1. 競技プログラミング講義
#3 「貪欲法」

2. 貪欲法 (greedy algorithm)
●
●
「最適なもの」を常にとり続けることで数
値の最大化を達成するための方法
実装力＜発想力

3. 最適なもの
●
●
他のものに比べてどんな点においても優っ
ているようなもの
それを選んだことで、他のものを選んだ場
合より損することが全くないようなもの

4. 例題
●
数の列 A[1],A[2],...,A[N] がある
●
K(1≦K≦N) 個とって和を最大にしたい
●
Sample
A = {1 , 4 , 9 , 2 , 3} , K = 3

5. 例題
●
数の列 A[1],A[2],...,A[N] がある
●
K(1≦K≦N) 個とって和を最大にしたい
●
Sample
A = {1 , 4 , 9 , 2 , 3} , K = 3
●
Answer
16 ( 4 + 9 + 3 )

6. 例題解説
●
●
●
現在の時点で選ばれていない数のうち一番
大きな数を考える
この数は他の数より勝っている
他の数（これより小さな数）をとることで
和がより大きくなることはない

7. さらに
●
●
●
「残っているものの中で一番大きなものを
とる」というのを順次繰り返していくと結
局大きなものから順にとっていくことにな
っている
これは大きい順にソートして、前から K 個
とるということ
9,4,3,2,1

8. さらに
●
●
●
「残っているものの中で一番大きなものを
とる」というのを順次繰り返していくと結
局大きなものから順にとっていくことにな
っている
これは大きい順にソートして、前から K 個
とるということ（ソートは簡単にできる）
9,4,3,2,1

9. さらに
●
●
●
「残っているものの中で一番大きなものを
とる」というのを順次繰り返していくと結
局大きなものから順にとっていくことにな
っている
これは大きい順にソートして、前から K 個
とるということ（ソートは簡単にできる）
9,4,3,2,1

10. さらに
●
●
●
「残っているものの中で一番大きなものを
とる」というのを順次繰り返していくと結
局大きなものから順にとっていくことにな
っている
これは大きい順にソートして、前から K 個
とるということ（ソートは簡単にできる）
9,4,3,2,1

11. 一応厳密な感じで
●
選んだ数の列を B[1],B[2],...,B[K] とする
●
S = B[1] + B[2] + … + B[K]
●
このうち B[1] を変更（→ B'[1]) したとする
●
変更した後の数は選び方から元の数以下
●
よって変更後の和
S' = B[2] ~ B[K] の和 + B'[1]
≦ B[2] ~ B[K] の和 + B[1] = S

12. Greedy Point①
●
どのような貪欲をとればよいかがわかりに
くい時
→ 先ほどの証明のように
「どこをどう少し変えてみても悪くならな
い」ようなものを探せば良い

13. Greedy Point②
●
ソートすることによって貪欲法が行えるよ
うになる場合が多くある
●
とりあえずソートしてみるのも手
●
ソートの実装方法

14. Greedy Point②
●
ソートすることによって貪欲法が行えるよ
うになる場合が多くある
●
とりあえずソートしてみるのも手
●
ソートの実装方法
→ 自分で実装しなくてもちゃんとソートし
てくれる関数が用意されている

15. Greedy Point③
●
●
「全ての点において」というのが重要
ほとんどの点で優っていても一つでも負け
ていればそれは「全ての点において優れて
いる」ということにはならない

16. Greedy Point③ ：例
●
A 君と B 君がいる
●
教科のテストの点数が
–
–
●
A 君は全て 100 点
B 君は全て 99 点
優っているのはどっち？

17. Greedy Point③ ：例
●
A 君と B 君がいる
●
全ての教科のテストの点数が
–
–
●
A 君は全て 100 点
B 君は全て 99 点
優っているのはどっち？
→A君

18. Greedy Point③ ：例
●
A 君と B 君がいる
●
数学以外の全ての教科のテストの点数が
–
A 君は 100 点
–
B 君は 0 点
●
数学は A 君が 99 点、 B 君が 100 点
●
優っているのはどっち？
→ 決められない

