Trabajo Practico de ecuaciones diferenciales (sus aplicaciones)

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Este es un trabajo en el cual veremos las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en el área de la Ingeniería Industrial.

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Trabajo Practico de ecuaciones diferenciales (sus aplicaciones)

  1. 1. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales para la ingeniería industrial. Canerys
  2. 2. Introducción La presente investigación trata sobre las ecuaciones diferenciales, ¿Qué son? En que área de la ingeniería industrial se aplica, ¿porque es necesario saber resolver ecuaciones diferenciales? Estas son preguntas típicas que uno se hace al comenzar una investigación sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en el área de la ingeniería, es por esto que nos ha interesado estudiar en específico el área de diseño, producción que es una de las más comunes para un ingeniero industrial. El presente trabajo tiene como objetivo principal: conocer más acerca de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinaria de primer orden en casos de producción. Para ellos trataremos de explicarlo en forma teórica y luego un ejemplo, para saber una forma concreta de cómo se aplica las ecuaciones diferenciales ordinaria de primer orden en problemas de producción.
  3. 3. Marco Teórico La presente investigación se trata sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniería y más específico en la ingeniería industrial, para conocer a fondo sus aplicaciones es necesario saber primero algunos conceptos básicos de las Ecuaciones Diferenciales y las áreas de trabajo de la ingeniería industrial. ¿Qué es una Ecuación Diferencial? Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. ¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden? Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita: dy dx f ( x, y ) Áreas de la ingeniería industrial Industria extractiva, transformación y de servicios. Áreas de aplicación en una empresa. Diseño, operación y control de sistema productivos. Establecimiento del programa. Tendencias de la ingeniería industrial (en el incremento de la productividad).
  4. 4. Diseño, operación y control de sistema productivos. La Productividad, (también conocido como Eficiencia) es, genéricamente, entendida como la relación establecida, entre la producción obtenida por un sistema de producción o servicios y los recursos utilizados para obtenerla. También, puede ser definida, como la relación entre los resultados y el tiempo utilizado para obtenerlos: cuanto menor sea el tiempo que lleve obtener el resultado deseado, más productivo es el sistema. En el ámbito profesional, se denomina Productividad (P) al índice económico, que relaciona la producción, con los recursos empleados para obtener dicha producción. Se expresa matemáticamente como: P = Producción/Recursos. Conociendo estos conceptos podemos hablar de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería industrial, son varias pero nos enfocaremos esta ocasión en los problemas de diseño, operación y control de sistemas productivos que son muy comunes a la hora del ingeniero industrial diseñar su plan de producción. Caso practico Problema: Unproductonuevo de cerealseintroducea través deunas campañas de publicidada una poblaciónde1 millón de clientespotenciales. Lavelocidad a la quelapoblaciónse entera del productose supone que esproporcional al número depersonas quetodavía no son conscientesdel producto. Al finaldeun año, la mitad dela poblaciónha oído hablardelproducto. ¿Cuántoshanoído hablardeélporel finalde 2años? Solución Paso # 1: Identificamos las variables que forman parte del problema p: es la cantidad de personas (clientes potenciales) t: tiempo que han escuchado del producto. (1-p): las personas que no han escuchado del producto. dp :la velocidad con la que las personas conocen el producto. dt Pasó # 2: Escribimos la ecuación diferencial descripta por el problema. dp dt C (1 p)
  5. 5. Esta ecuación es latasa de cambio. Pasó # 3: Resolvemos la ecuación diferencial, por separación de variable. 1- Separamos la variables dp c(1 p)dt dp (1 p) c.dt 2- Integramos en ambos lados de 1: dp (1 p) ln 1 p ln 1 1 ct ct p p e k1 k1 ct c.dt Multiplicamos por (-1) Multiplicamos por (e) k1 Despejamos a P
  6. 6. p 1 ct e k1 Multiplicamos por (-1) p 1 e ct k2 Solución General de la ecuación p 1 e ct k2 Procedemos a calcular la solución partículas de problema descripto. p=0.5, t=0 Buscamos el valor de la constante k 0 1 k2 e c (0) 1 k2 Ahora mi solución queda descripta así: p 1 ct e Busco mi solución particular Los valores iniciales del problema planteado son: y = 0.5 cuando t = 1 0.5 1 e c 0.5 1 e c por (e) ln 0.5 c c C=0.693 Mi solución particular es: ln 0.5 0.5 e c Multiplicamos
  7. 7. Solución particular p 1 e 0.693t En la solución particular sustituimos a t=2, que es el número de años que ha transcurrido durante la publicación del producto. p 1 e 0.693(2) 0.75 , también se expresa en 750,000 Respuesta En el tiempo de dos un total de 750,000 personas han escuchado del producto.
  8. 8. Conclusión En esta investigación pudimos ver en que nos ayudan las ecuaciones diferenciales en problemas cotidianos en el área de producción para un ingeniero industrial, el cual nos facilitas los cálculos para la implementación de un buen diseño de producción. En este caso vimos únicamente el área de producción en el cual se usan muchos las ecuaciones diferenciales ordinaria de primer orden, usando el método de separación. Por ultimo pudimos ver que la asignatura de ecuaciones diferenciales no solo son métodos matemáticos para resolver los problemas matemáticos si no que se utilizan en la vida cotidiana en la del trabajo y teniendo estos conocimientos nos ayudan como ingeniero industrial a conocer más de nuestras áreas y los problemas que se nos puedan presentar.

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