340.математические и биомеханические аспекты паттинга статья

УДК 796.352.081
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И БИОМЕХАНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПАТТИНГА
Алексей Николаевич Корольков,
кандидат технических наук,
доцент кафедры теории и методики гольфа РГУФКСМиТ
Ключевые слова: гольф, мини-гольф, паттинг.
Про паттинг и мини-гольф во всем мире написано множество книг, из которых
наиболее подробными и фундаментальными, на наш взгляд, являются Patting like a Pros
(D. Pelz, 2000 г.) [12] и Мinigolf (M. Seiz, 2003 г.) [13]. Появляются брошюры,
посвященные паттингу и мини-гольфу и в России (например, Б. А. Яковлев Мини-
гольф для начинающих) [11]. Все эти труды качественно и подробно описывают
технику патта, принципы подбора инвентаря, действие упругих сил при ударе,
динамику движения мячей и многие другие проблемы, влияющие на точность
совершения ударов. Однако, вероятно, в силу того, что эти книги рассчитаны на
широкую аудиторию будущих или совершенствующихся игроков с различной
степенью образованности, то, естественно авторы стремились к изложению с
максимальной простотой, избегая любых, даже простых и очевидных аналитических
зависимостей. Это обстоятельство, конечно, существенно упрощает восприятие
содержания этих трудов, но, с другой стороны, не позволяет совершать количественные
оценки и переходить к более высоким ступеням познания.
Определим некоторые соотношения, позволяющие оценивать точность в
паттинге и мини-гольфе. Для простоты предположим поверхность игровой зоны, по
которой мяч катится к лунке , горизонтальной (рис.1).
С
R R0
А
Рис. 1. Расположение мяча В относительно лунки Н и точки совершения удара А.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Пусть мяч В после удара остановился на некотором расстоянии от лунки Н.
Ясно, что чем меньше (ошибка), то тем выше точность удара Т. Пусть точность
равна единице, если мяч попал в лунку ( , тогда для количественной оценки
точности можно предложить выражение:
Т = 1 R0 , (1)
где Т - точность;
- расстояние от мяча до лунки после удара;
R0 - расстояние от точки удара до лунки.
Из выражения (1) следует, что точность Т равна нулю или отрицательна, если
ошибка равна или превышает расстояние R0 от точки удара до лунки, что, на
практике, вряд ли представляется возможным. Ясно, что точность можно измерять и в
процентах, если умножить правую часть в уравнении (1) на 100%.
Как следует из рисунка 1:
2
= СН2
+ СВ2
, (2)
где СН = R0 sin и CB = R - R0 cos . (3)
При этом, СН – составляющая ошибки , вызванная в основном угловым
отклонением при выполнении удара, и при малых углах равна R0 , а СВ –
составляющая ошибки , определяемая в основном силой удара, и при , стремящимся
к нулю, равна R - R0.
Угловая ошибка определяется в конечном итоге расположением головки
клюшки относительно мяча в момент удара и, в свою очередь, является суммой углов,
вызванных ошибкой в прицеливании, ошибкой в угловом расположении стойки и
плоскости маха клюшкой и ошибкой при реализации удара в выбранном направлении
[12]. Интересно, что на практике эти три угла могут оказаться с разными знаками и
величинами такими, что их сумма может оказаться равной нулю и мяч после удара
может оказаться в лунке.
= пр + ст + р , (4)
где пр - ошибка угла прицеливания;
ст - ошибка стойки;

р - ошибка реализации.
Минимальная величина угловой ошибки прицеливания пр равна разрешающей
способности зрения и в нормальных условиях освещенности составляет в среднем одну
угловую минуту [5]. Например, угловой размер стандартной лунки, расположенной в
12-ти метрах от игрока будет равен 14 угловым минутам, т.е. пр в этом случае
составит около 7% углового размера лунки.
Как мы предположили выше, плоскость качения мяча горизонтальна, но вряд ли
можно представить себе игрока прицеливающегося в лунку лежа. В реальной ситуации
игрок целится стоя или присев, т.е. с некоторой высоты прицеливания h и ошибка в
прицеливании определяется углом (рис.2).
E
h С
пр R
A R0 H
Рис.2. Угловая ошибка в прицеливании и высота прицеливания h.
Тогда, с учетом зависимостей элементов в прямоугольных треугольниках АСН и
ЕАН, можно установить:
tg = R0 sin пр / h2
+ R0
2
, (5)
где h – высота прицеливания;
R0 – расстояние от игрока до лунки.
Для малых углов и пр можно записать:
пр = h2
+ R0
2
/ R0 . (6)
Из уравнения (6) следует, что чем выше высота прицеливания h (т. е. чем выше
игрок), тем больше составляющая угловой ошибки , определяемой остротой зрения .
Например для высоты прицеливания h = 1 м, разрешающей способности зрения =1’ и
расстояния до лунки R0 = 12 м, угловая ошибка прицеливания пр будет равна 1, 4’.

