtól?
o o
Ha ezekre a válasz igen, akkor el˝ ször deﬁniáljuk az {1, . . . , n} halmazt, majd
o
értelmezzük az n < m relációt. Ezen fogalmak felhasználásával a tétel
viszonylag kézenfekv˝ módon bizonyítható.
o

17 / 48


Példa az axiómák használatára

Lemma
Minden természetes szám különbözik a rákövetkez˝ jét˝ l.
o o

Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítunk. Az 1 rákövetkez˝ jét jelölje
o
2 = 1 . A 3-as axióma miatt 1 2, tehát a tétel teljesül n = 1-re, ez az
indukciós kezd˝ lépés. Legyen T az n természetes szám azon tulajdonsága,
o
hogy n n . A 4-es axióma miatt n n -b˝ l következik, hogy n n , azaz
o
ha T teljesül n-re, akkor teljesül n -re is (indukciós lépés). Az 5-ös axióma
miatt T minden természetes számra teljesül.

18 / 48


Természetes számok összeadása és szorzása

Definíció: Természetes számok összeadása és szorzása
Természetes számok összeadását defináljuk az

n+1=n és n + m = (n + m) képletekkel.

Hasonlóan, természetes számok szorzatát defináljuk az

n·1=n és n·m =n·m+n képletekkel.

Vigyázat: Egyenl˝ re ez mind csak elnevezés, a legalapvet˝ bb tulajdonságokat
o o
is (asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás) igazolni kell!

19 / 48


Az összeadás tulajdonságai

Tétel: Az összeadás és szorzás tulajdonságai
A természetes számok összeadása kommutatív és asszociatív m˝ velet:
u

n + m = m + n, (n + m) + k = n + (m + k).

A bizonyítás f˝ bb lépései. Minden lépésben teljes indukcióval alkalmazunk,
o
és sehol nem használunk mást, mint az axiómákat, a deﬁníciókat és a
korábban már bizonyított tulajdonságokat.
1 (m + n) + p = m + (n + p), p szerinti indukcióval, rögzített n, m-re. A
p = 1 kezd˝ lépés az összeadás deﬁníciójából adódik.
o
2 n + 1 = 1 + n, indukció n-re.
3 n + m = m + n, indukció m-re, rögzített n mellett. Használjuk az
összeadás (már bizonyított) asszociativitását.

20 / 48


A szorzás tulajdonságai

Tétel: A szorzás tulajdonságai
A természetes számok szorzása kommutatív és asszociatív m˝ velet, valamint
u
teljesül a disztributivitás tulajdonsága:

nm = mn, (nm)k = n(mk), m(n + p) = mn + mp.

Biz. A f˝ bb lépések:
o
1 1 · n = n · 1, indukció n-re.
2 m(n + p) = mn + mp, p szerinti indukcióval, rögzített n, m-re. A p = 1
kezd˝ lépés a szorzás deﬁníciójából adódik.
o
3 Az asszociativitás és a kommutativitás egyszer˝ en adódik a szokásos
u
indukcióval. Az indukciós lépéseknél több alkalommal felhasználjuk a
már bizonyított disztributivitást és az összeadás asszociativitását és
kommutativitását.

21 / 48


Példák teljes indukcióra: számtani és mértani sorösszeg

Állítás: A számtani és mértani sor összegképlete

(n + 1)n
1 + 2 + ··· + n = , (1)
2
qn+1 − 1
1 + q + q2 + · · · + qn = . (2)
q−1

Biz. Az n = 1 kezd˝ lépés mindkét esetben könnyen leellen˝ rizhet˝ . Tegyük
o o o
fel, hogy n-re igaz az állítás. Az (1) esetben:
(n + 1)n (n + 2)(n + 1)
1 + · · · + n + (n + 1) = +n+1= .
2 2
A (2) esetben:
qn+1 − 1 qn+2 − 1
1 + q + · · · + qn + qn+1 = + qn+1 = .
q−1 q−1
22 / 48

