2. 2
¿Qué es una ecuación diferencial?
2
1.0
)( x
exy
2
1.0
2.0 x
ex
dx
dy
yx
dx
dy
2.0
Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación.
Intentaremos contestar preguntas del tipo: ¿Qué función
representa y(x)? ¿Cómo se resuelve semejante ecuación?
Ejemplo de
ecuación
diferencial
Función diferenciable en
(-, ). Su derivada es:
3. 3
¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes, con respecto a una
o más variables independientes.
Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad.
yx
dx
dy
2.0
variable dependiente
variable independiente
4. 4
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias
de una o más variables dependientes de una sola
variable independiente.
Ejemplo de EDO:
Una EDO puede contener más de una variable
dependiente:
Clasificación por tipo:
5 ey
dx
dy x
yx
dt
dy
dt
dx
2
6. 6
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál
es la variable dependiente y la independiente:
Notaciones
...,,,
......
xxx
5 ey
dx
dy x
8. 8
Nota: A veces escribiremos las EDOs en forma diferencial
0),(),( dyyxNdxyxM
Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente
y x la independiente en la EDO en forma diferencial:
0'4
'
04)(
xyxy
dx
dy
y
xdydxxy
9. 9
Forma general de orden n de una EDO:
Forma normal de orden n de una EDO:
Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO
son respectivamente:
0),,',,(
variables2
)(
n
n
yyyxF
),,',,(
variables1
)1(
n
n
n
n
yyyxf
dx
yd
f(x, y)x(x – y)/y’
xy)/y’ - (x –)F(x, y, y’
4
04
x,yxy’ 4
10. 10
Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir,
el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la
que esta elevada la derivada que nos da el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La siguiente ecuación
diferencial:
es de primer grado, dado que la segunda derivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada a uno.
x
ey
dx
dy
dx
yd
45
3
2
2
11. 11
Ejercicios
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
735 2
5
2
22
4
4
x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
3
2
2
2
6
2
2
7
dx
yd
x
dx
dy
x
dx
yd
NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio,
que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que
eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
17 2
x
dx
dy
3
2
2
dx
dy
x
dx
yd
12. 12
Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a) b)
c)
d)
y
dx
dy
x
dx
yd
533
3
5
3
33
3
3
818
dx
yd
x
dx
yd
dx
dy
dx
dy
x
dx
yd
853
3
5
3
3
2
2
3
dx
yd
x
dx
yd
13. 13
Clasificación según la linealidad:
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F
(en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).
)()()()()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n
0)()()()()( 011
1
1
xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n
O bien:
)()()()( 012
2
2 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
)()()( 01 xgyxa
dx
dy
xa Dos casos importantes
para nosotros serán
las EDOs lineales de
primer y segundo
orden.
14. 14
Lineal homogénea:
El término independiente g(x) es nulo.
Lineal con coeficientes constantes:
Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables:
Enfatiza el hecho de que al menos uno de los
coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.
)()()()()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n
15. 15
x
eyyy 2')1(
0siny2
2
dx
yd
02
4
4
y
dx
yd
Si no es lineal, es no lineal :-)
Ejemplos de EDOs no lineales:
El coeficiente depende de y.
Función no lineal de y.
En una EDO lineal de orden n:
1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.
2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la
variable independiente x.
)()()()()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n
16. 16
Ejemplos: ¿Lineales o no lineales?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
)(
1
)(
1)(
tV
RC
tv
RCdt
tdv
s
)( TTK
dt
dT
a
0 mgsenklml
y
yxx
dx
dy 22
1)sin(' 223
xyxyxy
0y'y)y1(''y 2
)()()()()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n
17. 17
Comprobar que la función indicada es la solución de
la EDO dada en el intervalo (-, ):
(a) dy/dx = xy1/2. Solución: y = x4/16.
Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).
(a) Lado izquierdo :
Lado derecho:
416
4
33
xx
dx
dy
4416
322/14
2/1 xx
x
x
xxy
Ejemplo: comprobación de una solución.
Y la igualdad se cumple para todo x de (-, ).
18. 18
Solución:
(b) Derivando la solución dos veces:
y' = xex + ex
y'' = xex + 2ex :
Nótese que y(x) = 0 también es solución tanto de este
ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ).
Se conoce como solución trivial.
x
xeyyyy ;02
0)(2)2(2 xxxxx
xeexeexeyyy
Ídem, para (b)
19. 19
Solución de una EDO
Cualquier función , definida en un intervalo I y con
al menos n derivadas continuas en I, que al
sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de
n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se
considera solución de la ecuación en el intervalo.
Siempre hemos de considerar una solución junto a su intervalo I de
definición, también llamado intervalo de existencia, de validez o
dominio de definición.
