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第65回情報科学談話会(村上 斉 教授)
- 1. 分数をほどく 村上 斉 情報基礎科学専攻 2016 年 6 月 30日 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 1 / 16
- 2. 座布団とひも 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 2 / 16
- 3. 座布団とひも 座布団にひもを巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 2 / 16
- 4. 座布団とひも 座布団にひもを巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 2 / 16
- 5. 座布団とひも 座布団にひもを巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 2 / 16
- 6. 座布団とひも 座布団にひもを巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → 1 5 • 座布団に巻き付けたひもの傾きは， 2 ⇒ 2 と変わる． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 2 / 16
- 7. 座布団と 2本のひも 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 8. 座布団と 2本のひも 座布団にひもを2本巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 9. 座布団と 2本のひも 座布団にひもを2本巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 10. 座布団と 2本のひも 座布団にひもを2本巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 11. 座布団と 2本のひも 座布団にひもを2本巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → ひもだけに注目： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 12. 座布団と 2本のひも 座布団にひもを2本巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → ひもだけに注目： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 13. 座布団と 2本のひも 座布団にひもを2本巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → ひもだけに注目： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 14. 座布団と 2本のひも 座布団にひもを2本巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → ひもだけに注目： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → 1 5 2 2 座布団に巻き付けたひもの傾きは， ⇒ と変わる． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 15. 座布団と 2本のひも 座布団にひもを2本巻き付ける： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → ひもだけに注目： − 縦 − 方 −− 向 − に − 左 −− ひ − ね − り → − 横 − 方 −− 向 − に − 右 −− ひ − ね − り → 1 5 2 2 座布団に巻き付けたひもの傾きは， ⇒ と変わる． ひもの交差の数に着目すると，[2] ⇒ [2,2] と変わる． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 3 / 16
- 16. 分数と連分数 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 4 / 16
- 17. 分数と連分数 ひもを，傾きが 8 となるように座布 3 団に巻き付ける． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 4 / 16
- 18. 分数と連分数 ひもを，傾きが 8 となるように座布 3 団に巻き付ける． ひもだけに注目： 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 4 / 16
- 19. 分数と連分数 ひもを，傾きが 8 となるように座布 3 団に巻き付ける． ひもだけに注目： ひもの交差の数に着目すると [2,1,2] となっている． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 4 / 16
- 20. 分数と連分数 ひもを，傾きが 8 となるように座布 3 団に巻き付ける． ひもだけに注目： ひもの交差の数に着目すると [2,1,2] となっている． 3 分数 8 の，連分数 2+ 1 1+ 1 2 3 2 3 1 2 = 2 + = 2 + による展開に対応． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 4 / 16
- 21. 分数と連分数 ひもを，傾きが 8 となるように座布 3 団に巻き付ける． ひもだけに注目： ひもの交差の数に着目すると [2,1,2] となっている． 分数 8 の，連分数 2+ 1 1+ 3 1 2 3 2 3 1 2 = 2 + = 2 + による展開に対応． 2 2 前ページのひもは，分数 5 の，連分数 2 + 1 による展開に対応． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 4 / 16
- 22. 連分数と三つ編み 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 5 / 16
- 23. 連分数と三つ編み 連分数に従ってひもを「三つ編み」にする． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 5 / 16
- 24. 連分数と三つ編み 連分数に従ってひもを「三つ編み」にする． 12 + ⇒ 2 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 5 / 16
