Сертифікаційна робота з математики 2021 року (основна сесія)ErudytNet
Скачати зошити стандартного і профільного рівнів на сайті Ерудит.нет https://erudyt.net/pidgotovka-do-zno/matematyka/zavdannia-zno-2021-matematyka.html
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The document discusses the history and development of chocolate over centuries. It details how chocolate originated from cacao beans used by the Olmecs and Mayans as currency and medicine. Later, the Aztecs and Europeans discovered chocolate and it became popularized as a drink among European nobility in the 16th century before mass production made it accessible to common people in the 19th century.
The document discusses the history and development of chocolate over centuries. It details how chocolate originated from cacao beans used by the Olmecs and Mayans as currency and medicine. Later, the Aztecs and Europeans discovered chocolate and it became popularized as a drink among European nobility in the 16th century before mass production made it accessible to common people in the 19th century.
13. 2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 13
1. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ. ɉɪɢɝɚɞɚɣɦɨ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɡɜɢ-
ɱɚɣɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ: ɹɤɳɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ
ɧɚ ɬɟ ɫɚɦɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɬɨ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɚɧɨɦɭ. Ɉɬ-
ɠɟ, ɹɤɳɨ a, b ɿ k — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ a ak
b bk
= ɿ .ak a
bk b
=
Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɞɪɨɛɿɜ. Ⱥ ɫɚɦɟ:
Ⱦɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ, b ɿ k, ɞɟ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0, ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ
;
a ak
b bk
= .
ak a
bk b
=
Ⱦɚɧɿ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɽ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɹɦɢ ɿ ɜɢɪɚɠɚɸɬɶ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ,
ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɫɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɬɚɤ:
əɤɳɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ
ɜɢɪɚɡ, ɧɟ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ ɧɭɥɸ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ, ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ
ɞɚɧɨɦɭ.
2. ɋɤɨɪɨɱɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ak a
bk b
= ɞɪɿɛ ak
bk
ɦɨɠ-
ɧɚ ɡɚɦɿɧɢɬɢ ɞɪɨɛɨɦ ,a
b
ɬɨɛɬɨ ɞɪɿɛ ak
bk
ɦɨɠɧɚ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɧɚ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠ-
ɧɢɤ k ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2
4 2 2 2 ;
2 2
n n n n
mn m n m
⋅= =
⋅
2 2
2
( )( )
.
( )
a b a ba b a b
a a b aa ab
+ −− +
= =
−−
Ɋɿɜɧɨɫɬɿ
2
4 2
2
n n
mn m
= ɿ
2 2
2
a b a b
aa ab
− +
=
−
ɽ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɹɦɢ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɢ ɽ ɩɪɚ-
ɜɢɥɶɧɢɦɢ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ (ɩɟɪɲɚ — ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ m
ɿ n, ɞɟ m ≠ 0, n ≠ 0; ɞɪɭɝɚ — ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɿ b, ɞɟ ɚ ≠ 0, a ≠ b).
ɓɨɛ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɜɢɞɿɥɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ;
2) ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɫɤɨɪɨɱɟɧɧɹ ɧɚ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ.
14. 14 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
3. Ɂɜɟɞɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ
a ak
b bk
= ɞɪɿɛ a
b
ɦɨɠɧɚ ɡɜɨɞɢɬɢ ɞɨ ɧɨɜɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2
3 3 2 6
2 2
x x x x
y y x xy
⋅= =
⋅
— ɡɜɟɥɢ ɞɪɿɛ 3x
y
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 2ɯɭ.
Ȼɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɹɤ ɿ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɦɨɠɧɚ ɡɜɟɫ-
ɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 1. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ 2
3
y
x
ɬɚ 4 .
y
Ɣ ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɚɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ ʀɯɧɿɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ,
ɬɨɛɬɨ 3ɯ2
ɭ. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ ɭ, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ —
3ɯ2
. Ɍɨɞɿ:
2
2 2 2
;
3 3 3
y y y y
x x y x y
⋅
= =
⋅
2 2
2 2
4 4 3 12 .
3 3
x x
y y x x y
⋅= =
⋅
Ɣ
ɉɪɢɤɥɚɞ 2. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ 3
5
8a b
ɿ 2 2
7 .
12a c
Ɣ Ɂɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɨɛɨɯ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚɦɢ, ɬɨɦɭ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɲɭɤɚɬɢɦɟɦɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ ɹɤɨɦɨɝɚ ɦɟɧɲɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. Ɂɚ ɤɨ-
ɟɮɿɰɿɽɧɬ ɰɶɨɝɨ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚ ɜɿɡɶɦɟɦɨ ɧɚɣɦɟɧɲɟ ɫɩɿɥɶɧɟ ɤɪɚɬɧɟ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ ɞɚɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ, ɬɨɛɬɨ 24, ɚ ɤɨɠɧɭ ɡɦɿɧɧɭ ɜɿɡɶɦɟɦɨ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɦ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɡ ɹɤɢɦ ɜɨɧɚ ɜɯɨɞɢɬɶ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɞɪɨɛɿɜ, ɬɨɛɬɨ ɜɿɡɶɦɟɦɨ a3
, b ɿ
c2
. Ɍɨɞɿ ɫɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɛɭɞɟ 24a3
bc2
. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ 3ɫ2
, ɛɨ 24a3
bc2
= 8a3
b ⋅ 3c2
; ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — 2ab, ɛɨ 24a3
bc2
=
= 12a2
c2
⋅ 2ab. Ɇɚɬɢɦɟɦɨ:
2 2
3 3 2 3 2
5 5 3 15 ;
8 24 24
c c
a b a bc a bc
⋅= = 2 2 3 2 3 2
7 7 2 14 .
12 24 24
ab ab
a c a bc a bc
⋅= = Ɣ
ɓɨɛ ɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɩɪɨɫɬɿɲɨɝɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ, ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ
ɹɤɢɯ ɽ ɨɞɧɨɱɥɟɧɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɡɧɚɣɬɢ ɧɚɣɦɟɧɲɟ ɫɩɿɥɶɧɟ ɤɪɚɬɧɟ (ɇɋɄ) ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ;
2) ɭɬɜɨɪɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɇɋɄ ɿ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɡɦɿɧ-
ɧɢɯ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɡ ɹɤɢɦ ɜɨɧɢ ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ;
16. 16 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɡɧɚɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɚɛɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɛɭɞɶ-
ɹɤɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ:
,a a
b b
− =− .a a
b b
=−
−
əɤɳɨ ɡɦɿɧɢɬɢ ɡɧɚɤ ɭ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ ɚɛɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ ɿ ɡɧɚɤ ɩɟɪɟɞ ɞɪɨ-
ɛɨɦ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ, ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ ɞɚɧɨɦɭ.
Ⱦɨɜɟɞɟɦɨ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɿɜ. ɉɨɤɚɠɟɦɨ, ɳɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ a ak
b bk
= ɽ ɬɨɬɨɠ-
ɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɳɨ ɜɨɧɚ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ, b ɿ k, ɞɟ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0.
ɇɟɯɚɣ .a m
b
= Ɂɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɱɚɫɬɤɢ ɦɚɽɦɨ: ɚ = bm. ɉɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢ-
ɧɢ ɨɞɟɪɠɚɧɨʀ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɧɚ k, ɦɚɬɢɦɟɦɨ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɚk = (bm)k ɚɛɨ ɚk = (bk)m.