Al proceso de obtención de las soluciones de una EDO se le
denomina integración de la ecuación.
En otras palabras, posee al menos n derivadas y cumple:
IxxxxxF n
0))(,),('),(,( )(
20. 20
Una EDO puede tener:
Infinitas soluciones:
Una única solución:
Ninguna solución:
t
Cexyxyy sin
)(;cos'
0)(;0)'( 22
xyyy
0)'( 22
xy
21. 21
Ejemplo
Comprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación
diferencial:
x
dx
dy
x
dx
dy
2
Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la
ecuación diferencial tenemos:
Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación
diferencial
12
2
xx
x
dx
dy
Solución
Derivando y = x2 + C tenemos
22. 22
Ejercicios Determine si cada ecuación es solución o no de
la ecuación diferencial dada:
yx
dx
dy
xCxxy
22
;
025);5cos()5( 2
2
y
dx
yd
xBxAseny
084; 2
3
2
y
dx
dy
xy
dx
dy
CxCy
2412
''; yxxyyCxCy
senxysenx
dx
dy
senyCye x
cos;cos1cos
3
2
2
25
1606;38 x
dx
yd
Cxxy
23. 23
Ejemplo: Hagámoslo a la inversa.
Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + C.
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración,
de manera que derivamos una sola vez la solución general
y = x2 + C. Así
Como en esta derivada no aparecen constantes de
integración, quiere decir que esta es la ED de la solución
general propuesta.
x
dx
dy
2
24. 24
Ejemplo
Encuentre la ED cuya solución general es y = C x2.
Cx
dx
dy
2
x
x
y
dx
dy
2
22
x
y
C
Por lo tanto:
es la ED de la solución general, puesto que ya no
aparecen constantes de integración.
x
y
dx
dy 2
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de
integración, de manera que derivamos una sola vez la
solución general y = C x2. Así
Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor
encontrado en la ED.
25. 25
Ejercicios Encuentra la ED de cada una de las siguientes
soluciones generales:
xx
eCeCy
21
)3tan( Cxy
2
2
22
1 CyCx
26. 26
(a) y = 1/x considerada como una función, tiene
dominio de definición (-, 0) U (0, ).
Es discontinua y no diferenciable en x = 0.
(b) y = 1/x es también solución de xy’ + y = 0. Se
entiende que es solución en algún intervalo I en el
que es diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo,
en (0, ).
La gráfica de una solución de una
EDO se llama curva solución.
Como es una función
diferenciable, es continua en su
intervalo de definición I. Puede,
entonces, haber diferencias entre la
gráfica de la función y la solución.
Veamos un ejemplo:
Función vs solución
27. 27
Solución explícita de una EDO:
La variable dependiente está expresada solamente en
términos de variables independientes y constantes.
Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es
y = (x) = 1/x.
Solución implícita de una EDO
Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una
EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una
función y = (x) que satisface tanto la relación como la
ED en I.
Veamos un ejemplo
28. 28
x2 + y2 = 25 es una solución implícita de dy/dx = − x/y en el intervalo
-5 < x < 5; puesto que al derivar de forma implícita respecto a x:
dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), 2x + 2y(dy/dx) = 0;
obtenemos la EDO: dy/dx = -x/y.
Despejando y de la solución implícita podemos encontrar dos
soluciones explícitas:
Ejemplo: Comprobación de una solución implícita.
29. 29
Familia de soluciones o solución general:
Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y') = 0, en
general, se obtiene una solución que contiene una
constante arbitraria o parámetro c. Una solución así,
G(x, y, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de
soluciones, llamado familia uniparamétrica de
soluciones.
Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca una
familia n-paramétrica de soluciones
G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.
Observemos que el número de constantes arbitrarias en la solución general está
determinado por el orden de la EDO.
30. 30
Solución particular: es una solución libre de
parámetros arbitrarios.
Por ejemplo : y = cx – x cos x es la solución general
de xy’ – y = x2 sin x en (-, ); una familia
uniparamétrica de soluciones.
Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solución
particular.
31. 31
Ejemplo: Sin explicitarlo, hemos visto que las variables
independientes y dependientes pueden usar símbolos
distintos a x e y. Por ejemplo:
x = c1cos(4t)
x = c2 sen(4t)
con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son
ambas soluciones de la EDO:
x + 16x = 0.
Podemos comprobar fácilmente que la suma
x = c1cos 4t + c2 sin 4t
es también una solución.
32. 32
Podemos comprobar que la familia uniparamétrica y = cx4
es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ).
La función definida a trozos:
es una solución particular donde elegimos c = −1 para x < 0
y c = 1 para x 0.
0,
0,
4
4
xx
xx
y
Ejemplo: solución definida por partes.
33. 33
Solución singular: Una solución que no puede
obtenerse al especificar los valores de los
parámetros de la familia de soluciones.