- 25. 連分数と三つ編み 連分数に従ってひもを「三つ編み」にする． 12 + ⇒ 2 1+ 2 1 2 + ⇒ 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 5 / 16
- 26. 三つ編みを閉じる 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 6 / 16
- 27. 三つ編みを閉じる 1 右上を閉じると，先ほどのひもの絡み方と同じ． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 6 / 16
- 28. 三つ編みを閉じる 1 右上を閉じると，先ほどのひもの絡み方と同じ． − 右 −− 下 − の − ひ − も −− を − 持 − ち − 上 −− げ − る → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 6 / 16
- 29. 三つ編みを閉じる 2 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 7 / 16
- 30. 三つ編みを閉じる 2 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 7 / 16
- 31. 三つ編みを閉じる 2 −−左 −上 −角 −か −ら −右 −下 −角 −を → 通る線に沿って裏返す 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 7 / 16
- 32. 三つ編みを閉じる 2 −−左 −上 −角 −か −ら −右 −下 −角 −を → 通る線に沿って裏返す 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 7 / 16
- 33. 三つ編みを閉じる 2 −−左 −上 −角 −か −ら −右 −下 −角 −を → 通る線に沿って裏返す − 交 − 差 − を −− す − べ − て −− 逆 − に − す − る → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 7 / 16
- 34. 三つ編みを閉じる 2 −−左 −上 −角 −か −ら −右 −下 −角 −を → 通る線に沿って裏返す − 交 − 差 − を −− す − べ − て −− 逆 − に − す − る → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 7 / 16
- 35. 三つ編みを閉じる 2 −−左 −上 −角 −か −ら −右 −下 −角 −を → 通る線に沿って裏返す − 交 − 差 − を −− す − べ − て −− 逆 − に − す − る → − 右 − 下 −− の − ひ − も −− を − 左 − に → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 7 / 16
- 36. 三つ編みを閉じる 2 −−左 −上 −角 −か −ら −右 −下 −角 −を → 通る線に沿って裏返す − 交 − 差 − を −− す − べ − て −− 逆 − に − す − る → − 右 − 下 −− の − ひ − も −− を − 左 − に → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 7 / 16
- 37. 分数と結び目・絡み目 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 8 / 16
- 38. 分数と結び目・絡み目 1 ひもが輪になるように，さらに閉じると結び目か絡み目になる． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 8 / 16
- 39. 分数と結び目・絡み目 1 ひもが輪になるように，さらに閉じると結び目か絡み目になる． 分数 5 2 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 8 / 16
- 40. 分数と結び目・絡み目 1 ひもが輪になるように，さらに閉じると結び目か絡み目になる． 分数 ⇒ 連分数 5 1 2 ⇒2 + 2 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 8 / 16
- 41. 分数と結び目・絡み目 1 ひもが輪になるように，さらに閉じると結び目か絡み目になる． 分数 ⇒ 連分数 ⇒ 三つ編み 5 1 2 ⇒2 + 2 ⇒ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 8 / 16
- 42. 分数と結び目・絡み目 1 ひもが輪になるように，さらに閉じると結び目か絡み目になる． 分数 ⇒ 連分数 ⇒ 三つ編み ⇒ 右上を閉じる 5 1 2 ⇒2 + 2 ⇒ ⇒ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 8 / 16
- 43. 分数と結び目・絡み目 1 ひもが輪になるように，さらに閉じると結び目か絡み目になる． 分数 ⇒ 連分数 ⇒ 三つ編み ⇒ 右上を閉じる ⇒ 全部閉じる 5 1 2 ⇒2 + 2 ⇒ ⇒ ⇒ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 8 / 16
- 44. 分数と結び目・絡み目 1 ひもが輪になるように，さらに閉じると結び目か絡み目になる． 分数 ⇒ 連分数 ⇒ 三つ編み ⇒ 右上を閉じる ⇒ 全部閉じる 5 1 2 ⇒2 + 2 ⇒ ⇒ ⇒ 分数 ⇒ 結び目 ∼= 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 8 / 16
- 45. 分数と結び目・絡み目 2 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 9 / 16
- 46. 分数と結び目・絡み目 2 8 1 1+ 2 3 ⇒ 2 + 1 ⇒ ⇒ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 9 / 16
- 47. 分数と結び目・絡み目 2 8 1 1+ 2 3 ⇒ 2 + 1 ⇒ ⇒ 分数 ⇒ 絡み目（2 本の輪） ∼= 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 9 / 16
