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Calculo1 aula13 (1)

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Calculo1 aula13 (1)

  1. 1. Aula 13Limites indeterminados e as regrasde LHopitalNesta aula, estaremos apresentando as regras de LHopital, regras para calcular limitesindeterminados, da forma 0=0 ou 1=1, usando derivadas. Estaremos tamb¶m exami- enando gr¶¯cos de fun»~es envolvendo fun»~es exponenciais. a co coDiremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 0=0, se o quociente x!ade fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I co aum intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶ a ³nuase deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = lim g(x) = 0. a = x!a x!aDiremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 1=1, se o quociente x!ade fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I co aum intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶ a ³nuase deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = §1, lim g(x) = §1. a = x!a x!a Os mesmos conceitos s~o de¯nidos analogamente se tivermos x ! a+ ou x ! a¡ , aou ainda se a = §1. S~o duas as chamadas regras de LHopital. Uma para formas indeteminadas 0=0 e aoutra para formas indeterminadas 1=1. Ambas podem ser enunciadas conjuntamenteem um ¶nico teorema (que n~o demonstraremos). u aTeorema 13.1 (Regras de LHopital) Se lim f(x)=g(x) tem uma forma indeter- x!aminada 0=0 ou 1=1, ent~o a f (x) f 0 (x) lim = lim 0 x!a g(x) x!a g (x)caso o limite lim f 0 (x)=g 0 (x) exista (sendo ¯nito ou in¯nito). O mesmo vale se a ¶ e x!asubstitu¶ por a+ ou a¡ , ou se a = +1 ou ¡1. ³do 108
  2. 2. Limites indeterminados e as regras de LHopital 109 x2 ¡ x ¡ 2Exemplo 13.1 Calcular lim x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2Solu»~o. Um c¶lculo direto nos d¶ a forma indeterminada 0=0. Pelo m¶todo tradicional, ca a a eusando fatora»~es, fazemos co x2 ¡ x ¡ 2 (x ¡ 2)(x + 1) x+1 lim = lim = lim = 3=7 x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2 x!2 (x ¡ 2)(3x + 1) x!2 3x + 1 Aplicando regras de LHopital, n~o necessitamos da fatora»~o: a ca x2 ¡ x ¡ 2 (x2 ¡ x ¡ 2)0 2x ¡ 1 lim = lim = lim = 3=7 x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2 x!2 (3x2 ¡ 5x ¡ 2)0 x!2 6x ¡ 5 No caso de quociente de polin^mios, n~o precisamos das regras de LHopital, mas o aµs vezes as regras de LHopital s~o nosso unico recurso para o c¶lculo de um limite:a a ¶ a x ¡ sen xExemplo 13.2 Calcular lim x!0 x3O limite ¶ indeterminado, da forma 0=0, a agora n~o podemos colocar em evid^ncia e a enenhuma pot^ncia de x. Aplicando LHopital, temos e x ¡ sen x (x ¡ sen x)0 lim = lim x!0 x3 x!0 (x3 )0 1 ¡ cos x = lim (= 0=0, aplicamos novamente LHopital) x!0 3x2 sen x sen x = lim = 1=6 (usando lim = 1) x!0 6x x!0 x e2xExemplo 13.3 Calcular lim x!+1 x3Aqui temos uma indetermina»~o da forma 1=1. Aplicando LHopital, temos ca e2x (e2x )0 lim = lim x!+1 x3 x!+1 (x3 )0 2e2x = lim (= 1=1, aplicamos novamente LHopital) x!+1 3x2 (2e2x )0 = lim x!+1 (3x2 )0 4e2x = lim (= 1=1, aplicamos novamente LHopital) x!+1 6x 8e2x +1 = lim = = +1 x!+1 6 6