Por ejemplo: y = (x2/4 + c)2 es la familia de
soluciones de dy/dx = xy1/2 , sin embargo
y(x) = 0 también es una solución de la ED anterior.
No podemos encontrar ningún valor de c en la
familia de soluciones y = (x2/4 + c)2 que nos
proporcione la solución y = 0, así que llamamos a
y = 0, solución singular.
34. 34
Sistema de EDOs: dos o más ecuaciones con
las derivadas de dos o más funciones
desconocidas de una sola variable
independiente.
Ejemplo de sistema de dos ecuaciones
diferenciales de primer orden:
dx/dt = f(t, x, y)
dy/dt = g(t, x, y)
35. 35
Problemas de valores iniciales (PVI)
Encontrar la solución y(x) de una ED que además
satisfaga condiciones adicionales
en y(x) y en sus derivadas.
Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo
Resolver
con condiciones
A esto se le llama problema de valor inicial.
Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.
),,',,( )1(
n
n
n
yyyxf
dx
yd
10
)1(
1000 )(,,)(',)(
n
n
yxyyxyyxy
37. 37
Ejemplo:
Sabemos que y = cex es una familia
uniparamétrica de soluciones de la
EDO:
y’ = y en (-, ).
Si y(0) = 3, entonces
3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una
solución de este problema de valor
inicial.
Si queremos una solución que pase
por (1, -2), entonces la condición es:
y(1) = -2. De modo que -2 = ce,
c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex.
y = 3ex
y = -(2/e)ex
38. 38
Ejemplo: vimos que x = c1cos(4t) + c2sen(4t) era una
solución de x + 16x = 0.
Hallar una solución del siguiente PVI:
x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.
Solución:
Sustituimos: x( /2) = − 2 en
x = c1cos(4t) + c2sen(4t),
y obtenemos c1 = −2.
De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 =
¼. La solución pedida es:
x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t
39. 39
Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c).
Si imponemos y(0) = -1, obtenemos c = -1.
Considérense las siguientes distinciones:
1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1)
es el conjunto de todos los números reales
excepto -1 y 1.
2) Como una solución: los intervalos de definición
mayores posibles son (-, 1),
(-1, 1) y (1, ).
3) Como un problema de valor inicial, con
y(0) = -1. El intervalo de definición mayor es (-1, 1).
40. 40
Existencia y unicidad:
¿Existe siempre una solución para un problema de
valor inicial (PVI)? Y si existe una solución, ¿es única?
Ejemplo: Ya que y = x4/16 e y = 0 satisfacen la ED
dy/dx = xy1/2 , y también el valor inicial y(0) = 0, esta ED
tiene al menos dos soluciones:
41. 41
Teorema de existencia de una solución única
Sea R la región rectangular en
el plano xy definida por
a x b, c y d que
contiene el punto (xo, yo) en su
interior. Si f(x, y) y f/y son
continuas en R, entonces
existe algún intervalo Io:
xo- h < x < xo + h, h > 0,
contenido en a x b y una
función única y(x) definida en
Io que es una solución del PVI .
Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias...
),(' yxfy
42. 42
muestra que son continuas en el
semiplano superior y > 0.
Basándonos en el teorema de
existencia de una solución única,
concluimos que para cada punto
(xo, yo), con yo > 0, existe un
intervalo centrado en xo en el que
esta ED tiene una solución única.
2/1
2/1
2
y),(
y
x
y
f
xyyxf
Vimos que dy/dx = xy1/2 , tenía como soluciones a
y = x4/16 e y = 0. La inspección de las funciones:
43. 43
Intervalo de existencia y unicidad
Suponiendo que y(x) es una solución de un PVI, los
siguientes conjuntos pueden no ser los mismos:
o el dominio de y(x),
o el intervalo de definición de y(x) como solución,
o el intervalo Io de existencia y unicidad.
44. 44
Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden
analizando una EDO cualitativamente.
(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de
dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función
diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada
dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas
tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y).
(b) Elementos lineales: Suponemos que
dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la
pendiente de una recta, o un segmento de recta
que llamaremos elemento lineal.
Curvas solución "sin una solución"
dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)
45. 45
Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una
red o malla de puntos rectangular en el plano xy,
y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y)
de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el
campo de direcciones o campo de pendientes.
Campo de direcciones
46. 46
Ejemplo: El campo de direcciones de
dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a).
Compárese con la figura (b) donde se han
representado unas curvas de la familia de soluciones.
47. 47
Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar
una curva solución aproximada para dy/dx = sen y,
con y(0) = −3/2.
Solución:
Apelando a la continuidad de f(x, y) =
sen y y f/y = cos y, el teorema de
existencia y unicidad garantiza la
existencia de una única curva solución
que pasa por algún punto
especificado en el plano. Ahora
dividimos la región que contiene a (-
3/2, 0) en una malla rectangular.