В мини-гольфе в отличие от паттинга игрок совершает удары в стандартных,
многократно тренированных ситуациях, при определенном начальном положении мяча
и лунки. Прицеливание при этом часто осуществляется не в лунку, а в некоторую
точку, расположенную гораздо ближе лунки, или по существующим следам на
покрытии от предыдущих прокатившихся мячей. В такой игровой ситуации следует
учитывать некоторые физиологические особенности зрения: угловой размер зоны
ясного видения и угловое расположение «слепого» пятна на сетчатке глаза.
Угловой размер зоны ясного видения в плоскости совершения патта (в
латеральном направлении) приблизительно равен 8 [5]. Для высоты прицеливания в 1
м половина этого угла будет соответствовать расстоянию в 7см, т.е. чуть меньше
длины головки паттера от лежащего мяча. «Слепое» пятно – место крепления глазного
нерва к сетчатке [5] - также расположено в латеральном направлении на угловом
расстоянии от центральной ямки глазного дна в 12 . Этот угол для средней высоты
прицеливания будет соответствовать расстоянию на игровой площадке в 21 см от
начального положения мяча ( две длины головки паттера). Естественно выбирать
такие точки прицеливания, которые расположены в зоне ясного видения, и избегать
точек прицеливания, находящихся в окрестностях слепого пятна.
Теперь об угловой ошибке в расположении стойки относительно линии
прицеливания ст. Общепринято, что при паттинге стопы игрока, их продольные оси,
должны располагаться перпендикулярно выбранной линии удара или представляемой
траектории головки клюшки, совершающей маятниковые движения [11,13], и
правильность их расположения игроком определяется визуально. Таким образом, ст
также зависит от разрешающей способности зрения , но визуальная оценка
правильности расположения стойки производится игроком в латеральном направлении.
Т.е. минимальная величина ошибки ст с учетом высоты прицеливания также как и для
пр составляет около 1,4’.
В отличие от паттинга в мини-гольфе на величину ошибки в расположении
стойки могут повлиять ограничения игровой зоны, вне пределов которой должен
располагаться игрок, и место расположения мяча в каждой игровой ситуации. В этих
случаях, расположение стоп перпендикулярно линии удара часто невозможно, и
ошибка ст вероятно возрастает.
Кроме минимальной составляющей угла ст, определяемой разрешающей
способностью зрения и способностью игрока к оценке параллельности направлений,
ст также определяется тремором [1] стойки. Тремор стойки - результат собственных
периодических колебаний различных частей туловища и органов тела, происходящих с
различными частотами. Так собственные колебания рук и ног имеют частоту 2-8 Гц,
частота сердечных сокращений 1-1,5 Гц, частота дыхания 0,3-1 Гц. При совпадении
этих колебаний в одной фазе могут возникнуть биения, в результате которых
амплитуда отклонения стойки в момент удара от выбранного положения может
значительно увеличиться.
Результирующая амплитуда тремора стойки у нетренированных игроков, по
результатам наших измерений, может привести к отклонению паттера за время
подготовки к удару, приблизительно равное 30 секундам, от среднего положения от 3
до 12 мм. Конечно, на точность совершения удара влияет направление такого
отклонения. Если направление отклонения головки клюшки перпендикулярно линии
удара, то удар становится нецентральным [10] и возникает момент сил, закручивающий

