Dokumen ini membahas tentang teknik pencacah deret bilangan berbasis 11 menggunakan algoritma tertentu. Pemodelan ini bertujuan untuk menunjukkan cara efisien dalam menghitung deret bilangan dan menciptakan pola angka menggunakan struktur pemrograman. Kesimpulan menyoroti batasan algoritma dan pergeseran pola deret pada nilai tertentu.

1. 1
Teknik Pencacah untuk Memodelkan Deret Bilangan
berbasis 11 Menggunakan Algoritma-XYZ
S.N.M.P. Simamora, ST., MT.
Program studi Teknik Komputer-Politeknik TELKOM Bandung
Jl. Telekomunikasi No. 1 Ters. Buah Batu Bandung 40257
Email : snmpsimamora@telkom.net
ABSTRAK
Salah satu bilangan yang dikelompokkan sebagai bilangan istimewa
adalah 11. Bilangan 11 adalah tergolong sebagai Bilangan Prima
yang hanya memiliki dua faktorisasinya saja yakni 1 dan 11.
Bilangan 11 juga bisa digunakan untuk permainan trik atau sulap
dalam kategori permainan trik matematika. Disebabkan
menyangkut persoalan deret bilangan, maka penggunaan larik
mutlak dibutuhkan untuk mencacah setiap bilangan menggunakan
proses berurutan secara indeks. Pada persoalan kali ini, akan
dibentuk sebuah formula tetap sampai deret bilangan ke-i sebagai
maksimal hasil pencacah yang didapatkan.
Kata kunci: deret, 11, algoritma, larik.
I. Pendahuluan
Bilangan 11 banyak digunakan untuk permainan matematika,
salah satunya adalah sebagai berikut:
Misalkan: 57 * 11
Bila dilakukan menggunakan cara konvensional (usual
mechanism) sebagai berikut:

2. 2
Namun dengan menggunakan Algoritma XYZ – A, dapat
dilakukan sebagai berikut:
i. Tentukan bilangan antara 10 sampai dengan 20
ii. Pisahkan digit ke-1 dan digit ke-2 ke sebuah template dengan
panjang 3 digit; dimana digit ke-1 ke template posisi ke-1,
dan digit ke-2 ke template posisi-3. Dengan demikian
template pada posisi-2 kosong.
iii. Tambahkan isi template posisi-1 ke isi template posisi-3,
katakana hasilnya adalah S.
iv. Jika S 10≥ , maka:
a) S1 ← 10 – S
S1 isikan ke template posisi-2, dan isi template
posisi-1 tambahkan dengan 1.
Tampilkan hasil: isi template.
b) Jika tidak, maka:
S isikan ke template posisi-2.
Tampilkan hasil: isi template
Misalkan:
Untuk pra-kondisi iv.a)
Untuk pra-kondisi iv.b)

3. 3
Contoh lain dapat disebutkan sebagai berikut:
?? ⇐ 212 x 11
Dengan menggunakan Algoritma XYZ – B, dapat dilakukan
sebagai berikut:
i. Ambil sembarang bilangan, Z, misalkan abcde; Z←abcde
ii. Tambahkan bilangan 0 didepan bilangan tersebut, sehingga
didapatkan: 0abcde
iii. Selanjutnya, asumsikan indeks dimulai dari kanan ke kiri,
maka:
Z[]={0,a.b,c,d,e}
iv. Jika hasil komputasi: abcde X Z disimpankan ke Z1, maka:
Z1[0]=Z[0]
Z1[1]=Z[0]+Z[1]
Z1[2]=Z[1]+Z[2]
Z1[3]=Z[2]+Z[3]
Z1[4]=Z[3]+Z[4]
Z1[5]=Z[4]+Z[5]
v. Maka, didapatkan Z1={(0+a),(a+b),(b+c),(c+d),(d+e),(e)}

4. 4
Simulasi:
Misalkan: Z = 2332, maka Z1 = 2332 X 11
i. Z[]={2,3,3,2}
ii. Tambahkan bilangan 0 ke larik terakhir, maka didapatkan:
Z[]={0,2,3,3,2}
iii. Uraikan setiap elemen larik Z1[] sebagai berikut:
Z1[0]=2
Z1[1]=Z[0]+Z[1]= 2 + 3 = 5
Z1[2]=Z[1]+Z[2]= 3 + 3 = 6
Z1[3]=Z[2]+Z[3]= 3 + 2 = 5
Z1[4]=Z[3]+Z[4]= 2 + 0 = 2
iv. Maka didapatkan Z1 = 25652
Contoh lain:
Misalkan: Z = 521412, maka Z1 = 521412 X 11
v. Z[]={5,2,1,4,1,2}
vi. Tambahkan bilangan 0 ke larik terakhir, maka didapatkan:
Z[]={0,5,2,1,4,1,2}
vii. Uraikan setiap elemen larik Z1[] sebagai berikut:
Z1[0]=2
Z1[1]=Z[0]+Z[1]= 2 + 1 = 3
Z1[2]=Z[1]+Z[2]= 1 + 4 = 5
Z1[3]=Z[2]+Z[3]= 4 + 1 = 5
Z1[4]=Z[3]+Z[4]= 1 + 2 = 3
Z1[5]=Z[4]+Z[5]= 2 + 5 = 7
Z1[7]=Z[5]+Z[6]= 5 + 0 = 5
Maka didapatkan Z1 = 5735532
II. Deret Bilangan dan Larik
Yang dimaksud dengan Deret Bilangan adalah sejumlah
bilangan yang tersajikan menggunakan pola arithmatika sampai
indeks bilangan ke-i tak berhingga.
Misalkan:

5. 5
1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
adalah deret bilangan dengan menggunakan pola: 1+= nUn ;
dimana n≥0
1,3,5,7,9,11,13,15,…
adalah deret bilangan dengan menggunakan pola:
1.2 += nUn ; dimana n≥0
Dalam matematika aljabar, setiap deret selalu dimulai dari
indeks ke-1 bukan ke-0; sehingga untuk deret:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
disebutkan:
Suku ke-1 = 1
Suku ke-2 = 2
Suku ke-3 = 3
dst…
Berbeda pada larik, indeks dimulai dari ke-0 bukan ke-1. Untuk
menampilkan larik, biasanya menggunakan struktur logika
program “looping” yakni: for…i
Misalkan, perhatikan sintaks Bahasa Pemrograman JAVA
berikut ini:
deretBilangan.java
public class deretBilangan {
public static void main(String args[]) {
int i,S[];
S=new int[10];
for(i=0;i<9;i++) {
S[i]=(2*i)+1;
}
System.out.println("Deret Bilangan:");
for(i=0;i<9;i++) {
System.out.print(" " + S[i]);
}

6. 6
System.exit(0);
}
}
Jika di-interpretasi-kan (dijalankan program tersebut), maka
akan menampilkan deret bilangan:
1,3,5,7,9,11,13,15,17
Dengan demikian, larik bisa didefinisikan sebagai sejumlah
data yang dikelompokkan menjadi satu group dengan tipe data
yang sama, dimana indeks urutan dimulai dari 0.
III. Deret Bilangan berbasis 11 berbasis Algoritma XYZ
Jika A adalah suatu bilangan berbasis 11 (dibaca ‘satu-satu’),
maka apabila A dikalikan dengan A dengan jumlah digit yang
kembar (sama), akan terpola sebagai berikut:
1 X 1
11 X 11 = 121
111 X 111 = 12321
1111 X 1111 = 1234321
11111 X 11111 = 123454321
Sehingga jika A memiliki panjang digit lebih dari 7, bisa
dibayangkan bila menggunakan operasi arithmatika
konvensional, sangat memboroskan memory untuk
menghitungnya.
Oleh sebab itu, lebih memudahkan bila dibangun sebuah
Algoritma XYZ untuk membangun blok proses sampai ke-9,
untuk n≥0. Mengapa sampai ke-9? lebih jelas alasannya dapat
diperhatikan berikut ini:
Algoritma XYZ untuk Deret Bilangan berbasis 11, dapat
disusun sebagai berikut:

7. 7
IV. Simulasi dan Analisis
Terlihat bahwa saat memasuki Un, untuk n>9, pola sebelumnya
dari 1 s.d 9, atau dengan kata lain, range: 1 <n < 9, tidak
mengikuti lagi.
Berikut dituliskan kembali agar terlihat perbedaannya:
U10 ; n=10 ⇒ 1234567900987654321
U11 ; n=11 ⇒ 123456790120987654321
U12 ; n=12 ⇒ 12345679012320987654321
U13 ; n=13 ⇒ 1234567901234320987654321
U14 ; n=14 ⇒ 123456790123454320987654321
Pola yang terbentuk dapat dinyatakan sebagai berikut:
Untuk n=10, pola terbentuk pada suku tersebut saja bukan
rangkaian komputasi sekuensial dari suku deret sebelumnya.
Untuk n>10, pola mulai terbentuk; walaupun demikian sedikit
‘terkecoh’ dengan sebaran digit pada n=11, sedangkan n>11
pola terbentuk demikian:
… 012320 …
… 01234320 …
… 0123454320 …