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0, ɬɨ bk ≠ 0. ɍ ɬɚɤɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɡ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɚk = (bk)m ɡɧɨɜɭ ɠ ɬɚɤɢ
ɡɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɱɚɫɬɤɢ ɦɚɽɦɨ: .akm
bk
= Ɉɬɠɟ, .a akm
b bk
= =
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɞɿɥɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɣ
ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ:
ɚ) 12 ;
8
a
ab
ɛ)
3
2 2
18
.
6
xy
x y
−
−
Ɣ ɚ) 12
8
a
ab
= 4 3
4 2
a
a b
⋅
⋅
= 3 .
2b
ɛ)
3
2 2
18
6
xy
x y
−
−
=
2
2
6 3
6
xy y
xy x
− ⋅
− ⋅
=
3
.
y
x
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɋɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ:
ɚ) 2 2
10 5 ;
4
b a
a b
−
−
ɛ)
2 2
3 3
.
x xy y
x y
+ +
−
Ɣ ɚ) 2 2
10 5
4
b a
a b
−
−
=
5( 2 )
( 2 )( 2 )
a b
a b a b
− −
− +
= 5
2a b
−
+
= 5 .
2a b
−
+
17. 2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 17
ɛ)
2 2
3 3
x xy y
x y
+ +
−
=
2 2
2 2
( )( )
x xy y
x y x xy y
+ +
− + +
= 1 .
x y−
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɪɿɛ 3
7
a
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 42ɚ2
b.
Ɣ Ɉɫɤɿɥɶɤɢ 42ɚ2
b = 7b ⋅ 6ɚ2
, ɬɨ, ɩɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɚ-
ɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ 6ɚ2
, ɦɚɬɢɦɟɦɨ: 3
7
a
b
=
2
2
3 6
7 6
a a
b a
⋅
⋅
=
3
2
18 .
42
a
a b
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ 2 2
3
m n−
ɿ 9 .
n m−
• 2 2
3 3 ;
( )( )m n m nm n
=
− +−
9 9 .
n m m n
= −
− −
ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ
ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ (m – n)(m + n). Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ
1, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — m + n. Ɍɨɦɭ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɡɚɥɢɲɚɽɦɨ ɛɟɡ ɡɦɿɧɢ, ɚ ɞɥɹ ɞɪɭɝɨ-
ɝɨ ɞɪɨɛɭ ɦɚɬɢɦɟɦɨ: 2 2
9( ) 9( )9 .
( )( )
m n m n
n m m n m n m n
+ +
= − = −
− − + −
•
32. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 5 ;
15
x
y
ɛ) ;
4
ab
b
ɜ)
( 2)
;
( 2)
m n
n n
−
−
ɝ)
2
3
18 .a
a
33. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 11
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ b2
; ɛ) 3
2
x
y
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 4ɯɭ.
34. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) a
b
ɿ
3
b ; ɛ) 1
mn
ɿ 2
1
n
.
35. Ɂɦɿɧɿɬɶ ɡɧɚɤ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 2
( )x y− −
; ɛ) 2
x y−
.
18. 18 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
36. ȼɢɞɿɥɿɬɶ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɣ
ɫɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 3 ;
5
x
x
ɛ) 4 ;
6
a
a
ɜ) 9 ;
6
ab
b
ɝ)
2
2
10
.
15
x y
xy
−
ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
37. ɚ)
2 2
2 3
28
;
35
x y
x y
ɛ)
2 2
24 ;
36
b c
bc
ɜ)
2
2 2
15 ;
40
mn
m n
− ɝ)
2 4
4 3
8 .
12
k m
k m−
38. ɚ)
2 2
3
18 ;
12
c n
n
ɛ)
2
36
;
28
xy
xy
ɜ)
2
2 3
40 ;
24
ab
a b−
ɝ)
3
3
14 .
42
ac
bc
−
−
39. ɚ)
( )
;
a m n
m n
−
−
ɛ)
( )
;
3 ( )
b c d
b c d
+
+
ɜ) 5 ;
15 20
k
k +
ɝ)
2
.m mn
mn
−
40. ɚ)
( )
;
( )
ab a b
c a b
+
+
ɛ)
( 2 )
;
( )
m x y
m x y
−
−
ɜ) 3 9 ;
3
x
x
−
−
ɝ)
7
.
5
xy
xy y−
41. ɉɨɞɚɣɬɟ ɱɚɫɬɤɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ ɣ ɫɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 10ɚ2
b2
: (5ɚ3
b); ɛ) 24m2
n : (–6mn); ɜ) (–28ab3
) : (–21b4
).
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
42. ɚ)
3
2 2
20
4
a b
a b
, ɹɤɳɨ ɚ = 48; b = 16; ɚ = –4,2; b = 2,1.
ɛ) 15ɯ2
ɭ3
: (30ɯɭ2
), ɹɤɳɨ ɯ = 300; ɭ = 0,06.
43. ɚ)
3
2 2
18
2
bc
b c
, ɹɤɳɨ b = 3; c = 4,5; b = –1,4, c = 2,8;
ɛ) 64m2
n4
: (16mn2
), ɹɤɳɨ m = 0,25; n = 25.
ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
44. ɚ) 6 3 ;
8 4
a b
a b
−
−
ɛ)
2
2
12 16 ;
3 4
a a
a a
−
−
ɜ)
2
2
;
xy x y
xy xy
+
−
ɝ)
2 2
;a b
a b
−
−
ɞ)
2
9 ;
7 21
a
a
−
+
ɟ) 2
10 20 ;
7 28
x
x
−
−
ɽ) 2
4 8
;
4 4
y
y y
−
− +
ɠ)
2
2
6 9.
9
x x
x
+ +
−
19. 2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 19
45. ɚ)
9 6
;
15 10
x y
x y
−
−
ɛ)
2
2
2 ;
2
c c
c c
+
−
ɜ) 2
10 10
;
x y
xy y
−
−
ɝ)
2
2
;ab a
ab b
+
+
ɞ)
2 2
;m n
n m
−
+
ɟ) 2 2
5 5
;
x y
x y
+
−
ɽ)
2
2 1;
3 3
m m
m
+ +
+
ɠ)
2
2
25 .
10 25
a
a a
−
− +
46. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ)
4
k
p
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 12p; 16p2
; ɛ) 2
5
2a
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 4ɚ4
; 10ɚ2
b.
47. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ 4
3xy
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 15xy; 3xy2
; 9ɯ3
y.
Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
48. ɚ) x
y
ɿ 2 ;
x
ɛ) m
ab
ɿ 4 ;
b
ɜ) 2
d
a
ɿ 3
1 ;
a
ɝ) 3
2c
ɿ 2
9 ;
c
ɞ) 1
3c
ɿ 2 ;
5c
ɟ) 3
8a
ɿ 1 ;
12a
ɽ) 2
18
x
a
ɿ 4
;
27
y
a
ɠ) 5
6ab
ɿ 5 ;
4b
ɡ) 2
3
p
a
ɿ .
6
q
ab
49. ɚ) 3
2a
ɿ 2 ;
b
ɛ) 7
8a
ɿ 5 ;
a
ɜ)
2
k
b
ɿ ;
3
n
b
ɝ) 8
15ab
ɿ 7 ;
20ab
ɞ) 2
5
6a
ɿ 7 ;
18a
ɟ) 3
3
4y
ɿ 2
7 .
20y
50. ɚ) 5
1a +
ɿ 4 ;
2a +
ɛ) 3
2( 1)a −
ɿ 2 ;
3( 1)a −
ɜ) 1
ab b+
ɿ 1 .
1a +
51. ɚ) 1
3c +
ɿ 2 ;
1c −
ɛ) 3
8( 2)b +
ɿ 1 ;
4( 2)b +
ɜ) 8
xy x−
ɿ 7 .