мяч в плоскости его движения. И скорость его вращения тем существенней искажает
его траекторию от прямолинейной, чем выше его коэффициент трения качения. В
угловом выражении тремор стойки может достигать 41,3’, что втрое больше углового
размера лунки, расположенной в 12-ти метрах от игрока.
Угловые ошибки пр и ст имеют место до совершения удара и заранее
определяют отклонение траектории мяча от верного направления. В момент удара,
даже если пр и ст минимальны (стремятся к нулю), может возникнуть угловая
ошибка р, вызванная разворотом головки клюшки относительно линии прицеливания
АН (рис. 3).
О
B
р
L А
Н
m
Р р
Рис. 3. Угловая ошибка реализации р в момент совершения удара.
Такой разворот клюшки, помимо рассмотренных выше причин, может быть
вызван неправильным хватом или изменением положения кистей рук, удерживающих
клюшку. Удар при этом также нецентральный и возникающий момент сил приводит к
вращению мяча в горизонтальной плоскости. Визуально величина р оценивается
линейным смещением m края головки клюшки от линии ОР перпендикулярной
направлению удара АН:
m = (L 2) sin р , (7)
где L – длина головки клюшки.
Для расстояния до лунки в 12 м, предельная допустимая величина m составит
0,21 мм, что для высоты прицеливания в 1 м будет соответствовать 0,7’, меньше
разрешающей способности зрения.
По аналогии с уравнением (6), можно записать выражение для минимальной
величины угла р, различаемой зрением с разрешающей способностью :

р = 4 h2
+ L2
/ L , (8)
где - разрешающая способность зрения;
h – высота прицеливания;
L – длина головки паттера.
Из (8) следует, что ошибка в реализации удара, визуально оценивается тем
лучше, чем ниже точка прицеливания и чем длиннее головка паттера.
Таким образом, общая угловая ошибка (4), определяемая описанными выше
причинами может превысить величину в 1 . При этом, ошибки, вызываемые тремором
стойки и изменением положения кистей рук в момент удара, во много раз больше
угловых ошибок, определяемых разрешающей способностью зрения. Конечно, такие
ошибки минимизируются в тренировочном процессе и по мере накапливания игрового
опыта.
Рассмотрим теперь соотношения, определяемые скоростью движения клюшки
при ударе. Для центрального удара (центры масс мяча и головки клюшки лежат на
одной прямой), исходя из законов сохранения энергии и импульса и представив, что
система соударяющихся тел замкнута [8,10] и скорость мяча до удара равна нулю, для
скорости мяча после удара Vb можно записать:
Vb = (1 + k) mp Vp / (mb + mp) , (9)
где k – коэффициент восстановления, зависящий от упругих свойств
соударяющихся тел;
mp – масса клюшки;
mb – масса мяча;
Vp – скорость клюшки до удара.
Коэффициент восстановления k равен отношению разностей скоростей
соударяющихся тел после удара к разности скоростей этих тел до удара [8]. Тогда,
пренебрегая упругими свойствами клюшки можно показать, что k равен квадратному
корню из коэффициента отскока мяча kr (обычно коэффициенты kr входят в
спецификацию мячей при продаже), определяемого, в свою очередь, отношением высот
падения и отскока мяча от твердой поверхности:
k = kr = hr / h , (10)
где hr - высота отскока мяча;
h - высота падения мяча.
Если предположить, что игрок не совершает никаких усилий при совершении
патта, а клюшка движется после замаха только под действием силы тяжести, то

скорость движения клюшки Vp можно определить из уравнения движения
математического маятника:
Vp = А g , (11)
где А – амплитуда маятника (приблизительно равна расстоянию от
кончика носа игрока при замахе до головки клюшки);
g – ускорение свободного падения.
Движение мяча после удара замедляется силой трения качения Ff, величину
которой без учета жесткостей мяча и поверхности игровой площадки, можно
определить как:
Ff = mb g / R , (12)
где – коэффициент трения качения;
mb – масса мяча;
g – ускорение свободного падения;
R – радиус мяча.
Тогда ускорение мяча a после удара будет равно:
a = g / R , (13)
а путь S, пройденный мячом до остановки можно рассчитать как:
S = Vb
2
/ 2 а . (14)
Подставив (11) в (9), а затем, полученное в (14), и (13) в (14) получим, с учетом
высказанных допущений, выражение для дальности качения мяча S:
S = (1 + k) 2
(mp / mb + mp)2
A R / 2 . (15)
Из (15) следует, что дальность качения мяча тем больше, чем больше его отскок
и радиус, больше масса клюшки и амплитуда (длина рук и клюшки), и тем короче, чем
больше коэффициент трения и масса мяча.
Выводы. Полученные выше соотношения сделаны при многих ограничениях
существенно упрощающих их вывод: плоскость горизонтальна, мяч начинает катиться
сразу (хотя в паттинге существует фаза полета и последующего скольжения и верчения

