Ingeniera de control II

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE
MATAMOROS
MATERIA: CONTROL 1
UNIDAD III: ANÁLISIS DE LA RESPUESTA EN
EL TIEMPO
H. Matamoros Tam. Noviembre
2016
Ing. Jorge Alejandro Gallegos de la
Cruz

2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Los sistemas de primer orden continuos son
aquellos que responden a una ecuación
diferencial de primer orden:
La función de transferencia es:
Dividiendo numerador y denominador entre a0
)()(
)(
00 trbtca
dt
tdc

0
0
)(
)(
as
b
sR
sC


1)(
)(


s
K
sR
sC

Donde: 𝐾 =
𝑏0
𝑎0
Ganancia en estado
estable
𝜏 =
1
𝑎0
Constante de tiempo
𝑠 = −𝑎0 = −
1
𝜏
Polo de la F.T.

3. RESPUESTA DE UN SISTEMA DE
PRIMER ORDEN A UN IMPULSO
La salida en el dominio de s está dada por:
Utilizando transformada inversa de Laplace:
Se obtiene la salida en el dominio del tiempo:
Se evalúa el tiempo t en la ecuación anterior
utilizando múltiplos de  y se obtiene:
)()(
0
0
sR
as
b
sC

 1)( sR







 
0
1
0
1
)(
as
btc L
ta
ebtc 0
0)( 


4. El sistema presenta un transitorio inicial igual a
b0 y después va disminuyendo gradualmente de
manera que en t= el sistema ha alcanzado un
36.787% de b0 y después de 4 sólo se tiene el
1.8315% de b0.
)(tct
0
 0367879.0 b
0135335.0 b
0b
2
3
4
0049787.0 b
0018315.0 b
respuesta al impulso
0b
t
0367879.0 b


5. RESPUESTA DE UN SISTEMA DE PRIMER
ORDEN ANTE UN ESCALÓN DE MAGNITUD A
La salida en el dominio de s está dada por:
Utilizando transformada inversa de Laplace:
𝑐 𝑡 = 𝐴𝑏0 𝐿−1
1
𝑠 𝑠 + 𝑎0
= 𝐴𝑏0 𝐿−1
𝐵
𝑠
+
𝐶
𝑠 + 𝑎0
Se obtiene la salida en el dominio del tiempo:
Se evalúa el tiempo t en la ecuación anterior
utilizando múltiplos de  y se obtiene:
)()(
0
0
sR
as
b
sC


s
A
sR )(
)1()( 0ta
eAKtc 


6.  La constante de tiempo  es igual al tiempo
que tarda la salida en alcanzar el 63.212% de
su valor final.
 Matemáticamente la salida alcanza su valor
final en t=, sin embargo, para fines prácticos
se dice que el sistema alcanza el valor final
cuando llega al 95% o al 98% de su valor
final.

7. RESPUESTA DE UN SISTEMA DE PRIMER
ORDEN ANTE UNA RAMPA A
La salida en el dominio de s está dada por:
Utilizando transformada inversa de Laplace:
𝑐 𝑡 = 𝐴𝑏0 𝐿−1
1
𝑠2 𝑠 + 𝑎0
= 𝐴𝑏0 𝐿−1
𝐵
𝑠2
+
𝐶
𝑠
+
𝐷
𝑠 + 𝑎0
Se obtiene la salida en el dominio del tiempo:
Se evalúa el tiempo t en la ecuación anterior
utilizando múltiplos de  y se obtiene:
)()(
0
0
sR
as
b
sC


2)( S
A
sR 
ta
eAKtAKtc 0
)()( 
 

8.  Es importante aclarar que la entrada es de
pendiente A, mientras que la salida presenta
pendiente AK desfasada  seg.
 La señal de error está dada por:
𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡 = 𝐴𝐾𝑡 − 𝐴𝐾 𝑡 − 𝜏 − 𝐴𝐾𝜏𝑒−𝑎0 𝑡
 Cuando t la parte exponencial se anula y
el error en estado estable queda como:
𝑒 ∞ = 𝐴𝐾𝑡 − 𝐴𝐾𝑡 + 𝐴𝐾𝜏 = 𝐴𝐾𝜏

9. Una comparación de las respuestas del sistema
para estas tres entradas indica con claridad que
la respuesta a la derivada de una señal de
entrada se obtiene diferenciando la respuesta
del sistema para la señal original, (la derivada
de la rampa es el escalón y la derivada del
escalón es el impulso). También se observa que
la respuesta para la integral de la señal original
se obtiene integrando la respuesta del sistema
para la señal original y determinando las
constantes de integración a partir de la
condición inicial de salida cero (la integral del
impulso es el escalón y la integral del escalón
es la rampa).