- 48. 分数と結び目・絡み目 2 8 1 1+ 2 3 ⇒ 2 + 1 ⇒ ⇒ 分数 ⇒ 絡み目（2 本の輪） ∼= • 分子が奇数なら結び目，偶数なら絡み目． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 9 / 16
- 49. 様々な連分数展開 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 50. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 51. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 27 5 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 52. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 27 5 = 5+ 2 5 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 53. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 27 2 5 1= 5 + = 5+ 5 5 2 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 54. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 27 2 5 2 = 5 + = 5 + = 5+ 5 5 1 1 2+ 2 1 ⇔ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 55. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 2 27 2 1 1 5 2+ 2 = 5 + = 5 + = 5 + ⇔ 5 5 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 56. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 2 27 2 1 1 5 2+ 2 = 5 + = 5 + = 5 + ⇔ 5 5 1 27 5 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 57. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 2 27 2 1 1 5 2+ 2 = 5 + = 5 + = 5 + ⇔ 5 5 1 27 −3 = 6+ 5 5 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 58. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 2 27 2 1 1 5 2+ 2 = 5 + = 5 + = 5 + ⇔ 5 5 1 27 −3 = 6 + = 6+ 5 5 1 − 5 3 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 59. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 2 27 2 1 1 5 2+ 2 = 5 + = 5 + = 5 + ⇔ 5 5 1 5 5 1 − 5 3 27 −3 = 6 + = 6 + = 6+ 1 1 −2 + 3 ⇔ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 60. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 2 27 2 1 1 5 2+ 2 = 5 + = 5 + = 5 + ⇔ 5 5 1 5 5 1 − 5 3 27 −3 = 6 + = 6 + = 6+ 1 1 −2 + 3 ⇔ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 61. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 2 27 2 1 1 5 2+ 2 = 5 + = 5 + = 5 + ⇔ 5 5 1 5 5 1 − 5 3 27 −3 = 6 + = 6 + = 6+ 1 1 −2 + 3 ⇔ 上の 2つは同じ結び目！ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 62. 様々な連分数展開 負の数を許すと，連分数展開は一意的ではない． 2 27 2 1 1 5 2+ 2 = 5 + = 5 + = 5 + ⇔ 5 5 1 5 5 1 − 5 3 27 −3 = 6 + = 6 + = 6+ 1 1 −2 + 3 ⇔ 上の 2つは同じ結び目！ 定理 (Conway (1970)) 分数が同じなら，連分数によらず結び目は決まる． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 10 / 16
- 63. 結び目を表す様々な分数 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 11 / 16
- 64. 結び目を表す様々な分数 違う分数でも同じ結び目を表すことがある． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 11 / 16
- 65. 結び目を表す様々な分数 違う分数でも同じ結び目を表すことがある． 17 1 2 = 3 + ⇔ 5 2 + 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 11 / 16
- 66. 結び目を表す様々な分数 違う分数でも同じ結び目を表すことがある． 17 1 2 = 3 + ⇔ 5 2 + 1 17 1 3 = 2 + ⇔ 7 2 + 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 11 / 16
- 67. 結び目を表す様々な分数 違う分数でも同じ結び目を表すことがある． 17 1 2 = 3 + ⇔ 5 2 + 1 左右を入れ替える 17 1 3 = 2 + ⇔ 7 2 + 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 11 / 16
- 68. 結び目を表す様々な分数 違う分数でも同じ結び目を表すことがある． 17 1 2 = 3 + ⇔ 5 2 + 1 左右を入れ替える 17 1 3 = 2 + ⇔ 7 2 + 1 定理 (Schubert (1956))l q p p ql q × q ≡ 1 (mod p) なら， と は同じ結び目を表す． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 11 / 16
