Antiderivada

1. CCÁÁLLCCUULLOO 22
La Antiderivada y La Integral
Indefinida.
Departamento de Ciencias

2. Temperatura del
Cuerpo 8°C
Temperatura del
Refrigerador= 5°C
¿Qué pasa con la temperatura del cuerpo?

3. Ley de Enfriamiento de Newton
Si la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio
ambiente no es demasiado grande
El calor transferido hacia el
cuerpo o viceversa es
dT = K T -
t
dt
( ) a

4. Vaciado de un Tanque
¿Cuál es la altura h(t) del agua en cualquier instante
de tiempo t ?
Si la altura
disminuye a
razón de:
= - æ - ö çè ø¸
dh 1 t 20
dt 25 50

5. ¿Qué tienen en común?
Se Conoce Piden
RC de la temperatura de un cuerpo Función Temperatura
Razón de cambio de la altura Función Altura

6. Respondemos:

7. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve problemas vinculados a la
gestión e ingeniería a partir de
Ecuaciones Diferenciales (ED) con una
condición inicial, usando el cálculo de las
integrales inmediatas y las reglas básicas
de integración indefinida.

8. Distancia Velocidad
Ingresos Ingresos Marginales
Costo Costo Marginal
Población Razón de Crecimiento de
la población
Derivada
AAnnttiiddeerriivvaaddaa

9. 1. Antiderivada
Una función F recibe el nombre de primitiva o
Antiderivada de f en un intervalo I si:
F¢(x) = f (x) para todo xÎ I
Ejemplo 1:Para f ( x ) = 3 x 2 , l a función: F ( x ) = x 3 e s una
antiderivada, pues:
( ) ( ) '( ) 3 ' =3 2 ( )
F x = x x =
f x
F x f x
Þ =
'( ) ( )

10. De la misma forma, son antiderivadas las siguientes
funciones:
f (x) = 3x2
3
1F (x) = x +1
3
2 F (x) = x +2
3
3 F (x) = x - 1
3
4 F (x) = x - 2
+C;
i F (x) = x3
C es una costante cualquiera
Son antiderivadas
Puesto que: F '( x ) = 3( x 2 ) =
f ( x
)
i F x f x
Þ =
'( ) ( )

11. 2. Interpretación Geométrica
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces
la antiderivada general de f sobre I es:
F(x) +C
Significado geométrico:
Si F(x) es una antiderivada de f (x)
en I , cualquier otra
antiderivada de f en I es una curva paralela al gráfico de
y = F(x)
Teorema
Donde:
C es una constante

12. Del Ejemplo 1, la antiderivada general
f (x) = 3x2 F(x) = x3 + C
Miembros de la familia de Antiderivadas de
x3 + 2
x3
x3 + 1
x3 -1
x3 -2
de es es
Dando valores a la constante C, obtenemos una familia de funciones
cuyas gráficas son traslaciones verticales de una a otra.
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
x
y
f (x) = 3x2

13. Integrando¯ ­ Derivando
Las Las pprriimmiittiivvaass ddiiffiieerreenn eenn uunnaa ccoonnssttaannttee

14. 3. La Integral Indefinida
Constante de
Integración
Diferencial de x
òf (x)d(x) = F(x)+C
Variable de
Símbolo de Integración
Integral

15. La Integral Indefinida de una función f(x) es la
antiderivada general de la función.
ò f (x)dx = F(x) +C
F es una antiderivada
de f en un intervalo
Conclusión:
NNOOTTAACCIIOONN

16. 4. Propiedad de Linealidad
4.1. ò[ f (x) + g(x)] d(x) = ò f (x)d(x) + ò g(x)d(x)
La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma
(resta) de las integrales indefinidas.
4.2. òCf (x)d(x) = Cò f (x)d(x)
Las constantes pueden salir y entrar del signo de la integral indefinida.
ò[ Af (x)+Bg(x)] dx = Aò f (x)dx +Bò g(x)dx

17. 5. Integración Inmediata

18. Integrales Inmediatas
òdx =x+c
1. òc sc2 xdx = -cot gx + c
2.
1
1
n
xndx x c
ò n
+
1 dx ln | x | c
x
+
= +
ò = +
òexdx = ex + c
ò = +
ln
ò senxdx = -cos x + c
òcos xdx = senx + c
òsec2 xdx = tan x + c
x
axdx a c
a
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
òsec x tan xdx = sec x + c
òcsc xco t xdx = -csc x + c
ò tan xdx = -ln | cos x | +c = ln | sec x | +c
òco t xdx = ln | se nx | +c
òsec xdx = ln | sec x + tan x | +c
òcs c xdx = ln | cs c x -co t x | +c
1 dx arcsen x c
a x a
ò
= æ ö + 2 - 2
çè ø¸

19. EJEMPLOS:
Encontrar las siguientes Integrales:

20. 6. Ecuación Diferencial (ED)
Es aquella condición que se expresa 0 0 f (x ) = y
Ejemplo:
Ecuación Diferencial Condición Inicial
df x x
dx
= 2
+ f (0) = 5
4
Condición Inicial:
Esta condición permite determinar la Solución Particular
de la ED.

21. Resolución de ED
Ejemplo:
Resolver la siguiente Ecuación Diferencial
df = x
2 +
1
dx 2
x
Para resolverla se integra ambos miembros, obteniendo:
Esta solución se denomina
Solución General pues depende
de una constante C
3
f ( x )
= x + x +C
3
Si: f (0) = 5
Se reemplaza la CI en la SG:
3
f ( x )
= x + x +C
3
Obteniendo:
03 (0) 0 5 5
f = + +C = ÞC =
3
La solución particular es:
3
f x = x + x +
( ) 5
3

22. 7. Problema: Vaciado de un Tanque
Se tiene un tanque con área seccional constante de 50 m2 y un agujero de un
área seccional constante de 0.05 m2, localizado en la parte inferior del tanque.
h
El tanque se llena con agua hasta una altura
de h metros y se deja vaciar, la altura del agua
disminuye a razón:
Ecuación Diferencial
dh t
dt
1 20 ,
25 50
= - æ - ö çè ø¸
Determinar la altura del agua en cualquier
instante t.
Si su altura es de 5 metros.
Condición Inicial

23. Pasos para Resolver la ED:
y = ò f (x)d(x) = F(x) + C

24. TRABAJO EN EQUIPO
En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios
indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.

25. # CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1 515.33
PURC
PURCELL,
EDWIN J.
Cálculo Diferencial
E Integral
Pearson
Educación
2
515
STEW/P
2007
STEWART,
JAMES
Cálculo De Una
Variable:
Transcendentes
Tempranas
Thomson
Learning
3
515.15/
LARS
LARSON,
RON
Cálculo
Mcgraw-Hill
BIBLIOGRAFÍA