мяча вокруг вертикальной оси), также предполагалось, что игрок не совершает
никаких усилий, кроме удержания клюшки, при совершении удара. Тем не менее, эти
зависимости позволяют представить, по крайней мере, качественную картину
прицеливания и реализации патта, и могут служить предпосылками для разработки
более точной математической модели качения мяча в мини-гольфе и паттинге.
Положение игрока в мини-гольф при подготовке и совершении удара по мячу
статическое. Общепринято, что отсутствие движений в суставах пояса нижних
конечностей и в суставах свободных нижних конечностей увеличивают точность
совершения движений, приводящих к наилучшему результату в игре [7, 9]. Как
правило: ноги расположены на ширине плеч, продольные оси стоп параллельны друг
другу, сагиттальные оси туловища, пояса нижних конечностей и нижних конечностей
перпендикулярны направлению движения клюшки в момент удара и последующему
качению мяча (рис.4). Удар по мячу совершается за счет «маятникового» движения
треугольника, образованного кистями, удерживающими клюшку, предплечьями и
плечами, путем их отведения (приведения). Для правшей обычно левая кисть
расположена выше правой, что создает некоторую асимметрию в расположении
верхних конечностей и звеньев их составляющих. Движения пронации (супинации)
верхних конечностей при выполнении удара отсутствует. Квалифицированный игрок в
мини-гольф стремится к сохранению величины углов в лучезапястных и локтевых
суставах. Поступательное движение клюшки происходит в основном за счет
вращательных движений в грудино-ключичном, акромиально-ключичных и плечевых
суставах.
Рис.4. Фазы движения при выполнении удара в мини-гольфе.
Голова неподвижна. Контроль ее неподвижности при совершении движения
осуществляется фиксацией взора игрока на точке соприкосновения клюшки и мяча.
Игрок, как правило, смотрит на мяч сверху вниз, при этом, главная оптическая ось
взора, перпендикулярна земной поверхности, что определяет расстояние от мяча до
общего центра тяжести (ОЦТ) игрока в сагиттальном направлении (рис.5). Смещение
игрока относительно мяча в фронтальном направлении зависит от того каким глазом

игрок фиксирует расположение мяча и, вероятно, колеблется в пределах величины
глазного базиса.
Рис.5. Расположение игрока относительно мяча в мини-гольфе.
Можно выделить четыре фазы совершения удара клюшкой по мячу: отведение,
замах, собственно удар и проведение клюшкой вдоль реализуемого направления удара
(рис.4.).
Существует два основных варианта техники совершения удара:
1.) Замах, удар и проведение осуществляются в наклонной плоскости, содержащей
в каждый момент времени стержень клюшки и желаемое направление качения мяча
(рис.6). Такая техника совершения удара приводит к изменению углов в локтевых и
плечевых суставах при неизменности положений в остальных.
2.) Замах, удар и проведение осуществляются при неизменном положении
лучезапястных и локтевых суставов относительно удерживаемой клюшки. Головка
клюшки при совершении удара при таких условиях движется по дуге окружности (рис.
7), Движение происходит за счет вращений в плечевых суставах (поднятия,
опускания), и малого вращения туловища за счет скручивания позвоночника.

Рис.6. I вариант техники исполнения удара.
Рис.7. II вариант техники исполнения удара.

