1. Grammik 'Algebra
Anˆlush mh-tetragwnik¸n susthmˆtwn
Tm ma Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kai Mhqanik¸n Upologist¸n
Panepist mio JessalÐac
27 OktwbrÐou 2014

2. OrismoÐ
x°²º¶·´: ìlec oi lÔseic tou Ax Æ b
xo¹o°²ºoÀ&: ìlec oi lÔseic tou Ax Æ 0
x"¶±¶·´: mia opoiad pote lÔsh tou Ax Æ b
EleÔjerec metablhtèc: ìlec oi sunist¸sec thc lÔshc pou
den antistoiqoÔn se st lh me odhgì.

3. Upologismìc Genikeumènhc LÔshc Ax Æ b
1. Apaloif sto Ax Æ b (Ax Æ b)Ux Æ c)
2. Mhdènise tic eleÔjerec metablhtèc kai lÔse
(x"¶±¶·´)
3. Jèse b Æ 0 kai diadoqikˆ, se kˆje eleÔjerh
metablht 1 jètontac tautìqrona tic upìloipec
metablhtèc Ðsec me 0 kai brec to sÔnolo twn
lÔsewn tou omogenoÔc (xo¹o°²ºoÀ&)
4. x°²º¶·´
Æ x"¶±¶·´
Åxo¹o°²ºoÀ&

4. AÆ
2
4
1 3 0 2 ¡1
0 0 1 4 ¡3
1 3 1 6 ¡4
3
5!
2
4
1 0 0
0 1 0
1 1 1
3
5
2
4
1 3 0 2 ¡1
0 0 1 4 ¡3
0 0 0 0 ¡0
3
5

5. AÆ
2
4
1 3 0 2 ¡1
0 0 1 4 ¡3
1 3 1 6 ¡4
3
5!
2
4
1 0 0
0 1 0
1 1 1
3
5
2
4
1 3 0 2 ¡1
0 0 1 4 ¡3
0 0 0 0 ¡0
3
5
2
4
1 3 0 2 ¡1
0 0 1 4 ¡3
0 0 0 0 ¡0
3
5
2
x1
x2
x3
x4
x5
66664
3
77775
Æ
2
4
3
5)
000
LÔseic omogenoÔc
s1 Æ
2
66664
¡31000
3
77775
, s2 Æ
2
¡20
¡410
66664
3
77775
, s3 Æ
2
10301
66664
3
77775

6. AÆ
2
4
1 3 0 2 ¡1
0 0 1 4 ¡3
1 3 1 6 ¡4
3
5x Æ
2
4
527 3
5
2
4
1 0 0
0 1 0
1 1 1
3
5
2
4
y1
y2
y3
3
5 Æ
2
4
527 3
5

7. AÆ
2
4
1 3 0 2 ¡1
0 0 1 4 ¡3
1 3 1 6 ¡4
3
5x Æ
2
4
527 3
5
2
4
1 0 0
0 1 0
1 1 1
3
5
2
4
y1
y2
y3
3
5 Æ
2
4
527 3
5 !
2
4
y1
y2
y3
3
5 Æ
2
4
520
3
5
2
4
1 3 0 2 ¡1
0 0 1 4 ¡3
0 0 0 0 ¡0
3
5
2
66664
x1
x2
x3
x4
x5
3
77775
Æ
2
4
520
3
5
x"¶±¶·´
Æ
2
66664
x1
x2
x3
x4
x5
3
77775
Æ
2
50200
66664
3
77775
)

8. LÔseic
x°²º¶·´
Æ xo¹o°²ºoÀ&
Åx"¶±¶·´
x°²º¶·´
Æ c1
2
¡3
1
0
0
0
666664
3
777775
Åc2
2
¡2
0
¡4
1
0
666664
3
777775
Åc3
2
1
0
3
0
1
666664
3
777775
Å
2
5
0
2
0
0
666664
3
777775
, 8c1,c2,c3 2 R

9. EpÐlush omogenoÔc m£n
Ax Æ 0)LUx Æ 0)Ux Æ L¡10)Ux Æ 0

10. EpÐlush omogenoÔc m£n
Ax Æ 0)LUx Æ 0)Ux Æ L¡10)Ux Æ 0
2
4
1 3 3 2
0 0 3 1
0 0 0 0
3
5
2
664
3
uvwy
775
Æ
2
4
000
3
5

11. EpÐlush omogenoÔc m£n
Ax Æ 0)LUx Æ 0)Ux Æ L¡10)Ux Æ 0
2
4
1 3 3 2
0 0 3 1
0 0 0 0
3
5
2
664
3
uvwy
775
Æ
2
4
000
3
5
x Æ
2
664
¡3v¡yv
¡13
yy
3
775

12. EpÐlush omogenoÔc m£n
Ax Æ 0)LUx Æ 0)Ux Æ L¡10)Ux Æ 0
2
4
1 3 3 2
0 0 3 1
0 0 0 0
3
5
2
664
3
uvwy
775
Æ
2
4
000
3
5
x Æ
2
664
¡3v¡yv
¡13
yy
3
775
Æ v
2
¡3100
664
3
775
Åy
2
¡10
¡1
664
31
3
775

13. Erwt mata
Ï EÐnai ta dianÔsmata tou x°²º¶·´ ìla lÔseic tou sust matoc?
Ï EÐnai ta dianÔsmata tou x°²º¶·´ ìlec oi lÔseic tou
sust matoc?
Ï Upˆrqei kai ˆlloc trìpoc anaparˆstashc tou x°²º¶·´?
Ï Kˆtw apo poièc sunj kec èna sÔsthma èqei lÔsh?

14. 'Uparxh lÔsewn
Ï An èna omogenèc sÔsthma Ax Æ 0 èqei perissìterouc
agn¸stouc apo exis¸seic (n Èm) tìte èqei mia
toulˆqiston mh-terimènh lÔsh.

15. 'Uparxh lÔsewn
Ï An èna omogenèc sÔsthma Ax Æ 0 èqei perissìterouc
agn¸stouc apo exis¸seic (n Èm) tìte èqei mia
toulˆqiston mh-terimènh lÔsh.
Ï To sÔnolo twn mh-tetrimènwn lÔsewn tou omogenoÔc
sust matoc Ax Æ 0 eÐnai Ðso me to sÔnolo twn
mh-tetrimènwn lÔsewn tou omogenoÔc sust matoc
Ux Æ 0 ìpou U o ˆnw klimakwtìc pÐnakac pou prokÔptei
apo ton A me apaloif .

16. 'Uparxh lÔsewn
'Estw ìti h apaloif metatrèpei to sÔsthma Ax Æ b sto sÔsthma
Ux Æ c. 'Estw epÐshc ìti upˆrqoun r (mh-mhdenikoÐ) odhgoÐ tìte
Ï r Æ min{m,n}.
Ï Oi teleutaÐec m¡r grammèc tou U eÐnai mhdenikèc.
Ï Upˆrqei lÔsh mìnon an oi teleutaÐec m¡r sunÐst¸sec tou c
eÐnai kai autèc mhdenikèc.
Ï An r Æm upˆrqei pˆnta lÔsh
Ï An r Æ n to omogenèc sÔsthma èqei mìnon thn tetrimènh lÔsh