1. RAZONES
Y
PROPORCIONES

2. RAZÓN
PROPORCIÓN
DIRECTA INVERSA COMPUESTA
PORCENTAJE

3. ¿Qué son las
razones y
proporciones? Las razones y
proporciones son una
manera de encontrar
relaciones entre
cantidades que
aumentan o disminuyen
Por ejemplo
La cantidad de dinero que se paga por la
compra de un kilo de pescado irá
aumentando o disminuyendo en la medida
que aumente o disminuya la cantidad de kilos
de pescado a comprar

4. RAZÓN
Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades
por medio del cuociente entre ellas.
Se puede escribir como
a:b a
ó
=k Se lee " a es a b
b
a Antecedente
b Consecuente

5. APLICACIONES DE RAZONES
En lenguaje de
cartografía la razón
se conoce como
escala.
Si un mapa está a
escala 1:1000,
¿Qué significa?
Cualquier distancia
(digamos 1cm) en el
mapa, representa
1000 cm en la vida
real es decir 10m.

6. APLICACIONES DE RAZONES
Los demógrafos, que son los
que estudian la evolución de
las poblaciones establecen que
la razón de natalidad anual es
de
13
1000
Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes
nacen al año 13 bebés.

7. APLICACIONES
La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos,
como densidad poblacional.
Por ejemplo, se sabe que la población de
Antofagasta es de 285.255 personas, y
también se sabe que la superficie es de
30.718,1 kilómetros cuadrados.
Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la
densidad poblacional es de
285255
= 9,3 habitantes por kilómetro cuadrado
30718,1
¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 9 personas!

8. RAZONES EQUIVALENTES
Dos razones son equivalentes si el valor de la
razón es el mismo.
Ejemplo la razón 3:4 es equivalente a la razón 6:8,
ya que 3:4 = 6:8
3:4= 0,75 y 6:8=0,75
•2:4 es equivalente a 4:8
2:4= 0,5 y 4:8= 0,5
•5:2 es equivalente a 10:4
5:2 = 2,5 y 10:4 = 2,5

9. AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR
• Dado que una razón es una fracción, podemos amplificarla y
simplificarla para obtener razones equivalentes, así:
Simplificar División
Amplificar Multiplicación

10. PROPORCIONES
Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones
Se escribe
a c
= o a:b=c:d Se lee “a es a b como c es a d”
b d
En toda proporción:
a c
= Medios
b d
Extremos

11. OBSERVACIÓN
El producto de los medios es igual al producto de
los extremos.
Dada la proporción:
a c
=
b d
Se cumple:
a⋅d = b⋅c

12. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos o más cantidades a y b son directamente
proporcionales cuando su cociente es constante (k)

13. OBSERVACIÓN
• Dos cantidades se dicen que son directamente
proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas
la otra también aumenta.
• Dos cantidades se dicen que son directamente
proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas
la otra también disminuye.
Ejemplo:
Mas horas de trabajo mas producción

14. PORCENTAJE
Una aplicación del la proporcionalidad directa…

15. INTRODUCCIÓN
Para calcular un porcentaje, se divide el
entero en 100 partes iguales y se toma de ella la
cantidad requerida. Si una cantidad se divide en
100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está
considerando el 25 % de la cantidad.

16. EJEMPLO
Si se dice que el
10% de los alumnos de
este curso son niñas, se
está diciendo que de
cada 100 alumnos 10
son niñas.

17. CÁLCULO DE PORCENTAJE
Para trabajar con tantos por cientos, se
procede como una proporción directa.

18. EJEMPLO
Calcular el 32 % de 459.
La proporción que se debe formar es:

19. EJEMPLO
¿Qué porcentaje es 142 de 568?
Solución:
La proporción que se debe formar es:

20. EJEMPLO
De qué cantidad es 96 el 12%?
Solución:
La proporción que se debe formar es:

22. PROBLEMAS DE PLANTEO DE PORCENTAJES
• Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20% de los 30
alumnos/as, ¿cuántos alumnos han asistido? ¿Cuántos
alumnos/as han faltado?
• En una población de 7.000 habitantes, el 80% tiene más de 18
años. Averigua el número de personas mayores de esa edad.
• De 500 mujeres encuestadas, 370 afirman que les gusta el
fútbol. Expresa esa cantidad mediante un porcentaje.
• Juan cobra $26.000 al año y paga $5.200 de impuestos. ¿Qué
porcentaje de impuestos paga?
• Los embalses de agua que abastecen a una ciudad tienen
una capacidad total de 400 km3 , y se encuentran al
27 % de su capacidad. ¿Cuantos km3 contienen?