  3. 3. Limites indeterminados e as regras de LHopital 110 No c¶lculo de limites, sabemos que tamb¶m 0 ¢ 1 e (+1) ¡ (+1) s~o s¶ a e a ³mbolosde indetermina»~o. No caso 0 ¢ 1 tamb¶m podemos aplicar regras de LHopital, ap¶s ca e ouma manipula»~o conveniente das fun»~es no limite. ca co Suponhamos que lim f (x)¢g(x) ¶ indeterminado na forma 0¢1, isto ¶, lim f (x) = e e x!a x!a0 e lim g(x) = 1. x!a Neste caso, primeiramente fazemos f(x) lim f (x) ¢ g(x) = lim = 0=0 x!a x!a 1=g(x)e ent~o, aplicando LHopital, calculamos a f 0 (x) lim x!a (1=g(x))0ou ent~o a g(x) lim f (x) ¢ g(x) = lim = 1= § 1 x!a x!a 1=f (x)e ent~o, por LHopital, calculamos a g 0 (x) lim x!a (1=f (x))0Exemplo 13.4 Calcular lim x ¢ ln x. + x!0Temos lim x ¢ ln x = 0 ¢ (¡1). Recorde-se que lim ln x = ¡1 (veja aula 9). + + x!0 x!0 Neste caso, fazemos ln x lim x ¢ ln x = lim + + 1 (= ¡1= + 1) x!0 x!0 x (ln x)0 1=x = lim ¡ 1 ¢0 = lim + + ¡1=x2 = lim (¡x) = 0 x!0 x!0 x!0+ x13.1 Novos s¶ ³mbolos de indetermina»~o ca ³mbolos de indetermina»~o 00 , 10Estudaremos agora procedimentos para lidar com os s¶ ca 1e1 .Em toda a literatura de matem¶tica universit¶ria, adota-se, ainda que sub-liminar- a amente µs vezes, a de¯ni»~o 0 = 1. No c¶lculo de limites no entanto, 00 ¶ um s¶ a ca 0 a e ³mbolode indetermina»~o. O exemplo abaixo explica porqu^. ca e Consideremos a fun»~o f (x) = xk=ln x (k constante), de¯nida para x > 0. Vimos cana aula 9, que lim ln x = ln 0+ = ¡1. + x!0
  4. 4. Limites indeterminados e as regras de LHopital 111 + Assim, utilizando ¶lgebra de limites, temos lim f (x) = 0k= ln 0 = 0k=¡1 = 00 . a + x!0 k ln(xk= ln x ) No entanto, f (x) = xk= ln x = e = e ln x ¢ln x = ek , ou seja, f (x) ¶ a fun»~o e caconstante ek , e portanto lim f (x) = ek . + x!0Tamb¶m s~o formas indeterminadas, ou seja, s¶ e a ³mbolos de indetermina»~o, as ex- ca 1 0press~es 1 e 1 . o Suponhamos que o limite lim f(x)g(x) tem uma das formas indeterminadas 00 , 10 x!aou 11 . Aqui deveremos ter f (x) > 0 no dom¶ da fun»~o f g . ³nio ca Em qualquer um desses casos, fazemos g(x) f (x)g(x) = eln f (x) = eg(x)¢ln f (x)e ent~o a lim f (x)g(x) = eL x!asendo L = lim [g(x) ¢ ln f (x)] x!a Para as formas indeterminadas 00 , 10 e 11 , o limite L = lim [g(x) ¢ ln f (x)] x!ater¶ sempre a forma indeterminada 0 ¢ 1 (ou 1 ¢ 0), e reca¶ a ³mos ent~o em um caso aanteriormente estudado.Exemplo 13.5 Calcular lim xx (aqui, x ! 0 signi¯ca x ! 0+ ). x!0Solu»~o. Aqui temos uma indetermina»~o 00 . Seguindo procedimento descrito acima, ca cafazemos x xx = eln x = ex¢ln xe ent~o lim xx = eL , sendo L = lim x ln x. a + + x!0 x!0 Pelo exemplo 13.4, L = 0 e portanto lim xx = e0 = 1 + x!0Exemplo 13.6 Calcular lim (1 + sen 2x)1=x . x!0Aqui temos uma indetermina»~o 11 . ca 1=x 1 Fazemos (1 + sen 2x)1=x = eln(1+sen 2x) = e x ¢ln(1+sen 2x) . Ent~o a lim (1 + sen 2x)1=x = eL , sendo x!0 1 ln(1 + sen 2x) L = lim ¢ ln(1 + sen 2x) = lim (= 0=0). x x!0 x!0 x Aplicando LHopital,
