Εισαγωγή στην μέθοδο του Γκάους

1. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
Grammik 'Algebra
Apaloif tou Gkˆouc
Tm ma Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kai Mhqanik¸n Upologist¸n
Panepist mio JessalÐac
26 SeptembrÐou 2014

2. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
SÔsthma
grammik¸n exis¸sewn eÐnai èna sÔnolo grammik¸n exis¸sewn:
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm
LÔsh tou sust matoc eÐnai mia lÐsta
s1; :::; sn 2 R
h opoÐa apoteleÐ lÔsh ìlwn twn m exis¸sewn tautìqrona.

3. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
KÔrio AntikeÐmeno Grammik c 'Algebrac
I DiereÔnhse kˆtw apì poièc sunj kec to sÔsthma
I den èqei lÔsh
I èqei monadik lÔsh
I èqei ˆpeirec lÔseic
I D¸se thn lÔsh an eÐnai monadik .
I Brèc ènan trìpo na perigrˆyeic ìlec tic lÔseic ìtan autèc
eÐnai pollèc.

4. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
H krÐsimh plhroforÐa brÐsketai sta aij; bi.
Topojèthse ìlouc autoÔc touc arijmoÔc se ènan pÐnaka
a11x1 + : : : + a1nxn = b1
a21x1 + : : : + a2nxn = b2
...
am1x1 + : : : + amnxn = bm

5. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
H krÐsimh plhroforÐa brÐsketai sta aij; bi.
Topojèthse ìlouc autoÔc touc arijmoÔc se ènan pÐnaka
a11x1 + : : : + a1nxn = b1
a21x1 + : : : + a2nxn = b2
...
am1x1 + : : : + amnxn = bm
2
6664 a11 a12 : : : a1n
a21 a22 : : : a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 : : : amn
3
7775
m n pÐnakac suntelest¸n

6. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
H krÐsimh plhroforÐa brÐsketai sta aij; bi.
Topojèthse ìlouc autoÔc touc arijmoÔc se ènan pÐnaka
a11x1 + : : : + a1nxn = b1
a21x1 + : : : + a2nxn = b2
...
am1x1 + : : : + amnxn = bm
2
6664 a11 a12 : : : a1n
a21 a22 : : : a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 : : : amn
3
7775
m n pÐnakac suntelest¸n
2
6664
a11 a12 : : : a1n b1
a21 a22 : : : a2n b2
...
...
. . .
...
...
am1 am2 : : : amn bm
3
7775
m (n + 1) epauxhmènoc
pÐnakac

7. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
Melet ste to sÔsthma
3x1 + 2x2 + 4x3 = 0
x1 x2 + 2x3 = 1
2x1 + 2x2 + 3x3 = 2
x1 + x3 = 3

8. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
EpÐlush Eidik¸n Susthmˆtwn (m = n)
Me diag¸niouc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i6= j

9. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
EpÐlush Eidik¸n Susthmˆtwn (m = n)
Me diag¸niouc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i6= j
a1;1x1 + 0x2 + : : : + 0xn = b1
0x1 + a2;2x2 + : : : + 0xn = b2
...
0x1 + 0x2 + : : : + an;nxn = bn
9= ;

10. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
EpÐlush Eidik¸n Susthmˆtwn (m = n)
Me diag¸niouc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i6= j
a1;1x1 + 0x2 + : : : + 0xn = b1
0x1 + a2;2x2 + : : : + 0xn = b2
...
0x1 + 0x2 + : : : + an;nxn = bn
9= ;
) xj = bj=aj;j; 1 j n

11. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
EpÐlush Eidik¸n Susthmˆtwn (m = n)
Me diag¸niouc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i6= j
a1;1x1 + 0x2 + : : : + 0xn = b1
0x1 + a2;2x2 + : : : + 0xn = b2
...
0x1 + 0x2 + : : : + an;nxn = bn
9= ;
) xj = bj=aj;j; 1 j n
Me trigwnikoÔc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i j

12. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
EpÐlush Eidik¸n Susthmˆtwn (m = n)
Me diag¸niouc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i6= j
a1;1x1 + 0x2 + : : : + 0xn = b1
0x1 + a2;2x2 + : : : + 0xn = b2
...
0x1 + 0x2 + : : : + an;nxn = bn
9= ;
) xj = bj=aj;j; 1 j n
Me trigwnikoÔc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i j
a1;1x1 + 0x2 + : : : + 0xn = b1
a2;1x1 + a2;2x2 + : : : + 0xn = b2
...
an;1x1 + an;2x2 + : : : + an;nxn = bn
9=
;

13. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
EpÐlush Eidik¸n Susthmˆtwn (m = n)
Me diag¸niouc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i6= j
a1;1x1 + 0x2 + : : : + 0xn = b1
0x1 + a2;2x2 + : : : + 0xn = b2
...
0x1 + 0x2 + : : : + an;nxn = bn
9= ;
) xj = bj=aj;j; 1 j n
Me trigwnikoÔc pÐnakec suntelest¸n: ai;j = 0; 8i j
a1;1x1 + 0x2 + : : : + 0xn = b1
a2;1x1 + a2;2x2 + : : : + 0xn = b2
...
an;1x1 + an;2x2 + : : : + an;nxn = bn
9=
;
)
xj =
0
@bj
Xj1
k=1
aj;kxk
1
A=aj;j; 1 j n

14. Grammika Sust mata EpÐlush Susthmˆtwn
Je¸rhma Ôparxhc kai monadikìthtac lÔshc
Kˆje diag¸nio trigwnikì
sÔsthma èqei monadik lÔsh
ann ai;i6= 0 8i.