1y −
ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
52. ɚ)
2
2 2
6 9 ;
4 9
ab b
a b
−
−
ɛ)
2 2
2 2
4 25 ;
4 20 25
c x
c cx x
−
+ +
ɜ)
3 3
2 2
2 8
;
2
x y xy
xy x y
−
−
20. 20 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɝ)
3
8;
2
x
x
+
+
ɞ)
2
3
3 9 ;
27
z z
z
+ +
−
ɟ)
6
2
1
;
1
y
y
−
−
ɽ) ;
ax cx ay cy
cx cy
+ − −
−
ɠ)
2 2
2
2 ;b ab a
a ab ax bx
+ +
+ − −
ɡ) 2
8 4 .
2 2
a b
ab b ad bd
+
+ − −
53. ɚ) 2 2
14 63 ;
4 81
b c
b c
−
−
ɛ) 2
3 12 ;
8 16
kn n
k k
−
− +
ɜ)
2
2 3
6 2 ;
9
mn m
mn m
+
−
ɝ) 3
15 5 ;
27
c
c
−
−
ɞ)
2 2
2
;
x y
xy x y y
−
− + −
ɟ)
2
2
.a ac bc ab
a b abc
+ + +
+
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
54. ɚ)
2
2
3 9
9
a a
a
+
−
, ɹɤɳɨ ɚ = 4; ɚ = 1
3
− ;
ɛ)
2 2
2
( )
m n m n
m n
− − +
−
, ɹɤɳɨ m = 9,51; n = –0,49.
55. ɚ)
2
4
5 10
x
x
−
+
, ɹɤɳɨ ɯ = –1; ɯ = 2
9
; ɛ)
2
2 2
( )
,
a b
a b ab
+
+
ɹɤɳɨ a = 2,5; b = 4.
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
56. ɚ)
2 2
2 2
12 36 6 ;
636
a ab b a b
a ba b
+ + +=
−−
ɛ)
4
2
2
8 2 4.
2
m m m m
m m
− = + +
−
57. ɚ)
2 2
2 2
2
;
4( )4 4
x xy y x y
x yx y
− + −
=
+−
ɛ)
3
2
8 1 2 1.
4 2 1
x x
x x
+ = +
− +
58. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 7
x y+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɯ2
+ ɯɭ; ɛ) 2
x y+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɯ2
+ 2ɯɭ + ɭ2
;
ɜ) c
a b−
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɚ2
– b2
; ɝ) n
m n−
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ m3
– n3
.
59. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 2a
x y+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɯ2
– ɭ2
; ɛ) 1
a c+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɚ3
+ ɫ3
.
Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
60. ɚ) 3
9
14a b
ɿ 2
5 ;
21ab
ɛ) 3 3
1
18x y
ɿ 4
1 ;
27xy
ɜ) 2
9
a
m n
ɿ 5 3
.
15
b
m n
21. 2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 21
61. ɚ) 3 3
8
9x y
ɿ 5
5 ;
24xy
ɛ) 3 2
16
a
m n
ɿ 4
;
24
b
m n
ɜ) 4 2
15
c
x y
ɿ 2
2 .
25x y
62. ɚ) 2
3
x xy+
ɿ 2
2 ;
xy y+
ɛ) 2 2
x
x y−
ɿ ;
y
x y+
ɜ) 2 2
2
m
m mn n+ +
ɿ ;n
m n+
ɝ) 2
4 1
c
c −
ɿ
2
;
1 2
c
c−
ɞ) 3
1
1 x−
ɿ 2 ;
1x −
ɟ) 3
8
y
y −
ɿ 2
2 .
2 4y y+ +
63. ɚ) 2 2
x
x x y+
ɿ 2
;
y
y y+
ɛ) 2
4 4
m
m m− +
ɿ 3 ;
2 m−
ɜ) 2 2
4
a
a b−
ɿ .
2
b
b a−
64. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ, ɞɟ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ:
ɚ)
2
13824 ;
15552
n
n
x
x
+
ɛ) 2
2045 ;
1755
n
n
x
x
ɜ)
2 2
2 2
3 2
;
2
x xy y
x xy y
+ +
− −
ɝ)
3 2
2
2 2
.
2
y y y
y y
+ − −
+ −
65. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɡɚɞɚɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
ɚ)
2
1;
1
xy
x
−=
−
ɛ) .
x
y
x
=
66. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
ɚ)
2
2 2
3 5 15 10 25 ;
3 3 5 5
ab a b a a
ab a b b a ab a b
+ + + + +=
+ + + + + +
ɛ)
2 3 2 3 3 2 3 2
.
2 3 4 6 3 2 6 4
xy y x xy y x
xz z x xz z x
+ + + + + +
=
+ + + + + +
67. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
ɚ) 4 2 ;
9 9
+ ɛ) 5 2;
7 7
− ɜ) 1 53 2 ;
6 6
+ ɝ) 1 54 1 .
8 8
−
23. 3. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 23
2. ȼɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ. ȼɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ
ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ
.
a c a c
b b b
−
− = (2)
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (2) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚ-
ɦɟɧɧɢɤɚɦɢ:
ɓɨɛ ɜɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɿɞ ɱɢɫɟ-
ɥɶɧɢɤɚ ɡɦɟɧɲɭɜɚɧɨɝɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɤɚ, ɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɡɚɥɢɲɢɬɢ ɬɨɣ ɫɚɦɢɣ.
3. Ɂɚɩɢɫ ɞɪɨɛɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɪɨɛɿɜ. ɍ ɤɨɠɧɿɣ ɡ ɬɨɬɨɠɧɨ-
ɫɬɟɣ (1) ɿ (2) ɩɟɪɟɫɬɚɜɢɦɨ ɦɿɫɰɹɦɢ ɥɿɜɭ ɿ ɩɪɚɜɭ ɱɚɫɬɢɧɢ:
;a c a c
b b b
+ = + .a c a c
b b b
− = −
Ɉɞɟɪɠɚɧɿ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ, ɹɤɳɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɢ
ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɪɨɛɿɜ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ⱦɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) 7 5 ;
a a
+ ɛ) 2 1 1 3 ;a b
ab ab ab
+ −+ + ɜ)
5 2
.
2 2
x y x y
x y x y
− −
+
− −
Ɣ ɚ) 7 5
a a
+ = 7 5
a
+ = 12.
a
ɛ) 2 1 1 3a b
ab ab ab
+ −+ + = 2 1 1 3a b
ab
+ + − + = 2 3.a b
ab
+ +
ɜ)
5 2
2 2
x y x y
x y x y
− −
+
− −
=
5 2
2
x y x y
x y
− + −
−
=
6 3
2
x y
x y
−
−
=
3(2 )
2
x y
x y
−
−
= 3. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ȼɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) 2 2
4 2 3 ;
2 3 2 3
n n
n n n n
+−
− −
ɛ) 2 3 .a a
x y y x
−
− −
Ɣ ɚ) 2 2
4 2 3
2 3 2 3
n n
n n n n
+−
− −
= 2
4 (2 3)
2 3
n n
n n
− +
−
= 2 3
(2 3)
n
n n
−
−
= 1 .
n
24. 24 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɛ) Ɂɦɿɧɢɜɲɢ ɡɧɚɤ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɭɝɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2 3a a
x y y x
−
− −
= 2 3
( )
a a
x y x y
−
− − −
= 2 3a a
x y x y
+
− −
= 2 3a a
x y
+
−
= 5 .a
x y−
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɚɩɢɫɚɬɢ ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 3 5;a
a
+ ɛ) 2 2 1;a b
a b
+ +
+
ɜ) 3 1.