Таким образом, положение тела игрока в мини-гольф можно охарактеризовать
как: вертикальное с небольшим наклоном вперед, с нижней опорой,
квазисимметричное (левое плечо чуть выше правого для правшей), с устойчивым
равновесием.
При совершении движений в мини-гольфе на клюшку и опорно-двигательный
аппарат игрока действуют следующие внешние силы: сила тяжести, сила реакции
опоры, центробежная сила и силы сопротивления внешней среды. Последние
оказывают очень малое влияние на совершение движений, поэтому их величиной и
рассмотрением пренебрежем.
Отличием от обычного положения человека с нижней опорой у игрока в гольф
(рис.4) является наличие клюшки, которую опытные спортсмены во время игры
представляют как продолжение и неотъемлемую часть свободных верхних конечностей
[8]. Вес клюшки для мини-гольфа составляет 400 – 800 грамм. Центр масс ее находится
в нижней части на расстоянии около ¾ длины клюшки от места ее удержания кистями.
Угол γ между вертикалью перпендикулярной продольной оси головки клюшки и ее
стержнем (шафтом) составляет 10 – 20 градусов и определяет расстояние от мяча до
проекции ОЦТ игрока на поверхность игровой площадки.
Рассмотрим действие силы тяжести на клюшку и сопряженные с ней звенья
опорно-двигательного аппарата игрока при совершении удара в мини-гольфе (рис. 8).
На клюшку (ее центр масс) действует сила тяжести F = m · g , где m – масса клюшки, g
– ускорение свободного падения. Эта сила действует на клюшку под углом γ0,
заданным конструктивно. Силу F естественно разложить на две компоненты:
1.) Fr = m · g · cos γ0 , действующую вдоль стержня клюшки на ее
растяжение и следовательно вытянуть клюшку из кистей игрока;
2.) Ft = m · g · sin γ0 , действующую перпендикулярно стержню клюшки и
стремящуюся привести клюшку и конечности игрока в вертикальное
положение.
Для удержания клюшки в таком положении естественно должны возникнуть
равные по величине и противоположные по направлению силы реакции, создаваемые
некоторыми группами мышц. В частности, силу Ft должна уравновешивать сила,
приложенная к месту удержания клюшки кистями и пропорциональная отношению
длин рычагов l2 и l1 равных расстояниям от ручки клюшки до ее центра масс и от
центра масс до нижнего края головки клюшки, соответственно.

Рис. 8. Поза игрока при совершении удара. На схеме: ЦТГ – центр тяжести
головы, ЛЗС – лучезапястный сустав, ЛС – локтевой сустав, ПС – плечевой сустав, ГКС
– грудино-ключичный сустав, ТБС – тазобедренный сустав, КС – коленный сустав,
ГСС- голеностопный сустав.
Как следует из рис. 8, компонента Fr стремится разогнуть верхние конечности в
локтевых суставах, согнуть туловище в тазобедренных и согнуть нижние конечности в
коленных и голеностопных суставах. А составляющая силы Ft – разогнуть все
конечности и согнуть туловище в тазобедренных суставах.
При замахе («маятниковом» отведении клюшки и верхних конечностей в крайнее
положение, на угол φ от сагиттальной плоскости, рис. 9) составляющая силы тяжести
Fr также действует на центр масс клюшки под углом φ . Ее также можно разложить на
две составляющие Frr , действующую вдоль клюшки, и Frt , действующую
перпендикулярно (рис. 9). При этом, Frr = Fr · cos φ и Fr t = Fr · sin φ. Сила Frr
уравновешивается силой реакции верхних конечностей, которую можно представить в
виде суммы двух сил действующих вдоль продольных осей правого и левого
предплечий. Если предположить, что правая и левая кисти удерживают клюшку в
одном месте и предплечья расположены симметрично относительно оси клюшки, то и
силы, действующие на растяжение предплечий будут равны по величине и составят Frr /
2 · cos (α / 2) , где α – угол между предплечьями (рис.9).

Рис.9. Схема движений клюшки, положений лучезапястного (ЛЗС) и плечевых
(ПС) суставов при совершении удара.
Сила Fr t действует перпендикулярно стержню клюшки и также вызывает действия
уравновешивающих сил в кистях и предплечьях. Проекция ее на левое предплечье
равна: Fr t · sin (α / 2) и направлена в проксимальную сторону, т. е. с стремится сжать
левое предплечье, а составляющая: Fr t · cos (α / 2), перпендикулярная продольной оси
левого предплечья стремится привести его в вертикальное положения. Для правого
предплечья соответствующие силы, действующие вдоль него и перпендикулярно,
равны по величине силам, действующим на левое предплечье. Но сила Fr t · sin (α / 2)
направлена в дистальную сторону и стремится растянуть правое предплечье. Поскольку
правая кисть, как правило, расположена ниже левой кисти, то две разнонаправленные
силы создают вращающий момент, стремящийся изогнуть кисти в лучезапястных
суставах в сторону движения клюшки. Сила Fr t пропорциональна отношению длин
рычагов l2 и l1 и равна:
Fr t = (l2 / l1) · m · g · cos γ0 · sin φ .

