1. Cap´tulo 7
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Decomposicao
em
valores singulares
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Decomposicao por valores singulares – 1 / 14

2. ¸˜
Motivacao
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A determinacao da caracter´stica de uma matriz e um problema comum em
ı
´
problemas envolvendo circuitos eletricos. Teoricamente, podemos utilizar a
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eliminacao de Gauss para reduzir uma matriz a uma matriz em escada por
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linhas e contar o numero de linhas nao todas nulas.
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´ ˜ ´ ´
Contudo, este metodo nao e pratico quando trabalhamos com problemas de
˜ ´
grande precisao aritmetica, devido aos arredondamentos que envolvem
naturalmente erros na matriz dos coeficientes, cuja origem tanto pode residir
´
nos dados fornecidos, como no sistema numerico necessariamente finito.
´
O calculo da caracter´stica de uma matriz pode ser um enorme desafio
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numerico. Pequenos erros numericos nas entradas podem ter um efeito
imprevis´vel.
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Decomposicao por valores singulares – 2 / 14

3. Exemplos
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Os seguintes exemplos ilustram como pequenas perturbacoes nos dados
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podem influenciar as solucoes.
x + y = 2
x + y = 2
x + y = 2
x + 1.0001y = 2
x + y = 2
x + 1.0001y = 2.0001
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Decomposicao por valores singulares – 3 / 14

4. ¸˜
Definicoes
Os valores singulares σ1 , σ2 , . . . , σr de uma matriz A, do tipo m × n, sao
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as ra´zes quadradas positivas dos valores proprios λℓ da matriz de Gram
ı ´
√
K = AT A, isto e, σℓ = λℓ > 0.
´
Dada uma matrix A do tipo m × n, com m ≥ n, se
A = U ΣV T ,
em que U e V , m × r e n × r, resp., sao matrizes cujas colunas sao
˜ ˜
ortonormais e onde Σ e a matriz diagonal r × r
´
 
σ1
 σ2 
Σ=  ,
 
..
 . 
σr
entao diremos que U ΣV T e a factorizacao em valores singulares de A.
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5. Teorema
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Qualquer matriz admite uma factorizacao em valores singulares.
¸˜
Demonstracao: Am×n
• AT A: n × n; simetrica; valores proprios reais nao negativos.
´ ´ ˜
• Os valores proprios nao nulos de AT A sao (ordenados de modo
´ ˜ ˜
decrescente):
λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λr > 0 = λr+1 = · · · = λn .
√
• σℓ = λℓ > 0, para ℓ = 1, . . . , r.
´
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6.  
σ1
 σ2 
• Σ=  .
 
..
 . 
σr
• v1 , v2 , . . . , vr vectores proprios ortonormais de AT A associados aos
´
valores proprios λ1 , λ2 , . . . , λr , respectivamente.
´
• V = v1 v2 · · · vr .
1
• uℓ = σℓ
Avℓ , para ℓ = 1, . . . , r, sao ortonormais.
˜
• U = u1 u2 · · · ur .
´
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7. Exemplo
 
3 5
A= 4 0 
0 0
25 15
AT A =
15 25
λ1 = 40, λ2 = 10
√ √
σ1 = 2 10, σ2 = 10
 
√ 2 1
2 0 √
2 1 −1 √
Σ= 10 , V = , U = 55  1 −2 
0 1 2 1 1
0 0
´
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8. ¸˜
Observacoes
˜ ´
1) Os valores singulares de uma matriz sao unicos; contudo, as matrizes
U e V nao sao unicas.
˜ ˜ ´
2) U diagonaliza AT A.
3) v1 , v2 , . . . , vk base ortonormal para C (A).
4) u1 , u2 , . . . , uk base ortonormal para C (AT ).
5) car(A) = numero de valores singulares.
´
´
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9. 6)
 
1 1 −1
 2 2 −2 
3 3 −3
 
1.00001 1 −1
 2 2.00001 −2 
3 3 −3.00001
σ1 ≈ 6.48075 σ2 ≈ σ3 ≈ 0.000001
´
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10. A Pseudo-inversa
Suponhamos que U ΣV T e a factorizacao em valores singulares de A.
´ ¸˜
¸˜
Definicao
A pseudo-inversa ou a inversa de Moore-Penrose de A e a matriz n × m
´
A+ = V Σ−1 U T .
¸˜
Condicoes de Penrose
1. AXA = A
2. XAX = X
3. (AX)T = AX
4. (XA)T = XA
Se A e do tipo m × n, entao existe uma unica matriz X , n × m, que satifaz
´ ˜ ´
¸˜
estas condicoes.
Se e (quadrada) nao singular, entao A+ = A−1 .
´ ˜ ˜
´
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11. Teorema
Seja A uma matriz do tipo m × n de caracter´stica n. Entao,
ı ˜
A+ = (AT A)−1 AT .
Teorema
x = A+ b e solucao no sentido dos m´nimos quadrados do
¯ ´ ¸˜ ı
sistema Ax = b.
´
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12. Exemplo
Usando a pseudo-inversa, resolva o sistema Ax = b no sentido dos
m´nimos quadrados, com
ı
   
1 2 −1 1
 3 −4 1   0 
A=
 , b= .
−1 3 −1   −1 
2 −1 0 2
¸˜
Resolucao
 
15 −15 3
K =  −15 30 −9 
3 −9 3
√ √
λ1 = 24 + 3 34 ≈ 41.4929, λ2 = 24 − 3 34 ≈ 6.5071, λ3 = 0
´
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13. √ √
σ1 = λ1 ≈ 6.4415, σ2 = λ2 ≈ 2.5509
6.4415 0
Σ=
0 2.5509
 
  −0.2180 −0.7869
0.4990 −0.8472  0.7869 −0.2180 
V =  −0.8344 −0.4128  U =
 −0.5024

−0.2845 
0.2340 0.3345
0.2845 −0.5024
(recorde que A = U ΣV T )
 
0.2444 0.1333 0.0556 0.1889
A+ = V Σ−1 U T =  0.1556 −0.0667 0.1111 0.0444 
−0.1111 0 −0.0556 −0.0556
´
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Decomposicao por valores singulares – 13 / 14

14. A solucao (no sentido dos m´nimos quadrados) do sistema Ax = b e
¸˜ ı ´
 
0.5667
x = A+ b =  0.1333  .
¯
−0.1667
´
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Decomposicao por valores singulares – 14 / 14