Halmazok és leképezések



23 / 48


A halmaz fogalma

A halmazt alapfogalomnak tekintjük a matematikában, azaz nem
deﬁniáljuk.
A halmazt szemléletesen úgy szoktuk körülírni, mint „bizonyos jól
meghatározott objektumok (dolgok) összessége.”
A halmazt alkotó objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Az adott
˝
elem és az ot tartalmazó halmaz között fennáll a „tartalmazás” reláció,
jelöléssel: x ∈ H.
Két halmaz egyenl˝ nek tekintünk, ha pontosan ugyanazokat az elemeket
o
tartalmazzák.
Azt a halmazt, amelyik nem tartalmaz egyetlen elemet sem, üres
halmaznak nevezzük és ∅-al jelöljük.

Példák halmazokra
∅, {1, 2}, {piros, fehér, zöld}, {∅, {1}}, N,{n ∈ N | 10 < n < 100}.
24 / 48


M˝ veletek halmazokkal
u

Deﬁníció: Halmazok metszete, uniója
Az A1 , . . . , An halmazok uniója: A1 ∪ · · · ∪ An = {x | ∃k : x ∈ Ak }.
Az A1 , . . . , An h.-ok metszete: A1 ∩ · · · ∩ An = {x | ∀k : x ∈ Ak }.
Az A, B halmazok különbsége: A B = {x ∈ A | x B}.
Ha az A halmaz elemei egy „közismert” Ω univerzum elemei közül
kerülnek ki, akkor beszélhetünk az A = {x ∈ Ω | x A} komplemeter
¯
halmazról.
Megj. Beszélhetünk végtelen sok halmaz metszetér˝ l és uniójáról is.
o
Deﬁníció: Diszjunkt halmazok
Azt mondjuk, hogy az A1 , . . . , An halmazok diszjunktak, ha közülük bármely
kett˝ metszete az üres halmaz.
o

25 / 48


Részhalmaz, hatványhalmaz
Deﬁníció: Részhalmaz, diszjunkt halmazok
Azt mondjuk, hogy a A halmaz részhalmaza a B halmaznak (jelöléssel A ⊆ B),
ha az A minden eleme eleme B-nek is. Az ∅ és A az A halmaz triviális
részhalmazai, az ezekt˝ l különböz˝ részhalmazokat valódi részhalmazoknak
o o
hívjuk.

Deﬁníció: A hatványhalmaz
Az A halmaz P(A) hatványhalmaza alatt az A részhalmazainak halmazát
értjük.

Nyilván P(∅) = {∅}, P({1}) = {∅, {1}} és P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. Megj.
A P jelölés a német Potenzmenge szóra utal. A halmaz németül Menge,
angolul set, franciául ensemble.
Állítás: Halmazok egyenl˝ sége
o
Ha A ⊆ B és B ⊆ A, akkor A = B.
26 / 48


Halmazelméleti azonosságok
A halmazelméleti ∪, ∩,¯és a logikai ∨, ∧, ¬ m˝ veletek kapcsolata:
u
Tétel: A halmazelméleti m˝ veletek tulajdonságai
u
Tetsz˝ leges A, B, C halmazokra teljesül:
o

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
¯
A = A
A∪B = A∩B
¯ ¯
A∩B = A∪B
¯ ¯

Az els˝ két azonosság fontos következménye:
o

A ∪ (B1 ∩ · · · ∩ Bn ) = (A ∪ B1 ) ∩ · · · ∩ (A ∪ Bn ),
A ∩ (B1 ∪ · · · ∪ Bn ) = (A ∩ B1 ) ∪ · · · ∪ (A ∩ Bn ).

27 / 48


Halmazok Descartes-szorzata

(René Descartes 1596-1650, francia ﬁlozófus és matematikus)
Deﬁníció: Halmazok Descartes-szorzata
Az A1 , . . . , An halmazok Descartes-szorzata alatt az olyan (a1 , . . . , an )
rendezett n-esek halmazát értjük, ahol a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An :

A1 × · · · × An = {(a1 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An .

Ha A1 = · · · = An = A, akkor az An jelölést használjuk.

Leggyakrabban két A, B halmaz

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Descartes-szorzatával találkozhatunk.