Окончательно, с учетом полученных выше выражений, для сил (вызванных
действием силы тяжести), действующих вдоль продольных осей правых F пр и левых F л
кистей и предплечий можно записать:
F пр = m · g · cos γ0 · (cos φ / 2 · cos (α / 2) + (l2 / l1) · sin φ· sin (α / 2))
и
F л = m · g · cos γ0 · (cos φ / 2 · cos (α / 2) - (l2 / l1) · sin φ· sin (α / 2)) ,
где m - масса клюшки;
g – ускорение свободного падения;
γ0 – угол отклонения стержня клюшки от вертикали;
φ – угол отклонения клюшки при замахе от сагиттальной плоскости;
α – угол между предплечьями;
l2 и l1 - длины рычагов, равных расстояниям от ручки клюшки до ее центра
масс и от центра масс до нижнего края головки, соответственно.
Для силы Ft , приложенной к месту хвата и действующей перпендикулярно
стержню клюшки, которая стремится привести продольные оси верхних конечностей в
вертикальное нижнее положение можно получить:
Ft = (l2 / l1) · m · g · √ cos2
γ0 · sin2
φ + sin2
γ0 + (1/2) · sin 2 γ0· sin 2φ .
Кроме силы тяжести, вызывающей действия сил реакции F пр и F л вдоль звеньев
верхних конечностей и перпендикулярно к ним Ft , на клюшку, а, соответственно, и на
конечности действуют центробежные силы, возникающие благодаря движению
головки клюшки по кривой с разными радиусами кривизны (рис. 6, 7).
В случае первого варианта техники исполнения удара (рис.6), когда стержень
клюшки и линия качения мяча лежат в одной плоскости, центростремительная сила Fц
направлена вдоль стержня клюшки к ее дистальному концу и равна:
Fц = m · V2
(t) / (R0 + ΔR(t)),
где V(t) – линейная скорость головки клюшки;
m – масса клюшки;
R0 – расстояние от центра вращения грудино- ключичного сустава до
головки клюшки;
ΔR(t) – приращение расстояния R0 во время замаха и проведение за счет
разгибания в локтевых суставах.

Следует отметить, что в момент удара V(t) максимально, а ΔR(t) = 0. Угол γ
между клюшкой и вертикалью также меняется за счет разгибания в локтевых суставах
и зависит от угла отклонения клюшки φ:
tg γ = (R0 / H) · √ tg2
φ + sin2
γ0 ,
здесь Н – высота центра вращения клюшки (грудино-ключичного сустава) над
игровой поверхностью;
γ0 – конструктивно заданный угол отклонения стержня клюшки от
вертикали.
Как и в случае с продольной составляющей силы тяжести центробежная сила Fц
разложится на оси левого и правого предплечий пропорционально величине 1/ 2 · cos
(α / 2). При этом, следует заметить, что угол α между предплечьями при совершении
движений будет меняться из-за их сгибаний (разгибаний) в локтевых суставах.
При втором варианте техники исполнения удара, который осуществляется при
неизменном положении лучезапястных и локтевых суставов относительно
удерживаемой клюшки, стержень клюшки описывает коническую поверхность: головка
клюшки движется по дугам двух окружностей (рис. 4): первой с радиусом R0 , и второй
с радиусом R0 · sin γ0. В этом случае возникают две центробежных силы: одна, как и
при первом варианте техники выполнения удара, действует вдоль стержня клюшки,
стремясь растянуть верхние конечности. Ее величина равна:
Fц = m · V2
(t) / R0 .
Вторая центробежная сила действует в горизонтальной плоскости и стремится
увеличить угол γ0 . Величина ее обратно пропорциональна sin2
γ0 :
Fц = m · V2
(t) / R0· sin γ0 .
Последнюю силу разумно разложить на две составляющие, действующих вдоль
стержня клюшки и перпендикулярно: вдоль - m · V2
(t) / R0 , и перпендикулярно –
m · V2
· tg γ0 / R0 .
Тогда, учитывая полученные соотношения для силы F║, растягивающей клюшку
и верхние конечности, получим:
F║ = 2 · m · V2
(t) / R0 ,
и для силы F┴ , действующей перпендикулярно и стремящейся приподнять
клюшку вверх:
F┴ = m · V2
(t) · tg γ0 / R0 .