1
n
n
+
+
Ɣ ɚ) 3 5 3 5 53 .a a
a a a a
+ = + = +
ɛ)
2( )2 2 1 1 12 .
a ba b
a b a b a b a b
++ + = + = +
+ + + +
ɜ)
3( 1) 2 3( 1)3 1 3 3 2 2 23 .
1 1 1 1 1 1
n nn n
n n n n n n
+ − ++ + −= = = − = −
+ + + + + +
Ɣ
72. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) ;
4 4
a b+ ɛ) 9 3 ;
11 11
b b+ ɜ) 3 ;a a
x x
+ ɝ) .x a a
d d
+ +
73. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɪɿɡɧɢɰɸ ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) ;
7 7
yx − ɛ) 8 3 ;
9 9
n n− ɜ) ;
a y y
x x
+
− ɝ)
2
.
x y x
c c
+
−
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
74. ɚ) 2 3 ;b b
a a
+ ɛ) 5 3 7 1;
3 1 3 1
n n
n n
+ −+
+ +
ɜ) 2 3 4 3 ;a a
xy xy xy
− + +
ɝ) 6 3 ;
5 5
a a
p p
− ɞ) 3 3 ;
9 9
a a
a a
+ −− ɟ) 9 2.
7 7
b
b b
+−
− −
75. ɚ) 3 5 2 7 ;
5 5
n n
n n
+ −+ ɛ) 2 1 1 2 ;
1 1
x x
x x
+ −+
− −
ɜ) 2 2 ;
2 2 2
n n n
m m m
+ −+ +
ɝ) 3 ;c c
b b
+ − ɞ) 7 3 3 2 ;
4 1 4 1
b b
b b
− −−
− −
ɟ) 4 1 4 5 .
2 2 2
a a
a a a
− ++ −
25. 3. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 25
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
76. ɚ) 7 2 5 2 ;
4 1 4 1
x x
x x
− ++
+ +
ɛ) 3 3 ;a b a b
a b a b
− −−
+ +
ɜ) 3 5 1;
3 1 3 1
a a
a a
− ++
− −
ɝ)
6 12 ;
2 2
p
p p
−
− −
ɞ) 5 5 ;a b
a b b a
+ ++
− −
ɟ) 4 3 4 .
2 2
x x
x y y x
+ −−
− −
77. ɚ) 6 1 4 ;
1 1
m m
m m
− +−
− −
ɛ)
3 7 5
;
x y x y
x y x y
+ +
+
+ +
ɜ) 8 8 ;m n
m n n m
+
− −
ɝ) 9 9.
3 3
c c
c c
− +−
− −
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
78. ɚ) 3 3 1
4 4
b b
b b
− −+ , ɹɤɳɨ b = –3; ɛ)
2 2
7 1 1
3 3
a a
a a
− −− , ɹɤɳɨ ɚ = 0,28.
79. ɚ) 2 2
3 3a a
a a
− ++ , ɹɤɳɨ ɚ = 5; ɛ) 4 5 2 1
2 2
c c
c c
+ −− , ɹɤɳɨ ɫ = 0,4.
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
80. ɚ)
2
2 1 ;
1 1
c c
c c
− −
− −
ɛ)
5 3
;
1 1
a a
a a
−
− −
ɜ)
2
2 2
9 6 ;
9 9
b b
b b
+ +
− −
ɝ)
4 2 3
2 4 2 4
12 4 ;
3 3
a a b
a b b a b b
−
− −
ɞ)
2
4 5 1 2 ;
2 1 2 1 2 1
x x x
x x x
− −+ −
+ + +
ɟ) 2 2 2 2 2 2
2 3
.
xy x xy y y
x y x y x y
− −
− −
− − −
81. ɚ)
2 2
5 14 10
;
2 2
y y
y y
− −
−
− −
ɛ)
2 2
3 3
2
;
( ) ( )
x y xy
x y x y
+
−
− −
ɜ)
2
3 3
1 ;
1 1
a a
a a
+ +
− −
ɝ)
2 4
2 2
18 2 ;
3 3
a b
a b a b
−
− −
ɞ)
2 2
21 3 ;
3 3 3
n n
n n n
−− +
− − −
ɟ) 2 2 2
8 2 3 .
(5 ) (5 ) (5 )
a b a b a b
a b a b a b
− − +− −
+ + +
26. 26 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
82. ɚ)
2 2
( ) ( )
4;
a b a b
ab ab
+ −
− = ɛ)
3 2
2 2 2
4 4 .
( 2) ( 2) ( 2)
x x x x
x x x
− + =
− − −
83. ɚ)
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
2;
m n m n
m n m n
+ −
+ =
+ +
ɛ)
2
2 2 2 2
4 2 2 .
24 4
a ab a
a ba b a b
− =
+− −
ɉɨɞɚɣɬɟ ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɿ ɞɪɨɛɭ:
84. ɚ) 3 8 ;
2
x
x
+ ɛ) 5 5 2 ;m n
m n
− +
−
ɜ)
4 5
;
2
y
y
+
+
ɝ)
2
.
x y
x y
−
+
85. ɚ) 14 5;
7
b + ɛ) 3 3 ;b c a
b c
+ −
+
ɜ) 6 1;
2 1
c
c
+
+
ɝ)
4 3
.
x y
x y
−
−
86. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ)
2 4
2 2
1 ;
1 1
x x
x x x x
+ +
+ + + +
ɛ)
4 4 2 2
3 3 3 3
.a x a x
a x a x
+ +
+ +
ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɚ) Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ ɯ4
+ ɯ2
+ 1 ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɤɥɚɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ, ɡɚɩɢɫɚɜɲɢ
ɣɨɝɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ (ɯ4
+ 2ɯ2
+ 1) – ɯ2
.
87. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
ɚ) 5 3;
6 8
+ ɛ) 3 4 ;
14 21
− ɜ) 2 5 7 ;
9 6 12
− + ɝ) 1 2 57 4 .
3 11 6
⋅ −
88. ɉɨɞɚɣɬɟ ɨɞɧɨɱɥɟɧ 24ɚ7
b8
ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɜɨɯ ɨɞɧɨɱɥɟɧɿɜ, ɨɞɧɢɦ ɡ
ɹɤɢɯ ɽ:
ɚ) 6ɚ4
b7
; ɛ) 4ɚ2
b5
; ɜ) 24ɚ7
b; ɝ) 8ɚb7
.
89. Ɂ Ʉɢɽɜɚ ɿ ɑɟɪɤɚɫ, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 190 ɤɦ, ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɧɚɡɭ-
ɫɬɪɿɱ ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɦɭ ɜɢʀɯɚɥɢ ɚɜɬɨɛɭɫ ɬɚ ɥɟɝɤɨɜɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɿ ɡɭɫɬɪɿɥɢɫɹ
ɱɟɪɟɡ 1 ɝɨɞ 15 ɯɜ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɜ 11
9
ɪɚɡɭ
ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɚɜɬɨɛɭɫɚ.
27. 4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 27
90. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨ ɧɨɪɦ ɚɝɪɨɬɟɯɧɿɤɢ ɡɟɪɧɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɫɢɩɚɬɢ ɧɚ ɬɪɢɜɚɥɟ
ɡɛɟɪɿɝɚɧɧɹ ɡɚ ɜɨɥɨɝɨɫɬɿ 14% (ɤɨɧɞɢɰɿɣɧɢɣ ɫɬɚɧ). Ɂɿɛɪɚɧɟ ɡɟɪɧɨ, ɦɚɫɚ
ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 43 ɬ, ɦɚɽ ɜɨɥɨɝɿɫɬɶ 24%. ɇɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɬɨɧɧ ɡɦɟɧɲɢɬɶɫɹ
ɦɚɫɚ ɰɶɨɝɨ ɡɟɪɧɚ ɩɪɢ ɞɨɜɟɞɟɧɧɿ ɣɨɝɨ ɞɨ ɤɨɧɞɢɰɿɣɧɨɝɨ ɫɬɚɧɭ?
91. ɇɚ ɤɥɿɬɱɚɫɬɨɦɭ ɩɚɩɟɪɿ ɫɢɞɹɬɶ 100 ɩɚɜɭɤɿɜ, ɩɨ ɨɞɧɨɦɭ ɭ ɤɥɿɬɢɧɰɿ. ɉɚɜɭɤɢ
ɜɨɪɨɝɭɸɬɶ, ɹɤɳɨ ɤɥɿɬɢɧɤɢ, ɭ ɹɤɢɯ ɜɨɧɢ ɫɢɞɹɬɶ, ɦɚɸɬɶ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɭ
ɫɩɿɥɶɧɭ ɜɟɪɲɢɧɭ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɫɟɪɟɞ ɧɢɯ ɡɚɜɠɞɢ ɦɨɠɧɚ ɜɢɛɪɚɬɢ ɧɟ
ɦɟɧɲɟ ɧɿɠ 25 ɩɚɜɭɤɿɜ, ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɜɚ ɡ ɹɤɢɯ ɧɟ ɜɨɪɨɝɭɸɬɶ.
ɓɨɛ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿ-
ɛɧɨ ɡɜɟɫɬɢ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɿ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɨɞɟɪɠɚɧɿ
ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɞɨɞɚɸɬɶ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɸɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚ-
ɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ɇɟɯɚɣ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ ,c
d
ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ. Ɂɜɟ-
ɞɟɦɨ ɰɿ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ bd. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɦɨ ɧɚ d, ɚ ɞɪɭɝɨɝɨ ɞɪɨɛɭ — ɧɚ b. Ɉɞɟɪɠɢɦɨ:
;=a ad
b bd
.c bc
d bd
=
Ɂɧɚɸɱɢ, ɹɤ ɞɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
.++ = + =a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
Ɉɬɠɟ,
.a c ad bc
b d bd
++ =
ȼɿɞɧɿɦɚɸɬɶ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɨ, ɚ ɫɚɦɟ:
.a c ad bc
b d bd
−− =
28. 28 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɓɨɛ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɡɜɟɫɬɢ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ;
2) ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɨɞɟɪɠɚɧɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) 5 4 ;b c
ac b
+ ɛ) 2 2 3
4 7 ;
9 12x y xy
+ ɜ) 2 2
2 2 .
xy y x xy
−
− −
• ɚ) ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ ʀɯɧɿɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ. Ɍɨɦɭ
ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ — b, ɚ ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — ɚɫ.
5b
ac
4c
b
+
b ac
=
2 2
5 4 .b ac
abc
+
ɛ) ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɿɜ ɽ 36ɯ2
ɭ3
. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ 4ɭ, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — 3ɯ.
4 7+
4y 3x
9x y 12xy32 2
= 2 3
16 21
.
36
y x
x y
+
ɜ) Ɋɨɡɤɥɚɜɲɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɞɪɨɛɿɜ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2 2
2 2
xy y x xy
−
− −
=
2
y x y( )
2
x( )x y
x y
=
2 2
( )
x y
xy x y
−
−
=
2( )
( )
x y
xy x y
−
−
= 2 .
xy
•
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɉɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ ɜɢɪɚɡ
2
23 .
1
mm
m
+− +
−
• ȼɢɪɚɡ ɬ – 3 ɡɚɩɢɲɟɦɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ 3.
1
m − Ɍɨɞɿ:
2
23
1
mm
m
+− +
−
= m 3
1
2 +
1
m
m
1 m
+
2
=
2
( 3)(1 ) 2
1
m m m
m
− − + +
−
=
=
2 2
3 3 2
1
m m m m
m
− − + + +
−
= 4 1.
1
m
m
−
−
•
29. 4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 29
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ⱦɨɜɟɫɬɢ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ
2
1 .
( )
a b b
a b a a a b
+ − =
+ +
• ɉɟɪɟɬɜɨɪɢɦɨ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
1a b
a b a
+ −
+
= a
ba+
b
a
1
1
a a b( + )a a b+
+ =
2
( ) ( )
( )
a b a b a a b
a a b
+ + − +
+
=
=
2 2 2
( )
a ab b a ab
a a b
+ + − −
+
=
2
.
( )+
b
a a b
ɒɥɹɯɨɦ ɬɨɬɨɠɧɢɯ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɩɪɚɜɨʀ
ɱɚɫɬɢɧɢ. Ɍɨɦɭ ɰɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ. •
ɉɪɢɦɿɬɤɚ. ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɞɥɹ ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɟɣ ɨɞɧɭ ɱɚɫɬɢɧɭ
ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɡɜɨɞɹɬɶ ɞɨ ɿɧɲɨʀ ɱɚɫɬɢɧɢ ɚɛɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɡɜɨɞɹɬɶ ɞɨ ɬɨɝɨ
ɫɚɦɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ, ɚɛɨ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɪɿɡɧɢɰɸ ɥɿɜɨʀ ɬɚ ɩɪɚɜɨʀ ɱɚɫɬɢɧ ɿ ɞɨɜɨɞɹɬɶ,
ɳɨ ɜɨɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
92. ɚ) ;a m
c n
− ɛ) ;
3 12
a b+ ɜ) 5 3 ;
4 5
a b
x x
−
ɝ) 7 ;
9 6
c c
y y
− ɞ) 5 7 ;
12 18
b b
x x
+ ɟ) 4 6 .
15 25
b a
a b
−
93. ɚ) ;
6 18
c ad+ ɛ) 3 2 ;
5 3
k k
a a
+ ɜ) 5 .
24 36
n n
x x
−
94. ɚ) 2 3 ;
4
a
a
+ − ɛ)
10 37 3 ;
yx
x y
−+ + ɜ) 2 2 ;a b a b
b a
+ −−
ɝ) 2 2 ;
1 1z z
+
− +
ɞ) ;a a
a c c
−
+
ɟ)
1 2
.
2 1
y y
y y
− +
−
− +
95. ɚ) 2 1 1;
3
m
m
− + ɛ) 4 2 3 2 ;a b
a b
− ++ ɜ)
2 2
;
x y y x
x y
− −
−
ɝ) 2 1 ;
2k k
+
+
ɞ) 2 3 ;
2 1 3 2
a a
a a
−
+ +
ɟ) 1 .
1
x x
x x
+ −
−
30. 30 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
96. ɚ) 22 ;
2 1n
+
−
ɛ)
3 2
3 ;
x y
x
−
− ɜ)
2
.
2
y
y
y
−
−
97. ɚ)
5 2
2;
1
y
y
−
+
+
ɛ) 21 ;
2 3
x
x
−
+
ɜ)
2
2 3 3 .
1
c c
c
+ −
−
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
98. ɚ) 4 1 5 6 ;
8 12
x x
x x
− −+ ɛ) 6 18;
6 18
a a
a a
− +− ɜ) 5 4 ;
2( ) 3( )
a a
a b a b
−
+ +
ɝ)
2
2 2 ;a b a b
a ab
+ −+ ɞ) 2
1 5;c
c c
−− ɟ) 2 2
;m n m n
m n mn
+ −+
ɽ) 2
1 2 3;
3 6
y x
xy x
− ++ ɠ)
77 ;
( )
y
x x x y
−
+
ɡ) 3 3 .