- 69. 結び目を表す様々な分数 違う分数でも同じ結び目を表すことがある． 17 1 2 = 3 + ⇔ 5 2 + 1 左右を入れ替える 17 1 3 = 2 + ⇔ 7 2 + 1 定理 (Schubert (1956))l q p p ql q × q ≡ 1 (mod p) なら， と は同じ結び目を表す． 上の場合は 5 × 7 ÷ 17 = 2···1. 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 11 / 16
- 70. 結び目を表す様々な分数 違う分数でも同じ結び目を表すことがある． 17 1 2 = 3 + ⇔ 5 2 + 1 左右を入れ替える 17 1 3 = 2 + ⇔ 7 2 + 1 定理 (Schubert (1956))l q p p ql q × q ≡ 1 (mod p) なら， と は同じ結び目を表す． 上の場合は 5 × 7 ÷ 17 = 2···1. 5 7 17 ∼= 17 と書く． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 11 / 16
- 71. 結び目をほどく 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 12 / 16
- 72. 結び目をほどく 結び目の交差を入れ替えることによって，どんな結び目でもほどくこと ができる． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 12 / 16
- 73. 結び目をほどく 結び目の交差を入れ替えることによって，どんな結び目でもほどくこと ができる． 27 1 2 = 5 + ⇔ 5 2 + 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 12 / 16
- 74. 結び目をほどく 結び目の交差を入れ替えることによって，どんな結び目でもほどくこと ができる． 27 1 2 = 5 + ⇔ 5 2 + 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 12 / 16
- 75. 結び目をほどく 結び目の交差を入れ替えることによって，どんな結び目でもほどくこと ができる． 27 1 2 = 5 + ⇔ 5 2 + 1 − 左 −− 端 − の − 交 − 差 −− を − 入 − れ − 替 −− え − る → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 12 / 16
- 76. 結び目をほどく 結び目の交差を入れ替えることによって，どんな結び目でもほどくこと ができる． 27 1 2 = 5 + ⇔ 5 2 + 1 − 左 −− 端 − の − 交 − 差 −− を − 入 − れ − 替 −− え − る → ∼= ⇔ 3+ 1 2 + 1 2 17 = 5 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 12 / 16
- 77. 結び目をほどく 結び目の交差を入れ替えることによって，どんな結び目でもほどくこと ができる． 27 1 2 = 5 + ⇔ 5 2 + 1 − 左 −− 端 − の − 交 − 差 −− を − 入 − れ − 替 −− え − る → ∼= ⇔ 3+ 1 2 + 1 2 17 = 5 ∼= ⇔ 2+ 1 2 + 1 3 17 = 7 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 12 / 16
- 78. 分数をほどく 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 13 / 16
- 79. 分数をほどく 3 1 17 ⇔ 2 + 2 + 1 = 7 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 13 / 16
- 80. 分数をほどく 3 1 17 ⇔ 2 + 2 + 1 = 7 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 13 / 16
- 81. 分数をほどく 3 1 17 ⇔ 2 + 2 + 1 = 7 − 左 −− 端 − の − 交 − 差 −− を − 入 − れ − 替 −− え − る → 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 13 / 16
- 82. 分数をほどく 3 1 17 ⇔ 2 + 2 + 1 = 7 − 左 −− 端 − の − 交 − 差 −− を − 入 − れ − 替 −− え − る → ∼= ⇔ 3 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 13 / 16
- 83. 分数をほどく 3 1 17 ⇔ 2 + 2 + 1 = 7 − 左 −− 端 − の − 交 − 差 −− を − 入 − れ − 替 −− え − る → ∼= ⇔ 3 − 交 − 差 −− を − 入 − れ −− 替 − え − る → ⇔ 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 13 / 16
- 84. 分数をほどく 3 1 17 ⇔ 2 + 2 + 1 = 7 − 左 −− 端 − の − 交 − 差 −− を − 入 − れ − 替 −− え − る → ∼= ⇔ 3 − 交 − 差 −− を − 入 − れ −− 替 − え − る → ⇔ 1 ∼= であるからほどけている． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 13 / 16
- 85. 分数をほどく 3 1 17 ⇔ 2 + 2 + 1 = 7 − 左 −− 端 − の − 交 − 差 −− を − 入 − れ − 替 −− え − る → ∼= ⇔ 3 − 交 − 差 −− を − 入 − れ −− 替 − え − る → ⇔ 1 ∼= であるからほどけている． つまり， → ∼27 17 17 5 5 7 = → 3 → 1 のようにして分数を「ほどく」ことが できる． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 13 / 16
- 86. 分数をほどくいくつかの方法 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 14 / 16