10. EJEMPLO: CIRCUITO RL
La corriente I(s) está dada por:
𝐼 𝑠 =
𝑉 𝑠 − 𝑉𝑜(𝑠)
𝑅
→ 𝑉𝑜 𝑠 = 𝐿𝑠𝐼(𝑠)
Entonces:
𝐼 𝑠 1 +
𝐿
𝑅
𝑠 =
𝑉(𝑠)
𝑅
→
𝐼(𝑠)
𝑉(𝑠)
=
1
𝑅 + 𝐿𝑠
Finalmente:
𝐼(𝑠)
𝑉(𝑠)
=
1
𝑅
𝐿
𝑅
𝑠 + 1
Obtener la expresión
de la corriente i(t)
cuando v(t)=(t).

11. Comparando esta F.T. con la forma estándar
tenemos:
La respuesta al escalón está dada por:
𝑐 𝑡 = 𝐴𝐾 1 − 𝑒−𝑎0 𝑡
=
1
𝑅
1 − 𝑒−
𝑅
𝐿
𝑡
𝐾 =
1
𝑅
, 𝜏 =
𝐿
𝑅
1)(
)(


s
K
sR
sC

t
R
L
R
1
R
L
2
R
L
3
R
L
4

12. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Los sistemas de segundo orden continuos son
aquellos que responden a una ecuación
diferencial lineal de segundo orden.
Analizaremos un caso muy común donde:
Que corresponde al siguiente sistema de
segundo orden:
)(
)()(
)(
)()(
212
2
0212
2
0 trb
dt
tdr
b
dt
trd
btca
dt
tdc
a
dt
tcd
a 
.0,,,1 102210  bbKbapaa
Donde:
K = Ganancia.
p = Constante (polo del
sistema).

13. La función de transferencia de lazo cerrado es:
Resolviendo la ecuación cuadrática del
denominador:
Los polos de lazo cerrado pueden ser de tres
tipos:
1. Reales diferentes si:
2. Reales iguales si:
3. Complejos si:
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente
cambio de variables:
Kpss
K
sR
sC

 2
)(
)(



















K
pp
sK
pp
s
K
sR
sC
4242
)(
)(
22
K
p

4
2
K
p

4
2
K
p

4
2
2
nK   22  np

14. La forma estándar de la F.T. quedaría como:
Donde:
𝜔 𝑛
2 es la frecuencia natural no amortiguada,
𝜔 𝑛 = 𝜎 se denomina atenuación,
 es el factor de amortiguamiento.
El comportamiento dinámico del sistema de
segundo orden se describe en términos de los
parámetros  y n.
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC





15. CASO SUBAMORTIGUADO (01)
En este caso la F.T se puede escribir como:
Donde 𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑛 1 − 2 se denomina frecuencia
natural amortiguada.
Si la entrada es un escalón unitario, entonces:
𝑅 𝑠 =
1
𝑠
. La salida queda expresada como:
))(()(
)( 2
dndn
n
jsjssR
sC




sss
sC
nn
n
)2(
)( 22
2





16. Utilizando fracciones parciales tenemos:
y sabiendo que:
La salida en el tiempo está dada por:
2222
)()(
1
)(
dn
n
dn
n
ss
s
s
sC









te
s
s
d
t
dn
n n


 
cos
)( 22








1-
L
tsene
s
d
t
dn
d n


 






 22
)(
1-
L

17. A partir de la ecuación anterior se observa que
la frecuencia de oscilación transitoria es la
frecuencia natural amortiguada d y que, por
tanto, varía con . La señal de error para este
sistema está dada por:
Si =0, la respuesta se vuelve no amortiguada y
las oscilaciones continúan indefinidamente. La
respuesta c(t) queda como:

18. AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
(=1)
En este caso se tienen dos polos reales iguales
y la salida C(s) ante un escalón es:
Aplicando transformada inversa de Laplace,
obtenemos c(t) que queda como:
ss
sC
n
n
2
2
)(
)(