28 / 48


Példák nem-halmazokra

Nem minden „összesség” alkot halmazt. Legyen például H azon A halmazok
összessége, melyre A A teljesül, és tegyük fel, hogy H halmaz. Ekkor két
eset lehetséges:
1 H ∈ H, ami H definíciója szerint azt jelenti, hogy H H.
2 H H, amikor szintén H definíciója maga után vonja, hogy H ∈ H.
Mindkét eset ellentmondáshoz vezet, tehát sem a H ∈ H, sem pedig H H
nem teljesül, ami nem lehetséges.
Megjegyzés. Hangsúlyozzuk, hogy itt a probléma nem H „méretével” van,
hanem a „jóldefiniáltságával” van.

29 / 48


Venn-diagrammok

Halmazok szemléletes ábrázolására használjuk a jól ismert
Venn-diagrammokat:

A∩B∩C A∩B
Ω
A A=ΩA
¯

A∩C A
B

C

B∩C

30 / 48


Leképezések

Deﬁníció: Leképezés (függvény), értelmezési tartomány, értékkészlet
Legyenek adottak az A, B halmazok és f egy olyan hozzárendelés, amely
tetsz˝ leges a ∈ A elemhez a B halmaz egy meghatározott b = f (a) elemét
o
rendeli hozzá. Ekkor f -et leképezésnek vagy függvénynek nevezzük, az A az f
értelmezési tartománya, B pedig az f értékkészlete. Jelölés: f : A → B.

A f B

a f (a)

31 / 48


Leképezések tulajdonságai, az identikus leképezés

Szinte minden idegen nyelven a függvény szó function.
Történeti (és nyelvtani) okai vannak, hogy a függvényt jelöl˝ bet˝
o u
megel˝ zi a helyettesítési értéket: f (a). A matematikában használatosak
o
még az fa, af , af jelölések is.
X ⊆ A esetén az X képhalmaza f (X) = {f (a) | a ∈ X}. Y ⊆ B esetén az Y
osképe f −1 (Y) = {a ∈ A | f (a) ∈ Y}.
˝
Két f : A → B és g : C → D leképezést egyenl˝ nek tekintünk, ha A = C,
o
B = D és minden a ∈ A esetén f (a) = g(a).

Deﬁníció: Identikus leképezés
Ha A = B és minden a ∈ A esetén f (a) = a, akkor f -et az A halmazon
értelmezett identikus leképezésnek nevezzük; f = idA .

32 / 48


Leképezések szorzata
Deﬁníció: Leképezések szorzata
Az f : A → B és g : B → C leképezések szorzata alatt azt a h : A → C
leképezést értjük, amelyre a ∈ A esetén h(a) = g(f (a)) teljesül. Jelöléssel:
h = g ◦ f , azaz (g ◦ f )(a) = g(f (a)).

Megjegyzés. NAGYON KELLEMETLEN, hogy az f ◦ g leképezésnél el˝ ször
o
mindig a g-t kell alkalmazni!!
f g
A B C

a f (a) g(f (a))

g◦f

33 / 48


Példák leképezések szorzatára

Példák
Az f leképezés minden hallgatóhoz hozzárendeli a mobilszámát 06 . . .
alakban. A g leképezés minden 1011 -nél kisebb számhoz hozzárendeli a
számjegyeinek összegét. A g ◦ f leképezés minden hallgatóhoz egy 0 és
100 közé es˝ számot rendel.
o
f , g : R → R, f (x) = 2x − 3, g(x) = −3x + 5. Határozzuk meg a g ◦ f
szorzat leképezést!
Az f leképezés minden síkbeli P ponthoz hozzárendeli a koordinátáit
(x, y) alakban egy rögzített Descartes-féle derékszög˝
u
koordinátarendszerben. A g : R2 → R leképezés g(x, y) = x2 + y2 .
Ekkor a g ◦ f leképezés P ponthoz az origótól vett távolságát rendeli.

