1. Van de Oerknal naar het leven
(natuurkundedeel)
Derde college
Marcel Vonk
6 februari 2014

2. Praktische mededelingen
• Filmopdracht: maak groepjes van 4
of 5 studenten. Deadline: 11 februari.
• Kies drie onderwerpen.
• Geen groep te vinden? Mail Sigrid
(S.denElt@uva.nl)
• Groep aanmelden
via formulier, link op
blackboard. (Kopje
“Filmopdracht” links.)
2/53

3. Praktische mededelingen
•
•
•
•
•
•
•
Vrijdag: practicum groep A en B.
Andere indeling dan werkcolleges!
Indeling op blackboard.
A: 9u practicum, 13u rondleiding
B: andersom
Beide groepen verzamelen: G1.18.
Wees op tijd!!!
3/53

4. Praktische mededelingen
• Met name demonstratieproeven.
• Om die reden: geen “gewoon”
practicumverslag, maar een
inleveropdracht van 2-4 pagina’s.
• Alleen of samen; inleveren uiterlijk
24 februari.
• Details in de beschrijving op
blackboard.
4/53

5. The story so far…

6. The story so far…
x'
y'
z'
t'
x ut
y
z
t
x'
y'
z'
t'
x ut
1 u2 / c2
y
z
t u x / c2
1 u2 / c2
6/53

7. The story so far…
Wat verandert er?
•
•
•
•
•
Ruimte en tijd worden één geheel
Punten worden events (t,x,y,z)
Geen gelijktijdigheid meer
Ruimte: lengtecontractie
Tijd: tijdsdilatatie
7/53

8. Intermezzo: de ladderparadox
8/53

9. Intermezzo: de ladderparadox
• Vanuit de rennende waarnemer
gezien wordt de schuur korter, en
past de ladder dus niet.
• Vanuit de stilstaande waarnemer
gezien wordt de ladder korter, en
past de ladder dus ruim.
Hoe kan dit?
9/53

10. Intermezzo: de ladderparadox
Dat er geen tegenspraak is, zien we
als we het ruimtetijddiagram bekijken.
10/53

11. The story so far…
Invariante eigentijd:
c2 (
)2 c 2 ( t )2
( x )2
• (Δτ)2 > 0: tijdachtig
• (Δτ)2 = 0: lichtachtig
• (Δτ)2 < 0: ruimte-achtig
Ruimte-achtig verbonden events
hebben geen causaal verband.
11/53

12. The story so far…
)2
(c
(c t )2
( x )2 ( y )2 ( z )2
We kunnen de eigentijd met behulp
van een metriek η ook schrijven als
3
(c
)2
x
,
0
x
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
12/53

13. The story so far…
F
i
dp
dt
i
was niet relativistisch, en werd dus
F
dp
d
13/53

14. The story so far…
Om dezelfde reden voerden we de
relativistische impuls in:
p
dx
m
d
Dit blijkt een behouden grootheid te
zijn, maar wat berekenen we nu
eigenlijk?
14/53

15. The story so far…
p
i
m vi
2
1 v /c
2
De ruimtecomponenten zijn bijna de
“ouderwetse” impuls. Dat die behouden
zijn is dus niet verbazend.
Maar wat is de
mc
0
p
betekenis van de
2
2
1 v /c
tijdcomponent?
15/53

16. Vragen?
16/53

17. Relativiteit, impuls en energie

18. Relativiteit, impuls en energie
Een Taylor-expansie geeft dat
cp
0
mc
2
1
2
mv
2
O
v4
c2
cp0 is de relativistische energie! We
vinden ook de rustenergie:
E
mc
2
BORD
18/53

19. Relativiteit, impuls en energie
De energie-impuls-4-vector is dus
p
E / c, p
i
Net als bij de positie-4-vector kunnen
we een invariante combinatie maken:
E
2
2 2
pc
2 4
mc
BORD
19/53

20. Relativiteit, impuls en energie
E
2
2 2
pc
2 4
mc
Voor massaloze deeltjes (bijvoorbeeld
fotonen) vinden we
E | p|c
Dit resultaat speelt een belangrijke rol
in de kosmologie.
20/53

21. Algemene relativiteitstheorie

22. Algemene relativiteitstheorie
Ook de zwaartekrachtswet is niet
relativistisch:
FG
mM
G 2
r
Het kostte Einstein bijna 10
jaar om de relativistische
versie te vinden!
22/53

23. Algemene relativiteitstheorie
FG
mM
G 2
r
F ma
Een belangrijke hint was het
equivalentieprincipe: trage en
zware massa zijn hetzelfde!
Gevolg: alle massa’s reageren
hetzelfde op de zwaartekracht.
23/53

24. Algemene relativiteitstheorie
De zwaartekrachtsversnelling hangt
alleen af van de plaats en het moment,
maar niet van het object.
Gevolg: we kunnen zwaartekracht zien
als een eigenschap van de ruimte en
de tijd!
24/53

25. Algemene relativiteitstheorie
We kunnen het equivalentieprincipe
ook iets anders formuleren.
a
In vrije val ervaren we geen
zwaartekracht.
25/53

26. Algemene relativiteitstheorie
Zwaartekracht kunnen we dus zien als
een “pseudo-kracht” die we pas voelen
als iets ons tegenhoudt.
a
26/53