)0()1(1)(  
ttetc n
tn


19. CASO SOBREAMORTIGUADO (1)
En este caso se tienen dos polos reales
negativos y diferentes. Para una entrada
escalón, C(s) está dado por:
La transformada inversa de Laplace de la
ecuación anterior es:
sss
sC
nnnn
n
)1)(1(
)( 22
2




t
t
n
n
e
etc




)1(
22
)1(
22
2
2
)1(12
1
)1(12
1
1)(







20. Si definimos:
Tenemos:
En resumen:

21. RESPUESTA AL IMPULSO DE
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Para una entrada impulso unitario r(t)=(t), la
transformada de Laplace correspondiente es
R(s)=1. la respuesta impulso unitario C(s) del
sistema de segundo orden es:
Utilizando transformada inversa obtenemos las
siguientes soluciones para c(t).
1. Para
22
2
2
)(
nn
n
ss
sC




)10(  
)0(1
1
)( 2
2


 
ttsenetc n
tn n


 

22. 2. Para
3. Para
Esto se resume en la siguiente figura:
)1( 
)0(
1212
)( )1(
2
)1(
2
22




 
teetc tntn nn 




)1( 
)0()( 2
 
ttetc t
n
n

0 2 4 6 8 10 12
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa1
ca1
02.0
4.0
7.0

23. CARACTERÍSTICAS DE LA
RESPUESTA TRANSITORIA.
Las características de desempeño de un
sistema de control se comparan
basándose en el tiempo de la repuesta
transitoria. La característica transitoria de
los sistemas dinámicos se presenta por la
incapacidad de responder de manera
instantánea a las entradas o
perturbaciones. La respuesta transitoria es
común clasificarla con base a los
siguientes parámetros.

24. 1. Tiempo de retardo, td
2. Tiempo de crecimiento, tr
3. Tiempo pico, tp
4. Sobreimpulso máximo, Mp
5. Tiempo de establecimiento,
ts

25. 1. Tiempo de retardo, td. Es el tiempo que tarda
la respuesta en alcanzar la mitad del valor
final por primera vez.
2. Tiempo de crecimiento, tr. Es el tiempo
requerido para que la respuesta aumente de
0 a 100% para sistemas subamortiguados,
del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas
críticamente amortiguados o
sobreamortiguados. Este tiempo se obtiene
dando un valor de uno en la ecuación de
respuesta de un sistema de segundo orden
ante una entrada escalón, c(tr)=1.

26. Como el exponencial no puede ser cero
tenemos:
Dividiendo esta ecuación entre cosdtr y
considerando que 𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑛 1 − 2 y que 𝜔 𝑛 = 𝜎
tenemos:
Por tanto el tiempo de subida está dado por:

27. 3. Tiempo pico, tp. Es el tiempo requerido para
que la respuesta alcance el primer pico de
sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene
derivando la ecuación de respuesta c(t) e
igualándola a cero, es decir:
Los términos de coseno de esta última ecuación
se cancelan uno al otro, dc/dt, evaluada en t=tp,
se simplifica a:

28. Esta última ecuación da lugar a:
O bien:
Como el tiempo pico corresponde al primer pico
sobreelongación máximo, dtp=, tenemos:
4. Sobrepaso máximo, Mp. Es el valor pico
máximo de la curva de respuesta medido
desde la unidad o valor deseado. El
sobreimpulso máximo se obtiene de la
respuesta evaluada en el tiempo pico.

29. El porcentaje de sobreelongación máxima es:
5. Tiempo de establecimiento, ts. Es el tiempo
mínimo donde la curva de respuesta alcanza
y se mantiene dentro de un rango de error
preestablecido, generalmente es del 2% o
del 5%, el rango más común es el del 2%.
Para sistemas de primer y segundo orden, la
respuesta se mantiene dentro del 2%
después de 4 constantes de tiempo.

30. O bien:
El tiempo de asentamiento es inversamente
proporcional al producto del factor de
amortiguamiento relativo y la frecuencia natural
no amortiguada del sistema.
Por último, es importante aclarar que las
ecuaciones obtenidas para las características
de la respuesta transitoria son válidas
únicamente para el sistema de segundo orden
estándar.

31. EJEMPLO
Un sistema de control de 2º orden en su forma
estándar tiene =0.6 y n=5 rad/seg. Obtener
las características de la respuesta transitoria
cuando el sistema está sujeto a una entrada
escalón unitario.
SOLUCIÓN