( )
a
a b b a b
+
+ +
99. ɚ) 3 1 2 1;
6 4
b b
b b
− −− ɛ) 4 4 ;
5( ) 3( )
b c b c
b c b c
+ −+
− −
ɜ)
3 1;
3 3
x y x
xy x
+ −+
ɝ) 2
2 1 ;a
aa
+ − ɞ) 2
2 ;
2
a b a
abab
+ −+ ɟ) 2 1 2 .
( 1) 1
m
m m m
+ −
− −
100. ɚ) 3 3 ;
2 2 4 4
a b a b
a b a b
− ++
− −
ɛ) 1 3 ;
3 12 2 8
x x
x x
− −−
− −
ɜ) 2
4 2 ;
2 cc c
+
−
ɝ) 2
3 2 3 ;
3 3
b
b b b
−−
+ +
ɞ)
2
2
;
2 4
k k
k k
−
− −
ɟ) 2 2
4 4 .
2
m n
m nm mn n
− +
++ +
101. ɚ) 5 ;
2 2
m n m n
m n m n
+ −+
− −
ɛ) 2 3 ;
3 3 5 5
−
+ +
a a
a a
ɜ) 2
1 2 ;
1
n
n n n
−+
− −
ɝ) 2
15 3 ;
5 aa a
−
+
ɞ) 2
16 4 ;
416 xx
+
+−
ɟ) 2 2
1 .
2
x
x yx xy y
−
−− +
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
102. ɚ) 2 2
1 1 2 ;m
m n m n m n
+ =
− + −
ɛ) 2 2
1 1 .
11 1
b
bb b
− =
+− −
103. ɚ) 2
3 3 9 ;
3 3a a a a
− =
− −
ɛ) 2 2
1 .
( ) ( )
a b
a ba b a b
− =
−− −
31. 4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 31
ɉɟɪɟɬɜɨɪɿɬɶ ɭ ɞɪɿɛ ɜɢɪɚɡ:
104. ɚ) 2 2 2
1 1 ;a bc
a bc ab c
+ −+ ɛ) 4 2 3 3
3 14 1 ;
12 9
yx
x y x y
−+ −
ɜ) 1 1 ;c d
cm cn dm dn
+ +−
+ +
ɝ) ;
12 12 18 18
x x
x y x y
+
− +
ɞ) ;
4 4 4 4
a b a b
a b b a
− ++
+ −
ɟ) 2 2 2
1 1 .
( )b a a b
−
− −
105. ɚ) 3 2 2 3
2 1 3 1 ;
16 24
a b
a b a b
+ +− ɛ) 7 5 ;
ax ay by bx
−
− −
ɜ) 2 2 2
;b b
a b a ab
−
− +
ɝ) 2
1 .
2 2( )
x y
x yx y
−
+
++
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
106. ɚ)
2
2
5 3 1 ;
3 1 6 2
c c
c c c
+ −−
+ +
ɛ)
2
2
;b b
y bby y
+
−−
ɜ) 2
;
6 9 4 9
n n
n n
+
+ −
ɝ) 2
5 2 1 ;
10 225
x
xx
− −
−−
ɞ) 2 2
2 8 ;
2 4
a
a a a
− +
+ −
ɟ) 2 2
2 8 ;
8 2 4
a b a b
a ab b ab
+ ++
− −
ɽ) 2
5 15 ;
2 12 12 36m m m
−
+ + +
ɠ) 2 2 2
4 ;
9 24 16 3 4
x x
x xa a xa a
+
− + −
ɡ) 3 2
9 3 ;
27 3 9
a
a a a
−+
+ − +
ɢ)
2
3
2 2 4 .
2 8
x x
x x
+−
− −
107. ɚ) 2
1 10 ;
10
− +−
−
a a
a a a
ɛ) 2 2
1 1 ;b a
ab b ab a
+ ++
− −
ɜ) 2
9 9 ;
2 6 9
x
x x
−
+ −
ɝ) 2
5 20 ;
4 32 64b b
+
− −
ɞ) 2
5 45 ;
9 18 81
+
− − +
a a
a a a
ɟ) 2 2 2
;
4 12 9 4 6
y y
x xy y x xy
−
+ + +
ɽ) 3 2
1 ;
1 1
x
x x x
−
− + +
ɠ) 3
1 2 .
2 8
a
a a
+
+ +
32. 32 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
108. ɚ) 5 6 1 1;
8 4 2
a a a
a a a
+ − ++ − ɛ) 1 1 ;
x y
xy x y
−
− −
ɜ) 2 2
;a b a b a b
aba b
+ + −− − ɝ) 2
2 2 5 ;m n
mn n m
− − +
ɞ) 2
3 3 ;
2 2
a b b
ab b a
+ − + ɟ) 1 2 1;
2 1
x x
x x
− −− +
+ +
ɽ)
2 2
;
x y
x y
x y
+
+ −
+
ɠ)
4
2
2
1 1.
1
aa
a
+− +
−
109. ɚ) 3 1 1;
3 3
a
a a
+ + − ɛ) 2 2 2 2
1 1 ;a b
a b ab a b
+− −
ɜ)
2
2
1 1 ;nk
k kn
−− − ɝ) 2
1 3 1 ;
3 3
x x
xy yx
− −− +
ɞ)
2
( )
;
m n
m n
m n
−
− +
+
ɟ) 2 11 .
1 1
x
x x
− + −
− +
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
110. ɚ) 2
2 4 1 ;
5 25 5 2525a aa
− −
− +−
ɛ) 2 2
2 3 3 1 .
2 4 4 4
x x
x x x x
+ +− +
+ − − +
111. ɚ) 2 2
1 1 3 ;
2 2 4
a
a b b a a b
− −
+ − −
ɛ) 2
3 1 2 .
3 36 9
m
m mm m
− + −
− ++ +
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
112. ɚ) 2
2 2 1
2 2
x x
x xx x
− −− +
+ +
, ɹɤɳɨ ɯ = 3 ;
11
−
ɛ)
2
2 2
2 3 3a a a ab
a b a b a b
+− −
− + −
, ɹɤɳɨ ɚ = –1,5; b = 11,5.
113. ɚ)
2
2
3 2 3
3 3
a a
a a a a
− −
− −
, ɹɤɳɨ a = 2 ;
17
ɛ)
2
2 2
2 6 4
3 2 9 4
x y xy y
x y x y
+ +
−
− −
, ɹɤɳɨ ɯ = 4,2; ɭ = 1,3.
33. 4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 33
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
114. ɚ) 2 2 2
2(2 1)2 ;
2 1 1 ( 1)( 1)
xx x
x x x x x
++= −
+ + − − +
ɛ) 2 2 2
3 1 5 3 3 1 .
1 2 2 2 ( 1)
b b
bb b b b b
− ++ − =
− + −
115. ɚ)
2
2 2 2 2
;
2 ( )
n m n m
n mn m n mn n n m
+= +
− + − −
ɛ) 2 2
1 3 4 15 21 .
3 3 9 9
a
a a a a
−− − =
+ − − −
116. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɬɚɤɿ ɱɢɫɥɚ ɚ ɿ b, ɳɨɛ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɭɜɚɥɚɫɹ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢ-
ɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ:
ɚ) 1
( 1)( 2)x x+ +
= ;
1 2
a b
x x
+
+ +
ɛ) 2 1
( 3)( 4)
x
x x
−
− +
= .
