2020 여름방학 정기스터디 5주차

1. 서울시립대 알고리즘 소모임
위상 정렬
2020년 여름 방학 5주차

2. 강의자 소개
2020 AL林 정기 스터디 2
이름 최문기
소속 서울시립대 컴퓨터과학부(16학번)
핸들 iknoom1107(BOJ) IKnoom(Codeforces) IKnoom(AtCoder)
ICPC 팀 Iknoom Cannot Participate Contest(ICPC)
- 김정현, 최문기, 최연웅

3. 2020 AL林 정기 스터디 3
위상 정렬

4. 위상 정렬(Topological Sorting)
2020 AL林 정기 스터디 4
의존성이 있는 작업들이 주어질 때, 수행해야 하는 순서
유향 그래프의 정점을 방향을 거스르지 않도록 나열하는 것
(유향 그래프의 정점을 정렬하는 것)
“간선 (i, j)가 존재하면 정렬 결과에서 정점 i는 반드시 정점 j보다 앞에 위치해야 한다.”

5. 위상 정렬(Topological Sorting)
2020 AL林 정기 스터디 5
“간선 (i, j)가 존재하면 정렬 결과에서 정점 i는 반드시 정점 j보다 앞에 위치해야 한다.”
정렬할 그래프는
1. 유향 그래프이며
2. 사이클이 없어야 합니다. (위 성질을 만족할 수 없죠)

6. ※ 참고
2020 AL林 정기 스터디 6
이러한 그래프를
DAG(Directed Acyclic Graph)라고 합니다.
※ 의존성 그래프(dependency graph)라고 하기도 합니다
정렬할 그래프는
1. 유향 그래프이며
2. 사이클이 없어야 합니다.

7. 위상 정렬의 예
2020 AL林 정기 스터디 7
1. 대학의 선수과목
2. 요리
3. 스타크래프트
등등...

8. 위상 정렬의 예
2020 AL林 정기 스터디 8

9. 위상 정렬의 예
2020 AL林 정기 스터디 9
점화
냄비에
물 넣기
라면
뜯기
라면
넣기
스프
넣기
계란
넣기

10. 위상 정렬의 예
2020 AL林 정기 스터디 10

11. 풀어볼 문제 줄 세우기(BOJ 2252번)
2020 AL林 정기 스터디 11
https://www.acmicpc.net/problem/2252
N명의 학생들을 키 순서대로 줄을 세우려고 한다.
각 학생의 키를 직접 재서 정렬하면 간단하겠지만, 마땅한 방법이 없어서 두 학생의 키를 비교하는 방법을 사용하
기로 하였다. 그나마도 모든 학생들을 다 비교해 본 것이 아니고, 일부 학생들의 키만을 비교해 보았다.
일부 학생들의 키를 비교한 결과가 주어졌을 때, 줄을 세우는 프로그램을 작성하시오.

12. 풀어볼 문제 줄 세우기(BOJ 2252번)
2020 AL林 정기 스터디 12
[입력]
N = 3
M = 2
1 < 3
2 < 3
학생들의 번호는 1번부터 N번, M은 키를 비교한 회수
답이 여러 가지인 경우에는 아무거나 출력한다.
[출력]
1 2 3

13. 풀어볼 문제 줄 세우기(BOJ 2252번)
2020 AL林 정기 스터디 13
[입력]
N = 8, M = 6
1 4
2 3
2 4
4 5
6 7
5 8
[출력]
1 2 3 4 6 5 7 8

14. 2020 AL林 정기 스터디 14
위상 정렬 알고리즘

15. 위상 정렬 알고리즘
2020 AL林 정기 스터디 15
알고리즘 1 Queue를 이용한 기본적인 방법 (BFS)
알고리즘 2 DFS를 이용한 방법

16. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 16
“진입 간선이 없는 정점을 선택하고 제거한다”
진입 간선 진출 간선

17. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 17
더 구체적으로
for i ← 1 to n {
① 진입 간선이 없는 정점 u를 선택한다.
② A[i] = u
③ 정점 u와 u의 진출 간선을 모두 제거한다.
}
return A[]

18. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 18
Answer
[ ]

19. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 19
Answer
[ 1 ]

20. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 20
Answer
[ 1 2 ]

21. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 21
Answer
[ 1 2 3 4 6 ]

22. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 22
Answer
[ 1 2 3 4 6 5 7 ]

23. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 23
Answer
[ 1 2 3 4 6 5 7 8 ]

24. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 24
아이디어는 쉽습니다.
하지만 어떻게 구현해야 효율적일까요?

25. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 25
for i ← 1 to n {
① 진입 간선이 없는 정점 u를 선택한다.
② A[i] = u
③ 정점 u와 u의 진출 간선을 모두 제거한다.
}
return A[]

26. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 26
Q = Queue()
INDEGREE = [0, 0, ..., 0]
1. 각 정점마다 진입 간선의 수를 INDEGREE에 저장한다.
2. 진입 간선이 없는 정점(INDEGREE[i] == 0)을 모두 Q에 넣는다.

27. 위상 정렬 알고리즘 ① : Queue
2020 AL林 정기 스터디 27
result = List()
while (Q is not empty) {
① u = Q.pop()
② result.push(u)
③ for (u에 인접한 정점 v에 대해서){
INDEGREE[v] -= 1
if (INDEGREE[v] == 0) Q.push(v)
}
}
return result

28. 위상 정렬 알고리즘 ① : 소스코드(python)
2020 AL林 정기 스터디 28

29. 위상 정렬 알고리즘 ① : 소스코드(python)
2020 AL林 정기 스터디 29

30. 위상 정렬 알고리즘 ① : 소스코드(python)
2020 AL林 정기 스터디 30
Queue 풀이 (소스코드 전체)
http://boj.kr/e6f76e4167714f60852b3cf559aaefad

31. 위상 정렬 알고리즘 ② : DFS
2020 AL林 정기 스터디 31
사실 방금까지 한 위상 정렬은
DFS 종료 순서를 뒤집기만 하면 됩니다.