34 / 48


Injektív, szürjektív és bijektív leképezések

Deﬁníció: Injektív, szürjektív és bijektív leképezések
Azt mondjuk, hogy az f : A → B leképezés szürjektív, ha minden
b ∈ B-hez létezik a ∈ A úgy, hogy f (a) = b.
˝
Más szóval, minden B-beli elemnek van osképe.
Azt mondjuk, hogy az f : A → B leképezés injektív, ha bármely két
különböz˝ a1 , a2 ∈ A elemre f (a1 ) f (a2 ).
o
˝
Más szóval, minden B-beli elemnek legfeljebb egy osképe van.
Azt mondjuk, hogy az f : A → B leképezés bijektív, ha injektív és
˝
szürjektív, azaz minden B-beli elemnek pontosan egy osképe van.

Megj. A bijektív leképezéseket szokás kölcsönösen egyértelm˝
u
megfeleltetésnek is nevezni.

35 / 48


Leképezések inverze

Deﬁníció: Leképezések inverze
Azt mondjuk, hogy a g : B → A leképezés inverze az f : A → B leképezésnek,
ha minden a ∈ A esetén g(f (a)) = a és minden b ∈ B esetén f (g(b)) = b
teljesül. Jelölés: g = f −1 .

Állítás: Az invertálhatóság és a bijektivitás kapcsolata
Egy leképezésnek akkor és csak akkor van inverze, ha bijektív.

Biz. Ha bijektív, akkor az f −1 (b) oskép egyértelm˝ . Fordítva, ha nem bijektív,
˝ u
akkor vagy nem szürjektív, és ekkor valamely b ∈ B-nek nincs osképe, vagy
˝
pedig nem injektív, és ekkor valamely b ∈ B-nek több osképe is van.
˝
Feladat
Határozzuk meg az f : R → R, f (x) = ax + b leképezés inverzét.

36 / 48


Leképezések szorzatának tulajdonságai

Tétel: Leképezések szorzatának tulajdonságai
Tetsz˝ leges f : A → B és g : B → C leképezésekre teljesülnek az következ˝ k:
o o
1 Ha f és g injektív (szürjektív, bijektív), akkor g ◦ f is injektív (szürjektív,
bijektív).
2 Ha g ◦ f injektív, akkor f injektív.
3 Ha g ◦ f szürjektív, akkor g szürjektív.

Biz. Tfh. f , g injektív és legyen a1 , a2 ∈ A, a1 a2 . Ekkor f (a1 ) f (a2 ) az f ,
és g(f (a1 )) g(f (a2 )) a g injektivitása miatt, azaz g ◦ f injektív.
Tfh. f , g szürjektív és c ∈ C. Ekkor ∃b ∈ B, amire g(b) = c és ∃a ∈ A, amire
f (a) = b, azaz g(f (a)) = c. Tehát g ◦ f szürjektív.
Ezzel beláttuk (1)-et. (2) és (3) indirekt módon hasonlóan adódik.

37 / 48


Véges halmazok, számosság

Deﬁníció: Véges halmazok számossága
Azt mondjuk, hogy az A halmaz számossága az n természetes szám, ha
létezik egy f : {1, . . . , n} → A bijekció. Jelölés: |A| = n.
Az A halmaz véges, ha |A| = n teljesül valamilyen n-re.
A nem véges halmazokat végtelennek nevezzük: |A| = ∞.

Lemma
Legyenek A, B véges halmazok és f : A → B leképezés. Ha f szürjektív, akkor
|A| ≥ |B|. Ha f injektív, akkor |A| ≤ |B|. Végezetül, ha f bijektív, akkor |A| = |B|.

Állítás: Véges halmaz bijekciói
Legyen A véges halmaz. Ekkor az f : A → A leképezés esetén a bijektivitás, a
szürjektivitás és az injektivitás ekvivalens fogalmak.

38 / 48


Végtelen halmazok

Deﬁníció: Megszámlálhatóan végtelen halmazok
Az A halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha bijekcióba állítható a
természetes számok halmazával.

Állítás: Végtelen halmazok jellemzése
Az A halmaz akkor és csak akkor végtelen, ha bijekcióba állítható valamely
valódi részhalmazával.
Biz. Ha A nem véges, akkor képezhetünk az elemeib˝ l egy a1 , a2 , . . . végtelen
o
sorozatot úgy, hogy i j esetén ai aj . Ekkor az an → an+1 , b → b,
b {a1 , a2 , . . .} leképezés bijekció A és A {a1 } között.