Calculamos el elemento lineal de cada
nodo para obtener la siguiente figura:
48. 48
EDs de primer orden autónomas
dy/dx = f(y)
Una EDO en la que la variable independiente no
aparece de manera explícita es autónoma.
Nota: Recordemos que si dy/dx > 0 para todo x de I, entonces y(x) es
creciente en I. Y si dy/dx < 0 para todo x de I, entonces y(x) es
decreciente en I.
49. 49
Los ceros de f en la EDO autónoma dy/dx = f(y) son
puntos especialmente importantes.
Si f(c) = 0, c es un punto crítico, punto de equilibrio
o punto estacionario.
Si sustituimos y(x) = c en dy/dx = f(y), obtenemos 0 =
0, de modo que si c es un punto crítico, entonces y(x)
= c es una solución de dy/dx = f(y).
Una solución y(x) = c constante, se llama solución de
equilibrio. Los equilibrios son las únicas soluciones
constantes de dy/dx = f(y).
Puntos críticos
50. 50
Ejemplo: La siguiente ED, dP/dt = P (a – bP)
donde a y b son constantes positivas, es autónoma.
De f(P) = P (a – bP) = 0, obtenemos las
soluciones de equilibrio: P(t) = 0 y P(t) = a/b.
Colocamos los puntos críticos en una recta
vertical (recta fase), que la divide en tres
intervalos.
Las flechas en la figura indican el signo
algebraico de f(P) = P (a – bP) en ese intervalo.
Si el signo es positivo o negativo, entonces P es
creciente o decreciente en este intervalo.
51. 51
Curvas solución
Si garantizamos la existencia y unicidad de la EDO
autónoma dy/dx = f(y), (f y f son continuas en un
intervalo I), por cada punto (x0, y0) en R, pasa una
sola curva solución.
52. 52
Supongamos que la EDO autónoma presenta dos puntos
críticos, c1, y c2, tales que c1 < c2. Las gráficas de las soluciones
de equilibrio y(x) = c1, y(x) = c2 son rectas horizontales y dividen
R en tres regiones, a los que podemos llamar R1, R2 y R3 como
en la figura.
53. 53
(3) Como dy/dx = f(y(x)) es o positiva o
negativa en Ri, cualquier solución y(x)
es monótona en Ri.
(4) Si y(x) está acotada superiormente
por c1, (y(x) < c1), la gráfica de y(x) se
aproximará a la solución de equilibrio
y(x) = c1 cuando x o x -. Si
está acotada c1 < y(x) < c2, se
aproximará a y(x) = c1 e y(x) = c2.
cuando x o x -. Y por último,
si está acotada inferiormente,
c2 < y(x) , se aproximará a y(x) = c2
cuando x o x -. .
(1) Si (x0, y0) está en Ri, i = 1, 2, 3, una solución y(x) que pasa por (x0, y0),
permanecerá en la misma subregión.
(2) Por continuidad de f , f(y) es mayor o menor que cero y no puede
cambiar de signo en una subregión.
54. 54
P = 0 y P = a/b son dos
puntos críticos, por tanto
tenemos tres intervalos
para P:
R1 : (-, 0)
R2 : (0, a/b)
R3 : (a/b, )
Sea P(0) = P0. Cuando una
solución pasa por P0,
tenemos tres tipos de
curvas solución
dependiendo del
intervalo al que pertenece
P0.
En el ejemplo dP/dt = P (a – bP):
55. 55
La ED dy/dx = (y – 1)2 tiene un único punto crítico y = 1.
Desde la gráfica, llegamos a la conclusión de que una
solución y(x) es creciente en
- < y < 1 y 1 < y < , donde - < x < .
56. 56
(a) Cuando ambas flechas apuntan a c, y(x) se aproximará a c. Este
tipo de punto crítico se denomina asintóticamente estable. El
punto c se denomina atractor.
(b) Cuando ambas flechas no apuntan a c, y(x) se alejará de c. Este
tipo de punto crítico se denomina inestable. El punto c se
denomina repulsor o repulsivo.
Atractores y repulsores: hay tres tipos de comportamiento que
y(x) puede exhibir en las cercanías de un punto crítico c.
(c) y (d) Cuando y0 a un lado de c es atraído por c y repelido por el otro lado.
Este tipo de puntos críticos se denomina semiestables.
57. 57
EDO autónomas y campos de direcciones
La figura muestra el
campo de direcciones de
dy/dx = 2y – 2.
Podemos observar que los
elementos lineales que
pasan por los puntos de
cualquier recta horizontal
mantienen la pendiente.
Recordemos que una EDO autónoma es de la forma
dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.