8. 8
Jika dilanjutkan sampai n=18, maka ditampilkan sebagai
berikut:
15 – 10 = 5 + 1 = 6
… 012345654320 …
16 – 10 = 6 + 1 = 7
… 01234567654320 …
17 – 10 = 7 + 1 = 8
… 0123456787654320 …
18 – 10 = 8 + 1 = 9
… 012345678987654320 …
Namun saat n=19, bila mengikuti pola seharusnya didapatkan
sebagai berikut:
19 – 10 = 9 + 1 = 20
… 012345678920987654320 …
Tetapi hasil sebenarnya adalah: … 012345678900987654320
…
Terlihat bahwa polanya kembali lagi ke saat n=10 di deret yang
tertulis sebelumnya.
Pada simulasi kali ini akan digunakan Bahasa Pemrograman
JAVA, dengan alas an pemanfaatan larik menggunakan bahasa
pemrograman ini sangat filosofi dengan memperhatikan kaidah-
kaidah (rules) deklarasi larik serta case-sensitive.
Simulasi-1, suku ke-n dideklarasikan secara default pada badan
pemrograman, sebagai berikut:
deretBilXYZ.java
public class deretBilXYZ {
public static void main(String args[]) {
int x=9;
int i,S[];
S=new int[100];
for(i=0;i<x;i++) {

9. 9
System.out.print(i+1);
}
for(i=1;i<x;i++) {
System.out.print(x-i);
}
System.exit(0);
}
}
Simulasi-2, suku ke-n didapatkan dari nilai masukan dari user,
yakni sebagai berikut:
deretBilXYZn
import javax.swing.JOptionPane;
public class deretBilXYZn {
public static void main(String args[]) {
int x,i;
String X=JOptionPane.showInputDialog("Suku ke
berapa?(1 s.d 9):");
x=Integer.parseInt(X);
if(x<1||x>9) {
System.out.print("Maaf, di luar range.");
} else {
for(i=0;i<x;i++) {
System.out.print(i+1);
}
for(i=1;i<x;i++) {
System.out.print(x-i);
}
}
System.exit(0);
}
}
Sedangkan berikut ini disimulasikan dalam sintaks Bahasa
Pemrograman JAVA untuk rentang: 10 ≤ n ≤ 18.
deretBilXYZv1

10. 10
public class deretBilXYZv1 {
public static void main(String args[]) {
int i,x;
x=15; // ubah nilai x untuk Un yang lain
if(x<0) {
System.out.print("Maaf, di luar range");
}
if(x>0&&x<9) {
for(i=0;i<x;i++) {
System.out.print(i+1);
}
for(i=1;i<x;i++) {
System.out.print(x-i);
}
}
if(x==10) {
for(i=0;i<7;i++) {
System.out.print(i+1);
}
System.out.print(x-1 + "0");
System.out.print("0");
for(i=1;i<x;i++) {
System.out.print(x-i);
}
}
if(x>10&&x<18) {
for(i=0;i<7;i++) {
System.out.print(i+1);
}
System.out.print("90");
int x1=x-10+1;
for(i=1;i<=x1;i++) {
System.out.print(i);
}
for(i=x1-1;i>0;i--) {
System.out.print(i);
}

11. 11
System.out.print("0");
for(i=0;i<9;i++) {
System.out.print(9-i);
}
}
System.exit(0);
}
}
Perhatikan, bahwa untuk blok komputasi: n=10, dan 11 ≤ n ≤ 18
diatur pada blok sintaks:
…
if(x==10) {
for(i=0;i<7;i++) {
System.out.print(i+1);
}
System.out.print(x-1 + "0");
System.out.print("0");
for(i=1;i<x;i++) {
System.out.print(x-i);
}
}
…
dan
if(x>10&&x<18) {
for(i=0;i<7;i++) {
System.out.print(i+1);
}
System.out.print("90");
int x1=x-10+1;
for(i=1;i<=x1;i++) {
System.out.print(i);
}
for(i=x1-1;i>0;i--) {
System.out.print(i);
}
System.out.print("0");

12. 12
for(i=0;i<9;i++) {
System.out.print(9-i);
}
}
V. Kesimpulan
Beberapa hal yang dapat disimpulkan dari uraian di atas adalah:
1. Algoritma XYZ untuk Deret Bilangan berbasis 11 (baca:
satu-satu) hanya terbatas pada rentang: 1 ≤ n ≤9
2. Untuk n = 10, dan rentang: 11 ≤ n ≤ 18, pola deret berubah,
namun masih menunjukkan dasar pencacah yang sama.
3. Dalam mensimulasikan deret suatu bilangan dalam
pemrograman selalu melibatkan struktur logika
pemrograman “looping” yaknik: for..i
VI. Daftar Pustaka
1.Simamora, S.N.M.P., “SI101 Pengantar Teknologi Informasi
(2 sks)”, Departemen Sistem Informasi, Fak. Teknik, ITHB,
Bandung, 2002.
2.Simamora, S.N.M.P., “SK-100 Dasar Komputer dan
Pemrograman (2 sks)”, Departemen Sistem Komputer, Fak.
Teknik, ITHB, Bandung, 2002.
3.Simamora, S.N.M.P., “Tuntunan Bahasa Pemrograman JAVA
menggunakan JDK v1.2.2”, Jurusan Ilmu Komputer, F-
MIPA, UNAI, Bandung, 2006..
4.Strang, G., "CALCULUS", Massachusetts Institute of
Technology, 1999.