Διαγώνισμα προσομοίωσης για τη Γ Λυκείου Κατεύθυνσης από το Κολέγιο Αθηνών (Μάιος 2015). Μια αποκλειστική προσφορά του lisari.blogspot.gr

1. ΘΕΜΑ Α
Α1. Να διατυπώσετε το θεώρηµα Rolle και να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του
Μονάδες 5
Α2. Έστω µία συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ και xo ένα εσωτερικό σηµείο του
Δ . Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο xo και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο
αυτό , τότε να αποδείξετε ότι f ' xo( )= 0
Μονάδες 10
A3. Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στο τετράδιό σας ,
δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση
είναι σωστή , ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασµένη
α) Αν υπάρχουν στο ! τα lim
x→xo
f x( ), lim
x→xo
g x( ) και η συνάρτηση h x( )=
f x( )
g x( )
ορίζεται
κοντά στο xo , τότε ισχύει lim
x→xo
h x( )=
lim
x→xo
f x( )
lim
x→xo
g x( )
β) Ισχύει η ισοδυναµία : lim
x→xo
f x( )= 0 ⇔ lim
x→xo
f x( ) = 0
γ) Εαν µία συνάρτηση f : α,β⎡⎣ ⎤⎦ → ! είναι παραγωγίσιµη και ισχύει ότι f ' x( )≠ 0 για
κάθε x ∈ α,β⎡⎣ ⎤⎦ , τότε η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο α,β⎡⎣ ⎤⎦
δ) Ισχύει η ισοδυναµία :
1
x2
+1
= 0 ⇔ α = β = 0
α
β
∫
ε) Αν η συνάρτηση f : ! → ! είναι άρτια , τότε ισχύει
f −t( )dt
x
α
∫
⎛
⎝
⎞
⎠
/
= −f x( ) για κάθε x ∈!
Μονάδες 10
lisari.blogspot.gr
1

2. ΘΕΜΑ Β
Θεωρούµε z ∈! , ώστε
1
z − i
+
1
z + i
=
4
z2
+1
και τους w,u ∈!*
, ώστε : w
x
+ u
x
≥ 2 για
κάθε x ∈!
Β1. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο C1 των εικόνων των µιγαδικών z
Μονάδες 6
Β2. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του µιγαδικού y = w⋅u στο µιγαδικό επίπεδο ανήκουν
στο κύκλο C2 κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας 1
Μονάδες 6
Β3. Εάν z ∈C1
και y ∈C2
, να βρείτε την ελάχιστη και τη µέγιστη απόσταση των εικόνων
τους .
Μονάδες 5
Β4. Αν y1
,y2
∈C2
µε y1
+ y2
≠ 0 να αποδείξετε ότι :
α) Re
1
y1
+
1
y2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅Re
1
y1
+ y2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≥ 0
β) y1
+ y2
− y1
⋅y2
+1= 0 ⇔ y1
+ y2
+ y1
⋅y2
−1= 0
Μονάδες 4+4
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούµε τη συνάρτηση f : α,β⎡⎣ ⎤⎦ → ! , µε συνεχή πρώτη παράγωγο , f α( )= β ≠ 0 και
f ' x( )< 0, για κάθε x ∈ α,β⎡⎣ ⎤⎦
Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη
Μονάδες 3
Γ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f-1 είναι συνεχής και ισχύει f−1
t( )dt +
f α( )
f β( )
∫ f t( )dt
α
β
∫ = 0
Να αποδείξετε ότι :
α) f β( )= α
lisari.blogspot.gr
2

3. β) υπάρχει xo
∈ α,β( )τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο A xo
,f xo( )( ) να είναι
κάθετη στην ευθεία ε1 : x - y + 2015 = 0
γ) υπάρχει µοναδικό ξ ∈ α,β( ) τέτοιο , ώστε f(ξ) = ξ
δ) υπάρχουν ξ1
,ξ2
∈ α,β( ), τέτοια , ώστε f ' ξ1( )⋅ f ' ξ2( )= 1
Μονάδες 6+5+5+6
ΘΕΜΑ Δ
Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο f x( )= x2
− x x2
− 4 − 4ln x − x2
− 4( )
Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f
Μονάδες 3
Δ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά co , τέτοια , ώστε για κάθε x ≥ 2 να ισχύει :
f x( )= 2t − 2 t2
− 4( )dt
2
x
∫ + co
Μονάδες 5
Δ3. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη , καθώς επίσης ότι ισχύει η σχέση
t − t2
− 4( )dt
2
4
∫ < 2t − 2 t2
− 4( )dt
2
3
∫
Μονάδες 3 + 4
Δ4. Η τροχιά ενός πυραύλου , µετά την εκτόξευση του από το σηµείο Α , µοντελοποιείται
µε το τµήµα C της υπερβολής
x2
4
−
y2
16
= 1 που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο
lisari.blogspot.gr
3

4. α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε1): y = 2x είναι ασύµπτωτη της C
Μονάδες 3
β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη C , την ευθεία (ε1),
τον άξονα x/x και την ευθεία (ε2): x = 4
γ) Τη χρονική στιγµή to κατά την οποία ο πύραυλος βρίσκεται στο σηµείο M 4,4 3( ) η
τετµηµένη της θέσης του µεταβάλλεται µε ρυθµό 10 µονάδες /sec . Nα βρείτε πόσο
γρήγορα αποµακρύνεται ο πύραυλος από το κέντρο ελέγχου , που βρίσκεται στην
αρχή των αξόνων , τη χρονική στιγµή to
Moνάδες 3
lisari.blogspot.gr
4