23. PROPORCIONALIDAD DIRECTA

24. OBSERVACIÓN
• Dos cantidades se dicen que son directamente
proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas
la otra también aumenta.
• Dos cantidades se dicen que son directamente
proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas
la otra también disminuye.
Ejemplo:
Mas horas de trabajo mas producción

25. EJEMPLO
En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas.
¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la
receta para 20 personas?
Se tiene:
Huevos Personas Formando la proporción
3 12
3 12 =
x 20
x 20
Multiplicando cruzado 3 ⋅ 20 = 12 ⋅ x Resolviendo para x, se tiene que:
5= x Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas

26. EJEMPLO
Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su
velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto
y medio?

27. EJERCICIOS
• Para tejer 2 chalecos de niño se utilizarán 240 gramos de lana. Si
queremos tejer 5 chalecos, ¿cuántos gramos de lana
necesitaremos?
• Con 6 litros de pintura, se puede pintar 40 m2 de pared. ¿cuántos
litros de pintura se necesitan para pintar 96 m2?
• Una llave que arroja 40 litros de agua por minuto, llena un estanque
en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo demora en llenar el mismo estanque
una llave que arroja 60 litros por minuto?

28. PROPORCIONALIDAD INVERSA

29. OBSERVACIÓN
 Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales
si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.
 Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales
si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.
Ejemplo:
El número de obreros y el tiempo para realizar
una obra

30. PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos o más cantidades son inversamente
proporcionales si los productos que se obtienen al
multiplicar los términos de cada una de las razones son
constantes.

31. EJEMPLO
En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un
camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más
¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?
Se tiene:
Formando la Se invierte la
Gallinas Días
proporción 300 20 segunda razón 300 x
300 20 = =
400 20
400 x 400 x
Multiplicando cruzado 300 ⋅ 20 = 400 ⋅ x Resolviendo para x, se tiene que:
Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos

32. EJEMPLO
Un depósito de agua se
llena en 2.25 horas
empleando cinco llaves de
agua de igual diámetro.
¿En cuánto tiempo se
llenará, si se utilizan tres
llaves?

33. EJEMPLO DE PROPORCIONALIDAD
1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar
es una proporción es...
2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje
es...
3. La cantidad de bebida que tomo y lo que gasto en comprarla es...
4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar
es...
5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa
es...

34. EJERCICIOS
• 3 grifos vierten agua de forma constante llenando un depósito en
10 horas, si usamos 6 grifos para llenar ese depósito ¿Cuánto
tiempo tardarán en llenarlo?
• Cinco pintores tardan 24 días en pintar una fachada. ¿Cuánto
tardarán doce pintores en hacer el mismo trabajo?
• Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un
autobús a precio fijo. Inicialmente iban al viaje 20 alumnos siendo
el precio por persona de $8000 . Si finalmente hacen el viaje 16
alumnos ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?
• Un coche que circula a 70Km/h. invierte 3 horas en cubrir la
distancia que separa dos ciudades, si vuelve a realizar el viaje y
emplea 4 horas. ¿A qué velocidad circula en el segundo viaje?

35. PROBLEMAS DE RAZONES
En una escuela, la razón entre los alumnos del 7o y los alumnos del 8o es 7:5
He aquí un diagrama que muestra que la razón entre los alumnos del 7o y los
alumnos del 8o
Alumnos de 7° Alumnos de 8°
Como se puede ver en el diagrama, el "total" se divide en 12 partes (7 + 5)
Podríamos usar este diagrama para resolver problemas tales como:
Si hay 156 alumnos en los 7° y 8°, ¿cuántos alumnos hay en el 7°? (Divide
el total en 12 partes, y luego toma 7 de las partes.)
156:12=13 13 ∙7=91
Respuesta: Hay 91 alumnos en el 7°