  5. 5. Limites indeterminados e as regras de LHopital 112 ln(1 + sen 2x) [ln(1 + sen 2x)]0 1 lim = lim = lim ¢ 2 cos 2x = 2. x!0 x x!0 (x) 0 x!0 1 + sen 2x Portanto lim (1 + sen 2x)1=x = e2 . x!0 As regras de LHopital, nos casos de indetermina»~o 0=0 e 1=1, dizem que calim f (x)=g(x) = lim f 0 (x)=g 0 (x), mas somente quando este ¶ltimo limite ¶ efetivamente u ex!a x!acomput¶vel. a No exemplo abaixo, temos uma indetermina»~o 1=1 para a qual a regra de ca 0 0LHopital n~o se aplica porque o limite lim f (x)=g (x) n~o existe, mas o limite a a x!alim f (x)=g(x) ¶ calcul¶vel. e ax!a x + sen xExemplo 13.7 Calcular lim . x!+1 xSolu»~o. Temos sen x ¸ ¡1, da¶ x + sen x ¸ x ¡ 1 para todo x 2 R. ca ³ Logo lim (x + sen x) ¸ lim (x ¡ 1) = +1. Assim sendo, lim (x + sen x) = x!+1 x!+1 x!+1 x + sen x+1, e o limite lim ¶ indeterminado na forma 1=1. e x!+1 x (x + sen x)0 Aplicando LHopital, consideramos lim = lim (1 + cos x). Este x!+1 (x)0 x!+1limite n~o existe (n~o ¶ ¯nito nem in¯nito) pois quando x cresce inde¯nidamente, cos x a a e¯ca oscilando inde¯nidamente entre ¡1 e +1. sen x Entretanto lim = 0, pois, sendo x > 0, como ¡1 · sen x · 1, x!+1 x 1 sen x 1 ¡ · · x x x 1 sen x sen xComo lim = 0, temos 0 · lim · 0, e portanto lim = 0. x!+1 x x!+1 x x!+1 x x + sen x ³ sen x ´ Assim, lim = lim 1 + =1+0=1 x!+1 x x!+1 x13.2 Novos casos de gr¶¯cos envolvendo fun»~es ex- a co ponenciais. Dois exemplos 2Exemplo 13.8 Esbo»ar o gr¶¯co de f (x) = 2xe¡x . c a 2 2 2Solu»~o. Temos D(f ) = R = ]¡ 1; +1[, e f 0 (x) = 2e¡x ¡ 4x2 e¡x = 2e¡x (1 ¡ 2x2 ). ca p ³ticos de f s~o § 2=2. Lembremo-nos de que, por deriva»~o em cadeia,Os pontos cr¶ a ca u 0 u 0(e ) = e ¢ u .
  6. 6. Limites indeterminados e as regras de LHopital 113 p p p Assim, Temos f 0 (x) > 0 se ¡ 2=2 < xp p < 2=2, e f 0 (x) < 0 se x > 2=2 ou pse x < ¡ 2=2.p Portanto f ¶ crescentep [¡ 2=2; 2=2], e decrescente em cada um e emdos intervalos [ 2=2; +1[ e ]¡ 1; ¡ 2=2]. p p x1 = ¡ 2=2 ¶ um ponto p m¶ e de ³nimo local de f , e x2 = 2=2 ¶ um ponto de p ¡1=2 p p e ¡1=2m¶ximo local de f . Temos f (¡ 2=2) = ¡ 2e a p ¡1=2 e f ( 2=2) = 2e . Para oesbo»o do gr¶¯co, usaremos 2e c a ¼ 1; 4 ¢ 0; 6 = 0; 84 2 2 2 2 f 00 (x) = ¡12xe¡x + 8x3 e¡x = 4e¡x (2x3 ¡ 3x) = 4e¡x x(2x2 ¡ 3). p f 00 (x) = 0 se e somente se x = § 6=2 ou x = 0. A varia»~o de sinais de f 00 , com a correspondente an¶lise das concavidades do ca agr¶¯co de f , ¶ dada no diagrama abaixo. a e y _ - √ 6/2 0 _ √ 6/2 + + y = f(x) x p p S~o pontos de in°ex~o do gr¶¯co osp a p p a a pontos P1 = (¡ p ¡ 6e¡3=2 ), P2 = 6=2; p(0; 0) e P3 = ( 6=2; 6e¡3=2 ). p Temos, p ¼ 1; 3, f(¡ 6=2) = ¡ 6e¡3=2 ¼ 6=2¡2; 5 ¢ 2; 2 ¼ ¡0; 6, f (0) = 0 e f ( 6=2) = 6e¡3=2 ¼ 0; 6. Pesquisando a exist^ncia de ass¶ e ³ntotas do gr¶¯co temos a 2 lim 2xe¡x = §1 ¢ e¡1 = §1 ¢ 0. x!§1 Para evitarmos a indetermina»~o, fazemos ca 2 2x 1 lim 2xe¡x = lim x2 (= ). x!§1 x!§1 e 1 Aplicando regras de LHopital, temos 2x (2x)0 2 2 lim = lim 2 0 = lim 2 = = 0. x!§1 ex 2 x!§1 (ex ) x!§1 2xex §1 Assim, a reta y = 0 (eixo x) ¶ ass¶ e ³ntota horizontal do gr¶¯co de f . a Com base nos elementos estudados, o gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 13.1. a e c y 1 1 2 x -1 Figura 13.1.