3 4
a b
x x
+
− +
117. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ) 1 1 1 ;
( )( ) ( )( ) ( )( )a b a c b c b a c a c b
+ +
− − − − − −
ɛ) 2 4 8
1 1 2 4 8 ;
1 1 1 1 1x x x x x
+ + + +
− + + + +
ɜ)
3 7
2 4 8
1 1 2 4 8 ;
1 1 1 1 1
x x x
x x x x x
− − − −
− + + + +
ɝ) 1 1 1 1 ;
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4)a a a a a a a a
+ + +
+ + + + + + +
ɞ)
2 2 3
2 3 2 3 2 4
1 1 2 .
1 1 1 1
b b b b b b
b b b b b b b b
+ − − −+ + +
− − + − + + + −
118. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
ɚ)
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b b c c a
b c c a c a a b a b b c
+ + ++ +
− − − − − −
= 0;
ɛ)
( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a a b
a b a c b c b a c a c b
− − −+ +
− − − − − −
= 2 2 2 .
a b b c c a
+ +
− − −
2* ȼ. Ʉɪɚɜɱɭɤ. Ⱥɥɝɟɛɪɚ. 8 ɤɥ.
35. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1 35
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1
Ɋɿɜɟɧɶ 1
1. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2 1
5
x
x
−
−
, ɹɤɳɨ ɯ = –4?
ɚ) 1; ɛ) –1; ɜ) 7 ;
9
ɝ) ɧɟ ɿɫɧɭɽ.
2. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ ɜɢɪɚɡ 8 ?
2 5
x
x
+
−
ɚ) ɯ = 0; ɛ) ɯ = 2; ɜ) ɯ = 2,5; ɝ) ɯ = 5.
3. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ
2
3
18 .
3
a
a
ɚ) 18;
a
ɛ) 3
1 ;
6a
ɜ) 6 ;
a
ɝ) 3
6 .
a
4. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ 3
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ b2
.
ɚ) 2
3 ;
b
ɛ) 2
3 ;b
b
ɜ)
2
2
3 ;b
b
ɝ)
2
3 .b
b
5. Ⱦɨɞɚɣɬɟ ɞɪɨɛɢ: 2 2
3 1 5 8
.
y y
y y
− −
+
ɚ) 2
4 11
;
y
y
+
ɛ) 2
4 5
;
2
y
y
−
ɜ) 4 – 5ɭ; ɝ) 2
4 5
.
y
y
−
6. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ .
2
a b a b
a a
+ −−
ɚ) ;
2
a b
a
+ ɛ) ;b
a
ɜ) 3 ;
2
a b
a
+ ɝ) 3 .
2
a b
a
+
36. 36 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
Ɋɿɜɟɧɶ 2
7. ɍɫɬɚɧɨɜɿɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɜɢɪɚɡɚɦɢ (1–4) ɬɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧɧɨʀ
(Ⱥ–Ⱦ), ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɜɢɪɚɡ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ.
1) 3 ;
2 3
a
a
−
−
Ⱥ) 0; –1;
2)
3
2
4 5;c
c
+ Ȼ) 3;
3) 2
11 ;
2 10
x
x x−
ȼ) 1,5;
4) 2 1 1.
1 2
z z
z z
− +−
+
Ƚ) 0; 5;
Ⱦ) 0.
8. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ)
3 2
4
27 ;
36
a b
a b
ɛ) 5 10 .
3 6
a b
a b
−
−
9. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
2
2 6
3
a a
a
−
−
, ɹɤɳɨ ɚ = 1,7.
10. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 3 2
35 ;
yx
a b ab
− ɛ) .
4 4 7 7
a b
x y x y
+
+ +
11. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ)
2
2 ;
x y
x y
+
+
−
ɛ) 2 2
8 16 .−
− −
n
m n m n
Ɋɿɜɟɧɶ 3
12. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɢɪɚɡɿ 2
14 .
( 2) 4− −
k
k
13. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ)
2 5
3
196
;
35
x y
x y
ɛ)
3 2
2 3 2
3 .
9
a a
ab a b
−
−
14. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 2 2
1 1 ;a a
a a a a
+ −−
− +
ɛ) 2
.
( )
mn n n
m n m nm n
+ +
− ++
37. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1 37
15. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2 2
1 1
m mn mn n
−
− −
, ɹɤɳɨ ɬ = 0,7; ɩ = 1.
3
16. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ) 2 ;aba b
a b
+ −
+
ɛ) 2 2 2
.
2
b a b
a ab b b ab
+−
− + −
Ɋɿɜɟɧɶ 4
17. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ ɜɢɪɚɡ?
ɚ) 2
15 ;
2 15a a+ −
ɛ) 3
| 7 | | |− +x x
.
18. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ)
3 2
10 4 40 ;
10
x x x
x
− − +
−
ɛ)
2 2
16 64.
8
x x a
x a
− − +
+ −
19. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 2 2
5 1 6 1 ;
5 5 6 12 6
x x
x x x x
− −−
+ + +
ɛ)
2 2
2 2
2 4 .
2 2 4 4
a b a b
a b a b a ab b
++ −
− + + +
20. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ
2
2 3
1 1 4 .
2 2 4 8 2
a a
a a a a a
++ − +
− + − −
21. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ 2 4 8
1 1 2 4 8 .
1 1 1 1 1
+ + + =
− + + + −x x x x x
38. 38 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
1. Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. Ʉɨɥɢ ɦɧɨɠɚɬɶ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɬɨ ɨɤɪɟɦɨ ɦɧɨɠɚɬɶ
ʀɯɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɞɨɛɭɬɨɤ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ
ɞɪɨɛɭ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 3 5 3 5 15 .
4 7 4 7 28
⋅⋅ = =
⋅
Ɍɚɤ ɫɚɦɨ ɦɧɨɠɚɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ c
d
:
.a c ac
b d bd
⋅ = (1)
Ɋɿɜɧɿɫɬɶ (1) ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɚ, b, c ɿ d, ɞɟ b ≠ 0 ɿ d ≠ 0.
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (1) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ:
ɓɨɛ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɞɪɿɛ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɟɪɟɦɧɨɠɢɬɢ ɨɤɪɟɦɨ ʀɯɧɿ
ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɞɨɛɭɬɨɤ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ, ɚ
ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɭ.
ɐɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɨɲɢɪɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɜɢɩɚɞɨɤ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɿ ɛɿɥɶɲɟ ɞɪɨɛɿɜ.
2. ɉɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɩɪɚɜɢɥɨ ɦɧɨɠɟɧɧɹ
ɞɪɨɛɿɜ, ɩɿɞɧɟɫɟɦɨ ɞɪɿɛ ɞɨ n-ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ:
( )
P
N
ɪɚɡɿɜ
ɪɚɡɿɜɪɚɡɿɜ
...... .
...
n
n n
n
nn
a a a a aa a a
b b b b bb b b
= ⋅ ⋅ ⋅ = =
Ɉɬɠɟ,
( ) .
n n
n
a a
b b
= (2)
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (2) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ:
ɓɨɛ ɩɿɞɧɟɫɬɢ ɞɪɿɛ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɿɞɧɟɫɬɢ ɞɨ ɰɶɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ
ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢ-
ɤɨɦ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɭ.