19. Greedy Point③ ：例
●
A 君と B 君がいる
●
全ての教科のテストの点数が
–
–
●
A 君は全て 100 点
B 君は全て 99 点
優っているのはどっち？

20. Greedy Point③ ：例題 1
●
●
●
N 個の扉があり、現在 P 個の鍵を持ってい
る
i 番目の扉は A[i] 個の鍵で開けることがで
き、 B[i] 個の鍵が新たに手に入る（使った
鍵は捨てられる）
同じ扉からは一度しか鍵は手に入らない

21. Greedy Point③ ：例題 1
●
●
２つの状態 A,B があるとする
状態 A と状態 B ですでに開けた扉は全て
同じ
●
状態 A の方が持っている鍵の数は多い
●
優れているのはどっち？

22. Greedy Point③ ：例題 1
●
●
２つの状態 A,B があるとする
状態 A と状態 B ですでに開けた扉は全て
同じ
●
状態 A の方が持っている鍵の数は多い
●
優れているのはどっち？
→A

23. Greedy Point③ ：例題 1
●
●
●
N 個の扉があり、現在 P 個の赤い鍵と Q
個の青い鍵を持っている
i 番目の扉は A1[i] 個の赤い鍵と A2[i] 個の
青い鍵で開けることができ、 B1[i] 個の赤
い鍵と B2[i] の青い鍵が新たに手に入る
（使った鍵は捨てられる）
同じ扉からは一度しか鍵は手に入らない

24. Greedy Point③ ：例題 1
●
●
２つの状態 A,B があるとする
状態 A と状態 B ですでに開けた扉は全て
同じ
●
状態 A の方が持っている鍵の合計数は多い
●
優れているのはどっち？
●
→ 決められない

25. Greedy Point③ まとめ
●
●
このように、状態の優劣が決められないよ
うな問題には貪欲法は適用できない
ただし、いくつかのパラメータを固定する
と適用できることもある
（例題 2 では赤い鍵の数を固定すると青い
鍵の数に対して貪欲法を使える）

26. 〜実装タイム〜
AOJ0567 「最高のピザ」

27. ソートの方法
●
最初の方に
#include<algorithm>
using namespace std;
を追加
●
ソートしたい配列に対して
sort(a,a+N); //a は配列名、 N はサイズ
reverse(a,a+N);

28. ヒント
●
選ぶ個数によって値段が変わる
→ 何個選ぶかに注目

29. ヒント
●
選ぶ個数によって値段が変わる
→ 何個選ぶかに注目
●
選ぶ個数を固定する（決める）
→ 値段が決まる
→ 求めるのはカロリーが最大の時

30. 解説
●
選ぶ個数によって値段が変わる
→ 選ぶ個数を固定する（ k とする）
→ 値段が固定される

31. 解説
●
選ぶ個数によって値段が変わる
→ 選ぶ個数を固定する（ k とする）
→ 値段が固定される
●
求めるのはカロリーが最大
→ トッピングをカロリーの大きい順にソー
トして前から k 個選ぶ
これを全ての k に対して調べる

32. 〜実装タイム〜
AOJ0112 「 A Milk Shop 」

33. ヒント
●
●
「待ち時間の合計」を違う見方で考えてみ
る
i 番目が t[i] 番目にくるとすると、 ( 待ち時
間を w[i] とする）
「待ち時間の合計」
＝

34. ヒント
●
●
「待ち時間の合計」を違う見方で考えてみ
る
i 番目が t[i] 番目にくるとすると、 ( 待ち時
間を w[i] とする）
「待ち時間の合計」
＝ w[1]*(N – t[1]) + w[2]*(N-t[2]) + …
これを最小化する

35. ヒント
●
直感的には…？

36. 解説
●
先ほどのように表すと、
大きい w[i] には小さい N - t[i] を割り当てた
い
→ 待ち時間が長い人は後の方に並べたい

37. 解説
●
先ほどのように表すと、
大きい w[i] には小さい N - t[i] を割り当てた
い
→ 待ち時間が長い人は後の方に並べたい
●
小さい順にソートという並べ方が答え
●
なぜ？

38. 解説
●
先ほどのように表すと、
大きい w[i] には小さい N - t[i] を割り当てた
い
→ 待ち時間が長い人は後の方に並べたい
●
小さい順にソートという並べ方が答え
●
なぜ？
→ どう入れ替えても悪くなる