Окончательно величина результирующей силы, растягивающей правое
предплечье, в первом варианте техники исполнения удара будет равна:
F пр = m · g · cos γ · (cos φ / 2 · cos (α / 2) + (l2 / l1) · sin φ· sin (α / 2)) + m · V2
(t) /2 ·
cos (α / 2) · (R0 + ΔR(t))
и величина результирующей силы, действующей на левое предплечье:
F л = m · g · cos γ · (cos φ / 2 · cos (α / 2) - (l2 / l1) · sin φ· sin (α / 2)) + m · V2
(t) /2 ·
cos (α / 2) · (R0 + ΔR(t)).
Для силы действующей перпендикулярно стержню клюшки, стремящейся
привести клюшку и верхние конечности вниз к вертикали (I вариант техники):
Ft = (l2 / l1) · m · g · √ cos2
γ0 · sin2
φ + sin2
γ0 + (1/2) · sin 2 γ0 · sin 2φ .
Для второго варианта техники исполнения удара соответственно получим:
F пр = m·g·cos γ0·(cos φ /2·cos (α /2) + (l2 / l1)·sin φ· sin (α /2)) + m·V2
(t)/cos(α / 2)·R0 ,
F л = m·g·cos γ0·(cos φ /2·cos (α /2) - (l2 / l1)·sin φ· sin (α /2)) + m· V 2
(t)/cos(α / 2)·R0,
Ft = (l2 / l1) ·m ·g ·√ cos2
γ0· sin2
φ + sin2
γ0+ (1/2) ·sin 2 γ0·sin 2φ - m ·V2
(t) · tg γ0/ R0.
Полученные выражения можно использовать лишь для приблизительной
количественной оценки величин результирующих внешних сил, действующих на
предплечья и кисти игрока в мини-гольф, поскольку угол α меняется во времени,
расположение кистей, удерживающих клюшку несимметрично, также не ясен вид
зависимостей ΔR(t), γ (t) и φ(t).
Зависимость V (t) можно определить лишь в результате натурных измерений.
Теоретически, при определенных допущениях, можно описать зависимость V (t)
выражениями для физического или математического маятника, но, при этом, не будут
учтены величины внутренних сил игрока, увеличивающих или уменьшающих скорость
движения клюшки перед ударом.
Кроме того, на практике игроками реализуется некоторый промежуточный
вариант этих двух техник совершения удара, так что полученные выше выражения
описывают два граничных случая для оценки результирующих внешних сил.
Приблизительно оценим величины результирующих сил, действующих на кисти и
предплечья, для этого подставим в полученные формулы величины: m = 0,7 кг; g =
9,81м/с2
; γ ≈ γ0 = 17°; φ = 30°; α = 60°; l2 / l1 = 2,7; V = 3,0 м/с; ΔR(t) = 0; R0 =1,2 м.
Получим:
I вариант техники совершения удара: F пр = 12,96 н, F л = 4,10 н, Ft = 13,83 н.

II вариант техники совершения удара: F пр = 15,99 н, F л = 7,13 н, Ft = 12,22 н.
Величины результирующих сил, действующих на кисти и предплечья игрока в
мини-гольф, - малы и составляют около 2,5% величины силы тяжести, действующей на
общий центр масс игрока. Тем не менее, многократное периодическое их действие во
время игры, в течение 3-4-х часов, некоторым образом влияет на опорно-двигательный
аппарат спортсмена, вызывает напряжения и упругие деформации в отдельных звеньях
тела и группах мышц. Кроме того, специфическая статическая поза игрока также
вызывает действие внутренних пассивных и активных сил [3, 6].
Для описания таких внутренних сил определим положения центров тяжести
отдельных звеньев тела игрока, положение общего центра тяжести игрока и
расположение осей звеньев и суставов относительно вертикали, проходящей через
ОЦТ. Используем для этого данные и графический способ, изложенные в [2]. На рис.10
изображена схема расположения звеньев и суставов игрока в мини-гольф. На схеме
отмечены центры тяжести отдельных звеньев тела и клюшки, центры тяжести
совокупности звеньев и ОЦТ. Как следует из этой схемы, центр тяжести клюшки,
кистей и предплечий совпал с лучезапястными суставами. Это означает, что
результирующая силы тяжести, направленная вертикально вниз и проходящая через
лучезапястные суставы, создает моменты сил, стремящиеся изменить взаимное
положение кистей и предплечий. Продольные оси плеч лежат в вертикальной
плоскости параллельной вертикали ОЦТ, что не создает дополнительных вращающих
моментов, стремящихся к изменению взаимного положения кистей, предплечий и плеч.
В этом смысле, положение игрока для совершения точного «маятникового» движения
близко к оптимальному. Вероятно, есть смысл, немного наклонить туловище вперед,
чтобы совокупный центр тяжести клюшки, кистей, предплечий и плеч (на рис. 10
отмеченный цифрой 3) совпал с вертикальной плоскостью, содержащей продольные
оси плеч (на схеме отмеченными как отрезок ЛС – ПС), что является одним из
основных требований для выполнения точного удара. Вертикаль ОЦТ проходит чуть
сзади коленных суставов и центров тяжести стоп.