43. 6. Ⱦɿɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ 43
145. ɍ ɩɟɪɲɨɦɭ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɿ ɛɭɥɨ 480 ɥ ɜɨɞɢ, ɚ ɜ ɞɪɭɝɨɦɭ — 282 ɥ. Ɂ ɩɟɪɲɨɝɨ
ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɛɟɪɭɬɶ ɳɨɞɟɧɧɨ 25 ɥ ɜɨɞɢ, ɚ ɡ ɞɪɭɝɨɝɨ — 16 ɥ. ɑɟɪɟɡ ɫɤɿɥɶɤɢ
ɞɧɿɜ ɭ ɩɟɪɲɨɦɭ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɿ ɜɨɞɢ ɛɭɞɟ ɭɞɜɿɱɿ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɭ ɞɪɭɝɨɦɭ?
146*. ȼɿɞ ɩɪɢɫɬɚɧɿ A ɞɨ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɜɿɞɩɥɢɜɥɢ ɤɚɬɟɪ
ɿ ɩɥɿɬ. Ʉɨɥɢ ɱɟɪɟɡ 1,5 ɝɨɞ ɤɚɬɟɪ ɩɪɢɛɭɜ ɞɨ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B, ɩɥɨɬɭ ɡɚɥɢɲɚɥɨɫɹ
ɩɪɨɩɥɢɫɬɢ ɞɨ ɰɿɽʀ ɩɪɢɫɬɚɧɿ ɳɟ 27 ɤɦ. ɇɟ ɡɚɬɪɢɦɭɸɱɢɫɶ ɧɚ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B,
ɤɚɬɟɪ ɜɢɪɭɲɢɜ ɭ ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɲɥɹɯ. ɑɟɪɟɡ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɩɿɫɥɹ ɜɿɞɩɪɚɜɤɢ ɜɿɞ
ɩɪɢɫɬɚɧɿ B ɤɚɬɟɪ ɡɭɫɬɪɿɧɟ ɩɥɿɬ? ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɚɬɟɪɚ ɭ
ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ?
147. ɍ ɬɪɢɞɟɜ’ɹɬɨɦɭ ɤɨɪɨɥɿɜɫɬɜɿ ɤɨɠɧɿ ɞɜɚ ɦɿɫɬɚ ɡ’ɽɞɧɚɧɿ ɞɨɪɨɝɨɸ ɡ ɨɞɧɨ-
ɫɬɨɪɨɧɧɿɦ ɪɭɯɨɦ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɿɫɧɭɽ ɦɿɫɬɨ, ɡ ɹɤɨɝɨ ɜ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɿɧɲɟ
ɦɿɫɬɨ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨʀɯɚɬɢ ɥɢɲɟ ɨɞɧɿɽɸ ɚɛɨ ɞɜɨɦɚ ɞɨɪɨɝɚɦɢ.
Ʉɨɥɢ ɞɿɥɹɬɶ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɬɨ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɦɧɨɠɚɬɶ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɨɛɟɪɧɟɧɢɣ
ɞɨ ɞɪɭɝɨɝɨ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2 3 2 5 10: .
7 5 7 3 21
= ⋅ =
ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɞɿɥɹɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ c
d
:
: .a c a d
b d b c
= ⋅
Ɉɫɬɚɧɧɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɚ, b, c ɿ d, ɞɟ b ≠ 0, ɫ ≠ 0 ɿ d ≠ 0. Ɂ ɰɿɽʀ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɞɿ-
ɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ:
ɓɨɛ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɨɞɢɧ ɞɪɿɛ ɧɚ ɞɪɭɝɢɣ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɩɨɦɧɨ-
ɠɢɬɢ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɨɛɟɪɧɟɧɢɣ ɞɨ ɞɪɭɝɨɝɨ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2 2 2
2 2 2 2 2 4: .
2
a a a b a b
b a bb b b a
⋅= ⋅ = =
⋅
44. 44 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɞɿɥɟɧɧɹ:
ɚ)
2 3
3
15 : ;
714
a a
cc
ɛ) 2 2
3: ;
1
ab b
a a a− −
ɜ)
2 2
4
: (2 ).
2
x y
x y
x
−
−
• ɚ)
2 3
3
15 :
714
a a
cc
=
2
3 3
15 7
14
a c
c a
⋅ =
2
3 3
15 7
14
a c
c a
⋅
⋅
= 2
15 .
2c a
ɛ) 2 2
3:
1
ab b
a a a− −
=
( 1)
( 1)( 1) 3
a aab
a a b
−
⋅
− +
=
( 1)
( 1)( 1) 3
ab a a
a a b
⋅ −
− + ⋅
=
2
3( 1)
a
a
⋅
+
ɜ)
2 2
4
:(2 )
2
x y
x y
x
−
− =
(2 )(2 ) 1
2 2
x y x y
x x y
− +
⋅
−
=
(2 )(2 )
2 (2 )
x y x y
x x y
− +
−
=
2
2
x y
x
+
⋅ •
148. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿɥɟɧɧɹ:
ɚ) : ;x m
y n
ɛ) 1 1: ;
a b
ɜ) : 2;
4
a ɝ) 33: .
x
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿɥɟɧɧɹ:
149. ɚ) 2: ;
9 3
a a ɛ) 6 2: ;
5 15
ab b
c
ɜ) 2 1: ;x
x
ɝ) 9 :3;
d
ɞ) 3
2
3819 : ;
5
nn
p
ɟ) ( )
3
33 : 11 ;
12
c c
m
ɽ)
3
5 3
: ;
2 4
c c
a a
ɠ)
2 3
3 4
12 3: .
25 5
ab b
x x
150. ɚ) 4 3
3 1: ;
10 5
x
y y
ɛ)
3
4
2
1827 : ;
7
aa
b
ɜ)
2
2 3
6 3: ;
5
x x
y y
ɝ) ( )
2
2
3
5 : 10 .
7
mn n
k
49. 7. Ɍɨɬɨɠɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ 49
Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ 1 ɦɢ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ
1 .
1 2
−
−
a
a
ȼɡɚɝɚɥɿ, ɛɭɞɶ-ɹɤɢɣ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɪɚɰɿɨ-
ɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 2. Ⱦɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɜɢɪɚɡ
2
2 2
2 2 3
:
2
xy y x y x y
x y x yx y
− + +
+
+ +−
ɧɚɛɭɜɚɽ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ.
• ɋɩɪɨɫɬɢɦɨ ɞɚɧɢɣ ɜɢɪɚɡ:
2
2 2
2 2 3
:
2
xy y x y x y
x y x yx y
− + +
+
+ +−
=
( ) 2 3
( )( ) 2 2
y x y x y x y
x y x y x y x y
− + +
⋅ +
− + + +
=
=
2 3
2 2
y x y
x y x y
+
+
+ +
=
2 4
2
x y
x y
+
+
=
2( 2 )
2
x y
x y
+
+
= 2.
Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
ɬɨɦɭ ɫɚɦɨɦɭ ɱɢɫɥɭ (ɱɢɫɥɭ 2). •
ɉɪɢɤɥɚɞ 3. Ⱦɨɜɟɫɬɢ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ
1 1
.
1 1
b aa b
b a
a b
+
+=
−−
• ɋɩɪɨɫɬɢɦɨ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
1 1
1 1
a b
a b
+
−
= ( ) ( )1 1 1 1:
a b a b
+ − = :b a b a
ab ab
+ − = b a ab
ab b a
+ ⋅
−
= .b a
b a
+
−
ɒɥɹɯɨɦ ɬɨɬɨɠɧɢɯ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɩɪɚɜɨʀ
ɱɚɫɬɢɧɢ. Ɍɨɦɭ ɰɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ. •
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
173. ɚ) ( )
2
1 11 : ;
3
−+ a
a
ɛ) ( )1 1 5: ;
5 5 5a a a
−
+ − +