32. 위상 정렬 알고리즘 ② : DFS
2020 AL林 정기 스터디 32
DFS(u) {
visited[u] = True
for (u에 인접한 정점 v에 대해서)
if (visited[v] = False) DFS(v)
result.push(u)
}

33. 위상 정렬 알고리즘 ② : DFS
2020 AL林 정기 스터디 33
result = List()
for (모든 정점 u에 대해서)
visited[u] = False
for (모든 정점 u에 대해서)
if (visited[u] = False) DFS(u)
reverse(result) // result 를 뒤집는다.
return result

34. 위상 정렬 알고리즘 ② : 소스코드(python)
2020 AL林 정기 스터디 34

35. 위상 정렬 알고리즘 ② : 소스코드(python)
2020 AL林 정기 스터디 35

36. 위상 정렬 알고리즘 ② : 소스코드(python)
2020 AL林 정기 스터디 36
DFS 풀이 (소스코드 전체)
http://boj.kr/1db6303b1a6a47c48abc2723cf2b7cd9

37. 위상 정렬 알고리즘 ② : DFS
2020 AL林 정기 스터디 37
이 방법은 먼저 알아본 방법에 비해서
상당히 비직관적입니다.
이 알고리즘의 정당성을 증명해볼까요?

38. 위상 정렬 알고리즘 ② : DFS 정당성
2020 AL林 정기 스터디 38
귀류법으로 증명합니다. (알고리즘 문제 해결 전략 831페이지를 참고했습니다.)
위상 정렬 결과에서 역행하는 간선 (u,v)가 있다고 가정해봅시다.
위상 정렬 결과의 예 : {3, 2, ... , v, ... ,u, ..., 9, ...}
이 결과가 나오기 위해서는 dfs(u)가 종료한 후 dfs(v)가 종료했다는 것입니다.
dfs(u)는 종료 전에 인접한 간선을 모두 보기 때문에 (u,v) 또한 검사했을 것입니다.

39. 위상 정렬 알고리즘 ② : DFS 정당성
2020 AL林 정기 스터디 39
이때 dfs(u)에서
1. visited[v]가 거짓일 경우
dfs(u)를 dfs(v)를 재귀 호출했을 것입니다.
따라서 dfs(v)가 종료된 후에 dfs(u)가 종료되었을 것이고 v는 u의 왼쪽에 있을 수 없습니다.
2. visited[v]가 참일 경우
dfs(v)는 이미 한번 호출되었어야 합니다.
그런데 dfs(v)가 dfs(u)보다 늦게 끝나기 위해서는, dfs(v)가 현재 실행 중이어야 합니다.
이렇게 되기 위해서는 v에서 u로 가는 경로가 필요합니다. (dfs(v) -> dfs(u)로 재귀호출)
하지만 그렇다면 그래프는 사이클을 형성합니다.

40. 위상 정렬 알고리즘 ② : DFS
2020 AL林 정기 스터디 40
따라서 DFS로 얻어낸 위상 정렬의 결과에서
(u, v)인 간선이 있을 경우
u는 v의 왼쪽에 있을 수 밖에 없습니다!

41. 2020 AL林 정기 스터디 41
그 외 잡다한 이야기들..

42. 다시보기
2020 AL林 정기 스터디 42
result = List()
while (Q is not empty) {
① u = Q.pop()
② result.push(u)
③ for (u에 인접한 정점 v에 대해서){
INDEGREE[v] -= 1
if (INDEGREE[v] == 0) Q.push(v)
}
}
return result

43. 큐의 크기를 통해서 알 수 있는 것
2020 AL林 정기 스터디 43
① 중간에 큐가 비어버리면 (루프가 N번 진행되지 않으면)
위상 정렬이 불가능한데 이 경우는 사이클이 있는 경우입니다.
(사이클이 있으면 위상정렬을 할 수 없다고 했죠.)
② 중간에 큐의 크기가 2 이상인 경우가 있다면
위상 정렬의 결과가 2개 이상입니다.
(큐에서 pop할 때 빼낼 수 있는 원소가 여러개라서 그렇습니다.)

44. Queue(BFS) vs DFS
2020 AL林 정기 스터디 44
일단 Queue를 이용한 방법이 더 직관적이고
딱히 DFS를 이용하지 않아도 위상 정렬 문제들은 풀립니다.
(저는 위상정렬 문제 대부분 Queue 써서 풀었습니다.)
하지만 알고리즘 대회를 준비한다면
DFS를 이용한 위상 정렬도 알아두는게 좋습니다.
(2-SAT에서 SCC DAG 위상 정렬할 때 써요)

45. earliest time
2020 AL林 정기 스터디 45
DP + Topological Sort
연습문제 : 작업 (BOJ 2056 ), ACM Craft (BOJ 1005)
https://www.acmicpc.net/problem/2056
https://www.acmicpc.net/problem/1005

46. critical path(임계경로)
2020 AL林 정기 스터디 46
A critical path is a longest path through the DAG, corresponding to the
longest time to perform any sequence of jobs. Thus, the weight of a critical
path provides a lower bound on the total time to perform all the jobs.
연습문제 : 임계경로 (BOJ 1948)
https://www.acmicpc.net/problem/1948

47. What’s New In Python 3.9
2020 AL林 정기 스터디 47

48. 연습 문제
2020 AL林 정기 스터디
48
위상 정렬
2252 줄 세우기
2623 음악프로그램
1766 문제집
3665 최종 순위
2056 작업
1005 ACM Craft