Рис.10. Схема расположения звеньев и суставов игрока в мини-гольф.
Крестиками отмечены центры тяжести звеньев. Слева вверх: клюшки, кисти,
предплечья, плеча, головы (ЦТГ); вниз и правей: туловища, бедра, голени, стопы.
Цифры: 1. ЦТ клюшки, 2. ЦТ клюшки и кистей, 3. ЦТ клюшки, кистей и предплечий, 4.
ЦТ клюшки, кистей, предплечий и головы, 5. ЦТ клюшки, кистей, предплечий, головы и
туловища, 6. ЦТ звеньев тела за исключением голени и стопы, 7. ЦТ тела за
исключением стопы, 8. общий центр тяжести (ОЦТ).
Выводы. Положение тела игрока в мини-гольф можно охарактеризовать как:
вертикальное с небольшим наклоном вперед, с нижней опорой, квазисимметричное
(левое плечо чуть выше правого для правшей), с устойчивым равновесием.
Правая кисть, как правило, расположена ниже левой кисти, по этой причине
возникает вращающий момент, стремящийся изогнуть кисти в лучезапястных суставах
в сторону движения клюшки.
Величины результирующих сил, действующих на кисти и предплечья игрока в
мини-гольф, - малы и составляют около 2,5% величины силы тяжести, действующей на
общий центр масс игрока.
На основе анатомического и биомеханического анализа по фотоснимкам игрока,
возможно, провести коррекцию его техники, в части определения наклона туловища,
минимизирующего действие моментов сил на свободные верхние конечности,
удерживающие клюшку.
Проведенный анализ действующих внешних и внутренних сил, позволяет выбрать
специальные упражнения спортивной подготовки. Естественно включать в

тренировочный процесс такие упражнения, которые тренируют нужные группы мышц
для формирования устойчивой стойки и стабильного маха клюшкой. Например,
упражнения со статической нагрузкой для вырабатывания стабильной стойки,
упражнения с эспандерами и утяжеленной клюшкой, упражнения на развитие чувства
равновесия для вырабатывания стабильного свинга. После завершения тренировки или
соревнования необходимы упражнения на растягивание, кручение позвоночника и
других звеньев, испытывавших упругие деформации и статические напряжения во
время игры.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бегун П. И., Шукейло Ю. А. Биомеханика: Учебник для ВУЗов. СПБ.:
Политехника, 2000 г.
2. Бернштейн Н.А. Избранные труды по биомеханике и кибернетике. Ред.-сост.
М.П. Шестаков. М.: СпортАкадемПресс, 2001.
3. Иваницкий М.Ф. Анатомия человека (с основами динамической и спортивной
морфологии). Изд.7-е, М.: Олимпия, 2007.
4. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лившиц Е.М.. Курс общей физики. М., Наука,
1969 г.
5. Миненко И. А. Новая популярная медицинская энциклопедия, М.: Мир книги,
2008 г.
6. Никитюк Б.А., Гладышева А.А. Анатомия и спортивная морфология
(Практикум), М.: ФиС, 1989 г.
7. Сандерс В. Гольф. Полное руководство по игре в гольф. М.: Олимпия пресс,
2003.
8. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002.
— Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7
9. Советы Тайгера Вудса, GolfDigest, Январь-февраль, 2008.
10. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для
инженеров и студентов ВУЗов. М., ООО «Издательство Оникс», 2008 г.
11. Яковлев Б. А.. Мини-гольф для начинающих, М., Центр исследований и
статистики науки, 2002 г.
12. Pelz D. Patting like a Pros, Harper Perrenial, ISBN 0-06-092078-5
13. Seiz M. Мinigolf, Minigolf Marketing GmbH, Postfach 447, 55464 Simmern,
2003 г.

340.математические и биомеханические аспекты паттинга статья

More Related Content

More from ivanov15666688

340.математические и биомеханические аспекты паттинга статья