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[2008]
01.속셈과 신기한 계산
수학의 규칙성
김 훈 선생님

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개념 : 계산시 10, 100, 1000, … 을 채워서 계산한다.
1. 63 + 294 + 37 + 54 + 6 을 계산하세요.
답) 454
2. 27.6+16.5+72.4+18.7+43.5 를 계산하세요.
답) 178.7
3. 9+99+999+9999를 계산하세요.
답) (10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)=10+100+1000+10000-4=11106
개념 : 소인수분해를 통해서 10, 100, 1000, … 을 채워서 계산한다.
1. 75 ×16 을 계산하세요.
답) (3 × 25) × (4 × 4) = 12 × 100 = 1200
2. 69 × 125 를 계산하세요.
답) 125 × 8 = 1000 이므로 원식 = 69000 ÷ 8 = 8625
3. (125 × 99 + 125) × 16 을 계산하세요.
답)125 × (99 + 1) × 16 = 12500 × 16 = 12500 × 8 × 2 = 100000 × 2 = 200000
개념 : 규칙성있는 곱셈(1)
⇒ 십의 자릿수가 같고 일의 자릿수의 합이 10인 두 자리 수의 곱셈
1. 24 × 26, 38 × 32, 57 × 53,79 × 71 에서 답을 쉽게 찾고 싶다. 문제와 답 사이의 규칙성을
찾으시오.
답) (답의 일의 자리, 십의 자리)는 (문제의 일의 자리끼리 곱셈을 한 결과)이며, (답의 천의 자리,
백의 자리)는 (문제의 십의 자리끼의 곱셈 결과에 십의 자리수를 더한 결과)와 같다.
따라서, 답은 624, 1216, 3021, 5609 이다.
개념 : 규칙성있는 곱셈(2)
⇒ 십의 자릿수의 합이 10이고 일의 자릿수가 같은 수의 곱셈
1. 21 × 81, 32 × 72, 45 × 65, 46 × 66 에서 답을 쉽게 찾고 싶다. 문제와 답 사이의 규칙성을
찾으시오.
답) (답의 일의 자리, 십의 자리)는 (문제의 일의 자리끼리 곱셈을 한 결과)이며, (답의 천의 자리,
백의 자리)는 (문제의 십의 자리끼의 곱셈 결과에 일의 자리수를 더한 결과)와 같다.
따라서, 답은 1701, 2304, 2925, 3036 이다.
개념 : 규칙성있는 곱셈(3) ⇒ 같은 수가 반복되는 수의 특징
1. 53 × 101, 76 × 101, 101 × 84 의 계산결과는 어떤 특징이 있나요? 그렇다면, 932932 라는
수를 만들려면 어떤 수들을 곱해야 하나요? 786532786532 라는 수는 어떤 수를 곱해야
하나요?
답) 특징=>같은 수가 반복된다. 수는 5353, 7676, 8484. 932 × 1001, 786532 × 1000001.

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개념 : 규칙성 찾기 (⇒ 입체도형에서 가능)
1. 다음 도형에서 삼각형이 몇 개있는지 세어 보세요.
1) 2) 3)
답) 1) 2+1=3. 2) 3+2+1=6. 3) 4+3+2+1=10
2. 1.에서 선분을 그어 삼각형의 개수를 늘릴수록 삼각형의 개수의 변화에는 어떤 특징이 있
는가? 공식을 만들어 보시오.
답) 그은 선분의 수를 n이라 하면, 선분의 개수는
𝑛(𝑛−1)
2
이 된다.
3. 다음 그림의 각 도형 중에 있는 정사각형의 개수를 세어 보고 어떤 규칙성이 있는 지 분
석해 보시오.
1) 2) 3) 4)
답)
크기가 1인 삼각
형의 개수
크기가 2인 삼각
형의 개수
크기가 3인 삼각
형의 개수
크기가 4인 삼각
형의 개수
크기가 5인 삼각
형의 개수
총합
1) 4 1 5
2) 9 4 1 14
3) 16 9 4 1 30
4) 25 16 9 4 1 55
따라서, 12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + n2
이 된다.
4. 다음 그림에 직사각형이 몇 개 있는가를 세어보고 어떤 규칙성이 있는지 생각해 보시오.
답) 가로의 길이가 나올 수 있는 선분의 수는 3+2+1=6 이고, 세로의 길이가 나올 수 있는 선분의
수는 2+1=3 이므로, 직사각형(정사각형의 수도 포함)의 수는 6 × 3 = 18 이다.
개념 : 등차수열의 계산(1) ⇒ 합은 가우스의 방법으로 계산
(등차수열이란? 수열의 수가 일정한 수 만큼 증가 또는 감소되는 수열)
1. 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 의 합을 구하시오.
답) (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ⋯ + (99 + 2) + (100 + 1) = 101 + 101 + ⋯ + 101
=
101 × 100
2
= 5050
2. 1 + 3 + 5 + ⋯ + 97 + 99 의 합을 구하시오.
답) 1번 문제와 같이 풀면

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100 × 50
2
= 2500
개념 : 등차수열의 계산(2) ⇒ 합을 공식으로 계산(가우스의 계산을 공식으로 전환)
1. 일반항 유도하기 : 𝒂 𝒏= 𝒂 𝟏 + 𝒅 × (𝒏 − 𝟏)
2. 등차수열의 합 :
(𝒂 𝟏 + 𝒅 × ( 𝒏 − 𝟏) + 𝒂 𝟏) × 𝒏
𝟐
=
{(𝟐𝒂 𝟏 + 𝒅 × ( 𝒏 − 𝟏)}𝒏
𝟐
1. 등차수열의 합의 문제를 만들고, 그 합을 구하시오.
답) 학생들로 하여금 풀어보도록 한다.
2. 바구니 10개와 탁구공 44개가 있다. 이 탁구공 44개를 바구니에 넣되 어떤 두 바구니 속
의 탁구공 개수가 다르게 할 수 있습니까?
답) 각각의 바구니에 담긴 탁구공의 개수를 다르게 하기 위해 순서대로 한 개씩 증가시키면서 넣
으면 0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 9 = 45 개가 있어야 한다. 따라서 44개로는 다르게 할 수 없다.