Állítás: Megszámlálható halmaz részhalmazai
A megszámlálhatóan végtelen halmazok részhalmazai végesek vagy
megszámlálhatóan végtelenek.
39 / 48


Példa megszámlálható halmazokra

Állítás: Q megszámlálható.
Z, Z2 és Q megszámlálható halmazok.

Biz. Z2 elemei lényegében a négyzetrács csúcsai, amik pedig az alábbi spirál
alakban felsorolhatók:

A Q elemeit az f : Q → Z2 , f (q) = (n, m) leképezés bijekcióba állítja Z2 egy
részhalmazával, ahol n, m relatív prímek, q = m és m > 0.
n

40 / 48


Példa nem megszámlálható végtelen halmazokra

Állítás: R nem megszámlálható.
A valós számok halmaza nem megszámlálható.

Biz. (Átlós módszer.) Tfh. a (0, 1) nyílt intervallum megszámlálható és legyen
x1 , x2 , . . . egy felsorolása. Legyen az xn tizedes tört alakja 0, an1 an2 · · · .
Minden n-re deﬁniáljuk a bn egészt az alábbi módon:

2 ha ann = 5,
bn =
5 ha ann 5.

Deﬁniáljuk az y = 0, b1 b2 . . . tizedes tört alakú valós számot. Egyrészt
y ∈ (0, 1), másrészt y nem szerepel a felsorolásban. Ellentmondás.
Megjegyzés. VIGYÁZAT! Egy valós szám tizedes tört alakja nem mindig
egyértelm˝ , gondoljunk arra, hogy 1 = 0, 999 . . .. Szerencsére a bizonyítás
u
helyességét ez nem befolyásolja.
41 / 48


A szitaformula

Tétel: Szitaformula
Tetsz˝ leges A1 , . . . , An véges halmazokra teljesül
o

|A1 ∪ · · · ∪ An | = |A1 | + · · · + |An | −
|A1 ∩ A2 | − |A1 ∩ A3 | − · · · − |An−1 ∩ An | +
|A1 ∩ A2 ∩ A3 | + |A1 ∩ A2 ∩ A4 | + · · · −
· · · + (−1)n−1 |A1 ∩ · · · ∩ An |.

A bizonyítandó egyenl˝ ség így is felírható:
o
n n n
Ai = (−1)k−1 |Ai1 ∩ · · · ∩ Aik | = (−1)k−1 |AI |,
i=1 k=1 1≤i1 <···<ik ≤n k=1 |I|=k

ahol I = {i1 , . . . , ik } ⊆ {1, . . . , n} és AI = Ai1 ∩ · · · ∩ Aik .

42 / 48


A szitaformula bizonyítása
Bizonyítás. n szerinti teljes indukcióval, n = 1 esetén |A1 | = |A1 | triviális, míg
n = 2-re a szitaformula

|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 |,

ami könnyen belátható. Legyen n ≥ 3 és tfh. a szitaformula teljesül
tetsz˝ leges n − 1 halmazra. Bontsuk szét az alábbi szummát három részre:
o
n n
(−1)k−1 |AI | = (−1)k−1 |AI | + (3)
k=1 |I|=k k=1 |I|=k,n I
1
(−1)k−1 |AI | + (4)
k=1 |I|=k,n∈I
n
(−1)k−1 |AI | (5)
k=2 |I|=k,n∈I

43 / 48


A szitaformula bizonyítása (folyt.)
Az indukciós feltevést az A1 , . . . , An−1 halmazokra alkalmazva kapjuk, hogy
az (3) rész |A1 ∪ · · · ∪ An−1 |. A (4) részt jobban megnézve láthatjuk, hogy az
|An |.
Vezessük be a B1 = A1 ∩ An , . . . , Bn−1 = An−1 ∩ An és BI = ∩i∈I Bi jelöléseket.
Ha n ∈ I ⊆ {1, . . . , n}, akkor