  7. 7. Limites indeterminados e as regras de LHopital 114Exemplo 13.9 Esbo»ar o gr¶¯co de f (x) = xx , x > 0. c aSolu»~o. Do exemplo 13.5, temos lim xx = 1. Esta ¶ uma informa»~o relevante para ca + e ca x!0esbo»armos o gr¶¯co de f nas proximidades de 0. c a No exemplo 10.1, da aula 9, obtivemos f 0 (x) = xx (1 + ln x). Assim, f 0 (x) = 0 se e somente se ln x = ¡1, isto ¶, x = e¡1 = 1=e. Como eln x = loge x tem base e > 1, a fun»~o ln ¶ crescente, e portanto f 0 (x) > 0 quando ca eln x > ¡1, logo para x > e¡1 = 1=e, e f 0 (x) < 0 para x < 1=e. Da¶ a fun»~o xx ¶ decrescente no intervalo ]0; 1=e] e crescente no intervalo ³, ca e[1=e; +1[, sendo 1=e um ponto de m¶ ³nimo local (e absoluto) de f . Temos aindaf (1=e) = (1=e)1=e ¼ 0; 7. Finalmente, f 00 (x) = xx ¢ [(1=x) + (1 + ln x)2 ], e assim f 00 (x) > 0 para todo x > 0,e ent~o o gr¶¯co de f tem concavidade sempre voltada para cima. a a Obviamente lim xx = +1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 13.2. a e c x!+1 y 4 1 x 0 1/e 1 2 Figura 13.2. Al¶m disso, e f(x) xx lim = lim = lim xx¡1 = +1 x!+1 x x!+1 x x!+1e portanto o gr¶¯co de f n~o tem ass¶ a a ³ntotas.13.3 Problemas 1. Calcule os seguintes limites, aplicando regras de LHopital se necess¶rio. a
  8. 8. Limites indeterminados e as regras de LHopital 115 x cos x ¡ sen x ln x (a) lim (b) lim p x!0 x3 x!+1 3 x 3 2 x ¡ 2x ¡ x + 2 (c) lim (d) lim xn e¡x (n inteiro positivo) x!1 x3 ¡ 7x + 6 x!+1 (e) lim xn e¡x (n inteiro positivo) (f) lim x ln x x!¡1 + x!0 ln(sen 2x) (g) lim (h) lim (x2 )x x!0 ln(sen 3x) x!0 (i) lim (1 + 3x)1=x (j) lim x1=(x¡1) x!0 x!1 (k) lim (cos x)1=x (l) lim x¸ e¡x (¸ real positivo) x!0 x!+1 Respostas. (a) ¡1=3. (b) 0. (c) 1=2. (d) 0. (e) +1 se n ¶ par, ¡1 se n ¶ e e 3 ³mpar. (f) 0. (g) 1. (h) 1. (i) e . (j) e. (k) 1. (l) 0. ¶ 2. Calcule as equa»~es das retas ass¶ co ³ntotas do gr¶¯co de cada uma das seguintes a fun»~es. co ln x ¡ ¢ 1 x (a) f (x) = p (b) y = 1 + x (c) y = 2x ¢ e¡1=x 3 x 2 ¡x sen x (d) y = x e (e) y = x Respostas. (a) y = 0, e x = 0. (b) y = e. (c) x = 0, e y = 2x ¡ 1. (d) y = 0. (e) y = 0. 3. Esboce os gr¶¯cos das seguintes fun»~es. a co 2 2 2 ln(2x) (a) y = 2xe¡x (b) y = e¡x (c) y = 2x2 e¡x (d) y = . x Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µs solu»~es.) a co 2 2 (a) y 0 = 2(1 ¡ x)e¡x , y 00 = 2(x ¡ 2)e¡x , (b) y 0 = ¡2xe¡x , y 00 = (4x2 ¡ 2)e¡x 2 2 (c) y 0 = 4xe¡x (1 ¡ x2p y 00 = 4e¡x (1 ¡ 5x2 + 2x4 ) ), p 00 s~o § 1 5 § 17, sendo aproximadamente §0; 5 e §1; 5). (os zeros de y a 2 (d) y 0 = 2[1 ¡ ln(2x)]=x2 , y 00 = 2[¡3 + 2 ln(2x)]=x3 . (a) (b) y y 1 0 1 2 3 x -1 -1 0 1 x -2 Dados num¶ricos. e¡1=2 ¼ 0;6. e -3 Dados num¶ricos. 2e¡1 ¼ 0;7 e 4e¡2 ¼ 0;5.
  9. 9. Limites indeterminados e as regras de LHopital 116 (c) (d) y y 1 2 1 -2 -1 0 1 2 x 3/2 e/2 e /2 x Dados num¶ricos. f (0;5) ¼ 0;4 e 0 1 2 3 4 5 f (1;5) ¼ 0;5 -1 -2 -3 Dados num¶ricos. e=2 ¼ 1;4 e e3=2 =2 ¼ 2;2.

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