- 87. 分数をほどくいくつかの方法 「分数をほどく」には，いくつかの方法がある． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 14 / 16
- 88. 分数をほどくいくつかの方法 「分数をほどく」には，いくつかの方法がある． 3 1 172 + = ⇔ 2 + 1 7 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 14 / 16
- 89. 分数をほどくいくつかの方法 「分数をほどく」には，いくつかの方法がある． 3 1 172 + = ⇔ 2 + 1 7 − 上 − の − 交 −− 差 − を − 入 −− れ − 替 − え − る → ∼= ⇔ 5 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 14 / 16
- 90. 分数をほどくいくつかの方法 「分数をほどく」には，いくつかの方法がある． 3 1 172 + = ⇔ 2 + 1 7 − 上 − の − 交 −− 差 − を − 入 −− れ − 替 − え − る → ∼= ⇔ 5 − 交 − 差 −− を − 入 − れ −− 替 − え − る → ⇔ 3 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 14 / 16
- 91. 分数をほどくいくつかの方法 「分数をほどく」には，いくつかの方法がある． 3 1 172 + = ⇔ 2 + 1 7 − 上 − の − 交 −− 差 − を − 入 −− れ − 替 − え − る → ∼= ⇔ 5 − 交 − 差 −− を − 入 − れ −− 替 − え − る → ⇔ 3 − 交 − 差 −− を − 入 − れ −− 替 − え − る → ⇔ 1 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 14 / 16
- 92. 分数をほどくいくつかの方法 「分数をほどく」には，いくつかの方法がある． 3 1 172 + = ⇔ 2 + 1 7 − 上 − の − 交 −− 差 − を − 入 −− れ − 替 − え − る → ∼= ⇔ 5 ⇔ 3 − 交 − 差 −− を − 入 − れ −− 替 − え − る → ⇔ 1− 交 − 差 −− を − 入 − れ −− 替 − え − る → つまり， 17 7 'i ノ → 3 → 1 5 のようにほどき方にも色々ある． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 14 / 16
- 93. 結び目解消数が 1の分数結び目 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 15 / 16
- 94. 結び目解消数が 1の分数結び目 ほどき方の回数で一番少ないものを結び目解消数と呼ぶ． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 15 / 16
- 95. 結び目解消数が 1の分数結び目 ほどき方の回数で一番少ないものを結び目解消数と呼ぶ． 17 7 'i ノ → 3 → 1 5 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 15 / 16
- 96. 結び目解消数が 1の分数結び目 ほどき方の回数で一番少ないものを結び目解消数と呼ぶ． 17 7 'i ノ → 3 → 1 5 7 ∴ 17 の結び目解消数は 2 以下． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 15 / 16
- 97. 結び目解消数が 1の分数結び目 ほどき方の回数で一番少ないものを結び目解消数と呼ぶ． 17 7 'i ノ → 3 → 1 5 7 ∴ 17 の結び目解消数は 2 以下．ちょうど 2 であることがわかる． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 15 / 16
- 98. 結び目解消数が 1の分数結び目 ほどき方の回数で一番少ないものを結び目解消数と呼ぶ． 17 7 'i ノ → 3 → 1 5 ∴ 17 の結び目解消数は 2 以下．ちょうど 2 であることがわかる． 7 問題 次の結び目の結び目解消数は？ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 15 / 16
- 99. 結び目解消数が 1の分数結び目 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 16 / 16
- 100. 結び目解消数が 1の分数結び目 定理 (Kanenobu–HM (1986)) 一度だけ交差を入れ替えることによってほどける分数結び目は p 2n2 の形 のものに限る．ただし， n と互いに素な自然数 m で 2mn = p ± 1 とな るようなものが存在するとする．また，この分数は [a,a1, a2, . . . , ak, ±2,−ak, . . . , −a2, −a1] という連分数展開を持つ． 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 16 / 16
- 101. 結び目解消数が 1の分数結び目 定理 (Kanenobu–HM (1986)) 一度だけ交差を入れ替えることによってほどける分数結び目は p 2n2 の形 のものに限る．ただし， n と互いに素な自然数 m で 2mn = p ± 1 とな るようなものが存在するとする．また，この分数は [a,a1, a2, . . . , ak, ±2,−ak, . . . , −a2, −a1] という連分数展開を持つ． 例：p = 19, m = 5, n = 2 とすると 19 = 2 + 1 8 1 2+ 1 + 1 2 . 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 16 / 16
- 102. 結び目解消数が 1の分数結び目 定理 (Kanenobu–HM (1986)) 一度だけ交差を入れ替えることによってほどける分数結び目は p 2n2 の形 のものに限る．ただし， n と互いに素な自然数 m で 2mn = p ± 1 とな るようなものが存在するとする．また，この分数は [a,a1, a2, . . . , ak, ±2,−ak, . . . , −a2, −a1] という連分数展開を持つ． 例：p = 19, m = 5, n = 2 とすると 19 = 2 + 1 8 1 2+ 1 + 1 2 . また， 19 = 3+ 8 1 1 −2 + 2 + 1 2 ⇔ 村上 斉 (情報基礎科学専攻) 分数をほどく 2016 年 6 月 30 日 16 / 16