AI = Ai = Bi = BI ,
i∈I i∈I

ahol I = I {n}. Írjuk át (5)-at és helyettesítsünk m = k − 1-et:
n n n−1
(−1)k−1 |AI | = (−1)k−1 |BI | = (−1)m |BI |.
k=2 |I|=k,n∈I k=2 |I |=k−1 m=1 |I |=m

Ez utóbbi a Bi -re alkalmazott indukciós feltétel miatt

−|B1 ∪ · · · ∪ Bn−1 | = −|(A1 ∩ An ) ∪ · · · ∪ (An−1 ∩ An ) = −|(A1 ∪ · · · ∪ An−1 ) ∩ An |.
44 / 48


Számsorozatok

Absztrakt értelemben az x1 , x2 , . . . számsorozat nem más, mint egy
f : N → R, f (n) = xn leképezés. A számsorozatokra az (xn )∞ , vagy
n=1
gyakran csak az (xn ) jelölést használjuk.
Az x1 , x2 , . . . értékeket a sorozat elemeinek nevezzük.
Azt mondjuk, hogy az (xn ) számsorozat rendelkezik egy zárt képlettel, ha
xn -et kifejezhetjük n segítségével bizonyos egyszer˝ m˝ veletek
u u
alkalmazásával. Sok olyan számsorozat van, amelyre nem ismert zárt
képlet.
Azt mondjuk, hogy az (xn ) sorozat rekurzív módon van megadva, ha xn -t
az x1 , . . . , xn−1 értékekb˝ l, viszonylag egyszer˝ m˝ veletek segítségével
o u u
ki tudjuk számolni. Természetesen az ilyen sorozatok els˝ néhány tagját
o
külön meg kell adnunk.

45 / 48


Példák számsorozatokra

Példák
Rögzített a, d ∈ R számokra az xn = a + (n − 1)d képlettel definiált
sorozatot számtani sorozatnak nevezzük.
Rögzített a, q ∈ R számokra az xn = aqn−1 képlettel definiált sorozatot
mértani sorozatnak nevezzük.
A mértani és a számtani sorozat megadható rekurzív módon is. Fontos
rekurzív sorozat a Fibonacci-számok sorozata is.
Az 1, 1 , 1 , 1 , . . . sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük.
2 3 4
A prímszámok 2, 3, 5, 7, 11, . . . sorozatára nem ismert zárt képlet.
A 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; . . . sorozattal tetsz˝ legesen
o
megközelíthetjük π értékét.
Link ajánló: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
(http://www.research.att.com/ñjas/sequences/).

46 / 48


Monotonitás

Deﬁníció: Sorozatok monotonitása
Azt mondjuk, hogy az (xn )∞ sorozat
n=1
monoton növ˝ , ha minden n < m esetén xn ≤ xm .
o
szigorúan monoton növ˝ , ha minden n < m esetén xn < xm .
o
monoton csökken˝ , ha minden n < m esetén xn ≥ xm .
o
szigorúan monoton növ˝ , ha minden n < m esetén xn < xm .
o

Ha egy sorozat egyszerre monoton csökken˝ és növ˝ , akkor konstans,
o o
azaz xn = x1 minden n-re.
A legtöbb sorozat se nem monoton növ˝ , se nem monoton csökken˝ .
o o

47 / 48


Valós függvények grafikonja

Definíció: Valós függvény
Az f : A → R leképezéseket (A ⊆ R) valós függvényeknek nevezzük.
y
y = f (x) A középiskolában „függvény” alatt a
legtöbb esetben valós függvényt értünk.
Az f : A → R valós függvény a
f (x) (x, f (x)) grafikonja (vagy görbéje) az

{(x, f (x)) | x ∈ A} ⊆ R2
x
0 x
pontok halmaza a Descartes-féle
derékszög˝ koordinátarendszerben.
u
Az {(x, f (x))} ⊆ A × B halmaz lehet˝ vé
o
teszi a leképezés absztrakt definícióját.
48 / 48

Bevezetés a matematikába 1

More Related Content

Similar to Bevezetés a matematikába 1

Bevezetés a matematikába 1