27. Algemene relativiteitstheorie
Hetzelfde gebeurt als de astronaut niet
beweegt maar de grond versnelt.
a
27/53

28. Algemene relativiteitstheorie
Equivalentieprincipe (revisited): in een
zwaartekrachtsveld ervaren we
hetzelfde als in een versneld systeem
zónder zwaartekracht.
28/53

29. Algemene relativiteitstheorie
Een eerste gevolg kunnen we direct al
afleiden: ook (massaloos) licht wordt
door de zwaartekracht afgebogen!
(Werkcollege 2, opgave 1.)
29/53

30. Algemene relativiteitstheorie
30/53

31. Algemene relativiteitstheorie
Einstein zag in dat er naast het
equivalentieprincipe nog een tweede
ingrediënt nodig is: kromming van de
ruimte-tijd.
31/53

32. Algemene relativiteitstheorie
Als er geen krachten zijn, volgen
objecten een “zo recht mogelijke weg”
(geodeet) door de gekromde ruimtetijd.
32/53

33. Algemene relativiteitstheorie
We kunnen de kromming van de ruimte
meten, en er zijn zelfs technologische
toepassingen!
33/53

34. Algemene relativiteitstheorie
Wiskundig wordt de kromming
weergegeven in de metriek:
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
g
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
De wiskunde kan flink ingewikkeld
worden!
34/53

35. Algemene relativiteitstheorie
Speciale relativiteit:
F
i
dp
dt
i
F
dp
d
Algemene relativiteit:
FG
mM
G 2
r
R
1
2
g R g
8 G
T
4
c
35/53

36. Algemene relativiteitstheorie
In de rest van dit college hebben we de
wiskundige details gelukkig niet nodig,
en volstaat een grof beeld van de
algemene relativiteitstheorie.
36/53

37. Kosmologie en de oerknal

38. Kosmologie en de oerknal
In de kosmologie kunnen we een
aantal vereenvoudigende aannames
maken: het heelal is
• Homogeen (op
elke plaats hetzelfde)
• Isotroop (in elke
richting hetzelfde)
38/53

39. Kosmologie en de oerknal
Let op: iets kan homogeen zijn en niet
isotroop, of omgekeerd!
39/53

40. Kosmologie en de oerknal
De aanname dat het heelal homogeen
en isotroop is, heet het cosmologisch
principe.
Voor zover we kunnen zien is op
schalen tussen de 100 miljoen lichtjaar
en 13,8 miljard lichtjaar hieraan
voldaan.
40/53

41. Kosmologie en de oerknal
Er zijn maar drie ruimtelijke
heelalvormen die aan dit principe
voldoen:
k=1
k = -1
k=0
41/53

42. Kosmologie en de oerknal
Op elk van deze oppervlakken bestaat
een invariante afstandsmaat (vergelijk
(Δτ)2 in de speciale relativiteit).
2
k
gij xi x j
Het zou helaas te ver gaan
om de precieze metriek gij
hier te beschrijven...
42/53

43. Kosmologie en de oerknal
Wel belangrijk: we hebben het nu
alleen gehad over de ruimtelijke vorm
van het heelal. Die kan natuurlijk nog in
de tijd van schaal veranderen!
l 2 a (t ) 2
2
k
De invariante “afstand” in de ruimte-tijd
wordt daarmee
c2 (
)2
c 2 ( t )2
a (t ) 2
2
k
43/53

44. Kosmologie en de oerknal
c2 (
)2
c 2 ( t )2
a (t ) 2
2
k
Dit is de “kosmologische variant” op de
Minkowski-metriek.
Het cruciale ingrediënt is
de schaalfactor a(t). (De
rest mag je vergeten…)
44/53

45. De schaalfactor van het heelal

46. De schaalfactor van het heelal
We kiezen de basisruimte vast en tijdsonafhankelijk.
k=1
Alle dynamica is
bevat in a(t).
k = -1
De coördinaten op k = 0
de basisruimte heten
meebewegende coördinaten.
46/53

47. De schaalfactor van het heelal
In meebewegende coördinaten hebben
twee sterrenstelsels een vaste afstand:
Δx
In het fysische, uitdijende heelal
hebben ze een veranderlijke afstand
r = a(t) Δx.
47/53

48. De schaalfactor van het heelal
De fysische snelheid waarmee de
stelsels uit elkaar bewegen is
v
dr
dt
Hr
met
H
1 da
a dt
BORD
H is de Hubble-parameter.
(“Hubble-constante”)
48/53

49. De schaalfactor van het heelal
Centrale vraag in de kosmologie: hoe
verandert a(t) als functie van de tijd?
Het antwoord hangt ervan af waaruit
het heelal bestaat!
stof
straling
49/53

50. De schaalfactor van het heelal
Eerst moeten we ons afvragen: wat is
het verband tussen a(t) en de
energiedichtheid ρ(t)?
(t )
1
a (t )3
BORD
stof
50/53

51. De schaalfactor van het heelal
Eerst moeten we ons afvragen: wat is
het verband tussen a(t) en de
energiedichtheid ρ(t)?
(t )
1
a (t ) 4
straling
51/53

52. De schaalfactor van het heelal
•
•
•
•
•
•
Fotonen: E = |p|c.
Forse impuls, dus forse druk.
Druk neemt af als volume toeneemt.
Hierdoor gaat meer energie verloren
Drukdichtheid: P=ρ/3 (3 dimensies)
Werkcollege: daaruit volgt
(t )
1
a (t ) 4
52/53

53. Van de oerknal naar het leven
Vierde college:
Maandag 11:00-13:00
Turingzaal
53/53